Inst. f. Analysis u. Scientific Computing Dr. E. Weinmüller WS 2007/08 Lineare Algebra für TPH 1. Kurztest am 07. und 08. 11. 2007 Gruppe 1 A Gegeben ist folgendes Gleichungssystem: x1 5 x1 + 2 x2 2 x2 − x3 − 3 x3 + 5 x3 + 2 x4 + 12 x4 + 8 x4 = = = 1 7 −7 1. Wie lauten die Koeffizientenmatrix A und die erweiterte Koeffizientenmatrix (A|b) des gegebenen Gleichungssystems? (1P) 2. Bestimmen Sie den Rang der Matrizen A und (A|b). Warum ist das Gleichungssystem lösbar? (3P) 3. Bestimmen Sie den Kern der Matrix A, eine partikuläre Lösung, sowie die allgemeine Lösung des Gleichungssystems. (2P) Lösung: 1. Die Koeffizientenmatrix A und 1 0 −1 A = 5 2 −3 0 2 5 die erweiterte Koeffizientenmatrix (A|b) sind: 1 0 −1 2 1 2 12 und A|b = 5 2 −3 12 7 0 2 5 8 −7 8 2. Mittels Gauß’schem Eliminationsverfahren erhält man durch erweiterten Matrix 1 1 0 −1 2 1 0 5 2 −3 12 7 z2 − 5z1 −→ 0 0 2 5 8 −7 1 0 −1 2 1 1 0 0 1 1 1 1 z3 − 2z2 0 2 5 8 −7 −→ 0 1 0 −1 2 1 0 1 1 1 1 0 0 1 2 −3 0 2 2 −1 2 5 0 −1 1 1 0 3 1 2 1 z2 2 −7 −→ 2 1 1 1 13 z3 6 −9 −→ 2 2 8 3. Obige Koeffizientenmatrix liefert ja folgendes umgeformte Gleichungssystem: x2 − x3 + x3 x3 + 2 x4 + x4 + 2 x4 = = = . elementare Zeilenumformungen der die erweiterte Koeffizientenmatrix in gestaffelter Form. Da Rang(A)= Rang(A|b)=3 , ist das Gleichungssystem lösbar. x1 1, 1, −3 . Der Kern der Matrix A ist die Menge aller Lösungen des homogenen Gleichungssystems Ax = 0. Da das System unterbestimmt ist, darf eine Variable frei gewählt werden. Mit der Wahl x4 = s , s ∈ R, erhält man nun durch Einsetzen in das homogene Gleichungssystem = −2x4 = −2s , = −x3 − x4 = 2s − s = s , = x3 − 2x4 = −2s − 2s = −4s , −4 −4 1 1 , s ∈ R ⇒ Kern(A) = L x = s −2 . −2 1 1 x3 x2 x1 ⇒ Eine partikuläre Lösung ist eine beliebige Lösung des inhomogenen Gleichungssystems Ax = b. Mit der Wahl x4 = 0 folgt durch Einsetzen in obiges Gleichungssystem x3 = −3, x2 = 4 und x1 = −2. Eine Partikulärlösung ist also xP = (−2, 4, −3, 0)T . Die allgemeine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems ist damit gegeben durch −4 −2 4 + s 1 ,s ∈ R. xP + Kern(A) = −2 −3 1 0 Gruppe 1 B Gegeben ist folgendes Gleichungssystem: x1 2 x1 3 x2 + 3 x2 − 2 x3 + 4 x3 + 2 x3 + 5 x4 + 9 x4 = 4 = 0 = 2 1. Wie lauten die Koeffizientenmatrix A und die erweiterte Koeffizientenmatrix (A|b) des gegebenen Gleichungssystems? (1P) 2. Bestimmen Sie den Rang der Matrizen A und (A|b). Warum ist das Gleichungssystem lösbar? (3P) 3. Bestimmen Sie den Kern der Matrix A, eine partikuläre Lösung, sowie die allgemeine Lösung des Gleichungssystems. (2P) Lösung: 1. Die Koeffizientenmatrix 1 A= 0 2 A und die erweiterte Koeffizientenmatrix (A|b) sind: 0 −2 0 1 0 −2 0 4 3 4 5 und A|b = 0 3 4 5 0 3 2 9 2 3 2 9 2 . 2. Mittels Gauß’schem Eliminationsverfahren erhält man durch elementare Zeilenumformungen der erweiterten Matrix die folgende erweiterte Koeffizientenmatrix 1 0 −2 0 4 0 1 2 3 −2 0 0 1 2 −3 in gestaffelter Form. Da Rang(A)= Rang(A|b)=3 , ist das Gleichungssystem lösbar. 3. Die allgemeine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems ist gegeben durch −4 −2 1 4 xP + Kern(A) = −3 + s −2 , s ∈ R . 1 0 Gruppe 1 C Gegeben ist folgendes Gleichungssystem: x1 3 x1 + 2 x2 x2 + x3 + 4 x3 − 2 x3 + 6 x4 + 6 x4 + 7 x4 = = = −5 −4 4 1. Wie lauten die Koeffizientenmatrix A und die erweiterte Koeffizientenmatrix (A|b) des gegebenen Gleichungssystems? (1P) 2. Bestimmen Sie den Rang der Matrizen A und (A|b). Warum ist das Gleichungssystem lösbar? (3P) 3. Bestimmen Sie den Kern der Matrix A, eine partikuläre Lösung, sowie die allgemeine Lösung des Gleichungssystems. (2P) Lösung: 1. Die Koeffizientenmatrix A und die erweiterte Koeffizientenmatrix (A|b) sind: 1 0 1 6 −5 1 0 1 6 4 6 −4 4 6 und A|b = 0 2 A= 0 2 3 1 −2 7 4 3 1 −2 7 . 2. Mittels Gauß’schem Eliminationsverfahren erhält man durch elementare Zeilenumformungen der erweiterten Matrix die folgende erweiterte Koeffizientenmatrix 1 0 1 6 −5 0 1 2 3 −2 0 0 1 2 −3 in gestaffelter Form. Da Rang(A)= Rang(A|b)=3 , ist das Gleichungssystem lösbar. 3. Die allgemeine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems ist gegeben durch −2 −4 4 1 xP + Kern(A) = −3 + s −2 , s ∈ R . 0 1 Gruppe 2 A Gegeben ist der Vektorraum V = R3 , der 1 v = −9 , b1 = 2 Vektor v und B = {b1 , b2 , b3 } in folgender Weise: 1 0 2 3 , b2 = 2 , b3 = 10 . 4 −1 14 1. Wie lautet die erweiterte Koeffizientenmatrix jenes Gleichungssystems, das v als Linearkombination der Vektoren b1 , b2 und b3 darstellt? (1P) 2. Zeigen Sie, das B = {b1 , b2 , b3 } eine Basis von V ist. (3P) 3. Geben Sie die Koordinaten [v]B des Vektors v bezüglich der Basis B an. (2P) Lösung: 1. Um v als Linearkombination der Vektoren aus B darzustellen, gilt es das Gleichungssystem v = x1 b1 + x2 b2 + x3 b3 zu lösen. Die erweiterte Koeffizientenmatrix (A|b) ist also 1 0 2 1 2 10 −9 . A|b = 3 4 −1 14 2 2. Vektoren b1 , . . . , bn bilden genau dann eine Basis eines Vektorraumes, wenn sie linear unabhängig sind, und wenn jeder Vektor des Vektorraumes als Linearkombination dieser Vektoren b1 , . . . , bn darstellbar ist. Die drei Vektoren b1 , b2 und b3 aus B sind genau dann linear unabhängig, wenn das Gleichungssystem s1 b1 + s2 b2 + s3 b3 = 0 mit s1 , s2 , s3 ∈ R, nur die triviale Lösung s1 = s2 = s3 = 0 besitzt. Mittels Gauß’schem Eliminationsverfahren erhält man durch elementare Zeilenumformungen der erweiterten Matrix 1 z2 − 3z1 1 0 2 1 z2 ↔ z3 1 0 2 3 0 2 10 −9 z3 − 4z1 2 4 −12 z2 · (−1) 2 4 −1 14 −→ 0 −1 6 −2 −→ 1 1 0 2 1 1 0 2 1 0 0 2 1 −6 2 z3 − 2z2 1 −6 16 z3 0 0 16 −16 0 2 4 −12 −→ −→ 1 0 2 1 0 1 −6 2 0 0 1 −1 die erweiterte Koeffizientenmatrix in gestaffelter Form. Da Rang(A)=3 , hat das homogene Gleichungssystem nur die Lösung s1 = s2 = s3 = 0. Damit sind die Vektoren b1 , b2 und b3 linear unabhängig. Die Dimension von V ist 3 und entspricht der Anzahl der linear unabhängigen Vektoren b1 , b2 und b3 . Nachdem jede Basis eines endlichdimensionalen Vektoraumes aus genau so vielen linear unabhängigen Vektoren besteht, wie der Dimension des Vektorraumes entspricht, müssen auch umgekehrt je 3 linear unabhängige Vektoren aus V bereits den gesamten Vektorraum aufspannen und ein Basis von V bilden. 3. Da B ein Basis bildet, ist v eindeutig als Linearkombination der Vektoren aus b1 , b2 und b3 darstellbar. Obige Koeffizientenmatrix liefert folgendes umgeformte Gleichungssystem: x1 x2 + 2 x3 − 6 x3 x3 = 1, = 2, = −1 . Die Lösung ist x3 x2 x1 = −1 , = 2 + 6x3 = 2 − 6 = −4 , = 1 − 2x3 = 1 + 2 = 3 . Diese Koeffizienten entsprechen genau den Koordinaten von v bezüglich dieser Basis. Es ist also 3 [v]B = −4 . −1 Gruppe 2 B Gegeben ist der Vektorraum V = R3 , der Vektor v und B = {b1 , b2 , b3 } in folgender Weise: 1 1 0 −1 v = 2 , b1 = 2 , b2 = 2 , b3 = −6 . 7 3 −1 3 1. Wie lautet die erweiterte Koeffizientenmatrix jenes Gleichungssystems, das v als Linearkombination der Vektoren b1 , b2 und b3 darstellt? (1P) 2. Zeigen Sie, das B = {b1 , b2 , b3 } eine Basis von V ist. (3P) 3. Geben Sie die Koordinaten [v]B des Vektors v bezüglich der Basis B an. (2P) Lösung: 1. Um v als Linearkombination der Vektoren aus B darzustellen, gilt es das Gleichungssystem v = x1 b1 + x2 b2 + x3 b3 zu lösen. Die erweiterte Koeffizientenmatrix (A|b) ist also 1 0 −1 1 2 −6 2 . B|v = 2 3 −1 3 7 2. Mittels Gauß’schem Eliminationsverfahren erhält man durch elementare Zeilenumformungen der Koeffizientenmatrix A die folgende erweiterte Koeffizientenmatrix 1 0 −1 1 0 1 −6 −4 0 0 1 1 in gestaffelter Form. Da Rang(A)=dim(V )=3 , sind die Vektoren b1 , b2 und b3 linear unabhängig und jeder Vektor b ∈ V lässt sich als Linearkombination dieser Vektoren darstellen. Damit ist B eine Basis. 3. Da B ein Basis bildet, ist v eindeutig als Linearkombination der Vektoren b1 , b2 und b3 darstellbar. Die erweiterte Koeffizientenmatrix (A|b) liefert folgendes umgeformte Gleichungssystem: x1 x2 − x3 − 6 x3 x3 = 1, = −4 , = 1. Die Lösung ist x3 x2 x1 = 1, = −4 + 6x3 = −4 + 6 = 2 , = 1 + x3 = 1 + 1 = 2 . Diese Koeffizienten entsprechen genau den Koordinaten von v bezüglich dieser Basis. Es ist also 2 [v]B = 2 . 1 Gruppe 2 C Gegeben ist der Vektorraum V = R3 , der Vektor v und B = {b1 , b2 , b3 } in folgender Weise: 2 1 0 4 v = 10 , b1 = 3 , b2 = −1 , b3 = 3 . 11 2 1 6 1. Wie lautet die erweiterte Koeffizientenmatrix jenes Gleichungssystems, das v als Linearkombination der Vektoren b1 , b2 und b3 darstellt? (1P) 2. Zeigen Sie, das B = {b1 , b2 , b3 } eine Basis von V ist. (3P) 3. Geben Sie die Koordinaten [v]B des Vektors v bezüglich der Basis B an. (2P) Lösung: 1. Um v als Linearkombination der Vektoren aus B darzustellen, gilt es das Gleichungssystem v = x1 b1 + x2 b2 + x3 b3 zu lösen. Die erweiterte Koeffizientenmatrix (A|b) ist also 2 1 0 4 A|b = 3 −1 3 10 . 2 1 6 11 2. Mittels Gauß’schem Eliminationsverfahren erhält man durch elementare Zeilenumformungen der Koeffizientenmatrix A die folgende erweiterte Koeffizientenmatrix 1 0 4 2 0 1 −2 7 0 0 1 −1 in gestaffelter Form. Da Rang(A)=dim(V )=3 , sind die Vektoren b1 , b2 und b3 linear unabhängig und jeder Vektor b ∈ V lässt sich als Linearkombination dieser Vektoren darstellen. Damit ist B eine Basis. 3. Da B ein Basis bildet, ist v eindeutig als Linearkombination der Vektoren b1 , b2 und b3 darstellbar. Die erweiterte Koeffizientenmatrix (A|b) liefert folgendes umgeformte Gleichungssystem: x1 x2 + 4 x3 − 2 x3 x3 = 2, = 7, = −1 . Die Lösung ist x3 x2 x1 = −1 , = 7 + 2x3 = 7 − 2 = 5 , = 2 − 4x3 = 2 + 4 = 6 . Diese Koeffizienten entsprechen genau den Koordinaten von v bezüglich dieser Basis. Es ist also 6 [v]B = 5 . −1