Theo4Blatt1

Theoretische Physik 4 - Blatt 1
Christopher Bronner, Frank Essenberger
FU Berlin
21.Oktober.2006
Inhaltsverzeichnis
1 Compton-Effekt
1
2 Bohrsches Atommodell
2.1 Effektives Potential . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Energie En , Bahnradius rn , Geschwindigkeit vn
2.3 Korrespondenzprinzip . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Stabilitätsproblem . . . . . . . . . . . . . . . .
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
2
2
5
6
7
Compton-Effekt
Die relativistische Energie des Elektrons ist mit me als Ruhemasse des Elektrons:
Ee2 = m2e c4 + p2e c2
(1)
Aus der Energieerhaltung ergibt sich:
Eph + Eo,e
Ee
0
= Eph
+ Ee
= hν − hν 0 + me c2
(2)
Die Impulserhaltung lautet:
p~p
p2e
p~e + p~0p
= ~2 (~k − ~k 0 )2
= ~2 (k 2 + k 02 − 2kk 0 cos θ)
h2 2
=
(ν + ν 02 − 2νν 0 cos θ)
c2
=
Darin ist θ der Streuwinkel und es gilt k =
Jetzt setzen wir Gln. (2, 3) in Gl. (1) ein.
1
2π
λ
=
2πν
c
(3)
und ~ =
h
2π .
(hν − hν 0 + me c2 )2
0
0
−2h νν + 2me c hν − 2me c hν
me c2
me c 2
−
0
ν
ν
1
1
−
ν0
ν
2
2
2
= m2e c4 + h2 (ν 2 + ν 02 − 2νν 0 cos θ)
= −2h2 νν 0 cos θ
= h − h cos θ
h
(1 − cos θ)
me c2
h
λ0 − λ =
(1 − cos θ)
me c
∆λ = λc (1 − cos θ)
2
=
Bohrsches Atommodell
2.1
Effektives Potential
Beim Wasserstoffatom handelt es sich um ein klassisches Zweikörperproblem.
Der Atomkern mit der Masse m1 und das ihn umkreisende Elektron mit der
Masse m2 .
Abbildung 1: Zwei Körper Problem
Für die kinetische Energie gilt:
T =
1
1
m1 ȧ(t)2 + m2 ḃ(t)2 .
2
2
2
−
→
−
→
→
→
Die Vektoren −
a und b lassen sich auch über −
r und R :
→
−
m2 −
−
→
→
a = R−
r
m1 + m2
−
→
→
−
m1 −
→
b = R+
r.
m1 + m2
Wenn man nun die kinetische Energie mit Hilfe der Zeitableitungen der Vek→
−
→
toren −
r und R ausdrückt ergibt sich (M := m1 + m2 ):
T
=
=
1
1
m1 ȧ(t)2 + m2 ḃ(t)2
2
2
→←
→←
1
m
m2
m1 −̇
m2
1
2 −̇
m1 [Ṙ2 −
R−
r˙ + 22 ṙ2 ] + m2 [Ṙ2 +
R−
r˙ + 12 ṙ2 ]
2
M
M
2
M
M
Aus der Lagrangefunktion L = L(r, ṙ, Ṙ) sieht man gleich, dass R zyklisch
ist:
0
=
0
=
d ∂L
∂L
−
dt ∂ Ṙ ∂R
d
[(m1 + m2 )Ṙ]
dt
Daher ist Ṙ = const. und wir dürfen den Koordinatienursprung in den
Schwerpunkt setzen, da das Schwerpunktsystem ein Inertialsystem ist. In die~ =R
~˙ = 0. Damit vereinfacht sich der
sem neuen System gilt dann natürlich R
Ausdruck für die kinetische Energie.
T
=
=
=
1
m2
1
m2
m1 22 ~r˙ 2 + m2 12 ~r˙ 2
2
M
2
M
1 m1 m2
(m1 + m2 )~r˙ 2
2 M2
1 ˙2
µ~r
2
m2
Darin ist µ = mm11+m
die reduzierte Masse. Für die weitere Betrachtung
2
führen wir Kugelkoordinaten ein:


r(t) cos(ϕ(t) sin(θ(t))
→
−
r (t) =  r(t) sin(ϕ(t) sin(θ(t)) 
r(t) cos(θ(t))
Daraus folgt für ~r˙ (t)2 = ṙ(t)2 + [r(t)ϕ̇(t)]2 + [r(t)θ̇(t)]2 .
Als Potential nehmen wir als radialsymmetrisch an. Damit ergibt sich die
Lagrangefunktion als:
µ
L = T − V = ~r˙ 2 − V (r)
2
µ 2
2 2
[ṙ + r ϕ̇ + r2 θ̇2 ] − V (r)
=
2
3
Wenn man sich nun die Lagrangefunktion ansieht, erkennt man, dass beide
Winkelkoordinaten zyklisch sind und ihre konjugierten Impulse konstant:
0
=
d ∂L
∂L
−
dt ∂ θ̇ |{z}
∂θ
(4)
=0
0
=
⇒
d ∂L
d
= pθ
dt ∂ θ̇
dt
pθ = µr2 θ̇ = const.
(5)
(6)
Analog folgt für pϕ = µr2 ϕ̇ = const. .Außerdem ist nun leicht einsichtig,
−
→
dass der Drehimpuls D konstant ist:
E
= T +V
µ 2
=
[ṙ + r2 ϕ̇2 + r2 θ̇2 ] + V (r)
2
µ 2
pθ
pϕ
=
ṙ +
+
+ V (r)
2
2µr2
2µr2
{z
}
|
ef f ektives P otential
µ 2
=
ṙ + V (r)ef f.
2
→→
−
−
→ →
→
Hier wird nun F (−
r ) = −̇
pr = ∇E(−
r ) analog zu Hamilton
→
d−
D
dt
=
∂H
∂r
= p˙r :
→
−
−
→
−
→
r × F = ~r × (− ∇E) =
−
→ µ
~r × (− ∇( ṙ2 + V (r)ef f. )
2
−
→
= ~r × (− ∇V (r)ef f. )
−
→
∂
→
=− −
r × [ V (r)ef f. ] |{z}
∇r = 0,
∂r
=
−
=→
er
→
→
da −
er k −
r . Der Drehimpuls ist also konstant, das heißt die Bewegung findet nur in einer Ebene statt. Es reicht also eine Winkelkoordinate aus um die
Bewegung des Teilchens im Zentralkraftfeld zu beschreiben. Da dass Problem
rotationssymmetrisch ist kann man das Kordinatensystem so drehen, dass die
Bewegung im der X-Y-Ebene verläuft. Dann ist θ = π2 und es ergibt sich aus
4
Gleichung (4):
L =
=
=
µ
[ṙ(t)2 + [r(t)ϕ̇(t)]2 ] − V (r)
2
p2ϕ
p2r
+
− V (r)
2µ 2µr2
p2r
D2
+
− V (r)
2µ 2µr2
{z
}
|
(7)
:=V 0 (r)
= T (ṙ) − V 0 (r, ϕ̇)
V 0 (r, ϕ̇) ist das effektive Potential dieses Systems. Ersetzt man nun V (r)
durch das bekannte Coulomb-Potential für Wasserstoff und implementiert die
Bohrsche Forderung nach einem gequantelten Drehimpuls D = n~, so erhält
man das Ergebnis:
n2 ~ 2
1 e2
−
2
2µr
4πε0 r
V 0 (r) =
2.2
Energie En , Bahnradius rn , Geschwindigkeit vn
Damit eine Bahn stabil ist, muss Energie für den entsprechenden Bahnradius ein
Minimum haben. Anders gesagt: Der Gradient der Energie muss eine Nullstelle
haben.
¯
¯
¯~
¯
¯∇(T (ṙ) + V 0 (r))¯ = 0
¯
¯
¯~ 0 ¯
¯∇V (r)¯ = 0
e2
4π²0 r2
=
n2 ~2
µr3
Löst man diese Gleichung nach r auf, erhält man die Bohrschen Radien:
rn =
4πε0 ~2 2
·n
µe2
(8)
Die Geschwindigkeit lässt sich nach
v = ωr = ϕ̇r =
pϕ
D
=
rµ
rµ
berechnen und lautet nach Einsetzen von rn und D = ~n:
vn =
e2
1
·
4πε0 ~ n
5
(9)
Die Energien kann man nach E = T + V und mit dem Virialsatz 2T = −V ,
der für geschlossene Wege in konservativen Kraftfeldern gilt, berechnen.
E=
1
e2
V =−
2
8π²0 r
Setzt man hier nun die Bohrschen Radien aus Gl. (8) ein, erhält man die
Bohrschen Energieniveaus:
En = −
2.3
µe4
1
·
32π 2 ε20 ~2 n2
Korrespondenzprinzip
Wenn ein Elektron zwischen zwei Energieniveaus wechselt wird ein Photon der
Frequenz ν = ∆E
h emittiert. Für die Übergangsfrequenz zweier benachbarter
Atome gilt:
ν
=
µe4
1
1
[ 2−
]
2
2(4πε0 ~) n
(n + 1)2
| {z }
1
h
:=R
R n2 − (n + 1)2
[
]
h n2 (n + 1)2
2n + 1
R
·[
].
h n4 + 2n3 + n2
=
=
Für große n ist 2n ≈ 2n + 1 und n4 ≈ n4 + 2n3 + n2 , damit ergibt sich:
ν=
2R
.
hn3
(10)
Klassisch würde das Elektron eine Frequenz emittieren, die sich aus dem
Bahnradius und der Geschwindigkeit ergibt. Man muss dann nur mit Gleichung
(9) und (8) eingehen:
ν
=
=
=
=
=
v
2πr
e2
1
4πε0 ~ · n
2
0~
2
2π 4πε
µe2 · n
2
2
e µe
1
· 3
2
2π4πε0 ~4πε0 ~ n
1
µe4
· 3
2
3
2π(4πε0 ) ~ n
µe4
1
1
· 3.
2
2
h (4πε0 ) ~ n
6
=
2
µe4
1
·
h 2(4πε0 )2 ~2 n3
|
{z
}
=R
⇒ ν=
2R
.
hn3
(11)
Für große n sind die Übergangfrequenzen bei der klassischen Annahme (Gleichung (11)) und der Variante, die auf gequantelten Energiezuständen basiert
(Gleichumg (10)), gleich. Diese Tatsache, dass die klassische Physik als Grenzfall der Quantenmechanik (zum Beispiel für große n) auftritt, wird als Korrespondenzprinzip bezeichnet.
2.4
Stabilitätsproblem
Die Beschleunigung, die das Elektron erfährt, ist die Zentripetalbeschleunigung
seiner Kreisbewegung.
a = ω2 r =
a2
=
v2
r
v4
r2
Ersetzt man hier nun die Geschwindigkeit nach Gl. (9), erhält man
e2
1
]4 .
4πε0 ~n r2
Wenn man mit dieser Formel in die Larmor-Formel für die abgestrahlte Leistung eines Elektrons eingeht ergibt sich:
a2 = [
P
=
=
=
2 e2
a2
3 4πε0 c3
2 e2
e2
1
[
]4
3 4πε0 c3 4πε0 ~n r2
e14 µ2
13
3 · 2 · π 7 ²70 c3 ~8 n8
Der Zahlenwert für die Leistung auf der ersten Bohrschen Bahn (n = 1)
beträgt:
P1 = 4, 66 · 10−8 W.
Für die erste Bahn ergibt sich eine Energie von:
E1 = 2, 18 · 10−18 J = 13, 6 eV.
7
Damit hätte das H-Atom mit einem Elektron im Grundzustand eine Zeit von
= 4, 68 · 10−11 s bis es seine Energie verloren hat. Wasserstoffatome wären
also nicht stabil.
E1
P
8