Beugung an kleinen ¨Offnungen

Jacobson-Gymnasium Seesen
Facharbeit im Seminarfach
2. Schulhalbjahr 2008/09
Beugung an kleinen
Öffnungen
vorgelegt von:
Daniel Edler
Schüler der Jahrgangsstrufe 12
am Jacobson Gymnasium Seesen
Thema der Facharbeit:
Seminarfachleiter:
Kursthema:
Beugung an kleinen Öffnungen
Herr Wacker
Anleitung zum wissenschaflichen Arbeiten (2)
Verfasser:
Daniel Edler
Mentor:
Herr Wacker
Ausgabetermin:
14. Januar 2009
Abgabetermin:
27. Februar 2009
Inhaltsverzeichnis
1 Beugung an kleinen Öffnungen
1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Huygenssches Prinzip . . . . . . . . . . .
1.3 Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Kohärenz . . . . . . . . . . . . .
1.4 Bedingungen an die Lichtquelle . . . . .
1.5 Der Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Lage der Maxima und Minima . .
1.6 Das optische Gitter . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Lage der Maxima und Minima . .
1.7 Der Einfachspalt . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Lage der Maxima und Minima . .
1.8 Intensitätsverteilung . . . . . . . . . . .
1.8.1 Beispiel am Doppelspalt . . . . .
1.8.2 Berechnung beim optischen Gitter
1.8.3 Berechnung beim Einfachspalt . .
1.8.4 Realer Intensitätsverlauf . . . . .
1.9 Schlusswort . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
1
1
2
3
4
4
5
6
7
8
8
9
10
11
13
14
14
2 Quellenverzeichnis
16
2.1 Bücher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Internetadressen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Bildquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Versicherung
4 Anhang - Versuchsprotokoll
18
I
-1-
1
Beugung an kleinen Öffnungen
1.1
Einleitung
Nach der geometrischen Optik besteht Licht aus feinen Lichtbündeln, die gradlinig verlaufen. Aber es gibt Phänomene, in denen dieses Modell nicht angewendet
5
werden kann:
Ein von einem Laser ausgesandter Lichtstrahl wird, wie im Kapitel 4 näher beschrieben, über eine Blende auf einen Schirm projiziert. Nach der geometrischen
Optik erwartet man eine unbeeinflusste gradlinige Ausbreitung der Lichtstrahlen,
wonach das Bild einen Punkt ergibt. Dies ist auch auf dem Schirm zu sehen, so-
10
lange das Verhältnis von der Blendenöffnung und der Wellenlänge einen gewissen
Wert hat. Verringert man jedoch die Blendenöffnung, so wird das Licht gebeugt
und es ist ein sogenanntes Interferenzmuster mit unterschiedlich hellen Streifen
zu erkennen.
Um so ein Muster zu erklären, ist eine Erweiterung der geometrischen Optik er-
15
forderlich: die Wellenoptik entsteht. Diese sieht Licht als eine Welle an. Durch
Anwendung eines Wellenmodells lassen sich auch Phänomene der Beugung erklären, die bei dem oben beschriebenen Versuch auftreten.
1.2
Huygenssches Prinzip
Um das im einleitenden Text beschriebene Phänomen der Beugung zu verste20
hen, ist es von nöten ein weiteres Modell, welches erklärt, was mit dem Licht
nach der Blende passiert, einzuführen. Wie bei jeder Welle geht man hier vom
Huygensschen-Prinzip aus.
Es besagt, dass jeder Punkt auf einer Wellenfront wieder der Sender einer neuen
Elementarwelle sein kann1 . Als Wellenfront bezeichnet man hierbei alle Punk-
25
te, die zur gleichen Zeit vom Sender der Wellen ausgesandt worden sind. Eine
Wellenfront verläuft somit senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, wobei bei Elementarwellen sich diese in konzentrischen Kreisen vom Sender entfernen. Die
1
vgl. h1i, S. 182
-2Frequenz wird dadurch nicht beeinträchtigt.
Treffen nun die parallelen Wellenfronten des Laserslichtes
auf die Blende, kann das Huygenssche Prinzip angewendet
werden. Durch die Entstehung von Elementarwellen errei5
chen die Lichtwellen Stellen, die durch die geometrische
Optik nicht erklärbar sind, den sogenannten geometrischen
Schattenraum
2
(vgl. Ausbreitungsrichtung der Pfeile in
Abb.(1)). Wenn dies nicht durch ein Mediumswechsel, wie
bei der Brechung oder Reflexion, sondern an Kanten oder
10
Spalten geschieht, spricht man von Beugung (engl. dif-
Abbildung 1: An je-
fraction).
dem gelben Punkt
entsteht eine ElemenVoraussetzung für die Anwendung des Huygensschen Printarwelle
zips ist, dass ein Wellensystem vorliegend ist. Deshalb ist
es sowohl bei Lichtwellen als auch bei Wasserwellen anwendbar.
15
1.3
Interferenz
Zur besseren Veranschaulichung wird der einWelle 1
leitend beschriebene Versuchsaufbau auf das
Wassermodell übertragen. Es ist zu beob-
φ = π/2
Welle 2
achten, dass es einen Bereich gibt, in de20
nen die Wellenfronten, wie in Abb. (1) dar-
φ = π/4
gestellt, wieder nahezu parallel verlaufen. Die
an der Öffnung entstandenen Elementarwellen
überlagern sich gegenseitig – sie interferieren.
25
Interferenz
φ=(3π)/8
Im Folgenden habe eine Welle die Phase 0 < Abbildung 2: Interferenz zweier
Wellen
ϕ < π (positive Auslenkung) und fällt auf eine zweite Welle ebenfalls mit der Phase 0 <
ϕ < π. Um herauszufinden, in welcher Phase (also auch mit welcher Auslenkung)
sich die resultierende Welle zur selben Zeit befindet wird das Superpositionsprin2
vgl. ha1i
-3zip angewendet. Dies bedeutet eine additive Überlagerung der Auslenkungen der
Wellenzüge3 .
Es ist zu beachten, dass sich durch Superposition die resultierende Amplitude
verstärkt hat. Dies nennt man dann eine konstruktive Interferenz. Wenn zwei
5
Wellen in der gleichen Phase ϕ = 12 π (Amplitude einer Welle) oder ϕ = 32 π (Amplitude mit negativen Vorzeichen) und derselben Amplitude interferieren nennt
man diesen speziellen Fall eine vollständige konstruktive Interferenz. Die Amplitude hat sich verdoppelt.
Analog dazu hat eine destruktive Interferenz eine abschwächende Wirkung. Auch
10
hier gibt es einen Spezialfall: die vollständige destruktive Interferenz, bei der die
Amplitude der resultierenden Welle vollständig ausgelöscht wird. Dabei müssen
beide Wellen um die Hälfte ihrer Wellenlänge verschoben sein. Die Phasendifferenz muss also ∆ϕ = π ergeben.
1.3.1
15
Kohärenz
Verändert sich die Beziehung der Phasen zweier bzw. mehrerer Wellen in einem bestimmten Zeitraum ∆t um nicht mehr als ϕ = 2π, so sind sie kohärent 4
(lat. cohaerere: zusammenhängen). Ist dieser Wert größer wird von Inkohärenz
gesprochen. Kohärent sind z.B. Wellen, die die gleiche Wellenlänge aufweisen.
Dabei wird zwischen einer räumlichen und zeitlichen Kohärenz unterschieden.
20
Bei der zeitlichen Kohärenz, betrachtet man den Zeitraum ∆t, indem die Wellen ein feste Phasenbeziehung aufweisen. Diese maximale Zeit der zeitlichen
Kohärenz nennt man Kohärenzzeit ∆tc .
Analog dazu, betrachtet man bei der räumlichen Kohärenz die Strecke ∆s. Die
während der gesamten Kohärenzzeit zurückgelegten Strecke wird als Kohärenz-
25
länge ∆sc bezeichnet.
3
4
vgl. ha2i
vgl. h2i, S.295f.
-4-
1.4
Bedingungen an die Lichtquelle
Voraussetzung für Beugungsversuche ist das bereits erwähnte kohärente Licht.
Die am besten dafür geeignete Lichtquelle ist ein Laser, weil dieser ausschließlich
Licht mit nur einer bestimmmten Wellenlänge λ ausstrahlt. Hingegen strahlt ei5
ne normale“ Lichtquelle ein ganzes Spektrum von Wellen mit unterschiedlichen
”
Wellenlängen aus. Folge ist, dass inkohärente Wellenzüge interferieren und eine
sogenannte Schwebung erzeugen. Dabei ändert sich im Laufe der Zeit periodisch
die Amplitude des resultierenden Wellenzuges. Das bedeutet, dass nichts über
die Lichtintensitätsverteilung auf dem Schirm gesagt werden kann. Neben der
10
Wellenlänge sollte auch die Amplitude jeder Welle gleich groß sein, um die Berechnung der Intensitätsverteilung in Kapitel 1.8 zu vereinfachen.
Ebenfalls sollte die Lichtquelle ein hohe Kohärenzlänge besitzen, da der Abstand
der Blende, aus Gründen, die im folgenden Kapitel näher erläutert werden, zur
Schirm möglichst groß sein sollte. Allenfalls kann sich das Interferenzmuster auf
15
dem Schirm verfälschen. Desweiteren sei gesagt, dass die Größe der Spaltöffnung
in Hinblick zur Wellenlänge des Lichtes möglichst klein sein sollte, um das Interferenzmuster deutlicher erkennbar und leichter auswertbar zu machen. Nähere
gründe dafür finden sich im Kapitel 1.7 zum Einfachspalt.
1.5
20
Der Doppelspalt
Wie bereits geschrieben, entstehen an der Öffnung des Einzelspaltes aus dem einleitenden Text unendlich viele Elementarwellen. Wie man gleich sehen wird, ist es
jedoch zunächst einfacher die Beugung an einem Doppelspalt zu verinnerlichen.
Thomas Young (*1773 †1829) führte diesen Veruch 1802 erstmals durch5 .
Dabei fällt auf eine Ebene mit zwei kleinen Öffnungen A und B kohärentes Licht.
25
Zur Berechnung des Interferenzmusters wird zunächst nur eine Elementarwelle
pro Öffnung berücksichtigt. Diese breiten sich in alle Richtungen aus, wodurch es
naheliegend ist, dass sich zwei Wellen im Punkt P auf dem Schirm treffen werden.
5
vgl. h3i, S.225
-5Fällt P auf den Mittelpunkt M des
P
Schirm, so sind die Wegstrecken der
d
zwei Wellen gleich lang. M bildet gleichzeitig den Mittelpunkt des Interferenz5
musters, da für alle anderen Fälle sich
A
g M'
α
B
nach Abb. (3) ein sogenannter Gang-
α'
δ
M
C
a
unterschied δ bildet. Für diesen gilt:
δ = |AP − BP |. Der Winkel α im Drei- Abbildung 3: Wellen aus A und B trefeck ABC kann ausgedrückt werden in: fen sich in P
sin(α) =
10
δ
g
Ebenfalls gilt für das Dreieck M 0 M P :
tan(α0 ) =
d
a
Allgemein muss für den Versuch der Abstand a der Blende zum Schirm viel
größer, als der Abstand g zwischen den Öffnungen sein. Es gilt also a g,
wodurch der Winkel α0 sehr klein wird und beide Strahlen zu P nährungsweise
parallel zueinander sind. Für diesen Winkel gilt deshalb die Kleinwinkelnährung:
sin(α) ≈ tan(α0 )
d
δ
≈
g
a
15
Nach der Nährung lässt sich der Gangunterschied δ mit leichter ablesbaren Werten beschreiben:
δ=
1.5.1
d·g
a
(1)
Lage der Maxima und Minima
Ist der Gangunterschied δ ein ganzes Vielfaches k der Wellenlänge λ, d.h. δ = k·λ,
so fallen auf den Punkt PM ax zwei gleichphasige Wellen. Somit findet dort eine
20
vollständige konstruktive Interferenz statt und stellt ein Helligkeitsmaximum dar.
-6Um den Abstand d von M zu PM ax zu bestimmen, muss die Gleichung (1) nach d
umgestellt und δ = k ·λ eingesetzt werden. Somit ergibt sich für das k-te Maxium
(auch Maximum der k-ten Ordnung genannt) mit k ∈ N0 und k < λg , weil der
Gangunterschied niemals größer, als der Spaltabstand werden kann:
dk =
5
kλ · a
g
(2)
Es ergibt sich das Minimum PM in , wenn die zwei Wellen vollständig destruktiv
interferieren. Also gilt für das k-te Minimum:
dk =
λ(k + 21 ) · a
g
(3)
Für ein gut erkennbares Interfernzmuster ist es nötig, dass der Abstand eines
Maxiumums bzw. Minimums dk zum Mittelpunkt möglichst groß ist. Aus der
Gleichung (2) und (3) ist abzulesen, dass ein großer Abstand von der Blende bis
10
zum Schirm a bei gleichzeitig geringen Abstand der Öffnungen g den Wert dk
vergrößern kann.
1.6
Das optische Gitter
Nun wird die Zahl der Öffnungen auf
P
N erhöht und statt des Doppelspaltes
15
ein Mehrfachspalt, ein sogenanntes op-
d
tisches Gitter, verwendet. Dabei ist der
Abstand von einer Öffnung zur benach-
l M'
barten konstant. Dieser Wert heißt Git-
g
terkonstante g und ist definiert über den
20
M
α
Δs
δ
a
Quotienten aus der Länge l der Blende,
und der Anzahl, der sich dort befinde- Abbildung 4: Wellen aus den sechs
Öffnungen treffen in P
nen Öffnungen N . Folglich gilt für Gitterkonstante:
g=
l
N
(4)
Unter der Bedingung a g verlaufen die Lichtstrahlen nährungsweise parallel.
25
Dadurch ist der Gangunterschied ∆s von den Wellen aus einer Öffnung zu den
Wellen aus der benachbarten Öffnung immer gleich groß.
-71.6.1
Lage der Maxima und Minima
Aus der Gleichung dk =
kλ·a
g
erkennt man, dass die Lage der Hauptmaxima
unabhängig von der Anzahl der Spalte ist. Betrachtet man allerdings die Intensität des Maximums, fällt auf, dass diese beim Mehrfachspalt größer ist als beim
5
Doppelspalt. Zur genaueren Bestimmung der Intensität ist zu wissen, dass die Intensität I über das Quadrat der Amplitude A der Welle mal der Geschwindigkeit
des Lichtes c mal der elektrischen Feldkonstante 0 definiert ist6 : I = A2 · c · 0 .
Folglich ist die Intensität proportional zum Quadrat der Amplitude: I ∼ A2 . Bei
einem Mehrfachspalt von N Öffnungen gilt also für die Intensität eines Haupt-
10
maximums:
I ∼ (N A)2 = N 2 A2 ∼ N 2
(5)
Das bedeutet, dass ein Gitter in den Hauptmaxima eine viel größere Intensität
aufweist, als bei einem vergleichbaren Doppelspalt.
An der Stelle des Minmums des Doppelspaltes beträgt die Phasendiffernz ∆ϕ =
π. Es löschen sich alle zwei benachbarten Wellenzüge durch vollständige destruk15
tive Interferenz aus. Wenn allerdings eine ungrade Anzahl an Öffnungen vorliegt, bleibt das Licht einer Öffnung als Resthelligkeit über. Folglich ist an jener
Stelle auf dem Schirm kein Helligkeitsminimum zu sehen. Stattdessen bildet die
Resthelligkeit ein Nebenmaxima 7 . Bei einem Dreifachspalt ergeben sich zwei Minima jeweils zwischen dem Haupt- und Nebenmaxima.
20
Zur Bestimmung der Lage dieser Minima wird zunächst speziell auf einen Mehrfachspalt mit N = 6 (wie in Abb. (4)) eingegangen. Für die vollständige destruktive Interferenz muss der Phasenunterschied von der Wellen aus der ersten
Öffnung zur der vierten ∆ϕ = π betragen. Das bedeutet für den Gangunterschied, der zwischen diesen beiden Öffnungen drei mal so groß ist, wie zwischen
25
zwei benachbarten: 3 · ∆s = λ(k + 21 ). Gleiches gilt für die zweite und fünfte
bzw. für die dritte und sechste Öffnung. Daraus folgt für den Sechsfachspalt mit
k ∈ N0 und k < λg :
6
7
h2i, S.298
vgl. ha3i
-8-
dk =
λ(k + 61 ) · a
g
Allgemein ergibt sich daraus für die Lage des 1. Minimums für N Öffnungen:
λ(k + N1 ) · a
dk =
g
(6)
Je mehr Öffnungen das Gitter besitzt, desto zahlreicher sind die Minima. Genauer
gibt es bei N Spalte N − 1 Minima.
1.7
5
Der Einfachspalt
Bislang wurden bei den Modellen der
P
Spaltversuche nur eine Elementarwelle
pro Öffnung berücksichtigt. Nach dem
Huygenssches Prinzip enstehen allerdings an jeder Öffnung unendlich viele
10
d
I
α
II
l
Elementarwellen.
III
M
δ
Im Folgenden wird der eingangs dar-
a
gestellte Versuch des Einfachspalts mit
der Spaltgröße l genauer betrachtet. Da- Abbildung 5: Zone I und II interferien
vollständig destruktiv
zu gilt weiterhin die Bedingung: a g,
15
damit alle Wellen, die auf den Punkt P auf dem Schirm auftreffen nährungsweise
parallel sind. Analog zum Doppelspalt ist der Gangunterschied beim Einfachspalt
definiert durch:
δ=
1.7.1
d·l
a
Lage der Maxima und Minima
Ist der Gangunterschied gleich der Wellenlänge λ so werden die Elementarwellen
20
im Modell in zwei Bündel zusammengefasst. Das Bündel I mit dem Gangunterschied 0 ≤ δ <
λ
2
interferiert dabei vollständig destruktiv mit dem Bündel II
mit dem Gangunterschied
λ
2
≤ δ < λ. Treffen diese auf P ist ein Helligkeitsmi-
nimum zu sehen. Steigt der Gangunterschied auf δ = 23 λ, so sendet das Bündel
-9III Resthelligkeit aus, die nur noch
1
3
der ursprünglichen gesammten Menge der
Elementarwellen beträgt. Diese ist dafür zuständig, dass auf dem Schirm ein Nebenmaxium zu sehen ist. Steigt δ weiter an, ist bei δ = 2λ wieder ein neues
Miniumum zu sehen.
5
Bei den folgenden Nebenmaxima nimmt die Resthelligkeit immer weiter ab. Folge
ist, dass die Intensität der Nebenmaxima bei steigenden dk immer weiter fällt.
Allgemein ergibt sich für die Minima mit k ∈ N und k < λl :
dk =
kλ · a
l
(7)
Dabei kann diesmal k = 0 nicht in der Definitionsmenge enthalten sein, weil sonst
der Gangunterschied ebenfalls null wird und P auf das Hauptmaximum fällt.
10
Die Nebenmaxima sollten sich theoretisch immer genau zwischen den Dunkelstellen befinden. In der Realität weicht dies jedoch geringfügig ab, wie später in der
Intensitätsverteilung zu sehen ist, sodass sich das Maximum nur nährungsweise
dort befindet. Der Gangunterschied muss demnach ungefähr die Hälfte der Wellenlänge λ sein. Allgemein beudeutet das:
dk ≈ λ
15
(k + 21 ) · a
l
Für den Fall, dass die Spaltgröße l gleich der Wellenlänge λ ist, heißt das für das
erste Minimum, dass es einen Gangunterschied der Wellenlänge haben muss. Da
der Spalt bereits so groß, wie die Wellenlänge ist, beudetet das für den Winkel
α ≈ 90◦ . Die Kleinwinkelnährung ist nicht mehr anwendbar und die Lage des
Minimums betrüge: dmin = tan(90◦ ) · a
20
Ist der Spalt aber sehr viel größer als die Wellenlänge, liegen die Maxima zu dicht
aneinander, sodass sie nicht mehr erkennbar sind.
1.8
Intensitätsverteilung
Zum besseren Verständnis der Verteilung der Intensität kann man das Modell des
Zeigerformalismus einführen. Dabei wird die Amplitude einer Welle als Zeiger
25
(auch als Phasor oder Amplitudenvektor bezeichnet) dargestellt. Je länger der
Zeiger ist, desto größer ist die Amplitude (vgl. Abb. (2)). Zusätzlich wird die
-10momentane Phase der Welle verarbeitet, indem der Zeiger um den entsprechenden
Phasenwinkel auf einer Kreiseben rotiert8 . Als Phasenwinkel wird lediglich die
Phasendifferenz zwischen Wellen bezeichnet.
Es ist zu beachten, dass bei einem Gangunterschied von δ = λ die Phasendifferenz
5
∆ϕ = 2π beträgt. Dieser Zusammenhang lässt sich ausdrücken in:
∆ϕ = 2π ·
1.8.1
δ
λ
(8)
Beispiel am Doppelspalt
Die einfachste Anwendung findet man wieder beim
Doppelspalt, da man das Modell auf zwei Wellenzüge
A2
Ares
Δφ
vereinfachen kann. Als Beispiel wird der Fall mit
10
dem Gangunterschied von δ =
5
λ
12
in Abb. (6) dar-
=(5π)/6
A1
gestellt. Es sind die beiden Zeiger der Amplituden Abbildung 6: Die resultierende Amplitude Ares bei
A1 , A2 und die durch Interferenz resultierende Am- δ = 5 λ
12
plitude Ares zu sehen.
Dabei ist der Anfang des zweiten Phasors am Ende des ersten gelegt. Nach der
15
Gleichung (8) beträgt dann der Phasenwinkel ∆ϕ = 56 π, der ebenfalls der Winkel
zwischen den beiden Zeigern ist. Nach der Hintereinanderlegung ergibt sich der
resultierende Phasor Ares . Nach dem Kosinussatz folgt für Ares :
Ares =
q
A1 2 + A2 2 − 2A1 A2 · cos(π − ∆ϕ)
(9)
Bei Spaltversuchen wurde die Voraussetzung gesetzt, dass die Amplitude jeder
Elementarwelle gleich groß ist. Das bedeutet, dass A0 = A1 = A2 ist, wodurch
20
die Gleichung (9) vereinfacht werden kann zu:
I = c0 Ares 2 = 2c0 A0 2 − 2c0 A0 2 · cos(π − ∆ϕ)
= 2c0 A0 2 (1 − cos(π − ∆ϕ))
= 2c0 A0 2 (1 + cos(∆ϕ))
8
vgl. ha4i
(10)
-11Es kann allerdings nicht die Phasendifferenz gemessen werden, sodass dieser Wert
mit dem Gangunterschied der benachbarten Öffnungen ∆s ausgedrückt wird. Es
gilt:
∆s
λ
d·g
∆s =
a
∆ϕ = 2π ·
(11)
(12)
Gleichung (11) und (12) in (10) eingesetzt und die Intensität in Abhängigkeit
5
zum Abstand zum Mittelpunkt d gestellt ergibt:
I(d) = c0 2A0
2
d·g
1 + cos 2π
a·λ
Dies erscheint auch mit den voherigen Überlegungen plausibel, da für d = 0 die
erwartete Intensität I(0) = c0 · 4A0 2 folgt (vgl. Gleichung (5)).
1.8.2
Berechnung beim optischen Gitter
Im folgenden soll die Anzahl der Spalte von zwei auf eine beliebig, endlich große
10
Zahl anwachesen. Folglich entsteht wieder das optische Gitter, welches eine Vorstufe im Verständnis zur Intensitätsverteilung des Einfachspaltes bildet.
Wie im voherigen Abschnitt (1.8.1) wird
Δφ
B
dabei der Zeigerformalismus zu Hilfe geM
nommen. Nur statt zwei werden N Ampli-
Δφ/2
Δφ
Δφ
V
tudenvektoren unter Berücksichtigung ih(NΔφ)/2
res Phasenwinkels in das Modell wie in
r
Abb.(7) eingetragen. Diese Vektoren wer-
Ares
Δφ
15
NΔφ
U
Δφ
den als Sehnen eines Kreises mit dem Radius r und dem Mittelpunkt M angesehen.
20
Der Mittelpunktswinkel jeder Sehne ist immer gleich dem Phasenwinkel ∆ϕ.
Daraus ergibt sich für das Dreieck AM U :
sin
N ∆ϕ
2
=
Δφ
Δφ
A
Abbildung 7: Addition der Amplitudenvektoren
1
A
2 res
r
=
Ares
2r
(13)
-12Dadurch wäre es ohne weiteres möglich die resultierende Amplitude Ares zu berechnen, wenn der Radius r des gedachten Kreises im Modell bekannt wäre.
Deshalb wird nach einem zweiten Dreieck gesucht, welches ebenfalls diesen Parameter enthält, um schließlich r zu eleminieren. Für das Dreieck BM V gilt:
sin
5
∆ϕ
2
=
1
A
2 0
=
r
A0
→r=
2 sin ∆ϕ
2
A0
2r
(14)
Nach einsetzten von r aus Gleichung (14) in Gleichung (13) ergibt dann sich nach
Ares aufgelöst:
sin
Ares · 2 sin
=
=
A0
2 · A0
2 2 sin ∆ϕ
( 2 )
sin N ∆ϕ
2
→ Ares = A0 ·
sin ∆ϕ
2
N ∆ϕ
2
Ares
∆ϕ
2
Das Quadrat aus Ares ergibt die gesuchte Intensität I. Es wird die Phasendifferenz ∆ϕ aus Gleichung (11) und der Gangunterschied ∆s aus Gleichung (12)
eingesetzt. Nach der in Abhängigkeit setzen der Strecke d ergibt sich dann für
10
die Intensität:
I(d) = c0 Ares 2 = I0 ·
N π·d·g
λ·a
sin2 π·d·g
λ·a
sin2
(15)
Somit lässt sich der Graph für die
I
Intensität in Abhängigkeit der
Strecke d ermitteln. In Abb. (8)
ist dies in blau für vier und in
15
rot für zwei Spalte dargestellt. Es
d
ist deutlich zu sehen, dass sowohl
die Intensität in den Hauptmaxi-
Abbildung 8: rot: N = 2; blau: N = 4
ma zunimmt, also auch die Minima näher an das Hauptmaxima rücken. Dadurch grenzt sich das Maxima stärker
20
ab und es ist auf dem Schirm deutlicher zu erkennen.
-131.8.3
Berechnung beim Einfachspalt
Für die Berechnung der Intensitätsverteilung des Einfachspaltes muss man im
Prinzip nur die Menge der Öffnungen N des optischen Gitters gegen unendlich
streben lassen. Allerdings ist die Gitterkonstante nicht mehr durch einen Wert
5
anzugeben, weshalb sie im folgenden durch ihre Definition aus Gleichung (4)
ersetzt wird.
Weil die Intensität I0 proportional zum Quadrat aus der Summe sämtlicher Wellen, die aus einer Elementarwelle an der Öffnung enstehen, ist, gilt: I0 ∼ A2 =
(N · A0 )2 . Da gesagt wurde, dass N gegen Unendlich strebt, kann hierbei nicht
10
die absolute Intensität angegeben werden. Deswegen wird für die relative Intensitätsverteilung I0 durch
I0
N2
ersetzt. Nach Integration dieser Erkenntnisse in die
Gleichung (15) ergibt sich:
2
N π·d· Nl
λ·a
sin2 π·d·l
I0
I0 sin
λ·a
= 2·
I(d) = 2 ·
l
2 1
π·d·l
2 π·d· N
N
N
sin
·
sin
N
λ·a
λ·a
Nachdem die Anzahl der Öffnung gegen Unendlich strebt ergibt sich die Intensitätsverteilung des Einfachspaltes:
I0 · sin2 π·d·l
λ·a
" I(d) =
2 #
π
·
d
·
l
1
·
lim N 2 sin
N →∞
N
λ·a
15
Für kleine Winkel gilt nährungsweise sin ϕ = ϕ. Da
lim sin
N →∞
1
N
(16)
= 0 für N → ∞ ist, folgt:
1
1
= lim
N →∞ N
N
Auf Gleichung (16) übertragen folgt:
I0 · sin2 π·d·l
λ·a
" I(d) =
2 #
1
π
·
d
·
l
lim N 2
·
N →∞
N
λ·a
I0 · sin2 π·d·l
=
λ·a
π·d·l 2
λ·a
Nach Integration der Gleichung ist festzustellen, dass im Hauptmaximum etwa
90% der Gesamtintensität enthalten ist9 .
9
vgl. h2i, S.316
-141.8.4
Realer Intensitätsverlauf
Bislang wurde im Modell bei der Berechnung des Intensitätsverlaufs eines Mehrfachspaltes mit N > 1 angenommen, dass aus jeder Öffnung nur eine Elementarwelle für das Interferenzmuster zuständig ist. Nachdem allerdings die Verteilung
5
des Einfachspaltes bekannt ist kann man den Mehrfachspalt um diese Erkenntnis
erweitern.
Dazu wird zunächst der Einfachspalt und deren Intensität in Richtung ϕ betrachtet. Dazu überlagert sich dann die ergebene Intensität eines Mehrfachspaltes
unter gleichen Bedingungen, wie die der Richtung und Größe der Spaltöffnung.
10
Daraus ergibt sich für die Intensitätsverteilung eines Mehrfachspaltes, wenn die
Einfachspaltbeugung berücksichtigt wird:
I(d) = I0 ·
sin2
π·d·l
λ·a
π·d·l 2
λ·a
·
N π·d·g
λ·a
sin2 π·d·g
λ·a
sin2
(17)
Dabei können neue Minima entstehen, wenn der Faktor des Ein-
I
1
fachspaltes null ergibt.
15
In Abb. (9) ist der relative Inten-
d
sitätsverlauf eines Einfachspaltes Abbildung 9: grün: N = 1; blau: N = 3; oranmit einer Spaltgröße von l = ge: N = 3
0,41mm in grün skizziert. Außerdem ist in blau und orange der relative Intensitätsverlauf eines Dreifachspal20
tes mit einem Spaltabstand von g = 0, 6mm einmal ohne und einmal mit
Berücksichtigung der Einfachspaltbeugung dargestellt. Dabei übersteigt die relative Intensität des Mehrfachspaltes nie die des Einfachspaltes.
1.9
Schlusswort
Alle vorangegangenen Überlegungen und Berechnungen basieren auf der Grund25
lage der Welleneigenschaft des Lichtes. Ob Licht wirklich eine Welle oder doch ein
Teilchen ist, diskutierten 1689 Isaac Newton (*1642 †1727) und Chritian Huygens
(*1629 †1695).
-15Nach der Erklärung der Interferenzerscheinungen in den Spaltversuchen, die sich
offensichtlich nur erklären lassen, wenn man Licht als Welle ansieht, scheint es
hinfällig sich Licht als Teilchen vorzustellen, da es schwer vorstellbar erscheint,
dass bei Teilchen ebenfalls Beugungserscheinungen eintreten können. Das Licht
5
jedoch auch einen Teilchencharakter besitzt, zeigt folgender Versuch: Bei einem
Doppelspaltversuch wird statt eines Schirmes eine Fotoplatte verwendet und unter geringer Lichtintensität in einem Raum ohne weitere Lichtquelle durchgeführt.
Nach der Entwicklung, sind auf dieser viele kleine, stochastisch verteilte Punkte
zu sehen. Jeder Punkt ist ein Hinweis darauf, dass ein Lichtteilchen (auch Licht-
10
portion/Photon genannt) an der Stelle auf die Fotoplatte getroffen ist.
Nach einer ausreichend langen Belichtung ist eine ähnliche Interferenzstruktur
der Punkte, wie bei der Intensitätsverteilung der vorangegangenen Spaltversuche, zu sehen. D.h., dass die Fotoplatte aufgrund der Photonen an Stellen sich
verfärbt hat, an der man nach der Vorstellung eines Teilchens es nie erwartet
15
hätte.
Dieses Phänomen lässt sich durch spätere Erkenntnisse aus der Quantenphysik
erklären (Welle – Teilchen – Dualismus).
-16-
2
2.1
Quellenverzeichnis
Bücher
h1i Bader, Franz (Hrsg.); Dorn, Friedrich: Physik 12/13 – Gymnasium Sek II.
Schroedel Verlag im Bildungshaus Schroedel Diesterweg Bildungsmedien
GmbH & CoKG, Hannover 2000.
5
h2i Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 2 – Elektrizität und Optik. 3.Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2004
h3i Bader, Franz (Hrsg.); Dorn, Friedrich (Hrsg.): Physik – Oberstufe Gesamtband 12/13. Schroedel Schulbuchverlag GmbH, Hannover 1986.
10
h4i Jung, Walter (Hrsg.): Fischer Kolleg Abiturwissen – Physik. Aktualisierte
und überarbeitete Neuausgabe. S. Fischer GmbH Frankfurt am Main, 2002
h5i Meyer, Lothar (Hrsg.); Schmidt, Gerd-Dietrich (Hrsg.): Basiswissen Schule – Physik Abitur. PAETEC Gesellschaft für Bildung und Technik mgH,
Berlin und Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus AG, Mannheim
2003
15
2.2
Internetadressen
hai http://www.chemgapedia.de
ha1i /vsengine/vlu/vsc/de/ph/14/ep/einfuehrung/wellen/huygens.vlu/
Page/vsc/de/ph/14/ep/einfuehrung/wellen/huygens2.vscml.html
20
ha2i /vsengine/popup/vsc/de/glossar/s/su/superposition.glos.html
ha3i /vsengine/vlu/vsc/de/ph/14/ep/einfuehrung/wellenoptik/
interferenz a.vlu/Page/vsc/de/ph/14/ep/einfuehrung/wellenoptik/
mehrfachspalt.vscml.html
ha4i /vsengine/popup/vsc/de/glossar/z/ze/zeigerformalismus.glos.html
25
hbi http://de.wikipedia.org
-17hb1i /wiki/Kohärenz (Physik)
hb2i /wiki/Interferenz (Physik)
2.3
Bildquellen
• Abb. 1: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Refraction on an
5
aperture - Huygens-Fresnel principle.svg;
erstellt von: Arne Nordmann
• Abb. 2, 3, 4, 5, 8 und 9: selbst erstellet mit Geogebra 3 und Inkscape 0.46
• Abb. 6, 7 und 10: selbst erstellt mit Inkscape 0.46
• Abb. 11(a) und 11(b): selbst fotografiert und bearbeitet mit Paint.NET
10
3.36
• Abb. 12: selbst erstellt mit OpenOffice.org 3.0.1
Diese Facharbeit wurde gesetzt mit LATEX2 am 26. Februar 2009.
-18-
3
Versicherung
Hiermit versichere ich, dass ich die Arbeit selbstständig angefertigt habe, keine
anderen als die angegebenen Hilfsmittel benutzt und die Stellen der Facharbeit,
die im Wortlaut oder im wesentlichen Inhalt aus anderen Werken entnommen
5
wurden, mit genauer Quellenangabe kenntlich gemacht habe. Verwendete Informationen aus dem Internet liegen vollständig (CD im Anhang) vor.
Hiermit erkläre ich, dass ich einverstanden bin, wenn die von mir verfasste Facharbeit der schulinternen Öffentlichkeit zugänglich gemacht wird.
Ort und Datum
Unterschrift
-I-
4
Anhang - Versuchsprotokoll
Materialliste
• Helium-Neon-Laser
• Blenden
5
1. individuell verstellbare Spaltgröße
2. Dia, mit verschiendenen Spalten:
(a) l = 0, 1mm; N = 1
(b) l = 0, 1mm; N = 3; g = 0, 3mm
(c) l = 0, 2mm; N = 3; g = 0, 3mm
10
(d) l = 0, 2mm; N = 1
• Projektionsschirm
• Halterungen
Aufbau und Durchführung
Schirm
Blende
Laser
0,01m
1,42m
Abbildung 10: Versuchsaufbau
Der Laser wird so ausgerichtet, dass das Laserlicht senkrecht durch die Blen15
de und auf den Schirm fällt. Dabei wird erst die Größe der Spaltöffnung und
später zusätzlich der Abstand zweier Spalte variiert und das Verhalten, des auf
den Schirm geworfenen Bildes, beobachtet. Desweiteren wird der Abstand eines
Helligkeitsmaximus zum Mittelpunkt gemessen. Der Mittelpunkt bezeichnet den
Punkt, der auf einer Linie mit dem Laser und Blende steht.
-IIAuswertung
Die folgenden Fotos zeigen die Ergebnisse, die auf dem Schirm zu sehen waren:
(a) Spaltgröße des Einfachspalts verkleinert (b) verschiedene Doppel- und Einfachspalte
sich
Abbildung 11: Bilder der Spaltversuche
Abb. (11(a)) zeigt den Versuch, bei dem nach und nach die Spaltgröße verkleinert
wurde. Am Anfang ist nur ein heller Punkt vom Laser zu erkennen. Je kleiner
5
die Blende gestellt wurde, desto eher konnte man rechts und links vom schwächer
werdenen Punkt Licht auf dem Schirm erkennen. Kurz bevor der Spalt geschlossen
ist, kann man deutlich Helligkeitsstreifen feststellen. Ein heller wechselt sich mit
einem dunklen Streifen ab.
In Abb. (11(b)) sieht man das Interfernzmuster eines Spaltes mit l = 0, 1mm
10
bzw. l = 0, 2mm. Zusätzlich ist jeweils unterhalb dessen das Muster eines Doppelspaltes mit dem Spaltabstand g = 0, 3mm abgebildet. Jedoch war es mir nicht
möglich, den Abstand eines Helligkeitsmaximum zum nächsten zu ermitteln. Dies
lag am zu geringen Abstand. Eine alternative Messung, die ich ausprobierte, war,
die Nebenmaxima zu ignorieren und lediglich den Abstand eines Hauptmaximas
15
zum nächsten zu bestimmen. Dabei ließ sich besonders beim Doppelspalt mit einer Spaltgröße von jeweils 0,2mm sehr schlecht ein Neben- vom Hauptmaximum
unterscheiden.
Für den Einfachspaltversuch mit den Spaltbreiten von l = 0, 1mm und l =
0, 2mm ergab sich folgendes:
-IIIl = 0, 1mm
Anzahl Abstand [mm]
1 9
2 9
3 9
4 9,5
5 8
6 8,8
7 9
Mittelwert 8,9
l = 0, 2mm
Anzahl Abstand [mm]
1 6
2 4,5
3 4
4 5
5 4
6 4,5
7 4,9
Mittelwert 4,7
Nachdem die Werte in ein Ordnungszahl-der-Maxima – Abstand-zum-benachbartenMaximum Diagramm aufgetragen wurden ergibt sich:
Einfachspaltversuch
Abstand zum nächsten in mm
10
8
6
l=0,1mm
l=0,2mm
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
M aximum k-ter Ordnung
Abbildung 12: In ein Diagramm aufgetragene Versuchsergebnisse
Anhand der Tabelle und des Graphens lässt sich erkennen, dass der Abstand der
5
Helligkeitsstreifen zum benachbarten mehr oder wenig konstant ist und dadurch
dieser unabhängig voneinander ist. Aus der Gleichung (7) nach λ umgestellt und
in Abhängigkeit von d gesetzt ergibt sich für k = 1:
λ(d) =
d·l
a
Für d = 8, 9mm bzw. d = 4, 7mm ergibt sich für die Wellenlänge des Lasers:
λ(8, 9mm) ≈ 0, 627µm = 627nm
10
λ(4, 7mm) ≈ 0, 662µm = 662nm
-IVErgebnisbetrachtung
Der Beschreibung des Lasers nach beträgt die ausgesandte Wellenlänge λ =
632, 8nm. Die Abweichung zum gemessenen Wert beträgt bei l = 0, 1mm lediglich 5, 8nm und beim größeren Spalt 29, 2nm.
5
Die mögliche Ursache der Abweichung könnte die Spaltgröße sein. Schon ein
Spalt, der 0, 046mm größer ist ergäbe die tatsächliche Wellenlänge des Lasers.
Desweiteren ist der abgelesene Abstand auf dem Schirm recht gering, wodurch
Messungenauigkeiten enstehen können. Um diese Werte zu vergrößern und damit
die Fehlerquelle zu vermindern müsste man den Abstand von der Blende zum
10
Schirm weiter vergrößern. Gleichzeitig muss man darauf achten, dass der Abstand
nicht die Kohärenzlänge ∆sc überschreitet.