Ableitungen - Lernmanufaktur Chemnitz

Abiturkurs
Einheit 1: Ableitungen
Michael Göthel
13. März 2017
1 Bedeutung der Ableitung
Eine Ableitung an einer Stelle ermittelt die Änderung(-srate) der Funktionswerte
⇒ lokale Änderungsrate
Beispiele:
• Weg-Zeit-Diagramm
→ Änderungsrate ist die Geschwindigkeit (... wie sich der Weg zur Zeit ändert)
• Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm
→ Änderungsrate ist die Beschleunigung (... wie sich die Geschwindigkeit zur Zeit ändert)
• Kinderrutsche mittels Funktion modelliert
→ Änderungsrate ist das Gefälle (... wie sich die Höhe zur Länge ändert)
Allgemein: ... wie sich das, was an der y-Achse steht zu dem, was an der x-Achse steht ändert.“
”
Bedeutung der 1. Ableitung an einer Stelle:
f 0 (x0 ) = mt = tan α
• Anstieg der Funktion f (x) an der Stelle x0
• Anstieg der Tangente an der Stelle x0
• Tangens des Anstiegswinkels der Funktion an der Stelle x0
Ableitung einer ganzen Funktion ist wieder eine Funktion ⇒ Ableitungsfunktion. Die Ableitungsfunktion gibt den Anstieg für jeden Punkt der Ausgangsfunktion als Funktionswert zurück.
2 Ableitungsregeln
A) Faktorregel: konstante
Faktoren
√ bleiben erhalten
√
Beispiel: y = 7 · x19 ⇒ y 0 = 7 · 19 · x18
B) Summenregel: jeden Summanden einzeln ableiten
Beispiel: y = x19 + x21 ⇒ y 0 = 19 · x18 + 21 · x20
C) Produktregel: y 0 = u0 · v + u · v 0
Beispiel: y = |{z}
2x · sin
x ⇒ y 0 = |{z}
2 · sin
x + |{z}
2x · cos
|{z}
|{z}
| {zx}
u
v
u0
v
u
v0
D) Quotientenregel: y 0 =
u0 ·v−u·v 0
v2
u
u0
v
u
0
v
z}|{
z}|{ z}|{ z}|{ z }|
{
2x
2
· sin x − 2x · cos x
0
Beispiel: y = sin x ⇒ y =
(sin x)2
|{z}
| {z }
v
v2
E) Kettenregel: äußere Ableitung mal innere Ableitung
innere Fkt.
z }| {
Beispiel: y = e| 2x{z+ 1} ⇒ y 0 =
e|2x+1
·
2
{z }
|{z}
äußere Fkt.
äußere Ableitung innere Ableitung
Hinweis: Die äußere Ableitung wird auf dieselbe Weise gebildet, als wäre die innere Ableitung lediglich
ein x“. Nach dem Ableiten muss dieses aber dann durch die innere Funktion ersetzt werden:
”
y = sin(2x + 1) ⇒ innere Funktion durch x“ ersetzen
”
⇒ y = sin( x“) ⇒ Ableiten ⇒ y 0 = cos( x“)
”
”
⇒ x“ wieder durch innere Funktion ersetzen ⇒ y 0 = cos(2x + 1) (hier nur äußere Ableitung, die
”
innere kommt noch nach E) hinzu!)
3 Spezielle Funktionen
I) Konstante Funktionen: y = f (x) = c =⇒ y 0 = f 0 (x) = 0
II) Potenzfunktionen: y = xn =⇒ y 0 = nxn−1
y = x13 = x−3 =⇒ y 0 = −3x−4 = −3
x4
√
1
1
III) Quadratwurzelfunktionen: y = x = x 2 =⇒ y 0 = 21 x− 2 =
1
√
2 x
IV) Exponentialfunktionen: y = ax =⇒ y 0 = ax · ln a, y = ex =⇒ y 0 = ex
V) Logarithmusfunktionen: y = ln x =⇒ y 0 =
1
x
VI) Winkelfunktionen: y = sin x =⇒ y 0 = cos x =⇒ y 00 = − sin x =⇒ y 000 = − cos x =⇒ y (4) = sin x
Hinweis: Alle speziellen Ableitungen sind auch im Tafelwerk zu finden!
4 Tangenten/Normalen
Tangenten und Normalen sind Geradengleichungen
⇒ y = mx + n
Wir brauchen für die Tangenten-/Normalengleichung
m und n.
Vorgehensweise:
1) Punkt P (x0 ; y0 ) ermitteln
2) Anstieg ermitteln ⇒ mt = f 0 (x0 )
3) für Normalengleichung: mn = − m1t
4) mt /mn , x0 und y0 in y = mx + n einsetzen → n ausrechnen
5) Tangenten- / Normalengleichung notieren.