Beugung - IAP TU
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NATURWISSENSCHAFTEN II (Experimentalphysik) Vorlesung am 10. 06. 2008 Modifizierte Vorlesungsfolien zur ‚Beugung‘ Kapitel 3 – Optik 3.2.5 Beugung 3.2.6 Beugung am Einzelspalt 3.2.7 Beugung an Kreisblende Naturwissenschaften II (basierend auf 'Physik für Maschinenbauer' von Prof. Dr. J. Enders) | Prof. Dr. Gerhard Birkl | SS 2008 | 1 Kapitel 3: Optik 3.2 Wellenoptik – 3.2.5 Beugung Kein physikalischer Unterschied zwischen Beugung und Interferenz Häufig aber Unterschied im Sprachgebrauch „Interferenz“: Überlagerung weniger oder abzählbar vieler (Elementar-) Wellen „Beugung“: Überlagerung unendlich vieler (Elementar-) Wellen Beispiel: Schattenwurf von der Ebene des Schattenobjekts gehen Kugelwellen aus (Huygens‘sches Prinzip) Wellenfront: Lichtbereich an Grenze zum Schatten: Beugungserscheinungen Licht Randbeugungseffekte Schatten Naturwissenschaften II (basierend auf 'Physik für Maschinenbauer' von Prof. Dr. J. Enders) | Prof. Dr. Gerhard Birkl | SS 2008 | 2 Kapitel 3: Optik 3.2 Wellenoptik – 3.2.5 Beugung Beobachtung des Lichts, das durch eine enge Öffnung tritt (bzw. an einer Kante vorbeigeht) Schirm nahe Blende/Kante Nahfeld „nah“ im Verhältnis zur Dimension der Blende/Kante Fresnel-Beugung modifizierter „Schattenwurf“ Augustin Jean Fresnel Schirm weit weg von Blende/Kante Fernfeld „fern“ im Verhältnis zur Dimension der Blende/Kante Fraunhofer-Beugung Beugungsmuster Im Folgenden: Fraunhofer-Beugung Naturwissenschaften II (basierend auf 'Physik für Maschinenbauer' von Prof. Dr. J. Enders) | Prof. Dr. Gerhard Birkl | SS 2008 | 3 Josef von Fraunhofer Kapitel 3: Optik 3.2 Wellenoptik – 3.2.6 Beugung am Einzelspalt Einzelspalt der Breite a Aufteilung in gerade Zahl von Teilstrahlen paarweise Auslöschung von Teilstrahlen Destruktive Interferenz = Intensitätsminimum θ a δΔ λ a δΔ = sin θ = m 2 2 ⇒ a sin θ = mλ (3.32) Aufteilung in ungerade Zahl von Teilstrahlen letzter Teilstrahl wird nicht ausgelöscht Intensitätsmaximum a sin θ = 2 m ' +1 2 λ Naturwissenschaften II (basierend auf 'Physik für Maschinenbauer' von Prof. Dr. J. Enders) | Prof. Dr. Gerhard Birkl | SS 2008 | 4 (3.33) Kapitel 3: Optik 3.2 Wellenoptik – 3.2.6 Beugung am Einzelspalt Mathematische Formulierung Unterteile Spalt in N Teilstrahlen mit Feldamplitude E0 resultierende Feldstärke E in P y a/2 θ E = E0 ei ( kr1 −ωt ) + E0 e i ( kr2 −ωt ) + .. + E0 ei ( krN −ωt ) P ri [ E = E0 ei ( kr1 −ωt ) 1 + ei ( k ( r2 − r1 ) + ei ( k ( r3 − r1 ) + .. + ei ( k ( rN − r1 ) R x z -a/2 mit ] δ = k (r2 − r1 ) folgt 2δ = k (r3 − r1 ), 3δ = k (r4 − r1 ),... und somit für die Feldstärke E = E0 e i ( kr1 −ωt ) [1 + (e iδ ) + (e ) + (e ) + .. + (e ) iδ 2 iδ 3 iδ N −1 ] Ausdruck in eckiger Klamme ist geometrische Reihe mit iδN iδ Grenzwert (e [ [ )( ) −1 / e −1 = ] e iδ N 2 e iδ N 2 − e − iδ N 2 i ( N −1)δ 2 ⎡ sin N δ 2 ⎤ e = ⎢ ⎥ e iδ 2 e iδ 2 − e − iδ 2 sin δ 2 ⎣ ⎦ ] Naturwissenschaften II (basierend auf 'Physik für Maschinenbauer' von Prof. Dr. J. Enders) | Prof. Dr. Gerhard Birkl | SS 2008 | 5 Kapitel 3: Optik 3.2 Wellenoptik – 3.2.6 Beugung am Einzelspalt Resultierende Intensität I am Punkt P ist proportional zu E2 sin 2 (Nδ 2 ) I ( R) = I 0 sin 2 (δ 2 ) mit I0 der Intensität durch jeden der N Teilstrahlen Näherung für kleine θ und δ << 1: sin θ = θ und δ/2 sin θ << 1 ⎛ sin β I (θ ) = N I 0 ⎜⎜ ⎝ β 2 mit der Abkürzung 2 ⎞ ⎛ sin β ⎟⎟ = I (θ = 0)⎜⎜ ⎠ ⎝ β ⎞ ⎟⎟ ⎠ 2 ka β = sin θ 2 Minima : Setze Gleichung (3.34) = 0 (ohne β = 0) sin β = 0 ⇒ β = ±π ,±2π ,... ⇒ 2mπ = ka sin θ ⇒ mλ = a sin θ (3.34) Naturwissenschaften II (basierend auf 'Physik für Maschinenbauer' von Prof. Dr. J. Enders) | Prof. Dr. Gerhard Birkl | SS 2008 | 6 (3.35) Kapitel 3: Optik 3.2 Wellenoptik – 3.2.7 Beugung an Kreisblende Kreisförmige Geometrie Jeder Punkt innerhalb der Kreisblende trägt zum elektrischen Feld am Punkt q bei Integral ist deutlich komplizierter als bei Spalt Lösungen: Besselfunktionen Jn zentrales Maximum: „Airy-Scheibe“ erstes Minimum im Abstand q1 von der optischen Achse gegeben durch erste Nullstelle der Besselfunktion J1 Rλ q1 = 1.22 D D R (3.36) q Naturwissenschaften II (basierend auf 'Physik für Maschinenbauer' von Prof. Dr. J. Enders) | Prof. Dr. Gerhard Birkl | SS 2008 | 7 Kapitel 3: Optik 3.2 Wellenoptik – 3.2.7 Beugung an Blende - Auflösungsvermögen Optisches Auflösungsvermögen = Beugungsgrenze definiert über Radius q1 des ersten Beugungsscheibchens Winkel im Bogenmaß für erste Nullstelle der Besselfunktion J1 α = 1.22 λ (3.37) D Beispiel: Teleskop mit 2 m Spiegel Auflösung beugungsbegrenzt: ca. 0.07“ (0.07 Bogenminuten) Störungen durch Atmosphäre → Lösung: adaptive Optik 0.5“ Störungen durch Atmosphäre 0.07“ Beugungsbegrenzt mit adaptiver Optik Naturwissenschaften II (basierend auf 'Physik für Maschinenbauer' von Prof. Dr. J. Enders) | Prof. Dr. Gerhard Birkl | SS 2008 | 8 Kapitel 3: Optik 3.2 Wellenoptik – 3.2.7 Beugung an Blende - Auflösungsvermögen Konsequenz: Möglichst große Teleskope bauen Problem: Spiegeldurchmesser auch mit aktiver Korrektur über 10 m nicht praktikabel Lösung: interferometrisches „Zusammenschalten“ verschiedener Teleskope Pionierarbeit: Radioteleskope jetzt auch im optischen Bereich möglich Beispiel: VLTI, ESO, Mt. Paranal, Chile 4 Teleskope mit je 8.2 m Durchmesser Aufstellung im Abstand von bis zu L=130 m Auflösungsvermögen, beugungsbegrenzt α = 0.001" = (3 ⋅10 −7 )° ≈ 5 nrad Naturwissenschaften II (basierend auf 'Physik für Maschinenbauer' von Prof. Dr. J. Enders) | Prof. Dr. Gerhard Birkl | SS 2008 | 9 www.eso.org
