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Elementare Zahlentheorie
WS 2009/10
http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/birep/ez/
Aufgabenzettel 1
1. Sei n ∈ N . Zeige: Es gibt keine Primzahl p mit
n! + 2 ≤ p ≤ n! + n
(es gibt demnach beliebig große Lücken zwischen den Primzahlen).
2. Im Buch Schlüssel zur Mathematik von Neunzert und Rosenberger liest
man auf Seite 111:
Oft ist es aber auch so, dass man durch Herumspielen mit Beispielen eine Vermutung findet, der man aber nicht so recht traut. Dann muss man diese Vermutung
beweisen oder durch ein Gegenbeispiel widerlegen. Dazu wieder ein einfaches Beispiel. Man interessiert sich für Primzahlen (Homo ludens!), schreibe sie hin:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, . . .
merkt, dass die Lücken zwischen den Zahlen größer werden. Vielleicht hören die
Primzahlen irgendwann auf, gibt es eine größte Primzahl? Man kann vermuten, dass
es eine größte, letzte Primzahl pN gibt, oder man kann das Gegenteil vermuten. Es
ist leicht zu beweisen, dass es eine solche größte Primzahl nicht geben kann: Sind
nämlich p1 , p2 , . . . , pN alle Primzahlen, dann ist auch p1 ·p2 ·. . .·pN +1 eine Primzahl
(überlegen Sie einmal, warum dies so ist), und diese Zahl ist größer als pN . Problem
- Vermutung - Beweisidee (die Konstruktion von p1 · p2 · . . . · pN + 1 ) - ein typischer
Dreierschritt der mathematischen Arbeit.
Seien p1 < p2 < · · · < pN die ersten N Primzahlen. Geben Sie die ersten
10 Zahlen N an, für die rN = p1 · p2 · . . . · pN + 1 keine Primzahl ist, und notieren Sie die Primfaktorzerlegung dieser Zahlen rN . (Man verwende zum Beispiel
Maple: vorzulegen sind bei solchen Aufgabenstellungen die Befehlszeilen und die
Ergebnisse.)
3. (a) Zeige: Ist n ≥ 2 eine natürliche Zahl, so ist jeder Primteiler p von n! + 1
wie auch von n! − 1 eine Primzahl mit n < p.
(b) Gesucht sind diesmal 10 Werte von n , sodass n!−1 oder n!+1 eine Primzahl
ist (zum Beispiel mit Maple).
4. Sei 1 < m ∈ N . Zeige: die folgenden beiden Aussagen sind äquivalent:
(i) m ist Primzahl.
√
(ii) Ist m′ 6= 1 ein Teiler von m, so ist m′ > m.
Hier das Kleingedruckte:
Pro Woche gibt es (meist am Donnerstag) einen Aufgabenzettel mit vier Aufgaben, die
bis zum folgenden Donnerstag, 8:10 gelöst werden sollen. Bitte ins Postfach des jeweiligen
Tutors werfen.
Am Ende des Semesters wird eine Klausur (2 Termine) geschrieben.
Voraussetzung für die Vergabe von Leistungspunkten:
(1) Die regelmäßige aktive Teilnahme an den Übungsgruppen, die das Lösen von Übungsaufgaben einschließt. (Dabei sollen die wöchentlichen Aufgaben alle bearbeitet werden,
mindestens die Hälfte der Aufgaben sollte richtig gelöst sein).
(2) Als benotete Einzelleistung die Klausur.
Die Lösungen sind auf Blättern im DIN A4-Format in deutlich lesbarer Form
abzugeben (Name und Übungsgruppe nicht vergessen). Die Abgabe der Lösungen kann in
Zweiergruppe erfolgen; dabei wird davon ausgegangen, daß jeder der beiden bereit ist,
die Aufgaben in der Übungsstunde vorzurechnen und zu erläutern.
Präsenz-Aufgaben 1: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
2. Beweis: Zeige: Zu jeder natürlichen Zahl n > 2 gibt es eine Primzahl p mit n <
p < n! .
3. Beweis (Métrod 1917) : Seien p1 , . . . , pt paarweise verschiedene Primzahlen, sei
Pt
t ≥ 2 . Bilde m = p1 · · · pt und u = i=1 pmi . Zeige: u > 1 ist eine ganze Zahl, keine der
Primzahlen p1 , . . . pt teilt u .
4. Beweis (Stieltjes 1890): Seien p1 , . . . , pt paarweise verschiedene Primzahlen mit
t ≥ 1. Sei 0 ≤ s ≤ t . Bilde u = p1 · · · ps + ps+1 · · · pt . Zeige: Keine: u > 1 ist eine ganze
Zahl, keine der Primzahlen p1 , . . . pt teilt u .
(Zusatzfrage: Dies verallgemeinert den Euklid’schen Beweis, warum?)
5. Beweis (Schon 1984): Sei n ≥ 1 . Zeige: die Zahlen 1 + n!d mit 1 ≤ d ≤ n sind
paarweise teilerfremd.
6. Beweis (Hurwitz 1891): Bilde induktiv Zahlen wie folgt: w1 = 2 und wt =
w1 · · · wt−1 + 1 . Zeige: Die Zahlen wi (mit i ∈ N ) sind paarweise teilerfremd.
(Unwichtig, aber doch interessant: Wie lauten die Zahlen w10 und w20 ?)