technische universit ¨at m ¨unchen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
P ROF. D R .D R . J ÜRGEN R ICHTER -G EBERT, D R . H ERMANN VOGEL , P ETER L EBMEIR
Lineare Algebra und analytische Geometrie 2 (SS 2006)
— Aufgabenblatt 6 (08. Juni 2006) —
— Präsenzaufgaben —


a c b
P 41. Bestimmen Sie alle Drehmatrizen des R3×3 der Form  b a c .
c b a
a + ib −c + id
P 42. Gegeben sei die unitäre Matrix A =
∈ SU2 mit a, b, c, d ∈ R.
c + id a − ib
1. Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von A und zeigen Sie, dass für |a| =
6 1 die Eigenvektoren
aufeinander senkrecht stehen.
2. Diskutieren Sie die Abhängigkeit dieser Eigenwerte und Eigenvektoren von den Parametern a, b, c, d und zeigen
Sie einen Zusammenhang der Matrix A mit einer Drehung im R3 auf.
P 43. Zeigen Sie: Die Menge der spurfreien hermiteschen Matrizen A ∈ C2×2 ist isomorph zum Vektorraum R3 .
— Hausaufgaben —

7 4 −4
H 44. Gegeben sei die Matrix S = 91  4 1 8 .
−4 8 1

1. Zeigen Sie: S ist eine Spiegelungsmatrix
2. Bestimmen Sie die Spiegelebene a.
3. Bestimmen Sie eine Transformation x 7→ T x (T ∈ R3×3 ) so, dass T −1 DT eine Spiegelung an der Ebene x = 0
darstellt.
H 45. In Ĉ = C ∪ {∞} sei die gebrochen rationale Abbildung
fA : Ĉ → Ĉ
mit unitärer Matrix A =
r s
−s r
mit
ω 7→ fA (ω) =
rω + s
−sω + r
∈ SU2 (r, s ∈ C) gegeben.
1. Zeigen Sie: fA : Ĉ → Ĉ ist bijektiv.
2. Zeigen Sie: M = {fA | A ∈ SU2 } bildet mit der Abbildungskomposition eine Gruppe.
3. Ist M isomorph zur SU2 ?
H 46.
1. Welche Matrizen A = (aij )1≤i,j≤n ∈ Rn×n mit aij ∈ {0, 1} (∀i, j) liegen in On ?
2. Zeigen Sie: M = {A = (aij )1≤i,j≤n ∈ On | aij ∈ {0, 1}, ∀i, j} bildet mit der Matrixmultiplikation · eine
Gruppe.
3. Zu welcher (aus der linearen Algebra 1 Vorlesung bekannten) Gruppe ist (M, ·) isomorph?
 
 
a
t
b
u

 
H 47. Seien P = 
 c  und Q =  v  Koordinatenvektoren in der Quaternionenbasis {1, I, J, K}.
d
w
 
p
q 

1. Bestimmen Sie den Koordinatenvektor R = 
r  = P · Q für das Produkt der Koordinatenvektoren P und Q
s
in der Quaternionenbasis.
     
* b   u +
q
b
u









c , v
2. Zeigen Sie: Für a = t = 0 ist p = −
und r = c × v .
d
w
s
d
w
3. Was ergeben
P Q+QP
2
und
P Q−QP
2
allgemein und speziell bei a = t = 0?
Abgabetermin ist der 14.06.2006 bis 18 Uhr im Briefkasten.