Grenzwerte - Lernmanufaktur Chemnitz

Abiturkurs
Einheit 2: Kurvendiskussion, Grenzwerte
Michael Göthel
20. März 2017
1 Grenzwerte im Unendlichen
Allgemein:
• Ganzrationale Funktionen sind stets divergent! Das Grenzverhalten richtet sich nach
der höchsten Potenz.
• Winkelfunktionen zeigen unbestimmtes Grenzverhalten!
• Gebrochenrationale Funktionen haben unterschiedliches Verhalten in Abhängigkeit von
der höchsten Potenz in Zähler und Nenner.
Grenzverhalten von gebrochenrationalen Funktionen:
Z = Zählerpolynom (höchste Potenz)
N = Nennerpolynom (höchste Potenz)
A) Fall Z < N: Funktion konvergiert stets gegen 0!
h.P.
z}|{
2−4· x
Beispiel: y =
⇒ x < x2 ⇒ Konvergenz gegen 0!
2
6· x −3
|{z}
h.P.
B) Fall Z = N: Funktion konvergiert gegen einen Wert g!
h.P.
z}|{
5−2· x
Beispiel: y = 8·
x +1 ⇒ x = x ⇒ Konvergenz gegen g ∈ R!
|{z}
h.P.
Bestimmen von g:
Nehmen der höchsten Potenzen mit dem Zahlenwert und Vorzeichen, den Rest ignorieren,
x
−2
1
x kürzen: −26
86x = 8 = − 4 = g
C) Fall Z > N: Funktion ist divergent!
h.P.
z}|{
x3 +8
3
Beispiel: y = 4·
2· x −1 ⇒ x > x ⇒ Divergenz!
|{z}
h.P.
2 Grenzwerte an der Stelle x0
Untersucht werden soll die unendlich nahe Umgebung von Unstetigkeitsstellen von Funktionen (Polstellen, Lücken) - linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert.
Polstelle oder Lücke?
Wenn beim einsetzen von x0 in die gebrochenrationale Funktion..
• ...der Nenner 0 wird, der Zähler aber nicht, dann handelt es sich um eine Polstelle.
• ...der Nenner und der Zähler 0 werden handelt es sich um eine Lücke.
Möglichkeiten den Grenzwert zu finden:
1. Direktes Einsetzen von x0 versuchen.
2. Ausklammern und Kürzen, dann einsetzen von x0 .
3. Binomische Formeln verwenden (Tafelwerk!).
4. Polynomdivision (nur LK)
5. Testen mit GTR.
3 Definitionsbereich, Wertebereich
• Definitionsbereich (x-Werte!): Angabe des Zahlenbereiches in dem die Funktion gültige Werte
liefert.
Üblicherweise x ∈ R mit Einschränkungen, z.B.: Division durch 0, Wurzel von negativen Zahlen
etc.
Beispiel: y = x1 ⇒ DB: x ∈ R, x 6= 0
• Wertebereich (y-Werte!): Angabe des Zahlenbereichs in denen sich die Funktionswerte bewegen.
Üblicherweise y ∈ R mit Einschränkungen,
z.B.: Maximum einer Quadratischen Funktion ⇒ y ≤ ymax oder y ≥ 0 für Wurzelfunktionen.
Beispiel: y = x2 + 5 ⇒ WB: y ∈ R, y ≥ 5
4 Ableitungen anhand Funktionsbilder skizzieren
Um die Ableitung einer Funktion zu skizzieren
müssen spezielle Punkte betrachtet werden. An
Extremwerten hat die Ableitung eine Nullstelle,
an Wendepunkten ein Maximum.
f (x)
f 0 (x)
f 00 (x)
N
E
N
W
E
N
W
E
W
N = Nullstelle
E = Extremwert
W = Wendestelle
Maximum oder Minimum bei einer Wendestelle?
• Wenn die Wendestelle zwischen MAX → MIN liegt ⇒ Minimum!
• Wenn die Wendestelle zwischen MIN → MAX liegt ⇒ Maximum!
(... immer das wo die Funktion hin geht“)
”