Optimale Steuerungsprobleme in der Robotik
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Optimale Steuerungsprobleme in der Robotik Zeitminimale Bahn Modellierung Simulation didaktisch didaktisch didaktisch didaktisch Numerische Lösung BMBF-Projekt, 1994 - 1997 Das Problem der optimalen Bahnplanung eines Roboters hätte Johann Bernoulli wohl so formuliert: Gegeben sind zwei Punkte im Raum. Gesucht ist die Bahnkurve kürzester Verfahrzeit (oder geringsten Verschleißes, geringsten Energieverbrauchs, etc.), längs der sich die Greiferhand eines Industrieroboters zwischen diesen Punkten bewegt, so dass die Greiferhand zu Beginn und zu Ende völlig in Ruhe ist. Dabei dürfen während der Bewegung gewisse vorgeschriebene Beschränkungen an Winkel und Winkelgeschwindigkeiten der einzelnen Roboterarme und an die Eingangsspannungen für die Motoren in den Gelenken – das sind die Steuerungen - nicht verletzt werden. Und die einen Roboter beschreibenden Gleichungen sind gewaltig! Die riesige Zahl komplizierter Terme in den Differentialgleichungen lässt sich nur noch mit Rechnerunterstützung sicher angeben. Die indirekten Verfahren kommen hier an ihre Grenzen. Die notwendigen Bedingungen der Optimalsteuerungstheorie lassen sich kaum noch aufstellen. Dies war der Antrieb zur Entwicklung mehrerer moderner Diskretisierungsmethoden, mit denen ein unendlichdimensionales Optimalsteuerungsproblem in ein endlich-dimensionales Minimierungsproblem einer nichtlinearen Funktion sehr vieler Variablen unter sehr vielen Nebenbedingungen transformiert wird. Auf der Basis der diskretisierten Probleme gelang dann auch der Durchbruch zu den modernen Methoden der EchtzeitOptimalsteuerung - bei den schnellen Roboterbewegungen wahrlich eine Herausforderung! Und die optimalen Lösungen überraschen uns heute so, wie wohl die Mathematiker des 17. Jahrhunderts von der Lösung des Brachistochronenproblems überrascht wurden: Die zeitminimalen Kurven sind deutlich länger als diejenigen, bei denen ein Zielfunktional minimiert wird, das eine Kombination aus benötigter Energie und auftretendem Verschleiß quantifiziert; siehe obiges Bild. DFG-Schwerpunkt: Echtzeit-Optimierung großer Systeme (1995-2000) Innovationen in der Mathematik Optimale Steuerungsprobleme mit hoch komplexen rechten Seiten der Differentialgleichungssysteme und vielen Ungleichungsnebenbedingungen Optimierung Entwicklung eines neuen indirekten Mehrzielverfahrens und mehrerer direkter Diskretisierungsverfahren (Kollokationsverfahren, spezielles Verfahren für die Bahngleichungen der Robotik, Direkte Optimierungsverfahren vom Mehrzieltyp) Verschiedene Schätzverfahren für die adjungierten Variablen zur Kopplung mit indirekten Verfahren, Motivation für die (noch lange nicht abgeschlossene) Konvergenztheorie zu den Diskretisierungsverfahren Entwicklung eines extrem leistungsfähigen Verfahrens zur Echtzeit-Optimalsteuerung Entwicklung eines speziellen Echtzeit-Steuerungsverfahrens für die Fern-Steuerung von Handhabungsmanipulatoren, z.B. in Raumstationen Sensitivitätsanalyse für das diskretisierte restringierte nichtlineare Optimierungsproblem, Weiterentwicklung der Sensitivitätsanalyse für Optimalsteuerungsprobleme, Begründung des neuen Gebietes der Echtzeit-Optimierung Entwicklung eines Visualisierungswerkzeugs Echtzeit-Optimalsteuerung Dissertationen: Leiner (1989), Stryk (1994), Schlemmer (1997), Heim (1998), Büskens (1998), Habilitation: Büskens (2002), Diplomarbeiten: Schlemmer (1992), Stahlhut (1994), Knauer (2001) Movies: http://www.uni-bayreuth.de/departments/ingenieurmathematik/Pesch/WarumMathe/roboter_vergleich.mpg Energie-/verschleißminimale Bahn didaktisch didaktisch didaktisch Optimale Bahnplanung eines Industrieroboters didaktisch Wir optimieren: Zeit, Energie, Verschleiß, Kräfte, Momente, Krümmung, Ruck ngenieurathematik