Newtonsche Ringe - Universität Paderborn

Universität Paderborn – Fakultät für Naturwissenschaften - Physikalisches Praktikum
O1 Interferenz des Lichtes – Newtonsche Ringe
direkt beobachtbar, die proportional zum zeitlichen
Mittelwert des Betragsquadrats der Feldstärke ist:
I ∝ E ( x, t )
Abb. 1. Interferenz von Wellen, maximale Verstärkung.
Aufgabe. Es ist der Krümmungsradius einer plankonvexen
Linse
durch
Auswertung
der
Newtonschen Interferenzringe bei vorgegebener
Wellenlänge des Lichts zu bestimmen.
Grundlagen. Durch die Beobachtung von Interferenz- und Beugungserscheinungen ist man zu der
Erkenntnis gelangt, dass Licht aus elektromagnetischen Wellen besteht. Im Allgemeinen emittiert
eine Lichtquelle Wellenzüge mit unterschiedlichen
Amplituden, Frequenzen und statistisch wechselnden Phasenlagen. Zwei ebene elektromagnetische
Wellen gleicher Frequenz f, die sich in Richtung
der positiven x-Achse ausbreiten, lassen sich in der
Form
t x1
E1 = E$1 cos 2 π
− − δ1
T λ
[ (
)]
t x2
E2 = E$ 2 cos 2 π
− − δ2
T λ
[ (
)]
(1)
(2)
schreiben. Dabei bedeuten E$1 und E$ 2 die beiden
Amplituden, T =1/f die Schwingungsdauer, λ die
Wellenlänge, x1 und x2 die beiden Wegstrecken, die
beide Wellen in der Zeit t von ihrem Ausgangspunkt zurückgelegt haben, δ1 und δ2 die Phasenlagen. Frequenz f und Wellenlänge λ sind durch die
Beziehung
c= f λ
2
(4)
Für die Intensität IR der resultierenden Welle liefert
die Rechnung dann:
[ (x
I R = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos 2 π
2
− x1
+ δ 2 − δ1
λ
)]
Die resultierende Intensität ist also im Allgemeinen
nicht gleich der Summe der Einzelintensitäten.
Dies ist nur der Fall, wenn der gemischte Term
(Interferenzglied) verschwindet.
Überlagern sich zwei Wellenzüge gleicher Frequenz und Schwingungsrichtung nach Durchlaufen
verschiedener Wege, so entsteht Interferenz. In
dem Raumpunkt der Überlagerung können sich die
Wellen je nach ihrem Phasenunterschied verstärken
oder abschwächen. Man kann zwei Grenzfälle unterscheiden (Abb. 1+2):
1. Maximale Verstärkung bei einem Gangunterschied:
; k=0, 1, 2, ...
∆=kλ
2. Auslöschung bei einem Gangunterschied:
λ
∆ = (2 k + 1) ; k=0, 1, 2, ...
2
Die Interferenzen sind aber nur dann beobachtbar,
wenn zwischen den interferierenden Wellensystemen eine zeitlich konstante Phasenbeziehung besteht. Im obigen Beispiel muss somit δ2-δ1=konst.
erfüllt sein, um ein stationäres, beobachtbares Interferenzfeld zu erhalten. Zwei Wellensysteme, für
die die Differenz δ2-δ1=konst. ist, nennt man kohärent.
(3)
miteinander verknüpft.
Die elektrischen Feldstärken E1 und E2 überlagern
sich ungestört zu einer resultierenden Welle ER. Da
es sich beim Licht um sehr hochfrequente elektromagnetische Schwingungen handelt, ist nicht die
elektrische Feldstärke E, sondern die Intensität I
(5)
Abb. 2. Interferenz von Wellen, Auslöschung.
O1 Interferenz des Lichtes – Newtonsche Ringe
Seite 2
Die optische Wegdifferenz ist dann:
∆ = n( AB + BC ) − AE
(6)
da die Strecken AB und BC im Innern der Glasplatte mit der Brechzahl n verlaufen. Es gilt ferner:
2d n
cos β
(7)
AE = 2 d tan β sin α
(8)
n( AB + BC ) =
Abb. 3. Entstehung von Interferenzen in einer planparallelen
Platte.
Ändern sich die Phasen δ2 und δ1 in zusammenhangloser Weise, so nennt man die Wellen inkohärent. Kohärentes Licht erhält man von gewöhnlichen Lichtquellen durch Aufspalten eines einzigen
Lichtbündels in Teilbündel oder einfacher von Lasern, die langzeitig phasengleich schwingendes
Licht einer bestimmten Frequenz liefern.
Da im durchzuführenden Experiment als Lichtquelle eine Na-Spektrallampe benutzt wird, soll die
Aufspaltung eines monochromatischen Lichtbündels in interferenzfähige Teilbündel an einer planparallelen Glasplatte erläutert werden, siehe Abb.
3.
Der unter dem Einfallswinkel α auftreffende Lichtstrahl 1 wird an der Glasoberfläche (Brechungszahl
n) zum Teil reflektiert und zum Teil unter dem
Brechungswinkel
ß
in
die
Glasplatte
hineingebrochen und an ihrer Rückseite im Punkt B
erneut reflektiert und gebrochen (Teilstrahl a’). Der
in B reflektierte Strahl trifft die Glasoberfläche in
C und wird dort wiederum gebrochen (Teilstrahl b)
und reflektiert. Der einfallende Strahl 1 wird so
durch fortgesetzte Reflexion und Brechung an den
beiden Grenzflächen in kohärente Teilstrahlen zerlegt, die mit Hilfe einer Sammellinse in den Punkten P und Q zur Interferenz gebracht werden.
Je nach Gangdifferenz der Teilstrahlen untereinander (a, b) bzw. (a’, b’) wird in den Punkten P bzw.
Q eine Schwächung oder Verstärkung der Intensität
zu beobachten sein. Zunächst soll die Gangdifferenz der reflektierten Teilstrahlen a und b ermittelt
werden. Aus der Abb. 3 lässt sich sofort die geometrische Wegdifferenz ablesen:
∆' = AB + BC − AE
(5)
Ersetzt man tan β =
sin β
cos β
mit Hilfe des Bre-
chungsgesetzes
n=
sin α
sin β
(9)
erhält man
∆ = n( AB + BC ) − AE = 2 d n 2 − sin 2 α
(10)
Die Gangdifferenz ist noch unvollständig. Der
Strahl a ist durch Reflexion am dichteren Medium
(in A) entstanden, der Strahl b dagegen durch Reflexion am dünneren Medium (in B). Bei Reflexion
am dichteren Medium tritt nun ein zusätzlicher
Phasensprung der reflektierten Welle von π auf, der
einer Gangdifferenz von λ/2 entspricht. Also ist die
vollständige Gangdifferenz für die reflektierten
Teilstrahlen a und b:
∆ = 2 d n 2 − sin 2 α +
λ
2
(11)
Im Punkte P wird Helligkeit (max. Verstärkung)
herrschen, wenn beide Teilstrahlen eine optische
Gangdifferenz von k λ haben, wobei k= 0, 1, 2, ...
ist:
∆ = 2 d n 2 − sin 2 α +
λ
=kλ
2
(12)
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Seite 3
∆’=2d
Abb. 4. Schematischer Strahlenverlauf im Newtonschen
Farbglas.
Dunkelheit herrscht bei einer Gangdifferenz:
∆ = 2 d n 2 − sin 2 α +
λ
λ
= (2 k + 1)
2
2
(13)
Im durchgehenden Licht (Teilstrahlen a’ und b’)
beträgt die optische Gangdifferenz nur:
∆ = 2 d n 2 − sin 2 α
(14)
ohne dass hier noch λ/2 hinzuaddiert wird, da keiner der Teilstrahlen a’ und b’ eine Reflexion am
dichteren Medium erleidet.
Newtonsche Ringe.
"Newtonsche Ringe" entstehen durch Interferenz
von monochromatischem Licht an den Grenzen
einer dünnen Luftschicht zwischen einer ebenen
Glasplatte und einer sie berührenden, sehr schwach
gewölbten Linse. Sie können sowohl in reflektiertem als auch durchgehendem Licht beobachtet
werden. Im durchzuführenden Versuch werden die
Newtonschen Ringe im durchgehenden Licht beobachtet (s. Abb. 4). Aus einem einfallenden Parallel-Lichtbündel wird ein Lichtstrahl 1 betrachtet,
der die Anordnung aus Linse und Glasplatte
(Newtonsche Farbenglas) durchläuft, wobei er an
den Grenzflächen gemäß dem Brechungsgesetz
durch Reflexion und Brechung in Teilstrahlen zerlegt wird. In der schematischen Abb. 4 ist die Brechung aus Gründen der Übersichtlichkeit nicht eingezeichnet worden. Der an der Oberseite der ebenen Glasplatte durch Reflexion entstandene Teilstrahl l' wird an der Unterseite der Linse nochmals
reflektiert. Dieser Teilstrahl hat gegenüber dem
Lichtstrahl 1 einen geometrischen Wegunterschied
von
(15)
wobei d die Dicke der Luftschicht an der betrachteten Stelle bedeutet. Für den optischen Weg muss
noch die Brechzahl des Mediums - hier Luft mit
n L ≈ 1 - und der Einfluss von Phasensprüngen bei
der Reflexion an einem dichteren Medium berücksichtigt werden. Da der Teilstrahl 1’ zweimal an
einem dichteren Medium reflektiert wird, tritt eine
Phasenverschiebung von 2π auf. Sie entspricht
einer Gangdifferenz von λ. Eine Verschiebung um
ein Vielfaches einer ganzen Wellenlänge ändert
aber das Interferenzbild nicht, kann also unberücksichtigt bleiben. Somit ergibt sich insgesamt die
optische Wegdifferenz zu:
∆ = 2 nL d ≈ 2 d
(16)
Für die Interferenzmaxima (helle Ringe) muss dann
gelten:
∆ = 2d = k λ
(17)
und für die Interferenzminima (dunkle Ringe):
∆ = 2 d = (2 k + 1)
λ
2
(18)
Man beobachtet ein System heller und dunkler
Kreise um das Zentrum der Anordnung, die
„Newtonschen Ringe“.
Zwischen dem Radius rk des k-ten hellen Ringes,
der Dicke d und dem Krümmungsradius R der
plankonvexen Linse besteht aufgrund der Geometrie in Abb. 5 die Beziehungen
Abb. 5. Geometrie zur Ermittlung der Dicke d.
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( R − d ) 2 + rk2 = R 2
(19)
R 2 − 2 Rd + d 2 + rk2 = R 2
(20)
rk2 = 2 Rd − d 2
(21)
rk2 = d (2 R − d )
(22)
Bei schwach gewölbten Linsen ist d<<R, so dass in
der Gleichung die Größe d² vernachlässigt werden
darf:
rk2 = 2 d R
⇔
d=
rk2
2R
(23)
Einsetzen in Gl.(17) ergibt die Radien der hellen
Ringe:
rk2 = k λ R
(24)
Diese Gleichung lässt erkennen, dass rk² über k
(Ordnungszahl) aufgetragen eine Gerade mit der
Steigung R λ ergibt. Aus diesem Zusammenhang
lässt sich bei vorgegebener Wellenlänge λ des
verwendeten Lichts der Krümmungsradius der
plankonvexen Linse ermitteln.
Aufbau und Durchführung des Versuchs. Der
Versuchsaufbau für die Newtonschen Ringe ist in
Abb. 6 skizziert. Auf der optischen Bank befindet
sich eine Natrium-Spektrallampe, die monochromatisches Licht der Wellenlänge λ=589 nm liefert.
Mit dem Kondensor wird das ausgesandte Licht
parallel gemacht und dann im Newtonschen Farbenglas zur Interferenz gebracht. Die Sammellinse,
in deren Brennpunkt das Newtonsche Farbenglas
steht, projiziert die Newtonschen Ringe und eine
Millimeterskala auf den Schirm am Ende der optischen Bank.
Zur Bestimmung des Krümmungsradius der plankonvexen Linse werden die Radien rk der Interferenzringe bei den entsprechenden Ordnungszahlen
ausgemessen.
Der ebenfalls auf den Schirm projizierte Millimetermaßstab, welcher direkt auf dem Newtonschen
Farbenglas eingeritzt ist, erlaubt durch die entsprechende Vergrößerung, die Radien der Ringe genau
zu bestimmen.
Auswertung. Zur Auswertung wird rk² über k aufgetragen. Aus der Steigung m = R λ der Geraden
wird bei vorgegebener Wellenlänge λ=589 nm
(Natriumlampe) der Krümmungsradius R der plankonvexen Linse bestimmt.
Literatur. [Wa], [BS], [HM], [De]
Abb. 6. Experimenteller Aufbau.
Version 07-2009