Ubungen zur Theoretischen Physik I

Übungen zur Theoretischen Physik I
WiSe 2008/2009
Weigel, Klein, Turczyk
Blatt 2
—
Ausgabe: 21.10.2008
—
Abgabe: Dienstag, 28.10.2008
Aufgabe 6: Schwerpunkt
a) Bestimmen Sie den Schwerpunkt für das folgende System aus drei Massenpunkten:
 
 
 
2
0
1
m1 = m , ~
r 1 = 0 ; m2 = 3m , ~r 2 = 2 ; m3 = 4m , ~r 3 = 1 .
1
1
2
Geben Sie die Koordinaten der Massenpunkte im Schwerpunktsystem an.
b) Bestimmen Sie den Schwerpunkt eines Quaders mit den Kantenlängen:
x ∈ [0, a] ;
y ∈ [0, b] ;
z ∈ [0, c] .
Die kontinuierliche Massenverteilung sei durch die Dichte ρ(~r) = ρ0 x y parametrisiert.
Aufgabe 7: Elastischer Stoß
Betrachten Sie den elastischen Stoß zweier Teilchen der Massen m1 und m2 , auf die keine äußeren
Kräfte wirken.
• Zeigen Sie, dass im Schwerpunktsystem die Beträge der Impulse der einzelnen Teilchen vor und
nach dem Stoß gleich sind.
• Transformieren Sie nun diese Beziehung ins Laborsystem (Teilchen 2 ruht vor dem Stoß) und
zeigen Sie weiter, dass dort die Impulse des Teilchens 1 vor (~
p 1 ) und nach (~
p ′1 ) dem Stoß über
die Beziehung
2
p~ ′1 − a~
p 1 = b2 p~ 21
verknüpft sind. Bestimmen Sie a und b als Funktionen der Massen m1 und m2 . Interpretieren
Sie das Ergebnis geometrisch.
Aufgabe 8: Fallender Wassertropfen
Ein kugelförmiger Wassertropfen (Radius R, Volumen V , Masse m) fällt in einer mit Wasserdampf
gesättigten Atmosphäre senkrecht nach unten. Auf ihn wirken die Schwerkraft und eine Reibungskraft:
F = Fgrav + Fdiss = m g − λ R2 v
(λ > 0).
Der Wassertropfen starte mit der Geschwindigkeit v(t = 0) = 0, sowie dem Radius R(t = 0) = R0 .
Durch Kondensation wächst sein Volumen proportional zu seiner Oberfläche A an:
dV (t)
= α A(t)
(α > 0).
dt
Wegen der konstanten Massendichte ρ ist die Masse des Tropfens also zeitabhängig.
Substituieren Sie in der Bewegungsgleichung R für t als unabhängige Variable und bestimmen Sie die
Geschwindigkeit v(R) des Tropfens. Durch Rücktransformation erhalten Sie schließlich v(t).
bitte wenden
Aufgabe 9: Nicht-holonome Zwangsbedingungen
a) Eine Scheibe mit Radius a rolle ohne Schlupf und ohne zu kippen in der x-y–Ebene. Die Winkel
φ und θ beschreiben die Drehung der Scheibe bzw. die Neigung der Drehachse bzgl. der y–Achse,
vgl. Abbildung. Zeigen Sie, dass sich die Zwangsbedingungen als die Differentialgleichungen
dx − a cos θ dφ = 0 und dy − a sin θ dφ = 0 schreiben lassen.
z
θ
y
φ
x
Zur Abbildung: Die Drehachse der Scheibe bildet den Winkel θ zur y-Achse, φ ist
der Winkel, um den die Scheibe um die eigene Achse gedreht ist. Die Scheibe liegt
im Punkt (x, y) auf.
(x,y)
b) Betrachten Sie zwei Räder mit Radius a, die auf den Enden einer gemeinsamen Achse der Länge b
montiert sind und sich unabhängig voneinander drehen können. Wie in a) sei θ der Winkel dieser
Achse mit der y-Achse. Die Drehwinkel der beiden Räder seien φ und φ′ und der Mittelpunkt
der Achse liege am Punkt (x, y). Die Anordnung rollt ohne zu rutschen über die Ebene.
Zeigen Sie, dass für die Randbedingungen zwei nicht-holonome Gleichungen:
sin θ dx − cos θ dy = 0
a
cos θ dx + sin θ dy = (dφ + dφ′ )
2
(1)
a
θ = C ± (φ − φ′ )
b
(2)
sowie eine holonome Gleichung
mit einer Konstanten C existieren. (Das Vorzeichen hängt von der Definition ab, welches Rad φ
bzw. φ′ hat.)
Welche anschauliche Bedeutung haben die einzelnen Gleichungen für die Anordnung?
Hinweise:
• Schreiben Sie die Ortskoordinaten (x1 , y1 ) und (x2 , y2 ) der Auflagepunkte der beiden Räder
jeweils als Linearkombination von (x, y) und Vektoren entlang der Achse. Verwenden Sie
für die differentielle Zwangsbedingung der Auflagepunkte das Ergebnis aus a).