Aufgaben

23. Internationale Mathematik- und Logikspielemeisterschaft - Halbfinal
BEGINN ALLE KATEGORIEN
CE, CM, C1, C2, L1, L2, GP, HC
1 - DIE ADDITION DES JAHRES - Koeffizient 1
Einige Ziffern der Addition sind
verlorengegangen.
Können Sie sie wiederfinden?
2 - LABYRINTH - Koeffizient 2
Matthias betritt das Labyrinth
durch den Raum links oben. Er
soll es rechts oben verlassen,
nachdem er alle Räume besucht
hat. Er kann dabei gewisse der
22 Gänge benützen, soll aber nie
umkehren
noch
zweimal
denselben Saal betreten.
Zeichnen Sie seine Bahn.
3 - DIE RH MBEN Koeffizient 3
Wie viele ganz gezeichnete
Rhomben
(
)
irgendwelcher Grösse enthält
die Figur?
4 - MATHILDES KALENDER - Koeffizient 4
An jedem Märzmorgen schreibt Mathilde den Tag des
Monats auf, und dann beschreibt sie die Ziffern, aus
denen diese Zahl besteht, auf folgende Weise:
Am 1. schreibt sie 1 -> 11 ("eine 1"); am 2. schreibt sie
2 -> 12 ("eine 2"), am 10. schreibt sie 10 -> 1110
("eine 1 und eine 0"); am 11. schreibt sie 11 -> 21, etc.
An welchem Tag ist die Beschreibung der Zahl
identisch mit der Zahl selbst?
5 - AUFTEILUNG - Koeffizient 5
Zerteilen Sie das Rechteck in 4 Teile der gleichen
Form. Jeder Teil soll jeden
Buchstaben A, B, C, D und
E enthalten.
Bemerkung: Zwei Teile
haben die gleiche Form,
wenn
man
sie
deckungsgleich aufeinander
legen kann, wobei man
eines umdrehen darf.
ENDE KATEGORIE CE
6 - DIE VIER KARTEN - Koeffizient 6
Jede der Karten trägt auf der
einen Seite einen Buchstaben,
auf der anderen Seite eine Zahl.
Matthias behauptet, dass immer
wenn eine Karte eine 1 auf der einen Seite hat, sie auf
der anderen Seite ein A hat. Mathilda hat Zweifel und
möchte die Behauptung verifizieren.
Welche Karten muss sie unbedingt umdrehen, um
sicher zu sein, dass die Aussage ihres Bruders
stimmt?
7 - TOUR AUF WÜRFELN - Koeffizient 7
Mimi der Floh startet bei D und möchte
nach A gelangen. Sie springt von der
Mitte eines Feldes in die Mitte eines
angrenzenden Feldes, darf aber kein
Feld zweimal besuchen. Sie springt auch
nie auf ein Feld, das auf dem Bild nicht
sichtbar ist.
Auf wie viele Arten kann Mimi von D nach A
springen?
Bemerkung: Zwei Felder sind angrenzend, wenn sie
eine gemeinsame Kante haben.
8 - DIE 12 SCHEIBEN - Koeffizient 8
Färben Sie in der Zeichnung neben an so
viele Punkte wie möglich ein, und zwar so,
dass nie vier eingefärbte Punkte ein Quadrat
beliebiger Grösse bilden, dessen Kanten
horizontal und vertikal sind.
ENDE KATEGORIE CM
Probleme 9 bis 18: Achtung! Um ein Problem vollständig zu
lösen, müssen Sie die Anzahl möglicher Lösungen und die
Lösung selbst angeben falls es genau eine gibt, bzw. zwei
Lösungen wenn es mehr als eine gibt. Bei Problemen, die
mehrere Lösungen haben könnten, ist Platz für zwei
Lösungen vorgesehen, selbst dann, wenn es nur eine gibt.
9 - KREUZPRODUKTE Koeffizient 9
Im Diagramm wollen wir die
leeren Scheiben so auffüllen,
dass folgendes erfüllt ist:
- die zehn Zahlen sind alle
verschieden,
und
die
grösste der Zahlen ist 24.
- für jedes kleine Quadrat geben die zwei
"Produkte über das Kreuz" den gleichen
Wert. (Beispiel: 7 x 6 = 14 x 3 = 42.)
Vervollständigen Sie das Diagramm.
10 DIE DREI ZAHLEN - Koeffizient 10
Mathilda notiert sich drei Zahlen mit drei Ziffern und
benutzt dabei alle Ziffern von 1 bis 9. Sie addiert die
drei Zahlen und erhält 1575.
Mathias notiert sich die gleichen drei Zahlen, dann
nimmt er seinen Radiergummi und vertauscht in jeder
Zahl die Zehner- mit der Einerziffer. Darauf addiert er
die drei neuen Zahlen miteinander.
Welches Resultat erhält er?
11 DAS SCHACHTOURNIER - Koeffizient 11
An einem Schachtournier hat jeder Spieler gegen jeden
anderen Spieler eine Partie gespielt und es gab keine
Unentschieden.
Drei Spieler haben genau 4 Partien gewonnen, drei
andere Spieler haben genau 7 Partien verloren und alle
anderen Spieler haben genau 1 Partie verloren.
Wieviele Spieler haben gesamthaft am Tournier
teilgenommen?
ENDE KATEGORIE C1
12 KREISFLÄCHE EINFÄRBEN - Koeffizient 12
Mathilda hat eine Kreisfläche
wie auf dem nebenstehenden
Bild eingefärbt. Die Punkte sind
regelmässig auf dem Kreis
angeordnet.
Wie gross ist die
grau
eingefärbte Fläche, wenn die
Gesamtfläche der Kreisfläche
314 cm2 beträgt?
Falls nötig kann 3.14 für π genommen werden.
13 AUFTEILUNG DER FLÄCHE - Koeffizient 13
Mathias hat mehrere Geraden gezeichnet, welche
jeweils entweder parallel oder senkrecht zu einander
stehen. Die Geraden teilen die Fläche in eine gewisse
Anzahl Rechtecke und eine gewisse Anzahl
unendlicher Flächen (offene Rechtecke). Die Anzahl
der Rechtecke ist genau doppelt so gross wie die
Anzahl der unendlichen Flächen.
Wie viele Geraden hat Mathias gezeichnet?
14 DIE JETONS - Koeffizient 14
Mathilda besitzt 20 Jetons, numeriert von 1 bis 20, und
20 Schachteln. Sie möchte die Jetons so auf gewisse
Schachteln aufteilen, dass gilt:
- Alle verwendeten Schachteln (mindestens zwei)
enthalten die gleiche Anzahl Jetons.
- In jeder verwendeten Schachtel ist die Summe der
Nummern der Jetons identisch.
Wie viele Schachteln benützt Mathilda?
ENDE KATEGORIE C2
15 DER DIAMANT - Koeffizient 15
Der Wert eines Diamantes ist proportional zum
Quadrat seines Volumens. Ein wunderbarer Diamant
im Wert von 11 200 Franken zerbricht in zwei Teile.
Die beiden Teile haben nun zusammen 4 200 Franken
weniger Wert als der ursprüngliche Diamant.
Wie gross ist das Volumen des kleineren Teils im
Verhältnis zum grösseren?
Die Antwort soll ein nicht mehr zu vereinfachender
Bruch sein.
16 DAS GESCHENK - Koeffizient 16
Zum Muttertag erhalten
die Mutter von Mathilda
und
Mathias
ein
Geschenk, welches in
einer Schachtel in Form
eines Quaders eingepackt ist, wobei alle Kantenlängen
ganze Zentimeter-Zahlen sind.
Die Länge der Paketschnur (ohne den Knoten) in
Zentimeter, ist gleich der Hälfte der Fläche des
sichtbaren Geschenkpapiers auf den sechs Seiten des
Pakets, in Quadratzentimeter.
Wie lang sind die Kantenlängen, in aufsteigender
Reihenfolge?
ENDE KATEGORIE L1, GP
17 DREIECK IN WÜRFEL - Koeffizient 17
Man lege ein Dreieck so in einen Würfel mit
Kantenlänge 8 cm, dass gilt:
- Der Punkt A liegt auf einem Eckpunkt des Würfels.
- Die Punkte B und C liegen auf der Oberfläche des
Würfels.
- Der Schwerpunkt des Dreiecks ist identisch mit dem
Schwerpunkt des Würfels.
Wie gross ist die maximale Fläche des Dreiecks
ABC?
Falls nötig verwendet man 1.414 für √2; 1.732 für √3;
2.236 für √5. Das Resultat ist auf die nächste mm2Zahl zu runden.
18 QUER ZUR LÄNGE - Koeffizient 18
Ein Rechteck der Länge 2009 cm und der Breite 2 cm
wird mit 2009 Dominosteinen der Höhe 2 cm und der
Breite 1 cm abgedeckt. Kein Dominostein darf über
das Rechteck hinausragen oder einen anderen Stein
überlagern.
Man betrachte alle möglichen Anordnungen der
Steine; Wie gross ist der Prozentsatz der
Dominosteine, die quer im Rechteck liegen (lange
Seite parallel zur kurzen Seite des Rechtecks)?
Das Resultat ist in % anzugeben und auf den nächsten
Zehntel zu runden. Falls nötig verwendet man 1.414
für √2; 1.732 für √3; 2.236 für √5.
ENDE KATEGORIEN L2, HC
Lösungen und Ranglisten unter http://www.smasv.ethz.ch