Einführung in die Festkörperphysik I

Einführung in die Festkörperphysik I
Prof. Peter Böni, E21
Lösung zum 4. Übungsblatt (Besprechung: 13. - 15. November 2006)
P. Niklowitz, E21
Aufgabe 4.1: Formfaktor
Schätzen Sie für Röntgenstreuung und Neutronenstreuung an einem eindimensionalen Bravaisgitter mit einatomiger Basis ab, in welchem Abstand vom Ursprung des reziproken Raums der
Formfaktor die Intensitäten der Braggreflexe auf 15% der Intensität nahe dem Ursprung reduziert.
Zur Abschätzung stellen wir uns die atomaren Streuzentren lediglich als eindimensionale Gaussverteilungen vor. Bei der Röntgenstreuung ist die Elektronenwolke das Streuzentrum, bei der
Neutronenstreuung ist es der Atomkern. Für den Formfaktor (die Fouriertransformierte der
Gaussverteilung) gilt
Z
2 /(2σ 2 )
dxe−x
2 σ 2 /2
eiQx ∝ e−Q
.
Der Formfaktor ist also eine Gaussverteilung mit der Standardabweichung 1/σ. Bei der Röntgenstreuung ist die Elektronenwolke das Streuzentrum, bei der Neutronenstreuung ist es der
Atomkern. Daher nehmen wir für Röntgenstreuung den Bohrschen Radius als Standardabweichung (σx = 0.5 Å) und für Neutronenstreuung σn = 10−4 Å. Eine Abnahme auf 15% der
zentralen Intensität wird ungefähr bei der zweifachen Standardabweichung erreicht. Für Röntgenstreuung erhält man
−1
Qgrenz,x ≈ 4 Å
und für Neutronenstreuung
−1
Qgrenz,x ≈ 20000 Å
.
Aufgabe 4.2: Strukturfaktor von MnSi
MnSi, welches für seine magnetische Helixstruktur bekannt ist, kristallisiert in der kubischen
B20 Struktur. Diese Struktur kann als Abwandlung eines kubisch-flächenzentrierten Gitters aufgefasst werden. Die gewöhnliche Einheitszelle entält 8 Atome. Es gibt zwei Möglichkeiten für
die Anordnung der Atome: im Fall I sind Atome bei (u, u, u), (1/2 + u, 1/2 − u, −u), (−u, 1/2 +
u, 1/2 − u) und (1/2 − u, −u, 1/2 + u); im Fall II sind Atome bei (u, u, u), (1/2 − u, 1/2 + u, −u),
(−u, 1/2 − u, 1/2 + u) und (1/2 + u, −u, 1/2 − u). Die Abweichungen sind durch uM n = 0.138
und uSi = −0.155 bestimmt und verhindern Inversionssymmetrie.
(a) Zeigen Sie, daß die Intensitäten der Braggreflexe (210) und (120), die für andere kubische
Gitter identisch sind, hier zur Unterscheidung zwischen den zwei Konfigurationen verwendet
WS0607; Festkörperphysik; Lsg. Blatt 4
werden können. Die Streulängen sind fM n = −0.373 und fSi = 0.4149.
In der Angabe sind die Atompositionen bezüglich der Gitterkonstante a gegeben. Die folgende
Abbildung beschreibt die Gitteranordnung I von MnSi.
z
y
x
Mn
Si
fcc
a
Die Gitteranordnungen I und II unterscheiden sich durch die Orientierung des von den jeweils
drei letztgenannten Atomen aufgespannten Dreiecks in der (111) Ebene. Blickt man bei Anordnung I entlang der (111) Achse, ist bezüglich der Atompositionen im kubisch-flächenzentrierten
Gitter das Mn Dreieck gegen den Uhrzeigersinn und das Si Dreieck im Uhrzeigersinn verdreht.
Bei Anordnung II sind die Dreiecke umgekehrt verdreht. In den Abbildungen beider Gitteranordnungen befindet sich das Mn Dreieck im Vordergrund und das Si Dreieck im Hintergrund.
Gitteranordnung I
Gitteranordnung II
Mn
Si
fcc
Die Intensität der Braggreflexe ist proportional zu SS ∗ ; der Strukturfaktor ist
X
S=
fj e2πi(aj h+bj k+cj l) .
j
Die Summe geht über alle Atome der Basis, aj , bj , cj sind die Koordinaten der Atome in Einheiten der Gitterkonstante und h, k, l sind die Miller Indizes des betreffenden Braggpeaks.
Einsetzen liefert bei Anordnung I für den (210) Reflex den Strukturfaktor
SI,210 = fM n (ei∗2π∗3uM n + ei∗2π∗(3/2+uM n ) + ei∗2π∗(1/2−uM n ) + ei∗2π∗(1−3uM n ) )+
+fSi (ei∗2π∗3uSi + ei∗2π∗(3/2+uSi ) + ei∗2π∗(1/2−uSi ) + ei∗2π∗(1−3uSi ) ) .
Für den (120) Reflex erhält man
SI,120 = fM n (ei∗2π∗3uM n + ei∗2π∗(3/2−uM n ) + ei∗2π∗(1+uM n ) + ei∗2π∗(1/2−3uM n ) )+
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WS0607; Festkörperphysik; Lsg. Blatt 4
+fSi (ei∗2π∗3uSi + ei∗2π∗(3/2−uSi ) + ei∗2π∗(1+uSi ) + ei∗2π∗(1/2−3uSi ) ) .
Einsetzen der Atompositionen für Typ II liefert
SII,210 = SI,120 und SII,120 = SI,210 .
Mit eix = cos x + i sin x erhält man
SI,210 = −0.1535 und
SI,120 = −i ∗ 1.819 .
Daraus folgen die Intensitätsverhältnisse
II,120 /II,210 = III,210 /III,120 = 140 .
(b) Warum sind die in (a) berechneten Intensitäten für die Reflexe einer Konfiguration so verschieden?
Bei Anordnung I ist am (210) Reflex nur der Imaginärteil des Strukturfaktors der Mn Atome
und Si Atome von null verschieden. Am (120) Reflex ist nur der Realteil der Mn Atome und
Si Atome von null verschieden. Allerdings sind die Beiträge am (210) Reflex antiparallel. Am
(120) Reflex sind die Mn und Si Beiträge hingegen parallel.
Aufgabe 4.3: Strukturanalyse
Die ersten Debye-Scherrer Ringe für drei Substanzen befinden sich ungefähr an folgenden Positionen:
Probe A: 42, 2◦ ; 49, 2◦ ; 72, 0◦ ; 87, 3◦
Probe B: 28, 8◦ ; 41, 0◦ ; 50, 8◦ ; 59, 6◦
Probe C: 42, 8◦ ; 73, 2◦ ; 89, 0◦ ; 115, 0◦
Welche Probe ist kubisch-flächenzentriert, welche kubisch-raumzentriert und welche hat die Diamantstruktur?
Aus der Braggbedingung λ = 2d sin θ folgt
Q ∝ sin θ ,
wobei θ der halbe Ablenkwinkel des Debye-Scherrer Rings und Q der Abstand der korrespondierenden Braggreflexion vom Ursprung des reziproken Gitters ist. Der Abstand Q in Abhängigkeit
der Koordinaten ist
√
Q = h2 + k 2 + l 2 .
Wir überlegen uns für die verschiedenen Strukturen das Verhältnis der kleinsten Abstände Q.
Das reziproke Gitter des kubisch-flächenzentrierten Gitters ist das kubisch-raumzentrierte Gitter. Die Koordinaten der Braggreflexe sind entweder alle gerade oder alle ungerade. Daraus
folgt für die vier kleinsten Abstände
√ √ √ √
Q(111) : Q(200) : Q(220) : Q(311) = 3 : 4 : 8 : 11 .
Das reziproke Gitter des kubisch-raumzentrierten Gitters ist das kubisch-flächenzentrierte Gitter. Die Summe der Koordinaten der Braggreflexe muß gerade sein. Das Verhältnis der vier
kleinsten Abstände ist daher
√ √ √ √
Q(110) : Q(200) : Q(211) : Q(220) = 2 : 4 : 6 : 8 .
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Das Diamantgitter kann als flächzentriertes Kristallgitter mit zweiatomiger Basis mit Atomen
bei (0,0,0) und (1/4,1/4,1/4) aufgefasst werden. Das reziproke Gitter ist daher ein kubischraumzentriertes Gitter mit der zusätzlichen Einschränkung, daß die Summe der geraden Koordinaten durch vier teilbar sein muß. Die Abstandsverhältnisse sind daher
√ √ √
√
Q(111) : Q(220) : Q(311) : Q(331) = 3 : 8 : 11 : 19 .
Aus den gemessenen Ablenkwinkeln ergeben sich die ungefähren Abstandsverhältnisse sin θ1 /2 :
sin θ2 /2 : sin θ3 /2 : sin θ4 /2 zu
0.360 : 0.416 : 0.588 : 0.690 für Probe A,
0.249 : 0.350 : 0.429 : 0.497 für Probe B und
0.365 : 0.596 : 0.701 : 0.843 für Probe C.
Aus einem Vergleich folgt: Probe A ist kubisch-flächenzentriert, Probe B kubisch-raumzentriert
und Probe C besitzt die Diamantstruktur.
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