Ueber Systeme von linear-homogenen Gleichungen und

Ueber Systeme von linear~homogenen Gleichungen
und Ungleichungen. Von J. G. VAN DER CORPUT.
Mathematica. -
(CommuDicated at the meetiDg of March 28. 1931).
Es bezeiehne m eine natürliche Zahl. X einen Punkt (x'. x"..... xl m ))
im m~dimensionalen Raum; ist p eine Zahl. 50 bedeute p X den Punkt
(px' • px"• ...• pxlml); sind x und ~ zwei Punkte (x'. x"..... xl"')) und
W. ~"..... ~(ml). 50 möge x ~ den Punkt (x' f. x" ~"
xl m ) ~m))
bezeiehnen. In dieser Mitteilung ist Sstets ein System van I Gleicbungen
und r Ungleichungen ...... (;,(x) 0 (J. 1.2..... gp (x) :::=- 0 (e 1.2 ....• r).
wo I ==- O. r> 0 ist. 6. (x) und gp (x) Linearformen in x'. x" • ...• xl m )
bezeichnen. leh bezeichne mit R (S) den kleinsten linearen Raum. der
alle Lösungen von S entbält.
+
=
+
+ .... . +
n:
=
=
Satz 1.
R(S) kann folgendermaszen bestimmt werden:
Ist es unmöglich einen Punkt (VI' V2' ...• Vr ) =1= (O.O•...• 0) mit Koor~
dinaten ::>- 0 und einen Punkt (UI' u 2 • •••• U,) mit
I
,I
Ui. (;,
1.=1
(x)
+I
r
vp gp (x)
,0=1
=0
.
.
.
.
.
.
(1)
zu [inden. so ist R (S) der Raum. de[iniert durch
(;, (x)
= 0 (J. = 1. 2....• n.
Sonst betrachte ich alle natürlichen Zahlen er =: r (r = 1.2•.... t).
denen man einen Punkt (VI' V2' ...• vr ) mit Koordinaten =-0 und VPT
O.
und einen Punkt (UI' U2." .• ud mit (1) zuordnen kann: dann ist R(S)
der Raum de[iniert durch
>
b (x) = 0
(1
= 1. 2..... 1):
gPT (x)
= 0 (r = 1. 2..... t)
.
(2)
Beweis. Der Spezialfall der zweiten Behauptung mit t = 0 liefert die
ers te. sodass ich nur die zwei te Behauptung zu beweisen brauehe. leh
bezeiehne mit w I • W2' •••• W z die natürlichen Zahlen w; -=: r. die mit
rist. und ich behaupte dass
keinem eT zusammenfallen. sodass t z
S äquivalent mit
+ =
S' ... (;, (x) = 0 (J. = 1. 2 ..... 1); gPT (x) = 0 (e = 1. 2..... t);
gw_, (x) =- 0 (C
= 1. 2•••.• z)
ist. Denn dass jede Lösung van S' dem System S genügt. ist klar.
aber au eh umgekebrt folgt aus (1) wegen vp =- 0 und VPT> O. dass jede
Lösung van S gleichfalls ei ne van S' ist.
369
Es ist unmöglich einen Punkt (WI • W 2 •• ••• W z ) ';6:. (O.O ••..• 0) mit
Koordinaten W; ====-0. und zwei Punkte (UI' U 2 ••••• Ut) und (VI' V 2••••• V t )
mit
I
I U~
~=1
b (x) + I
z
t
V T gPT (x)
.-=1
+I
W; gw, (x) = O.
(3)
;=1'
zu finden. Denn wäre W; ';6:. O. 50 wäre CO;. nach der Definition der
Zahlen eT. eine der Zahlen eor. und das ist in Widerspruch mit der
Definition der Zahlen CO; .
leh behaupte. dass R (5) der durch (2) definierte Raum ist. Dass jeder
Punkt x mit (2) dem Raum R (S) angehört. ist klar. ab er ich behaupte
auch umgekehrt. dass jeder Punkt x von R (S) dem System (2) genügt.
Sonst würde ei ne von tI. f2' ...• fl. g Pt • g p" ...• g Pt linear unabhängige
Linearform F (x) existieren. die für jede Lösung x von S' den Wert N uil
hat. Jetzt wende ich den Satz an. den Herr FARKAS 1) den Grundsatz der
einfachen Relationen nennt (mit einer einfachen Relation meint er eine
O. wo rp eine Iineare Form
Gleichung cp = 0 oder eine Ungleichung cp
bezeichnet). Dieser Satz besagt: ist die Linearform F (x) für jede Lösung
von S' grösser als oder gleich N uil. dann kann F (x) auf die Gestalt
==
I
z
t
F(x) = .I U;
.=1
f-. (x) + 1"=1
I V~gPT (x) + I W~ gw~ (x) = 0
; =1
.
.
(4)
==
mit W~
0 gebracht werden. Derselbe Satz. angewendet mit - F (x)
statt F (x). gibt hier
I
- F(x) = .I U;'
.=1
mit W~'
~
== O.
U~
t-. (x) + I
t
=1
z
V~gPT(X)
+ I W; gw~ (x) = 0
;=1'
.
sodass (3) aus (4) mit
= U; + U;' ;
VT
= V~ + V;;
W,.= W~ + W:
':'
':'
':'
folgt. Hierin ist
W ; = W;
+
W~.
W~ == O.
W~ == O
(C= 1.2• .... z).
Es ist unmöglich. dass in (3) ein Koeffizient W; -=f- 0 auftritt. Folglich ist
W; = 0
(C
= 1. 2•....• z).
aber nun geht aus (4) hervor. dass F (x) linear von fl' f2' .... ti.
gPt ' gp, •. ..• gPt abhängt. und das war ausgeschlossen. womit der Widerspruch gefunden und Satz 1 bewiesen ist.
Satz 2. Sind die in S vorkommenden Linearformen band gp ganzzahlig. so ist R (S) der kleinste lineare Raam. der alle ganzzahligen
Lösangen von S enthält.
I) J. FARKAS. Theorie der einfachen Ungleichungen. Journal für die reine und angewandte
Mathematik 12. (1902). S. 1-27: man verg!. S. 8.
370
Beweis. Ein linearer Raum. der alle ganzzahligen Lösungen von S
enthält. enthält auch alle rationalen Lösungen dieses Systems. Ist die
Behauptung von Satz 2 falsch. dann existiert also eine Lösung x von S.
der kein Häufungspunkt der Menge der rationalen Lösungen von Sist.
Bezeichnet t die Anzahl der verschiedenen e (1 -c=:: e -c=:: 1') mit gp (x) = O.
dann ist 0 -c=:: t -c=:: 1'. und dann kann ich ohne Beschränkung der Allgemeinheit
gl (x) = g2 (x)
= ... = gt (x) =
O.
gt+1 (x)
> O••..• g, (x) > 0
voraussetzen. da ich sonst nur die Linearformen gp untereinander zu
vertauschen brauche. Der Punkt x genügt dann den Gleichungen
6. (x) = 0 (l = 1. 2•.... I) ;
gT (x)
=0
(r
= 1. 2..... t).
(5)
und den Ungleichungen
gp (x)
>0
(e = t
+ L t + 2.. ... 1')
(6)
Alle Lösungen X von (5) können auf die Gestalt
k
X=~
(7)
YxAz.
z=1
gebracht werden. wo die Punk te Az = (A~. A;' •. ..• A~m)) geeignet gewählt sind. und YI' Y 2 • •••• Y k beliebige Zahlen bezeichnen. Jede
Koordinate von Ax kann geschrieben werden als Quotient von zwei
Determinanten. deren Elemente Koeffizienten von "'. und gT sind; diese
Koeffizienten sind ganzzahlig. sodass die Punk te Ax rational sind.
Der Punkt x mit den Eiyenschaften (5) und (6) hat die Gestalt
k
yx Az.
x= I
x=1
=
Bezeichnet Y x ("
1.2 •...• k) einen rationalen Punkt in der Umgebung
von yx. dann ist der durch (7) definierte Punkt X ein rationaler
Punkt in der Umgebung von x mit
b (X) = 0
(l
= 1. 2..... 1);
und
gp
(X)
>0
(e = t
gT (X) = 0
(r
= 1. 2....• t).
+ 1, t + 2•.... 1').
soda ss X dann eine rationale Lösung von Sist. Dieses Resultat widerspricht die Annahme. dass x kein Häufungspunkt der Menge der
rationalen Lösungen von Sist.
Satz 3. Sind die in S vot'kommenden Lineat'fot'men b und 9 p ganzzahlig. dann kann R(S) folgendet'massen bestimmt wet'den:
Ist es unmöglich einen Gittet'punkt (VI. V 2•. ..• V,) :;i:. (O.O•...• 0) mit
Koot'dinaten -=- 0 und einen Gittet'punkt (UI' U 2 • •••• U,) mit
I
.~
).=1
,
Ul
b (x) +p=1
~ V p gp (x) = 0 .
. (8)
371
zu finden.
50
ist R(S) del' Raum. definiel't dUl'ch
t
(x) = 0
(l = 1. 2•.... I).
Sonst betrachte ich alle natürlichen Zahlen eT --= l' (1' = 1.2•.... t).
denen man einen Gittel'punkt (VI' V 2 • •••• V r ) mit Koordinaten =- 0
und V pT > O. und einen Gittel'punkt (UI' U 2 • •••• UI) mit (8) zuol'dnen
kann; dann ist R (S) del' Raum definiel't dUl'ch:
{1 (x) = 0 (l = 1. 2•... • 1);
gPT
(x) = 0
(1' = 1. 2•...• t).
.
(9)
Beweis. Da die Linearformen f,. und g P ganzzahlig sind. kann man
bei gegebenem eT (1 --= e-c --= r) einen Gitterpunkt (VI' V 2 • • • • • V r )
mit Koordinaten =- 0 und V PT
O. und einen Gitterpunkt (UI' U 2••••• Ud
mit (8) dann und nur dann Bnden. wenn ein Punkt (VI' V2' •••• vr ) mit
Koordinaten =- 0 und v PT > 0 und ein Punkt (UI' U2 • •••• ud mit (1)
existieren. Satz 3 folgt also aus Satz 1.
>