Einführung in das Partonmodell und Faktorisierungstheoreme der

Relevante Streuprozesse
Partonmodell
Einführung in das Partonmodell und
Faktorisierungstheorem der QCD
Stefanie Todt
Betreuer: Prof. Dr. Dominik Stöckinger
Dresden, 16. Mai 2012
Faktorisierungstheoreme
Relevante Streuprozesse
Partonmodell
Inhaltsverzeichnis
Relevante Streuprozesse
Elastische Elektron-Streuung
Elastische Elektron-Proton-Streuung
Tiefinelastische Elektron-Proton-Streuung
Bjorken Scaling
Partonmodell
Tiefinelastische eP-Streuung im Partonmodell
Faktorisierungstheoreme
Faktorisierung im Partonmodell
Faktorisierungstheoreme
Relevante Streuprozesse
Partonmodell
Streuquerschnitt
|Tfi |2
dσ =
dΦn
F
q
F = 4 (pA · pB )2 − mA2 mB2
Flussfaktor der einfallenden Teilchen
dΦn = (2π)4 δ (4) pi − pf0
N
Y
n=1
d 3 pn0
(2π)3 2pn00
LIPS - Lorentz-Invariant Phase Space
Faktorisierungstheoreme
Relevante Streuprozesse
Partonmodell
Faktorisierungstheoreme
Elastische Elektron-Streuung
Bespiel: e − -µ− -Streuung (punktförmig, Spin 12 )
Übergangsmatrixelement für die Streuung:
−igνµ
0
µ
0
iTfi = u s1 (k ) [−ieQe γ ] us1 (k)
u s20 (p 0 ) [−ieQmuon γ ν ] us2 (p)
q2
2
|Tfi | =
e 4 µν muon
L L
q 4 e µν
Leptonen-Tensoren:
µν
Le
=
∗
Qe2 X
0 µ
0 ν
u s 0 (k )γ us1 (k) u s 0 (k )γ us1 (k)
1
1
2
0
=
2
2Qe
s1 ,s
muon
Lµν
=
=
1
0µ ν
0ν µ
0
2 µν
k k + k k − (k · k − me )g
)
2
X Qmuon
2
2
2Qmuon
s2 ,s 0
2
0
u s 0 (p )γµ us2 (p)
2
0
u s 0 (p )γν us2 (p)
2
0µ ν
0ν µ
0
2
µν
p p + p p − (p · p − mµ )g
∗
Relevante Streuprozesse
Partonmodell
Faktorisierungstheoreme
Elastische Elektron-Streuung
Im Laborsystem p = (mµ , ~0) und me ∼
= 0:
Kinematik:
ν = |~
k| − |k~0 | = E − E 0
Energieübertrag des Photons
p0 = q + p = k − k 0 + p
4-Impuls des gestreuten Myons
q 2 = −2p · q = −2mµ ν = −2k · k 0 = −4EE 0 sin2 θ2 = −Q 2
4-Impulsübertrag des Photons
e4
q2
2 θ
2
0
2 θ
|Tfi | = 4 2mµ EE cos
−
sin
q
2 2mµ2
2
2
differentieller Wirkungsquerschnitt e − µ− → e − µ− :
dσ
α2
q2
q2
2 θ
2 θ
=
cos
−
sin
δ ν+
dE 0 dΩ eµ→eµ
2 2mµ2
2
2mµ
4E 2 sin4 θ2
α=
e2
4π
- Feinstrukturkonstante
Relevante Streuprozesse
Partonmodell
Faktorisierungstheoreme
Elastische Elektron-Proton-Streuung
Unterschiede zur e − -µ− -Streuung:
• Proton ist nicht punktförmig
• anormales magn. Moment κ des Protons
beeinflusst Streuung
⇒ Vertexkorrektur
Invariante Masse W des Endzustandes:
W 2 =p 02 = (p + q)2 = M 2 + 2pq + q 2 = M 2 + 2Mν + q 2 =M 2
⇒ 2Mν = −q 2
Nach Festlegung der e − -Energie gibt es nur einen freien Parameter q 2 ,
4-Impulsübertrag des Photons
Relevante Streuprozesse
Partonmodell
Faktorisierungstheoreme
Elastische Elektron-Proton-Streuung
Vertexkorrektur → Übergangsmatrixelement:
−igµν
iTfi = u s10 (k 0 ) [−ieQe γ ν ] us1 (k)
u s20 (p 0 ) [−ieQP · ?] us2 (p)
q2
? muss Lorentz-4-Vektor sein
→ allgemeinste Form besteht aus Linearkombination aus γ µ und q µ
h
κ P 2 µν i
F (q )iσ qν
⇒ ? = F1P (q 2 )γ µ +
2M 2
mit:
i µ ν
[γ , γ ]
2
P
2
F1 (q ) und F2P (q 2 ) − Formfaktoren des Protons
σ µν =
Relevante Streuprozesse
Partonmodell
Faktorisierungstheoreme
Elastische Elektron-Proton-Streuung
differentieller Wirkungsquerschnitt eP → eP:
dσ
κ2 q 2 P 2
q2
2 θ
P 2
P
P 2
2 θ
=
(F
)
−
−
F
+
κF
sin
·
(F
)
cos
1
2
dE 0 dΩ
4M 2 2
2 2M 2 1
2
α2
q2
·
δ
ν
+
2mµ
4E 2 sin4 θ2
mit:
GE ≡ F1P +
dσ
α2
=
0
dE dΩ eP→eP
4E 2 sin4
θ
2
κ2 q 2 P
F
GM ≡ F1P + κF2P
4M 2 2
2
2
θ
θ
q2
GE + τ GM
2
cos2 + 2τ GM
sin2
δ ν+
1+τ
2
2
2mµ
2
q
Rosenbluth-Formel für elastische Elektron-Proton-Streuung (τ = − 4M
2)
Relevante Streuprozesse
Partonmodell
Faktorisierungstheoreme
Messungen zur Elektron-Proton-Streuung
Relevante Streuprozesse
Partonmodell
Faktorisierungstheoreme
Tiefinelastische Elektron-Proton-Streuung
Invariante Masse W des Hadronensystems:
W 2 = p 02 = (p + q)2 = M 2 + 2pq + q 2
= M 2 + 2Mν + q 2
> M2
⇒ 2Mν + q 2 > 0
→ zwei unabhängige Variablen, q 2 und
0
ν = p·q
M = E − E , von denen die tiefinelastischen Strukturfunktionen abhängen
können
Relevante Streuprozesse
Partonmodell
Faktorisierungstheoreme
Tiefinelastische Elektron-Proton-Streuung
differentieller Wirkungsquerschnitt:
2
dσ ∼ |Tfi | ∼ Lµν
e Wµν
Wµν − hadronischer Tensor
Allgemeinste Form von Wµν :
Wµν = −W1 g µν +
W2 µ ν W4 µ ν W5 µ ν
p p + 2 q q + 2 (p q + q µ p ν )
M2
M
M
Kontinuitätsgleichung: ∂µ J µ = 0 → nur 2 der 4 Strukturfunktionen Wi
sind unabhängig
qµqν
1
p·q µ
p·q ν
µν
µ
ν
Wµν = W1 −g + 2
+ W2 2 p − 2 q
p − 2 q
q
M
q
q
Wobei: W1,2 = W1,2 (ν, q 2 )
Relevante Streuprozesse
Partonmodell
Faktorisierungstheoreme
Tiefinelastische Elektron-Proton-Streuung
⇒ inklusiver differentieller Wirkungsquerschnitt für tiefinelastische
e − -P-Streuung:
d 2σ
α2
2
2 θ
2
2 θ
W2 (ν, q ) cos
+ 2W1 (ν, q ) sin
=
dΩdE 0 eP→eX
2
2
4E 2 sin4 2θ
Relevante Streuprozesse
Partonmodell
Faktorisierungstheoreme
Messungen des Wirkungsquerschnittes
Mit wachsendem −q 2 → starke Abnahme des Wirkungsquerschnitts der
Nukleonenresonanzen
Für invariante Massen W > 2GeV → kaum Abhängigkeit von −q 2
beobachtbar
Relevante Streuprozesse
Partonmodell
Faktorisierungstheoreme
Bjorken Scaling
⇒ Im Bereich der tiefinelastischen Streuung (−q 2 groß) hängen die
Strukturfunktionen W1 und W2 für feste Werte der invarianten Masse W
kaum von −q 2 ab
⇒ Einführen einer neuen lorentzinvarianten Variable:
x :=
−q 2
−q 2
=
2p · q
2Mν
Bjorken’sche Skalenvariable
x ist Maß für die Inelastizität des Prozesses:
Elastische Streuung:
2Mν + q 2 = 0
2
Inelastische Streuung: 2Mν + q > 0
→
x =1
→
0<x <1
Unabhängigkeit von −q 2 ⇒ Streuung an punktförmigen Teilchen
Relevante Streuprozesse
Partonmodell
Faktorisierungstheoreme
Partonmodell
Ende der 60er Jahre: Experimente zur tiefinelastischen Streuung am
SLAC
→ R.P. Feynman, J.Bjorken: Entwicklung eines phänomenologischen
Modells zur Beschreibung von Hadronen im hochenergetischen Limes
Annahmen des Modells:
• Hadronen bestehen aus punktförmigen Konstituenten mit Spin
Partonen
1
2
• Hadronen bewegen sich in einem relatvistischen Bezugssystem →
“infinite momentum frame” oder “Breit frame”
⇒ Tiefinelastische Elektron-Proton-Streuung wird im Limes hoher
Impulsüberträge (−q 2 ) als elastische Elektron-Parton-Streuung
beschrieben
→
Relevante Streuprozesse
Partonmodell
Faktorisierungstheoreme
Zusammenhang der Strukturfunktionen
Unabhängigkeit von −q 2 ⇒ elastische Streuung an punktförmigen
Teilchen, d.h.
d 2σ
d 2σ
=⇒
dΩdE 0 eP→eX
dΩdE 0 eµ→eµ
{}eP→eX =⇒ {}eµ→eµ
θ
θ
{}eP→eX = W2 (ν, q 2 ) cos2 + 2W1 (ν, q 2 ) sin2
2
2
2
2
θ
q
q
2 θ
{}eµ→eµ = cos2 −
sin
δ
ν
+
2 2mµ2
2
2mµ
2W1pkt.
−q 2
q2
=
δ ν+
2m2
2m
W2pkt.
q2
=δ ν+
2m
Relevante Streuprozesse
Partonmodell
Faktorisierungstheoreme
Einführung dimensionsloser Strukturfunktionen:
2mW1pkt.
νW2pkt.
−q 2
q2
=
δ 1+
2mν
2mν
2
q
=δ 1+
2mν
⇒ 2mW1pkt. und νW2pkt. nur Funktionen des Verhältnisses
von q 2 und ν einzeln abhängig
−q 2
2mν
und nicht
Relevante Streuprozesse
Partonmodell
Faktorisierungstheoreme
Vergleich mit elastischen Strukturfunktionen (κ = 0 → GM = GE ≡ G ):
θ
θ
q2
{}eP→eP = G 2 (q 2 ) cos2 + 2τ G 2 (q 2 ) sin2
δ ν+
2
2
2M
MW1elast
νW2elast
q2
−q 2 2 2
G (q )δ 1 +
=
2Mν
2Mν
2
q
= G 2 (q 2 )δ 1 +
2Mν
→ Durch G 2 (q 2 ) sind die elastischen Strukturfunktionen immer von q 2
abhängig ( Experiment)
lim
−q 2 →∞
lim
MW1elast = F1 (x) = MW1pkt.
−q 2 →∞
νW2elast = F2 (x) = νW2pkt.
Relevante Streuprozesse
Partonmodell
Faktorisierungstheoreme
Tiefinelastische eP-Streuung im Partonmodell
“infinite momentum frame”
“Infinite momentum frame” −→ LorentzBoost in Richtung der z-Achse
|~p | >> M, m und
|p~L | >> |p~T | → |p~T | ≈ 0
Parton trägt Impulsbruchteil ξp des Protons:
−q 2 M
q2
x
m=ξM x
δ
1
+
=
δ
1
−
4m2 ν
2mν
2ξ 2
ξ
2
x
q
F2 (x) = δ 1 +
=δ 1−
2mν
ξ
F1 (x) =
Relevante Streuprozesse
Partonmodell
Faktorisierungstheoreme
Faktorisierungstheoreme der QCD
Zentrale Fragestellung:
• Wie lassen sich hochenenergetische Hadronen-Wirkungsquerschnitte
störungstheoretisch berechnen?
Problem: Variablen mit verschiedenen Skalen
• -q = Q - kin. Energieskala der Streuung → groß
• m - Massen der Partonen → klein
⇒ unmöglich die Renormierungsskala µ so zu wählen, dass
Störungstheorie möglich ist
→ Wirkungsquerschnitte = Kombination aus kurz- und langreichweitigen
Anteilen
Q 2 σphys (Q, m) = ωSD (
Q
1
, αs (µ)) ⊗ fLD (µ, m) + O( p )
µ
Q
Relevante Streuprozesse
Partonmodell
Faktorisierungstheoreme
Faktorisierungstheoreme für tiefinelastische Streuung
Hadronischer Tensor faktorisiert zu:
1
X Z dξ
µν µ
µ
W (q , p ) =
fa/A (ξ, µ) Haµν (q µ , ξp µ , µ, αs (µ)) + Rest
ξ
a
x
fa/A (ξ, µ) − Partonverteilungsfunktion - langreichweitig
fa/A (ξ, µ)dξ − Wahrscheinlichkeit Parton a, welches einen Impulsbruchteil
ξ bis ξ + dξ des Hadrons A trägt, im Hadron A zu finden
Haµν
− Koeffizient der harten Streuung (hard scattering coefficient)
− kurzreichweitig
1
F1 (x) =
X Z dξ
a
1
x
ξ
x
x Q
fa/A (ξ, µ) H1a ( , , αs (µ)) + Rest
ξ µ
1
F2 (x) =
X Z dξ
a
x
ξ
fa/A (ξ, µ)
ξ
x
x Q
H2a ( , , αs (µ)) + Rest
ξ µ
Relevante Streuprozesse
Partonmodell
Faktorisierungstheoreme
Faktorisierung im Partonmodell
• Proton ist in Richtung der Kollision stark lorentzkontrahiert
→ Zeit ∆te , die das Elektron zum Durchqueren des Protons benötigt, ist
sehr kurz
• Zeitskala ∆tWw für innere Ww erfährt Zeitdilatation
→ Ww zwischen den Partonen ist zeitlich stark gestreckt
=⇒ ∆te << ∆tWw Proton ist in einem Zustand fester Partonenanzahl
mit festen Impulsbruchteilen
Relevante Streuprozesse
Partonmodell
Faktorisierungstheoreme
Faktorisierung im Partonmodell
=⇒ keine innere Ww während des Streuprozesses
→ inklusiver Wirkungsquerschnitt kann mit Strukturfunktionen
beschrieben werden, welche sich aus der inkohärenten Summe aller
möglichen Partonzustände im Proton zusammensetzen
=⇒ Annahmen des Partonmodells benötigen essentiell die
Faktorisierung
Relevante Streuprozesse
Partonmodell
Faktorisierungstheoreme
Tiefinelastische eP-Streuung im Partonmodell
Betrachten nun F2 als inkohärente Summe der
Parton-Verteilungsfunktionen fi (ξ) über alle möglichen elastischen
Elektron-Parton-Streuungen:
F2 (x) =
XZ
dξ ea2 ξ fa (ξ) δ (x − ξ)
⇒
F2 (ξ) =
X
a
a
=⇒ x = ξ
−→
F2 (ξ) = 2ξF1 (ξ)
=⇒
x ist Impulsbruchteil des Partons
=⇒
Callan-Gross Beziehung
1
Partonen sind Spin- -Teilchen
2
ea2 ξ fa (ξ)
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Experimentelle Bestätigung der Callan-Gross-Beziehung
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Partonmodell
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Partonmodell
Faktorisierungstheoreme
F. Halzen, A.D. Martin “Quarks & Leptons”, John Wiley &
Sons, 1984
Povh, Rith, Scholz, Zetsche: “Teilchen und Kerne”, 7.Auflage,
Springer Verlag, 2006
G. Dissertori, I. Knowles, M.Schmelling: “Quantum
Chromodynamics”, Oxford University Press, 2003
J.C. Collins, D.E. Soper, G. Sterman: “Factorisation of Hard
Processes in QCD”, hep-ph/0409313, 2004
G. Sterman: “Some Basic Concepts of Perturbative QCD”,
hep-ph/0807.5118, 2008
G. Sterman: “Partons, Factorisation and Resummation,
TASI95”, hep-ph/9606312v1, 1996