Quadratische Zahlkörper

Zahlentheorie
Kapitel 14
Quadratische Zahlkörper
Markus Klenke und Fabian Mogge
Universität Paderborn
29. Mai 2008
Inhaltsverzeichnis
14 Quadratische Zahlkörper
(0) Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(A) Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(B) Verzweigungen über quadratischen Zahlkörpern
(14.1) Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(14.2) Verzweigungen im Fall (d ≡ 2, 3 mod 4) . . . .
(14.3) Verzweigungen im Fall (d ≡ 1 mod 4) . . . . .
(C) Einheiten von quadratischen Zahlkörpern . . . .
(14.4) Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(14.5) Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(D) Pellsche Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(14.6) Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(14.7) Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
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. 2
. 2
. 4
. 4
. 5
. 6
. 8
. 8
. 9
. 9
. 9
. 11
. 13
14 Quadratische Zahlkörper
(A) Wiederholung
(B) Verzweigungen über quadratischen Zahlkörpern
(C) Einheiten über quadratischen Zahlkörpern
(D) Pellsche Gleichung
(0)Vorwort:
Kapitel 14 in dem Seminar ZAHLENTHEORIE beschäftigt sich hauptsächlich
mit der Anwendung der allgemeinen Definitionen und bewiesenen Sätze auf den
√
Fall eines quadratischen Zahlkörpers, also K = Q[ d]. Der erste Teil (Paragraph A - C) befasst sich fast ausschließlich mit der Wiederholung einzelner
Elemente vorheriger Vorträge und der detaillierten Bestimmung im Spezialfall
√
K = Q[ d]. Paragraph D stellt die Pellsche Gleichung näher vor, welche ein
einfach zu berechnendes Mittel darstellt um zum Beispiel die Einheitengruppe
√
×
OK
für K = Q[ d] zu bestimmen. Ziel unseres Vortrages ist es, den Zuhörern
Möglichkeiten zu vermitteln, welche es zulassen, ohne große Schwierigkeiten Beschreibungen der quadratischen Zahlkörper anzugeben. So sollte es nach dem
jetzigen Vortrag allen Zuhörern einfacher fallen, die allgemein hergeleiteten Formeln aus dem Seminar an diesen Anwendungsbeispielen zu verstehen und auch
an anderen Fällen anzuwenden.
√
Notation: Sei K = Q[ d] mit d ∈ Z quadratfrei; d 6= 0, 1
(A)Wiederholung:
-
Beschreibung von OK
Wir definierten den Ganzheitsring in Kapitel 7 für allgemeine Fälle wie folgt:
OK := {a ∈ K | a ganz über Z}
√
Da sich unser Vortrag mit einem Spezialfall, genauer K = Q[ d], befasst, erhalten wir
wenn wir die allgemeine Formel im diesem Fall betrachten folgende Formel:
(
OK =
√
{a + b d | a, b ∈ Z}
{a +
√
b (1+2 d)
| a, b ∈ Z}
2
falls d ≡ 2, 3
falls d ≡ 1
mod 4
mod 4
)
√
Die ganzen
Elemente aus dem quadratischen Zahlkörper sind entweder a + b d oder
√
a + b (1+2
d)
gewesen. Über diese spezielle Definition von OK konnten wir ein Element
ϑ mit folgenden Eigenschaften finden:
( √
ϑ :=
d
√
1+ d
2
falls d ≡ 2, 3
falls d ≡ 1
mod 4
)
mod 4
Dann ist {1, ϑ} eine Z-Basis von OK
-
Die Diskriminante
In Kapitel 9 führten wir die Diskriminante ein. Diese diente beispielsweise im Kapitel
13 Verzweigungen von Primzahlen zu erkennen. Wir werden uns auch noch genauer
mit diesem Thema beschäftigen (Paragraph B). Daher wiederholen wir hier noch ein√
mal wie wir die Diskriminante definierten, nämlich im Fall K = Q[ d] in folgender
Darstellung:
(
dK =
-
4d falls d ≡ 2, 3
d
falls d ≡ 1
mod 4
)
mod 4
Das Legendre-Symbol
Das Legendre-Symbol wurde schon in Kapitel 2 betrachtet. Dort diente es als Indikator,
ob eine Zahl d ∈ Z ein quadratischer Rest oder ein quadratischer Nichtrest ist. Auch
in diesem Kapitel benötigen wir das Legendre-Symbol, um diese Aussagen für ein
spezielles d zu erhalten. Sei p ∈ Z Primzahl und sei d ∈ Z quadratf rei. Dann folgt
1.
2.
3.
4.

falls d quadratischer Rest

 1
d
=
0
falls
p|d
p


−1 falls d quadratischer Nichtrest
x
x
=
für x ∈ Z/pZ mit x ≡ x mod p
p p xy
y
= xp
p
p
(
1
falls x ≡ 1, −1 mod 8
2
p =
−1 falls x 6≡ 1, −1 mod 8
3
-
Verzweigungen
Verzweigungen im allgemeinen Fall sind schon im Kapitel 12 angesprochen worden.
Dort wurde gezeigt, dass wir Primzahlen in einer von drei verschiedenen Möglichkeiten darstellen können. Wir haben weiterhin gesehen, dass es eine bis auf Reihenfolge
eindeutige Zerlegung von dem Ideal pOK finden lässt. Diese Eigenschaft wollen wir
nocheinmal wiederholen: Sei p ∈ Z Primzahl. In diesem Fall haben wir gesehen, dass
folgende allgemeine Eigenschaften gelten:
(a) pOK = p1 ν1 p2 ν2 . . . pr νr
(b) ν1 + ν2 + . . . + νr ≤ [K : Q]
Da wir nun wissen, welche Eigenschaften Ideale der Form pOK haben, interessiert uns
√
im Speziellen der Fall K = Q[ d]. Hier vereinfachen sich die oberen Gleichungen stark,
da wir nur eine Körpererweiterung vom Grad 2 haben. Es folgt daher:
√
√
Sei K = Q[ d] ⇒ [K : Q] = [Q[ d] : Q] = 2


 ν1 = 1, ν2 = 0
⇒
ν1 = ν2 = 1


ν1 = 2, ν2 = 0
falls pOK = p
falls pOK = p1 p2
falls pOK = p2
(B) Verzweigungen über quadratischen Zahlkörpern
(14.1)Erinnerung:
Wie schon anfangs erwähnt, versucht dieser Vortrag die allgemein schon gewonnenen Eigenschaften von Ringen auf quadratische Zahlkörper noch genauer unter die Lupe zu nehmen.
Beginnen wollen wir mit Verzweigungen auf quadratischen Zahlkörpern.
√
Sei wie in der Notation zu Beginn K = Q[ d], p ∈ Z Primzahl.
Wir betrachten zuerst das Minimalpolynom µ, welches mit dem in der Wiederholung eingeführten Element ϑ eine Nullstelle besitzt. Dieses wird uns wichtige Informationen für die
Primzahl p liefern. Definiere also µ wiefolgt:
µ := µϑ,Q ∈ Z[X], µ sei das Bild von µ in Fp [X]
Über dieses Minimalpolynom können wir nun wie auch schon in Kapitel 12 überprüfen, ob
die Primzahl p träge, zerlegt oder verzweigt ist. Es ergeben sich folgende 3 Äquivalenzen:
p ist träge in OK
⇔
µ irred
p ist zerlegt in OK
⇔
µ = µ1 ∗ µ2 ; deg(µi ) = 1; µ1 teilerfremd zu µ2
⇔
µ = (x − α) ∗ (x − β); α, β ∈ Fp ; α 6= β
⇔
µ = (x − α)2 ; α ∈ Fp
p ist verzweigt in OK
4
Dadurch, dass das Element ϑ zwei verschiedene Werte annimmt, nämlich entweder ϑ =
√
√
d falls d ≡ 2, 3 mod 4 oder ϑ = 1+2 d falls d ≡ 1 mod 4, folgert man schnell, dass auch
für µ bzw. µ zwei Fälle betrachtet werden müssen. Diese Fallunterscheidung folgt nun in
Abschnitt (14.2) und (14.3).
(14.2)Verzweigungen im Fall (d ≡ 2, 3 mod 4)
Behandeln wir zunächst den einfacheren Fall d ≡ 2, 3 mod 4. Wir wissen aus der allgemeinen Definition für Minimalpolynome, dass für ein solches µ gelten muss, dass µϑ,Q (ϑ) = 0.
Weiterhin muss gelten, dass µϑ,Q normiert wie auch irreduzibel über Q ist. Durch eine einfache Berechnung sieht man schnell, dass für das Minimalpolynom gilt: µ = X 2 − d
Fasse nun µ auf als Minimalpolynom mit Koeffizienten in p: µ = X 2 − d ∈ Fp [X]
Führen wir nun die gleiche Herangehensweise wie im allgemeinen Fall aus, so erhalten wir
eine einfache Äquivalenz, über die wir die Eigenschaften von p sehr leicht berechnen können.
Sei nun also p ∈ Z P rimzahl. Dann gilt:
p träge
⇔
⇔
µ = X 2 − d ∈ Fp [X]
hat
keine Nullstelle
ggT (p, d) = 1 und
d
p
= −1
( ⇔ p und d sind teilerfremd, d keine Quadratzahl in Fp )
p zerlegt
⇔
⇔
µ = X 2 − d ∈ Fp [X] hat zwei
verschiedene Nullstellen
ggT (p, d) = 1, p 6= 2 und dp = 1
( ⇔ p 6= 2, da µ ∈ F2 [X] mit µ = X 2 + 1 = (X + 1)2 )
p verzweigt ⇔
p|d oder p = 2
⇔
p|4 ∗ d ↔ p|dK
Um das Gezeigte noch etwas deutlicher zu machen, schauen wir uns ein einfaches Beispiel
an, bei dem die Eigenschaften direkt nachgewiesen werden können:
Beispiel: Seien für das Beispiel die Zahlen d = 102 und die Primzahl p = 7 gegeben.
Durch genaues Hinsehen kann man sofort erkennen, das die beiden Zahlen teilerfremd sind.
Hieraus können wir nach Gesehenem sofort aussagen, dass p = 7 nicht verzweigt sein kann.
Es folgt also: p träge oder p zerlegt.
Um dies zu überprüfen betrachten wir das Legendre
Symbol der beiden Zahlen: dp . Nun berechnen wir wie gewohnt das Legendre-Symbol:
102
7
(i)
=
2
4 (ii) 2
=
=1
7
7
über diese Berechnung wissen wir nun, dass p nicht träge ist und aus der gleichen Rechnung
sehen wir ebenfalls:
⇒ p = 7 ist zerlegt
5
Bemerkungen:
(i) Reduktion der Zahl 102 modulo 7.
(ii) Multiplikativität des Legendre-Symbols: 4 = 2 ∗ 2 = 22 .
(14.3)Verzweigungen im Fall (d ≡ 1 mod 4)
Nach dem recht simplen Fall d ≡ 2, 3 mod 4 betrachten wir nun den etwas komplizierteren
Fall d ≡ 1 mod 4. Durch eine einfache Rechnung gilt fr das Minimalpolynom µ = X 2 − X −
d−1
4 .
Wie im Vorherigen wollen wir auch erst das Polynom µ bestimmen. Dieses wird durch
die Gestalt von ϑ etwas komplizierter, lässt sich allerdings auch durch kleinere Rechnungen
einfach erzeugen und hat folgende Form:
d≡1
mod 4 ⇔ µ = X 2 − X −
Zur Vereinfachung der Schreibweise definieren wir δ :=
d−1
∈ Fp
4
d−1
4
∈ Z. Dies ist wieder eine ganze
Zahl, da d ≡ 1 mod 4.
Durch die Gestalt des Minimalpolynoms µ müssen wir weiterhin den Spezialfall p = 2 separat
betrachten.
Fall p = 2 :
Ist die Primzahl p = 2, so erhalten wir folgendes Minimalpolynom:
µ = X 2 − X − δ ∈ F2 [X]
Wegen δ = 0 oder δ = 1 müssen wir noch einmal eine Fallunterscheidung, für je einen
der Werte die δ annehmen kann, betrachten:
δ = 0 ⇔ d − 1 ist durch 8 teilbar.
(a)
( d∗1
4 ≡ 0 mod 2 ⇔ d − 1 ≡ 0 mod 8)
⇔ µ = (X + 1)X ∈ F2 [X]
⇔ p = 2 ist zerlegt.
δ = 1 ⇔ d − 1 ist nicht durch 8 teilbar.
(b)
⇔ µ = X 2 + X + 1 ∈ F2 [X] ist irreduzibel.
⇔ p = 2 ist träge.
Bemerkung: Da wir alle Fälle für p = 2 betrachtet haben können wir folgern:
p = 2 ist nie verzweigt.
6
Nachdem der Spezialfall p = 2 abgehandelt wurde, wollen wir uns nun den anderen
Primzahlen p 6= 2 widmen.
Fall p 6= 2 :
Hier besitzt das Polynom µ die Form wie sie im Vorhergegangenen schon einmal definiert wurde, und zwar
µ = X 2 − x − δ ∈ Fp [X]
Um dieses Polynom besser angehen zu können, verwenden wir eine Substitution, welche, wie wir später sehen werden, vieles vereinfacht, da das neue Polynom sehr stark
dem aus Fall d ≡ 2, 3 mod 4 ähnelt.
1
2
Substituiere: Y := X −
Durch diese Substitution erhalten wir ein weiteres Polynom µp ∈ Fp [Y ]:
µp := Y 2 −
d
∈ Fp [Y ]
4
Wie schon im Fall d ≡ 2, 3 mod 4 erhalten wir nun drei Arten von p:
ist irreduzibel
über Fp [Y ]
d
⇔ ggT (p, d) = 1 und p = −1
p träge
⇔ µp = Y 2 −
d
4
p zerlegt
⇔ µp = Y 2 −
d
4
∈Fp[Y ] hat zwei verschiedene Nullstellen
d
p
⇔ ggT (p, d) = 1,
=1
p verzweigt ⇔ p| d4
⇔ p|d ⇔ p|dk
Beispiel: Seien für das Beispiel wieder zwei Zahlen d = 101, p = 149 gegeben.
Auch in diesem fall gilt wieder dass die Zahlen teilerfremd sind, was den Schluss zulässt,
dass p nicht verzweigt ist. Daher müssen wir uns nur der Frage widmen ob p zerlegt
oder p träge ist.
Dazu betrachten wir wieder das Legendre-Symbol
d
p
, welches uns Aufschluss darüber
gibt, in welchem Zustand die Zahl 149 vorliegt. Berechne wie folgt:
101
149
(i)
=
149
101
(ii)
=
48
101
(iii)
=
2
101
4 3
101 (ii) 2 (iv)
(i)
∗
=
=
= −1
101
3
3
Nach der Definition wissen wir daher, dass p = 149 träge ist.
7
Bemerkungen: Seien p, q ∈ Z Primzahlen 6= 2 , x, y ∈ Z
(i) Quadratisches Reziprozitätsgesetz: Sei
  q
falls p, q ≡ 1 mod 4
p
p
=
q

q
−1 ∗ p
falls p, q ≡ 3 mod 4
, wobei x ∈ Z/yZ
(iii) Multiplikativität des Legendre-Symbols: xy
= xz ∗ yz .
z
(
1
falls x ≡ 1, −1 mod 8
(iv) x2 =
−1 falls x 6≡ 1, −1 mod 8
(ii) Reduktion von
x
y
mit x mod y zu
x
y
Durch die beiden Fälle sind die Verzweigungen über quadratischen Zahlkörpern vollständig
erfasst worden und mit dieser Methode können alle Primzahlen auf diese Eigenschaften
überprüft werden.
(C) Einheiten von quadratischen Zahlkörpern
Nach den Verzweigungen beschäftigt sich Paragraph C mit Einheiten von quadratischen
Zahlkörpern. Es ist über mehrere Verfahren möglich diese zu bestimmen. Wir wollen eine
kurze Einsicht über die Methode mit Hilfe des Dirichletschen Einheitensatzes und desweiteren eine genaue Bestimmung unter der Benutzung der Pellschen Gleichung vornehmen
um dann später eine einfache Berechnung der Einheiten eines bestimmten quadratischen
Zahlkörpers möglich zu machen.
(14.4) Erinnerung:
Wie schon im Einleitungssatz zu Paragraph C erwähnt, wollen wir zuerst mit Hilfe des
Dirichletschen Einheitssatzes die Einheiten von quadratischen Zahlkörpern bestimmen. Dies
wurde schon in Kapitel 11 für allgemeine Zahlkörper getan, daher werden wir die Schritte hier
noch einmal wiederholen, um diese Methode bei quadratischen Zahlkörpern anzuwenden.
Zunächst hatten wir reelle sowie komplexe Einbettungen definiert, welche eine wichtige Rolle
im Dirichletschen Einheitensatz spielen.
(reelle Einbettungen)
r := #{τ ∈ HomQ (K, C)|τ (K) ⊂ R}
(komplexe Einbettungen)
s :=
1
#{τ ∈ HomQ (K, C)|τ (K) 6⊂ R}
2
Mit Hilfe dieser Einbettungen konnten wir über den Dirichletschen Einheitensatz eine Be×
schreibung für die Einheitengruppe OK
finden. Der dirichletscher Einheitensatz sagt aus:
× ∼
OK
= Zr+s−1 × µ(K)
(Wobei µ(K) := {z ∈ K|∃n ≥ 1 : z n = 1})
8
√
Betrachten wir den Dirichletschen Einheitensatz nun im Fall K = Q[ d], so erhalten wir eine
vereinfachte Version des allgemeinen Satzes, in dem wir außerdem eine Fallunterscheidung
betrachten müssen, denn beim Ziehen der Wurzel von d erhalten wir entweder 2 reelle oder
2 komplexe Einbettungen. Daher gibt es folgende zwei Fälle:
(1)
d<0
(2)
d>0
× ∼
⇒ r = 0, s = 1 ⇒ OK
= Z0+1−1 × µ(K) = µ(K)
⇒ r = 2, s = 0 ⇒ O× ∼
= Z2+0−1 × µ(K)
K
In diesem Fall: µ(K) = {±1}, da K ⊂ R)
Für unseren Vortrag ist allerdings nur Fall (2) wichtig, da wir uns mit Zahlen d > 1 befassen
und die Pellsche Gleichung nur für solche definiert ist.
(14.5)Definition:
Sei d > 0.
×
×
Ein ε ∈ OK
von der Form
heißt Fundamentaleinheit oder Grundeinheit, wenn jedes a ∈ OK
a = ±εn für ein n ∈ Z ist.
Beispiel: Sei d = 5. Dann ist 21 (1 +
√
5) eine Fundamentaleinheit (siehe 14.7).
(D) Pellsche Gleichung
Durch Lösen der Pellschen Gleichung für spezielle d ist es möglich, die Einheiten des Ganz√
heitsrings von Q[ d] zu finden.
(14.6)Satz:
Sei d > 1 quadratfrei.
Die Pellsche Gleichung
X 2 − dY 2 = 1
hat unendlich viele Lösungen (x, y) ∈ Z2 .
Es gibt eine Lösung (x1 , y1 ), so dass alle anderen Lösungen von der Form (xn , yn )
√
√
mit xn + yn d = ±(x1 + y1 d)n sind, wobei n ∈ Z.
Genauer gilt:
√
×
Sei ε ∈ OK
Fundamentaleinheit und sei a = min{m > 0 | N (ε)m = 1, εm ∈ Z[ d]}.
Dann gilt:
√
x1 + y1 d = εa
9
Beweis:
√
√
(x, y) ist Lösung der Pellschen Gleichung ⇔ x+y d ∈ Q[ d] ist ein Element der Norm 1.
Sei ε eine Fundamentaleinheit.
Fall d 6≡ 1 mod 4 :
Gilt N (ε) = 1, so sind alle Einheiten Lösungen.
Gilt N (ε) = −1, so sind die Einheiten von der Form (ε2 )n Lösungen.
Bemerkung:
√
√
x + y d ist ganz ⇒ Lösungen sind die Einheiten, die Norm 1 haben und in Z[ d] ⊂ OK
liegen.
Fall d ≡ 1 mod 4 :
n
√ o
Setze I := m ∈ Z | N (±ε)m = 1, ±εm ∈ Z[ d] Ideal in Z.
(Hier zeige man, dass I ein Ideal ist.)
Zu zeigen: I ist nicht das Nullideal.
√
Es genügt zu zeigen: ∃b > 0 : εb ∈ Z[ d].
Falls N (ε)b = −1 und somit b 6∈ I betrachten wir 2b, denn dann gilt: 2b ∈ I.
Daher reicht es ein solches b zu finden.
Betrachte:
ε
√
1+ d
= a+b
2
b
b√
= (a + ) +
d
2
2
√
1 0
=
(a + b0 d)
2
b
mit a0 = 2(a + ), b0 = b, a0 − b0 ≡ 0 mod 2
2
Sei n > 0.
(∗) 1
2 (an
εn =
N (ε) = ±1
√
+ bn d) ,
⇒
an , bn ∈ Z, an ≡ bn mod 2.
√
ε−n = ± 21 (an − bn d)
10
(∗)
Da es nur endliche viele Möglichkeiten für die Restklassen von ai und bi modulo 4 gibt,
findet man r 6= s mit ar ≡ as , br ≡ bs mod 4.
Ohne Einschränkung: r > s.
Dann gilt:
√
√
1
= ± (ar + br d)(as − bs d)
4
√
1
= ± (ar as − br bs d + (as br − ar bs ) d)
4
√
√
± 14 (ar as − br bs d + (as br − ar bs ) d) ∈ Z[ d] .
εr−s
Behauptung:
Begründung:
Nach Voraussetzung gilt:
an ≡ bn mod 2
Betrachte:
Dann ist
ar ≡ as , br ≡ bs mod 4 ,
⇒
r 6= s (∗)
an = bn + 2k
a2n = (bn + 2k)2 = b2n +
4k
+ |{z}
4k 2
|{z}
≡ 0 mod 4
≡ 0 mod 4
⇒
a2n − b2n ≡ 0 mod 4
(∗∗)
Es gilt:
(∗)
(∗∗)
ar as − br bs ≡ a2s − b2s ≡ 0
(mod 4)
Zudem gilt:
(∗)
as br − ar bs ≡ as bs − as bs ≡ 0
Es folgt also:
(mod 4)
√
1
± (ar as − br bs d + (as br − ar bs ) d) ≡ 0 mod 4
{z
}
{z
}
|
|
4
≡ 0 mod 4
≡ 0 mod 4
Hierraus folgt die Behauptung.
Es gilt also I 6= {0} und I = aZ für ein a > 0.
√
Ist nun εa = x1 + y1 d, so sind alle anderen Lösungen von der Form (xn , yn ) mit
√
√
xn + yn d = (x1 + y1 d)n .
q.e.d.
(14.7)Beispiel:
Sei d = 5.
√
Da d ≡ 1 mod 4 ist in diesem Fall ε von der Form 12 (a + b 5). Desweiteren gilt a ≡ b mod 2.
ε > 0 ist für minimale a, b in diesem Fall nur für a = b = 1 gewährleistet.
Daher gilt:
ε=
√
1
(1 + 5)
2
11
ε ist eine Fundamentaleinheit.
√
Nun gilt es ein n ∈ N zu finden, so dass εn ∈ Z[ 5].
N (ε) = −1 ⇒ n ist gerade.
√
5
√
6∈ Z[ 5]
5
√
6∈ Z[ 5]
√
9+4 5
√
∈ Z[ 5]
ε2
=
3
2
+
1
2
ε4
=
7
2
+
3
2
ε6
=
√
Also gilt für die ganzzahlige Lösung (x1 , y1 ) der Pellschen Gleichung für d = 5:
x1 = 9,
12
y1 = 4
Literaturverzeichnis:
A.Schmidt: Einführung in die Algebraische Zahlentheorie,
Springer Verlag 2007
13