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Micro-­‐ and nanofluidics: From parasites to lab on chip 2.3. Beispiel: Fluss durch eine zylindrische Röhre Blutgefäss • • • • • An der Wand ist die Geschwindigkeit Null („no slip“-­‐Randbedingung). Wir nehmen einen staLonären Zustand an, ∂ v ∂t = 0 Der nichtlineare Term verschwindet, da keine Änderung des Geschwindigkeitsfelds in Fluss-­‐(z)-­‐Richtung auSriT. Die Navier-­‐Stokes-­‐Gleichung beschreibt in dieser SituaLon für jedes € Fluidelement die Balance zwischen der KraS aufgrund des herrschenden Drucks und der KraS aufgrund der viskosen Reibung. Wird in Zylinderkoordinaten ausgedrückt. 1 Micro-­‐ and nanofluidics: From parasites to lab on chip DruckkräSe: δFzp = [ p( z) − p( z + Δz)]2πrΔr = − dp 2πrΔrΔz dz ReibungskräSe: 2 dv r + Δr dv r dv d v ( ) ( ) δF = € η 2π ( r + Δr) Δz − η 2πrΔz = η 2πΔrΔz + η 2 2πrΔrΔz dr dr dr dr v z Mit δ F z p + δ F z v = 0 ergibt sich: € 1 dp 1 dv d 2v 1 d ⎛ dv ⎞ = + = ⎜ r ⎟ η dz r dr dr 2 r dr ⎝ dr ⎠ Durch IntegraLon über z erhält man folgende DifferenLalgleichung € 1 1 d ⎛ dv ⎞ − Δp = ⎜ r ⎟ l € η r dr ⎝ dr ⎠ mit Δp = p(0) − p( l) 2 Micro-­‐ and nanofluidics: From parasites to lab on chip Lösung der DifferenLal-­‐Gleichung durch zweimaliges Integrieren: ⎞ Δp ⎛ r 2 C1 v ( r) = − ⎜ − 2 + C2 ⎟ ηl ⎝ 4 r ⎠ Die IntegraLonskonstante C1 = 0, da die Flussgeschwindigkeit ist finit bei r = 0 und C2 = -­‐d2/16 € aufgrund der „no-­‐slip“-­‐Randbedingung, v(d/2) = 0. ⎞ Δp ⎛ d 2 2 v ( r) = ⎜ − r ⎟ 4ηl ⎝ 4 ⎠ Damit ergibt sich für die miTlere Flussgeschwindigkeit € v= und für die Flussrate: € ∫ d 2 0 v ( r)2πrdr π d2 4 Δpd 2 = 32ηl v πd 2 πΔpd 4 Q= = 4 128ηl Jean Louis Poiseuille 3 Micro-­‐ and nanofluidics: From parasites to lab on chip 3. Laminar oder turbulent? • • • • • Die Reynoldszahl Stokes-­‐Gleichung Typisch erreichbare Reynoldszahlen in der Mikrofluik Laminare Strömung Turbulente Strömung 4 Micro-­‐ and nanofluidics: From parasites to lab on chip 3.1. Die Reynoldszahl • • Der nichtlineare Term der Navier-­‐Stokes-­‐Gleichung kann vernachlässigt werden für Flüsse die von der Viskosität dominiert sind. Viskose KräSe sind grösser als TrägheitskräSe Dimensionslose Reynoldszahl: TrägheitskräSe: € Viskose KräSe: Re = f i ρLU = fv η U ρU 2 f i = ρ ( v⋅ ∇) v ≈ ρU = L L f v = η∇ 2 v ≈ η U ηU = 2 L2 L € Mit Flussgeschwindigkeit U und typischer Länge L. € 5 Micro-­‐ and nanofluidics: From parasites to lab on chip AlternaLve „DefiniLonen“ der Reynoldszahl KineLsche Energie eines Fluidelements der Länge L und der Masse ρL3: KE ≈ ρL3U 2 Die Energie die dissipiert wird, durch die viskose Arbeit die ein Fluidelement leistet, wenn es um die Strecke € L bewegt wird: U W ≈ η × L2 × L L viskoser Stress Fläche bewegte Strecke € Dimensionslose Reynoldszahl: Re = KE ρLU = W η 6 Micro-­‐ and nanofluidics: From parasites to lab on chip AlternaLve „DefiniLonen“ der Reynoldszahl Typische Zeitskala für den diffusiven Transport des Impulses oder die Zeitskala, die es braucht, die kineLsche Energie zu dissipieren: KE KE ρL3U 2 ρL2 τv = = = = 2 Leistung der Reibungskraft FvU ηU L η Typische Zeitskala für konvekLven Transport: € τi = € Dimensionslose Reynoldszahl: L U τ v ρLU Re = = τi η 7 Micro-­‐ and nanofluidics: From parasites to lab on chip 3.2. Stokes-­‐Gleichung • Für Re << 1 und unter Annahme von quasi-­‐staLonären Geschwindigkeitsfeldern vereinfacht sich die Navier-­‐Stokes-­‐Gleichung zur linearen Stokes-­‐Gleichung ∇p = η∇ 2 v • zeitunabhängig • langsame oder schnelle Bewegung gleichwerLg • Vorwärts-­‐ und €Rückwärtsbewegung gleichwerLg 8 Micro-­‐ and nanofluidics: From parasites to lab on chip Stokes-­‐Gesetz • • • • v Das Stokes-­‐Gesetz beschreibt die ReibungskraS, die auf eine Kugel wirkt, wenn sie sich durch ein Fluid mit der Geschwindigkeit v bewegt. Um die auf eine Kugel mit dem Radius R wirkende KraS zu berechnen muss der viskose Stress (∼ηv/R) über die ganzen Oberfläche (4πR2) der Kugel integriert werden. Aus dieser Betrachtung der Dimensionen erhält man für die makroskopische ReibungskraS Fs (mit dimensionsloser Konstanten C): Fs = CηRv Die präzise abgeleitete Gleichung lautet: € Fs = 6πηRv = γv γ -­‐ Reibungskoeffizient 9 Micro-­‐ and nanofluidics: From parasites to lab on chip 3.3. Von der laminaren Strömung zur Turbulenz 10 Micro-­‐ and nanofluidics: From parasites to lab on chip Laminare Strömung youtube CoueTe-­‐Zelle mit Glycerin/Maissirup 11 Micro-­‐ and nanofluidics: From parasites to lab on chip Turbulente Strömung google.ch Übergang von laminarer in turbulente Rohrströmung 12 Micro-­‐ and nanofluidics: From parasites to lab on chip 3.4. Wo befinden wir und in der Mikrofluidik? ... und für Einzeller und Bakterien? Re = € ρLU 0 η • • • • → Re ∼ 10-­‐2 ρ ~ 103kg/m3 η ~ 10-­‐3kg/(ms) U0 ~ 10-­‐3m/s L ~ 10-­‐5m Escherichia coli Purcell 1976 13 Micro-­‐ and nanofluidics: From parasites to lab on chip Zur Trägheit eines Bakteriums: Masse und Stossdämfer in Reihenschaltung • Eine Reihenschaltung der mechanischen Elemente Masse und Stossdämpfer beschreibt die Bewegung eines Bakteriums in einer Flüssigkeit. Fs = −γv Fs + F Stossdämpfer € • • Masse Die NeTokraS, die an der Masse wirkt, sorgt für eine Beschleunigung der Masse, während die ReibungskraS entgegen wirkt: dv bzw. m + γv = F F + Fs = F − γv = ma dt Die Bewegung kann durch folgende Gleichung beschrieben werden, die auch eine darstellt: €Lösung der obigen DifferenLalgleichung € ⎛ t ⎞⎤ F ⎡ m v ( t ) = ⎢1 − exp⎜ − ⎟⎥ mit τ= ⎝ τ ⎠⎦ γ ⎣ γ 14 Micro-­‐ and nanofluidics: From parasites to lab on chip Zur Trägheit eines Bakteriums: „Bremsen und Bremsweg“ ✘ Wie lange läuS ein E. choli nach, nachdem der flagellare Motor gestoppt hat? dv + γv = 0 dt Bewegungsgleichung: m ExponenLeller Abfall von v: ⎛ −t ⎞ v ( t ) = v (0) exp⎜ ⎟ ⎝ τ ⎠ € Nachlaufzeit, „Bremszeit“: € m 4 3 πr 3 ρ 2r 2 ρ τ= ≈ = γ 6πηr 9η 2⋅ 10 −12 m21000kg m3 ≈ ≈ 0,2µs 9⋅ 10 −3 kg (m⋅ s) Nachlaufweg, „Bremsweg“: € x= ∫ ∞ 0 v ( t ) dt = ∫ ∞ 0 ⎛ −t ⎞ v (0) exp⎜ ⎟dt = v (0)τ ⎝ τ ⎠ ≈ 30⋅10 −6 m s⋅ 2⋅ 10 −7 s = 6⋅ 10 −12 m 15 Micro-­‐ and nanofluidics: From parasites to lab on chip „Bremsweg“ in Abhängigkeit von der Grösse des Objekts (∼Kugel) vB = 2rB/t • vP = 2rP/t vK = 2rK/t „Bremsweg“ für kugelförmige Objekte mit einer Anfangsgeschwindigkeit von Kugeldurchmesser pro Sekunde (2r/t). 2r 2r 2 ρ 4r 3 ρ x = v (0)τ ≈ ⋅ = t 9η 9η → x ∝ r3 € 16