Aufgaben - Uni Regensburg

UNIVERSITÄT REGENSBURG
FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK
Prof. Dr. N. Naumann
WS 2010/2011
Blatt 1
Übungen zur Vorlesung
,,Lineare Algebra I“
Abgabe: Mi, 27.10.2010 bis 11.30 Uhr
Aufgabe 1. Die Mengen A und B seien durch A = {α, β, γ} und B = {a, b, c, d, e}
definiert.
(a) Wie viele Abbildungen A −−→ B und wie viele Abbildungen B −−→ A gibt es?
(b) Kann eine Abbildung A −−→ B surjektiv, respektive eine Abbildung B −−→ A
injektiv sein ?
(c) Wie viele injektive Abbildungen A −−→ B und wie viele surjektive Abbildungen B −−→ A gibt es?
Aufgabe 2. Es seien X und Y zwei Mengen, und f : X −−→ Y eine Abbildung.
Zeigen Sie: f ist genau dann bijektiv, wenn es eine inverse Abbildung zu f gibt,
d.h. eine Abbildung g : Y −−→ X, so dass f ◦ g = idY und g ◦ f = idX .
Aufgabe 3.
(a) Sei f : R3 −−→ R gegeben durch: f (x, y, z) = (x − y + 2z)2 + (2x + y + 3z)2 .
Bestimmen Sie die Menge f −1 ({0}) .
(b) Gibt es eine bijektive Abbildung N −−→ Z? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 4. Sei M eine Menge. Die Potenzmenge P(M ) von M ist definiert als
die Menge aller Teilmengen von M :
P(M ) = {T T ist Teilmenge von M }.
Geben Sie alle Elemente der folgenden Potenzmengen an und begründen Sie Ihr
Ergebnis:
(a) P ({1, 2, 3, 4})
(b) P (P ({a, b}))
(c) P (P (P (P (P (∅)))))
1
Zusatzaufgabe. Wie in Aufgabe 4 sei M eine Menge, und P(M ) die Potenzmenge
von M . Desweiteren schreiben wir
Abb(M, {0, 1}) = f f : M −−→ {0, 1} Abbildung
für die Menge aller Abbildungen von M in die Menge, die aus den Elementen 0 und
1 besteht. Zeigen Sie, dass die Abbildung
Abb(M, {0, 1}) −−→ P(M ) : f 7−→ f −1 ({1})
bijektiv ist.
Wichtige Informationen:
• Die Einteilung in die Übungsgruppen findet online statt. Hierzu müssen Sie
sich zunächst auf der Seite
http://www-cgi.uni-regensburg.de/Fakultaeten
/nat Fak I/waldorf/linalgebra
unter dem Menüpunkt ,,Login“ mit Ihrer Kennung (z.B. abc12345) und Ihrem
RZ-Passwort anmelden. Dort finden Sie eine Auflistung der Übungsgruppen.
Von Donnerstag, 21.10., 19.00 Uhr bis Dienstag, 26.10., 21.00 Uhr
können Sie sich in einer der Gruppen eintragen. Es gilt das Prinzip: Wer zuerst
kommt, mahlt zuerst. Sollte allerdings jemand mit seinem Termin unzufrieden
sein, oder sich im Nachhinein herausstellen, dass jemand doch zu dem bereits
gewählten Termin keine Zeit hat, so gibt es online auch eine Tauschbörse.
• Wöchentlich ist ein Übungsblatt zu bearbeiten, das ebenfalls auf obiger Seite
jeden Mittwoch um 11.30 Uhr online gestellt wird, und das Sie innerhalb einer
Woche bearbeiten sollen. Auf jedem Blatt befinden sich 4 Aufgaben und eine
Zusatzaufgabe, die fakultativ bearbeitet werden kann, und auf die es zusätzliche Punkte gibt. Sie dürfen auch zu zweit abgeben unter der Voraussetzung,
dass beide zur selben Übungsgruppe gehören. Bitte geben Sie Ihren Zettel,
deutlich lesbar mit Ihrem Namen und dem Namen Ihres Übungsleiters versehen, pünktlich in dem dafür vorgesehenen Briefkasten ab (1. Stock). Zu spät
eingeworfene Aufgaben müssen vom Übungsleiter nicht mehr berücksichtigt
werden!
• In den Zentralübungen am Mittwoch werden Fragen zur Vorlesung beantwortet und sogenannte Miniklausuren geschrieben. Die Teilnahme an den Miniklausuren ist freiwillig. Sie haben 20 Minuten Zeit, um wenige kurze Aufgaben
zum aktuellen Stoff der Vorlesungen zu bearbeiten, welche dann in Übungsgruppen unterteilt abgegeben werden und von den Übungsleitern korrigiert
werden. Hierauf werden allerdings keine Noten vergeben, sondern wie bei den
Übungsaufgaben jeweils bis zu vier Punkte verteilt.
• Der Termin der Modulteilprüfung ist Dienstag, den 22.02.2011. Sie können
an der Modulteilprüfung teilnehmen, wenn Sie 50 Prozent der Punkte aus den
Übungsaufgaben erreicht haben. (Hierbei zählen die in den Miniklausuren und
der wöchentlichen Zusatzaufgabe erzielten Punkte als Bonuspunkte, d.h. es
können maximal 150 Prozent der gewerteten Punkte erreicht werden.)
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Prof. Dr. N. Naumann
WS 2010/2011
Blatt 2
Übungen zur Vorlesung
,,Lineare Algebra I“
Abgabe: Mi, 03.11.2010 bis 11.30 Uhr im Briefkasten im 1. Stock
Aufgabe 1. Es sei G eine Gruppe und U ⊆ G eine nichtleere Teilmenge. Zeigen
Sie, dass U genau dann eine Untergruppe ist, wenn für alle a, b ∈ U auch ab−1 ∈ U
gilt.
Aufgabe 2. Seien G und H Gruppen, und es bezeichne: ϕ die Multiplikation von
G, ψ die Multiplikation von H, e das neutrale Element von G und i das neutrale
Element von H. Eine Abbildung f : G −−→ H heißt Gruppenhomomorphismus, falls
f (ϕ(a, b)) = ψ(f (a), f (b))
gilt für alle a, b ∈ G. Zeigen Sie, dass für einen Gruppenhomomorphismus f gilt:
a) f (e) = i.
b) f (a−1 ) = f (a)−1 für alle a ∈ G.
c) f ist genau dann injektiv, wenn f −1 ({i}) = {e} gilt.
Aufgabe 3. Wir betrachten die Menge X = {1, 2, 3}.
a) Wie viele Elemente hat die Permutationsgruppe Σ(X) ?
b) Finden Sie jeweils eine Untergruppe mit zwei bzw. drei Elementen.
Aufgabe 4. Betrachten Sie die Abbildung
ψ : Z≥0 −−→ P(Z) : m 7−→ {mx | x ∈ Z},
wobei Z≥0 die Menge der nicht-negativen ganzen Zahlen bezeichnet. Zeigen Sie:
(a) ψ ist injektiv. Betrachten Sie dazu in ψ(m) das kleinste, positive Element.
(b) Für jedes m ∈ Z≥0 ist ψ(m) eine Untergruppe von Z.
(c) Für jede Untergruppe U von Z gibt es ein m ∈ Z≥0 so dass U = ψ(m).
Zusammengefasst bedeuten (a), (b) und (c), dass ψ eine bijektive Abbildung zwischen Z≥0 und der Menge der Untergruppen von Z definiert.
Zusatzaufgabe. Es seien X und Y Mengen, und f : X −−→ Y sei eine bijketive
Abbildung. Zeigen Sie, dass die Abbildung
Σ(X) −−→ Σ(Y ) : σ 7−→ f ◦ σ ◦ f −1
ein bijektiver Gruppenhomomorphismus (siehe Aufgabe 2) ist.
Hinweis: betrachten Sie die Abbildung Σ(Y ) −−→ Σ(X) : τ 7−→ f −1 ◦ τ ◦ f und
benutzen Sie Aufgabe 2 vom Blatt 1.
1
Aufgabe Miniklausur Zusatzaufgabe
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WS 2010/2011
Blatt 3
Übungen zur Vorlesung
”Lineare Algebra I”
Abgabe: Mi, 10.11.2010 bis 11.30 Uhr
Aufgabe 1. Betrachten Sie die Menge K = {0, 1, 2}, und darauf zwei Verknüpfungen + und · , die durch die folgenden Tabellen gegeben sind:
+
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
·
0
1
2
0
0
0
0
1
0
1
2
2
0
2
1
So ist zum Beispiel 2 + 1 = 0 und 2 · 2 = 1.
(a) Weisen Sie nach, dass K mit diesen Verknüpfungen und den neutralen Elementen 0 und 1 ein Körper ist.
(b) Finden Sie jeweils alle Lösungen X ∈ K der Gleichungen
X2 + X + 1 = 0
und
X 2 + 1 = 0.
Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass für n ∈ N und 0 ≤ i ≤ n der Binomialkoeffizient
die Anzahl der i-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge angibt:
n
= |{X | X ⊆ {1, . . . , n}; |X| = i}|
i
n
i
Hinweis: verwenden Sie Vollständige Induktion über n, indem Sie im Induktionsschritt die k-elementigen Teilmengen X mit Hilfe der Fallunterscheidung n + 1 ∈ X
oder n + 1 ∈
/ X zählen.
Aufgabe 3. Es sei n ∈ N eine natürliche Zahl, und M eine Menge mit n Elementen.
(a) Zeigen Sie ohne Verwendung von Aufgabe 2, dass gilt:
|P(M )| = 2n
Hinweis: Benutzen Sie die Aussage der Zusatzaufgabe auf Blatt 1!
2
(b) Die Potenzmenge P(M ) von M lässt sich wie folgt in eine Vereinigung von
Mengen zerlegen: Bezeichnet für 0 ≤ i ≤ n Pi (M ) die Menge aller Teilmengen
von M mit i Elementen, also
Pi (M ) = {X | X ⊆ M ; |X| = i},
so gilt:
P(M ) =
[
Pi (M )
i∈{0,...,n}
und je zwei dieser Mengen Pi (M ), Pj (M ) (i, j = 0, . . . n, i 6= j) haben leeren
Durchschnitt.
Zeigen Sie mit Hilfe dieser Tatsache die folgende Aussage von Korollar 3.15
nochmal auf andere Weise als in der Vorlesung:
Für n ≥ 0 gilt für die Summe der Zahlen in der n-ten Zeile des Pascalschen
Dreiecks:
n X
n
= 2n .
i
i=0
Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 2 und Aufgabe 3a)!
Aufgabe 4. Für eine komplexe Zahl z = (a, b) ∈ C wird z̄ := (a, −b) ∈ C als
die komplex konjugierte Zahl bezeichnet. Beweisen Sie die folgenden Regeln für
z1 , z2 ∈ C:
(a) z¯1 + z¯2 = z1 + z2 .
(b) z1 · z2 = z1 · z2 .
(c) z · z̄ = a2 + b2 , falls z = (a, b).
Zusatzaufgabe. Zeigen Sie, dass
Q(i) := {a + b · i | a, b ∈ Q}
ein Teilkörper der komplexen Zahlen C ist. Zeigen Sie dann, dass Q(i) der kleinste
Teilkörper von C ist, der i enthält.
Hinweis: Nehmen Sie dazu an, L sei ein Teilkörper von C, und i ∈ L. Beweisen Sie
dann, dass die Beziehung Q(i) ⊆ L gilt.
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WS 2010/2011
Blatt 4
Übungen zur Vorlesung
,,Lineare Algebra I“
Abgabe: Mi, 17.11.2010 bis 11.30 Uhr im Briefkasten im 1. Stock
Aufgabe 1. Sei K ein Körper. Beweisen Sie für die in der Vorlesung eingeführte
Schreibweise na für n ∈ Z und a ∈ K (Definition 3.13) die folgenden Regeln für alle
n, m ∈ Z und a ∈ K:
(a) (n + m)a = na + ma
(b) n(m(a)) = (nm)a
Aufgabe 2. Seien p eine Primzahl, und K ein Körper in dem p·1 = 0 gilt. Beweisen
Sie das Korollar 3.16 aus der Vorlesung: für alle a, b ∈ K gilt
(a + b)p = ap + bp .
Hinweis: benutzen Sie die Binomische Formel (Satz 3.14).
Aufgabe 3. Seien X eine Menge, K ein Körper und V ein K-Vektorraum mit einer
Addition + und einer Skalarmultiplikation · . Auf der Menge
Abb(X, V ) := {f | f : X −−→ V Abbildung }
wird für f, g ∈ Abb(X, V ) eine Addition f + g definiert durch
(f + g)(x) := f (x) + g(x)
für alle x ∈ X,
und es wird für a ∈ K und f ∈ Abb(X, V ) eine Skalarmultiplikation a · f definiert
durch
(a · f )(x) := a · f (x) für alle x ∈ X.
Zeigen Sie, dass Abb(X, V ) mit diesen Verknüpfungen ein K-Vektorraum ist.
Aufgabe 4. Es sei X eine Menge, und x ∈ X ein Element. Prüfen Sie, ob die folgenden Teilmengen des R-Vektorraumes Abb(X, R) von Aufgabe 3 Untervektorräume
sind:
(a) {f ∈ Abb(X, R) | f (x) = 0 }.
(b) {f ∈ Abb(X, R) | f (x) = 1 }.
Zusatzaufgabe. Seien X eine Menge, K ein Körper und Abb(X, K) der K-Vektorraum aus Aufgabe 3. Zeigen Sie, dass
{f ∈ Abb(X, K) | es gilt f (x) 6= 0 nur für endlich viele x ∈ X} ⊆ Abb(X, K)
ein Untervektorraum ist.
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WS 2010/2011
Blatt 5
Übungen zur Vorlesung
,,Lineare Algebra I“
Abgabe: Mi, 24.11.2010 bis 11.30 Uhr im Briefkasten im 1. Stock
Aufgabe 1. Für welches a ∈ Q ist die Familie der Vektoren
v1
v2
=
=
(1, 1, a)
(2, 0, 3)
v3
=
(0, 3, 1)
linear unabhängig im Q-Vektorraum Q3 ?
Aufgabe 2. Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum, und n ≥ 1. Ferner sei
{v1 , v2 , . . . , vn } eine linear unabhängige Familie von Vektoren in V . Beweisen Sie,
dass die Familie
{v1 , v2 , . . . , vn , v1 + v2 + ... + vn }
linear abhängig ist, aber je n dieser Vektoren linear unabhängig sind.
Aufgabe 3. Sei K ein Körper und n ≥ 1. Zeigen Sie, dass die Familie {e1 , e2 , ..., en }
der Standardbasisvektoren eine Basis von K n ist.
Aufgabe 4. Die aus der Schule bekannten Abbildungen
sin : R −−→ R
und
cos : R −−→ R
sind Elemente des R-Vektorraumes Abb(R, R).
(a) Zeigen Sie, dass die Familie {idR , cos, sin} linear unabhängig ist.
Hinweis: werten Sie die Abbildungen an geeigneten Stellen aus.
(b) Entscheiden Sie mit Beweis, ob auch die Familie idR , cos, sin, cos2 , sin2 linear
unabhängig ist.
Zusatzaufgabe.
Betrachten Sie den R-Vektorraum C. Für welche z ∈ C ist die
Familie z, z 2 linear unabhängig?
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Blatt 6
Übungen zur Vorlesung
,,Lineare Algebra I“
Abgabe: Mi, 01.12.2010 bis 11.30 Uhr im Briefkasten im 1. Stock
Aufgabe 1. Gegeben seien die folgenden Teilmengen des R-Vektorraumes R4 :
U = {(0, 0, t, t2 ) ∈ R4 | t ∈ R};
V = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | x3 = −x1 }
(a) Zeigen Sie, dass U kein Untervektorraum von R4 ist.
(b) Zeigen Sie, dass V ein 3-dimensionaler Untervektorraum von R4 ist, und geben
Sie (mit Beweis) eine Basis von V an.
(c) Ergänzen Sie Ihre Basis aus (b) zu einer Basis von R4 .
Aufgabe 2. Es sei K ein Körper, l, m, n ∈ N mit l, m, n ≥ 1, sowie v1 , . . . , vl ∈ K m
und w1 , . . . , wl ∈ K n . Für i = 1, . . . , l sei der Vektor ui ∈ K m+n definiert als
ui = (vi , wi ), mit anderen Worten also der Vektor, der zunächst die Einträge von vi
und dann die Einträge von wi enthält. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden
Aussagen:
a) Ist die Familie von Vektoren {v1 , . . . , vl } linear abhängig, so gilt dies auch für
die Familie von Vektoren {u1 , . . . , ul }.
b) Ist die Familie von Vektoren {v1 , . . . , vl } linear unabhängig, so gilt dies auch
für die Familie von Vektoren {u1 , . . . , ul }.
Aufgabe 3. Es sei K ein Körper.
(a) Vervollständigen Sie den Beweis von Lemma 5.16 aus der Vorlesung. Nehmen
Sie dazu an, dass v1 , v2 , v3 , ... eine Folge von Vektoren aus einem K-Vektorraum
V ist, und dass für jedes n ∈ N die Familie {v1 , ..., vn } linear unabhängig ist.
Beweisen Sie dann, dass V nicht endlich erzeugt ist, d.h. dimK (V ) = ∞.
(b) Beweisen Sie, dass der K-Vektorraum Abb(N, K) von Abbildungen f : N −−→ K
nicht endlich erzeugt ist.
Hinweis: verwenden Sie (a).
Aufgabe 4. Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und U ein KUntervektorraum von V . Zeigen Sie:
(a) dimK (U ) ≤ dimK (V ).
Hinweis: Begründen Sie, warum eine Familie linear unabhängiger Vektoren in U ⊆ V auch linear unabhängig in V ist und verwenden Sie den
Basisergänzungssatz. Betrachten Sie außerdem gesondert den Fall, dass V
unendlich-dimensional ist, und benutzen Sie dazu die Konvention n ≤ ∞ für
alle n ∈ N.
(b) Ist V endlich erzeugt, so ist genau dann dimK (U ) = dimK (V ), wenn U = V .
Zusatzaufgabe. Es sei K Teilkörper eines Körpers L, und V ein L-Vektorraum
mit Addition + und Skalarmultiplikation ·L : L × V −−→ V .
(a) Schränkt man die Skalarmultiplikation ·L auf K ⊆ L ein, so erhält man eine
Skalarmultiplikation auf V mit Elementen aus K:
·K : K × V
(k, v)
−−→ V
7−→
k ·L v
Zeigen Sie, dass V mit der Addition + und der Skalarmultiplikation ·K ein
K-Vektorraum ist.
(b) Nach Beispiel 4.2 aus der Vorlesung ist L ein K-Vektorraum, und wir nehmen
nun an, dass er als solcher ein endliches Erzeugendensystem {l1 , . . . , lm } mit
li ∈ L hat. Desweiteren habe auch der L-Vektorraum V ein endliches Erzeugendensystem {v1 , . . . , vn } mit vi ∈ V . Zeigen Sie, dass die Familie
{li ·L vj | i = 1, . . . , m, j = 1, . . . n}
ein Erzeugendensystem des K-Vektorraumes V ist.
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WS 2010/2011
Blatt 7
Übungen zur Vorlesung
,,Lineare Algebra I“
Abgabe: Mi, 08.12.2010 bis 11.30 Uhr im Briefkasten im 1. Stock
Aufgabe 1. Es seien im R5 folgende vier Vektoren gegeben:
v1 = (1, 0, 1, 0, 1), v2 = (1, 1, 0, 1, 1), v3 = (0, 1, 0, 1, 0), v4 = (0, 1, 1, 1, 0).
Bestimmen Sie mit Hilfe von Satz 6.7 der Vorlesung eine Basis des von v1 , v2 , v3 , v4
erzeugten R-Untervektorraums h{v1 , v2 , v3 , v4 }i von R5 !
Aufgabe 2. Es seien a, b, c ∈ R drei reelle Zahlen. In R4 seien vier Vektoren
gegeben:
1 1
v1 = (1, c, a, 1), v2 = (2, 1, 1, 2), v3 = (1, , , 2b), v4 = (2, 1, 1, 3).
2 2
Bestimmen Sie mit Hilfe von Satz 6.7 der Vorlesung die Dimension des von der Familie {v1 , v2 , v3 , v4 } erzeugten R−Untervektorraums h{v1 , v2 , v3 , v4 }i in Abhängigkeit
der Parameter a, b, c ∈ R.
Aufgabe 3. Seien n, m ∈ N, K ein Körper, V ein endlich erzeugter K-Vektorraum
und U und W K-Untervektorräume von V , so dass V = U ⊕ W gilt. Desweiteren
sei {u1 , . . . , um } eine Familie von Vektoren in U und {w1 , . . . , wn } eine Familie von
Vektoren in W . Zeigen Sie:
(i) {u1 , . . . , um } ist ein Erzeugendensystem von U und {w1 , . . . , wn } ein Erzeugendensystem von W genau dann, wenn {u1 , . . . , um , w1 , . . . , wn } ein Erzeugendensystem von V ist.
(3 Punkte)
(ii) {u1 , . . . , um } ist linear unabhängig in U und {w1 , . . . , wn } linear unabhängig
in W genau dann, wenn {u1 , . . . , um , w1 , . . . , wn } linear unabhängig in V ist.
(3 Punkte)
(Insbesondere heißt dies: {u1 , . . . , um } ist eine Basis von U und {w1 , . . . , wn }
eine Basis von W genau dann, wenn die Vereinigung der beiden Familien
{u1 , . . . , um , w1 , . . . , wn } eine Basis von V ist.)
Hinweis: Verwenden Sie, dass laut Voraussetzung gilt: U ∩ W = {0}. Hat man dann
eine Gleichung u = w mit u ∈ U, w ∈ W , so muss deswegen gelten:
u = w ∈ U ∩ W = {0}, also u = w = 0.
Aufgabe 4. Es sei K ein Körper, V ein endlich erzeugter K-Vektorraum, und
U, U ′ ⊆ V zwei K-Untervektorräume. Zeigen Sie, dass dann folgende Gleichung
gilt:
dimK U + dimK U ′ = dimK (U + U ′ ) + dimK (U ∩ U ′ ) .
Hinweis:
Nach Satz 7.5 der Vorlesung existiert ein Komplement W von U ∩ U ′ in U (d.h.
U = W ⊕ (U ∩ U ′ )) sowie ein Komplement W ′ von U ∩ U ′ in U ′ (d.h. U ′ =
W ′ ⊕ (U ∩ U ′ )). Folgern Sie, dass dann U + U ′ = U ∩ U ′ + W + W ′ gilt, und
zeigen Sie, dass die rechte Seite dieser Gleichung schon eine direkte Summe ist, also
U + U ′ = U ∩ U ′ ⊕ W ⊕ W ′ , indem Sie ähnlich argumentieren wie in Aufgabe 3
oder dem Beweis von Satz 7.2. Verwenden Sie dann die Dimensionsgleichung aus
Satz 7.5, um die gewünschte Formel herzuleiten.
Zusatzaufgabe. Es sei K ein Körper. Wir betrachten den zweidimensionalen KVektorraum K 2 . Zeigen Sie:
(i) Zu jedem K-Untervektorraum U ( K 2 von K 2 gibt es ein x = (x1 , x2 ) ∈ K 2
mit U = K · x = h{x}i.
(ii) Für x, y ∈ K 2 gilt:
h{x}i = h{y}i ⇔ ∃λ ∈ K ∗ mit x = λy.
(iii) Es bezeichne F3 den Körper mit drei Elementen, der auf Blatt 3, Aufgabe
1 eingeführt wurde. Bestimmen Sie mit Hilfe von (i) und (ii) alle Untervektorräume des zweidimensionalen F3 -Vektorraums (F3 )2 .
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Blatt 8
Übungen zur Vorlesung
,,Lineare Algebra I“
Abgabe: Mi, 15.12.2010 bis 11.30 Uhr im Briefkasten im 1. Stock
Aufgabe 1. Welche der folgenden Abbildungen f : R4 −−→ R4 sind R-linear? Bestimmen Sie in diesem Fall jeweils eine Basis von ker(f ).
(i) (x1 , x2 , x3 , x4 ) 7−→ (x1 , x1 ∙ x2 , 3x3 , x4 − x1 )
(2 Punkte)
(ii) (x1 , x2 , x3 , x4 ) 7−→ (x1 + x3 , x2 , 0, 2x4 )
(2 Punkte)
(iii) (x1 , x2 , x3 , x4 ) 7−→ (x21 , x2 + x1 , x3 , 4x4 )
(2 Punkte)
Aufgabe 2. Gegeben sei die Abbildung
f
: R2
(x1 , x2 )
−−→
R2
7−→
(2x1 + 3x2 , 4x1 + x2 )
(a) Zeigen Sie, dass f R-linear ist.
(1 Punkt)
(b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix von f bezüglich der Basen {e1 , e2 } und
{e1 , e2 }, wobei e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) die Standardbasisvektoren sind.
(1 Punkt)
(c) Zeigen Sie, dass B = {(1, 2), (3, 1)} eine Basis von R2 ist, und bestimmen Sie
die darstellende Matrix von f bezüglich der Basen {e1 , e2 } und B. (2 Punkte)
(d) Zeigen Sie, dass B = {(1, 1), (1, 0)} und C = {(1, 1), (2, 1)} Basen von R2 sind,
und bestimmen Sie die darstellende Matrix von f bezüglich der Basen B und
C.
(2 Punkte)
Aufgabe 3. Es seien K ein Körper, V und W K-Vektorräume, {v1 , . . . , vn } eine
Familie von Vektoren in V , und f : V −−→ W eine K-lineare Abbildung. Zeigen Sie:
(a) Ist {v1 , ..., vn } linear unabhängig und f ein Monomorphismus, so ist die Familie
{f (v1 ), . . . , f (vn )} von Vektoren in W linear unabhängig.
(2 Punkte)
(b) Ist {v1 , ..., vn } ein Erzeugendensystem von V und f ein Epimorphismus, so ist
die Familie {f (v1 ), . . . , f (vn )} ein Erzeugendensystem von W .
(2 Punkte)
(c) Zeigen Sie durch jeweils ein Beispiel, dass für die Aussagen (a) und (b) auf
,,Mono“ bzw. ,,Epi“ nicht verzichtet werden kann.
(2 Punkte)
Aufgabe 4. Seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum und f ∈ HomK (V, V ) mit
f ◦ f = f . Zeigen Sie:
V = ker(f ) ⊕ im(f ).
Zusatzaufgabe. Es seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum, r ≥ 1 und U1 , ..., Ur
eine Familie von K-Untervektorräumen von V . Wir werden im folgenden die Ui
sowohl als Untervektorräume von V auffassen (und dann ihre Summe betrachten),
als auch als einzelne K-Vektorräume (und dann ihr Produkt betrachten).
(a) Beweisen Sie, dass die Abbildung
f :
r
Y
Ui −−→
i=1
r
X
Ui : (v1 , ..., vr ) 7−→
r
X
vi
i=1
i=1
ein Epimorphismus ist, d.h. K-linear und surjektiv.
(3 Punkte)
(b) Zeigen Sie, dass f genau dann ein Isomorphismus ist, wenn die Summe
r
X
Ui ⊆ V
i=1
eine direkte Summe ist.
(3 Punkte)
Man kann also über die Abbildung f direkte Summmen und Produkte von Untervektorräumen identifizieren.
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Blatt 9
Übungen zur Vorlesung
,,Lineare Algebra I“
Abgabe: Mi, 22.12.2010 bis 11.30 Uhr im Briefkasten im 1. Stock
Aufgabe 1. Es seien

2
A = −1
0
die folgenden beiden Matrizen gegeben:

0
1 1
1 ∈ M(3,2) (R)
B=
∈ M(2,2) (R).
0 1
3
(a) Berechnen Sie die Matrixprodukte AB, AB t , BAt und B 2 .
(2 Punkte)
(b) Beweisen Sie für alle n ∈ Z die Identität
1 n
n
B =
.
0 1
(2 Punkte)
Hinweis: vollständige Induktion.
(c) Beweisen Sie für alle n, k ∈ N, X ∈ M(n,n) (K) und A ∈ Gln (K) die Identität
(AXA−1 )k = AX k A−1 .
(2 Punkte)
Aufgabe 2. Finden Sie jeweils Matrizen A, B ∈ M(2,2) (Q) mit:
(a) AB 6= BA.
(b) (A + B)2 6= A2 + 2AB + B 2 .
(c) A, B 6= 0 aber AB = 0.
Aufgabe 3. Es sei f : M(2,2) (R) −−→ M(2,2) (R) die durch
f (X) := AX − XA
mit
A :=
0
1
1
0
gegebene Abbildung.
(a) Zeigen Sie, dass f R-linear ist.
(1 Punkt)
(b) Zeigen Sie, dass die Familie {E1 , E2 , E3 , E4 } mit
E1 :=
1
0
0 0
E2 :=
eine Basis von M(2,2) (R) ist.
0
0
1
0
E3 :=
0 0 1 0
E4 :=
0 0
0 1
(2 Punkte)
(c) Bestimmen Sie die darstellende Matrix Φ(f ) von f bezüglich der Basis
{E1 , E2 , E3 , E4 }.
(3 Punkte)
Aufgabe 4. Es seien K ein Körper, {Vi }i∈I eine Familie von K-Vektorräumen Vi ,
und
Y
V :=
Vi
i∈I
deren Produktvektorraum. Wir bezeichnen die kanonischen Projektionen f ür alle
k ∈ I mit
πk : V −−→ Vk : (vi )i∈I 7−→ vk .
Weisen Sie die folgende universelle Eigenschaft des Produktvektorraumes nach: Zeigen Sie, dass es zu jedem K-Vektorraum W und zu jeder Familie {fi }i∈I von Klinearen Abbildungen fi : W −−→ Vi genau eine K-lineare Abbildung f : W −−→ V
gibt mit
πi ◦ f = fi
füe alle i ∈ I.
Zusatzaufgabe. Es sei p eine Primzahl und Fp ein Körper mit p Elementen. Wir
werden später sehen, dass solche Körper existieren.
(a) Zeigen Sie, dass die Anzahl der (n, n)-Matrizen mit Koeffizienten in Fp durch
2
|M(n,n) (Fp )| = p(n
)
gegeben ist.
(1 Punkt)
(b) Beweisen Sie, dass die Anzahl der invertierbaren (n, n)-Matrizen mit Koeffizienten in Fp durch
n−1
Y
(pn − pk )
|Gln (Fp )| =
k=0
gegeben ist.
(3 Punkte)
Hinweis: Zeigen Sie zunächst allgemein, dass eine Matrix A ∈ M(n,n) (K) genau
dann invertierbar ist, wenn ihre Spalten eine linear unabhängige Familie von n
Vektoren in K n bilden. Beweisen Sie dann vermittels vollständiger Induktion
über m, dass die Anzahl der linear unabhängigen Familien von m Vektoren in
Fnp durch
m−1
Y
(pn − pk )
k=0
gegeben ist.
(c) Wieviel Prozent der (5, 5)-Matrizen mit Koeffizienten in F7 sind invertierbar?
(1 Punkt)
(d) Zeigen Sie für ein fixiertes n ∈ N, dass der Anteil der invertierbaren (n, n)Matrizen unter allen (n, n)-Matrizen (jeweils mit Koeffizienten in Fp ) für
p −−→ ∞
gegen eins konvergiert.
Hinweis: Sie dürfen Resultate Ihrer Analysis-Vorlesung verwenden.
(1 Punkt)
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FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK
Prof. Dr. N. Naumann
WS 2010/2011
Blatt 10
Übungen zur Vorlesung
,,Lineare Algebra I“
Abgabe: Mi, 12.1.2011 bis 11.30 Uhr im Briefkasten im 1. Stock
Aufgabe 1. Beweisen Sie die folgenden Aussagen über Matrizen mit Koeffizienten
in einem Körper K für beliebige ℓ, m, n ∈ N:
(a) (A + B)t = At + B t für alle A, B ∈ M(m,n) (K).
(b) (a ∙ A)t = a ∙ At für alle a ∈ K und A ∈ M(m,n) (K).
(c) (At )t = A für alle A ∈ M(m,n) (K).
(d) rgz (A) = rgs (At ) and rgs (A) = rgz (At ) für alle A ∈ M(m,n) (K).
(e) (A ∙ B)t = B t ∙ At für alle A ∈ M(ℓ,m) (K) und B ∈ M(m,n) (K).
(f) At ∈ Gln (K) und (At )−1 = (A−1 )t für alle A ∈ Gln (K) .
Aufgabe 2. Bestimmen Sie das Vorzeichen der folgenden Permutationen:
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6
∈ S7 .
τ=
∈ S6 und σ =
3 4 2 7 5 1 6
5 6 4 3 1 2
Aufgabe 3. Seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum und U1 , U2 K-Untervektorräume von V . Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
1. Die Vereinigung U1 ∪ U2 ist ein K-Untervektorraum von V .
2. Es gilt U1 ⊆ U2 oder U2 ⊆ U1 .
3. Es gilt U1 ∪ U2 = U1 + U2 .
Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N und A, B ∈ M(n,n) (K) gilt:
A ∙ B = En
⇒
B ∙ A = En .
Zusatzaufgabe. Finden Sie den Fehler im ,,Beweis“ der folgenden Behauptung:
(∗) Jeder Student der LinAlg-Vorlesung bekommt ein Weihnachtsgeschenk.
Wir beweisen zunächst die folgende Aussage A(n) für 1 ≤ n ∈ N: Wenn in einer
Familie F von n Menschen ein Mensch existiert, der ein Geschenk bekommt, so
bekommen alle Menschen in der Familie F ein Geschenk.
Der Beweis der Aussage A(n) wird mit vollständiger Induktion geführt.
Induktionsanfang (n = 1): Falls in einer nur aus einem Menschen bestehenden Familie ein Mensch ein Geschenk bekommt, so bekommen offensichtlich alle Menschen
der Familie ein Geschenk; dies ist genau die Aussage A(1).
Induktionsschritt (n 7−→ n + 1): Es gelte die Aussage A(n). Nun sei F eine Familie
von n + 1 Menschen,
F = {m1 , ..., mn+1 } ,
und es existiere ein i0 ∈ {1, ..., n + 1}, so dass der Mensch mi0 ein Geschenk bekommt. Sei i ∈ {1, ..., n + 1}. Durch Entfernen eines Menschen mit Index j, wobei
j 6= i, i0 gewählt sei, erhält man eine Familie F ′ mit n Menschen, die mi0 und mi
enthält. Dann folgt durch Anwendung von A(n) auf die Familie F ′ , dass mi ein
Geschenk bekommt. Da i beliebig gewählt war, bekommen also alle Menschen der
Familie F ein Geschenk. Damit ist A(n + 1) gezeigt.
Die Behauptung (∗) wird nun wie folgt bewiesen: Sandra und Konrad schenken sich
gegenseitig etwas, also existieren in der Familie FUR aller Studenten und Mitarbeiter
der Universität Regensburg Menschen, die ein Geschenk bekommen. Demnach folgt
mit A(n), wobei n die Anzahl der Menschen in FUR bezeichnet, dass alle Menschen
der Familie FUR ein Geschenk bekommen, insbesondere also auch alle Studenten
der LinAlg-Vorlesung.
Wir wünschen euch allen Frohe Weihnachten!
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Prof. Dr. N. Naumann
WS 2010/2011
Blatt 11
Übungen zur Vorlesung
,,Lineare Algebra I“
Abgabe: Mi, 19.1.2011 bis 11.30 Uhr im Briefkasten im 1. Stock
Aufgabe 1.
(a) Beweisen Sie die Formel für die Determinante einer allgemeinen 3 × 3-Matrix
aus 13.5, ii) der Vorlesung durch Entwicklung nach der zweiten Zeile, d.h. durch
Anwendung von 14.5, ii) im Fall i = 2, n = 3.
(3 Punkte)
(b) Bestimmen Sie (falls Sie möchten unter Benutzung von (a)) die Determinanten
folgender Matrizen:
(3 Punkte)
1 2
3 4

1
 1
1

2
 1

 1
2

0 2
1 1 
2 3
1
2
2
1
1
1
2
2

2
0 

1 
3
Aufgabe 2.
(a) Finden Sie Matrizen A1 , B1 , A2 , B2 ∈ M(2,2) (R) mit det(A1 ) = det(B1 ) und
det(A2 ) = det(B2 ), aber det(A1 + A2 ) 6= det(B1 + B2 ).
(3 Punkte)
(b) Seien K ein Körper und seien
a
v1 =
,
c
v2 =
b
d
∈ K2
gegeben. Zeigen Sie die Äquivalenz der beiden folgenden Aussagen:
x
2
∈ K | x · v1 + y · v2 = 0 6= {(0, 0)}.
(i)
y
(ii) ad − bc = 0.
(3 Punkte)
Aufgabe 3. Es seien K ein Körper und A = (aij )1≤i,j≤n ∈ M(n,n) (K) eine obere
Dreiecksmatrix. Beweisen Sie:
det(A) =
n
Y
aii .
i=1
Aufgabe 4. Es sei U := {A ∈ M(2,2) (R) | A = At } die Menge der symmetrischen
(2, 2)-Matrizen mit Koeffizienten in R.
(a) Zeigen Sie, dass U ein R-Untervektorraum von M(2,2) (R) ist.
(1 Punkt)
(b) Es seien
x1 =
1 0
0 1
x2 =
,
−1 0
0 0
,
x3 =
0 1
1 0
.
Zeigen Sie, dass die Familie X = {x1 , x2 , x3 } eine Basis von U ist. (1 Punkt)
(c) Es sei nun auf U eine Determinantenfunktion
∆ : U −−→ R
gegeben, für die ∆(x1 , x2 , x3 ) = 3 gilt. Berechnen sie ∆(z1 , z2 , z3 ) für:
1 2
2 1
2 1
.
, z3 =
, z2 =
z1 =
2 3
1 2
1 0
(4 Punkte)
Zusatzaufgabe. Eine Operation einer Gruppe G auf einer Menge X ist eine Abbildung
ρ : G × X −−→ X,
so dass
ρ(g1 · g2 , x) = ρ(g1 , ρ(g2 , x))
und
ρ(e, x) = x
gelten für alle x ∈ X und g1 , g2 ∈ G, wobei e das neutrale Element von G bezeichnet.
(a) Es sei K ein Körper, n ∈ N, und Gln (K) die allgemeine lineare Gruppe der
Größe n. Zeigen Sie, dass
ρ : Gln (K) × K n −−→ K n : (A, v) 7−→ A · v
eine Operation ist (hierbei soll der K n aus Spaltenvektoren bestehen).
(b) Es sei ρ : G × X −−→ X eine Operation, und es bezeichne Σ(X) die Permutationsgruppe der Menge X. Wir betrachten die Abbildung
sρ : G −−→ Σ(X)
die durch sρ (g)(x) := ρ(g, x) definiert wird. Zeigen Sie, dass sρ wohldefiniert
und ein Gruppenhomomorphismus ist.
Zur Erinnerung: eine Abbildung f : G −−→ H zwischen Gruppen G und H heißt
Gruppenhomomorphismus, falls f (g1 · g2 ) = f (g1 ) · f (g2 ) gilt für alle g1 , g2 ∈ G.
(c) Es sei F2 = {0, 1} der Körper mit zwei Elementen, dessen Verknüpfungen durch
die Tabellen
+
0
1
0
0
1
1
1
0
·
0
1
0
0
0
1
0
1
gegeben sind. Zeigen Sie, dass die Gruppen Gl2 (F2 ) und S3 isomorph sind, d.h.
dass es einen bijektiven Gruppenhomomorphismus
Gl2 (F2 ) −−→ S3
gibt.
Hinweis: Finden Sie zunächst eine Operation ρ der Gruppe G := Gl2 (F2 ) auf
der Menge X := F22 \ 0, indem Sie (a) leicht verändern. Betrachten Sie dann die
dazugehörige Abbildung sρ . Berechnen Sie außerdem die Anzahlen der Elemente
von G und X. Benutzen Sie (falls Sie möchten) die Zusatzaufgaben der Blätter
2 und 9.
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Prof. Dr. N. Naumann
WS 2010/2011
Blatt 12
Übungen zur Vorlesung
,,Lineare Algebra I“
Abgabe: Mi, 26.1.2011 bis 11.30 Uhr im Briefkasten im 1. Stock
Aufgabe 1. Es seien K ein Körper und K[X] der Polynomring über K. Addition
und Multiplikation seien definiert wie in Abschnitt 15.1 der Vorlesung.
(a) Zeigen Sie für f, g, h ∈ K[X]:
(i) (f ∙ g) ∙ h = f ∙ (g ∙ h)
(ii) 1 ∙ f = f = f ∙ 1
(iii) f ∙ (g + h) = f ∙ g + f ∙ h
(iv) f ∙ g = g ∙ f
(v) für f 6= 0 und g 6= 0 gilt: f ∙ g 6= 0.
(2 Punkte)
(b) Zeigen Sie, dass K[X] zusammen mit der Addition + und der Skalarmultiplikation
K × K[X] −−→ K[X] : (a, f ) 7−→ (aX 0 ) ∙ f
ein K-Vektorraum ist, und dass für alle a ∈ K die Abbildung
eva : K[X] −−→ K : f 7−→ f (a)
ein Epimorphismus ist (sie heißt Einsetzungshomomorphismus ).
(2 Punkte)
(c) Es sei wie in Abschnitt 4.9 (ii) der Vorlesung
Abbf in (N, K) := {f : N −−→ K | es gilt f (x) 6= 0 nur für endlich viele n ∈ N}.
Nach der Zusatzaufgabe auf Blatt 4 ist Abb f in (N, K) ein K-Vektorraum. Konstruieren Sie einen Isomorphismus K[X] −−→ Abbf in (N, K).
(2 Punkte)
Aufgabe 2. Gegeben sei der Ausdruck P (X) = X 5 − X 4 − X + 1. Da jeder Körper
K eine Eins enthält, können wir P (X) als Element des Polynomrings K[X] über
jedem Körper K auffassen. Schreiben Sie P als Produkt f1 ∙ .... ∙ fr von Polynomen
fi ∈ K[X], die jeweils entweder Grad eins haben oder keine Nullstellen besitzen.
(a) K = R[X]
(b) K = C[X]
(c) K = F3 [X] (siehe Aufgabe 1 von Blatt 3)
(d) K = F2 [X] (siehe Zusatzaufgabe von Blatt 11)
Hinweis: raten Sie Nullstellen von P und verwenden Sie ,,Division mit Rest“ (Satz
15.7) der Vorlesung.
Aufgabe 3. Es sei K ein Körper.
(a) Zeigen Sie, dass ein Polynom f ∈ K[X] vom Grad n ∈ N höchstens n Nullstellen
besitzt, also dass für alle 0 6= f ∈ K[X] gilt:
|{λ ∈ K | f (λ) = 0}| ≤ deg(f ).
(2 Punkte)
(b) Für n ∈ N betrachten wir die Menge der Polynome vom Grad ≤ n,
Vn := {f ∈ K[X] | deg(f ) ≤ n} .
Zeigen Sie, dass Vn ein K-Untervektorraum von K[X] der Dimension n + 1 ist.
(2 Punkte)
(c) Zeigen Sie, dass für alle λ ∈ K die Teilmenge
Wn := {f ∈ Vn | f (λ) = 0} ⊆ Vn
ein K-Untervektorraum ist. Zeigen Sie, dass für n ≥ 1 die Vektorräume Wn
und Vn−1 isomorph sind.
(2 Punkte)
Aufgabe 4. Es seien K ein Körper, n ∈ N und x0 , ..., xn ∈ K. Es sei weiterhin


1 x0 x20 . . . xn0
1 x1 x21 . . . xn1 


A :=  .
..
..
..  ∈ M(n+1,n+1) (K).
 ..
.
.
. 
1 xn x2n . . . xnn
Beweise Sie:
det(A) =
Y
(xi − xj ).
i>j
Hinweis: Verwenden Sie vollständige Induktion. Freiwilliger Tipp: machen Sie
zunächst einige Spaltenumformungen, und entwickeln Sie dann nach der ersten Zeile.
Zusatzaufgabe. Für einen Körper K heißt eine Abbildung ξ : K −−→ K Polynomfunktion, falls es ein Polynom f ∈ K[X] gibt mit ξ(a) = f (a) für alle a ∈ K.
(a) Zeigen Sie, dass die Menge der Polynomfunktionen
P(K) := {ξ ∈ Abb(K, K) | ξ ist Polynomfunktion}
ein K-Vektorraum ist, und dass die Abbildung
ϕ : K[X] −−→ P(K)
mit
ϕ(f )(a) := f (a)
ein wohldefinierter Epimorphismus ist.
(2 Punkte)
(b) Zeigen Sie:
(
∞
|P(K)| =
qq
falls |K| = ∞
falls |K| = q < ∞
aber
|K[X]| = ∞.
Hinweis: Sie dürfen eine Interpolationsmethode Ihrer Wahl benutzen, z. B. die
Lagrangesche Interpolationsformel aus dem Wikipedia-Eintrag ,,Polynominterpolation“.
(2 Punkte)
(c) Zeigen Sie, dass der Epimorphismus ϕ aus (a) genau dann ein Isomorphismus
ist, wenn K unendlich viele Elemente hat.
(2 Punkte)
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WS 2010/2011
Blatt 13
Übungen zur Vorlesung
,,Lineare Algebra I“
Abgabe: Mi, 02.02.2011 bis 11.30 Uhr im Briefkasten im 1. Stock
Aufgabe 1. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenräume der folgenden Matrizen.
Entscheiden Sie jeweils ob die Matrix diagonalisierbar ist, und geben Sie – falls ja
– eine invertierbare Matrix Q an, so dass Q−1 AQ diagonal ist.


0 −1 −2
2  ∈ M(3,3) (R)
(a) A =  2 3
1 1
3


0 −1 −2
2  ∈ M(3,3) (R)
(b) A =  1 2
2 2
3


1 3 −2 0
 0 3
0 −1 

(c) A = 
 0 −1 3 −1  ∈ M(4,4) (R)
0 −2 0
2
Aufgabe 2. Für welche a ∈ R ist die Matrix


2−a
−a
−a
D =  2a + 2 2a + 2 2a − 2  ∈ M(3,3) (R)
−a − 2
−a
4−a
diagonalisierbar? Bestimmen Sie für jedes solche a ∈ R eine Basis des R3 aus Eigenvektoren von D.
Aufgabe 3. Es seien K ein Körper, n ∈ N und A ∈ M(n,n) (K).
(a) Zeigen Sie, dass die Abbildung
K[X] −−→ M(n,n) (K) : f (X) 7−→ f (A)
die ein Polynom f (X) = ak X k + ... + a1 X + a0 auf die Matrix
f (A) :=
k
X
ai Ai
i=0
abbildet, K-linear ist und für alle f, g ∈ K[X]
(f g)(A) = f (A)g(A)
erfüllt.
(2 Punkt)
(b) Zeigen Sie, dass die Abbildung aus (a) nicht injektiv ist, d.h. dass ein Polynom
f 6= 0 existiert mit f (A) = 0.
(2 Punkte)
Hinweis: beachten Sie die Dimensionen.
(c) Die Matrix A habe nun die n verschiedenen Eigenwerte λ1 , ..., λn . Zeigen Sie,
dass die Eigenwerte von f (A) genau die f (λ1 ), ..., f (λn ) sind, indem Sie A und
(damit auch f (A)) diagonalisieren.
(2 Punkte)
Aufgabe 4. Wir betrachten die Folge a0 , a1 , a2 , ... reeller Zahlen, die rekursiv über
a0 := 0 ,
a1 := 1
und
an := an−1 + an−2 für n ≥ 2
definiert ist.
(a) Zeigen Sie vermittels vollständiger Induktion: für alle n ≥ 0 gilt
(2 Punkte)
a
an
0 1
An · 0 =
∈ M(2,2) (R).
mit A :=
a1
1 1
an+1
(b) Bestimmen Sie eine Basis von R2 aus Eigenvektoren der Matrix A, und eine
Matrix Q ∈ Gl2 (R) so dass Q−1 AQ eine Diagonalmatrix ist.
(2 Punkte)
(c) Transformieren Sie die Gleichung aus (a) in die Basis aus (b) und leiten Sie so
die folgende Identität für alle n ∈ N her:
(2 Punkte)
!
!
√ n
√ n
1
1
1+ 5
1− 5
+√
.
an = − √
2
2
5
5
Zusatzaufgabe. Es seien K ein Körper, V ein endlich-erzeugter K-Vektorraum
und f ein Endomorphismus von V . Weiterhin habe f die paarweise verschiedenen
Eigenwerte λ1 , ..., λr für ein r ∈ N. Wie in der Vorlesung bezeichne Vλi den Eigenraum von f zum Eigenwert λi .
(a) Zeigen Sie, dass die Summe
′
V :=
r
X
i=1
Vλi ⊆ V
eine direkte Summe ist.
(3 Punkte)
Hinweis: verwenden Sie die Abschnitte 7.2 und 16.8 der Vorlesung.
(b) Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(3 Punkte)
(i) Der Endomorphismus f ist diagonalisierbar.
(ii) Es gilt
χf (T ) =
r
Y
i=1
(T − λi )dim(Vλi ) .
Hinweis: Wählen Sie für den Teil (i) ⇒ (ii) eine Basis aus Eigenvektoren, und
verwenden Sie (a) um zu beweisen, dass diese für jedes 1 ≤ i ≤ r genau dim Vλi
Eigenvektoren zum Eigenwert λi enthält. Beweisen Sie für den Teil (ii) ⇒ (i)
zunächst
r
X
dim(Vλi ) = dim V.
i=1
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Prof. Dr. N. Naumann
WS 2010/2011
Blatt 14
Übungen zur Vorlesung
,,Lineare Algebra I“
Abgabe: im nächsten Semester
Aufgabe 1. Es sei (V, h−, −i) ein euklidischer Vektorraum. Für v ∈ V definiert
man
p
|v| := hv, vi
als die Länge von v.
(a) Beweisen Sie die Behauptung von Abschnitt 18.8 der Vorlesung: Zeigen Sie,
dass es für alle Vektoren v, w ∈ V mit v, w 6= 0 genau eine Zahl α ∈ [0, π]
gibt, für die
hv, wi = |v| · |w| · cos(α)
gilt. Diese Zahl α heißt der Winkel zwischen v und w .
(3 Punkte)
(b) Zeigen Sie, dass für V = R2 und h−, −i das Standardskalarprodukt die Definition des Winkels zwischen zwei Vektoren aus (a) mit der Schuldefinition
,,Cosinus = Ankathete durch Hypothenuse“ übereinstimmt.
(3 Punkte)
Hinweis: betrachten Sie dazu ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypothenuse
durch einen Vektor 0 6= v ∈ R2 , und dessen Ankathete durch ein Vektor
w ∈ R2 gegeben ist, und beweisen Sie, dass für den Winkel α zwischen v und
w gilt:
|v|
.
cos(α) =
|w|
Aufgabe 2. Es sei (V, h−, −i) ein euklidischer Vektorraum, und es bezeichne wie
in Aufgabe 1 |v| die Länge eines Vektors v ∈ V .
(a) Leiten Sie den ,,Cosinussatz“ aus Abschnitt 18.8 der Vorlesung her: für alle
v, w ∈ V gilt:
|v − w|2 = |v|2 + |w|2 − 2|v||w| cos(α)
(2 Punkte)
(b) Leiten Sie die ,,Paralellogrammgleichung“ her: für alle v, w ∈ V gilt
|v + w|2 + |v − w|2 = 2(|v|2 + |w|2 ).
(2 Punkte)
(c) Leiten Sie aus (b) im Falle V = R2 und h−, −i das Standardskalarprodukt den
folgenden geometrischen Satz her: für ein Parallelogramm mit Seitenlängen a, b
und Diagonalen e, f gilt
e2 + f 2 = 2(a2 + b2 ).
(2 Punkt)
Aufgabe 3. Zeigen Sie, dass die folgenden Abbildungen Skalarprodukte definieren:
(a) auf dem R-Vektorraum V := M(n,m) (R) die Abbildung
(A, B) 7−→ Tr(AB t ).
(b) auf dem C-Vektorraum V := M(n,m) (C) die Abbildung
(A, B) 7−→ Tr(AB ∗ ).
Aufgabe 4. Gegeben seien die folgenden Vektoren des R3 :
v1 = (−1, 1, 2)
,
v2 = (1, 2, 1)
und
v3 = (1, 1, 1).
(a) Zeigen Sie, dass X = {v1 , v2 , v3 } eine Basis von R3 ist.
(1 Punkt)
(b) Finden Sie bezüglich des Standardskalarproduktes von R3 eine Orthonormalbasis Y = {u1 , u2 , u3 } von R3 mit u1 = λv1 für ein λ ∈ R, indem Sie das
,,Gramsche Orthonormalisierungsverfahren“ aus dem Beweis von Satz 19.5
auf die Vektoren v1 , v2 , v3 anwenden!
(5 Punkte)
Zusatzaufgabe. Es sei V ein R-Vektorraum. Eine Norm auf V ist eine Abbildung
n : V −−→ R≥0
so dass die folgenden drei Axiome erfüllt sind:
(1) für alle v ∈ V mit n(v) = 0 folgt v = 0.
(2) für alle v ∈ V , a ∈ K gilt n(a · v) = |a| · n(v), wobei |a| der Betrag von a ist.
(3) für alle v, w ∈ V gilt n(v + w) ≤ n(v) + n(w).
In dieser Aufgabe wollen wir die Beziehung zwischen Skalarprodukten und Normen
verstehen.
(a) Es sei h−, −i ein Skalarprodukt auf V , und es bezeichne |v| ∈ R die Länge eines
Vektors v ∈ V wie Aufgabe 1. Zeigen Sie, dass
nh−,−i : V −−→ R : v 7−→ |v|
eine Norm auf V ist. Sie heißt die durch das Skalarprodukt bestimmte Norm.
(2 Punkte)
(b) Eine wichtige Frage ist, wie man einer gegebenen Norm ansehen kann, ob sie
durch ein Skalarprodukt bestimmt ist oder nicht. Zeigen Sie, dass für eine Norm
n : V −−→ R≥0 auf V folgende Aussagen äquivalent sind:
(4 Punkte)
(i) es gibt ein Skalarprodukt h−, −i auf V mit n = nh−,−i .
(ii) n erfüllt die Parallelogrammgleichung, d.h.
n(v + w)2 + n(v − w)2 = 2(n(v)2 + n(w)2 ).
Hinweis: betrachten Sie die Abbildung
V × V −−→ R : (v, w) 7−→
1
(n(v + w)2 − n(v − w)2 ).
4