8.4 Markowoperatoren

8.4 Markowoperatoren
8.4
137
Markowoperatoren
Im Gegensatz zu dynamischen Systemen, bei denen ϕ : Z −
→ Z′ eine beliebige stetige, vorwärts
in der Zeit abbildende Abbildung war, sind im C − P-Kontext nur lineare Abbildungen (lineare Operatoren) als Zustandsänderung von Interesse. Mit den heuristischen Betrachtungen
im Abschnitt 8.2 auf Seite 130 haben wir uns klargemacht, daß physikalsich sinnvolle Zustandsänderungen lineare Operatoren sind, die P(Z) nach P(Z′ ) abbilden. Diese Eigenschaft
haben Operatoren M∗ , die adjungierte von Operatoren M : C(Z′ ) −
→ C(Z) mit den Eigenschaften M ≥ 0 und M1′ = 1, sind. Solche Operatoren heißen Markowoperatoren.
Es zeigt sich, daß auch die Umkehrung in folgendem Sinne gilt: Falls ein Operator der adjungierte eines Operators ist und P(Z) nach P(Z′ ) abbildet, dann ist er der adjungierte eines
Markowoperators.
Es gibt Operatoren, die P(Z) nach P(Z′ ) abbilden und nicht adjungierte Operatoren sind (also
keinen präadjungierten besitzen). Es ist aus verschiedenen Gründen sinnvoll, solche Operatoren
nicht zu betrachten. Im weiteren werden
wir stets ohne es explizit zu erwähnen,
annehmen, daß
ein Operator aus L C∗ (Z), C∗ (Z′ ) einen präadjungierten aus L C(Z′ ), C(Z) besitzt.
8.4.1
Definition und wichtigste Eigenschaften
Markowoperatoren sind positive und 1 erhaltende Operatoren. Wir bezeichen die Menge der
Markowoperatoren mit
M Z′ ), Z = M ∈ L C(Z′ ), C(Z) | M ≥ 0, M1′ = 1
Im Falle Z′ = Z bezeichnen wir die Menge der Markowoperatoren mit M(Z). Wo klar
ist,
′
zwischen welchen Räumen die Operatoren wirken, schreiben wir M anstelle von M Z ), Z oder
M(Z).
Wir fassen die wichtigsten Eigenschaften von Markowoperatoren zusammen und beweisen sie
anschließend in einzelnen Sätzen, die zum Teil allgemeiner sind und insbesondere Umkehrungen
enthalten.
•
•
•
•
•
M ∈ M ⇐⇒ M∗ P ⊂ P
|Mg| ≤ M|g|
kMk = 1
M ist konvex.
M(Z) bildet eine Halbgruppe. Die Identität I ist die Einheit.
Satz: M ≥ 0 ⇐⇒ M∗ ≥ 0.
Beweis(=⇒): Es sei p ≥ 0, es ist zu zeigen, daß hg, M∗pi ≥ 0 für alle g ≥ 0. Es sei g ≥ 0 beliebig.
Dann ist auch Mg ≥ 0, da M ≥ 0. Es folgt hMg, pi ≥ 0, weil p ≥ 0. Aber hMg, pi = hg, M∗ pi.
Beweis(⇐=): Analog.
Satz: M1′ = 1 ⇐⇒ h1, pi = 1 =⇒ h1, M∗ pi = 1, p ∈ P .
Beweis(=⇒): Es sei M1′ = 1 und h1, pi = 1. Dann gilt
1 = h1, pi = hM1, pi = h1, M∗ pi
Beweis(⇐=): Sei umgekehrt h1, pi = 1 und h1, M∗ pi = 1 für p ∈ P. Dann folgt hM1 − 1, pi = 0
für alle p ∈ P. Da P total in C∗ ist, folgt M1 − 1 = 0.
Folgerung: M ≥ 0, M1 = 1 ⇐⇒ M∗ P ⊂ P′ .
138
8 ZUSTANDSÄNDERUNGEN
Satz: (1184 S.135) |Mg| ≤ M|g| ⇐⇒ M ≥ 0
Beweis(=⇒): g ≥ 0, 0 ≤ |Mg| ≤ M|g| = Mg
Beweis(⇐=): |Mg| = |M(g+ − g− )| = |Mg+ − Mg− | ≤ |Mg+ | + |Mg− | = Mg+ + Mg− =
M(g+ + g− ) = M|g|.
Die Positivität wurde im Schritt |Mg± | = Mg± benutzt.
Satz: (siehe 1184 S.169) Es sei M1 = 1. Dann
ist M ≥ 0 ⇐⇒ kMk ≤ 1
Beweis(=⇒): M ≥ 0 =⇒ |Mg| ≤ M|g| ≤ Mkgk · 1 = kgk =⇒ supg |Mg| ≤ kgk =⇒ kMk ≤ 1.
Tatsächlich gilt kMk = 1, wenn man g = 1 setzt.
Beweis(⇐=): Zum Beweis benutzen wir die Äquivalenz
kg − f k ≤ r ⇐⇒ f − r 1 ≤ g ≤ f + r 1
Es sei 0 ≤ g ≤ 2 =⇒ −1 ≤ g − 1 ≤ 1 =⇒ kg − 1k ≤ 1 Jetzt gilt
kMg − 1k = kMg − M1k = kM(g − 1)k ≤ kg − 1k ≤ 1
=⇒ −1 ≤ Mg − 1 ≤ 1 =⇒ 0 ≤ Mg ≤ 2.
Satz: M ist konvex.
Beweis: Es sei M1 , M2 ∈ M und α1 , α2 ∈ R mit α1 ≥ 0, α2 ≥ 0 und α1 + α2 = 1. Wir beweisen
α1 M1 + α2 M2 ∈ M:
Da α1 ≥ 0, α2 ≥ 0 und die Menge der positiven Operatoren einen Kegel bilden, ist auch
α1 M1 + α2 M2 ≥ 0.
Weiter gilt (α1 M1 + α2 M2 )1′ = α1 M1 1′ + α2 M2 1′ = α1 1 + α2 1 = (α1 + α2 )1 = 1.
Satz: M(Z) bildet eine Halbgruppe. Die Identität I ist die Einheit.
Beweis: Es sei M1 , M2 ∈ M(Z). Wir beweisen M2 M1 ∈ M(Z).
Es sei g ≥ 0, dann ist M1 g ≥ 0 und M2 (M1 g) ≥ 0, weil M1 , M2 positive Operatoren sind.
Es sei Mi 1 = 1. Dann ist M2 M1 1 = M2 1 = 1.
Zum Beweis, daß I die Einheit ist, ist zu zeigen, daß I Markowoperator ist, was wegen Ig = g
für alle g ∈ C(Z) offensichtlich ist.
8.4.2
Beispiele
→ R eine stetig differenzierbare, monoton nicht
ÜA 28) Es sei Z = Z′ = [0, 1]. und h : [0, 1] −
fallende Funktion mit h(0) = 0 und h(z) > 0 für z > 0. Wir definieren einen Operator
M : C(Z′ ) −
→ C(Z) durch
Z z
1
(Mg)(z) =
h′ (z ′ )g(z ′ )dz ′
h(z) 0
Beweisen Sie, daß es sich um einen Markowoperator handelt. Bestimmen Sie den adjungierten Operator.
ÜA 29) Es sei (Z, C, P) (Z′ , C′ , P′ ) gegeben. Es seien h1 , ..., hn ∈ C. Weiter seien A1 , ..., An
disjunkte abgeschlossene Teilmengen von Z′ und p1 , ..., pn W-Maße aus P′ mit pi (Ai ) = 1.
Welche Eigenschaften müssen die hi haben, damit der Operator
Xn
hg, pi ihi
Mg =
i=1
ein Markovoperator M : C(Z′ ) −
→ C(Z) ist? Wann ist M ein Projektor?
139
8.4 Markowoperatoren
8.4.3
Darstellung von Markowoperatoren. Bedeutung des Integralkerns
Wie jeder beschränkten Operator kann man auch Markowoperatoren auf eindeutige Weise als
Integraloperatoren mit einem Integralkern ω(B ′ , z) darstellen. Es gilt
Z
(Mg)(z) =
g(z ′ )ω(dz ′ , z) = hg, ω(·, z)i
(26)
′
Z
Z
∗
′
(M p)(B ) =
ω(B ′ , z)p(dz) = hω(B ′, ·), pi
(27)
Z
Der Integralkern ω hat folgende speziellen Eigenschaften, die aus den Eigenschaften von Markowoperatoren folgen.
• ω(B ′ , z) ≥ 0 (folgt aus M ≥ 0)
• ω(Z′ , ·) = 1 (folgt aus M1′ = 1)
• ω : B′ × Z −
→ [0, 1]
• ω(·, z) ∈ P(Z′ )
• ω(B ′ , ·) ∈ C(Z)
Offenbar ist ω(B ′ , z) = (M∗ δz )(B ′ ). Die Funktion ω(B ′, z) läßt sich für festes z als Wahrscheinlichkeit interpretieren, nämlich als Wahrscheinlichkeit, daß sich das System nachher (nach der
Zustandsänderung) in einem Zustand aus B ′ befindet, wenn es sich vorher im Zustand z befand.
Daher wird der Integralkern ω(B ′, z) oft auch als Übergangswahrscheinlichkeit bezeichnet.
Die Menge der Markovoperatoren M(Z) ist eine konvexe Untermenge der Algebra L(C) und
bildet eine nichtkommutative Halbgruppe weil M = M2 M1 wieder Markovoperator ist.
Hieraus folgt, daß für die Kerne (das seien entsprechend ω, ω2, ω1 )
Z
ω(B, z) = ω2 (B, ·), ω1 (·, z) = ω2 (B, z ′ )ω1 (dz ′ , z)
Z
gilt. Diese Eigenschaft heißt manchmal auch Markowbedingung. Hier ist sie eine Folge davon,
daß M eine Halbgruppe ist und keine zu fordernde Bedingung.
8.4.4
Ungleichungen mit Markowoperatoren
Markowoperatoren genügen einer Vielzahl von fundamentalen Ungleichungen, die relativ einfach
zu beweisen sind.
• |Mg| ≤ M|g| (siehe Satz auf S. 148).
• gmin ≤ (Mg)(z) ≤ gmax
Beweis: Folgt aus gmin 1 ≤ g ≤ gmax 1 nach Anwendung von M auf diese Ungleichung.
Bemerkung: Diese Ungleichung wird häufig “Maximumprinzip” genannt und bezeichnet
die Eigenschaft von gewissen Differentialgleichungen, daß der Wertebereich der Lösung innerhalb gewisser Grenzen bleibt. Das hängt damit zusammen, daß die Lösungsoperatoren
dieser Differentialgleichungen Markowoperatoren sind.
• MC[a,b] ⊂ C[a,b] (ist einen andere Formulierung des Maximumprinzips).
140
8 ZUSTANDSÄNDERUNGEN
• (M − I)g (zmax ) ≤ 0 ≤ (M − I)g (zmin ).
Beweis: Folgt aus gmin = g(zmin ) ≤ (Mg)(zmin ) und (Mg)(zmax ) ≤ g(zmax ) ≤ gmax
Des weiteren gibt es viele Ungleichungen, die für reelle Zahlen bekannt sind und sich wörtlich auf
Markowoperatoren übertragen lassen. Der Beweis kann häufig nach der selben Methode ablaufen, die gleich für die Tschebyschew-Ungleichung demonstriert wird. Der Beweis basiert darauf,
daß zwischen Ungleichungen für reelle Zahlen wie g(z) ≥ 0 und Ungleichungen für Funktionen
g ≥ 0 hin- und hergesprungen wird, indem man die Argumente fixiert bez. beweglich läßt.
Das ist möglich, weil Markowoperatoren positive Operatoren sind und deshalb auf Ungleichungen angewendet werden können. Außerdem bewirkt die 1-Erhaltung, daß Markowoperatoren
Skalare nicht verändern, indem Sinn, daß M(c1) = cM1 = c1 gilt.
• Tschebyschew-Ungleichung:
Es seien f und g gleichsinnig monoton, dann gilt Mg · Mf ≤ M(g · f ).
Beweis: Zwei Funktionen f und g heißen gleichsinnig monoton, wenn für alle z, z ′ ∈ Z
gilt (beachte, daß die Funktionen selbst nicht monoton sein müssen):
f (z) − f (z ′ ) g(z) − g(z ′ ) ≥ 0
In dieser Ungleichung fixieren wir als erstes z ′ und wenn dann M auf die Ungleichung mit
beweglichem z an. Anschließend wird dasselbe nochmal für z durchgeführt. Das ergibt
folgende Ungleichungskette:
0 ≤ f (z) − f (z ′ ) g(z) − g(z ′ ) = f (z)g(z) − f (z ′ )g(z) − g(z ′ )f (z) + f (z ′ )g(z ′ )
0 ≤ f · g − f (z ′ ) · g − g(z ′ ) · f + f (z ′ )g(z ′ ) · 1
0 ≤ M(f · g) − f (z ′ ) · Mg − g(z ′ ) · Mf + f (z ′ )g(z ′ ) · 1
0 ≤ M(f · g) (z) − f (z ′ ) · (Mg)(z) − g(z ′ ) · (Mf )(z) + f (z ′ )g(z ′ )
0 ≤ M(f · g) (z) · 1 − (Mg)(z) · f − (Mf )(z) · g + f · g
0 ≤ M(f · g) (z) · 1 − (Mg)(z) · (Mf ) − (Mf )(z) · Mg + M(f · g)
0 ≤ M(f · g) · 1 − (Mg) · (Mf ) − (Mf ) · (Mg) + M(f · g)
0 ≤ 2 M(f · g) − 2(Mg) · (Mf )
• Cauchy-Bunjakowski-Schwarz-Ungleichung:
2
M(f · g) ≤ Mf 2 · Mg 2
Beweis: Wie eben erhalten wir ausgehend von einer offensichtlichen Ungleichung für
reelle Zahlen eine Ungleichung für Markowoperatoren:
2
0 ≤ f (z)g(z ′ ) − f (z ′ )g(z) = f 2 (z)g 2 (z ′ ) + f 2 (z ′ )g 2 (z) − 2f (z)g(z)f (z ′ )g(z ′ )
0 ≤ g 2 (z ′ ) · f 2 + f 2 (z ′ ) · g 2 − 2f (z ′ )g(z ′ ) · f · g
0 ≤ g 2 (z ′ ) · Mf 2 + f 2 (z ′ ) · Mg 2 − 2f (z ′ )g(z ′ ) · M(f · g)
0 ≤ g 2 (z ′ ) · (Mf 2 )(z) + f 2 (z ′ ) · (Mg 2 )(z) − 2f (z ′ )g(z ′ ) · M(f · g) (z)
0 ≤ (Mf 2 )(z) · g 2 + (Mg 2 )(z) · f 2 − 2 M(f · g) (z) · f · g
0 ≤ (Mf 2 )(z) · (Mg 2 ) + (Mg 2 )(z) · (Mf 2 ) − 2 M(f · g) (z) · M(f · g)
0 ≤ 2(Mf 2 ) · (Mg 2 ) − 2 M(f · g) · M(f · g)
8.4 Markowoperatoren
141
Bemerkung:
Im endlich dimensionalen Fall sind das Ungleichungen für Matrizen, die man explizit beweisen
kann. Dabei wird deutlich, wie die Beweise “im Inneren” ablaufen.
8.4.5
Die Jensensche Ungleichung in C × P
Im weiteren sei stets F : R −
→ R ∪ {+∞} eine konvexe Funktion.
Satz: Es sei g ∈ C(Zn ) und p ∈ P(Zn ). Dann gilt
!
n
n
X
X
pi F (zi ) ≥ F
pi zi
i=1
i=1
Satz: Es sei z1 , ..., zn ∈ Z und p ∈ P(Zn ). Dann gilt
hF (g), pni ≥ F (hg, pni)
(28)
Satz: Es sei g ∈ C(Z) und p ∈ P(Z). Dann gilt
hF (g), pi ≥ F (hg, pi)
(29)
Satz: Es sei g ∈ C(Z) und M ∈ M(Z). Dann gilt
MF (g) ≥ F (Mg)
(30)
Satz: Es sei g ∈ C(Z), p ∈ P(Z) und M ∈ M(Z). Dann gilt
hF (g), M∗ pi = hMF (g), pi ≥ hF (Mg) , pi
(31)
Die letzte Ungleichung heißt Karamata-Ungleichung und kann auch äquivalent als
hF (g ′ ), p′i ≥ hF (g), pi
mit p′ = M∗ p und g = Mg ′ , geschrieben werden.
8.4.6
Markowketten
Findet in jedem Zeittakt dieselbe Zustandsänderung statt, erhält man eine Folge von Zuständen,
die Markowkette genannt wird.
• Definition 1: Eine Folge von Maßen (p0 , p1 , ...) heißt Markowkette, falls es einenMarkowoperator M gibt, sodaß pn+1 = M∗ pn .
• Definition 2: Eine Markowkette ist ein Paar (M, p0 ). Die Trajektorie der Markowkette
heißt die Folge (p0 , M∗ p0 , (M∗ )2 p0 , ...)
• Wir sagen einfach: Ein Markowoperator generiert eine M-Kette und interessieren uns für
die Folge der Potenzen eines gegebenen Markowoperators. Insbesondere interessiert uns,
ob es ein M∞ = lim Mn gibt.
n→∞
142
8.4.7
8 ZUSTANDSÄNDERUNGEN
Beispiel. Der Fall n = 2
Für Z = {1, 2} gibt es vier mögliche Funktionen ϕ : Z −
→ Z. Ihnen entsprechen die 4 deterministischen M-Operatoren
0 1
1 0
0 1
1 0
, M11 =
, M10 =
, M01 =
M00 =
1 0
1 0
0 1
0 1
Invertierbar sind M00 und M11 .
Ein allgemeiner Markowoperator hat die Matrix
1−a
a
1 0
−a
a
M=
=
+
=I+B
b
1−b
0 1
b −b
mit a, b ∈ [0, 1]. D.h., jedem Punkt aus [0, 1] × [0, 1] kann eineindeutig ein Markowoperator
zugeordnet werden. Die deterministischen Markowoperatoren sind die extremalen Elemente
dieser Menge.
Wie berechnen Mn . Dazu zerlegen wir M. Es ist
1
1 −a
1
0
1−a
a
b a
−1
−1
, C =
C , C=
=C
M=
1
b
0 1−a−b
b
1−b
a + b −1 1
Hieraus folgt
1
b + a(1 − a − b)n a − a(1 − a − b)n
1
0
−1
n
C =
M =C
0 (1 − a − b)n
a + b b − b(1 − a − b)n a + b(1 − a − b)n
Man sieht, daß genau im Fall |1 − a − b| = β < 1 ein Grenzwert
1
b a
∞
P=M =
a+b b a
existiert. Es ist
1
p1
b b
∗
=
P p=
p2
a+b a a
b
a+b
a
a+b
=µ
P∗ ist ein Projektor auf den von µ aufgespannten Unterraum.
Die Gleichung, die zu M∗ = I∗ + B∗ gehört ist
p1 (n + 1) = p1 (n) − ap1 (n) + bp2 (n)
p2 (n + 1) = p2 (n) + ap1 (n) − bp2 (n)
Man kann diese Gleichung auf zwei Weisen interpretieren:
• Es wird mit Wahrscheinlichkeit a vom Zustand 1 in den Zustand 2 und mit Wahrscheinlichkeit b vom Zustand 2 in den Zustand 1 gewechselt. Die Komplemente 1 − a und 1 − b
bedeuten, daß kein Zustandswechsel stattfindet.
• Es findet zwischen den beiden Zuständen 1 und 2 ein Austausch statt. Zu dem Anteil,
der schon da ist, wird der a-te Anteil 1 −
→ 2 und der b-te Anteil 2 −
→ 1 transportiert.
143
8.4 Markowoperatoren
8.4.8
Ereignisketten und Markowketten
Änderungen im Raum der physikalischen Zustände P werden durch adjungierte von Markowoperatoren beschrieben. Die Trajektorie eines physikalischen System, das im Zustand p0 startet,
kann dann beschrieben werden durch eine Abfolge von Operatoren, die von einer diskreten
(Zeitsprünge t0 → t1 , t1 → t2 , t3 → t4 ) oder kontinuierlichen Zeit (t2 ≤ t ≤ t3 ) abhängen:
p0
M∗ (t0 →t1 )
→
−
p1
M∗ (t1 →t2 )
→
−
p2
M∗ (t2 ≤t≤t3 )
→
−
p3
M∗ (t3 →t4 )
→
−
p4 ...
Ziel ist es, bei gegebenen Operatoren (Zustandsänderungen) die möglichen Zustände zu berechnen.
Die einfachsten solchen Ketten mit diskreter Zeit sind Markowketten.
8.4.9
Markowprozesse
Wir hatten Markowketten als Folgen von Maßen (p0 , p1 , p2 , ...) ⊂ P mit pn+1 = M∗ pn definiert
mit einem Markowoperator M. Betrachtet man seine Potenzen als Funktion des Exponentes
T(n) = Mn , dann ist T : N −
→ M wegen T(n + m) = T(n)T(m) = T(m)T(n) und T(0) = I
ein Homomorphismus der kommutativen Halbgruppe N bezüglich der Addition.
Analog kann man Homomorphismen der kommutativen Halbgruppe R+ bezüglich der Addition
betrachten: T : R −
→ M. T(t) ist eine Operatorenhalbgruppe mit den Eigenschaften
T(0) = I
T(t1 + t2 ) = T(t1 )T(t2 ) = T(t2 )T(t1 )
Die Trajektorie p(t) = T∗ (t)p0 in P wird Markowprozeß genannt.
Analog dazu, wie ein Markowoperator M (als erster Schritt) zusammen mit eimen Anfangswert p0 eine gesamte Markowkette T(n) = Mn definiert, definiert der Operator A (genannt
Generator) durch die Differentialgleichung
ṗ(t) = A∗ p(t), p(0) = p0
einen Markowprozeß T(t) = eAt .
Während bei Markowketten M = T(1) gilt, gilt bei Markowprozessen A = T′ (0). Allerdings
ist der Zusammenhang zwischen Generator, Differentialgleichung und Halbgruppe nicht trivial
(im Gegensatz zu Markowketten) und wird durch relativ komplizierte Theoreme hergestellt.
Damit beschäftigen wir uns im Kapitel 11.
Ist eine Operatorhalbgruppe T(t) gegeben, so ist für alle t2 > t1 ≥ 0 der Operator T(t2 − t1 )
ein Markowoperator und beschreibt durch
p(t2 ) = T∗ (t2 − t1 )p(t1 )
eine Zustandsänderung.
Die Logik ist folgende: Wenn ich annehme, daß meine Trajektorie aus irgendeinem Grund eine
Halbgruppe ist, stellt sich heraus, daß sie mit eine Diffgl. beschrieben werden kann. Es ist nicht
so, daß diese Gleichung die einzig sinnvolle ist und deshalb alle Trajektorien Halbgruppen sind.
Wenn heute häufig solche Gleichungen untersucht werden, dann liegt das nicht an ihrer physikalischen Unversalität sondern daran, daß sich diese Gleichung besonders einfach behandeln
läßt und es eine ausgearbeitet Theorie dazu gibt. Und die Grundlagen dieser Theorie liegen
gerade in der Halbgruppeneigenschaft.
144
8.4.10
8 ZUSTANDSÄNDERUNGEN
Generatoren von Ketten ⇐⇒ Generatoren von Prozessen
Kette
Prozeß
B
A
Halbgruppe
M(n) = (I + B)n
T(t) = exp(At)
Anfangswert
M(0) = I
T(0) = I
Generator
B = M(1) − M(0)
A = T′ (0)
Gleichung
g(n) − g(n − 1) = Bg(n − 1)
g ′ (t) = Ag(t)
Generator
g(n) = Mg(n − 1)
Gleichung
Reihe
Resolvente
M(n) − M(n − 1) = BM(n − 1)
n
P
M(n) =
Bk
k=0
∞
P
F(x) = (1 − x)
n
k
xn M(n)
T′ (t) = AT′(t)
T(t) =
k=0
S(λ) = λ
n=0
= (1 − x)(I − x − xB)−1
= (I −
∞
P
=
x
B)−1
1−x
k=0
x=
∞
P
R∞
k
Ak tk!
e−λt T(t)dt
0
= λ(λ − A)−1
= (I − λ1 A)−1
xB k
1−x
=
∞
P
k=0
1
1+λ
λ=
A k
λ
1−x
x
F(x) = (1 − x)(I − xM)−1
=I+
∞
P
xn BMn−1
n=1
Randwerte
F(0) = I
S(∞) = I
F(1) = M(∞)
S(0) = T(∞)
Hilbert-
F(x)F(y)(x − y) =
S(λ)S(µ)(µ − λ) =
Identität
= x(1 − y)F(x) − y(1 − x)F(y)
= µS(λ) − λS(µ)
Spektrum
Kreis C−1 (1)
linke Halbebene
W-Dichte
p(n) = (1 − x)xn
p(t) = λe−λt
Moment
∞
P
n=0
n
k
p(n) =
xk
(1−x)k
R∞
0
tk p(t) =
k!
λk