Einige Informationen zum Seminar A=B Das Seminar findet

Einige Informationen zum Seminar A=B
Das Seminar findet wöchentlich dienstags von 14 bis 16 Uhr und bei Doppelvorträgen zusätzlich von 16 bis 18 Uhr im Raum 04−426 statt. Die Länge eines Vortrages beträgt 90 Minuten.
Die inhaltliche Grundlage orientiert sich stark an den Büchern [1] und [2]. Bei der Vorbereitung des jeweiligen Vortrags sollten in jedem Fall beide Bücher konsultiert werden. Zu den
meisten Vorträgen sollten außerdem nach Absprache ausgewählte Übungsaufgaben und Beispiele selbstständig bearbeitet und in den Vortrag eingebunden werden.
Um den Inhalt der einzelnen Vorträge genau abstimmen und etwaige Fragen zum Vortrag im
Vorfeld klären zu können, bitten wir jeden Teilnehmer drei Wochen vor dem jeweiligen
Vortragstermin den Betreuern ein grobes inhaltliches Konzept des Vortrages vorzustellen.
Dies kann idealerweise in einem kurzen Gespräch oder in schriftlicher Form geschehen. Ferner
bitten wir jeden Teilnehmer zwei Wochen vor dem jeweiligen Vortragstermin mit den
Betreuern den genauen Inhalt des Vortrages zu diskutieren. Zu diesem Zeitpunkt sollte das
vorheriges Konzept bereits schriftlich vollständig ausgearbeitet vorliegen. Zur methodischen
Vorbereitung eines guten Vortrages sei ferner der Text [3] wärmstens empfohlen.
Inhaltlich gliedert sich das Seminar wie folgt:
1. Die Gamma-Funktion (Jens Gerbig)
In diesem Vortrag werden die Gamma-Funktion eingeführt und einige ihrer elementaren Eigenschaften diskutiert. Insbesondere wird mit Hilfe der Gamma- Funktion eine Verallgemeinerung der Binomialkoeffizienten natürlicher Zahlen definiert, die im weiteren Verlauf des
Seminars eine tragende Rolle spielt.
Literatur: [1, S.4-10].
2. Hypergeometrische Ausdrücke (Christopher Schütz)
In diesem Vortrag werden anhand einiger Beispiele erste Methoden untersucht um geschlossene Formeln für spezielle Summen von Binomialkoeffizienten zu finden. Dies geschieht über
die Untersuchung von sogenannten hypergeometrischen Reihen, die eine Verallgemeinerung
von Exponential- und geometrischen Reihen darstellen, und hypergeometrischen Funktionen.
Es wird ein Algorithmus vorgestellt der beide Konzepte miteinander verbindet.
Literatur: [1, S.11-30].
3. Die hypergeometrische Datenbank (Marina Georg)
In diesem Vortrag wird eine Vielzahl bekannter Identitäten hypergeometrischer Funktionen
gegeben. Ferner wird beschrieben, wie man diese Gleichungen benutzen kann um mit Hilfe
der vorher vorgestellten Methoden geschlossene Formeln für hypergeometrische Summen zu
erhalten.
Literatur: [1, S.31-43], [2, S.32-51].
4. Holonome Rekurrenzgleichungen und Fasenmeyers Algorithmus (Esther Hans
und Sarah Benndorf )
In diesem Vortrag wird die Methode von Celine Fasenmeyer vorgestellt um geschlossene Formeln für hypergeometrische Summen zu finden. Hierzu wird einer hypergeometrische Summe
eine sogenannte holonome Rekurrenzgleichung zugeordnet, deren Lösung dann den geschlos-
senen Ausdruck liefert. Diese Zuordnung basiert auf einem von Fasnemeyer entwickelten Algorithmus, der mitsamt seiner Schwächen diskutiert wird.
Literatur: [1, S.43-60], [2, S.55-72].
5. Gospers Algorithmus (Alexandra Ickert und Irina Brucker)
In diesem Kapitel wird ein Algorithmus von Bill Gosper vorgestellt, der entscheidet ob eine
vorgegebene Folge von Zahlen als Antidifferenz einer anderen Folge geschrieben werden kann.
Besitzt das Problem für eine hypergeometrische Folge eine hypergeometrische Lösung, so
lassen sich die einzelnen Folgenglieder als Summe der Lösungen darstellen. Ferner werden
einige Anwendungen auf die bisherigen Problemstellungen besprochen.
Literatur: [1, S.61-79], [2, S.73-99].
6. Die Methode von Wilf und Zeilberger (Alexander Wöll)
In diesem Vortrag wird mit Hilfe von Gospers Algorithmus eine Methode von Herbert Wilf
und Doron Zeilberger vorgestellt mit der sich eine Vielzahl von Identitäten zwischen hypergeometrischen Ausdrücken beweisen lassen.
Literatur: [1, S.80-92], [2, S.121-140].
7. Zeilbergers Algorithmus (Barbara Karches und Hildegard Müller)
In diesem Vortrag wird Doron Zeilbergers Erweiterung des Algorithmus von Gosper vorgestellt, der ähnlich wie Fasenmeyers Algorithmus einem hypergeometrischen Ausdruck eine
Rekurrenzgleichung zuordnet. Insbesondere kann diese Methode verwendet werden um Gleichheit hypergeometrischer Ausdrücke zu beweisen indem man zeigt, dass beide Ausdrücke dieselbe Rekurrenzgleichung und gewisse Randbedingungen erfüllen. Einer der Vorteile gegenüber
Fasenmeyers Algorithmus ist hierbei neben der wesentlich schnelleren Laufzeit, dass die mit
dieser Methode erhaltene Rekurrenzgleichung in vielen Fällen minimalen Grades ist.
Literatur: [1, S.93-123], [2, S.100-120].
8. Erweiterung der Algorithmen (Janos Sälzer)
In diesem Vortrag werden die vorher vorgestellten Algorithmen von Gosper und Zeilberger
auf rational lineare Eingaben erweitert und Anwendungen dieser Erweiterung diskutiert.
Literatur: [1, S.124-140].
9. Petkovšeks Algorithmus (Laura Biroth und Margarita Schimanowski)
In diesem Vortrag wird ein Algorithmus von Marko Petkovšek vorgestellt, der sämtliche hypergeomterische Lösungen einer vorgegebenen Rekurrenzgleichung berechnet. Dieser Algorithmus kann oft zum Test verwendet werden, ob die mit Zeilbergers Algorithmus gefundene
Rekurrenzgleichung eines hypergeometrischen Ausdrucks minimalen Grades ist.
Literatur: [1, S.140-163], [2, S. 140-167].
10. Differenzialgleichungen (Sören Peters)
In diesem Vortrag wird eine Variante von Zeilbergers Algorithmus vorgestellt, der einem hypergeometrischen Ausdruck statt einer Rekurrenzgleichung eine lineare Differenzialgleichung
zuordnet. Ähnlich wie zuvor können dann viele Identitäten bewiesen werden indem man zeigt,
dass beide Ausdrücke Lösungen einer Differenzialgleichung von einem speziellen Typ sind.
Literatur: [1, S. 164-182].
11. Der stetige Gosper-Algorithmus (Stefanie Görbing)
In diesem Vortrag wird eine stetige Version des Algorithmus von Gosper vorgestellt. Dieser
Algorithmus liefert die Grundlage für die im darauf folgenden Vortrag vorgestellte Methode,
bestimmte Integrale hypergeometrischer Ausdrücke zu berechnen.
Literatur: [1, S.183-193].
12. Holonome Integralgleichungen (Alexander Henke)
Ausgehend von den vorher entwickelten Methoden wird in diesem Kapitel ein Algorithmus
von Gerd Almkvist und Doron Zeilberger vorgestellt, der einem bestimmten Integral über
einen hypergeometrischen Ausdruck eine Rekurrenzgleichung zuordnet.
Literatur: [1, S.194-206].
Literatur
[1] Wolfram Koepf Hypergeometric Summation. Vieweg 1998.
[2] Marko Petkovšek, Herbert Wilf und
http://www.math.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.
Doron
Zeilberger
A=B.
[3] Manfred
Lehn
Wie
halte
ich
einen
Seminarvortrag?
http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag.