Serie 3 - Institut für Mathematik

Humboldt-Universität Berlin - Institut für Mathematik
Numerische lineare Algebra - WS16/17
C. Tischendorf, H. Rabus
21. November 2016
Serie 3
Abgabetermin
5. Dezember 2016 vor der VL
Aufgabe 3.1: (15 Punkte)
Bestimmen Sie die LU-Zerlegung (ohne Pivotisierung) der Matrix A ∈ Rn×n mit Einträgen aij , 1 ≤ i, j ≤ n gegeben durch


2, falls i = j,
aij := 1, falls |i − j| = 1,


0, sonst.
Aufgabe 3.2: (2+8=10 Punkte)
Für die Matrix A ∈ Rn×n sei eine LU -Zerlegung gegeben. Geben Sie einen effizienten
Algorithmus zur Bestimmung von det(A) an.
(a) Betrachten Sie zunächst den Fall A = LU (ohne Pivotisierung).
(b) Betrachten Sie nun den Fall P A = LU (mit Pivotisierung). Beschreiben Sie zunächst
einen Algorithmus zur Bestimmung von det(P ). Geben Sie dann einen Algorithmus
zur Bestimmung von det(A) an.
Aufgabe 3.3: (25 Punkte)
Satz. Seien R ∈ Rn×n und c ∈ Rn gegeben, wobei deren Einträge Maschinenzahlen
sind. Zudem sei R eine invertierbare obere Dreiecksmatrix. Zur Lösung des linearen
Gleichungssystem Rx = c wird der Algorithmus der Rückwärtselimination verwendet,
d.h.:
!
n
X
1
cn
xn :=
,
xi :=
ci −
rij xj
für i = n − 1, . . . , 1.
rnn
rii
j=i+1
Erfolgt dies auf Maschinen mit relativer Rechengenauigkeit τ , wobei τ n < 1, so genügt
die berechnete Lösung x̃ der Gleichung (R + δR)x̃ = c mit einer oberen Dreiecksmatrix
δR mit der Eigenschaft kδR k∞ ≤ (nτ + O(τ 2 )) kRk∞ . Insbesondere ist der Algorithmus
numerisch gutartig.
Hinweis: Die Menge der Maschinenzahlen sei hierbei stets die Menge der normalisierten
Gleitkommazahlen mit relativer Rechengenauigkeit τ .
Beweisen Sie den oben stehenden Satz, indem Sie folgende Schritte ausführen.
1
(i) Seien m ∈ N und z1 , ..., zm Maschinenzahlen. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion
[m]
[m]
über m, dass ε1 , . . . , εm existieren, so dass
m
m
X
X
[m]
[m]
flt (
zj ) =
zj (1 + εj ) mit |εj | ≤ (m − 1)τ + O(τ 2 ).
j=1
j=1
(ii) Zeigen Sie, dass für i = 1, . . . , n − 1 und j = i + 1, . . . , n reelle Zahlen δij existieren,
so dass
si := flt (
n
X
rij x̃j ) =
j=i+1
n
X
rij x̃j (1 + δij ) mit |δij | ≤ (n − i)τ + O(τ 2 ).
j=i+1
(iii) Zeigen Sie, dass eine reelle Zahl δn existiert, so dass
x̃n =
cn
rnn (1 + δn )
mit |δn | ≤ τ.
Zeigen Sie, dass für i = 1, . . . , n − 1 reelle Zahlen δi existieren, so dass
x̃i =
ci − s i
rii (1 + δi )
mit |δi | ≤ 2τ + O(τ 2 ).
(iv) Zeigen Sie, dass x̃ Lösung der Gleichung (R + δR)x̃ = c ist, wobei δR = (δrij ) mit


rij δij , falls i < j
δrij := rii δi , falls i = j


0,
sonst.
(v) Zeigen Sie, dass kδRk∞ ≤ (nτ + O(τ 2 ))kRk∞ .
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