Kapitel I in pdf - Server der Fachgruppe Physik der RWTH Aachen

1
1
Korrelationsfunktionen in der Physik
Korrelationsfunktionen sind wichtige Größen, um Messungen von dynamischen
und strukturellen Eigenschaften von Vielteilchensystemen zu beschreiben, und
werden dementsprechend vielseitig in der Festkörper- und Kernphysik angewendet. Zum Beispiel läßt sich der inelastische Streuquerschnitt für Streuung von
Neutronen an einem nichtmagnetischem Kristall durch die Fouriertranformierte
der Dichtekorrelationsfunktion der Atomkerne
Cnn (r, t; r0 , t0 ) = hn(r, t)n(r0 , t0 )i
(1.1)
ausdrücken. Andererseits wird die lineare Antwort eines Systems auf eine äußere,
zeitabhängige Störung, zum Beispiel die Antwort der Dichte auf eine an die Dichte
ankoppelnde Störung, durch die dynamische Suszeptibilität
χnn (r, t; r0 , t0 ) =
i
θ(t − t0 )h[δn(r, t), δn(r0 , t0 )]i
h̄
(1.2)
beschrieben, wobei
δn(r, t) = n(r, t) − hni .
Im thermischen Gleichgewicht hängen beide Größen über das Dissipations-Fluktuations-Theorem zusammen und können durch eine einzige Funktion ausgedrückt werden, die spektrale Dichte. Diese Größe hängt auch mit der Leistungsaufnahme in einem zeitabhängigem äußeren Feld zusammen.
Andere Arten von Experimenten liefern Informationen über die Dynamik
einzelner Teilchen in einem Vielteilchensystem. Beispiele sind hier Tunnel- und
Photoemissionsexperimente. In diesen Fällen müssen wir mit sog. EinteilchenGreenfunktionen arbeiten, die Korrelationsfunktionen zwischen Erzeugungs- und
Vernichtungsoperatoren sind.
Eine letzte wichtige Anwendung von Greenfunktionen betrifft die Bestimmung thermodynamischer Größen wie z.B. der Freien Energie. Letztere benötigt
man zur Berechnung der spezifischen Wärme und zur Charakterisierung von Phasenübergängen, beispielsweise in Supraleitern.
1.1
Lineare Antworttheorie
In diesem Abschnitt wollen wir die Antwort eines Systems auf eine äußere, zeitabhängige Störung bestimmen. Dazu berechnen wir den zeitabhängigen Erwartungswert hAit einer Observablen A unter dem Einfluß eines externen Feldes,
1 Korrelationsfunktionen in der Physik
2
welches an eine Systemvariable B koppelt. Der Gesamthamiltonian des Systems
soll
H̃t = H + Hs,t
(1.3)
sein, wobei H der zeitunabhängige Hamiltonian des Systems selber ist und die
äußere Störung durch
Hs,t = −Bf (t)
(1.4)
beschrieben werde. Dabei ist f (t) ein zeitabhängiges äußeres Feld. Der Einfachheit
halber nehmen wir an, daß B ein hermitischer Operator und f (t) ein reelles Feld
ist. Ferner nehmen wir an, daß das System im thermischen Gleichgewicht war,
bevor das äußere Feld zur Zeit t0 eingeschaltet wurde, d.h. es gelte f (t) = 0 für
t < t0 . Mit einiger Vorsicht kann man auch den Limes t0 → −∞ durchführen.
Die Antwort ist in linearer Näherung gegeben durch
Z ∞
hAit = hAi +
χAB (t − t0 )f (t0 )dt0 .
(1.5)
−∞
Die Größe
i
Θ(t − t0 )h[A(t), B(t0 )]i
(1.6)
h̄
ist die dynamische Suszeptibilität (oder Antwortfunktion). Sie besteht aus dem
χAB (t, t0 ) =
thermischen Erwartungswert des Kommutators zweier Operatoren im Heisenbergbild
i
i
A(t) = e h̄ Ht Ae− h̄ Ht ;
(1.7)
θ(t) ist die Stufenfunktion
θ(t) =
1 : t>0
0 : t<0
hAi ist der thermische Erwartungswert, welcher mit dem Hamiltonian H ohne die
zeitabhängige äußere Störung berechnet wird. Genauer: Wenn |ni ein vollständiger Satz von Eigenzuständen zu H mit Eigenwerten En ist,
H|ni = En |ni ,
dann gilt
hAi =
wobei
X
n
pn = exp(−βEn )/Z,
pn hn|A|ni ,
Z=
X
n
exp(−βEn ) .
(1.8)
(1.9)
1.1 Lineare Antworttheorie
3
Der zeitabhängige Erwartungswert auf der anderen Seite ist gegeben durch
X
hAit =
pn hñ(t)|A|ñ(t)i ;
(1.10)
n
die Zustände |ñi sind dabei die Lösungen der zeitabhängigen Schrödingerglei-
chung
ih̄
∂|ñ(t)i
= H̃t |ñ(t)i
∂t
(1.11)
mit der Anfangsbedingung
i
i
|ñ(t0 )i = |n(t0 )i = e− h̄ Ht0 |ni = e− h̄ En t0 |ni .
(1.12)
Wir wollen nun zunächst zeigen, daß die Lösung der Schrödingergleichung als
i
|ñ(t)i = e− h̄ Ht S(t, t0 )|ni
(1.13)
geschrieben werden kann, wobei
S(t, t0 ) = T e
− h̄i
Rt
t0
dt0 Hs,t0 (t0 )
(1.14)
vom Operator der externen Störung im Wechselwirkungsbild (Diracbild)
i
i
Hs,t (t) = e h̄ Ht Hs,t e− h̄ Ht = −f (t)B(t)
(1.15)
abhängt. In Gleichung (1.13) haben wir die Zeitabhängigkeit infolge des Hamiltonians H von der zusätzlichen Zeitabhängigkeit, welche durch die äußere Störung
eingeführt wird, abgetrennt. Der Operator S in (1.13) ist ohne äußeres Feld 1, d.h.
insbesondere für Zeiten t < t0 . T stellt einen sog. Zeitordnungsoperator dar, den
wir gleich genauer definieren werden. Um zu beweisen, daß der Zustand |ñ(t)i,
der durch die Gleichungen (1.11) und (1.12) festgelegt ist, wie in Gleichung (1.13)
geschrieben werden kann, betrachten wir die Ableitung von Gleichung (1.13) nach
der Zeit
i
∂S
∂
i
|ñ(t)i = − H|ñ(t)i + e− h̄ Ht |ni .
∂t
h̄
∂t
(1.16)
Andererseits muß die Schrödingergleichung erfüllt sein, was genau dann der Fall
ist, wenn S(t, t0 ) der Bewegungsgleichung
i
∂
S(t, t0 ) = − Hs,t (t)S(t, t0 )
∂t
h̄
(1.17)
1 Korrelationsfunktionen in der Physik
4
gehorcht. Diese Bewegungsgleichung kann mit Hilfe eines Reihenansatzes
i
S(t, t0 ) = 1 + (− )
h̄
Zt
i
dt1 Hs,t1 (t1 ) + (− )2
h̄
Zt
dt1
t0
t0
Zt1
dt2 Hs,t1 (t1 )Hs,t2 (t2 ) + . . . .
t0
(1.18)
gelöst werden. Die Reihe läßt sich formal als die Reihenentwicklung einer Exponentialfunktion auffassen, d.h.
i
S(t, t0 ) = 1 + (− )
h̄
Zt
1
i
dt1 Hs,t1 (t1 ) + (− )2
2! h̄
Zt
t0
t0
dt1
Zt
t0
dt2 T Hs,t1 (t1 )Hs,t2 (t2 ) + . . .
(1.19)
wenn man den Zeitordnungsoperator wie folgt definiert


A(t1 )B(t2 ), t1 > t2
T A(t1 )B(t2 ) = B(t2 )A(t1 ), t1 < t2


.
(1.20)
Damit ist Gleichung (1.13) bewiesen.
Für den zeitabhängigen Erwartungswert erhält man mit (1.13) schließlich
X
hAit =
pn hñ(t)|A|ñ(t)i
n
= Z −1
X
n
hn|e−βH S † (t, t0 )A(t)S(t, t0 )|ni
= hS † (t, t0 )A(t)S(t, t0 )i ,
(1.21)
wobei der letzte Erwartungswert wieder bezüglich H alleine zu nehmen ist. Im
Ausdruck (1.21) treten die Basiszustände nicht mehr explizit auf, d.h. unser Resultat ist unabhängig von der gewählten Basis.
Bis hierher wurde noch keine Näherung gemacht. Um den Ausdruck (1.21)
weiter auswerten zu können, betrachten wir im Folgenden den Fall, daß das äußere
Feld eine kleine Störung darstellt. Dann können wir den Zeitentwickler in linearer
Näherung zu
i
S(t, t0 ) = 1 −
h̄
Zt
dt0 Hs,t0 (t0 )
Zt
dt0 f (t0 )B(t0 )
t0
i
= 1+
h̄
t0
(1.22)
1.1 Lineare Antworttheorie
5
berechnen. Mit der Hermitizität von B, B = B † , und f (t) ∈
finden wir schließ-
lich
i
hAit = hAi +
h̄
Z
t
t0
dt0 hA(t)B(t0 ) − B(t0 )A(t)if (t0 ) + O(f 2 ) ,
(1.23)
Z+∞
δhAit = dt0 χAB (t, t0 )f (t0 )
(1.24)
womit das Ergebnis (1.6)
−∞
folgt.
Einige Bemerkungen:
• Die obere Integrationsgrenze in Formel (1.24) ist aufgrund der Anwesenheit
der Stufenfunktion eigentlich t. Hierin spiegelt sich die Kausalität wieder,
denn die Antwort eines Systems muß stets zeitlich nach der Störung liegen.
• Die untere Integrationsgrenze ist wegen dem Verschwinden des äußeren Feldes für t < t0 eigentlich t0 .
• Die Antwortfunktion χAB hängt nur von der Zeitdifferenz t − t0 ab. Dieser
Sachverhalt kann einfach durch zyklische Rotation von exp(−iHt/h̄) unter
der Spur bewiesen werden, wobei man noch ausnutzt, daß exp(−iHt/h̄) mit
dem statistischen Operator vertauscht.
Ein einfaches Beispiel:
Bevor wir uns mit der weiteren Ausformulierung der Theorie beschäftigen werden
zunächst ein einfaches Beispiel:
Wir betrachten ein geladenes Teilchen im harmonischen Potential in einer zeitabhängigen äußeren Störung. Der volle zeitabhängige Hamiltonian des Teilchens
lautet
Ht = H − x · f (t) ,
(1.25)
wobei der Hamiltonian H des Systems durch
H=
m
p2
+ ω02 x2
2m
2
(1.26)
1 Korrelationsfunktionen in der Physik
6
gegeben ist. Wir interessieren uns für die Antwort δhxit = hxit des Teilchens
im Feld, das ebenfalls an die Auslenkung x ankoppelt. Daher benötigen wir die
Antwortfunktion
i
(1.27)
χxx (t) = θ(t)h x(t), x(0) i .
h̄
Für dieses einfache Beispiel kann die Zeitabhängigkeit im Heisenbergbild mittels
der Bewegungsgleichungen berechnet werden mit dem Ergebnis
dx(t)
i
= H, x(t) = m−1 p(t)
dt
h̄
dp(t)
i
= H, p(t) = −mω02 x(t) ,
dt
h̄
(1.28)
wobei die Vertauschungsrelation zwischen Impuls p und Ort x zu gleichen Zeiten
x(t), p(t) = ih̄
(1.29)
x(t) = x cos ω0 t + p(mω0 )−1 sin ω0 t .
(1.30)
ausgenutzt wurde. Die Lösung für x(t) mit den Anfangsbedingungen x(0) = x
und ẋ(0) = p/m lautet
Die Form ist ähnlich zur Lösung in der klassischen Mechanik, nur daß hier x und
p Operatoren sind.
Mit der Vertauschungsrelation erhalten wir weiter
[x(t), x(0)] = −ih̄(mω0 )−1 sin ω0 t
(1.31)
und somit für die dynamische Suszeptibilität
χxx (t) = θ(t)(mω0 )−1 sin ω0 t .
(1.32)
Man beachte, daß im Endergebnis h̄ nicht mehr auftritt. Dasselbe Ergebnis erhält
man in der klassischen Mechanik, wenn man die Bewegungsgleichungen für einen
Oszillator in Anwesenheit einer externen Störung löst. Das Ergebnis ist ferner von
der Temperatur unabhängig, obwohl wir ein statistisches Ensemble von Oszillatoren betrachtet haben. Dies ist eine besondere Eigenschaft des harmonischen
Oszillators; in Anwesenheit von anharmonischen Beiträgen wird das Ergebnis
nicht mehr diese einfache Form haben.
1.1 Lineare Antworttheorie
7
In realistischen Berechnungen mit Phononen ist es bequemer, alle Observablen durch Phononerzeuger und -vernichter auszudrücken, wobei die grundlegende Vertauschungsrelation
[b, b† ] = 1
(1.33)
lautet. Wenn wir
1/2 h̄/2ω0 m
b† + b
1/2 p = i h̄mω0 /2
b† − b
x =
schreiben, so gilt
1
.
H = h̄ω0 b b +
2
Die Bewegungsgleichung für die Operatoren b(t), b† (t) lautet
†
i
i
db(t)
=
[H, b(t)] = eiHt/h̄ [H, b]e−iHt/h̄ = −iω0 b(t)
dt
h̄
h̄
db† (t)
= +iω0 b† (t)
dt
(1.34)
(1.35)
(1.36)
(1.37)
(1.38)
und wird gelöst durch
b(t) = exp(−iω0 t)b
b† (t) = exp(+iω0 t)b† .
(1.39)
(1.40)
Für x(t) erhalten wir damit
1/2 x(t) = h̄/2ω0 m
b† eiω0 t + be−iω0 t
(1.41)
und schließlich denselben Kommutator für [x(t), x(0)] wie zuvor.
Spezielle Zeitabhängigkeiten
a) f (t) = f δ(t).
Dann ist
hAit = hAi + χAB (t) · f .
(1.42)
In diesem Fall beschreibt χAB (t) die Antwort auf einen Schlag bei t = 0. Für den
Oszillator erhält man qualitativ das Ergebnis in Abb. 1.1.
1 Korrelationsfunktionen in der Physik
8
χ (t)
t
Abbildung 1.1: Lineare Antwort des harmonischen Oszillators auf einen
δ-Schlag.
b) f (t) = f eδt cos ωt.
Dies ist eine harmonische Kraft, die in der Vergangenheit adiabatisch eingeschaltet wurde (δ → +0). In diesem Fall können wir t0 → −∞ setzen, denn der
adiabatische Einschaltfaktor eδt garantiert ein wohldefiniertes Ergebnis in der
Gegenwart.
Betrachten wir zunächst die einfachere Form
f (t) = f e−izt ,
mit =mz > 0 .
Diese Form verletzt zwar die Forderung f (t) ∈
(1.43)
, kann aber trotzdem als ein
mathematisches Konstrukt verwendet werden. Wir erhalten in diesem Fall
Z ∞
δhAit =
dt0 χAB (t − t0 )f (t0 )
−∞
Z t
0
dt0 χAB (t − t0 )f eiz(t−t )
= e−izt
−∞
= χAB (z)f (t) ,
(1.44)
wobei die (verallgemeinerte) Laplacetransformierte der Antwortfunktion
Z ∞
χAB (z) =
dteizt χAB (t)
(1.45)
0
eingeführt wurde und wir ausgenutzt haben, daß im thermischen Gleichgewicht
χAB (t, t0 ) nur von der Zeitdifferenz t̄ = t − t0 abhängt.
1.1 Lineare Antworttheorie
9
Für eine adiabatisch eingeschaltete harmonische Störung mit Frequenz ω
1 −iωt+δt
f (t) =
e
+ e+iωt+δt f
(1.46)
2
ergibt sich dann
1 −iωt+δt
+iωt+δt
χAB (ω + iδ) + e
χAB (−ω + iδ) .
(1.47)
δhAit = f e
2
Für den wichtigen Fall, daß A = B hermitisch werden wir im folgenden Abschnitt
zeigen, daß
<eχAA (−ω + iδ) = <eχAA (ω + iδ)
(1.48)
=mχAA (−ω + iδ) = −=mχAA (ω + iδ) .
(1.49)
Damit gilt
χ’(ω)
_ω
+ω 0
0
ω
χ’’(ω)
_ω
0
ω
+ω 0
Abbildung 1.2: Real- und Imaginärteil der Antwortfunktion eines harmonischen Oszillators.
δhAit = <e f e−iωt+δt χAA (ω + iδ) .
(1.50)
Für den harmonischen Oszillator findet man das in Abb. 1.2 gezeigte Verhalten
für den Real- (χ0xx (ω)) und Imaginärteil (χ00xx (ω)) der Antwortfunktion.
1 Korrelationsfunktionen in der Physik
10
Dynamische Spin-Suszeptibilität
~ und magnetischem MoWir betrachten eine Spinfreiheitsgrad mit Spin S
~ in einem statischen Feld B0 ẑ in z-Richtung und untersuchen die
ment µ
~ = γS
Antwort der Spin-Polarisation hSx it auf ein (adiabatisch eingeschaltetes) oszil~ s (t) = x̂B1 cos(ωt) in x-Richtung. Gesucht ist die transversale
lierendes Feld B
Suszeptiblität
i
χSx Sx (t) = Θ(t)h[Sx (t), Sx ]i,
h̄
χSx Sx (z) =
Z
∞
dtχSx Sx (t)eizt
(1.51)
0
und die Antwort der Spinpolarisation hSx it .
Lösung:
Der Hamilton-Operator des Gesamtsystems ist:
~
H̃t = −~µB(t)
= H + Hs,t
(1.52)
mit
H = −γSz B0 ,
Hs,t = −γB1 Sx cos(ωt)
(1.53)
Tip: Es ist zweckmäßig, anstelle von Sx (t) die Zeitabhängigkeit von S± (t) mit
S± = Sx ±iSy zu untersuchen und dabei die Spin-Vertauschungsregeln Sx , Sy =
ih̄Sz usw. zu verwenden.
Für S+ (t) gilt die Bewegungsgleichung:
Damit
d
i
S+ (t) = H, S+ (t)
dt
h̄
Sz , S+ ] = Sz , Sx + iSy = (ih̄Sy + h̄Sx ) = h̄S+
d
S+ (t) = −iω0 S+ (t)
dt
(1.54)
(1.55)
(1.56)
mit ω0 = γB0 . Lösung:
S+ (t) = e−iω0 t S+ ,
S− (t) = e+iω0 t S−
(1.57)
Daraus erhält man mit Sx = (S+ + S− )/2:
1
Sx (t) = (S+ (t) + S− (t)) = Sx cos(ω0 t) + Sy sin(ω0 t)
2
(1.58)
1.1 Lineare Antworttheorie
11
Für die Berechnung der dynamischen Suszeptibilität brauchen wir
und damit
Sx (t), Sx (0) = −ih̄Sz sin(ω0 t)
(1.59)
χSx Sx (t) = Θ(t)hSz i sin(ω0 t)
(1.60)
1
1
1 χSx Sx (z) = hSz i
−
2
z + ω0 z − ω0
(1.61)
Hier zeigt sich die Ähnlichkeit zum harmonischen Oszillator: S− ist ein Anregungsoperator, der einen Spinumklapp aus der Vorzugsrichtung erzeugt, S+
der dazu adjungierte Operator. Sx ist eine Kombination aus beiden. Im Unterschied zum harmonischen Oszillator ist allerdings der Kommutator [Sx (t), Sx (0)]
ein Operator und keine einfache komlexe Funktion wie beim harmonischen Oszillator.
Für die Spin-Polarisation erhält man nach den allgemeinen Regeln:
1
hSx it = γB1 e−iωt χSx Sx (ω + iδ) + e+iωt χSx Sx (−ω + iδ)
2
(1.62)
An der Resonaz ω = ±ω0 divergiert die lineare Antwort. Außerhalb der Resonanz
gilt
hSx it = γB1 hSz i
ω02
ω0
cos(ωt)
− ω2
(1.63)
Die Polarisation folgt dem anregenden Feld. Im Limes ω → 0 erhält man daraus
die statische transversale Suszeptibilität, d.h. die Antwort der Spinpolarisation
auf ein kleines Zusatzfeld B1 in x-Richtung in Gegenwart eines starken Feldes B0
in z-Richtung.
In ähnlicher Weise berechnet man :
χSy Sx (t) =
i
Θ(t)h[Sy (t), Sx ]i,
h̄
χSy Sx (t) = −Θ(t)hSz i cos(ω0 t)
1
1
1
+
χSy Sx (z) = − hSz i
2
z + ω0 z − ω0
1
hSy it = γB1 e−iωt χSy Sx (ω + iδ) + e+iωt χSy Sx (−ω + iδ)
2
Außerhalbe der Resonanz:
hSy it = γB1 hSz i
ω02
ω
sin(ωt)
− ω2
(1.64)
(1.65)
(1.66)
(1.67)
1 Korrelationsfunktionen in der Physik
12
Im statischen Limes ω → 0 verschwindet hier, wie erwartet, die Polarisation,
aber bei endlichen Frequenzen erhält man auch eine oszillierende Polarisation
in y-Richtung bei Anregung in x-Richtung. Das liegt an der Spin-Präzession im
statischen Feld.
1.2
Statische isotherme Suszeptibilität
Im vorangegangenen Abschnitt haben wir uns mit der Antwort eines Systems
auf eine zeitabhängige äußere Störung beschäftigt. Daneben benötigen wir später
auch die Antwort eines Systems auf ein statisches äußeres Feld. Wie wir im Folgenden sehen werden, ist diese nicht notwendigerweise äquivalent zur dynamischen
Antwort im Grenzfall ω → 0. Daher benötigen wir einen separaten Weg, um die
statische Antwortfunktion zu berechnen.
Wir schreiben die äußere Störung als
Hex = −Bh
(1.68)
und erhalten für den thermischen Erwartungswert einer Observablen A
hAih = Tr (ρh A) ,
(1.69)
wobei
ρh = exp −β(H − Bh) /Zh
(1.70)
Zh = Tr (exp {−β(H − Bh)}) .
(1.71)
Wir interessieren uns für die (isotherme) statische Suszeptibilität χTAB , die als
∂hAih
.
h→0 ∂h
χTAB = lim
(1.72)
definiert ist. Um die Ableitung bezüglich des externen Feldes zu berechnen,
müssen wir die Ableitung der Exponentialfunktion in (1.69) bestimmen. Dies
ist nicht trivial für den quantenmechanischen Fall, da i.a. [H, B] 6= 0. Die korrek-
te Reihenentwicklung bezüglich des Störoperators Hex erhält man, indem man
zunächst
e−β(H+Hex ) = e−βH T e
Rβ
− dλHex [λ]
0
(1.73)
schreibt, wobei die Abhängigkeit eines Operators von λ als
C[λ] = eλH Ce−λH
(1.74)
1.2 Statische isotherme Suszeptibilität
13
definiert ist, und T wiederum ein Zeitordnungsoperator ist, der die Zeiten“ λ
”
in den Vielfachintegralen in der Entwicklung von (1.73) von links nach rechts in
abfallender Größe ordnet. Gleichung (1.73) kann am schnellsten durch ableiten
nach β bewiesen werden.
Behält man nur den Term 1. Ordnung im Feld,
e
−β(H−Bh)
'e
−βH
Zβ
1 + dλB[λ]h ,
(1.75)
0
so findet man
hAih
Zβ
= Z hAi + dλhB[λ]Aih /Zh
0
Zh = Z 1 + βhhBi
.
(1.76)
(1.77)
Dabei ist Z = Tr (e−βH ) und der thermische Erwartungswert h. . .i wird mit dem
Hamiltonian H des Systems ohne äußeres Feld gebildet.
Mit (1.76) und (1.77) erhält man schließlich
χTAB
Zβ
= dλhB[λ]Ai − βhBihAi ,
(1.78)
0
mit B[λ] gemäß Gleichung (1.74).
Für klassische Systeme findet man das einfachere Ergebnis1
χTAB = β hBAi − hBihAi .
(1.79)
In diesem Fall fällt die Zeitabhängigkeit B[λ] weg, denn man muß sich nicht
um die Reihenfolge der Größen in der Entwicklung des statistischen Operators
kümmern.
Beispiele:
a) Harmonischer Oszillator im externen Feld.
Wir wollen für dieses bereits im Abschnitt 1.1 besprochene Beispiel die
statische Antwortfunktion χTxx berechnen.
1
Das Ergebnis gilt ebenfalls, wenn [H, B] = 0.
1 Korrelationsfunktionen in der Physik
14
Behandeln wir das System klassisch, so finden wir mit (1.79)
χTxx = βhx2 i
(1.80)
wegen hxi = 0 ohne äußeres Feld.
Der thermische Mittelwert läßt sich mittels des Gleichverteilungssatzes der
klassischen statistischen Mechanik für die potentielle Energie
h
m 2 2
ω x i = β/2
2 0
(1.81)
einfach berechnen und man erhält
χTxx = (mω02 )−1 .
(1.82)
Für dieses Beispiel kann man die statische Antwortfunktion auch mittels
des Kräftegleichgewichts im äußeren Feld
bestimmen: Es muß
d m 2 2
ω0 x − hx = 0.
dx 2
(1.83)
hxih = (mω02 )−1 h
(1.84)
gelten, und wir müssen nicht einmal mehr den thermischen Erwartungswert
berechnen.
Im quantenmechanischen Fall müssen wir
Zβ
χTxx =
dλhx[λ]xi
(1.85)
0
berechnen. Die Abhängigkeit des Auslenkungsoperators x von λ erhält man
mittels Gleichung (1.41) durch formale Ersetzung von t durch −ih̄λ. Damit
ist
1/2 † h̄ω0 λ
−h̄ω0 λ
x[λ] = h̄/2mω0
be
+ be
und
χTxx
=
2mω02
−1 h
eh̄ω0 β − 1 h b† b† + b† b i
i
− e−h̄ω0 β − 1 h bb† + bb i
(1.86)
(1.87)
1.2 Statische isotherme Suszeptibilität
15
Die Temperaturabhängigkeit von der λ-Integration wird gerade durch die
Bosefaktoren
†
hb bi = 1/ e
h̄ω0 β
−1
(1.88)
gekürzt und wir erhalten wieder das Ergebnis (1.82).
b) Nichtwechselwirkende Spins im Magnetfeld.
Wir wollen ein System isolierter Spins mit Quantenzahl S betrachten, die
mit einem äußeren Feld der Form
Hex = −Sz h
(1.89)
wechselwirken. Wir interessieren uns für die Spinpolarisation in Richtung
des äußeren Feldes, d.h. wir müssen
χTSz Sz
=
Zβ
hSz [λ]Sz idλ.
(1.90)
0
berechnen. Wenn H = 0, ist Sz [λ] = Sz und damit folgt für ein isotropes
System wegen hSz2 i = hSx2 i = hSy2 i = hS2 i/3
χTSz Sz = βhSz2 i = βS(S + 1)/3 ,
(1.91)
also die bekannte Curiesuszeptibilität.
Für die zugehörige dynamische Antwortfunktion erhalten wir andererseits
mit (1.45)
Z∞
i
χSz Sz (z) =
eizt h Sz (t), Sz (0) i = 0
(1.92)
h̄
0
für alle z. Offensichtlich ist die dynamische Suszeptibilität im Grenzfall
z → 0 nicht identisch mit der statischen Suszeptibilität. Der Grund dafür
ist, daß die dynamische Variable Sz eine Erhaltungsgröße ist, und daher
kann ein Zustand mit hSz ih 6= 0 im thermischen Gleichgewicht nicht durch
adiabatisches Einschalten eines externen Feldes in z-Richtung erreicht werden.
1 Korrelationsfunktionen in der Physik
16
1.3
Streuquerschnitte und Korrelationsfunktionen
In inelastischen Streuexperimenten mißt man den differentiellen Wirkungsquerschnitt (d2 σ/dΩdh̄ω). Diese Größe, multipliziert mit ∆Ω∆h̄ω, ergibt die Anzahl
der Teilchen pro Zeiteinheit, die in den Raumwinkelbereich ∆Ω mit Energieverlust h̄ω im Intervall ∆h̄ω gestreut werden, dividiert durch die Zahl der einfallenden Teilchen pro Einheitsfläche und -zeit. In der niedrigsten Ordnung, der 1.
Born’schen Näherung, kann man diese Größe über Fermis goldene Regel (für eine
Ableitung siehe z.B. Marshall und Lovesey 1971) zu
d2 σ
k0
=
dΩdh̄ω
k
m
2πh̄2
2 X
i,f
pi |hk0 , f |Hint |k, ii|2 δ(h̄ω − Ef + Ei )
(1.93)
berechnen. Dabei ist Hint der Wechselwirkungshamiltonian zwischen den gestreuten Teilchen mit Masse m und einem massiven Target, h̄k, h̄k0 sind die Impulse
der einfallenden und gestreuten Teilchen (Abb. 1.3), i und f bezeichnen den
Anfangs- (initial) und Endzustand (final) des Targets und pi ist die Wahrscheinlichkeit für einen gegebenen Anfangszustand des Targets. Die δ-Funktion sorgt
für die Energieerhaltung. Die Vorfaktoren resultieren von der Zustandsdichte pro
Zähler
→
k’
→
q
→
k
Target
Abbildung 1.3: Streugeometrie
Energie der Streuzustände und von der Änderung der Geschwindigkeit der inelastisch gestreuten Teilchen.
Der orbitale Anteil der Wellenfunktion der gestreuten Teilchen kann durch
ebene Wellen eikr beschrieben werden, so daß das Übergangsmatrixelement sich
als (der Einfluß des Spins wird später diskutiert)
hk0 f |Hint |k, ii = hf |Hint (−q)|ii
(1.94)
1.3 Streuquerschnitte und Korrelationsfunktionen
schreiben läßt, wobei
Hint (q) =
Z
d3 re−iqr Hint (r)
17
(1.95)
und q = k − k0 der Streuwellenvektor ist (s. Abb. 1.3).
Wir können weiterhin die explizit auftretenden Energien der Targetzustände
und die Besetzungswahrscheinlichkeiten beseitigen (van Hove, 1954), indem wir
die Darstellung
1
1
δ(h̄ω) = δ(ω) =
h̄
2πh̄
Z+∞
dteiωt
(1.96)
−∞
der δ-Funktion und Heisenbergoperatoren
i
i
Hint (q, t) = exp
Ht Hint (q) exp − Ht
h̄
h̄
(1.97)
einführen, wobei H der Hamiltonian des Targets ist.
Der differentielle Wirkungsquerschnitt kann dann ausgedrückt werden als
k0
d2 σ
=
dΩdh̄ω
k
m
2πh̄2
2
1
2πh̄
Z+∞
†
dteiωt hHint
(−q, t)Hint (−q, 0)i
(1.98)
−∞
Die weitere Auswertung der Korrelationsfunktion hängt vom Typ der Wechselwirkung zwischen Target und Streuteilchen ab. Für die Streuung von Neutronen an
nichtmagnetischen Kristallen kann die Wechselwirkung als Summe von Potentialen zwischen den gestreuten Neutronen und den Targetkernen an den Positionen
Rj
Hint (r) =
X
j
Vj (r − Rj )
(1.99)
geschrieben werden. Wegen der Kurzreichweitigkeit dieser Wechselwirkung gilt
näherungsweise
2πh̄2
aj δ(r − Rj ) ,
(1.100)
Vj (r − Rj ) =
m
wobei die sog. Streulänge aj auftritt. Damit ergibt sich als Streuquerschnitt
d2 σ
k0 1
=
dΩdh̄ω
k 2πh̄
Z+∞
X
dteiωt
haj al e−iqRj (t) eiqRl (0) i .
−∞
(1.101)
jl
Die Streulängen aj hängen vom Spin der Targetkerne und dessen Richtung bezüglich des Spins der gestreuten Neutronen ab. Für nichtmagnetische Kristalle und
1 Korrelationsfunktionen in der Physik
18
unpolarisierte Neutronen sind die Streulängen verschiedener Kerne unkorreliert
und ihr Erwartungswert kann durch
haj al i = ha2 i + δjl ha2 i − hai2
≡ a2coh
+ δjl a2inc
(1.102)
ausgedrückt werden. Dadurch erhält man zwei Beiträge zum Streuquerschnitt,
die als Kohärent und Inkohärent bezeichnet werden. Für den Kohärenten Anteil
findet man
k 0 a2coh
d2 σ
=
S(q, ω) ,
(1.103)
dΩdh̄ω
k h̄
mit dem dynamischen Strukturfaktor
1
S(q, ω) =
2π
Z+∞
X
dteiωt
he−iqRj (t) eiqRl (0) i .
−∞
(1.104)
jl
Führt man die Kerndichte und ihre Fouriertransformierte
Z
X
X
n(r) =
δ(r − Rl ), n(q) = dr3 e−iqr n(r) =
e−iqRl
l
(1.105)
l
ein, kann der dynamische Strukturfaktor auch als
1
S(q, ω) =
2π
Z+∞
dteiωt hn(q, t)n† (q, 0)i
−∞
1
=
2π
Z
Z
Z+∞
0
3
iωt
d r d3 r0 e−iq(r−r ) hn(r, t)n(r0 , 0)i
dte
(1.106)
−∞
geschrieben werden. Damit haben wir einen Zusammenhang zwischen Streuquerschnitt und einer die strukturellen und dynamischen Eigenschaften des Targets
(Atomkerne) beschreibenden Korrelationsfunktion hergestellt.