MSP - FHNW

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Seite: 1
Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW)
Hochschule für Technik
MSP Lineare Algebra 1
Dozent: R. Burkhardt
Büro: 4.517
Klasse: I1b
Semester: 1
Datum: HS 2007/08
Bemerkung 1 Es stehen insgesamt 120 Minuten für das Lösen des Tests zur Verfügung. Es sind beliebige schriftliche
Unterlagen zugelassen. Der erste Teil muss ohne der zweite darf mit elektronischen Hilfsmitteln (Laptop / Taschenrechner) gelöst werden. Die Zeitaufteilung darf frei gewählt werden. Vor dem Beginn des zweiten Teils müssen die
Lösungen des ersten Teils abgegeben werden. Für gute Notation und saubere Darstellung gibt es zusätzliche Punkte
(maximal +6P). MATLAB-Lösungen dürfen elektronisch als PDF-Dateien abgegeben werden. Im Dokument muss der
Name stehen, andernfalls werden die Dateien nicht bewertet. Die Dateien sind auf einem USB-Stick zu speichern und
müssen nach der Prüfung dem Dozenten für die Übertragung kurz abgegeben werden. VIEL GLÜCK!
Teil 1 (ohne Laptop / Taschenrechner)
1. Aufgabe
(Lineare Gleichungssysteme)
(a) Bestimme die Parameterwerte für a und b, so dass das folgende lineare Gleichungssystem eine eindeutigen Lösungspunkt (reguläres System), unendliche viele Lösungspunkte bzw. eine leere Lösungsmenge besizt: (5P)
x1
+ x2 + ax3 = 0
3x1
− x3
= b
2x1 + x2
= a
(b) Gegeben sei das lineare Gleichungssystem in den 6 Unbekannten x1 , ..., x6 . Zerlege das System in 3
unabhängige Systeme und bestimme mit diesen Teilssystemen die Lösungsmenge des ursprünglichen
Systems: (5P)
⎞⎛
⎞
⎛
⎞ ⎛
x1
2 0 0 1 0 0
15
⎜ 0 0 1 0 0 2 ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ 6 ⎟
⎟⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎜ 0 4 0 0 0 0 ⎟ ⎜ x3 ⎟ ⎜ 20 ⎟
⎟⎜
⎟
⎜
⎟=⎜
⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ x4 ⎟ ⎜ 6 ⎟
⎟⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎝ 0 0 2 0 1 3 ⎠ ⎝ x5 ⎠ ⎝ 13 ⎠
0 0 3 0 2 0
16
x6
2. Aufgabe
(Matrizenkalkül)
(a) Bestimme die Inverse: (3P)
⎛
1
⎜ 0
A=⎜
⎝ 0
0
−2
1
0
0
⎞
−4
3 ⎟
⎟
−2 ⎠
1
3
−2
1
0
(b) Vereinfache den folgenden Term soweit wie möglich (alle Matrizen sind regulär): (3P)
AB −1
T
CDT C −1
T
AB −1
T
−1
D−1 C T
−1
=?
(c) Finde das Regressions-Polynom zweiten Grades (x (t) = at2 + bt + c) für die Punkte:(4P)
t
x
I1b
−2
3
−1
2
MSP Lineare Algebra 1
0
1
1
2
2
3
HS 2007/08
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3. Aufgabe
(Vektorrechnung)
(a) Beweise die Idendität: (2P)
→
−
→2 −
b
a
2
→2
→
−
→ −
−
→ −
= a × b + a ◦ b
2
→
−
→ −
−
→
(b) Gegeben seien die drei linear unabhängigen Vektoren a , b und c .
−
→
(i) Skizziere diese drei Vektoren und zeichne in der Skizze die orthogonale Zerlegung von c in
−
→
→
−
→
−
→ −
die lineare Hülle von a und b (L a , b ) ein. (1P)
(ii) Finde allgemeine Berechnungsvorschriften für diese Zerlegung: (2P)
−
→ −
→ −
→
c = cn + cp
−
→
cn = ?
−
→
cp = ?
−
→
−
→
(iii) Gegeben sei der Kraftvektor F . Finde die Projektion in den Unterraum der Vektoren a und
−
→
b und bestimme auch die Normalkomponente. (2P)
⎛
⎞
50
−
→
F = ⎝ 100 ⎠
150
⎛ ⎞
1
−
→
a = ⎝ 1 ⎠
0
⎛ ⎞
0
−
→
b = ⎝ 1 ⎠
1
(c) Bestimme den Schnittwinkel der beiden Ebenen ε1 und ε2 und gib den Normalenvektor der WinkelhalbierendenEbene an. (3P)
ε1 : 3x − 4y + 12z + 13 = 0
ε2 : 4x + 12y − 3z + 65 = 0
Teil 2 (mit Laptop / Taschenrechner)
1. Aufgabe
(Vektorgeometrie 3D)
(a) Bestimme die Ebene εA durch die drei Punkte A1 (1, 1, 2), A2 (0, 3, −2) und A3 (2, −1, 0) und die
Ebene εB durch die drei Punkte B1 (2, 1, 1), B2 (−2, 3, 0) und B3 (0, 2, −1). (4P)
(b) Im Punkt S (4, 1, 5) sei eine Lichtquelle angebracht. Ziel ist es über die Spiegelflächen εA und εB
den Punkt E (2, 2, 0) anzustrahlen. Bestimme: (6P)
(i) Richtung des von der Quelle ausgehenden Lichtstrahls.
(ii) Die Auftreffpunkte des Lichtstrahls auf den beiden Spiegelflächen.
(iii) Die Länge des Lichtstrahls von S nach E.
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HS 2007/08
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2. Aufgabe
(Vektorgeometrie 2D)
Gegeben sind die drei Geraden
a : x−y =0
b : x + 2y = 3
c : 2x − y = 15
(a) Diese drei Geraden bilden ein Dreieck ABC. Bestimme von diesem Dreieck die Eckpunkte, die
Seitenlängen und die Innenwinkel. (4P)
(b) Bestimme auf der Geraden c den Punkt P , welcher von den Geraden a und b gleiche Entfernung
aufweist. (4P)
(c) Der Punkt P zerlegt das ursprüngliche Dreieck ABC in zwei Teildreiecke CP A und AP B. Bestimme die Flächen dieser beiden Dreiecke. (2P)
3. Aufgabe
(Vektoralgebra)
Wir betrachten den Vektorraum der 2π-periodischen Funktionen, welche im Intervall (0, 2π) stückweise stetig
sind. In diesem Vektorraum sei ein Skalarprodukt wie folgt definiert:
1 2π
f, g =
f (x) g (x) dx
π 0
(a) Bestimme die Beträge der folgenden Vektoren: (3P)
1
√
= ?
2
cos (2x) = ?
sin2 (5x)
= ?
(b) Bestimme die Winkel zwischen den folgenden Vektoren: (2P)
1
∠ √ , cos (2x)
= ?
2
1
∠ √ , sin2 (5x)
= ?
2
∠ sin2 (5x) , cos (2x) = ?
(c) Im weiteren betrachten wir den Unterraum U = L (B) mit der orthnormalen Basis
1
B = √ , cos (x) , cos (2x) , cos (3x) , cos (4x) , cos (5x) , cos (6x) , cos (7x)
2
Skizziere den Graphen der Funktion f , welche durch den folgenden Vektor beschrieben wird: (2P)
⎞
⎛
0
⎜ −1 ⎟
⎟
⎜
⎜ 0 ⎟
⎟
⎜
⎜ −1 ⎟
9 ⎟
v=⎜
⎜ 0 ⎟
⎟
⎜
⎜ −1 ⎟
⎜ 25 ⎟
⎝ 0 ⎠
1
− 49
1
1
f (x) = (0) √
+ (−1) (cos (x)) + (0) (cos (2x)) + ... + −
(cos (7x))
49
2
(d) Bestimme die Projektion der Funktion g (x) = sin2 (x) cos3 (3x) in den Unterraum U . Stelle die
gefundene Projektion und die gegebene Funktion graphisch dar. (3P)
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