8. ¨Ubungsblatt - TU Berlin

Technische Universität Berlin
ADM I – Graphen und Netzwerkalgorithmen
Sommersemester 2008
Institut für Mathematik
Prof. Rolf H. Möhring
Felix König
Anika Frischwasser
Jannik Matuschke
Nils Vormum
8. Übungsblatt
Abgabe: Freitag, 13.6.2008, vor der Übung
Aufgabe 29
5 Punkte
Sei (G, u, c, b) eine zulässige Instanz des Min-Cost-Flow-Problems, wobei G ein zusammenhängender Digraph ist. Zeigt, dass es eine Optimallösung f gibt, so dass es im zugrundeliegenden ungerichteten Graphen von G einen Baum T gibt mit
f (e) ∈ {0, u(e)} ∀e ∈ E(G) \ E(T ).
Aufgabe 30
5 Punkte
Seien x und y zwei b-Flüsse in (G, u, b). Zeigt, dass x − y eine Zirkulation, d.h. ein b Fluss zu
b ≡ 0, in Gy ist. Negative Flusswerte werden dabei natürlicherweise als positiver Fluss auf der
Gegenkante interpretiert.
Aufgabe 31
5 Punkte
Betrachtet die folgede Instanz des Min-Cost-Flow-Problems. Die Zahlen an den Knoten bezeichnen b, die and den Kanten c. Beachte, dass c(e) ≥ 0 ∀e ∈ E. Für die Kapazitäten gelte u ≡ ∞.
a) Zeigt, dass
f ((1, 4)) = 11,
f ((3, 5)) = 11,
f ((1, 6)) = 9,
f ((3, 7)) = 14,
f ((2, 5)) = 2,
f (e) = 0 sonst
f ((2, 6)) = 8,
eine Optimallösung ist.
b) Gebt ein Beispiel für das so genannte More-for-less-Paradoxon an, indem ihr die Bedarfe
so verändert, dass die entstehende Instanz des MCFP einen Fluss mit in Summe größerem
Flusswert erlaubt, der geringere Kosten verursacht.
Aufgabe 32
5 Punkte
Ein Restaurant am Wiener Ernst-Happel-Stadion hat schon immer schlechte Erfahrungen mit
Fußballfans gemacht - mit jeder Minute, die sie auf die Bedienung warten müssen, fügen sie dem
Restaurant (oder wenigstens seinem Ruf) Schaden zu, sei es durch das Einritzen von Fan-Songs
ins Möbiliar oder durch lautes Gegröhle von Fußballliedern, welches die Anwohner in der Nähe gar
nicht gerne hören...
Gehen wir von folgenden Gegebenheiten aus: Das Restaurant hat k Kellner und f Tische, die
bedient werden müssen. Ein Kellner braucht exakt σ Minuten, um einen Tisch zu bedienen. Jeder
Kellner geht sequentiell, also Tisch für Tisch, vor und schließt die Bedienung eines Tisches ab, bevor
er den nächsten bedient. Zum gegenwärtigen Zeitpunkt wurde noch keiner der f Tische‘ bedient
und es trifft auch kein neuer Gast ein, bis nicht alle Tische bedient worden sind. Außerdem ist die
Anzahl der Tische durch die der Kellner teilbar, also fk ∈ N.
Über die Jahre hat der Geschäftsführer, ein irregeleiteter Diplom-Mathematiker, ein durchaus
beeindruckendes Geschick entwickelt, durch einen kurzen Blick auf eine Gruppe von Gästen an
einem Tisch f den durch die Gäste in Abhängigkeit von ihrer Wartezeit t zu erwartenden Schaden
als eine schwach monoton steigende Funktion cf (t) auszudrücken. Diese Fähigkeit würde er gerne
nutzen, um mit Hilfe von Min-Cost-Flow-Berechnungen den Schaden für das Restaurant während
der Fußball-Europameisterschaft zu minimieren. Wie könnte er das anstellen?
Programmieraufgabe 6 (Abnahme während einer der RBs am 16.06.2008):
Implementiert den Min-Mean-Cycle-Canceling-Algorithmus aus der Vorlesung. Verwendet dabei eure Implementation des Min-Mean-Cycle-Algorithmus aus Programmieraufgabe 3. Als Kosten
dienen bis auf Weiteres die Gewichte (getWeight/setWeight) der Kanten.