Kernphysik

Kernphysik
Prof. Jürgen Schnack
TEXed by Johnny
Bei Fragen oder Fehler: jbrinkro@techfak.
10. Februar 2013
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
1.1 Aufbau der Atomkerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Eigenschaften von Proton und Neutron . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Größe und Form der Atomkerne . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Einschub: Vielteilchenquantenmechanik . . . . . . . . . .
1.3.2 Einschub: Streuung und Rutherfordscher Streuquerschicht
1.4 Masse und Bindungsenergie der Atomkerne . . . . . . . . . . . .
1.5 Quantenzahlen des Kerns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Einschub: Gekoppelte Drehimpulse . . . . . . . . . . . .
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3
3
3
4
4
6
7
9
9
2 Radioaktivität
2.1 Zerfallsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Messgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Zerfallsgesetz, Zerfallsreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
13
14
14
3 Kernspaltung und Kernfusion
3.1 Kernspaltung . . . . . . . .
3.2 Transmutation . . . . . . . .
3.3 Kernfusion . . . . . . . . .
3.4 Nukleare Astrophysik . . . .
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16
16
19
19
20
4 Symmetrien und Erhaltungssätze
4.1 Symmetrien in der klassischen Mechanik .
4.2 Symmetrien in der Quantenmechanik . . .
4.2.1 Einschub: Symmetrien und Gruppen
4.3 Symmetrien in der Kernphysik? . . . . . .
4.4 PCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Parität . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Ladungskonjugation C . . . . . . .
4.4.3 Die Zeitumkehr . . . . . . . . . . .
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22
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26
28
28
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5 Kernmodelle
5.1 Vielteilchensysteme: Fermionen und Bosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Kanonisches Ensemble nichtwechselwirkender Fermionen oder Bosonen in eindim. harmonischen Oszillator
5.3 Besetzungszahldarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Großkanonisches Ensemble idealerQuantengase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Das ideale Fermigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Der Kern als Fermigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Das Schalenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Schalenmodell mit Spin-Bahn-Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9 Deformierte Einteilchenpotentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10 Die volle Lösung – erster Versuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11 Exotische Kerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12 Das Deuteron (2 H =d)
ˆ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
29
31
32
33
34
35
36
37
38
38
38
38
6 Neutronensterne
6.1 Eine kühne Extrapolation von Nicolas Borghini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Entstehung und Eigenschaften von Neutronensternen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
39
40
2
1 Einführung
1.1 Aufbau der Atomkerne
• Z Protonen
• N Neutronen
• A Nukleonen (A = Z + N)
Protonenzahl = el. Ladung; bestimmt den Elementnamen
• Z = 1 Wasserstoff (H)
• Z = 1 Helium (He)
• Z = 3 Lithium (Li)
• Z = 102 Nobelium (No)
• Z = 110 Darmstadtium (Ds)
• Z = 116 Livermorium (Lv)
113, 115, 117, 118 noch nicht benannt
neutrale Atome: Elektronenzahl = Protonenzahl, damit chem. Eigenschaften indirekt mitbestimmt
136
b 136 Xe
Neutronenzahl N gibt an, um welches Isotop eines Elementes es sich handelt. Bezeichnung: A
Z XN , z.B. 54 Xe82 =
Die wichtigsten Eigenschaften werden in der (karlsruher) Nuklidkarte aufgeführt.
Isotope: Nuklide mit gleichem Z
Isotone: Nuklide mit gleichem N
Isobare: Nuklide mit gleichem A
Spiegelkerne: (Z1 , N1 ) ↔ (Z2 =N1 , N2 =Z1 )
Isomere: Kerne in langlebigen angeregten Zuständen
1.2 Eigenschaften von Proton und Neutron
Masse
el. Ladung
Spin
gyromag. Faktor g
Stabilität freier Nukl.
Radius Ladungsvert.
Radius magn. Moment
Proton
1, 6726 · 10−27 kg = 938, 272 MeV
c2
+e0
Neutron
1, 6749 · 10−27 kg = 939, 566 MeV
c2
0
1
2
1
2
5,5856
T 12 > 1030 a
0, 81 ± 0, 1 fm
0, 8 ± 0, 03 fm
-3,8261
T 12 = 10, 3 ± 0, 1min n → p + e− + νe
0 ± 0, 1 fm
0, 79 ± 0, 15 fm
Warum gibt es stabile Kerne? Erklärung:
1. n → p + e− + ν e
2. Energie von p < Energie von n
3. Endzustand schon besitzt (Pauliprinzip)
Nukleonen, d.h. p & n, sind ausgedehnte Objekte und haben eine innere Struktur.
Proton: |Protoni =“ |uudi ; sym. im Ort, sym im Spin
”
sym. im flavour -Freiheitsgrad und antisym. im “ color“-Freiheitsgrad
”
”
Neutorn: |Neutroni = |Proton, aber u & d vertauschti =“ |ddui
”
Generation Leptonen
Quarks
I
e
νe
u
d
up/ down
II
µ
νµ
c
s
charm/ strange
Kurzübersicht Elementarteilchen:
III
τ
ντ
t
b
top/bottom
2
1
−e0
0
e
−
e
3 0
3 0
3
mn − mp = 1, 3 MeV
c2
Fermionen
µ = µN gs
Bem.: Quarks tragen Farbladung (color): rot, grün, blau
→ Hardronen
% Baryonen: farbneutral (r,g,b)
& Mesonen: (r,r), (g,g), (b,b)
Alle Elementarteilchen (Leptonen & Quarks) haben s = 12 und sind Fermionen.
Wechselwirkungen Austauschteilchen Reichweite
el-mag.
Photon γ
∞ 1r
schwach
W± , Z 0
kurz
Gluonen
kurz stark
Gravitation
Graviton?
∞ 1r
Die Austauschteilchen sind Bosonen.
Protonen & Neutronen sind zusammengesetzte Teilchen; es existieren angeregte Zustände.
Nukleonen liegen als p & n vor, Anregungen sind energetisch zu hoch!
1.3 Größe und Form der Atomkerne
Woher weiß man eigentlich, wie groß Atomkerne sind?
→ Streuexperimente
Überlegung:
1. Coulombabstoßung
2. sei b fest: Ekin ↑, dann ϑ ↓
3. sei Ekin fest: b ↓, dann ϑ ↑
Wenn jetzt ϑ fest → betrachte alle Kombinationen aus b & Ekin , die zum selben ϑ führen.
1
⇒ R ≈ 1, 2 fm A 3
Bem.:
• ϑ fest: ex. Zusammenhang zwischen Ekin und Stoßparameter b
• aus Abweichung von Rutherfordscher Streuformel kann auf Kerngröße geschlossen werden
• Exp. von Geiger Marxden, Rutherford und Chadwick
→ Atom hat kleinen kompakten Kern, der fast die gesammte Masse des Atoms trägt. Elektronen befinden sich in der
Hülle
1
Kernradius R ≈ 1, 2 fm A 3 , Volumen ist proportional zu A
→ Nukleon ist harte Kugel, Kern ist Packung (Kugel)
Die Dichteverteilung der Kerne ist aus (n- oder e− -) Streuexperimenten bekannt.
Die Dichteprofile können in guter Näherung durch folgende Funktionen
wiedergegeben werden:
)
r2
klein: A . 40 ρ(r) ∝ exp{− 2a
Gauß-Verteilung
2}
basiert auf keiner Theorie, sondern auf exp. Daten
groß: A & 40 ρ(r) ∝ 1+exp{1 r−R } Fermi-Verteilung
a
1.3.1 Einschub: Vielteilchenquantenmechanik
Wiederholung:
• Hilbertraum H, ONB {|ψn i}
P
• Zustände |ψi = n |ϕn i hϕn | ψi
• Observable O = O+
e
e
Bsp.: mittlerer Ort ~x = ψ ~x ψ mit hψ | ψi = 1
e
e
Wahrscheinlichkeitsdichte
ρ(~x) = h~x | ψi hψ | ~xi = ψ ∗ (x)ψ(x) = |ψ(x)|
4
2
Rx
Bsp.: 1-Dim P ([x1 , x2 ]) = x12 dxρ(x)
mittlerer Ort II: ~x = T r(~xρ) mit ρ = |ψi hψ|
e
ee
ρ Dichteoperator/ Dichtematrix:
ρ(~xe, ~x0 ) = h~x | ψi hψ | ~x0 i
D
E
D
2
2 E 2 2 2 2
e
Ausdehnung: ~x − ~x
= ~x2 − 2~x ~x + ~x
= ~x − 2 ~x + ~x = ~x2 − ~x
e
e
e
e e
e
e
e
e
e
e
q
2
Def.: r =
~x2 − ~x
e
e
Vielteilchen-QM
Bsp.: zwei Teilchen: Basis {|ϕk i ⊗ |ϕl i}
z.B. Einteilchenbasis ist ONB des harm. OSZ. |ni
P
→ Produktbasis{|ni ⊗ |ni}; allg. Zweiteilchenzustand: |ψi = m,n cnm |ni ⊗ |mi
→ Zustände leben in einem Produktraum H = H(1) ⊗ H(2)
Operatoren:
- es gibt Einteilchen-Op., die auf dem Einteilchenhilbertraum definiert sind
- es gibt Mehrteilchenop. (hauptsächlich Zweiteilchen), die auf Produkträumen definiert sind
p
~22
p
~21
p
~2
Bsp.: kin. Energie T = 2m
e 2 → Einteilchenop. t = 2m
e = t ⊗ 1 + 1 ⊗ t(+ . . . )
e 1 + 2m
e
e e e e
e
Bsp.: Sei |ψi = |ϕ1 i ⊗ |ϕ2 i
D E
ψ T ψ = (hψ1 | ⊗ hψ2 |) t ⊗ 1 + 1 ⊗ t (|ψ1 i ⊗ |ψ2 i)
e
e e e e
= (hψ1 | ⊗ hψ2 |) t ⊗ 1 (|ψ1 i ⊗ |ψ2 i) + (hψ1 | ⊗ hψ2 |) 1 ⊗ t (|ψ1 i ⊗ |ψ2 i)
D E D e e E D E D E
e eD E D E
= ψ1 t ψ1 ψ2 1 ψ2 + ψ1 1 ψ1 ψ2 t ψ2 = ψ1 t ψ1 + ψ2 t ψ2
{z
}
|
e
e
e
e
e
e
=1
Schwerpunkt: ~xcm =
e
~ cm = ψ ~xcm ψ
R
e
1
N
PN
xi
i=1 ~
e
=
1
x
N {~
e
⊗ 1 ⊗ 1 . . . 1 + 1 ⊗ ~x ⊗ 1 . . . 1 + . . . }
e e
e e e e
e
D P E
2
~ cm ψ
= ψ N1 i ~xi − R
Ausdehnung: rrms
e
Bem.:
. rrms misst Ausdehnung der Wahrscheinlichkeitsdichte
. wahre Dichte = Faltung aus WK-Dichte und Dichteprofil des Nukleons
2
2
⇒ rKern
= rrms
+ r2p
n
Dichten:
i Einteilchendichte h~x1 , ~x2 , . . . , ~xN | ψi = ψ(~x1 , ~x2 , . . . , ~xN )
ρ(1) (~x, ~x0 ) =
1
N
Z
d3 ~x2 . . . d3 ~xN h~x, ~x2 , . . . , ~xN | ψi hψ | ~x0 , ~x2 , . . . , ~xN i
Z
d3 ~x1 d3 ~x3 . . . d3 ~xN h~x1 , ~x, ~x3 , . . . , ~xN | ψi hψ | ~x1 , ~x0 , ~x3 , . . . , ~xN i
Z
3
3
0
+ · · · + d ~x1 . . . d ~xN −1 h~x1 , ~x2 , . . . , ~xN −1 , ~x | ψi hψ | ~x1 , ~x2 , . . . , ~xN −1 , ~x i
+
Wenn |ψi Produktzustand, d.h. |ψi = |ψ1 i ⊗ |ψ2 i ⊗ · · · ⊗ |ψN i
⇒ ρ(1) (~x, ~x0 ) =
1 X
h~x | ψi i hψi | ~x0 i
N i
5
N
1 X
ρ(1) =
|ψi i hψi |
N i=1
e
Z
d3 ~xρ(1) (~x, ~x) = 1
Wahrscheinlichkeitsdichte (ein Teilchen anzutreffen): ρ(1) (~x) = ρ(1) (~x, ~x)
ii
Zweiteilchendichte
ρ
(2)
2
(~x, ~y , ~x , ~y ) =
N (N − 1)
0
0
Z
d3 ~x3 . . . d3 ~xN h~x, ~y , ~x3 , . . . , ~xN | ψi hψ | ~x0 , ~y 0 , ~x3 , . . . , ~xN i + . . .
~x, ~y bzw. ~x0 , ~y 0 an den Positionen aller möglichen geordneter Paare}
Wenn |ψi = |ψ1 i ⊗ |ψ2 i ⊗ · · · ⊗ |ψN i
ρ(2) (~x, ~y , ~x0 , ~y 0 ) =
X
2
h~x, ~y | ψi ψj i hψi ψj | ~x0 , ~y 0 i
N (N − 1) i<j
|ψi ψj i = |ψi i ⊗ |ψj i h~x, ~y | ψi , ψj i = h~x, ψi | ~y , ψj i
ρ(2) (~x, ~y , ~x0 , ~y 0 )=ρ
b (2) (~x, ~y ) bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte, ein Teilchen bei ~y anzutreffen, wenn schon eins bei ~x
ist.
Bem.: ρ(2) (~x, ~y ) → ρ(2) (~
χ, ~xrel )
1.3.2 Einschub: Streuung und Rutherfordscher Streuquerschicht
Grundidee: Die einlaufenden Teilchen stellen eine homogene Stromdichte ~jin dar, d.h. homogen auf Längenskala der
Streuzentren.
Detektor: Der Detektor detektiert die Produkte unter einem Winkel ϑ im Abstand R.
Produkte:
1. elastische Streuung:
• Produkt: ursprüngliches, aber abgelenktes Teilchen
2. inelastische Streuung:
• Produkte= alle möglichen Reaktionsprokukte, z.B. auch neue Teilchen, Kernbruchstücke, oder ursprüngliches
Teilchen, aber mit Anregung des Kerns
Ziel: Man möchte quantitativ darstellen, wie viele Ereignisse unter einem Winkel ϑ eintreffen. Das ist eine relative
Größe, die auf die einfallende Stromdichte bezogen ist.
Def:
Differentielles Streuquerschnitt (Wirkungsquerschnitt)
Zahl der in das Raumwikelelement dΩ(ϑ, ϕ) gestreuten Teilchen pro Zeit (=Strom)
dδ
(ϑ) =
dΩ
einfallende Stromdichte
Bem: Einheit
Im Prinzip ist
dδ
dΩ
1
x
1
m2 s
= m2 , in der Kernphysik nutzt man Barn 1b = 10−28 m2 = 100f m
eine Fkt. von ϑ und ϕ, aber viele Streuprodukte sind Kugelsym., deshalb keine Abhängigkeit von ϕ
Relation einfallend: dNin = jin dA dt
Relation ausfallend: dNout = jout r2 dΩ dt
⇒
dδ
jout r2
(ϑ) =
dΩ
jin
6
Def: Totaler Wirkungsquerschnitt: δtot =
Rutherfordscher Streuquerschnitt
H
dδ
dΩ
dΩ
• dA = b db dϕ
• dNin = jin b dϕ db dt
• dA0 = −r2 sin ϑ dϑ dϕ
• dNout = −jout r2 sin ϑ dϑ dϕ dt
-“ von dϑ
db < 0, zu db > 0 gehört dϑ < 0
”
Streuung elastisch, d.h. u.a. Energie und Teilchenzahl erhalten
dNin = dNout ⇔ jin b db = −jout r2 sin ϑ dϑ
⇒
dδ
jout r2
b db
=
=−
dΩ
jin
sin ϑ dϑ
gilt für beliebige Wechselwirkungen!
dσ
b db
=−
dΩ
sin ϑ dϑ
jetzt: Streuung am Coulomb-Potential; (o.B.d.A.) Annahme, dass das Steuzentrum eine sehr viel größere Masse hat, sich
nicht bewegt und im Ursprung sitzt.
⇒
ZeZ 0 e ~r
F~ =
4π0 r2 r
• Anfangszustand: t → −∞ : ϕ = π, vy = 0
• Endzustand: t → +∞ : ϕ = ϑ, vout sin ϑ
Erhaltungssätze:
2
2
• Energie: 21 mvin
= 21 mvout
⇒ vin = vout = v
• Drehimpuls:
~ = m~r × ~v k ~ez
– L
– Lzin = mbv · (−1) Anfangszustand
– L = mR2 ω = mr(t) · r(t) ·
– ⇒
–
dvy
dϕ
dϕ
dt
= − rbv2
=
dvy dt
dt dϕ
• mit Newton 2:
• Fy = m
dvy
dt
=
d
~
dt p
=
dvy
dt
dϕ
dt
dϕ
dt
während der Streuung
0 2
ZZ e
= − 4π
sin ϕ
0 mbv
= F~
ZZ 0 e2
4π0 r 2
sin ϕ
Integrieren von ϕ = π bis ϕ = ϑ
ϑ
ZZ 0 e2
cos
ϕ
vy (ϕ = ϑ) − vy (ϕ = π) = v sin ϑ − 0 = + 4π
=
0 mbv
π
ZZ 0 e2
4π0 mbv (1
+ cosϑ)
ZZ 0 e2
ϑ
cot gesuchte Relation zwischen b und ϑ
2
4π0 mbv
2
2
dσ
1
ZZ 0 e2
1
⇒
=
4 Rotherford’sche Streuformel
dΩ
16 4π0 12 mv 2
sin ϑ
b=
2
1.4 Masse und Bindungsenergie der Atomkerne
Idee: gebundenes System hat geringere Energie als isolierte Konstituenten
Def.:
E B2 = Zmp + N mn − m(A, Z)
c
7
Bem.: evtl. vorhandene Elektronen korrigieren
• A=Z +N
• mp = Masse des Protons
• mn = Masse des Neutrons
• m(A, Z) Masse des Kerns
Massenbestimmung:
i Ablenkung in homogenen Magnetfeldern
~ F~ ⊥ ~v → |~v | =const (für ~v · ~ez = 0)
Lorenzkraft: F~ = q~v × B,
• → Kreisbahn
2
• → qvB = m vr ⇒ r =
mv
qB
ii Massen können relativ zu bekannten Massen bestimmt werden, wenn man z.B. in einer Reaktion die beteiligten
Energien kennt.
iii aktuell: Massenbestimmung in einer Penningfalle
- homogenes Magnetfeld
- el. Quadropolfeld
q
B → Massenbestimmung
- Teilchen führen oszillierende Bewegung aus wc m
Übersicht über die gemessenen Bindungsenergien
Bem.:
1.
EB
A
≈ 8 MeV für sehr viele Kerne
2. leichtes Maximum bei A ≈ 60
3.
A . 60 Fusion exotherm
A & 60 Spaltung exotherm
Struktur der Kerne: EAB größer als für Nachbarn mit N, Z = 20, 28, 50, 82, . . . ⇒ magische Zahlen
Tröpfchenmodell: gibt den generellen Trend wieder
Volumenenergie: cv · A mit cv > 0
- bedeutet, dass jedes Nukleon nur mit einer endlichen Zahl an Nachbarn wechselwirkt
(inkompressible Flüssigkeit)
2
Oberflächenenergie: −cs A 3
- Korrektur, denn Nukleonen an der Oberfläche haben weniger Nachbarn
Volumenenergie: cv · A mit cv > 0
Coulombenergie: −cc Z(Z−1)
1
A3
- Korrektur, da Protonen sich elektrostatisch abstoßen
• Paarungsenergie: cp δ
1
1
A2
• Nukleonen paaren sich gern zu Spin 0
• Asymmetrieenergie:
cv = av 1 − κ
cs = as 1 − κ
N −Z 2
A
N −Z 2
A
Idee: Nukleon-Nukleon-WW favorisiert Symmetrie zu Z und N (=
ˆ Isospin = 0)
8
Bem.:
• qualitative Beschreibung duch Bethe-Weizsäcker-Formel:
2
EB = cv A − cs A 3 − cc
• cv = av 1 − κ
N −Z 2
A
Z(Z − 1)
A
1
3
+
cp δ
1
A2
av = 15, 68 MeV
−Z 2
• cs = as 1 − κ NA
as = 18, 56 MeV
κ = 1, 79
cc = 0, 741 MeV
cp = 10, 28 MeV

 -1 (u,u)
0
für (u,g) Kerne
δ=

+1 (g,g)
Gebirge (Tal) der Stabilität
∂
!
EB (A, Z) = 0
∂z
A
⇒ ZGeb. ≈
2
1, 98 + 0, 15A 3
Bem.:
• Flüßigkeits- (Tröpfchen-) Modell darf nicht zu wörtlich genommen werden
• Kerne sind quantenmechanische Objekte
• Teilchen haben Abstand r0
• mittlere freie Weglänge ∼ O(r0 )
• Nukleonen haben Abstand ∼ 2 fm > r0
• mittlere freie Weglänge > Kern, da Fermionen (Pauliprinzip)
1.5 Quantenzahlen des Kerns
1.5.1 Einschub: Gekoppelte Drehimpulse
Bem.:
• Protonen und Neutronen tragen Spin (= 21 )
• Kern trägt Gesamtspin, der sich aus Einzelspins ergibt.
Wiederholung:
• Spin ~s und Bahndrehimpuls ~l sind Drehimpulsoperatoren
e
e
[sx , sy ] = i~sz und zyklisch
e e
e
[sk , sl ] = i~klm sm
e e
e
→ [sj , ~s2 ] = 0
e e
Für Kernkommutierende Op. ex. gemeinsame Eigenbasis
wähle ~s2 und sz
e
e
9
~s2 |smi = ~s(s + 1) |smi ; s = 0, 12 , 1, 32 , . . .
e
sz |smi = ~m |smi ,m = −s, −s + 1, . . . , s − 1, s
e
• Dimension des Hilbertraumes für einen Spin s: dim H = 2s + 1
• weiter
p
p
– s+ |smi = (s − m)(s + m + 1) |s (m + 1)i = s(s + 1) − m(m + 1) |s (m + 1)i
e
p
p
– s− |smi = (s + m)(s − m + 1) |s (m − 1)i = s(s + 1) − m(m − 1) |s (m − 1)i
e
Behandlung mehrerer Spins:
i.
2 Spins s =
1
2
: ONB: {|s1 m1 i ⊗ |s2 m2 i} = {|++i , |+−i , |−+i , |−−i}
Gesamtspin: ~s = ~s1 ⊗ ~s2 = ~s ⊗ 1 + 1 ⊗ ~s
e e
e
e
e
Def.:
~s2 |SM i = ~2 S(S + 1) |SM i
Satz: ohne Beweis: ~s ist ein Drehimpulsoperator ⇒ ez
s |SM i = ~M |SM i
e
e
X
|SM i =
|s1 m1 ; s2 m2 i hs1 m1 ; s2 m2 | SM i
m1 m2
gilt sz = sz1 + sz2
e
e
e
X
sz |SM i =~M |SM i = (sz1 + sz2 )
|s1 m1 ; s2 m2 i hs1 m1 ; s2 m2 | SM i
e
e
e m1 m2
X
X
=
~(m1 + m2 ) |s1 m1 ; s2 m2 i hs1 m1 ; s2 m2 | SM i = Vorfaktor ·
. . . , da EZ
m1 m2
⇒M = m1 + m2 , bzw. hs1 m1 ; s2 m2 | SM i = 0 für M 6= m1 + m2
Damit
|S M i
|1 1i = |++i
|1 -1i = |−−i
1
s− |1 1i → |1 0i = √ (|+−i + |−+i)
2
e
1
|0 0i = √ (|+−i − |−+i) ⊥ zu allen anderen
2
ii. allgemein: kopple zwei Spins s1 & s2 zu S
|s1 − s2 | ≤ S ≤ s1 + s2 bedeutet, dass die möglichen S-Werte S = |s1 − s2 |, |s1 − s2 | + 1, . . . , (s1 + s2 ) − 1, (S1 + s2 );
jeder S-Wert kommt nur einmal vor
Bem.:
1. s1 = s2 = 21 ; S = 0, 1
2. s1 = 52 , s2 = 1; S = 32 , 52 ,
Satz
|SM ; s1 s2 i =
P
m1 m2
7
2
|s1 m1 ; s2 m2 i hs1 m1 ; s2 m2 | SM ; s1 s2 i
|
{z
}
Glebsch-Gordan-Koeff
Satz
hs1 m1 ; s2 m2 | SM ; s1 s2 i = 0 für M 6= m1 + m2
iii. Kopplung mehrerer Spins: sukzessiv!
10
~
Bsp.: 4 Spins: ~s1 + ~s2 → ~s12 , ~s12 + ~s3 → ~s123 , ~s123 + ~s4 → S
e
e
e e
e
e
e ~ e
e
alternativ: ~s1 + ~s2 → ~s12 , ~s3 + ~s4 → ~s34 , ~s12 + ~s34 → S
e1 e
e e
e
e e
e
e
3 Spins s =
+1
0→
1+1→ 1→
1*

 0
1*

2
*=
ˆ Multiplizität=3

 1*
2
2→

3
Effektive Wechselwirkung zwischen Spins
a)
i
−2J
−J h ~ 2
~ = ~s1 + ~s2
− ~s1 − ~s2 S
H = 2 ~s1 · ~s2 = 2 S
~ e e
~ e
e
e
e e
e
e
E = −J [S(S + 1) − s1 (s1 + 1) − s2 (s2 + 1)]
Bem.: wenn J < 0, dann minimales S Grundzst.
b)
2J H = − 2 ~s1 · ~s2 + ~s2 · ~s3 + ~s3 · ~s4 + ~s4 · ~s1 + ~s2 · ~s4 + ~s1 · ~s3
~ e e
e
e e
e e
e e
e e
e e
c)
X Jij
H = −2
~si · ~sj
~2 e e
e
i<j
Wie lautet jetzt die Einteilchenwellenfunktion eines Nukleons?
|ψi =
X
cαm |ϕα i ⊗ |smi s =
α,m
1
2
|ϕα i : ONB im HR in dem ~x und p~ def. und |smi : ONB im Spin-Hilbertraum
e
e
Proton und Neutron werden im Isospin-Formalismus
beschrieben
Def.:
Isospin Drehimpulsoperator ~τ
e
1
~τ 2 |τ mτ i = ~2 τ (τ + 1) |τ mτ i für Nukleonen (p, n) τ =
2
e
Damit
1
1
1
~τ z |τ mτ i = ~mτ |τ mτ i für Nukleonen (p, n) τ =
mτ = Proton; mτ = − Neutron
2
2
2
e
X
|ψi =
cα,ms ,mτ |ϕα i ⊗ |sms i ⊗ |τ mτ i
α,ms ,mτ
Im Allg. beschreiben diese Zst. Superpositionen von Protonen und Neutronen, vgl:
1 1
1
1
1
1
1
1
1
|τ = 0, mτ = 0i = √
τ = , mτ =
⊗ τ = , mτ = −
− τ = , mτ = −
⊗ τ = , mτ =
2
2
2
2
2
2
2
2
2 1. Drehimpuls des Kerns
Wiederholung: gute Quantenzahl: zugehöriger Operator vertauscht mit H
e
11
Bsp.:
• Wasserstoff:
– [lj , H ] = 0 → l und ml gute QZ
e e
– [sj , H ] = 0 → s und ms gute QZ
e e
• wenn H Spin-Bahn-Kopplung enthält: ~l · ~s, dann sind ml & ms keine Guten QZ
e
e e
Möglichkeit: ~j = ~l + ~s → j, mj , l, s gute QZ
e e e
im Kern analog: Bahndrehimpuls und Spin ergeben Gesamtdrehimpuls; dieser ist gute QZ
~
~
L
S
~ µ
~ s = gs µN e~
Mit Gesamtdrehimpuls ist magnetisches Moment verbunden: H = −~
µ · B;
~ L = gL µN e~ ; µ
e
e
e
e
e~
= 3, 15 · 10−14 MeV
µN = 2m
T Kernmagneten
pc
Bem.: Bsp: Zweiniveausystem mit mj = ± 21 ∆E ∝ B → resonante Übergänge bei w = wr
Resonanzexp.: NMR (nuclear magnetic resonance)
→ Bestimmung von Kerneigenschaften (Spektrum, Dipolmoment, . . . )
→ Bestimmung lokaler Magnetfelder, d.h. z.B. der chem. Zusammensetzung; Kernspinresonanztomographie
aber: WW favorisiert S = 0 bzw. J = 0; muss NMR-aktive Kerne finden
2. Parität: P : ~x → −~x; P 2 = 1, Eigenwerte ±1
e
e
+1=
ˆ gerade Fkt.: f (−~x) = f (~x)
−1=
ˆ ungerade Fkt.: f (−~x) = −f (~x)
Parität ist gute QZ für Kerne (wenn man von schwacher WW absieht)
Bsp.:
11
B: Jπ =
3−
2 ,T
=
3
2
3. Elektirsche und magnetische Momente
Idee: Kerne enthalten Ladungsverteilung und Verteilung magn. Momente
resultierende el.stat + mag. Felder lassen sich nach Multipolen charakterisieren (s. Theorie I)
Satz: Kugelsym. Kerne haben keine höheren elektr. Multipole
Bei deformierten Kerne gibt es höhere Momente (insbesondere Quadropol)
→ daraus kann man auf Kerndeformation und Kernmodelle schließen
→ Diskus“ = oblate; Zigarre“= prolat
”
”
2 Radioaktivität
Def.: Radioaktivität: lat., Strahlungsaktivität. Eigenschaft instabiler Atomkerne, sich spontan, d.h. exotherm, umzuwandeln. Energie wird in Form von Teilchen oder el.-mag. Strahlung (γ) abgegeben. Da E hoch → ionisierende Strahlung.
Begriffe:
• radioaktive Substanz: Stoff, der die instabilen Atomkerne enthält
• radioaktive Strahlung: populär, aber falsch, da Strahlung nicht radioaktiv, sondern ionisierend
• radioaktiver Zerfall: bezieht sich auf Ausgangsstoff, der abnimmt
Zerfallsgesetz:
bzw. -rate
d
dt N
= −λN , N (t)=
ˆ Zahl der vorliegenden, d.h. noch nicht zerfallenen Kerne λ=
ˆ Zerfallskonstante,
⇒ N (t) = N0 e−λt , N0 = N (t = 0)
Bem.:
• stochastischer Prozess
• im wesentlichen von äußeren Einflüssen unbeeinflusst (T, B, P, . . . ) → Energieskalen
12
2.1 Zerfallsarten
a) β-Zerfall
β− :
A
Z XN
+
A
Z XN
→
A
Z+1 YN −1
−
+ e− + νe
A
Z−1 YN +1
+
+ e+ + νe
(n → p + e + νe )
β :
→
(p → n + e + νe )
→ β-Zerfälle erfolgen entlang von Isobaren.
wegen Paarungsenergie gibt es 2 Fälle
• A ungerade (δ = 0)
→ nur 1 stabiles Isobar
• A gerade
→ (n, n) instabil, 4 Ausnahmen
→ mehrere stabile (g, g)-Isobare
b) Elektroneneinfang
Bem.:
im Konkurrenz zu β + ; auch mgl. für 0 ≤ ∆E ≤ 2me c2 , da Einfang eines schon vorhandenen e− aus Hülle
A
Z XN
+ e− →
A
Z−1 YN +1
+ νe
→ tritt häufiger bei schweren Kernen auf.
c) α-Zerfall
A
Z XN
→
A−4
Z−2 YN −2
+ 4 He
Frage: Warum passiert das überhaupt? Warum kommen die Nukleonen nicht einzeln?
Antwort: BILD Potentialtopf
1. v =
ˆ eff. Einnukleonenpotential
-Nukleonen haben nicht genügend Energie, um den Kern zu verlassen
4
2. Wenn
3.
EB
A
<
EBHe
A ,
dann lohnt Bildung eines 4 He=α
ˆ im Kern
- V eff. Potential für 1α
- α kann durch den Coulomb-Wall tunneln
d) weitere (nicht so häufige Zerfälle)
• doppelter Betazerfall: A
Z XN →
A
Z+2 YN −2
+ 2e− + 2νe
– tritt manchmal auf, wenn einfacher β-Zerfall energetisch nicht möglich
– interessant: Vermutung, dass es neutrinolose doppelte β-Zerfälle geben könnte. Möglich, wenn Neutrino sein
eigenes Antiteilchen wäre. Solche Teilchen heißen Magorana-Teilchen. Noch nicht gefunden!
• doppelter Elektroneneinfang
• γ-Zerfall:
A ∗
Z XN
→
A
Z XN
+γ
| {z }
angeregter Kern
angeregter Kern ist oft selbst Produkt eines Zerfalls
∗
• innere Konversion: A
Z XN →
A +
Z XN
+ e− durch Anregungsenergie e− aus Hülle
• spontane Nukleonenemission
A
Z XN
A
Z XN
→
→
A−1
1
Z−1 YN +1 p
A−1
YN −1 +10
Z
n
• spontane Spaltung:
A1
A2 0
A
1
Z XN → Z1 YN1 + Z2 YN2 + x · 0 n
Man unterscheidet qualitativ symmetrische und asymmetrische Spaltung. Sym ⇒ etwa gleich groß
13
2.2 Messgrößen
1. Aktivität
Def.: A: Anzahl der Zerfälle pro Zeiteinheit
Einheit. Bq=Bacquerel=s−1
−λt
= A0 e−λt
A = dN
dt = λN = λN0 e
extensiv, d.h. proportional zur Menge
2. Energiedosis
dE
Def.: D = dm
=
1 dE
δ dV
• am Masse des Absorbers abgegebene Energie
• abhängig vom Absorbermaterial, d.h. Angabe von D ohne Angabe des Materials sinnlos
J
Einheit = Gy = Gray = kg
J
Bsp.: Luft D ∝ 35 kg ; diese Energie wird absorbiert, in dem Luftmoleküle ionisiert werden; sie ist deshalb proportional zur Ionendosis
3. Ionendosis
dQ
dQ
= 1δ dV
, durch Ionisation erzeugte Ladungen eines Vorzeichens pro Masse
Def.: J = dm
Bem.: Meßgeräte Ionisationskammer, Zählrohr, Stabdosismeter
As
Einheit: Bq
D =f ·J
Bsp.: Luft: f = 35 Gy
c
kg
durchschnittliche Energie für Bildung eines Ionenpaares = 35eV → Energie für 1C → 35J
C
J = 1 kg
=D
ˆ = f · J = 35Gy
biologisches Weichgewebe bzw. wässrige Lösung f = 37 Gy
c
kg
4. Äquivalentdosis
Def.: H = Q · D; durch ionisierende Strahlung aufgenommene Energie pro Masse.
Q=
ˆ Qualitätsfaktor; modelliert die relative biologische Wirksamkeit
J
Einheit: Sv = Sievert = kg
Bem.:
• von D, J und H gibt es auch die Zeitableitungen: Dosisleistung
Strahlenbelastung =
ˆ natürliche Strahlenbelastung
•
222
Rn : 1, 1 mSv
a
• terrestrische Str.: 0, 4 mSv
a (γ : T h, U,
40
K)
• kosmische Str.: 0, 3 mSv
a (Sonnenwind: p & α, galaktische: Ionen, extragal. p, α)
• rad. Stoffe in der Nahrung 0, 3 mSv
a
2.3 Zerfallsgesetz, Zerfallsreihen
.
• Zerfallsgesetz: N = −λN → N (t) = N (0)eλt (wird nicht gemessen)
.
• gemessen: A = −N = λN → A(t) = A(0)e−λt
Bem.:
.
– A = −N stimmt nur bei einem Zerfall
.
– bei Zerfallskette: A → B → C : N B =
−λB NB
| {z
}
nur das ist Aktivität
Def.: Halbwertszeit: T 21 = t für
T 12 = lnλ2
N (0)
2
= N (0)e−λt
14
+λA NA
Def.: mittlere Lebensdauer: Zeit, die die Kerne im Mittel leben“ τ = λ1
”
Herleitung: Zur Zeit t zerfallen dN = λN dt Kerne, die haben bis t überlebt. Gewichte Lebensdauer mit Zahl der Kerne,
die bis dahin überlebt haben.
t(0) = 0, t(N0 ) = ∞
R N0
τ = R0N0
tdN
0
dN
=
1
N0
Z
t(N0 )
t · λN dt =
t(0)
1
N0 λ
N0
Z
∞
te−λt dt =
0
1
λ
Bem.:
• Zerfallsgesetz ist exp. Befund
• auf Seiten der Theorie müssen folgende Annahmen gemacht werden:
a) Wahrscheinlichkeit, dass Kern in einem Zeitintervall zerfällt ist unabhängig davon, wie lange er vorher schon
nicht zerfalls ist. Er ist stehts, wie neu“, vgl. Lotto, Würfeln
”
b) Zerfälle mehrerer Kerne statischtisch unabhängig
⇒ N (t) ist mittlere Zahl an Kernen zur Zeit t
Zerfallskanäle: Kern zerfällt alternativ in Töchter T1 , T2 , · · · → dN =
P
i
λi N dt
T1
Bsp.:
K
T1
P
Bem.: Beobachtet man zur einem Kanal, so bestimmt man trotzdem λ = i λi , da Aktivität proportional zu N und N
über alle Kanäle zerfällt
Ai (t1 )
λi N (t1 )
=
= e−λ(t1 −t2 )
Ai (t2 )
λi N (t2 )
λ
λ
Zerfallsreihen Sei:
N1 →1 N2 →2 N3 → . . . Nk
.
Ratengleichung: N i = λi−1 Ni−1 + λi Ni , λ0 = c
Lsg.:
N1 = c11 e−λ1 t
N2 = c21 e−λ1 t + c22 e−λ2 t
..
.
Nk = ck1 e−λ1 t + ck2 e−λ2 t + · · · + ckk e−λk t , λk = 0
.
Bsp.: N2 = −c21 λ1 e−λ1 t − c22 λ2 e−λ2 t = λ1 N1 − λ2 N2 = λ1 c11 e−λ1 t + λ2 c21 e−λ2 t − λ2 c22 e−λ2 t
1
→ −c21 λ1 = c11 λ1 − c22 λ2 → c21 = c11 λ2λ−λ
1
c11 & c22 durch Anfangsbed. bei t = 0
allg. Rekursionsformel:
cij = ci−1,j
λi−1
für i > j
λi − λj
cii aus Anfangsbed. bei t = 0
.
Produktion künstlicher radioaktiver Substanzen sei N = −λN +
P
|{z}
Produktionsrate
Bsp.: M o aus U für T c-Molken
t = 0 : N (0) = 0, p = const ⇒ N (t) = Pλ 1 − e−λt
Bei der Prokuktion lohnt es nicht, mehr als ein paar λ1 zu warten, da nur noch kleiner Zuwachs
Natürliche Zerfallsreihen
15
Bem.:
• schwere Elemente (jenseits des F e) sind in Supernovaexplosionen entstanden
• nur wenige radioaktive Isotope haben ausreichend lange Halbwertszeiten, um heute noch vorzuliegen
• schwere Kerne: α-Zerfall: A → A − 4, β-Zerfall: A → A
⇒ Zerfallsreihen: A = 4n + s, s = 0, 1, 2, 3
A
Reihe
Mutterkern
T 12
232
4n
Thorium
Th
1, 4 · 1010 a
237
4n + 1 Neptunium
Np
2, 14 · 106 a
238
Uranium
U
4, 47 · 109 a
4n + 2
235
4n + 3
Aktinium
7, 04 · 108 a
U
← ausgestorben“
”
Altersbestimmung mit radioaktiven Isotopen
Idee: Zusammensetzung aus Mutter- und Tochteranteilen zum Entstehungszeitpunkt wird als bekannt vorrausgesetzt.
Minerale:
• bei Entstehung chemische Trennung von Mutter- und Tochterkernen
• Entstehung der Mineralien schnell im Vergleich zur Bildung der Tochterkerne
N2 (t) = N1 (0) − N1 (0)e−λt = N1 (0) 1 − e−λt = N1 (t) eλt − 1
N2 (t)
λt
N1 (t) = e − 1 → t
Bem.:
• Genauigkeit am höchsten für λt ∼ 1
• wähle günstiges Isotop
Radiocarbonmethode
1. In der Atomsqhäre wird durch kosmische Strahlung ständig 14 C gebildet:
14
N (n, p)14 C =
ˆ 14 N + n → 14 C + p
2.
14
C zerfällt mit T 12 = 5730a :
14
C→
14
N + β − + µe
3. Es stellt sich Gleichgewicht ein:
• bis 1950:
N (14 C)
N (12 C)
≈ 1, 5 · 10−12
• danach: ∼ 3 · 10−12 durch Kernwaffenexplosionen
• inzwischen fast auf normal abgeklungen (durch industriellen CO2 -Ausstoß?)
4. Der lebende Organismus nimmt C im Gleichgewichtskonzentration auf. Nach Absterben wird kein C mehr
zugeführt, und 14 C zerfällt nur noch. Aus dem aktuellen Verhältnis kann auf das Alter geschlossen werden.
5. Funktioniert bis etwa 30000a.
3 Kernspaltung und Kernfusion
3.1 Kernspaltung
Satz: Bei der Kernspaltung wird die neutroninduzierte Spaltung genutzt.
235
92 U
+n→
236 ∗
92 U
→
→
→
16
96
36 Kr +
95
37 Rb +
92
38 Rb +
136
56 Ba + 4n
139
55 Cs + 2n
141
54 Xe + 3n
a
96
36 Kr
−→
188ms 96
96
37 Rb −→ 38 Sr
1s
−→
96
39 Y
6s
−→
96
40 Zr
24,4s 95
10,3m 95
34,9d 95
377ms 95
64d 95
95
37 Rb −→ 38 Sr −→ 38 Y −→ 40 Zr −→ 41 N b −→ 42 M o
2,7h 92
3,5h 92
92
38 Sr −→ 38 Y −→ 40 Zr
3,9m 139
83m 139
139
55 Cs −→ 56 Ba −→ 57 La
1,7s 141
24,9s 141
18,3m 141
3,9h 141
32,5d 141
141
54 Xe −→ 55 Cs −→ 56 Ba −→ 57 La −→ 58 Ce −→ 59 P r
Bem.:
• nutzbare Energie =
ˆ kinetische Energie der Spaltprodukte & γ-Quanten, die in Wärme umgewandelt werden
• nicht nutzbare Energie: Neutrinos, da sie praktisch nicht wechselwirken und den Reaktor einfach verlassen
b
235
Energiebilanz der Spaltung von 235
U + n → f1∗ + f2∗ + ν · n + x · ν + Q
92 U :
1. kin. Energie der Spaltfragmente 167 ± 5 MeV
2. kin. Energie der Spaltungsneutronen 5 ± 0, 2 MeV
3. Prompte γ-Strahlung 8 ± 1, 5 MeV
4. Verzögerte γ-Strahlung aus Spaltfragmenten 6 ± 1 MeV
5. β-Strahlung der Spaltfragmente 6 ± 1 MeV
6. kin. Energie der ν e 12 ± 2, 5 MeV
P
: Q = 204 ± 6 MeV
⇒ nutzbar: Qn = Q − Qν e ≈ 192 MeV = 3, 08 · 10−11 Ws
⇒ 1 Watt =3,
ˆ 25 · 1010 Spaltungen/s
⇒ 1g Uran =2,
ˆ 55 · 1021 Atomkerne =22
ˆ MWh
Zum Vergleich: 22MWh bei Verbrennung von 2851kg Steinkohle oder 79198kg Braunkohle
Bem.:
• logisch, da Energieskala der Atomhülle ∼ eV; Energieskala der Kerne ∼ MeV → Faktor 1 Mio.
c
Kettenreaktion: 235 U + n → f1∗ + f2∗ + νn
Bem.:
• für Kettenreaktion muss ν > 1 (notwendig)
• aber: n gehen in anderen Reaktionen verloren; n treten aus dem Matreial aus
• Wirkungsquerschnitt für Spaltungs, ist abhängig von Energie der n; für 235 U thermische Neutronen günstig
Def.: thermische Neutronen: Ekin ∼ 32 kB TRaum ∼ 0, 04 eV (Raumtemp.)
E(kalte n) < E(thermische n) < E(schnelle n)
• Energieverteilung der Spaltneutronen
3 √
E
dN
√2 (kT ) 2
Ee− kT , kT ≈ 1, 29 MeV bei Spaltung
dE =
π
→ Neutronen aus Spaltung sind schnell!
→ Neutronen müssen im Reaktor abgebremst (moderiert) werden
Moderator soll möglichst wenig Neutronen absorbieren, aber gut abbremsen.
Moderator σabs (b) Bremslänge (schnell → thermisch)
H2 O
0,664
5,3cm
D2 O
0,001
11,2cm
Graphit
0,0045 19,1cm
17
• Spaltungsdynamik
1. Durch Neutronenaufnahme gewinnt Kern Anregungsenergie (bezogen auf den neuen Grundzustand) → Anregung von Schwingungen
2. A = Z + N ; wenn N ungerade, dann kann der Kern besonders gut thermische n aufnehmen und gewinnt
durch Paarungsenergie viel Anregungsenergie
3. für gerade N , z.B. in 238 U , bringen thermische n keinen Vorteil; hier könnten auch schnelle n genutzt werden
Def.:
gut spaltbar“ =
ˆ Wirkungsquerschnitt ≥ 100b
”
Bsp.: Spaltung durch th. n: σ( 241 Am) ∼ 3, 16b; σ( 241
94 P n) ∼ 1010b
Abschätzung für Anzahl der Spaltneutronen
ν(E) = ν0 + aE , E =
ˆ Energie des einlaufenden n
ν0
a(MeV−1 )
α = σγ
σf
233
92 U
235
92 U
239
94 P u
241
94 P u
2,49
0,131
0,093
2,41
0,136
0,17
2,9
0,127
0,37
2,94
?
0,4
σ
f
1
Neutronenvermehrung µ = ##Spaltneutronen
absorbierte n = ν · σf +σγ = ν 1+α
σf =
ˆ Wirkungsquer. für Spaltung
σf =
ˆ Wirkungsquer. für andere Reakt., haupts. Anregung mit γ-Emmission
Bem.:
• bei Reaktorkonstruktion spielt das Verhalten der Neutronen eine große Rolle → Vier-Faktor-Formel
Brutreaktoren
a
schneller Brüter; Idee: 235 U selten; wollen 238 U nutzen
n
239
Pu
n
f1∗
n
+
f2∗
n
239
238
U (n, γ) 239 U
239
β
−
Np
Pu
β−
Bem.:
• ohne Moderator, Kühlung mit flüssigem Natrium
• erzeugen Überschuss an Spalmaterial
• technisch sehr komplex
b
Thorium-Brüter
n
233
U
n
f1∗
n
+
f2∗
n
233
232
T h (n, γ) 233 T h
• Graphitmoderator
• Hochtemperaturreaktor (Heliumkühlung)
• geringe Brutraten
Bem.: Wirkungsgrad der Brutraten gut, da hohe Temp.
18
233
β
−
Pa
β−
U
3.2 Transmutation
Problem:
• radioaktiver Abfall aus Kernkraftwerken + Waffenkernbrennstoff langlebig
• Entsorgung/ Sicherheit problematisch
Idee:
• Reaktionen können beschleunigt werden durch Umwandlung in andere Isotope
• exotherm
• Carlo Rubbia, 1995
Bsp.:
X →Y + e− + ν e langsam
X + n →Z ∗ → Y 0 + e− + ν e schnell
Bem.: Brüten ist eine Art von Transmutation, z.B. 232 T h + n →
233
K Konzept:
• exotherm
• ∼ 15% der Energie für Betrieb
• Testanlage, 2023, Mol, Belgien + Projekt in USA
→ realist. Ziel pro Anlage: Vernichtung“ von etwa 250kg Ne, Ac, Pu,. . . pro Jahr
”
3.3 Kernfusion
Technisch Verwendbare Reaktionen:
d + d → 3 He + n + 3, 25MeV d=
ˆ 21 H1 =Deuterium
ˆ
d + t → 4 He + n + 17, 6MeV t=
ˆ 31 H2 =Tritium
ˆ
Bem.:
• zur Zündung müssen die Gase eine hohe Temp. erreichen, T ∼ (100 · · · 1000) · 106 K, da 109 K ∼ 100keV; eine
ausreichend hohe Dichte aufweisen, und diesen Zustand über eine ausreichend lange Zeit aufrecht erhalten
→ Lowson-Kriterium
i. Fusionsratendichte
Ndt = ρt · ρd · v · σdt mit ρt Dichte von t, ρd Dichte von d, v Ralativgeschw., σdt Wirkungsquerschnitt
ii. da v & σdt von T abhängig → benutze thermisches Mittel hvσdt i sei ρd = ρt =
1 2
Qdt ∼ 14MeV (E des Neutrons)
4 ρ hvσdt i · Qdt
ρ
2
⇒ Leistungsdichte Pdt =
iii. Verluste hauptsächlich über Röntgen- und Bremsstrahlung; hauptsächlich durch die e− im Plasma:
1
Pv = gk Ne2
Te2
|{z}
|{z} |{z}
Konst. Dichte Temp. der e−
iv. Verwurstung“ der Bilanzen ergibt
”
Satz: Lawson-Kriterium:
N ·
|{z}
τb
|{z}
Dichte Einschlusszeit
≥
3kB T
1
4
1
η
hvσdt i Qdt 1−η
− gb T 2
oft vereinfacht:
N · τb ≥
12kB T
hvσdt i Qdt
19
η =Wirkungsgrad
ˆ
Bsp.: T = 10keV∼ 108 K, η =
1
3
→ N τb ≥ 1020 ms3
Bem.:
• realistische Berücksichtigung erweiterer Verluste steigert N τb um mehrere Größenordnungen
Energiebilanz 1g d-t-Gemisch liefert ∼ 100MWh =12,
ˆ
3t SKE (1SKE =29,
ˆ
3MJ)
Technische Umsetzung
1. Tokamak (rus. Toroidale Kammer mit magn. Spulen)
Bem:
• Plasma sehr heiß, darf nicht mit Wand in Kontakt kommen → magnetischer Einschluss
• Magnetfelddesign wichtig, sonst instabil (Teilchen fliegen in den Wänden)
• Zufuhr von D & T als neutrale Atome, Ionisation im Plasma
• Aufheizen durch Hochfrequenz bzw. Kompression (innere Reibung des Plasmas wichtig!)
• Energieentnahme (Wärme) durch die Wand
Probleme:
• hohe Temperaturunterschiede: TPlasma ∼ 109 K, Tsupral. Spule ∼ 4 − 100K
• Neutronenkorrosion der Reaktorwände
2. Stellarator
Bem.:
• ähnlich Tokamak; kommt ohne Strom im Plasma aus → damit verbundene Instabilität treten nicht auf
• sehr kompliziertes Magnetfelddesign
→ WENDELSTEIN
3. Trägheitsfusion
Bem.:
• Oberfläche des Pellets verdampft explosionsartig
• kompression des d + t-Kerns
• T > 108 K wird erreicht
• t < 1ns, aber Dichte ausreichend hoch → Lauson-Kriterium erfüllt
• Pulsenergie: 5 · · · 10MJ, Aufheizzeit ∼ 20ns → PPuls ∼ 500TW = 5 · 1014 W
→ Höchstleisungslaser wie für SDI (Strategic Defense Initative): LLNL
Vorteil: Prozess stoppt sofort ohne Laser oder Pelletzufuhr
techn. Problem: Pellet muss gleichmäßig getroffen werden
3.4 Nukleare Astrophysik
a)
Massearme, d.h. sonnenähnliche Sterne
p + p → 2 H + e+ + νe
p + e− + p → 2 H + νe
2
H + p + γ → 3 He + γ
3
3
4
3
He + He → He + 2p + γ
He + p → 4 He + e+ + νe
3
4
7
He + He →
Be + γ
7
7
Be + e− → 7 Li + νe
Be + p → 8 B + γ
7
8
Li + p → 2 4 He + νe
B → 8 Be + e+ + νe
8
Be → 2 4 He
pp-Reaktionskette
netto: 4p → 4 He + 2e+ + 2νe + γ
Bem.:
T ≤ 2 · 107 K
Q = 26, 4MeV pro 4 He
20
b) Massenreiche Sterne, M > 1, 5 Sonnenmassen
CNO-Zyklus (Hans Behe & Carl Friedrich von Weizsäcker)
12
C
13
(p, γ)
N
13
β+
(p, α)
15
C
(p, γ)
N
15
β+
O
14
(p, γ)
N
(p, γ)
16
(p, α)
O
17
(p, γ)
F
17
β+
O
(p, γ)
(p, α + γ)
13
O
18
β+
F
T = (1, 5 . . . 3)107 K
C, N, O, F wirken als Katalysatoren
α=
ˆ 4 He entsteht an drei Stellen des Zyklus
weitere Sternenentwicklung
• wenn H verbraucht → Gravitationskollaps → T steigt auf (1 . . . 2) · 108 K
• dann 4 He + 4 He → 8 Be∗
• 8 Be∗ würde (für T <<MeV) in 10−16 s zerfallen, bei T ∼ 108 K liegt eine ausreichend hohe Gleichgewichtskonzentration vor
→ 4 He + 8 Be → 12 C ∗ : Bildung eines Compound-Kerns, der einer sogenannten Resonanz“ entspricht (Wirkungs”
querschnitt hoch)
→ (a) 12 C ∗ zerfällt in den Ausgangszst.
(b) 12 C ∗ → 12 C + 2γ + 7, 37keV
→ netto: 4 He-Verbrennung
C & O werden gebildet
• Elemente in der Umgebung“ von C & O werden durch p- oder α-Einfang gebildet: N, F, N e
”
• nach He-Brennen erneuter Kollaps: T steigt auf (6 · · · 7) · 108 K
12
C + 12 C → 20 N e + α
23
Na + p
23
Mg + n
24
Mg + γ
16
O + 2α
• ab T ∼ 109 K: 16 O +
16
O → { 24 M g,
28
Si,
31
P,
31
S,
32
S}
• oberhalb T ∼ 1, 3 · 109 K Kernphotoprozesse, z.B. 20 N e (γ, α) 16 O + Absorption der Bruckstücke
→ alle Elemente bis F e können gebildet werden
• oberhalb F e: Neutroneneinfangprozesse + β − Zerfälle
s-Prozesse: slow, Neutroneneinfang langsamer als der β-Zerfall
r-Prozess: rapid, Neutroneneinfang schneller als β-Zerfall → Bildung der neutronenreiche Kerne
Nachtrag
1. Lebensdauer der Sterne hängt stark von Masse ab M ↑→ T ↓, Sonne:T ∼ 1010 a, M M0 : T &∼ 106 a
2. Elementsynthese ex. auch p-Prozess, Produktion von protonenreichen Kernen durch γ-induzierten Aufbruch schwererer Kerne, hauptsächlich in Supernovae II
21
4 Symmetrien und Erhaltungssätze
4.1 Symmetrien in der klassischen Mechanik
Satz: Erhaltungssätze
1. Homogenität der Zeit: Lagrangefkt. hängt nicht explizit von der Zeit ab → Gesamtenergie konstant
Bsp.:
a) alle fundamentalen WW auf menschlichen Zeitskalen
b) H = gµB ~sB(t); d.h. zeitabh. Feld → keine Energieerhaltung des Systems, an das das Feld angreift
e
e
2. Homogenität des Raumes: Lagrangefkt. invariant unter Parallelverschiebung im Raum → Gesamtimpuls =
ˆ Schwerpunktsimpuls erhalten
Bsp.:
a) fundamentale WW (i.d.R.)P
Zweiteilchenwechselwirkung, die vom Relativabstand abhängen → invariant unter
Parallelverschiebung V ∼ k<l f (~rk − ~rl )
b) äußere Einteilchenpotentiale V (r) brechen die Translationsinvarianz, z.B. V = 12 mω 2~r2
3. Isotropie des Raumes: Lagrangefkt. invariant unter globalen Drehungen (alle zusammen) → Gesamtdrehimpuls
konstant
Bsp.:
~ erhalten;
a) wennP
Zweiteilchen-WW nur vom Betrag des Relativabstandes abhängt → L
V ∼ k<l g(|~rk − r~l |)
b) äußere nicht isotrope Potentiale
Streuprozesse: A+B → B +D; typische Annahme, dass WW kurzreichweitig (vorsicht bei Coulomb) → Energie besteht
nur aus kinetischer und Ruheenergie
Relativistisch: E 2 = (pc)2 + (mc2 )2 , mit p = |~
p| Impuls und m Ruhemasse
p
~2
Nichtrelativistisch: E = mc2 + 2m
→ in Kernphysik oft ausreichend
→ mA c2 + TA + mB c2 + TB = mc cr + Tc + mD c2 + TD ; T =
p
~2
2m
Def: Q-Wert Q = (mA + mB − mC − mD ) = TC + TD − TA − TB
Q > 0 exotherm
Q < 0 endotherm
Q = 0 elastische Streuung
Satz: Energie und Impulserhaltung gelten in jedem Inertialsystem
1. Laborsystem
• im Laborsystem ruht das Target
• Bsp.: Linearbeschleuniger schießt auf Folie
2. Schwerpunktssystem
Schwerpunkt ruht im Ursprung
Bsp.:
1. e+ -e− -Collider
• bei gleichen Geschwindigkeiten erfolgt Zusammenstoß im ruhenden Schwerpunkt
2. Zerfall A → C + D mit A ruhend, dann ruht Schwerpunkt auch
~ M ), (~r, µ)
Transformation: (~rA , mA ), (~rB , mB ) → (R,
~ = mA~rA + mB ~rB , M = mA + mB
R
mA + mB
mA · mB
~r = ~rA − ~rB , µ =
mA + mB
22
Schwerpunktsimpuls
.
.
.
~ = mA~rA + mB ~rB
P~ = M · R
Relationsimpuls
.
.
.
µ~r = µ(~rA − ~rB ) = µ
→T =
p~B
p~A
−
mA
mB
=
mB p~A − mA p~B
mA + mB
.2
.2
1
1
1 ~. 2 1 . 2
mA~rA + mB ~rB = M R
+ µ~r
2
2
2
2
Bem.:
• kin. E. des Schwerpunktes für Reaktion nicht nutzbar
→ Linearbeschleuniger verschwendet“ Schwerpunktsenergie
”
→ Collider!
Hamilton-Formalismus qν (t), pν (t)
sei B = B(q, p)
X
X ∂B
∂B ∂H
∂B ∂H
∂B ∂H
Ḃ =
q̇ +
=
−
= {H, B}
∂qν
∂pν ∂qν
∂qν ∂pν
∂pν ∂qν
j
j
4.2 Symmetrien in der Quantenmechanik
|ψ(t)i sei B Operator, nicht explizit zeitabhängig:
e
E D Eo
E 1 n D d D
ψ(t) B ψ(t) =
− ψ H B ψ + ψ B H ψ
dt
i~
e
ee E
ee
i E
1 D 1 D h
=
ψ B H − H B ψ =
ψ B, H ψ
i~
i~
e e i e eE
e e
i D h
ψ H, B ψ
=
~
e e
Satz: für nicht explizit zeitabhängiges B H , B = 0 →
e e e
d
dt
ψ(t) B ψ(t) = 0 ∀ |ψi
e
Bsp.:
1. H =
e
p
~2j
PN
e
j=1 2m
alle 3N Impulskomponenten sind Erhaltungsgrößen → freie Bewegung
x x
pj , pj =0,
e e pxj , pxk =0,
e e
2. H =
e
→
p
~2j
PN
e
j+1 2m
P~ SP
|{z}
e
+
1
2
xk
k<l 2 mω (~
P
~
, L
e
e
x y
pj , pj = 0
e e pxj , pyk = 0
e e
− ~xl )2
e
Gesamtimpuls Schwerpunkt
~ = P ~sk erhalten (alle drei Komponenten)
Jkl~sk · ~sl ⇒ S
k
e e
e
e
X
P
~ = B~ez → S
~2 & S
~z
~
4. H = −2 k<l Jkl~sk · ~sl + gµB B ·
~sk o.B.d.A. B
e
e e
e
e
e
k
| {z }
3. H = −2
e
P
k<l
B~
sz
e
23
4.2.1 Einschub: Symmetrien und Gruppen
Bem.:
• Gruppentheorie-mathematischer Apperat zur Betrachtung von Symmetrien
• Gruppen haben Elemente und eine Verknüpfung dazwischen, z.B. Drehungen und Hintereinanderausführung (Multiplikation)
• kontinuierliche Gruppen werden durch kontinuierlichen (∈ R) Parameter parametrisiert
Bsp.:
n − i ~a·~p o
GT = e ~ e
• Gruppe der Translationen im 3-dim. Raum (Verschiebung um ~a im Ort), abelsch, d.h. g1 g2 = g2 g1
n i ~o
L
GL = e− ~ ϕ~ ·e
• Gruppe der Drehungen im 3-dim Raum (um ϕ
~ ) nicht abelsch
• Lie-Gruppen kontinuierlich und diffbar nach Parameter
• Casimir-Operator: invariant unter Anwendung der Gruppenelemente
~ 2 für Drehgruppe
z.B. L
e
• Multiplett: Eigenraum eines Casimir-Operators zu einem Eigenwert,
z.B. a) {|l = a, m = 0i}, b) {|l = 1, m = 1i , |l = 1, m = 0i , |l = 1, m = −1i}
i
i
~
L
= 0 → dann H entartet auf Multiplett
H , e ~ ϕ~ ·e
e
e
• diskrete Symmetrien/ Gruppen: Spiegelung, Parität, Punktgruppen, . . .
Satz:
h
• Bem.: Drehoperationen nicht nur für räumliche Drehungen, sondern auch für Spin & Isospin
i
=
ˆ Generator der Symmetrieop.
• Generatoren: e− ~ αB
eB
e
4.3 Symmetrien in der Kernphysik?
a) Energie, Impuls, Drehimpuls
b) Isosin
Satz: Starke WW invariant unter Isospin-Rotation, d.h. [H s , ~t] = 0 Casimir-Op.: t2 , QZ=0, 12 , 1, 32 , . . .
e e
e
Bsp.:
p
=
• t = mt =
Isospin-Doublett
n

 

 1   π1 
0
π2
• t = 1, mt =
=
Isosin-Triplett, Pionen; π± =

 

−1
π3
1
2,
± 12
√1 (−π1
2
± iπ2 ); π 0 = π3
Bem.: Isospin und Ladung stehen in Zusammenhang → q = e(mt + 21 ) siehe p & n
c) elektrische Ladung
Satz: el.-mag. WW bricht Isospin-Symmetrie, erhält aber el. Ladung [H s + H em , ~t] 6= 0, aber [H s + H em , Q] = 0 mit
e
e
e
e
e
e
Q = e(t3 + 12 ) → [H s + H em , t3 ] = 0
e
e
e
e
e
Bsp.:
24
Satz: Gell-Mann-Nishijima-Relation:
y
q = e(mt + 12 y) = e(mt + 12 A + 21 S) A
S
=Hyperladung
= Baryonenzahl
=Strangeness
d) weitere diskrete Quantenzahlen
Satz: Baryonenzahl: Baryon 1, Antibaryon −1
Bsp.:
n→p+e− +ν e
1
1 0
0
nicht möglich:
n→π + +e− +ν e
1
Satz
0
0
0
Leptonenzahl: in jeder Generation separat Leptonen 1, Antilep. −1
Bsp.:
n→p+e− +ν e
0 1 −1
0
nicht möglich:
n→p+e−
0
0 1
n→p+e− +νe
0
0 1
1
n→p+e− +ν µ
0 1e −1µ
0
Bem.: Was ist mit Neutrinooszillationen zwischen ν-Generationen?
weitere Beispiele
π − →µ− +ν µ
0
1 −1
µ− →e− +ν e +νµ
1e −1e 1µ
1µ
γ→e− +e+
0
1 −1
Satz: Strangeness: s-quarks −1, Anti 1
Bsp.: p + p → Λ0 + K0 + p + π +
4.4 PCT
Bem.:
Parität P , Ladungsumkehr(-konjugation) C, Zeitumkehr T fundamental
25
4.4.1 Parität
Def:
Paritätsoperator P spiegelt Koordinatensystem am Ursprung
e
P : ~x → −~x, p~ → −~
p Vektoren
~e → L,
~ da L
~ = ~x × p~
L
axialer Vektor
~x2 → ~x2
Skalar
~
~
~x · L → −~x · L
Pseudoskalar
D E
QM: ~x p ϕ = h−~x | ϕi , p2 = 1 → Eigenwerte ± 1
e
e
Kugelflächenfkt: P |lmi = (−1)l |lmi
e
Streuung
P zweier Teilchen:
|ψi =
|ai ⊗ |bi ⊗ |ψRelativbewegung i {|ai , |bi} charakterisiert innere Freiheitsgrade (Spin, Isospin)
P |ai = πa |ai , πa =Eigenparität
ˆ
e
Def.:
π(Proton) = +1 Bezugspunkt
Bem.:
• weitere Eigenparitäten durch Reaktionen
• nicht eindeutig, deshalb:
Def.:
π(Neutron) = π(Proton)
Bsp.: πj = −1, π(w± ) = −1, π(z 0 ) = −1
Angabe J π , z.B. Grundzst. 4 He ist J π = o+
4.4.1.1 Paritätserhalung und -verletzung wenn [H , P ] 6= 0, dann ist ein Paritätseigenzst. nicht stationär
i
e e
·t
|ϕi wenn H |ϕi = E |ϕi stationär)
(U |ϕi = e− ~ H
e
e t = 0 |u(0)i = |geradeie
z.B.
i
t
e− ~ H
e |ψ(0)i = c(t) |geradei + d(t) |ungeradei
Idee: Bestimme dc durch Zerfall
Idee:
• 4 He haben Drehimpuls L
• muss zwei Gleichungen erfüllen Drehimpulskopplung und Parität
Bsp.: Annahme: L = 0 1 + 0 → 1
L = 1 1 + 1 → (0, 1, 2), P (−1)2 = −1
L = 2 1 + 2 → (1, 2, 3)
wenn man den Übergang trotzdem beobachtet, dann ist 1+“ gar kein 1+ sondern c · 1+ + d · 1−“, d.h. Parität nicht
”
”
erhalten
L=0 1+0→1
L = 1 1 + 1 → (0, 1, 2)
L = 2 1 + 2 → (1, 2, 3); (−1)L = 1 E
L = 3 1 + 3 → (2, 3, 4); (−1)L = −1!
2
⇒ |F |2 = dc ≤ 10−13 für die starke WW ≤ 10−9 für el-mag. WW
Bsp.:
Bem.:
• starke und el.-mag. WW respektieren Parität
26
Satz: In der schwachen Wechselwirkung ist die Parität nicht erhalten (Wu et. al., 1957) → Nobelpreis an Yang und Lee
Reaktion: 60 Co → 60 N i + e− + ν e
P
e −J~ · p~1
Idee: J~ · p~1 −→
Kann also äquivalent nur J~ (durch Magnetfeld) umklappen.
→ Für entgegengesetzte B-Feldrichtungen unterschiedliche zählraten
→ Verletzung der Paritätserhalung
technische Details:
M = −1
M =0
M =1
JCo = 1
H = −gµN BJ z , EZ |J = 1, M = {−1, 0, 1}i
!
e
e
X
−βH
βgµN BM
Z = Tr e e =
e
M
1
−βE1
2
Wdh: R = e−βH
+ eβE2
e −E2 Z = e
e
1
−βE1
−E1 U = T r(H R) = Z E1 e
+ E2 e−βE2 = E1 p1 + E2 p2
−βE1/2
ee
p 12 = e Z
Wahrscheinlichkeit für Besetzung eines Niveaus pM =
e
pM −1 =
e
Ziel:
T
B
gµN BM
kB T
gµN BM
kB T
+1+e
−gµN BM
kB T
e
gµN BM
kB T
Z
1
=
1+e
−gµN BM
kB T
+e
−2
gµN BM
kB T
sehr klein
Weg: adiabatische Magnetisierungskühlung (MCE)
B
Paramagnet (unabhängige Spins): Z = f ( B
T ) → S(T, B) = g( T ) S = konst →
B
T
= konst
4.4.1.2. Helizität der Leptonen
• man lernt:
i. Neutrinos sind vollständig polarisiert
Satz: Es gibt keine rechtshändige Neutrinos
→ Das ist die eigentliche Paritätsverletztung
Bem:
– Neutrinos müssen sich mit c bewegen, sonst ex. Inertialsystem, in dem p~ in entgegengesetzte Richtung zeigt!
– aber Neutrinooszillationen (νe ↔ νµ ) fordern mµ > 0 → Lichtgeschw. unmöglich E
ii. für weiterführende Studien
Def.: schwache Isospin I mit |I, IJ i = 21 12 = ν, 12 , − 21 = eL , L =links
e
Satz: linkshändige Leptonen (allg. Fermionen) bilden Doublets des schwachen Isospins und nehmen an der schwachen
WW teil. Die rechtshändigen z.B. eR , bilden Singlets und nehmen nicht an der schwachen WW teil. Alle nehmen
an der el.-mag. WW teil
• Da man mittels Lorenztransformation linkshändige Elektonen in rechtshändige transformieren kann, müssen el.mag. und schache WW zusammenhängen → elektroschwache WW
µSR: µuon spin votation, Vermessung interner Magnetfisierung
π+ →
µ+
|{z}
vollst. r.h. pol.
+
+
+
+ νµ
|{z}
linksh.
e entlang µ -Spin für max. Energie bei Dreiteilchenzerfall µ → e+ + νe + ν µ
27
4.4.2 Ladungskonjugation C
Def.: C |qi = |−qi, q = additive Quantenzahlen (el. Ladung, Baryonenzahl, Strangeness, . . . ) d.h. C Teilchen →
e
e
Antiteilchen
Bem.:
P
e νR , aber νR ex. nicht
• schwache WW verletzt Paritätserhalung: νL −→
C
e νL , aber νL ex. auch nicht, d.h. schwache WW erhält Ladungssym. ebenfalls nicht
• νL −→
CP
• Hoffung: νL −→ νR würde gehen
Satz: Eigenschaften von C
e
1. C 2 = 1
e
2. [C , Q] = 2C Q 6= 0 keine gemeinsamen Eigenzst. von Ladung und entgegengesetzte Ladung, außer für q = 0, dann
e e
e
Eigenwert
ηCe= ±1
⇒ ηC (γ) = −1, ηC (π 0 ) = 1 ⇒ 2γ, ηC (η 0 ) = 1, η 0 → 2γ
4.4.3 Die Zeitumkehr
Def.:
T:
e
t → −t, dt → −dt
~x → ~x
p~ → −~
p
~
J → −J~
Bem.: man spricht besser von Bewegungsumkehr
d
QM: Sei [H , T ] = 0, dann i~ dt
|ψ(t)i = H T |ψi
e
e
e e= hψ(−t)|
T |ψ(t)i = |ψ(−t)i ? NEIN, sondern T |ψi
e
e
in einer Darstellung sieht das so aus: T ψ (~x, t) = ψ ∗ (~x, −t)
e d
T macht aus Schrödingergleichung: −i~ dt
|ψ(t)i = |ψ(t)i H
e
e
Bem.:
• T ist antiunität: T (c1 ϕ1 + c2 ϕ2 ) = c∗1 T ϕ1 + c∗2 T ϕ2
e
e
e
e
• T hat keine Eigenwerte
e
• T ist genaugenommen kein Operator, der im Hilbertraum wirkt!
e
Satz: Zeitumkehrinvarianz kann experimentell überprüft werden
• Übergangswahrscheinlichkeiten für Hin- und Rückreaktion (detailed balance)
• Spin- 21 -Teilchen dürfen kein el. Dipolmoment haben
– Messung am Neutron ergibt, dass Verletzung ≤ 10−12
• Zeitumkehrinvarianz ist verletzt durch schwache WW (B-Mesonen)
Auswirkungen:
1. Das T CP -Theorem, d.h. [T C P , H ] = 0 ∀H , war uninteressant, solange man T , C , P einzeln für erhalten hielt
eee e
e
e e e
2. Wenn [T C P , H ] = 0, dann Massen und Lebensdauer zerfallender Teilchen und Antiteilchen gleich. Bester Test:
e e e e 0 m K 0 und m K unterscheiden sich in 14. Stelle
3. heutige Meinung: T C P -Invarianz gilt
eee
4. schwache WW verletzt Alles“, d.h. T , C , P . Warum? Nicht bekannt!
”
e e e
28
4.4.3.4. Grobe Erklärung zum el. Dipolmoment
• sihe S.Weinberg oder J. Sakuran
• ohne Beweis: T 2 |ψi = (−1)ij |ψi, j-Gesamtspin
e
wenn j halbzahlig:
T 2 |ψi = − |ψi (*)
e
• Widerspruchsbeweis:
sei [H , T ] = 0, |ψE i sei Eigenzst. von H , dann ist T ψE auch EZ von H ; Annahme: T ψE = e−iα ψE
e e−iα ψ =eψ 6= −ψ , siehee(*)
e
−iα
→ Te2 ψe
ψE = eiα T ψE = eiα
E = Te
E
E
E
e
e
e
→ wenn [H , T ] = 0, dann muss jeder Eigenwert entartet sein (für j halbzahlig) → Kramersche Entartung
e e
→ j = 21 hat zwei m-Zustände, d.h. m = ± 12
a) eine elektrostatisches Feld ist Zeitumkehrinvariant, d.h. Entartung zwischen j = 21 , m = 12 und j = 21 , m = − 12
kann nicht durch elstat. Feld aufgehoben werden → Teilchen hat kein el. Dipolmoment, da sonst Aufspaltung
der Energieniveaus
b) Magnetfeld kann diese Zst aufspalten, H = jµB Bj z , ist also auch nicht zeitumkehrinvariant!
e
e
I
I
~ →
~
Stromstärke → −Stromstärke, d.h. B
−B
Beispiel für Ableitung von Theorien aus Symmetrien
H = H von vielen Elektronen und Kernen
e ~e
~ ~s → −~s
T :B
→ −B,
e
e~
e
~ ~s1 + gµB B
~ ~s2
= J~s1~s2 + J(~s1~s2 )2 + gµB B
H = H (~s1 , ~s2 , B)
ee
ee
ee
ee
e
e e e
Anmerkungen zur Zeitumkehr
• T |ψ(t)i = hψ(t)| für Drehimpuls = 0
e
• i.A. T ψ(~x, t) = eiα(j,... ) ψ ∗ (~x, t)
e
~ → −B,
~ E
~ → E)
~
• T : ~x → ~x, p~ → −~
p, ~s → −~s, (B
e e
e e
e
e e
!
~ [H , T ] ∝ [~x, T ] =
• Dipolmoment: H ∝ ~xE,
0
e
e
e e
e e
magn. Seeman-Aufspaltung
~
H ∝ ~s · B
e
e
[H , T ] ∝ [~s, T ] = sT − T s = 2sT 6= 0, da ~s → −~s
e e
e e
ee ee
ee
e
e
5 Kernmodelle
5.1 Vielteilchensysteme: Fermionen und Bosonen
a) Einteilchenzustände
Bem.:
• Beschreiben ein Teilchen
• Basis im Hilbertraum:
|ψi =
XXX
n
Z
=
ms mt
3
d x
|n, ms , mt i hn, ms , mt | ψi
| {z }
ONB
XX
|~x, ms , mt i h~x, ms , mt | ψi
ms mt
b) Vielteilchenzustände ∈ H(N ) = H ⊗ H ⊗ · · · ⊗ H, N =Teilchenzahl
|
{z
}
N mal
Produktbasis {|n1 , ns1 , mt1 i ⊗ |n2 , ns2 , mt2 i ⊗ · · · ⊗ |nN , nsN , mtN i}
c) identische = ununterscheidbare Teilchen
Def.: Teilchenvertauschung P ij vertauscht Teilchen i mit j
Bsp.: h~x1 , ~x2 , . . . , ~xi , . . . , ~xje, . . . , ~xN | ψi = h~x1 , ~x2 , . . . , ~xj , . . . , ~xi , . . . , ~xN | ψi
doppelte Vertauschung P 2ij = 1 → 2 Eigenwerte ±1
e
e Teilchensorten
Satz: Es gibt zwei grundlegende
29
a) Fermionen, die durch komplett antisymmetrische Zustände beschrieben werden:
∀i + j : P ij |ψi = − |ψi
e
b) Bosonen, die durch komplett symmetrische Zustände beschrieben werden:
∀i, j mit i + j : P ij |ψi = + |ψi
e
Satz: Spin-Statistik-Theorem:
Teilchen mit halbzahligen Spin sind Fermionen, Teilchen mit ganzzahligen Spin sind Bosonen
1
|ϕi = {|ϕ1 i ⊗ |ϕ2 i − |ϕ2 i ⊗ |ϕ1 i − |ϕ3 i ⊗ |ϕ4 i + |ϕ4 i ⊗ |ϕ3 i}
2
1
|φi = √ {|ϕa i ⊗ |ϕb i + |ϕb i ⊗ |ϕa i}
2
1
|ψi = {|ϕ1 i ⊗ |ϕ2 i ⊗ |ϕ3 i ⊗ |ϕ4 i − |ϕ2 i ⊗ |ϕ1 i ⊗ |ϕ3 i ⊗ |ϕ4 i + |ϕ1 i ⊗ |ϕ2 i ⊗ |ϕ4 i ⊗ |ϕ3 i
2
− |ϕ2 i ⊗ |ϕ1 i ⊗ |ϕ4 i ⊗ |ϕ3 i}
(1)
(2)
(3)
(1) 2 Fermionen, antisym. → Fermionenzustand
(2) 2 Fermionen, sym. → Bosonenzustand
(3) 1,2 sind Fermionen; 3,4 Bosonen → gemischter Zustand
Satz: Ideale Vielteilchensysteme können durch Produktzst. beschrieben werden
Bem.:
p
~2
PN
PN
, vi =
ˆ Container, äußeres Feld etc.
• ideal“-wechselwirkungsfrei, d.h. H = i=1 ti + i=1 v i , ti = 2m
e
”
e
e
e
e
e
1
2 2
z.B. 2 mω ~xi
e
→ Eigenzustände von H sind Produktzst. von Einteilcheneigenzuständen
e
(1)
(2)
Bsp.: H = hHO + hHO , d.h. 2 Teilchen in einer Dim. hHO |ni = ~ω n + 21
e
Eigenzst.e
0. unterscheidbare Teilchen: |n1 i ⊗ |n2 i En1 n2 = ~ω n1 + 12 + n2 + 21
1. Fermionen:
√1
2
(|n1 i ⊗ |n2 i − |n2 i ⊗ |n1 i) = |n1 n2 ia a = antisym.
2. Bosonen: √12 (|n1 i ⊗ |n2 i + |n2 i ⊗ |n1 i) = |n1 n2 is s =sym.
1
1
a n1 n2 H n1 n2 a = ~ω n1 + 2 + n2 + 2
e
1
1
s n1 n2 H n1 n2 s = ~ω n1 + 2 + n2 + 2
e
Def: Antisymmetrisierungsoperatof A :
P
A[|ϕ1 i ⊗ |ϕ2 i ⊗ · · · ⊗ |ϕN i] = N1 ! πe sign(π) ϕπ(1) ⊗ ϕπ(2) ⊗ · · · ⊗ ϕπ(N ) (*)
πe=
ˆ Permutation
Def: sign(π) : Einer Konfiguration wird ein Vorzeichen, z.B. +“ zugeordnet; jedes Vertauschen zweier Elemente
”
bringt ein relatives Minuszeichen
π π(1) π(2) π(3) sign(π)
1
1
2
3
+
2
1
3
2
Bsp.: N = 3 3
3
1
2
+
4
3
2
1
5
2
1
3
+
6
2
3
1
A |ϕ1 i ⊗ |ϕ2 i ⊗ |ϕ3 i = 61 {|ϕ1 ϕ2 ϕ3 i − |ϕ1 ϕ3 ϕ2 i + |ϕ3 ϕ1 ϕ2 i − |ϕ3 ϕ2 ϕ1 i − |ϕ2 ϕ1 ϕ3 i + |ϕ2 ϕ3 ϕ1 i}
e
30
Bem.:
• A ist ein Projektor
e
• die Zst. (*) sind nicht normiert
• (*) ist Def. einer Determinaten, Slater-Determinante
Satz: Pauliprinzip: Zwei identische Fermionen können nicht im gleichen Einteilchenzustand sein.
A[|ϕ1 i ⊗ |ϕ2 i ⊗ · · · ⊗ |ϕN i] = 0
e
Bew:
Def.: Symmetrisierungsoperator S P
S [|ϕ1 i ⊗ |ϕ2 i ⊗ · · · ⊗ |ϕN i] = N1 ! e π ϕπ(1) ⊗ ϕπ(2) ⊗ · · · ⊗ ϕπ(N ) (**)
e
Bsp.: S [|ϕ1 i ⊗ |ϕ2 i ⊗ |ϕ3 i] = 61 {|ϕ1 ϕ2 ϕ3 i + |ϕ1 ϕ3 ϕ2 i + |ϕ3 ϕ1 ϕ2 i + |ϕ3 ϕ2 ϕ1 i + |ϕ2 ϕ1 ϕ3 i + |ϕ2 ϕ3 ϕ1 i}
e
Bem.:
• S ist ein Projektor
e
• Zustände (**) nicht normiert
• vollst. symmetr. Zst. haben keinen Namen
5.2 Kanonisches Ensemble nichtwechselwirkender Fermionen oder Bosonen in
eindim. harmonischen Oszillator
a) ein Teilchen: H = ~ω(a+ a + 12 ) → En = ~ω(n + 21 ), n = 0, 1, 2, . . .
e
P∞e e−β~ω(n+ 1 )
2
Z = T r(e−βH
)
=
= 2 sinh1 β~ω
n=0 e
e
[ 2 ]
∂
U = Z1 T r H e−βH
= − ∂β
ln Z
eh ei
β~ω
kB
~ω 2
1
→ C = ∂U
U = ~ω
2 coth
2
∂T = (kB T )2
2
sinh2 [ β~ω
2 ]
b) N unterscheidbare Teilcehn (=
ˆ N unterscheidbare Oszillatoren)
+
+
1
1
1
1
H = ~ω(a+
n = ~ω(n1 + 2 + n2 +
1 a1 + 2 + a2 a2 + 2 + · · · + aN aN + 2 ) → E~
e
e e
e e
e e
ZN = Z N → UN = N · U , CN = N C
P
P
P
P
−β~ωn2
−β~ωn1 2
−β~ω(n1 n2 )
−β~ωn1
=
=
n2 e
n1 e
n1 n2 e
n1 e
Bem.:
• einfaches Festkörpermodell, Schwingungen der Atome um Ruhelagen
→ Einsteinmodell: qm, gleiches ω
• klass. Grenzfall C DP = 3N kB Dulang-Petit
c) N Fermionen im HO H = ~ω[a+
1 a1 +
e
e e
Eigenzst. sind Slaterdeterminanten
1
2
+ a+
2 a2 +
e e
1
2
1
+ · · · + a+
N aN + 2 ]
e e
Bsp.: N = 2; Produktzst. |n1 n2 i = |n1 i ⊗ |n2 i
⇒ Slaterdet.: A |n1 n2 i = 21 {|n1 n2 i − |n2 n1 i}
e
a) n1 6= n2 Pauli
b) A |n2 n1 i = −A |n1 n2 i
e
e
⇒ Eigenzustände: A |n1 n2 n3 . . . nN i mit n1 < n2 < n3 < · · · < nN
e
31
1
2
+ · · · + nN + 21 )
Bsp.: N = 2
ZZF
= Tr e
−βH
D
=
P
ee
e
hn1 n2 |A+ A|n1 n2 i
e e
n1 <n2
e
1
X
F
ZN
=
E
−βH n1 n2 A+ e
An1 n2
1
= ··· =
P
n1 <n2
1
1
e−β~ω(n1 + 2 +n2 + 2 )
1
e−β~ω(n1 + 2 +n2 + 2 +···+nN + 2 )
n1 <n2 <···<nN
N
X
=
e−β~ω( 2 +N n1 +(N −1)n12 +(N −2)n23 +···+n(N −1)N +
N (N −1)
)
2
n1 ,n12 n23 ,n34 ,...
2
=e
−β~ω N2
N
Y
1
−nβ~ω
1
−
e
n=1
Nebenrechnung:
n2 =n1 + 1 + n12 , n12 = 0, 1, 2
n3 =n2 + 1 + n23
=n1 + 2 + n12 + n23
n4 =n3 + 1 + n34
=n1 + 3 + n12 + n23 + n34
PN
hω
F
→ UN
= E0 (N ) + n=1 n ~ω
−1
2 coth nβ 2
PN
2
1
F
= (kBkBT )2 n=1 n ~ω
CN
E0 (N ) = ~ω N2
2
sinh2 [n β~ω
2 ]
5.3 Besetzungszahldarstellung
• bisher: Basis im N-Teilchenraum: A |φ1 , φ1 , . . . , φN i Fermionen, S |φ1 , φ2 , . . . , φN i Bosonen
e
e
Satz: Besetzungszahldarstellung:
im ersten ETZ, n2 im P
zweiten usw.
⇒ Teilchenzahl N = i ni
|n1 n2 n3 n4 . . .iF/B ist der antisym./sym. Vielteilchenzustand mit n1 Teilchen
Bsp.: 5 Bosonen, ET-Basis = HO-Basis
→ |3, 0, 1, 1, 0, . . .iB
Satz: Fermionen: ni = 0, 1; Bosonen: ni = 0, 1, 2, . . .
Bsp.: Fermionen, Spin 21 , HO-Basis
Auf
gibt es 2 Zustände: |n, ↑i und |n, ↓i
jedem Energieniveau
+
1 , 0, 1 , 1
|{z}
|{z} |{z}
in |0,↑i in |1,↑i in |1,↓i
F
Bem.:
• zweite Quantisierung
• Raum =
ˆ FOCK-Raum HFock = {H0 , H1 , H2 , . . . }
a) Bosonen
Satz: b+
k , bk sind Erzeuger bzw. Vernichter eines Teilchens im ETZ k.
e e
√
bk |. . . , nk , . . .i = nk |. . . , (nk − 1), . . .i
e+
√
bk |. . . , nk , . . .i = nk + 1 |. . . , (nk + 1), . . .i
e+
bk bk |. . . , nk , . . .i = nk |. . . , nk , . . .i Teilchenzahlop.
i
eh e
bk , b+
= δkl
l
he e i h
i
+
bk , bl = b+
,
b
=0
l
k
e e
e e
32
b) Fermionen
Satz: a+
k , ak sind Erzeuger bzw. Vernichter eines Fermions im ETZ k.
e e
ak |. . . , nk = 1, . . .i = |. . . , nk = 0, . . .i , ak |. . . , nk = 0, . . .i = 0
e
e+
ak |. . . , nk = 0, . . .i = |. . . , nk = 1, . . .i , a+
k |. . . , nk = 1, . . .i = 0
e+
e
ak ak |. . . , nk = 0, . . .i = nk |. . . , nk , . . .i Teilchenzahl im ETZ k
i n
o
eh e
+
+
ak , a+
=
a
,
a
= ak a+
k
l
l
l + al ak = δkl Antikommutator
he e i h e e i
e e
e e
+
=0
ak , al = a+
k , al
e e
e e
⇒ Vielteilchenzustände
Bosonen: |n1 n2 . . .iB =
√
Fermionen: |n1 n2 . . .iF =
n
Q
1
b+
k k
n1 !n2 !... k
Q
+ n e
k ak k |0i
|0i
e
Satz: |0i =
ˆ Vakuum
Bem.: Operatoren werden jetzt mit Hilfe der Erzeuger und Vernichter dargestellt.
Bsp.:
p~2
X
X
X p~2i
+
+
0
p~ t p~ ap~,ms ap~,ms mit t = e
k t k ak ak0 =
T =
e =
2m
| {z
e }e
e e
e
e
e 2m
e
i
k,k0
p
~,ms
p
~2
2m
5.4 Großkanonisches Ensemble idealer Quantengase
−µN )
Def.: Großkanonische Zustandssumme: Z = T r e−β(H
e e ,β =
1
kB
Bem.:
• H ist ET-Op.
e
X D E
X D E
0 =
0
k h k 0 a+
a
i h i a+
k
k
k ak
0
e
e e
e
e e
i
k,k
X
N=
a+
k ak =−→
e
k e e
H=
e
H |n1 , n2 , . . .iF/B =
e
X
X
=
X
X
εi a+
i ai
e e
i
X
=
a+
i ai
i e e
εi ni |n1 , n2 , . . .iF/B
i
N |n1 , n2 , . . .iF/B =
e
−β(H −µN )
Z = Tr e
e e =
=
X
ni |n1 , n2 , . . .iF/B
i
e−β(E(n1 ,n2 ,... )−µN (n1 ,n2 ,... ))
n1 ,n2 ,n3 ,...
−β(n1 (ε1 −µ)+n2 (ε2 −µ)+n3 (ε3 −µ)+... )
e
unabhängige Summen
n1 ,n2 ,n3 ,...
=
X
n1
e−βn1 (ε1 −µ) ·
X
e−βn2 (ε2 −µ) · · · · =
n2
∞
Y
zi mit zi =
i=1
Fermionen: ni = 0, 1 → zi = 1 + e−β(εi −µ)
1
Bosonen: ni = 0, 1, 2, · · · → zi = 1−e−β(ε
µ < εi ∀i
i −µ)
Mittlere Besetzungszahl des Einteilchenzustandes k
33
X
ni
e−βni (εi −µ) =
Xh
ni
e−β(εi −µ)
ini
EE 1 E DD
D
−β(H −µN )
+
+
+
= T r ak ak e
ak ak
ak ak =
e e
2
e e
e e
e e
∂
=
ln zk
∂(βµ)
1
= nk
= β(ε −µ)
k
e
±1
+=FD;
ˆ
−=BE
ˆ
Bosonen: µ < εmin
Fermionen: µ ∈ R
hier sei µ > 0: Alle untersten Energieniveau sind besetzt.
P
P
+
• innere Energie: U =
= k nk εk
k εk ak ak
e e
P + P
• mittlere Teilchenzahl: N =
= k nk
k ak ak
e e
5.5 Das ideale Fermigas
Bem.:
• Modellsystem, unendlich ausgedehnt, Dichte ρ
• Annahmen (erschaunlicherweise) für viele Systeme gerechtfertigt; Elektronen im Festkörper, Nukleonen im Kern
E
X D
~k, ms , mt t ~k, ms , mt a+
a~
~
e
ek,ms ,mt ek,ms ,mt
H=T =
e
e ~
k,ms ,mt
E
~2 k 2 ~
t |k, ms , mt i =
k, ms , mt
2m
e
Translationsoperator T : 1 → 2, 2 → 3, . . . , n → 1
e 2πκ
T n = 1, Eigenwerte: ei n , κ = − n2 , − n2 + 1, . . . , n2 − 1
e
2πκ
2π
in physikalischen Einheiten: 2πκ
n = k · a ⇒ k = na = L κ mit na = L und κ = 0, ±1, ±, · · · ±
n
2
Bem.:
• k ∈ − πa , πa , diskret
• mit L → ∞, a = const, (n → ∞)
→ k-Werte werden immer dichter
im 3-dim: nx , ny , nz = 0, ±1,
E. . .
D ±2,
Einteilchenwellenfunktion: ~x ~k =
D E
~k k~0 = δ~ ~ 0
kk
3
~
eik·~x
Impulsraum
Ortsraum
2π
a
a
1
L2
L
↔
2π
L
l
ε~k =
~2 ~
k2
2m
Def.: im Grundzst. verteilen sich N Fermionen auf die niedrigsten ET-Energieeigenzustände unter Beachtung des
Pauliprinzips. Die Fermienergie ist die höchste besetzte ET-Energie.
34
Def.: Fermiimpuls: pF =
Kontinuumslimes:
√
2mεF , ~kF = pF
3 X 3
3 X
3 Z
X
L
L
2π
L
→
{·} =
{·} =
∆kx ∆ky ∆kz {·} =
dkx dky dkz {·}
2π
L
2π
2π
k
k
k
T =0:
DD EE
X
N
=
n~k,ms ,mt
e
~
k,ms ,mt
3 Z kF
L
= (2s + 1)(2t + 1)
4πk 2 dk
2π
0
N=
= (2s + 1)(2t + 1)
4πL3 12 kF3
µst L3 kF3
=
3
8π
2 3π 2
2
⇒ kF3 = µ2st 3π 2 LN3 = 6π
µst ρ
2 31
~2 k 2
kF = 6π
→ εF = 2mF =
µs t ρ
~2
2m
6π 2 ρ
µst
23
X
T = 0 : U = U0 =
ε~k n~k = µst
~
k,ms ,mt
L
2π
3 Z
kF
0
4πk 2 dk
~2 k 2
3
= N εF
2m
5
5.6 Der Kern als Fermigas
jetzt:
• Nukleonen mit s =
1
2
kt =
1
2
→ µst = 4
• N =A
⇒ Fermienergie:
2
23
6πρ 3
9π
~2
≈ 40MeV;
=
4
8
2mN r02
A
4
mit: ρ = , V ≈ πr03 A, r0 = 1, 128fm,
V
3
13
9π
~
MeV
pF =
≈ 265
8
r0
c
~2
εF =
2m
Bem.:
1. EA = 35 εF A ≈ A
2.
EA
A
= 35 εF ≈ 24MeV größenordnungsmäßig o.K. vgl. Volumenterm
3.
EA
A
<< mN c2 , d.h. nichtrelativistisches Rechnen war o.K.
4. Es werden keine Asymmetrieeffekte berücksichtigt
Idee: Kern besteht aus 2 Fermigasen: Protonen & Neutronen
N 1 = Z, N 2 = N
εF,p =
9π
4
23
~2
2mp r02
23
23
23
Z
9π
~2
N
, εF,n =
2
A
4
2mn r0 A
35
!
2
5
5
9π 3 ~2 1
N3
Z3
+
4
2r02 A 23 mp
mn
35 #
23 "
5
5
3
A
2
=EA + ∆E, ∆E = εF
Z3 +N3 −2
5
A
2
3
3
⇒ U0 = E = (εF,p Z + εF,n N ) =
5
5
1
(Z − N ) → ∆E = ∆E(A, T3 ) wird in T3 entwickelt
2
2 !
3
5 Z −N
E
⇒ ≈ εF 1 +
A
5
9
A
mit T3 =
Bem.: Z = N energetisch am günstigsten
5.7 Das Schalenmodell
Bem.:
• Fermigas = unendlich ausgedehnte Kernmaterie
→ keine magischen Zahlen, z.B. Z ∈ {2, 8, 20, 28, 50, 82}, N ∈ {2, 8, 20, 28, 50, 82, 126}
→ Kerne mit mag. Z. sind stabiler, haben höher liegende Anregungen und kleinere Neutroneneinfangquerschnitte (vgl.
Edelgase)
→ keine gerade/ ungerade-Effekte
Lösung:
H=
e
X
i
ti +
e
X
i<j
v ij
e
v ij bestimmen, dann alles ausrechnen wäre super, aber:
e
1. vij wird aus Streuexperimenten + Deuteron abgeleitet → leider nicht eindeutig
2. Vielteilchenquantensystem leider auch nicht lösbar
Idee: Ersetze H durch Näherung aus Einteilchenoperatoren
e


X
X
X
X
X
X
H=
ti +
v ij =
ti + v i + 
v ij −
vi  ≈
ti + v(~ri )
e
e
e
e e
e
e
e
i
i
i<j
i
i<j
i
|
{z
}
möglichst klein
Eine solche Ersetzung gilt natürlich nur in einem begrenzten (Energie-) Bereich und auch nur für bestimmte Observable
Ex. Methoden, v i näherungsweise und selbstkonsistent zu bestimmen, z.B. Hartree-Fock
e
−v0 r ≤ R
i. Kastenpotential: V (~r) =
0
r>R
(
2 −v0 1 − Rr
r≤R
ii. harmonischer Oszillator: V (~r) =
0
r>R
Bem.:
• für analytische Ergebnisse nimmt man oft die nicht abgeschnittenen Potentiale.
0
iii. Woods-Saxon-Potential: V (~r) = − 1+Vr−2
a ≈ 0, 5fm
1
abgeleitet aus dem Dichteprofil großer Kerne (A > 20)
Bem.:
• kugelsym. Potentiale → kugelsym. Kerne
• für p & n können unterschiedliche Pot. genommen werden
36
Lösung:
Kugelkoordinaten:
−
~2 ∂ 2
ψp (~r) − Vo,p ψp (~r) = Ep ψp (~r) ebenso n
2mp ∂~r2
ψp (~r) = Rp,nl (r)Yp,lm (ϑ, ϕ)
⇒ Enl hängen ab von radialer QZ n = 0, 1, 2, . . . und Drehimpulsqz (l = 0, 1, 2, . . . ) Enl hängen nicht von me =
−l, −l + 1, . . . , 0, . . . , l − 1, l und ms = ± 12 ab → 2 · (2l + 1)-fache Entartung
a) Kastenpotential
2
~2 (Xnl )
Enl = 2m
Xnl ist n-te Nullstelle von jl , der l-te sphärische Besselfkt.
R2
P
(n, l) Xnl # Zustände
bis hier
1s
3, 14
2
2
2p
4, 49
6
8
1d
5, 76
10
20
2s
6, 28
2
1f
6, 99
14
34
2p
7, 73
6
58
1g
8, 18
18
b) Harmonischer Oszillator
• Enl = ~ω 2(n − 1) + l + 32 ω 2 =
2v0
mR2
• Entartung: alle (n, l)-Kombinationen entartet, für die 2(n − 1) + l = ntot , mal (2s + 1) ·(2l + 1)
| {z }
=2
(n, l)
1s
1p
2s, 1d
2p, 1f
3s, 2d, 1g
Enl
3
2 ~ω
5
2 ~ω
7
2 ~ω
9
2 ~ω
11
2 ~ω
# Zustände
2
6
10
20
30
P
bis hier
2
8
20
40
70
c) Woods-Saxon-Potential
Bem.:
• wird numerisch gelöst
• magische Zahlen: 2,8,20,42,60,92,138
→ Kugelsym. Einteilchenpot. beschreiben (nur) kleine Kerne gut
5.8 Schalenmodell mit Spin-Bahn-Kopplung
Bem.:
1. qualitativ o.k.
2. β-Stabilität wird erklärt
~ +S
~ ; volle j-Schalen liefern: JKern = 0 &
3. J~ = L
e e e
Y
(−1)l = +1 Parität j → l +
1
2
vl−
1
2
l,ml
|
{z
}
für alle j-Schalen
⇒ J π = o+ z.B. 16
8 O
4. ein Nukleon zusätzlich zur vollen j-Schale: ng-, bzw. gn-Kerne
5+
J π = j π vom zusätzlichen Nukleon, z.B. 17
8 O: 1n in 1d 25 → 2 (l = 2)
ANALOG: ein Lochzst. in voller Schale, z.B. 15
8 O:
1−
ˆ
2 =
Loch in 1p 21
5. Da
definierte Parität haben, d.h. ψ(~r) = ±ψ(~r) und Dipoloperator negative Parität hat →
E R
D Kerneigenzustände
~
3
∗
ψ D ψ ∝ d rψ (~r)~rψ(~r) = 0
e
→ exp. sehr gut bestätigt
37
5.9 Deformierte Einteilchenpotentiale
Idee:
• nicht rotationssym.
• z.b. ωx = ωy 6= ωz im H.O., δ = −1 +
ωz
ωx
kennzeichnet Deformation
• Nilsson-Modell
5.10 Die volle Lösung – erster Versuch
Idee:
H=
e
X p~2
X
i
+
V (~ri − ~rj , ~si , ~sj , ~ti , ~tj )
2m
e e e e e e
i
i<j
Potentiale: Paris, Bonn, Argonne-18
Basis: A [|ϕ1 i ⊗ |ϕ2 i ⊗ · · · ⊗ |ϕA i]; |ϕ1 i = |n(ω), ms , mt i Einteilcheneigenzst. eines HO mit ω
Idee:
• korrelierte Basisfunktionen
→ Φ = C A [|ϕ1 i ⊗ · · · ⊗ |ϕA i]
ee
~ ~r)
slaterdet → δ (2) (R,
Q
a) C =
ˆ i<j f (|~ri − ~rj |) Jastrow
e
5.11 Exotische Kerne
a. doppelt magische Kerne
• besonders stabil, z.B. 48 Ca, 68 Ca, 100 Sn
•
100
Sn interessant, da Z = N , aber eigentlich schon zu viele p (Coulomb); aber Schalenabschluss stabilisiert
zusätzlich
• Kerne im Umgebung zerfallen durch p-Emission, 100 Sn durch β + -Zerfall t 12 = 1s, nachgewiesen am FRS@GSI
b. Halo-Kerne
• Kerne mit sehr vielen n (oder p), die ungewöhnliche langreichweitige Dichteverteilungen haben
•
11
Li, 14 C(14 C,
13
F ) 11 Li FRS@GSI
• Bsp. für Protonenhalo: 8 B: sp + 3n
5.12 Das Deuteron (2 H =d)
ˆ
Bem.:
• neben Auswertung von p + n-, p + p-, n + n- Streudaten ist das Deuteron ein wichtiges exakt lösbares ZweiNukleonensystem, mit dem die Kernkräfte untersucht werden können
Eigenschaften:
• entdeckt 1932 durch Urey
• Kern des schweren Wasserstoffs 2 H
• Masse EB = (2, 22456671 ± 0, 00000039)MeV ← kleinste Bindungsenergie pro Nukleon md = 1875, 613 MeV
c2
• es ex. kein angeregter gebundener Zst.; d.h. Anregung führt zu nichts oder zur Zerstörung des Deuterons
• J π = 1+ , magn. Dipolmoment µd = 0, 857µN , µN =
e~
2mp
• el. Quadrupolmoment Q = 0, 282efm2
• Diproton, Dineutron und (p − n mit J = 0) ungebunden
38
Ziel: Wollen Nukleon-WW ableiten
a) J = 1:
|ψyz i =
X
0
Cnls
|ϕn ls; T = 0, MT = 0i +
n,l,s=0,1
X
1
Cmls
|ϕm ls; T = 1, MT = 0i
m,l,s=0,1
← T = 1-Zustände sind typischerw. 10MeV höher
→ Grundzst des d ist reiner T = 0-Zustand
- J = 1 und S = 0, 1; l = 0, 1, 2
S = 1 (symm.) nur mit l = 0, 2 (*)
T = 0 (antisymm.):
S = 0 (antis.) nur mit l = 1 (**)
0
0
=?
Cn01
6= 0, C 0 6= 0, Cn10
{z } | {z }
| {z } | n21
(∗)
∗∗
(∗)
h
i
h
i
~ = 0, d.h. H , S
~2 = 0
H, S
i e e E De e h
!
~ 2 S = 1 = S = 0 H S = 1 ~2 (1 · (1 + 1) − 0 · (0 + 1)) =
0
S = 0 H, S
e
e e
0
→ ⊥ zu S = 1 Zst. gehört zu einem angeregt. Zst., d.h. im GZ Cn10
=0
→ WF: l = 0 & l = 2−Anteile; S=1 (el. Quadrupol)
~ , V T S12 , S12 = 32 (~r · ~s1 )(~r · ~s2 ) − ~s1 · ~s2
• Beiträge der WW: V Z (r), V LS (r) · ~l · S
r
e e
e
e
e e
r
1 −λ
• V (r) → Ansätze; erste Idee: Yukawa V (r) ∼ r e
abgeleitet aus Mesonenaustausch; λ=
ˆ de Broglie-Wellenlänge des π
6 Neutronensterne
6.1 Eine kühne Extrapolation von Nicolas Borghini
Idee: Bethe-Weizsäcker-Formel + Gravitation
2
• Gravitation: Fg = 35 G mR , m Gesamtmasse, R Radius
• Neutronenstern: A ≈ N >> Z
• groß, d.h. A groß, vernachlässige alles, das nicht wenigstens mit A geht
1
R = r0 A 3 , m = AmN
EB ≈ av A −
3 m2 5
aA
A + G N A3
4
5 r0
!
>
|{z}
0
für gebunden
m2N
2
3
aA
G
A3 >
− av = 7, 4MeV, r0 = 1, 128
5 r0
4
→ A > 4 · 1055 → R > 4km, m > 7 · 1028 kg∝ 0, 035
MO
|{z}
Sonnenmasse
Bem.:
• erstaunlich gut, richtige Größenordnung
• vernachlässigt relativistische Effekte, z.B. Bindungsenergie wirkt auch gravitativ und Bindungsenergie ist von der
Größenordnung der Ruhemasse
• Extrapolation der BW-Formel bis 1055 !
→ Eigenschaften der Kernkräfte, dichte Packung, durch BW-Formel schon recht gut wiedergegeben
39
6.2 Entstehung und Eigenschaften von Neutronensternen
Bem.: wikipedia gut
Entsstehung:
i. Stern mit 1, 4 − 3 Sonnenmassen; Kern-Kollaps-Supernova (II,Ib,Ic)
M > 3MO →schwarzes Loch
M < 1, 4MO →weißer Zwerg (Supernova)
ii. Kern-Kollaps: Kernfusion bis F e & N i; Fusion endet; Strahlungsdruck kann Gravitation nicht mehr kompensieren
iii. Im Kern
• extreme Gravitation: δ %%%
• Atome werden komprimiert
→ p + e− → n + νe
iv. Hülle
• extreme ν- und Neutronenschauer
• Energiebilanz: Gewinn an kin. Energie durch Absinken im Gravitationspotential → kin. E. von ν & n
• ν & n heizen Hülle auf; n führen zur Nukleosynthese jenseits des F e (r-Prozess)
• Absprengen der Hülle innerhalb weniger Tage
v. Drehimpulserhaltung
• RN ∼
R0
100.000
→ Rotationsfreq. steigt auf f ∼ 100 . . . 1.000 Hz
vi. Aufbau
g
cm3
g
ρ ∼ 1014 3
cm
11 g
ρ ∼ 10
cm3
7 g
ρ ∼ 10
cm3
ρ ∼ 1015
im Kern
in der Mitte (der Hauptbestandteil)
außen (Kruste)
auf der Schale (Oberfläche)
a. Hauptbestandteil (∆r ∼ 9km)
• relativistisches Neutronengas mit wenigen p + e−
• β − -Zerfall nicht möglich, da keine weiteren Elektronenzustände erreichbar (im Gegensatz zu Kernen kommen die e− nicht raus)
• n und p bilden Fermigas; wahrscheinlich n-suprafluid, p-supraleitend
• entartetes Fermigas verhindert weiteren Gravitationskollaps (Druck)
23
2
~2
6π 2 ρ
3
∝ ρ 3 , E0 = EF · A
EF =
2m (2s + 1)(2t + 1)
5
ρ 31
1
M2
EG = γ
= γM 2
∝ ρ3
Entartungsdruck“ gewinnt gegen Gravitationsdruck“
”
”
R
M
b. Oberfläche
• Gleichgewicht zu e− + p verschoben → F e-Kerne, e− , n
• Eisenkristallgitter (10m dick)
• mit zunehmender Tiefe steigt n-Anteil; es liegen neutronenreiche F e-Isotope vor, die unter Normalbed. instabil wären
c. Innere Kruste (1-2 km)
• F e-Anteil & 0, n-Anteil % 100
d. Kern (0 . . . 3km) spekulativ!
• ρ bis 3 · ρ0 (Kerndichte von Pb), Verhalten bei dieser Dichte unbekannt und nicht experimentell überprüfbar
Vermutung:
40
a) π- oder k-Mesonengas; Bosonen; kein Fermidruck → Kollaps zum schw. Loch?
b) Quark-Gluon-Plasma (Suppe aus Quarks und Gluenen)
u-, d- und s-Quarks → seltsame Sterne
→ kann schneller rotieren; f ∼ 2 kHz wäre Hinweis
vii. Exotische Eigenschaften
• ex. Eigenschaften folgen aus Tatsache, dass Neutronensterne fast schwarze Löcher sind
a) M = 1, 4 . . . 3MO , R ∼ 10 . . . 20 km
→ gn ∼ 1011 . . . 1012 gErde → Gewicht!
→ Freier Fall aus 1m Höhe: r ∼ 1µs, v ∼ 7 · 106 km
h
→ höchster Berg 1 mm
– extreme Lichtablenkung
b)
– t0 ∼ 1011 K kühlt auf 109 K ab
– supraleitend unter 1011 K
c) B
– B ∼ 108 T (NMRI ∼ 5 T, Labor ∼ 40 T
– vHall ∼ 1018 V Hallspannung
d) Pulsar
41