Atome in ultrastarken Laserpulsen

Diplomarbeit
Atome in ultrastarken Laserpulsen:
Simulation der Erzeugung hoher Harmonischer
von
Steffen Erhard
vorgelegt bei
Prof. Dr. E.K.U. Gross
am
Physikalischen Institut der
Bayerischen Julius–Maximilians–Universität
Würzburg
März 1996
Ein Traum, ein Traum
ist unser Leben auf Erden hier.
Wie Schatten auf den Wogen
schweben und schwinden wir,
und messen unsre trägen Tritte
nach Raum und Zeit;
und sind (und wissen’s nicht)
in Mitte der Ewigkeit.
Johann Gottfried Herder
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
3
2 Zeitabhängige Spindichtefunktionaltheorie
11
2.1
Das Runge–Gross–Theorem für spinpolarisierte Systeme . . . . . . . . . . . 11
2.2
Das zeitabhängige Kohn–Sham–Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Beschreibung von Atomen in starken Laserpulsen
18
3.1
Das externe Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2
Die numerische Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3
Die Bestimmung der Ionisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4
Die Bestimmung der Photoemissionsspektren . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5
3.6
3.4.1
Die Längenform des Dipolmoments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.2
Die Beschleunigungsform des Dipolmoments . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4.3
Das Ehrenfest–Theorem für Vielteilchensysteme
3.4.4
Eine exakte Eigenschaft des Austausch–Korrelations–Potentials . . . 27
. . . . . . . . . . . 25
Allgemeine Aspekte der Harmonic Generation“ . . . . . . . . . . . . . . . 28
”
Die Symmetrie der Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Ein semiklassisches Modell
39
4.1
Ein–Farben–Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2
Zwei–Farben–Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.1
Grundfrequenz und zweite Harmonische . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.2
Grundfrequenz und dritte Harmonische . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5 Ergebnisse und Diskussion
5.1
48
Wasserstoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.1.1
Ionisationsraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.2
Harmonische Spektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.1.3
Zwei–Farben–Pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.1.4
Resonanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1
2
Inhaltsverzeichnis
5.2
Helium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2.1 Ein–Farben–Pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2.2 Zwei–Farben–Pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6 Zusammenfassung
75
Literaturverzeichnis
78
Kapitel 1
Einleitung
Die Untersuchung des Verhaltens von Atomen in starken Laserpulsen ist ein sehr junges
Forschungsgebiet, das erst durch die rasante Entwicklung der zur Verfügung stehenden
Laserquellen ermöglicht worden ist. Die Abbildung 1.1, die der Referenz [1] entnommen
wurde, zeigt das Anwachsen der erreichbaren Intensitäten im Laserfokus innerhalb der
letzten 35 Jahre, das stets durch die Einführung neuer Techniken eingeleitet wurde. Diese
Entwicklung erstreckt sich über einen Intensitätsbereich von fast 12 Größenordnungen.
Heutzutage sind Spitzenintensitäten von 1019 W/cm2 realisierbar. Wir werden in dieser
Arbeit einen Laserpuls als stark bezeichnen, wenn seine Feldstärke mit den in Atomen
auftretenden Feldstärken vergleichbar ist. Dies ist bei Intensitäten von 1013 bis 1016 W/cm2
der Fall. Laserpulse mit noch höheren Intensitäten werden in der Literatur superstark oder
ultrastark genannt. Die Wellenlängen dieser Laser erstrecken sich dabei vom infraroten bis
in den ultravioletten Bereich. Für die entsprechenden Pulsdauern findet man Werte von
mehreren hundert Pikosekunden bis hinab zu einigen zehn Femtosekunden.
Der Beschuß von Gasströmen aus Edelgasatomen mit derartigen, hochintensiven Laserpulsen führte auf eine Reihe neuer Phänomene:
1. Multiphoton Ionization
2. Above Threshold Ionization
3. Harmonic Generation
Sowohl deren experimentelle als auch theoretische Untersuchung ist in den letzten Jahren
zu einem ständig wachsenden Forschungsgebiet geworden. Einen aktuellen Überblick kann
man sich mit Hilfe der Textbücher [2, 3, 4] und der Review–Artikel [5, 6, 7] verschaffen.
Wir werden im folgenden die Grundzüge dieser Phänomene vorstellen:
1. Multiphoton Ionization (MPI)
Starke und ultrastarke Laserpulse vermögen ein Atom zu ionisieren, selbst wenn die Photonenenergie weit unterhalb des Ionisationspotentials des Atoms liegt [8, 9, 10, 11]. Die
3
Kapitel 1. Einleitung
Intensität im Laserfokus (W/cm2 )
4
1021
Chirped-pulse
amplification
1018
1015
Mode locking
Free
running
1012
Q-switching
109
1960
1965
1970
1975
1980
1985
1990
1995
Jahr
Abbildung 1.1: Entwicklung der im Laserfokus erreichbaren Intensitäten innerhalb der
letzten 35 Jahre nach Ref. [1].
Ionisation ist dabei auch nicht auf das am schwächsten gebundene Elektron beschränkt.
Vielmehr können mit derartigen Pulsen alle Elektronen aus dem Atom entfernt werden.
Die Auftragung der gemessenen Ionenausbeuten über der Intensität des Lasers bezeichnet
man als MPI–Spektrum.
Abbildung 1.2 zeigt ein solches Spektrum von Helium für einen frequenzverdoppelten
Nd:YAG–Laser mit einer Wellenlänge von λ = 532 nm und einer Pulsdauer von 40 ps [5].
Die Energie der Laserphotonen beträgt in diesem Fall 2,33 eV und liegt damit deutlich
unterhalb der Ionisationspotentiale von Helium bei 24,6 eV und 54,3 eV. Nimmt man an,
daß sich die Multiphotonenionisation in niedrigster Ordnung Störungstheorie behandeln
läßt, so kann man für die Ionisationsraten RN ansetzen:
RN = σN I N
(1.1)
mit der Anzahl N der am Prozeß beteiligten Photonen und einem verallgemeinerten Wirkungsquerschnitt σN . Aus der doppellogarithmischen Auftragung in Abbildung 1.2 erhält
man für die He+ –Produktion einen Wert von N = 11 und für die He2+ –Produktion einen
Wert von N = 24. Diese Zahlen entsprechen den für die Überwindung der jeweiligen Ionisationsschwellen benötigten Mindestenergien. Die Abweichung der He+ –Kurve von einer
Geraden bei einer Sättigungsintensität von etwa 2 · 1013 W/cm2 beruht auf einem Aussterben der neutralen Heliumatome im Bereich des Laserfokus. Danach setzt dann bereits die
5
Abbildung 1.2: (a) Variation der gemessenen He+ – und He2+ –Ionen mit der Laserintensität
bei einer Wellenlänge von 532 nm und einer Pulsdauer von 40 ps. (b) Schematische Darstellung einer 11–Photonen–Ionisation von He mit anschließender 24–Photonen–Ionisation
von He+ –Ionen.
Erzeugung von doppeltionisierten Heliumionen ein. Das Entfernen der Elektronen erfolgt
hierbei sequentiell [12].
In neueren Experimenten zur Multiphotonenionisation von Helium mit ultrastarken
Laserpulsen findet man aber für Intensitäten größer als 1 · 1015 W/cm2 ein Zusammenbrechen der Störungstheorie [13, 14, 15, 16]. In diesem Intensitätsbereich tritt auch eine
direkte doppelte Ionisation auf, bei der die beiden Elektronen des Heliumatoms quasi
gleichzeitig entfernt werden. Der hierfür verantwortliche Mechanismus ist allerdings noch
umstritten [16].
Für noch höhere Intensitäten und sehr große Frequenzen sagt die Theorie erstaunlicherweise eine Stabilisierung der Atome gegen die Ionisation vorher: Die berechneten
Ionisationsraten durchlaufen mit steigender Laserintensität ein Maximum und fallen danach wieder ab [17, 18, 19, 20]. Experimentelle Bestätigungen für diese Vorhersage wurden
bisher allerdings nur für Rydberg–Zustände gefunden [21, 22].
6
Kapitel 1. Einleitung
2. Above Threshold Ionization (ATI)
Mißt man nicht die erzeugten Ionen sondern das Energiespektrum der freigesetzten Elektronen, so kann man die sogenannte Above Threshold Ionization“ beobachten [23, 24].
”
Während man aufgrund der Erfahrungen aus dem schwachintensiven Bereich nur einen
einzigen Photopeak bei der Energie N h̄ω − I0 für ein Atom mit der ersten Ionisierungsenergie I0 erwarten würde, findet man in diesen Experimenten eine äquidistante Abfolge
von Peaks an den Stellen (N + S)h̄ω − I0 mit ganzzahligem S. Diese Energien können
durch die Absorption von weiteren S Photonen zusätzlich zu den N Photonen, die für
die Überwindung der Ionisationsschwelle benötigt werden, erklärt werden. Entgegen den
Vorhersagen der Störungstheorie nehmen die zusätzlichen Peaks nur leicht mit wachsender
Ordnung S ab. In einem Intensitätsbereich von 1012 W/cm2 bis 1014 W/cm2 findet man
sogar eine Unterdrückung der nullten Ordnung bei steigender Laserintensität [25] (siehe
Abbildung 1.3). Eine störungstheoretische Beschreibung dieser Phänomene ist damit offensichtlich zum Scheitern verurteilt.
3. Harmonic Generation (HG)
Atome in starken Laserpulsen emittieren Strahlung, die von den ungeraden Harmonischen
des treibenden Feldes dominiert wird. Diese von McPherson und seinen Mitarbeitern gemachte Entdeckung [26] nennt man Harmonic Generation“. Die Quelle dieser Strahlung
”
ist das induzierte, zeitabhängige Dipolmoment der Atome. Diese Antwort des Systems auf
die äußere Störung durch das Laserfeld ist für hohe Intensitäten stark nichtlinear. Wegen der Inversionssymmetrie der Atome sind allerdings nur ungerade Harmonische erlaubt
[27]. Die beobachteten Ordnungen und relativen Intensitäten der Harmonischen sind dabei nicht mehr im Rahmen einer Störungstheorie erklärbar [28, 29, 30, 31, 32, 33, 34].
Experimentelle Spektren für die Edelgasatome Helium, Neon, Argon, Krypton und Xenon [32] sind in der Abbildung 1.4 dargestellt. Zur Anregung wurde ein Farbstofflaser
mit einer Wellenlänge von 616 nm und Intensitäten zwischen 1,4 und 2 · 1014 W/cm2
benutzt. Die gemessene Pulsdauer betrug 800 fs. Unabhängig von der Atomsorte findet
man in den Spektren der Abbildung 1.4 ein rasches Abfallen der Intensität bei den ersten
Harmonischen. Die anschließenden Harmonischen bilden ein Plateau, in dem die Intensität innerhalb einer Größenordnung konstant bleibt. Danach nehmen die Harmonischen
plötzlich ab. Die individuelle Lage und Ausdehnung der Plateaus für die einzelnen Gase
kann qualitativ mit Hilfe der Ionisationspotentiale und Polarisierbarkeiten der jeweiligen
Atome verstanden werden [35, 36]. Die höchste Harmonische, die in diesem Experiment
gemessen wurde, ist die 41. Harmonische von Helium. Dies entspricht einer Wellenlänge
von nur 15 nm. In einer neueren Messung an Helium wurde sogar die 135. Harmonische
von 1053 nm (die zugehörige Wellenlänge beträgt 7,8 nm) nachgewiesen [37]. Die bisher
7
Abbildung 1.3: Energiespektrum der erzeugten Photoelektronen für einen Nd:YAG–Laser
mit einer Wellenlänge von 1064 nm. Die Laserpulsenergien betragen (von unten nach oben)
10, 17, 22 und 32 mJ. Dies entspricht Intensitäten von 1013 − 3 · 1013 W/cm2 .
kürzeste, auf diese Weise erzeugte Wellenlänge liegt bei 6,7 nm, die als 37. Harmonische
von 248,6 nm entdeckt wurde [38].
Einer der Hauptgründe für das große Interesse vieler experimenteller und theoretischer
Arbeitsgruppen an der Erzeugung von hohen Harmonischen ist ihre mögliche Anwendung
als kohärente Strahlungsquelle bis in den weichen Röntgenbereich hinein. Die dabei erreichten Pulsdauern liegen dann sogar noch unterhalb deren der anregenden Laserpulse. Die
Ermittlung der optimalen Bedingungen für die Erzeugung hoher Harmonischer ist daher
ein primäres Ziel der Forschung auf diesem Gebiet geworden. Aufgrund ihrer einzigartigen
Eigenschaften findet die Harmonic Generation“ aber bereits heute schon ihre Anwen”
dung in Experimenten, zum Beispiel bei der zeitaufgelösten Spektroskopie von Helium
[39], bei Pump–Probe–Experimenten an Oberflächen [40] und Messungen der Photoionisationsquerschnitte von Edelgasatomen [41].
8
Kapitel 1. Einleitung
105
Helium
Neon
relative Intensitäten
104
103
102
101
100
5
9
13
17
21
25
29
33
37
41
Harmonische Ordnung
106
Argon
Krypton
Xenon
relative Intensitäten
105
104
103
102
101
3
5
7
9
11
13
15
17
19
Harmonische Ordnung
Abbildung 1.4: Harmonische Spektren der Edelgasatome aus [32]. Das Experiment wurde
mit einem Farbstofflaser bei einer Wellenlänge von λ = 616 nm und einer Pulsdauer von
800 fs durchgeführt. Die erreichten Spitzenintensitäten betrugen 1, 4 · 1014 W/cm2 für
Helium, 1, 9 · 1014 W/cm2 für Neon, 1, 9 · 1014 W/cm2 für Argon, 1, 5 · 1014 W/cm2 für
Krypton und 2, 0 · 1014 W/cm2 für Xenon.
9
In neueren Experimenten geht man dazu über, die Atome mit zwei Laserpulsen gleichzeitig anzuregen. Die Frequenzen der Laser in derartigen Zwei–Farben–Experimenten stehen dabei in einem ganzzahligen Verhältnis. Am häufigsten werden hierfür eine Grundfrequenz und deren zweite oder dritte Harmonische [42, 43, 44, 45] gewählt. Aufgrund der in
diesen Experimenten zusätzlichen Anzahl an einstellbaren Parametern wie zum Beispiel
der relativen Intensität, Polarisation und Phase der einzelnen Pulse erhofft man sich neue
Erkenntnisse über den physikalischen Mechanismus der Harmonic Generation“. Eine wei”
tere Motivation für die Anregung der Atome mit zwei Farben liegt in der höheren Effizienz
der Erzeugung von Harmonischen, die von verschiedenen Arbeitsgruppen gefunden wurde
[44, 45].
Aus der Vielzahl der Beobachtungen, die beim Beschuß von Atomen mit starken Lasern
gemacht wurden, kann man den Schluß ziehen, daß für eine theoretische Betrachtung der
vorgestellten Phänomene eine störungstheoretische Beschreibung der Atome in derartigen
Laserpulsen nicht ausreicht. Dies liegt vor allem daran, daß die im Laserfokus herrschende
Feldstärke mit der Feldstärke in Atomen vergleichbar ist oder diese sogar überschreitet.
Um verläßliche Vorhersagen machen zu können, ist man daher auf eine nichtpertubative Behandlung von Teilchen in externen, elektromagnetischen Feldern angewiesen. Dies
erfordert im Prinzip die Lösung der zeitabhängigen Schrödinger–Gleichung für ein wechselwirkendes Vielteilchensystem in einem äußeren, zeitabhängigen Potential.
Die meisten theoretischen Untersuchungen wurden bisher für das Wasserstoffatom
durchgeführt, da dieses wegen der fehlenden Elektron–Elektron–Wechselwirkung das einfachste System darstellt. Bahnbrechend waren hierbei vor allem die Arbeiten von Kulander
[46], der durch die direkte Lösung der zeitabhängigen Schrödinger–Gleichung zuverlässige Vorhersagen für Ionisationsraten, ATI–Spektren und Harmonische Verteilungen erhielt
[47]. Auch das Verhalten von Wasserstoffatomen in Zwei–Farben–Pulsen wurde in numerischen Berechnungen simuliert [48, 49, 50].
Für das nächstkompliziertere System, das Heliumatom im Laserfeld, existieren Arbeiten, die auf dem zeitabhängigen Hartree–Fock–Verfahren [51] und der zeitabhängigen
Configuration–Interaction–Methode [52, 53], bei der die wechselwirkende Vielteilchenwellenfunktion durch eine endliche Linearkombination von Slaterdeterminanten angenähert
wird, basieren. Auch die direkte Lösung der zeitabhängigen Schrödinger–Gleichung wurde
in Angriff genommen [54, 55]. Der dabei zur Berechnung der korrelierten Zwei–Elektronen–
Wellenfunktion nötige, numerische Aufwand erforderte allerdings den Einsatz von parallelen Hochleistungsrechnern.
Atome mit mehr als zwei Elektronen wurden bis vor kurzem noch ausschließlich in
der Single active electron“–Näherung behandelt [56, 57, 58, 59], bei der nur ein Elektron
”
des Atoms berücksichtigt wird. Alle anderen Elektronen werden gewissermaßen in ihrer
Ausgangskonfiguration eingefroren. Ihrem Einfluß auf die Bewegung des herausgegriffe-
10
Kapitel 1. Einleitung
nen, aktiven Elektrons wird durch ein zusätzliches, statisches Modellpotential Rechnung
getragen. Obwohl diese Methode in einem gewissen Intensitätsbereich zuverlässige Aussagen liefert, ist sie von einem formalen Standpunkt aus gesehen wegen ihrer drastischen
Vereinfachungen unbefriedigend.
Eine gleichberechtigte Behandlung aller Elektronen findet man erstmals in der Arbeit von Ullrich [60]. Die Elektron–Elektron–Wechselwirkung wird dabei mit Hilfe der
zeitabhängigen Dichtefunktionaltheorie [61] berücksichtigt. Dieser recht junge Zweig der
Dichtefunktionaltheorie [62, 63] benutzt ebenso wie der stationäre Formalismus ein nichtwechselwirkendes Hilfssystem, um die Wahrscheinlichkeitsdichte der Elektronen des interessierenden, wechselwirkenden Systems zu berechnen [64, 65, 66]. Die gute Übereinstimmung der von Ullrich erhaltenen Ergebnisse für Beryllium und Neon mit experimentellen
Daten lassen einen Stellenwert dieser Methode bei der Beschreibung von Laser–Atom–
Wechselwirkungen erhoffen, wie sie ihn schon die Dichtefunktionaltheorie bei der Behandlung der Grundzustandseigenschaften von Atomen, Molekülen und Festkörpern besitzt.
In Kapitel 2 werden wir die grundlegenden Theoreme der zeitabhängigen Dichtefunktionaltheorie präsentieren. Die Anwendung des Formalismus auf das Studium von Atomen
in starken Laserpulsen sowie dessen numerische Umsetzung werden Gegenstand des Kapitels 3 sein. Hier finden sich auch analytische Eigenschaften der Theorie, die in diesem
Zusammenhang von Bedeutung sind. Ein einfaches, semiklassisches Modell in Kapitel 4
wird uns bereits Anhaltspunkte für die zu erwartenden Ergebnisse der quantenmechanischen Rechnungen zur Verfügung stellen. Letztere finden sich in Kapitel 5 und sind
nach den behandelten Atomsorten Wasserstoff und Helium gegliedert. Die Berechnung
der Photoemissionsspektren, vor allem für Zwei–Farben–Pulse, wird darin einen zentralen
Platz einnehmen.
Kapitel 2
Zeitabhängige
Spindichtefunktionaltheorie
2.1 Das Runge–Gross–Theorem für spinpolarisierte Systeme
Wir betrachten ein System von N Elektronen, dessen Zeitentwicklung durch die zeitabhängige Schrödinger–Gleichung beschrieben wird. Diese nimmt in atomaren Einheiten
(m = e = h̄ = 1) die folgende Gestalt an:
i
d
Φ(t) = Ĥ(t)Φ(t).
dt
(2.1)
Dabei ist Φ(t) der Vielteilchenzustand der Elektronen, und der Hamilton–Operator Ĥ ist
in zweiter Quantisierung gegeben als
Ĥ(t) = T̂ + Ŵ + V̂ (t),
(2.2)
wobei T̂ den Operator der kinetischen Energie
X Z
T̂ =
Ã
ψ̂σ† (r)
σ=↑↓
∇2
−
2
!
ψ̂σ (r) d3 r
(2.3)
bezeichnet, und Ŵ eine beliebige, lokale und spinunabhängige Wechselwirkung
Ŵ =
1X
2 σ,σ0
Z Z
ψ̂σ† (r)ψ̂σ† 0 (r0 )w(r, r0 )ψ̂σ0 (r0 )ψ̂σ (r) d3 r d3 r0
(2.4)
ist. Die explizite Zeitabhängigkeit des Systems ist durch das externe Potential
V̂ (t) =
X Z
vextσ (r, t)ψ̂σ† (r)ψ̂σ (r) d3 r
σ=↑↓
11
(2.5)
12
Kapitel 2. Zeitabhängige Spindichtefunktionaltheorie
gegeben, in dem sich die Elektronen bewegen. Hierbei wirkt vextσ (r, t) nur auf die Elektronen mit Spin σ und kann aus einem spinunabhängigen Teil vext (r, t) und einem Zeeman–
Term, der die Kopplung des Elektronenspins an ein äußeres Magnetfeld beschreibt, bestehen:
vext↑ (r, t) = vext (r, t) + µ0 B(r, t),
(2.6)
vext↓ (r, t) = vext (r, t) − µ0 B(r, t).
(2.7)
Der Einfachheit halber wurde angenommen, daß das Magnetfeld B(r, t) = ez B(r, t) nur
eine Komponente in z-Richtung besitzt. µ0 bezeichnet das Bohrsche Magneton, das in
atomaren Einheiten den Wert 12 annimmt. Die Kopplung des Bahndrehimpulses der Elektronen an das Magnetfeld sowie über den Zeeman–Term hinausgehende relativistische
Effekte werden vom Hamilton–Operator (2.2) nicht berücksichtigt.
Betrachten wir nun die Zeitentwicklung des Elektronensystems unter verschiedenen,
äußeren Potentialen vextσ (r, t) bei fest vorgegebenem Anfangszustand
Φ(t0 ) = Φ0 .
(2.8)
Durch formales Lösen der Schrödinger–Gleichung (2.1) läßt sich dann eine Abbildung
A : {vextσ (r, t)} −→ Φ(t)
(2.9)
definieren, die den äußeren Potentialen auf eindeutige Weise einen zeitabhängigen Vielteilchenzustand zuordnet. Die Anwendung des Spindichteoperators
n̂σ (r) = ψ̂σ† (r)ψ̂σ (r)
(2.10)
liefert eine weitere Abbildung von den Vielteilchenzuständen auf die zeitabhängigen Spindichten
(2.11)
B : Φ(t) −→ {nσ (r, t) = hΦ(t)|n̂σ (r)|Φ(t)i}.
Das Ziel der zeitabhängigen Spindichtefunktionaltheorie besteht nun darin, die Umkehrbarkeit der aus A und B zusammengesetzten Abbildung
G : {vextσ (r, t)} −→ {nσ (r, t)}
(2.12)
zu beweisen. Eine direkte Erweiterung des Hohenberg–Kohn–Beweises der stationären
Dichtefunktionaltheorie [62] auf zeitabhängige Potentiale ist nicht möglich, da im zeitabhängigen Fall kein Ritzsches Minimalprinzip existiert.
Für nicht–spinpolarisierte Potentiale konnte die Umkehrbarkeit der Abbildung G zuerst
von Runge und Gross [61] für eine große Klasse von Potentialen nachgewiesen werden. Liu
und Vosko [67] erweiterten den Beweis auf den spinpolarisierten Fall. Für Potentiale, die
2.1. Das Runge–Gross–Theorem für spinpolarisierte Systeme
13
sich in eine Taylor–Reihe um den Anfangszeitpunkt t0 mit endlichem Konvergenzradius
entwickeln lassen
∞
X
1
vextσ (r, t) =
(2.13)
vextσk (r)(t − t0 )k ,
k!
k=0
zeigten sie, daß die Abbildung G bis auf eine rein zeitabhängige Funktion in den Potentialen umkehrbar ist. Somit sind zwei Spindichten nσ (r, t) und n0σ (r, t), die sich aus ei0
(r, t)
nem gemeinsamen Zustand Φ0 unter dem Einfluß der Potentiale vextσ (r, t) und vextσ
entwickeln, bereits infinitesimal später als t0 voneinander verschieden, vorausgesetzt die
Potentiale unterscheiden sich um mehr als eine reine Zeitfunktion:
0
(r, t) + cσ (t).
vextσ (r, t) 6= vextσ
(2.14)
Für den Beweis dieser Aussage [61, 67] wird die Schrödinger–Gleichung (2.1), die quantenmechanische Bewegungsgleichung für Operatoren und die Kontinuitätsgleichung verwendet. Die entscheidende Idee ist, die Zeitableitungen der Differenz der Spindichten
nσ (r, t) − n0σ (r, t) zum Zeitpunkt t = t0
¯
´¯
∂k ³
¯
0
n
(r,
t)
−
n
(r,
t)
¯
σ
σ
¯
∂tk
t=t
(2.15)
0
zu betrachten. Wegen der Bedingung (2.14) wird nun angenommen, daß ein kleinstes kmin
existiert, für das die Differenz der Potentiale bei t = t0 räumlich nicht konstant ist, d. h.
mit (2.13) haben wir:
0
(r)] = 0
∇[vextσk (r) − vextσk
k < kmin ,
(2.16)
0
(r)] 6= 0
∇[vextσk (r) − vextσk
k = kmin .
(2.17)
Die für den Beweis entscheidende Gleichung lautet dann:
¯
´¯
³
´
∂ kmin +2 ³
¯
0
0
n
(r,
t)
−
n
(r,
t)
=
∇
n(r,
t
)∇[v
(r)
−
v
(r)]
.
¯
σ
0
extσkmin
σ
extσkmin
¯
∂tkmin +2
t=t
(2.18)
0
Man kann nun zeigen, daß die rechte Seite von (2.18) nicht verschwindet und somit die
Spindichten bereits infinitesimal nach dem Anfangszeitpunkt t0 verschieden sein müssen.
Eine genauere Untersuchung der Beweisführung zeigt aber, daß es ein kleinstes kmin
nicht geben muß. Betrachten wir als Beispiel zwei Potentiale, die bis zum Zeitpunkt t1 > t0
identisch (bis auf eine reine Zeitfunktion) sind und erst danach zum ersten Mal voneinander
abweichen1 :
1
0
(r, t) + cσ (t)
vextσ (r, t) = vextσ
t0 ≤ t ≤ t 1 ,
(2.19)
0
(r, t) + cσ (t)
vextσ (r, t) 6= vextσ
t > t1 .
(2.20)
Vor allem infinitesimal später als t1 sollen die Potentiale verschieden sein.
14
Kapitel 2. Zeitabhängige Spindichtefunktionaltheorie
Obwohl die Potentiale auf Zeitintervallen [t0 , t] mit t > t1 verschieden sind, existiert kein
kmin , da die Differenz der Potentiale im Zeitintervall [t0 , t1 ] räumlich konstant ist. Der
Runge-Gross-Beweis ist hier somit nicht durchführbar. Um derartige Fälle dennoch einschließen zu können, ist man versucht, t1 als Anfangszeitpunkt zu wählen, da es dann
nach Voraussetzung ein kleinstes kmin gibt. Es bleibt aber noch die Zeitentwicklung des
Systems im Intervall [t0 , t1 ] zu untersuchen. Durch Lösen der Schrödinger–Gleichung (2.1)
mit den externen Potentialen V̂ und V̂ 0 erhält man die Zustände Φ(t) und Φ0 (t), die sich
wegen der Forderung (2.19) nur um eine zeitabhängige Phase unterscheiden:

Φ(t) = Φ0 (t) · exp −i
X Z

t
σ=↑↓ t0
cσ (t0 ) dt0 
t0 ≤ t ≤ t 1 .
(2.21)
Vor allem zum Zeitpunkt t1 differieren Φ1 = Φ(t1 ) und Φ01 = Φ0 (t1 ) nur um einen konstanten Phasenfaktor. Dieser ist aber für die Beweisführung belanglos, so daß man Φ1 (oder
auch Φ01 ) als neuen, festen Anfangszustand für einen Runge-Gross-Beweis mit Anfangszeitpunkt t1 verwenden kann. Die Forderung (2.13) der Taylor–Entwickelbarkeit um t0 müßte
dann aber auch auf den Zeitpunkt t1 übertragen werden. Da man aber nur bei zwei gegebenen Potentialen einen Zeitpunkt t1 angeben kann, an dem sie das erste Mal voneinander
abweichen, muß man für ein einzelnes Potential fordern, daß es zu allen Zeiten (zumindest
rechtsseitig) taylorentwickelbar ist, um allen Fällen, die auftreten können, Rechnung zu
tragen. Das zentrale Theorem der zeitabhängigen Dichtefunktionaltheorie lautet dann:
Für alle Potentiale vσ (r, t), die bezüglich t zu jedem Zeitpunkt (zumindest
rechtsseitig) in eine Taylor–Reihe entwickelt werden können, ist die Zuordnung G : {vσ (r, t)} → {nσ (r, t)} umkehrbar bis auf eine reine Zeitfunktion im
Potential.
Aufgrund der Existenz der inversen Abbildung
G −1 : {nσ (r, t)} −→ {vextσ (r, t) + cσ (t)}
(2.22)
und nachfolgender Anwendung der Abbildung A läßt sich der Vielteilchenzustand Φ(t) als
ein Funktional der Spindichten schreiben und zwar eindeutig bis auf eine rein zeitabhängige
Phase2 α(t):
Φ(t) = e−iα(t) Ψ[{nσ }](t).
(2.23)
Als direkte Folge ist der Erwartungswert jedes quantenmechanischen Operators Q̂(t) ein
eindeutiges Funktional der Spindichten
Q[{nσ }](t) = hΨ[{nσ }](t)|Q̂(t)|Ψ[{nσ }](t)i,
2
(2.24)
Die Freiheit in der Phase resultiert aus der Unbestimmtheit der reinen Zeitfunktionen in den Potentialen.
2.2. Das zeitabhängige Kohn–Sham–Verfahren
15
da sich für alle Operatoren, die keine Zeitableitungen enthalten, die unbestimmten Phasenfaktoren herausheben.
Wegen der Forderung (2.8) hängen die Funktionale Q[{nσ }](t) aber noch implizit vom
Anfangszustand Φ0 ab. Diese Abhängigkeit von Spindichten und Anfangszustand kann
man auf den ersten Blick zwar als störend empfinden, weil man lieber mit reinen Spindichtefunktionalen arbeiten würde. Jedoch gibt es eine große Klasse von Systemen, für die
Q(t) ein Funktional der Spindichten alleine ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn Φ0 der
nichtentartete Grundzustand des Systems ist, denn nach dem Hohenberg–Kohn–Theorem
der stationären Dichtefunktionaltheorie ist jeder nichtentartete Grundzustand ein eindeutiges Funktional seiner Spindichten nσ (r) = nσ (r, t0 ). Es bleibt jedoch zu betonen, daß
die einzige Einschränkung, die man an den Anfangszustand Φ0 stellt, diejenige war, daß
er fest vorgegeben ist, und damit nicht notwendigerweise ein Grund- oder Anregungszustand eines anfänglichen Potentials vextσ sein muß. Der Formalismus enthält somit auch
die Situation des sogenannten sudden switching“.
”
2.2
Das zeitabhängige Kohn–Sham–Verfahren
Nach dem Runge–Gross–Theorem der Spindichtefunktionaltheorie kann man jede physikalische Observable eines N -Elektronensystems als Funktional seiner zeitabhängigen Spindichten schreiben. Jedoch läßt das Theorem zwei, für die praktische Anwendung wichtige
Fragen unbeantwortet:
1. Wie berechne ich physikalische Observablen aus den Spindichten?
2. Wie kann ich überhaupt die Spindichten für ein gegebenes System ermitteln?
Während die erste Frage, je nach betrachteter Observable, teils trivial beantwortet werden
kann, teils aber ein noch ungelöstes Problem darstellt (siehe hierzu auch Abschnitt 3.4),
kann man für die Bestimmung der zeitabhängigen Spindichten das aus der stationären
Dichtefunktionaltheorie bekannte Kohn-Sham-Verfahren3 [63] leicht verallgemeinern. Wir
werden nun dieses Verfahren für zeitabhängige Systeme vorstellen.
Ausgangspunkt für die folgenden Überlegungen ist die Feststellung, daß der eineindeutige Zusammenhang von zeitabhängigen Dichten und Potentialen für jede beliebige, aber
feste Wechselwirkung Ŵ bewiesen worden ist, also speziell auch für Ŵ ≡ 0. Somit lassen
sich den von einem coulombwechselwirkenden N -Elektronensystem mit externen Potentialen vextσ (r, t) erzeugten Spindichten nσ (r, t) in eindeutiger Weise auch die externen Potentiale vsσ [{nσ }](r, t) eines fiktiven, nicht–wechselwirkenden Systems zuordnen. Allerdings
ist durch das Runge–Gross–Theorem nur die Eindeutigkeit der Zuordnung gesichert. Ob
3
Im folgenden kürzen wir Kohn-Sham mit KS ab.
16
Kapitel 2. Zeitabhängige Spindichtefunktionaltheorie
die Potentiale vsσ [{nσ }](r, t) für beliebige nσ (r, t) überhaupt existieren, ist ein ungeklärtes
Problem (v–Darstellbarkeitsproblem). Um dennoch das zeitabhängige KS-Verfahren herleiten zu können, müssen wir aber nicht die nicht–wechselwirkende v–Darstellbarkeit für
beliebige Spindichten fordern, sondern nur für wechselwirkend v–darstellbare Spindichten4 .
Mit anderen Worten, für gegebene Potentiale vextσ , die auf die Dichten nσ des wechselwirkenden Systems führen, verlangen wir die Existenz der dann eindeutig bestimmten
Potentiale vsσ , die dieselben Spindichten liefern. Unter dieser Annahme lassen sich dann
die gesuchten Spindichten des wechselwirkenden Systems im Prinzip exakt berechnen als:
nσ (r, t) =
Nσ
X
|φjσ (r, t)|2 .
(2.25)
j=1
Dabei ist N = N↑ +N↓ , und die Einteilchenorbitale φjσ (r, t) gehorchen den zeitabhängigen
KS–Gleichungen
Ã
!
∇2
∂
(2.26)
+ vsσ [nσ ](r, t) φjσ (r, t).
i φjσ (r, t) = −
∂t
2
Es ist üblich, die Einteilchenpotentiale vsσ wie folgt aufzuspalten:
Z
vsσ [nσ ](r, t) = vextσ (r, t) +
³
´
w(r, r0 ) n↑ (r0 , t) + n↓ (r0 , t) d3 r0 + vxcσ [nσ ](r, t).
(2.27)
Den vorletzten Term der rechten Seite bezeichnet man als das zeitabhängige HartreePotential, den letzten Term als das zeitabhängige Austausch–Korrelations–Potential (xc–
Potential).
Auch hier tritt das Problem auf, daß die Funktionale vsσ [nσ ] und vxcσ [nσ ] implizit vom
Anfangszustand, d. h. von einer Slaterdeterminante aus KS-Orbitalen bei t = t0 abhängen.
Ist der Anfangszustand jedoch ein nichtentarteter Grundzustand, so sind auch hier nach
dem Hohenberg–Kohn–Theorem die anfänglichen KS–Wellenfunktionen eindeutig durch
die Spindichten nσ (r, t0 ) bestimmt.
Für praktische Anwendungen muß man das xc–Potential aus (2.27), das nach Abspalten des externen Potentials und des Hartree–Potentials alle Korrelationseffekte des
Problems enthält, geeignet nähern. Eine einfache Möglichkeit hierfür ist die adiabatische
Lokaldichteapproximation (ALDA):
ALDA
[nσ ](r, t)
vxcσ
¯
¯
d hom
=
exc (n↑ , n↓ )¯¯
.
dnσ
nσ =nσ (r,t)
(2.28)
Hierin ist ehom
xc (n↑ , n↓ ) die xc–Energie pro Volumeneinheit des homogenen, spinpolarisierten Elektronengases. Von dieser Näherung kann man erwarten, daß sie vor allem für
Systeme mit schwach zeitabhängigen, äußeren Potentialen gute Ergebnisse liefert. In der
Praxis erweist sie sich aber auch für starke Zeitabhängigkeiten als sehr erfolgreich.
4
Eine analoge Forderung muß auch im stationären Fall gemacht werden.
2.2. Das zeitabhängige Kohn–Sham–Verfahren
17
Die ALDA hat die Eigenschaft, lokal in der Zeitvariablen zu sein. Eine andere Näherung
für das zeitabhängige xc–Potential, die zu jedem Zeitpunkt auch die Vergangenheit der
Spindichten berücksichtigt (man spricht hier von einem Gedächtniseffekt), ist seit kurzem
bekannt [68, 69]. Beiden ist jedoch gemeinsam, daß sie auf Ergebnissen für das homogene Elektronengas basieren. Eine weitere Näherung, die nicht auf das homogene Elektronengas zurückgreift, aber auch Gedächtniseffekte berücksichtigt, ist die zeitabhängige
OEP–Methode (Methode des optimierten, effektiven Potentials) [70, 71]. Obwohl diese
numerisch sehr aufwendig ist, hat sie den Vorteil, Austauscheffekte exakt beschreiben zu
können.
Kapitel 3
Beschreibung von Atomen in
starken Laserpulsen
In diesem Kapitel wollen wir den Formalismus der zeitabhängigen Spindichtefunktionaltheorie anwenden auf das Studium von Atomen, die starken Laserpulsen ausgesetzt sind.
Dazu werden wir zunächst die explizite Form des externen Potentials herleiten. Im weiteren
wird die verwendete, numerische Methode zur Lösung der zeitabhängigen KS–Gleichungen
vorgestellt. Die Abschnitte 3.3 und 3.4 stellen den Zusammenhang zwischen den berechneten, zeitabhängigen Spindichten und den interessierenden Observablen, wie zum Beispiel
Ionisationsraten und Photoemissionsspektren, her. Allgemeine Bemerkungen zum Phänomen der Harmonic Generation“ finden sich in 3.5.
”
3.1
Das externe Potential
Um die zeitabhängige Spindichtefunktionaltheorie zur Berechnung der Eigenschaften eines
Systems von N Elektronen anwenden zu können, ist die Angabe des externen Potentials
notwendig, in dem sich das System befindet. Zur Untersuchung von Atomen in starken
Laserpulsen benötigen wir daher das statische Coulomb-Potential des Atomkerns sowie
einen zeitabhängigen Anteil, der die Wechselwirkung der Elektronen mit dem Laserfeld
beschreibt. Um eine für die numerische Behandlung geeignete Form zu erhalten, betrachten
wir der Einfachheit halber die zeitabhängige Pauli–Gleichung eines Wasserstoffatoms in
einem externen elektromagnetischen Feld in der Coulomb–Eichung [72]:
∂
i
∂t
Ã
φ↑ (r, t)
φ↓ (r, t)
!
à ·
=
1 ∇ A(r, t)
+
2 i
c
¸2
1
+ µ0 σ · [∇ · A(r, t)] −
r
!Ã
!
φ↑ (r, t)
.
φ↓ (r, t)
(3.1)
Damit die Beschreibung der Wechselwirkung des Elektrons mit dem externen elektromagnetischen Feld durch die Pauli–Gleichung (3.1) gerechtfertigt ist, müssen die folgenden
Bedingungen erfüllt sein:
18
3.1. Das externe Potential
19
1. Das Photonenfeld des Lasers muß eine klassische Behandlung erlauben. Dies ist nur
für große Photonendichten der Fall, genauer gesagt, wenn die Anzahl der Photonen in
einem Würfel, dessen Kantenlänge gleich der Wellenlänge des Feldes ist, viel größer
als Eins ist [72].
2. Eine nichtrelativistische Beschreibung der Elektronbewegung kann verwendet werden. Diese Näherung ist immer dann erlaubt, wenn die Geschwindigkeit v des Elektrons klein ist im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit c0 . Auf die vollrelativistische
Behandlung mittels der Dirac–Gleichung oder auf die Mitnahme von Korrekturtermen der Ordnung v 2 /c2 in der Pauli–Gleichung kann dann verzichtet werden.
Wir wollen nun überprüfen, inwieweit diese Bedingungen für die uns interessierenden Bereiche von Laserwellenlängen und Intensitäten erfüllt sind. Dazu betrachten wir die typischen Laserparameter I = 1014 W/cm2 und λ = 532 nm. Für die Photonendichte ergibt
sich dann [73]:
%=
Iλ3
≈ 3 · 109
h̄ω0 c
Photonen pro Kubikwellenlänge.
(3.2)
Die Geschwindigkeit des Elektrons läßt sich leicht mit Hilfe eines semiklassischen Modells
abschätzen (siehe hierzu Kapitel 4). Man findet dabei als dessen Maximalgeschwindigkeit
vmax =
E0
.
ω0
(3.3)
In Gleichungen (3.2) und (3.3) bezeichnen ω0 die Frequenz des Laserfeldes und E0 dessen
Feldstärke, die gemäß
√
E0 = I
(3.4)
aus der Intensität I berechnet werden kann. Für die obengenannten Parameter erhalten
wir für die Maximalgeschwindigkeit den Wert vmax = 0, 005 c0 .
An dieser Stelle soll noch einmal betont werden, daß alle Größen in Gleichungen (3.3)
und (3.4) in atomaren Einheiten gemessen werden. Die atomare Einheit der Feldstärke ist
beispielsweise durch das elektrische Feld, das ein Elektron im Wasserstoffatom auf einer
Bahn im Abstand von einem Bohrschen Radius vom Kern spürt, gegeben und beträgt
51, 4 · 108 V/cm. Die atomare Einheit der Intensität ist 3, 52 · 1016 W/cm2 .
Nachdem wir uns von der Gültigkeit der Annahmen, die zur Beschreibung des Wasserstoffatoms in starken Laserpulsen durch die Pauli–Gleichung (3.1) berechtigen, überzeugt
haben, werden wir nun die sogenannte Dipolnäherung für das externe elektromagnetische
Feld besprechen. Da die Wellenlängen der heutzutage benutzten Laser fast immer sehr viel
größer als die typischen Längen in atomaren Systemen sind, kann man die Ortsabhängigkeit im Vektorpotential A(r, t) in sehr guter Näherung vernachlässigen. Dies entspricht
20
Kapitel 3. Beschreibung von Atomen in starken Laserpulsen
nach [74] einer nichtrelativistischen Beschreibung der Elektronenbewegung. Auf die Mitnahme des Zeeman–Terms, der von der Ordnung v 2 /c2 ist, kann dann konsequenterweise
verzichtet werden, und man erhält für beide Spinwellenfunktionen φσ die Gleichung
∂
i
φσ (r, t) =
∂t
à ·
1 ∇ A(t)
+
2 i
c
¸2
!
1
−
φσ (r, t).
r
(3.5)
Um zu einer Gleichung zu gelangen, die anstelle des Vektorpotentials die elektrische
Feldstärke
1 ∂A(t)
E(t) = −
(3.6)
c ∂t
enthält, führen wir die folgende unitäre Transformation der Spinwellenfunktionen durch
[75]–[77]:
(3.7)
ψσ (r, t) = ei r·A(t)/c φσ (r, t).
Schreibt man die zeitabhängige Schrödinger–Gleichung (3.5) in der Form
i
∂
φσ (r, t) = Hφσ (r, t),
∂t
(3.8)
dann erfüllen die transformierten Spinwellenfunktionen die Gleichung
i
∂
ψσ (r, t) = H 0 ψσ (r, t),
∂t
(3.9)
wobei der transformierte Hamilton–Operator gegeben ist durch
H 0 = ei r·A(t)/c He−i r·A(t)/c − iei r·A(t)/c
∂ −i r·A(t)/c
.
e
∂t
(3.10)
Wir erhalten schließlich die zeitabhängige Schrödinger–Gleichung für das Wasserstoffatom
im Laserfeld in der sogenannten Längenform, die üblicherweise für die Untersuchung von
Multiphotonenprozessen verwendet wird:
∂
ψσ (r, t) =
i
∂t
Ã
!
∇2
1
−
ψσ (r, t).
+ r · E(t) −
2
r
(3.11)
In der Praxis sind Laser allerdings außer durch ihre Intensität und Wellenlänge auch durch
ihre Polarisation und Pulsform charakterisiert. Um den Aufwand für die numerische Behandlung in Grenzen zu halten, betrachten wir nur lineare Polarisation in z–Richtung.
Der Laserpuls breitet sich dann in der xy–Ebene aus. Das zeitliche Profil des Pulses
wird vollständig durch einen zeitabhängigen Formfaktor f (t) berücksichtigt. In praktischen Rechnungen kann man hierfür in guter Näherung eine Gauß–Funktion ansetzen.
Damit nimmt das externe Potential die folgende Form an:
1
vext (r, t) = f (t)E0 z sin(ω0 t) − ,
r
(3.12)
3.2. Die numerische Methode
21
und zwar unabhängig vom Spin der Elektronen. Der Spinanteil der Einteilchenorbitale ψσ
ist daher erhalten. Für ein Atom mit der Kernladungszahl Z findet man analog:
vext (r, t) = f (t)E0 z sin(ω0 t) −
Z
.
r
(3.13)
Im Fall eines Zwei-Farben-Pulses lassen sich dieselben Überlegungen wie für den monochromatischen Laser anstellen. Das externe Potential lautet dann:
³
´
vext (r, t) = f (t) E0 z sin(ω0 t) + E1 z sin(ω1 t + δ) −
Z
.
r
(3.14)
Allerdings schränkt uns die numerische Methode auf die Behandlung von zwei parallel
polarisierten Feldern ein. Die Intensitäten und Frequenzen sowie die relative Phase δ der
beiden Anteile können dagegen beliebig gewählt werden.
In dieser Arbeit werden ausschließlich Rechnungen für die Systeme Wasserstoff und Helium präsentiert. Die verwendeten Laserpulse bestehen dabei vor allem aus einer oder zwei
Farben. Für das Wasserstoffatom können wir die zeitabhängige Schrödinger–Gleichung
direkt lösen. Das Heliumatom untersuchen wir sowohl mit dem zeitabhängigen Hartree–
Verfahren als auch mit dem KS–Verfahren.
3.2
Die numerische Methode
Da selbst für das einfachste System, das Wasserstoffatom im Laserfeld, bisher noch keine
analytischen Lösungen gefunden werden konnten, ist man bei der Untersuchung von beliebigen Atomen stets auf die rein numerische Integration der auftretenden Gleichungen
angewiesen. Die ersten auf diesem Weg gefundenen Ergebnisse gehen auf Kulander [46, 51]
zurück. Auch die bei unseren Rechnungen benutzten, numerischen Methoden basieren zum
größten Teil auf Kulanders Arbeit. Ziel dieses Abschnittes ist es, einen Überblick über das
verwendete, numerische Verfahren zu vermitteln. Die genauen Details hierzu finden sich
in der Doktorarbeit von Ullrich [60].
Durch die spezielle Wahl der linearen Polarisierung des Laserfeldes in z–Richtung ist
das durch (3.11) oder (3.13) gegebene, äußere Potential symmetrisch bezüglich Rotationen um die z–Achse. Drückt man den Hamilton–Operator aus Gleichung (3.8) in Zylinderkoordinaten (ρ, ϕ, z) aus, so wird dieser ϕ-unabhängig. Die anfängliche magnetische
Quantenzahl m eines Orbitals ist somit ebenso wie dessen Spinanteil erhalten, d. h. die
gesuchten Lösungen haben zu allen Zeiten die Form:
ψσ (r, t) = ψm (r, t)χσ = ξ(ρ, z, t)eimϕ χσ ,
(3.15)
wobei die Spinfunktionen χσ die Eigenfunktionen mit Spin σ in z-Richtung bezeichnen.
Die daraus resultierenden Spindichten nσ und die Dichte n = n↑ +n↓ sind dann (abgesehen
22
Kapitel 3. Beschreibung von Atomen in starken Laserpulsen
von der Zeitabhängigkeit) nur noch Funktionen von ρ und z. Im Fall von Mehrelektronensystemen muß man sich allerdings noch davon überzeugen, daß auch das Hartree-Potential
Z
u([n], r, t) =
n(r0 , t) 3 0
d r
|r − r0 |
(3.16)
und das Austausch-Korrelations-Potential in ALDA bei Verwendung von Orbitalen der
Form (3.15) nicht mehr von ϕ abhängen [60]. Die Erhaltung des Drehimpulses und des
Spins erlauben dann eine zweidimensionale, numerische Behandlung des eigentlich dreidimensionalen Problems. Dazu führen wir ein nichtgleichförmiges Gitter in der ρz–Ebene
ein, in deren Ursprung sich der Atomkern befindet. Aufgrund der starken Änderung
des Coulomb-Potentials in Kernnähe werden die Gitterabstände ∆ρ und ∆z dort kleiner gewählt als an den Gitterrändern. Typische Gitterabstände liegen zwischen 0,1 und
0,25 atomaren Einheiten (a. u.) bei Gittergrößen von 20 a. u. in ρ–Richtung und 60 a. u.
in z–Richtung. Die Wellenfunktionen ξ(ρ, z, t) werden damit durch ihre Werte an etwa
30000 Punkten approximiert. Den diskretisierten Hamilton–Operator erhält man durch
Variation der quantenmechanischen Wirkung auf dem Gitter mit einer finite-difference“–
”
Darstellung des kinetischen Energieoperators.
Bevor wir jedoch die Zeitentwicklung eines Systems betrachten können, ist die Angabe
eines Anfangszustandes nötig. Hierfür nehmen wir an, daß das Atom vor dem Beschuß mit
dem Laser im Grundzustand vorliegt. Dieser wird im Falle des Wasserstoffatoms durch
direkte Diagonalisierung des diskretisierten Hamilton–Operators gewonnen, im Falle von
Mehrelektronensystemen durch die Lösung der stationären KS–Gleichungen.
Die Lösungen der zeitabhängigen KS–Gleichungen erhält man dann durch Propagation
des gegebenen Anfangszustandes in der Zeit. Dazu wird die Zeitachse je nach gewählter
Laserfrequenz in 500 bis 800 Intervalle pro Laserperiode unterteilt, in denen der KS–
Hamilton–Operator jeweils durch seinen Wert in der Intervallmitte angenähert wird. Beginnend bei t = t0 kann man dann sukzessiv die Wellenfunktionen zu allen diskreten
Zeitpunkten berechnen. Den Zustand am nächsten Zeitpunkt ermittelt man dabei durch
ein implizites Verfahren, das exakt bis zur ersten Ordnung in der Intervallänge ist. Die
gewählte Methode hat den Vorteil, unitär zu sein. Die Norm der einzelnen Orbitale bleibt
daher erhalten und muß nicht künstlich nachreguliert werden. Da allerdings der KS–
Hamilton–Operator aufgrund der Abhängigkeit des KS-Potentials von den Spindichten
in der Intervallmitte nicht genau bekannt ist, verwenden wir ein zweistufiges Predictor–
”
Corrector“–Verfahren, bei dem das unbekannte Potential im ersten Schritt genähert wird,
um damit dann im zweiten Schritt die Zeitpropagation zu vollziehen.
Der für die Rechnungen benutzte Computercode ist in FORTRAN 77 geschrieben. Da
er sich vollständig vektorisieren ließ, konnte er auf den Vektorrechnern Cray Y–MP EL am
Rechenzentrum Würzburg und Cray Y–MP am Landesrechenzentrum in München zum
Einsatz gebracht werden.
3.3. Die Bestimmung der Ionisation
3.3
23
Die Bestimmung der Ionisation
Um das Ionisationsverhalten vorhersagen zu können, muß man zu jedem Zeitpunkt die
Gewichte der Kontinuumsanteile der propagierten Wellenfunktionen (z. B. durch rechenintensive Projektionen) bestimmen. Alternativ dazu ist die Ermittlung der Besetzung der
gebundenen Zustände des ungestörten Kernpotentials. Mit einem einfachen, aber plausiblen Trick gelingt es aber, die Ionisation auf dem Gitter numerisch zu simulieren. Hierzu
nutzt man die normalerweise störende Endlichkeit des Gitters aus, indem man die Anteile der Wellenfunktionen, die bei der Ausführung eines Propagationsschrittes die Gittergrenzen erreichen würden, eliminiert. Dies geschieht numerisch durch Multiplikation
der Wellenfunktionen mit einer Maskierungsfunktion, deren Wert bei Annäherung an die
1
Gittergrenzen von Eins auf Null abfällt. Hierbei hat sich eine cos 8 -Form der Funktion an
den Rändern bewährt [78]. Diese Methode hat auch den positiven Nebeneffekt, daß sie
Reflektionen an den künstlichen Gittergrenzen verhindert.
Als Konsequenz dieser sogenannten absorbierenden Randbedingungen wird die Norm
der Orbitale über dem endlichen Gittervolumen
Z
N (t) =
|ψ(r, t)|2 d3 r
(3.17)
Gitter
zeitabhängig. Je nach Laserparametern tritt eine mehr oder weniger schnelle Abnahme
der Norm vom Wert Eins auf. Identifiziert man nun den an den Rändern absorbierten
Dichtefluß mit den freigesetzten Photoelektronen (natürlich nur im Sinne einer Wahrscheinlichkeitsinterpretation), gibt die zeitabhängige Norm N (t) einer Wellenfunktion die
Wahrscheinlichkeit dafür an, daß das durch sie beschriebene Elektron noch an den Kern
gebunden ist. Damit obige Interpretation sinnvoll ist, müssen die Gitterränder soweit
vom Kern entfernt sein, daß die Dichteverteilung des Anfangszustandes dort verschwindend gering ist. Dies ist bei Größenordnungen von einigen zehn Bohrschen Radien schon
genügend gewährleistet. Das beschriebene Verfahren wurde bereits in mehreren Simulationen [46, 51, 56] erfolgreich angewendet und hat durch Vergleiche mit Projektionen der
Wellenfunktion auf den Grundzustand im Wasserstoffatom [46, 47] seine Berechtigung
erfahren.
3.4
3.4.1
Die Bestimmung der Photoemissionsspektren
Die Längenform des Dipolmoments
Atome in starken Laserfeldern emittieren Strahlung, die von den ungeraden Harmonischen
des treibenden Feldes dominiert wird [26, 28]. Im folgenden wollen wir die Bestimmung
der Photoemissionsspektren aus der zeitabhängigen Dichte n(r, t), die der Formalismus
24
Kapitel 3. Beschreibung von Atomen in starken Laserpulsen
der zeitabhängigen Spindichtefunktionaltheorie im Prinzip exakt zu berechnen erlaubt,
vorstellen.
Der Prozeß der Harmonic Generation“ ist im Experiment durch zwei verschiedene
”
Aspekte geprägt:
1. Das individuelle Verhalten der Atome, d. h. die Emission eines harmonischen Photons
durch ein einzelnes Atom.
2. Das kollektive Verhalten der Atome basierend auf der Ausbreitung und Überlagerung
der Strahlung im gasförmigen Medium.
Der kollektive Aspekt kann klassisch behandelt werden und ist ausführlich untersucht
worden [79, 80]. Für geringe Ionisation zeigten L’Huillier, Schafer und Kulander [81, 82],
daß das experimentelle Spektrum bereits durch das Spektrum der einzelnen Atome sehr
gut gegeben ist. Wir beschränken uns daher in dieser Arbeit auf die Bestimmung des
letzteren.
Die Quelle für die emittierte Strahlung eines einzelnen Atoms ist sein zeitabhängiges
Dipolmoment, das in einfacher Weise aus der zeitabhängigen Dichte berechnet werden
kann:
Z
d(t) = hψ(t)|ẑ|ψ(t)i = z n(r, t) d3 r.
(3.18)
Das Photoemissionsspektrum ist dann gegeben durch [80]:
P (ω) =
4ω 3
|d(ω)|2 ,
3c30
(3.19)
wobei d(ω) die Fourier–Transformierte des Dipolmoments bezeichnet:
Z
d(ω) =
e−iωt d(t) dt.
(3.20)
Man spricht hierbei von der Berechnung des Spektrums in der Längenform des Dipolmoments.
3.4.2
Die Beschleunigungsform des Dipolmoments
Die sogenannte Beschleunigungsform erhält man durch zweifache partielle Integration der
rechten Seite von Gleichung (3.20) als
1
d(ω) = − 2
ω
Z
¨ dt.
e−iωt d(t)
(3.21)
Da man annimmt, daß die Atome sowohl vor als auch lange Zeit nach dem Laserpuls
im Grundzustand1 vorliegen, treten keine Randterme auf. Die Bezeichnung Beschleuni”
gungsform“ resultiert aus dem Auftreten der zweiten Ableitung des Dipolmoments. Diese
1
Hiermit ist auch der Grundzustand der gegebenenfalls erzeugten Ionen gemeint.
3.4. Die Bestimmung der Photoemissionsspektren
25
läßt sich aber im Falle des Wasserstoffatoms leicht mit Hilfe des Ehrenfestschen Theorems
berechnen. Mit dem externen Potential
vext (r, t) = f (t)E0 z sin(ω0 t) −
1
r
(3.22)
erhält man danach für die zweite Ableitung des Dipolmoments
¿
¨
d(t)
=
¯
¯
¯
¯
À ¿
À
¯ ∂
¯
¯
z ¯¯
¯
¯
¯
ψ(t) ¯− vext (r, t)¯ ψ(t) = ψ(t) ¯−f (t)E0 sin(ω0 t) − 3 ¯ ψ(t)
∂z
r
Z
= −f (t)E0 sin(ω0 t) −
z
n(r, t) d3 r.
r3
(3.23)
Die Beschleunigungsform läßt sich daher ebenso leicht wie die Längenform durch eine
Integration auf dem numerischen Gitter berechnen. Da aber der rz3 –Term in Gleichung
(3.23) im Gegensatz zum z–Term in Gleichung (3.18) mit wachsendem Abstand vom Gitterursprung wie r12 abnimmt, wird der gemachte Fehler bei der Berechnung des Integrals
auf einem Gitters mit absorbierenden Rändern in der Beschleunigungsform weit geringer ausfallen als in der Längenform. Außerdem ist es möglich, für einfache Pulsformen
f (t) (z.B̃. Gauß–Puls) den Anteil des Laserfeldes in (3.23) bei der Fourier–Transformation
(3.21) analytisch zu behandeln. Ein detaillierter Vergleich der mit beiden Formen erhaltenen Ergebnisse findet sich in Abschnitt 5.1.2.
3.4.3
Das Ehrenfest–Theorem für Vielteilchensysteme
Der im letzten Unterabschnitt besprochene Übergang von der Längenform zur Beschleunigungsform ist überhaupt nur sinnvoll, weil man nach dem Ehrenfest–Theorem die zweite
Ableitung des Dipolmoments als Erwartungswert der wirkenden Kräfte berechnen kann.
In den Standardlehrbüchern findet man allerdings den Beweis des Theorems nur für Einteilchensysteme. Da das Ziel unserer Arbeit aber auch die Behandlung von Mehrelektronensystemen umfaßt, werden wir nun untersuchen, ob sich eine Verallgemeinerung des
Ehrenfestschen Theorems auf Vielteilchensysteme finden läßt. Dazu betrachten wir ein
N –Elektronensystem, das durch einen Hamilton–Operator der Form (2.2) beschrieben
wird. Ψ(t) sei die Lösung der zeitabhängigen Schrödinger–Gleichung (2.1). Das Dipolmoment in z-Richtung ist dann gegeben durch
d(t) = hΨ(t)|ẑ|Ψ(t)i =
Z
z n(r, t) d3 r.
(3.24)
Der Operator der z-Komponente lautet dabei in zweiter Quantisierung
Z
ẑ =
z ψ̂ † (r)ψ̂(r) d3 r.
(3.25)
Da die folgenden Überlegungen unabhängig vom Spin der Elektronen sind, wird vorübergehend auf die Ausweisung der Spinabhängigkeit der Feldoperatoren verzichtet. Um die
26
Kapitel 3. Beschreibung von Atomen in starken Laserpulsen
Zeitableitung des Dipolmoments zu berechnen, bedient man sich der Heisenbergschen Bewegungsgleichung für Operatoren und erhält:
˙ = ihΨ(t)|[Ĥ(t), ẑ]|Ψ(t)i.
d(t)
(3.26)
Der Kommutator in (3.26) berechnet sich leicht zu
[Ĥ(t), ẑ] = [T̂ + Ŵ + V̂ (t), ẑ] = [T̂ , ẑ] = −ip̂z
(3.27)
mit dem Operator der z-Komponente des kanonischen Impulses
p̂z = −i
Z
ψ̂ † (r)
∂
ψ̂(r) d3 r.
∂z
(3.28)
Durch nochmaliges Anwenden der Bewegungsgleichung erhält man für die zweite Zeitableitung des Dipolmoments:
¨ = ihΨ(t)|[Ĥ(t), p̂z ]|Ψ(t)i.
d(t)
(3.29)
Diesmal bleibt der Kommutator mit dem Wechselwirkungsanteil und dem externen Potential des Hamilton–Operators zu berechnen:
[Ĥ(t), p̂z ] = [T̂ + Ŵ + V̂ (t), p̂z ] = [Ŵ , p̂z ] + [V̂ (t), p̂z ].
(3.30)
Die ausschlaggebende Beobachtung ist nun, daß der Kommutator [Ŵ , p̂z ] für translationsinvariante Wechselwirkungen verschwindet. Für den verbleibenden Kommutator ergibt
sich nach kurzer Rechnung:
Z
[V̂ (t), p̂z ] = i
∂vext (r, t) †
ψ̂ (r)ψ̂(r) d3 r.
∂z
(3.31)
Die zweite Zeitableitung läßt sich daher wie im Einteilchenfall schreiben als
¨ =−
d(t)
Z
∂vext (r, t)
n(r, t) d3 r.
∂z
(3.32)
Gleichung (3.32) stellt eine Verallgemeinerung des Ehrenfest–Theorems für Vielteilchensysteme dar. Für ein Atom mit der Kernladungszahl Z im Laserfeld gilt dann:
¨ = −f (t)E0 sin(ω0 t) −
d(t)
Z
Zz
n(r, t) d3 r.
r3
(3.33)
Die Translationsinvarianz der Coulomb–Wechselwirkung der Elektronen ermöglicht somit
die Verwendung der Beschleunigungsform auch für Mehrelektronensysteme. Im Verlauf der
Herleitung wurde das Laserfeld stets als monochromatisch betrachtet. Die Verallgemeinerung auf mehrere Frequenzen ist aber problemlos durchführbar. Für einen Zwei-FarbenPuls erhält man:
³
´
¨ = −f (t) E0 sin(ω0 t) + E1 sin(ω1 t + δ) −
d(t)
Z
Zz
n(r, t) d3 r.
r3
(3.34)
3.4. Die Bestimmung der Photoemissionsspektren
3.4.4
27
Eine exakte Eigenschaft des Austausch–Korrelations–Potentials
In Gleichung (3.32) haben wir nur das Dipolmoment in z–Richtung betrachtet. Für ein
beliebig orientiertes Dipolmoment d erhält man analog:
Z
Z
³
´
d2
∇vext (r) n(r, t) d3 r.
(3.35)
d̈(t) = 2 r n(r, t) d3 r = −
dt
Der Formalismus der zeitabhängigen Dichtefunktionaltheorie erlaubt nun die exakte Berechnung der Dichte n(r, t) und damit auch des Dipolmoments d(t) aus den Orbitalen
eines nicht–wechselwirkenden Systems, das sich im zugehörigen KS-Potential
vs ([n], r, t) = vext (r, t) + u([n], r, t) + vxc ([n], r, t)
(3.36)
befindet. Da aber eine verschwindende Wechselwirkung trivialerweise translationsinvariant
ist, gilt auch im KS–System:
Z
Z
³
´
d2
3
r
n(r,
t)
d
r
=
−
∇v
([n],
r,
t)
n(r, t) d3 r.
(3.37)
s
dt2
Der Vergleich der Gleichungen (3.35) und (3.37) liefert dann das Zwischenergebnis
d̈(t) =
Z
³
´
∇ u([n], r, t) + vxc ([n], r, t) n(r, t) d3 r = 0.
Für das Hartree-Potential
(3.38)
Z
n(r0 , t) 3 0
d r
(3.39)
|r − r0 |
können wir den Gradienten analytisch berechnen. Der erste Term aus Gleichung (3.38)
lautet dann:
Z
Z Z
³
´
n(r, t)n(r0 , t)(r − r0 ) 3 3 0
∇ u([n], r, t) n(r, t) d3 r = −
d rd r .
(3.40)
|r − r0 |3
u([n], r, t) =
Dieser verschwindet aber aus Symmetriegründen, so daß wir als Endergebnis gewinnen:
Z
³
´
∇ vxc ([n], r, t) n(r, t) d3 r = 0.
(3.41)
Physikalisch bedeutet dies, daß die aus dem zeitabhängigen xc–Potential bzw. Hartree–
Potential resultierende Gesamtkraft zu jedem Zeitpunkt verschwindet. Eine analoge Aussage gilt auch in der stationären Dichtefunktionaltheorie [83]. Gleichung (3.41) wurde
unabhängig von uns auch von Vignale bewiesen [84]. Seine Herleitung beruht auf der Invarianz des zeitabhängigen Austausch–Korrelations–Energiefunktionals Axc [n] unter zeitabhängigen Transformationen r → r + s(t) des Bezugssystems. Dabei soll die Größe Axc [n]
die Beziehung
δAxc [n]
(3.42)
= vxc ([n], r, t)
δn(r, t)
erfüllen, ihre Existenz ist aber nicht gesichert [85]. Somit stellen die Betrachtungen dieses
Abschnittes den ersten, vollständigen Beweis der Gleichung (3.41) dar. Abschließend wollen wir noch betonen, daß Gleichung (3.41) eine der wenigen, exakten Aussagen über das
zeitabhängige xc–Potential ist, die bisher bekannt sind.
28
3.5
Kapitel 3. Beschreibung von Atomen in starken Laserpulsen
Allgemeine Aspekte der Harmonic Generation“
”
Die Erzeugung höherer Harmonischer der eingestrahlten Frequenz durch ein Medium ist
ein seit langem bekannter Effekt der nichtlinearen Optik. Er wird dort auf die Anharmonizitäten im Potential, dem die zu Schwingungen angeregten Elektronen des Mediums
ausgesetzt sind, zurückgeführt. Harmonic Generation“ in Atomen beruht auf der Nichtli”
nearität der im Atom wirkenden Coulomb–Kräfte und ist kein quantenmechanischer Vielteilcheneffekt, denn numerische Untersuchungen am klassischen Wasserstoffatom [86] und
auch am anharmonischen, klassischen Oszillator [80] liefern den experimentellen Resultaten ähnliche Harmonische Spektren mit Plateau–Struktur, wenn die erregenden Felder nur
stark genug sind.
Die Beziehungen des letzten Abschnittes erlauben uns, den qualitativen Einfluß der
Coulomb–Wechselwirkung der Elektronen und des Kernpotentials getrennt zu untersuchen. Dazu betrachten wir ein coulombwechselwirkendes Elektronensystem in einem harmonischen Potential, das einem Laserfeld konstanter Intensität ausgesetzt ist. In diesem
Fall lautet das externe Potential:
k
vext (r, t) = E0 z sin(ω0 t) + r2 .
2
(3.43)
Solche Systeme werden auch als Hookesche Atome“ bezeichnet. Mit Hilfe der Gleichung
”
(3.32) erhält man für die zweite Zeitableitung des Dipolmoments:
¨
d(t)
= −
Z
µ
∂
k
E0 z sin(ω0 t) + r2
∂z
2
= −E0 sin(ω0 t) −
Z
¶
n(r, t) d3 r
kz n(r, t) d3 r = −E0 sin(ω0 t) − k d(t).
(3.44)
Fourier–Transformation auf beiden Seiten von (3.44) ergibt
−ω 2 d(ω) = iπδ(ω − ω0 ) − kd(ω),
(3.45)
und man erhält für die Fourier–Transformierte des Dipolmoments
d(ω) =
iπ
δ(ω − ω0 ).
k − ω2
(3.46)
Im Harmonischen Spektrum |d(ω)|2 tritt somit nur eine Linie bei der Frequenz des äußeren
Feldes auf. Die Coulomb–Wechselwirkung der Elektronen trägt daher nicht direkt zum
Prozeß der Harmonic Generation“ bei. Allein die vom Kernpotential erzeugte, nichtlineare
”
Coulomb–Kraft ist hierfür verantwortlich.
3.6. Die Symmetrie der Dichte
3.6
29
Die Symmetrie der Dichte
Zum Abschluß dieses Kapitels wollen wir noch eine allgemeine Fragestellung untersuchen,
deren Beantwortung auch über das betrachtete Gebiet der Laser–Atom–Wechselwirkungen
hinaus von großer Bedeutung ist. Betrachten wir dazu ein Potential v(r), das eine bestimmte Symmetrie aufweist, d. h. es existieren Operationen Ô(T ), unter denen das Potential
v(r) invariant ist:
Ô(T )v(r) = v(T −1 r) = v(r)
für alle T ∈ S.
(3.47)
Diese Operationen bilden eine Gruppe S bezüglich der Hintereinanderausführung. Die
Anzahl der Operationen und damit die Ordnung der Gruppe sei g.
Für ein System von N wechselwirkenden Elektronen, die sich in obigem Potential v
befinden, lautet dann der Hamilton–Operator in erster Quantisierung:
Ĥ(r1 , . . . , rN ) =
N
X
i=1
−
N X
N
i−1
X
X
1
∇2i
v(ri ).
+
+
2
|r − rj | i=1
i=1 j=1 i
(3.48)
Aufgrund der Invarianz der Operatoren der kinetischen Energie und der Coulomb–Wechselwirkung unter beliebigen Rotationen und Translationen aller Elektronenkoordinaten ist
auch der Hamilton–Operator Ĥ(r1 , . . . , rN ) invariant unter den Symmetrieoperationen des
Potentials:
Ô(T )Ĥ(r1 , . . . , rN ) = Ĥ(T −1 r1 , . . . , T −1 rN ) = Ĥ(r1 , . . . , rN )
für alle T ∈ S. (3.49)
Die Gruppe S der Symmetrieoperationen des Potentials bezeichnet man daher auch als
Symmetriegruppe des Hamilton–Operators.
Die Lösungen der stationären Schrödinger–Gleichung
ĤΨ = EΨ
(3.50)
zur gleichen Energie E sind dann nach den irreduziblen Darstellungen der Symmetriegruppe S klassifizierbar:
Ψ(E; r1 , . . . , rN ) = ΨΓ,µ (E; r1 , . . . , rN ).
(3.51)
Dabei bezeichnet Γ die jeweilige irreduzible Darstellung der Symmetriegruppe und µ den
Partner in der Darstellung, falls deren Dimension dΓ größer als Eins ist. Für das Transformationsverhalten einer solchen Lösung gilt somit [87]:
Ô(T )ΨΓ,µ =
dΓ
X
(Γ)
ΨΓ,ν Dνµ
(T ),
(3.52)
ν=1
wobei D(Γ) (T ) die Darstellungsmatrix der irreduziblen Darstellung Γ für die Symmetrieoperation Ô(T ) ist.
30
Kapitel 3. Beschreibung von Atomen in starken Laserpulsen
Nach diesen Vorbetrachtungen zur Klassifikation von Energieeigenzuständen können wir
nun die eigentlich interessierende Frage stellen:
Gegeben sei eine Vielteilchenwellenfunktion mit bekanntem Transformationsverhalten, d. h. wir kennen die Werte Γ und µ von ΨΓ,µ . Was kann man dann
über das Transformationsverhalten der Dichte
Z
n(r) = N
|ΨΓ,µ (r, r2 , . . . , rN )|2 d3 r2 . . . d3 rN
(3.53)
aussagen?
Zur Beantwortung dieser Frage schreiben wir den Ausdruck für die Dichte n(r) in der
Form eines quantenmechanischen Erwartungswertes gemäß
n(r) = hΓ, µ|n̂(r)|Γ, µi
(3.54)
mit dem Dichteoperator in erster Quantisierung für total antisymmetrische Elektronwellenfunktionen
(3.55)
n̂(r) = N δ(r − r1 ).
Als nächstes zerlegen wir die Deltafunktion in Anteile δΓ̃,µ̃ , die sich unter Transformationen
T bezüglich der Koordinate r1 verhalten wie die Partner µ̃ der irreduziblen Darstellung Γ̃
der Symmetriegruppe S [88]:
δ(r − r1 ) =
X
δΓ̃,µ̃ (r, r1 ).
(3.56)
Γ̃,µ̃
Eine solche Zerlegung ist immer möglich und bei gegebener Symmetriegruppe eindeutig.
Für die Anteile δΓ̃,µ̃ gilt:
(Γ̃)
δΓ̃,µ̃ (r, r1 ) = P̂µ̃ δ(r − r1 ).
(Γ̃)
Dabei sind die Projektionsoperatoren P̂µ̃
(Γ̃)
P̂µ̃
=
(3.57)
definiert durch:
dΓ̃ X (Γ̃)∗
D
(T ) Ô(T ).
g T µ̃µ̃
(3.58)
Wir betrachten im folgenden nur einen einzelnen Anteil δΓ̃,µ̃ . Dieser lautet explizit:
δΓ̃,µ̃ (r, r1 ) =
³
´
dΓ̃ X (Γ̃)∗
Dµ̃µ̃ (T ) δ r − T −1 r1 .
g T
(3.59)
Aufgrund der Invarianz der Deltafunktion unter beliebigen Translationen und Rotationen
gilt aber:
³
´
³
´
³
´
(3.60)
δ r − T −1 r1 = δ T (r − T −1 r1 ) = δ T r − r1 ,
3.6. Die Symmetrie der Dichte
31
wobei nun die Transformation T nur auf die Koordinate r wirkt. Für die Darstellungsmatrizen D(Γ̃) (T ) läßt sich folgende Gleichungskette aufstellen:
(Γ̃)
³
Dµ̃µ̃ (T ) = D(Γ̃)−1
´
³
µ̃µ̃
(T −1 ) = D(Γ̃)†
´
(Γ̃)∗
µ̃µ̃
(T −1 ) = Dµ̃µ̃ (T −1 ).
(3.61)
Im vorletzten Schritt wurde dabei ausgenutzt, daß die Darstellungsmatrizen stets unitär
gewählt werden können. Setzt man nun die Ergebnisse aus den Gleichungen (3.60) und
(3.61) in den Ausdruck (3.59) ein, so ergibt sich:
δΓ̃,µ̃ (r, r1 ) =
dΓ̃ X (Γ̃) −1
D (T ) δ(T r − r1 ).
g T µ̃µ̃
(3.62)
Ersetzt man hierin die Summe über die Transformation T noch durch die äquivalente
Summe über die inversen Transformationen T −1 und ändert anschließend den Summationsindex von T −1 wieder auf T , so findet man:
∗
δΓ̃,µ̃
(r, r1 ) =
dΓ̃ X (Γ̃)∗
D
(T ) δ(T −1 r − r1 ).
g T µ̃µ̃
(3.63)
Das Komplexkonjugierte des Anteils δΓ̃,µ̃ erhält man somit als Projektion der Delta∗ (r, r ) transformiert sich daher
funktion bezüglich der Koordinate r. Der Ausdruck δΓ̃,µ̃
1
bezüglich r genauso wie δΓ̃,µ̃ (r, r1 ) bezüglich r1 . Da die Deltafunktion aber reell ist, können
wir Gleichung (3.56) aber auch in der Form
δ(r − r1 ) =
X
Γ̃,µ̃
∗
δΓ̃,µ̃
(r, r1 )
(3.64)
schreiben und kennen damit das Transformationsverhalten der einzelnen Anteile bezüglich
der Koordinate r.
Für den Dichteoperator resultiert daraus die Zerlegung
n̂(r) =
X
n̂Γ̃,µ̃ (r),
(3.65)
Γ̃,µ̃
wobei die einzelnen Terme gegeben sind durch:
∗
(r, r1 ).
n̂Γ̃,µ̃ (r) = N δΓ̃,µ̃
(3.66)
Die Dichte n(r) läßt sich dann schreiben als
n(r) =
X
nΓ̃,µ̃ (r)
(3.67)
Γ̃,µ̃
mit
nΓ̃,µ̃ (r) = hΓ, µ|n̂Γ̃,µ̃ (r)|Γ, µi.
(3.68)
32
Kapitel 3. Beschreibung von Atomen in starken Laserpulsen
SI
E
I
D(0)
1
1
D(1)
1
-1
Tabelle 3.1: Darstellungsmatrizen der Inversionsgruppe für die beiden eindimensionalen,
irreduziblen Darstellungen Γ = 0 und Γ = 1.
Nun haben wir das Problem soweit umformuliert, daß wir die Auswahlregeln der Gruppentheorie anwenden können. Diese sagen aus, daß die Erwartungswerte hΓ, µ|n̂Γ̃,µ̃ (r)|Γ, µi
verschwinden, wenn in der Produktdarstellung [Γ ⊗ Γ] ⊗ Γ̃ die sogenannte vollsymmetrische Darstellung Γ = 0 nicht enthalten ist2 . Die nichtverschwindenden Erwartungswerte
transformieren sich aber wegen der Beziehung (3.66) wie der Partner µ̃ der irreduziblen
Darstellung Γ̃. Die Bedingung, daß die Produktdarstellung [Γ⊗Γ]⊗ Γ̃ die vollsymmetrische
Darstellung enthält, ist äquivalent zu der Forderung, daß die symmetrische Produktdarstellung [Γ ⊗ Γ] die irreduzible Darstellung Γ̃ enthält. Eine weitere Auswertung dieser
Bedingung ist allerdings nicht in voller Allgemeinheit durchführbar, sondern muß für jede vorliegende Symmetriegruppe S separat untersucht werden. Im weiteren wollen wir
daher zwei spezielle Fälle betrachten: Die Inversionsgruppe, die nur zwei Elemente (das
Einselement E und die Inversion I) besitzt, und die Drehgruppe SO(3).
Die Inversionsgruppe SI = {E, I} ist eine abelsche Gruppe der Ordnung 2. Sie besitzt
daher zwei eindimensionale, irreduzible Darstellungen Γ = 0 und Γ = 1. Die Darstellungsmatrizen, die in diesem Fall nur Zahlen sind, sind in Tabelle 3.1 aufgeführt. Wellenfunktionen ΨΓ (r1 , . . . , rN ), die sich nach den irreduziblen Darstellungen klassifizieren lassen,
besitzen dann das folgende Transformationsverhalten:
Ψ0 (r1 , . . . , rN ),
Ô(I)Ψ0 (r1 , . . . , rN ) = Ψ0 (−r1 , . . . , −rN ) =
Ô(I)Ψ1 (r1 , . . . , rN ) = Ψ1 (−r1 , . . . , −rN ) = −Ψ1 (r1 , . . . , rN ),
(3.69)
d. h. Wellenfunktionen mit Γ = 0 sind gerade, Wellenfunktionen mit Γ = 1 ungerade
Funktionen. Für die resultierenden Dichten
Z
n(r) = N
|ΨΓ (r, r2 , . . . , rN )|2 d3 r2 . . . d3 rN
mit Γ = 0, 1
(3.70)
erkennt man in diesem Beispiel anhand der Betragsquadratbildung im Integranden sofort, daß es sich in beiden Fällen um eine gerade Funktion handelt. Dieses offensichtliche
Resultat wollen wir aber nun mit unserer allgemeinen Theorie reproduzieren.
Dabei bezeichnet [Γ ⊗ Γ] das symmetrische, direkte Produkt der irreduziblen Darstellung Γ mit sich
selbst.
2
3.6. Die Symmetrie der Dichte
33
Die Aufspaltung (3.56) der Deltafunktion nimmt für die Inversionsgruppe die folgende
Form an:
(3.71)
δ(r − r1 ) = δ0 (r, r1 ) + δ1 (r, r1 )
mit
δ0 (r, r1 ) =
δ1 (r, r1 ) =
´
1³
δ(r − r1 ) + δ(r + r1 ) ,
2
´
1³
δ(r − r1 ) − δ(r + r1 ) .
2
(3.72)
(3.73)
Nutzt man nun für den jeweils ersten Term der rechten Seiten die Invarianz der Deltafunktion unter Inversion des Arguments aus, so erhält man:
δ0 (r, r1 ) =
δ1 (r, r1 ) =
´
1³
δ(r1 − r) + δ(r1 + r) ,
2
´
1³
δ(r1 − r) − δ(r1 + r) .
2
(3.74)
(3.75)
In dieser Form ist es leicht ersichtlich, daß die Anteile δΓ bezüglich der Koordinaten r und
r1 dasselbe Transformationsverhalten besitzen. Für die Dichte ergeben sich zwei Beiträge:
n(r) = n0 (r) + n1 (r)
(3.76)
n0 (r) = hΓ|n̂0 (r)|Γi,
(3.77)
n1 (r) = hΓ|n̂1 (r)|Γi.
(3.78)
mit
Um nun aussagen zu können, ob einer der beiden Beiträge verschwindet, müssen wir die
in der symmetrischen Produktdarstellung [Γ ⊗ Γ] enthaltenen, irreduziblen Darstellungen
Γ̃ für die Fälle Γ = 0 und Γ = 1 ermitteln. Dazu sind die Koeffizienten aΓΓΓ̃ der direkten
Summe in der symbolischen Gleichung
[Γ ⊗ Γ] =
M
aΓΓΓ̃ Γ̃
(3.79)
Γ̃
zu bestimmen. Diese ergeben sich nach [89] als:
aΓΓΓ̃ =
´
1 X 1 ³ (Γ) 2
χ
(T ) + χ(Γ) (T 2 ) χ(Γ̃)∗ (T ),
g T 2
(3.80)
wobei die Charaktere χ(Γ) (T ) durch die Spuren der Darstellungsmatrizen D(Γ) (T ) gegeben
sind. Im Falle der Inversionsgruppe sind damit die Charaktere mit den Darstellungsmatrizen identisch. Somit erhält man mit Hilfe der Abbildung 3.1 für die Koeffizienten:
aΓΓ0 =
aΓΓ1 =
1
(2 · 1 + 2 · 1) = 1,
4
1
(2 · 1 − 2 · 1) = 0.
4
(3.81)
(3.82)
34
Kapitel 3. Beschreibung von Atomen in starken Laserpulsen
Die symmetrische Produktdarstellung [Γ⊗Γ] enthält daher unabhängig von Γ nur die vollsymmetrische Darstellung Γ̃ = 0. Damit verschwindet der Beitrag n1 (r) zur Dichte, und
es bleibt nur der vollsymmetrische Anteil n0 (r) übrig, der invariant unter allen Gruppentransformationen und damit eine gerade Funktion ist. Die Aussage unserer Theorie steht
somit im Einklang mit dem bereits direkt aus Gleichung (3.70) gewonnenen Resultat.
Nachdem wir die Methode am einfachen Beispiel der Inversionsgruppe dargestellt haben, wollen wir noch den interessanten Fall der Drehgruppe SO(3) behandeln. Wir übernehmen dazu die für diese Gruppe üblichen Konventionen und bezeichnen die irreduziblen
Darstellungen Γ mit dem Buchstaben L, der die Werte 0, 1, 2, . . . annehmen kann, und die
Partner in einer Darstellung mit dem Buchstaben M , wobei gilt: M = −L, −L + 1, . . . , L.
Eine Vielteilchenwellenfunktion Ψ(r1 , . . . , rN ) mit gegebenen Transformationsverhalten
wird dann als
(3.83)
Ψ(r1 , . . . , rN ) = ΨLM (r1 , . . . , rN )
geschrieben. Ziel ist es nun, die nichtverschwindenden Beiträge nlm (r) zur Dichte
n(r) =
X
nlm (r)
(3.84)
l,m
der Vielteilchenwellenfunktion ΨLM (r1 , . . . , rN ) zu bestimmen. Die dabei zugrundeliegende Aufspaltung der Deltafunktion im Dichteoperator lautet in Kugelkoordinaten:
δ(r − r1 ) =
X
1
∗
δ(r − r1 )
Ylm (θ, φ)Ylm
(θ1 , φ1 ).
2
r
l,m
(3.85)
Nach unserer allgemeinen Theorie müssen wir nun die reduzible, symmetrische Produktdarstellung [L ⊗ L] in ihre irreduziblen Bestandteile, die wir mit l bezeichnen wollen,
zerlegen. Wie im Beispiel der Inversionsgruppe sind die Koeffizienten aLLl der Gleichung
[L ⊗ L] =
M
aLLl l
(3.86)
l
gesucht. Diese lassen sich aus der für alle Operationen R = R(α) der Drehgruppe3 gültigen
Beziehung [89]
´ X
1 ³ (L) 2
χ
(R) + χ(L) (R2 ) =
aLLl χ(l) (R)
(3.87)
2
l
bestimmen. Die Charaktere χ(L) (R) der Drehgruppe sind dabei gegeben durch [90]:
χ(L) (R(α)) =
L
X
eiM α
(3.88)
M =−L
mit
α = |α|.
3
Betrag und Richtung von α geben den Drehwinkel und die Lage der Drehachse an.
(3.89)
3.6. Die Symmetrie der Dichte
35
Um die Koeffizienten aus der Gleichung (3.87) zu erhalten, werten wir zunächst die linke
Seite aus. Dazu betrachten wir vorerst nur den ersten Term. Für diesen gilt:

(L) 2
χ
(R) = 
2
L
X
iM α 
e
M =−L
=
L
X
L
X
i(M +N )α
e
=
2L X
l
X
M =−L N =−L
eimα .
(3.90)
l=0 m=−l
Dabei ist das letzte Gleichheitszeichen der mathematische Grund für die bekannte Tatsache, daß man bei der Addition von zwei Drehimpulsen der Quantenzahl L alle Drehimpulse
von 0 bis 2L genau einmal erhält. Für den zweiten Term der linken Seite von Gleichung
(3.87) ergibt sich:
χ(L) (R2 (α)) = χ(L) (R(2α)) =
L
X
e2iM α ,
(3.91)
M =−L
da eine Hintereinanderausführung von zwei Drehungen um den Winkel α mit einer Drehung um den Winkel 2α identisch ist. Fassen wir nun die Ergebnisse aus (3.90) und (3.91)
zusammen, so erhalten wir:
2L X
l
X
eimα +
2L
X
eimα +
m=−2L
=
2L
X
2L−1
X
eimα +
m=−2L+1
2L
X
eimα +
m=−2L+2
2L−3
X
+ ... +
+
e−2iLα
+ e−2i(L−1)α
+ ...
eimα
+
2L−2
X
eimα +
m=−2L+2
2L−2
X
eimα
m=0
m=−2L+3
+ e2i(L−1)α
2L
X
0
X
eimα + . . . +
e2iLα
m=−2L
l
X
2L−2
X
+
eimα +
m=−2L
=2
e2iM α
M =−L
l=0 m=−l
=
L
X
eimα + . . . + 2
e0
0
X
eimα
m=0
m=−2L+2
eimα
.
l=0 m=−l
gerade
(3.92)
Mit diesem Ergebnis stellt sich die linke Seite von Gleichung (3.87) wie folgt dar:
2L
l
2L
´
X
X
X
1 ³ (L) 2
χ
(R) + χ(L) (R2 ) =
eimα =
χ(l) (R).
2
l=0 m=−l
l=0
gerade
gerade
(3.93)
36
Kapitel 3. Beschreibung von Atomen in starken Laserpulsen
Durch Vergleich mit der rechten Seite von Gleichung (3.87) findet man für die gesuchten
Koeffizienten:
(
1
für l = 0, 2, 4, . . . , 2L,
(3.94)
aLLl =
0
sonst.
Die Dichte n(r) einer Vielteilchenwellenfunktion mit den Quantenzahlen L und M enthält
damit nur Beiträge nlm (r) mit geradem l bis zu einem Maximalwert von 2L. Alle anderen
Beiträge der Zerlegung sind identisch Null. Somit erhalten wir vorläufig:
n(r) =
2L
X
l
X
nlm (r).
(3.95)
l=0 m=−l
gerade
Die nichtverschwindenden Beiträge kann man noch mit Hilfe des Wigner–Eckart–Theorems
weiter untersuchen. Nach diesem gilt:
Ã
nlm (r) = hLM |n̂lm (r)|LM i = (−1)
M
L
−M
L
M
l
m
!
hhL|n̂l (r)|Lii.
(3.96)
Dabei bezeichnet hhL|n̂l (r)|Lii das (durch die obige Gleichung erst definierte) reduzierte Matrixelement, das unabhängig von M und m ist. Eine Definition der verwendeten
Wigner–3j–Symbole sowie deren wichtigste Eigenschaften findet man in [91]. Im folgenden
wollen wir einige dieser Eigenschaften benutzen, um weitere Ergebnisse für die Beiträge
nlm (r) zu erhalten. Beispielsweise sind die Wigner–3j–Symbole nur dann verschieden von
Null, wenn die Summe der drei unteren Elemente gleich Null ist, d. h. wenn gilt:
−M + M + m = m = 0.
(3.97)
Die Gleichung (3.95) vereinfacht sich somit weiter zu:
n(r) =
2L
X
nl0 (r).
(3.98)
l=0
gerade
Dabei lauten die Beiträge nl0 (r) wegen der Beziehungen (3.66) und (3.85) explizit:
nl0 (r) =
mit
N
Yl0 (θ, φ)hLM |δ(r − r1 )Yl0∗ (θ1 , φ1 )|LM i = nl (r)Yl0 (θ, φ)
r2
(3.99)
Z
N
δ(r − r1 )Yl0∗ (θ1 , φ1 )|ΨLM (r1 , . . . , rN )|2 d3 r1 . . . d3 rN .
r2
Damit verhält sich die Dichte unter Drehungen R(α) wie folgt:
nl (r) =
Ô(R) n(r) =
2L
X
Ô(R) nl0 (r) =
l=0
=
l=0
gerade
nl (r)Ô(R)Yl0 (θ, φ)
l=0
gerade
2L
X
2L
X
(3.100)
gerade
nl (r)
l
X
m=−l
(l)
Ylm (θ, φ) Dm0 (R),
(3.101)
3.6. Die Symmetrie der Dichte
37
wobei D(l) (R) die (2l+1)–dimensionale Darstellungsmatrix der Drehung R bezeichnet. Die
Gleichung (3.101) ist das zentrale Resultat dieses Abschnitts. Interessant ist aber auch die
Benutzung der Beziehungen (3.98) und (3.101) in umgekehrter Richtung: Verschwinden
für eine gegebene Dichte n(r) alle ungeraden Beiträge nlm (r)
lX
max
n(r) =
nlm (r),
(3.102)
l=0
gerade
dann ist die zugrundeliegende Wellenfunktion mit den Quantenzahlen L und M klassifizierbar. Der Drehimpuls L ergibt sich weiterhin als die Hälfte des größten, in der Dichte
n(r) auftretenden Drehimpulses lmax .
Mittels der Beziehung
Ã
L
−M
L
M
0
0
!
= (−1)L+M (2L + 1)− 2
1
(3.103)
ergibt sich für den Beitrag n00 (r) nach Gleichung (3.96):
n00 (r) = (−1)L (2L + 1)− 2 hhL|n̂0 (r)|Lii.
1
(3.104)
Der vollsymmetrische Anteil n00 (r) der Dichte ist damit bei festem L unabhängig von M .
(LM )
(LM 0 )
(r) mit l = 2, 4, 6, . . . , 2L, die aus
Betrachtet man aber die Beiträge nl0 (r) und nl0
den Vielteilchenwellenfunktionen ΨLM und ΨLM 0 folgen, so gilt nach dem Wigner–Eckart–
Theorem für deren Verhältnis
(LM )
nl0
(r)
nl0
(r)
(LM 0 )
Ã
M −M 0
= (−1)
L
−M
L
M
l
0
!,Ã
L
L l
0
−M M 0 0
!
.
(3.105)
Abschließend wollen wir noch die Ergebnisse für die Drehgruppe anhand eines einfachen
Beispiels verdeutlichen. Wir nehmen dazu Einteilchenorbitale mit L = 1 und M = 0, ±1:
r
3
R(r) cos θ,
r 4π
3
ψ1,±1 (r) =
R(r) sin θ e±iφ .
8π
ψ1,0 (r) =
(3.106)
(3.107)
Die resultierenden Dichten lauten dann:
n(1,0) (r) =
n(1,±1) (r) =
3 2
R (r) cos2 θ,
4π
3 2
R (r) sin2 θ.
8π
(3.108)
(3.109)
38
Kapitel 3. Beschreibung von Atomen in starken Laserpulsen
q
Deren Zerlegung kann aber alleine mit Hilfe der Kugelfunktionen Y0,0 (θ, φ) =
q
Y2,0 (θ, φ) =
5
2
16π (3 cos θ
n
2
(r) = R (r)
Ãr
n
(1,±1)
und
− 1) durchgeführt werden:
Ãr
(1,0)
1
4π
2
(r) = R (r)
1
Y0,0 (θ, φ) +
4π
1
Y0,0 (θ, φ) −
4π
r
r
!
1
Y2,0 (θ, φ) ,
5π
(3.110)
1
Y2,0 (θ, φ) .
20π
(3.111)
!
Wie nach Gleichung (3.98) zu erwarten war, erhalten wir für die p–Zustände mit L = 1
Dichten, die nur einen s–Anteil und einen d–Anteil enthalten. Außerdem ist der vollsymmetrische s–Anteil für alle M –Werte (wie oben allgemein gezeigt) derselbe.
Kapitel 4
Ein semiklassisches Modell
Bevor wir uns der Darstellung der numerischen Ergebnisse zuwenden, wollen wir in diesem
Kapitel anhand eines semiklassischen Modells [92, 93] ein zumindest qualitatives Verständnis dafür vermitteln, was man von den exakten, quantenmechanischen Rechnungen erwarten kann. Das dem semiklassischen Modell zugrundeliegende physikalische Bild der
Harmonic Generation“ ist von folgender Überlegung geprägt [94]: Die ins Kontinuum an”
gehobenen Elektronen werden im oszillierenden Feld des Lasers beschleunigt und können
dabei am Potential des erzeugten Ions streuen. Ist diese Streuung inelastisch, wird ein
Photon mit einer Frequenz, die ein ungerades Vielfaches der eingestrahlten Laserfrequenz
ist, emittiert. Im folgenden werden wir das Modell für ein monochromatisches Laserfeld
der Frequenz ω0 und der Feldstärke E0 vorstellen.
4.1
Ein–Farben–Felder
Das semiklassische Modell erklärt die Erzeugung hoher Harmonischer in zwei Schritten.
Der erste Schritt beinhaltet die Freisetzung eines Elektrons aus dem Atom durch einen
quantenmechanischen Prozeß. Die charakterisierende Größe hierfür ist der sogenannte
Keldysh–Parameter [95]
ω0
γ=
.
(4.1)
E0
Je nach der Größenordnung von γ dominiert ein anderer Prozeß die Erzeugung des freien
Elektrons [47]:
1. Für γ ¿ 1, d. h. für große Wellenlängen und Felder, kann das Elektron durch quantenmechanisches Tunneln dem Kernpotential entkommen, da dieses durch das Laserfeld in der z–Richtung stark abgesenkt wird. Das entstehende, effektive Potential ist
in Abbildung 4.1 dargestellt.
39
40
Kapitel 4. Ein semiklassisches Modell
Potentielle Energie (a. u.)
4
Kernpotential
Laserpotential
Effektives Potential
2
0
-2
-4
-6
-8
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
z–Koordinate (a. u.)
Abbildung 4.1: Effektives Potential aus der Überlagerung von Kernpotential und Laserpotential.
2. Für γ À 1 fällt die Deformation des Kernpotentials sehr viel geringer aus. Die
Freisetzung eines Elektrons ist in diesem Fall Folge eines Multiphotonenprozesses,
d. h. der Absorption mehrerer Photonen durch ein Elektron.
Für das so erzeugte, freie Elektron kann man annehmen, daß es sich in unmittelbarer
Kernnähe befindet und verschwindende kinetische Energie besitzt. Den Zeitpunkt der Freisetzung bezeichnen wir mit t0 = 0. Das Laserfeld habe in diesem Moment die Phase α.
Im zweiten Schritt löst man nun die klassische Newton–Gleichung für die Bewegung
des Elektrons in z–Richtung im Laserfeld −E0 sin(ω0 t + α). Dabei findet man:
a(t) = −E0 sin(ω0 t + α),
E0
cos(ω0 t + α) + v0 ,
v(t) =
ω0
E0
z(t) =
sin(ω0 t + α) + v0 t + z0 .
ω02
(4.2)
(4.3)
(4.4)
Mit den Anfangsbedingungen v(0) = z(0) = 0 erhält man für die Integrationskonstanten:
E0
cos α,
ω0
E0
= − 2 sin α.
ω0
v0 = −
(4.5)
z0
(4.6)
4.1. Ein–Farben–Felder
41
Das Elektron führt somit eine Überlagerung von Oszillation und Driftbewegung mit
der Geschwindigkeit v0 aus. Die in der Oszillationsbewegung enthaltene kinetische Energie
berechnen wir durch Mittelung über eine Laserperiode T = ω2π0 :
Ekin =
=
1
1
(v(t) − v0 )2 =
2
2T
E02
2ω02 T
ZT
0
ZT
(v(t) − v0 )2 dt
0
cos2 (ω0 t + α) dt =
E02
.
4ω02
(4.7)
Diese Größe bezeichnet man auch als ponderomotorisches Potential Up .
Verfolgt man nun die Bewegung z(t) des Elektrons, so findet man, daß das Elektron für
bestimmte Phasen α nochmals zum Kernort z = 0 zurückkehrt, bevor es schließlich aufgrund der konstanten Driftbewegung ins Unendliche entkommt. In Abbildung 4.2 ist dieses
Verhalten für α = 1, 5 dargestellt. Bei jedem Zusammentreffen mit dem Kern besteht aber
die Möglichkeit, daß das Elektron wieder eingefangen wird und dabei ein Photon emittiert. Die Energie dieses Photons ist dann gleich der Summe aus der wieder freiwerdenden
Ionisationsenergie I0 des Atoms und der kinetischen Energie des Elektrons zum Zeitpunkt
der Rückkehr. Die Abbildung 4.3 zeigt die auftretenden Rückkehrenergien des Elektrons
in Einheiten des ponderomotorischen Potentials für verschiedene Anfangsphasen α. Dabei ist zu beachten, daß es die Möglichkeit mehrerer Rückkehrzeiten und damit mehrerer
Rückkehrenergien gibt (siehe auch Abbildung 4.2). Die Invarianz des Laserpotentials unter gleichzeitiger Spiegelung des Koordinatensystems am Ursprung und Verschiebung der
Phase α um den Wert π spiegelt sich in der Periodizität der Rückkehrenergien mit der
Periode π wieder. Entscheidend ist aber nun die Tatsache, daß es eine maximale Rückkehrenergie von 3, 2 Up gibt. Das semiklassische Modell sagt daher für die höchstmögliche
Photonenenergie den Wert
(4.8)
ωmax = I0 + 3, 2 Up
vorher. Die Beziehung (4.8) ist unter dem Namen cutoff“–Regel in der Literatur be”
kannt. Trotz der Einfachheit des semiklassischen Modells liefert die cutoff“–Regel für das
”
Wasserstoffatom jedoch gute Werte (siehe Kapitel 5.1.2).
Das Auftreten der Driftgeschwindigkeit v0 sorgt letztendlich für die Ionisation des
Atoms im Laserfeld, d. h. ab einem gewissen Zeitpunkt kann das Elektron nicht mehr
zum Kern zurückkehren. Je kleiner die Driftgeschwindigkeit und damit die Ionisationsrate
ist, desto mehr Rückkehrzeitpunkte, zu denen ein Photon emittiert werden kann, treten
auf. Man erwartet daher eine größere Effizienz für die Erzeugung hoher Harmonischer bei
Laserparametern, die nur zu einer geringen Ionisation der Atome führen. Nach dem semiklassischen Modell sind daher Harmonic Generation“ und Above–Threshold Ionization“
”
”
konkurrierende Prozesse.
42
Kapitel 4. Ein semiklassisches Modell
2
z(t)
z–Koordinate (a. u.)
1
0
-1
-2
-3
-4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Zeit in Laserperioden
Abbildung 4.2: Bewegung eines klassischen Elektrons im Laserfeld mit ω0 = E0 = 1. Zum
Zeitpunkt der Freisetzung hat das Feld die Phase α = 1, 5.
Rückkehrenergie in Einheiten von Up
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0
0
π/2
π
3π/2
2π
Phase α
Abbildung 4.3: Rückkehrenergien des Elektrons in Einheiten des ponderomotorischen Potentials für verschiedene Anfangsphasen α.
4.2. Zwei–Farben–Felder
43
Abschließend wollen wir noch auf den bisher noch nicht betrachteten Fall der zirkularen Polarisation des Laserfeldes eingehen. Auch hierfür läßt sich ein semiklassisches
Modell aufstellen. Rotiert der Feldstärkevektor in der xy–Ebene, muß man die Newton–
Gleichungen für die Bewegungen in der x–Richtung und der y–Richtung lösen. Die daraus
resultierenden Bahnkurven in der xy–Ebene kehren aber im allgemeinen nicht wieder direkt zum Kern zurück, sondern verlaufen höchstens in Kernnähe. Die Wahrscheinlichkeit
für ein Einfangen des Elektrons durch den Kern ist damit in diesem Bild erheblich herabgesetzt. Nach dem semiklassischen Modell erwartet man daher eine wesentlich geringere
Erzeugung hoher Harmonischer bei Verwendung von zirkular polarisierten Lasern. Diese
Vorhersage wird durch Experimente an Neon [96] bestätigt, bei denen man eine deutliche
Abnahme der Intensität der Harmonischen mit zunehmender Elliptizität ² = Ey /Ex des
Laserfeldes findet.
4.2
Zwei–Farben–Felder
Wir wollen nun die Betrachtungen des letzten Abschnitts daraufhin verallgemeinern, daß
der Laserpuls nicht nur die Grundfrequenz ω0 , sondern auch deren k–te Harmonische kω0
enthält. Beide Anteile sollen die gleiche Feldstärke E0 besitzen, dürfen aber eine konstante
Phasendifferenz δ aufweisen. In diesem Fall müssen wir die Newton–Gleichung für ein
klassisches Elektron im Feld −E0 sin(ω0 t + α) − E0 sin(kω0 t + α + δ) lösen, wobei α die
Phase des Grundfeldes zum Zeitpunkt t0 = 0 der Freisetzung des Elektrons bezeichnet.
Dabei erhält man:
a(t) = −E0 sin(ω0 t + α) − E0 sin(kω0 t + α + δ),
E0
E0
v(t) =
cos(ω0 t + α) +
cos(kω0 t + α + δ) + v0 ,
ω0
kω0
E0
E0
z(t) =
sin(ω0 t + α) + 2 2 sin(kω0 t + α + δ) + v0 t + z0 .
ω02
k ω0
(4.9)
(4.10)
(4.11)
Für die Integrationskonstanten findet man mit den gleichen Anfangsbedingungen wie im
monochromatischen Fall die Werte:
E0
E0
cos α −
cos(α + δ),
ω0
kω0
E0
E0
= − 2 sin α − 2 2 sin(α + δ).
ω0
k ω0
v0 = −
(4.12)
z0
(4.13)
Die Lösung der Bewegungsgleichung ist nun eine Überlagerung von Driftbewegung und
zwei Oszillationen: eine Oszillation mit der Grundfrequenz ω0 und eine Oszillation mit der
harmonischen Frequenz kω0 aber einer um einen Faktor 1/k 2 kleineren Amplitude. Für
44
Kapitel 4. Ein semiklassisches Modell
die mittlere kinetische Energie bzw. für das ponderomotorische Potential ergibt sich bei
Mittelung über die Periode T des Grundfeldes:
Up =
=
=
1
1
(v(t) − v0 )2 =
2
2T
1
2T
ZT
0
E02
2ω02 T
+
µ
(v(t) − v0 )2 dt
0
¶2
E0
E0
cos(ω0 t + α) +
cos(kω0 t + α + δ)
ω0
kω0
ZT
dt
cos2 (ω0 t + α) dt
0
E02
i
kω02 T
ZT
cos(ω0 t + α) cos(kω0 t + α + δ) dt
0
E2
+ 2 02
2k ω0 T
=
ZT
ZT
cos2 (kω0 t + α + δ) dt
0
E02
E02
+
.
4ω02 4k 2 ω02
(4.14)
Das ponderomotorische Potential ist daher unabhängig von der Phasendifferenz δ gegeben
durch die Summe der ponderomotorischen Potentiale der einzelnen Felder alleine. Dieses
Ergebnis wird durch die experimentellen Arbeiten von Bucksbaum [42] und die numerischen Rechnungen von Kulander [48] bestätigt.
Durch Betrachtung der Rückkehrenergien bei der numerischen Auswertung der Bahnkurve läßt sich wie im letzten Abschnitt eine cutoff“–Regel für Zwei–Farben–Pulse ab”
leiten. Da man aber mit der Phasendifferenz δ einen zusätzlichen, freien Parameter hat,
nimmt die cutoff“–Regel nun die folgende Form an:
”
ωmax = I0 + c(δ) Up ,
(4.15)
d. h. man erwartet für verschiedene Phasendifferenzen δ unterschiedliche Abschneidefrequenzen ωmax im Harmonischen Spektrum.
Bevor wir jedoch die Fälle k = 2 und k = 3 ausführlicher studieren, wollen wir noch
die gemachte Einschränkung auf parallel polarisierte Felder diskutieren. Im semiklassischen Modell lassen sich die Newton–Gleichungen für beliebige Polarisationen leicht lösen.
Betrachtet man zum Beispiel zwei linear polarisierte Felder, so verläuft die Bahnkurve des
Elektrons in der durch die beiden Polarisationsvektoren aufgespannten Ebene. Im Gegensatz zur parallelen Polarisation führt das Elektron eine zweidimensionale Bewegung aus.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Bahnkurve dann noch durch den Ursprung führt,
und Strahlung emittiert wird, ist dadurch erheblich herabgesetzt. Auf der Suche nach
4.2. Zwei–Farben–Felder
45
großer Effizienz in der Erzeugung hoher Harmonischer kann man sich daher nach dem semiklassischen Modell auf die Betrachtung von parallel polarisierten Feldern beschränken.
Auch diese Vorhersage wird von numerischen und experimentellen Ergebnissen [45, 49]
bestätigt.
4.2.1
Grundfrequenz und zweite Harmonische
Im folgenden werden wir uns dem Fall k = 2 zuwenden. Das Elektron bewegt sich demnach
im Laserfeld, das eine Grundfrequenz und deren zweite Harmonische enthält. Für das
elektrische Feld gilt dann:
E(t) = −E0 sin(ω0 t + α) − E0 sin(2ω0 t + α + δ).
(4.16)
Bevor wir aber auf die numerischen Ergebnisse für die Rückkehrenergien eingehen, wollen
wir die Symmetrie des Feldes E(t) betrachten [48]. Dazu schreiben wir Gleichung (4.16)
mit Hilfe der Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen als
µ
¶
µ
¶
ω0 t 0 − α
ω0 t 0 − α
− δ cos
,
E(t) = −2E0 sin
2
2
(4.17)
wobei t0 gegeben ist durch
ω0 t0 = ω0 t + α + δ.
(4.18)
In dieser Form erkennt man nun deutlich die Invarianz des Zwei–Farben–Feldes unter
Ersetzung von δ durch δ ± π und gleichzeitiger Inversion des Koordinatensystems am Ursprung. Die Bahnkurven des Elektrons für die Parameterwerte δ und δ ± π gehen daher
durch Spiegelung an der xy–Ebene auseinander hervor. Für die auftretenden Rückkehrenergien in Abhängigkeit von der Phasendifferenz δ erwartet man daher eine Periode von
π anstelle von 2π.
Durch numerische Auswertung der Rückkehrbedingung z(t) = 0 für eine feste Phasendifferenz δ bestimmen wir wie in Abschnitt 4.1 die maximale Rückkehrenergie des Elektrons. Die so erhaltenen Werte sind in Abbildung 4.4 als Funktion der Phasendifferenz aufgetragen. Die Rechnungen wurden für mehrere Laserwellenlängen im Bereich von 248 nm
bis 1064 nm und Intensitäten zwischen 1013 W/cm2 und 1015 W/cm2 durchgeführt und erwiesen sich als weitgehend unabhängig von den gewählten Laserparametern. Die erwartete
Periodizität der maximalen Rückkehrenergien ist deutlich erkennbar. Die cutoff“–Regel
”
für einen Zwei–Farben–Puls aus Grundfrequenz und ihrer zweiten Harmonischen lautet
damit:
(4.19)
ωmax = I0 + c2 (δ) Up ,
wobei c2 (δ) durch Abbildung 4.4 gegeben ist. Die Funktion c2 (δ) verläuft zwischen den
Werten 4,20 bei δ = 0, 67 π und 4,86 bei δ = 0, 05 π. Für die Laserparameter I =
46
Kapitel 4. Ein semiklassisches Modell
Rückkehrenergie in Einheiten von Up
5,0
c2 (δ)
4,5
4,0
−π
0
π
Phasendifferenz δ
Abbildung 4.4: Maximale Rückkehrenergien des Elektrons in Einheiten des ponderomotorischen Potentials als Funktion der Phasendifferenz δ. Das treibende Feld besteht aus
einer Grundfrequenz und deren zweiter Harmonischen.
2 · 1013 W/cm2 und λ = 1064 nm führt dies im Wasserstoffatom mit I0 = 0, 5 auf Abschneidefrequenzen von ωmax = 0, 906 bis ωmax = 0, 970, d. h. das Ende des Plateaus
kann durch Veränderung der Phasendifferenz zwischen der 21. und der 23. Harmonischen
variiert werden.
4.2.2
Grundfrequenz und dritte Harmonische
Für den Fall k = 3, d. h. der Anregung mit einer Grundfrequenz und deren dritter Harmonischen, lautet das elektrische Feld des Lasers:
E(t) = −E0 sin(ω0 t + α) − E0 sin(3ω0 t + α + δ).
(4.20)
Im Gegensatz zum letzten Unterabschnitt liegt hier keine Symmetrie des Feldes vor. Eine
numerische Auswertung der Bewegung liefert hier die cutoff“–Regel
”
ωmax = I0 + c3 (δ) Up
(4.21)
mit der Funktion c3 (δ) aus Abbildung 4.5. Die Änderung der Rückkehrenergien fällt hier
viel stärker aus als bei der Rechnung mit einer Grundfrequenz und deren zweiter Harmonischen, denn die Zahlenwerte von c3 (δ) liegen nun im Bereich zwischen 2,80 bei δ = −0, 73 π
4.2. Zwei–Farben–Felder
47
Rückkehrenergie in Einheiten von Up
5,0
c3 (δ)
4,5
4,0
3,5
3,0
2,5
−π
0
π
Phasendifferenz δ
Abbildung 4.5: Maximale Rückkehrenergien des Elektrons in Einheiten des ponderomotorischen Potentials als Funktion der Phasendifferenz δ. Das treibende Feld besteht aus
einer Grundfrequenz und deren dritter Harmonischen.
und 4,70 bei δ = 0, 36 π. Für die Laserparameter I = 2·1013 W/cm2 und λ = 1064 nm werden damit Abschneidefrequenzen erwartet, die zwischen der 17. und der 21. Harmonischen
liegen.
Abschließend wollen wir noch die erhaltenen Zahlenwerte für die Fälle k = 2 und k = 3
mit dem Wert, den man für ein monochromatisches Laserfeld findet, vergleichen. Dabei
muß man aber bedenken, daß ein Atom in einem Zwei–Farben–Puls mit zwei Anteilen der
Feldstärke E0 der doppelten Intensität ausgesetzt ist wie ein Atom in einem einfarbigen
Puls. Damit ein Vergleich sinnvoll ist, müssen wir daher für den monochromatischen Laser
die doppelte Intensität wählen. Nach der cutoff“–Regel (4.8) treten dann Harmonische
”
bis zur 23. Ordnung auf. Bei der Verwendung von Zwei–Farben–Feldern ist demnach keine
Verschiebung des Plateaus zu höheren Frequenzen hin zu erwarten.
Kapitel 5
Ergebnisse und Diskussion
Nachdem das semiklassische Modell uns bereits einen ersten Einblick in die zu erwartenden Resultate gegeben hat, werden wir in diesem Kapitel die Ergebnisse der durchgeführten, numerischen Rechnungen vorstellen. Vorher möchten wir aber betonen, daß die
benutzten, quantenmechanischen Gleichungen nur das Verhalten eines einzelnen Atoms im
Laserfeld beschreiben. Nach den Erkenntnissen von Unterabschnitt 3.4.1 können dadurch
jedoch auch die Effekte, die in realen Experimenten an Gasströmen auftreten, in sehr guter
Näherung erfaßt werden.
5.1
Wasserstoff
Wir beginnen mit unseren Resultaten für das Wasserstoffatom, da dieses System aufgrund der fehlenden Elektron–Elektron–Wechselwirkung das einfachste Beispiel darstellt.
Dies erklärt die große Beliebtheit von Wasserstoff bei der Untersuchung von Laser–Atom–
Wechselwirkungen. Hierbei sind vor allem die Arbeiten von Kulander [46, 47] zu nennen,
an die unsere numerischen Verfahren angelehnt sind.
Die Schrödinger–Gleichung für das Wasserstoffatom im Laserfeld
∂
ψ(r, t) =
i
∂t
Ã
!
∇2
1
+ f (t) E0 z sin(ω0 t) −
−
ψ(r, t)
2
r
(5.1)
kann ohne Näherung numerisch gelöst werden. Wir verwenden dazu ein rechteckiges Gitter
in der ρz–Ebene mit den folgenden Gitterpunkten:
ρj − ρj−1 = ∆j ,
zk − zk−1 = ∆k ,
wobei
j = 1, . . . , Nρ ,
k = 1, . . . , Nz
ρ0 = 12 ∆1 ,
z0 = 0,
z−k = −zk .
48
(5.2)
(5.3)
5.1. Wasserstoff
49
n
∆n (a.u.)
1, . . . , 10
11, . . . , 20
21, . . . , 40
41, . . . , 60
61, . . . , Nmax
0,075
0,10
0,15
0,20
0,25
Tabelle 5.1: Gewählte Gitterabstände für das Wasserstoffatom.
In unseren Rechnungen werden gleiche Gitterabstände ∆n für die ρ– und z–Richtung
benutzt. Die einzelnen Abstände sind in der Tabelle 5.1 aufgeführt, wobei Nmax stellvertretend für die Werte Nρ und Nz steht. Mit der Wahl von Nρ = 105 und Nz = 145
erhalten wir dann ein Gitter aus 30864 Punkten mit einer räumlichen Ausdehnung von
20 a. u. in ρ–Richtung und 60 a. u. in z–Richtung. Die Lösung der stationären Schrödinger–
Gleichung für den Grundzustand des Wasserstoffatoms durch direkte Diagonalisierung des
Hamilton–Operators auf dem Gitter liefert einen Energieeigenwert von -0,49977 Hartree.
Die sehr gute Übereinstimmung mit dem exakten Wert von -0,5 Hartree für Wasserstoff
ist ein direktes Maß für die Güte des gewählten Gitters.
5.1.1
Ionisationsraten
Wir werden uns zunächst nur auf die Ionisation des Wasserstoffatoms konzentrieren. Nach
Abschnitt 3.3 müssen wir dafür das Verhalten der — aufgrund des endlichen Gitters —
zeitabhängigen Norm der Wellenfunktion ψ(r, t) untersuchen.
Zuerst sind jedoch die gewünschten Laserparameter zu spezifizieren. Als erstes Beispiel wählen wir einen Nd:YAG–Laser mit einer Wellenlänge von λ = 1064 nm und einer
Intensität von I = 2 · 1014 W/cm2 . Unter diesen Bedingungen benötigt das Elektron im
Grundzustand die Energie von mindestens 30 Photonen, um ins Kontinuum zu gelangen.
Schließlich müssen wir noch die Pulsform f (t) angeben. Um die Ionisation bei einer festen
Intensität zu simulieren, verwenden wir eine sogenannte Rampenform: Die Intensität wird
dabei innerhalb der ersten K Laserperioden linear von Null auf den gewünschten Wert
erhöht und dann für den Rest der Rechnung konstant gehalten. Zur Auswertung werden
aber nur die letzten Schwingungszyklen herangezogen, in denen die Einschalteffekte bereits abgeklungen sind. Für die Anzahl der Anstiegszyklen K hat sich ein Wert von K = 3
bewährt. Die resultierende elektrische Feldstärke f (t)E0 sin(ω0 t) ist in der Abbildung 5.1
dargestellt.
Die Abbildung 5.2 zeigt die zugehörige, zeitabhängige Norm N (t) der Wasserstoffwellenfunktion während eines Zeitraums von 2000 atomaren Zeiteinheiten. Aufgrund der
50
Kapitel 5. Ergebnisse und Diskussion
Feldstärke in atomaren Einheiten
0,10
0,05
0
-0,05
-0,10
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Zeit in Laserperioden
Abbildung 5.1: Laserfeldstärke für die Parameter λ = 1064 nm und I = 2 · 1014 W/cm2 .
Der Puls wird über 3 Laserperioden eingeschaltet. Die Schwingungsdauer beträgt 3,55
Femtosekunden.
Interpretation dieser Abnahme in Abschnitt 3.3 als Ionisationswahrscheinlichkeit für das
beschriebene Elektron ergeben sich für die Wahrscheinlichkeit P 0 (t) und P + (t), daß zum
Zeitpunkt t neutrale bzw. ionisierte Wasserstoffatome vorliegen:
P 0 (t) = N (t),
+
P (t) = 1 − N (t).
(5.4)
(5.5)
Weiterhin finden wir eine exponentielle Abnahme der Norm im Bereich der konstanten
Intensität. Dazu ist die zeitabhängige Norm in der Abbildung 5.3 nochmals logarithmisch
aufgetragen. Wir können daher eine Ionisationsrate R definieren gemäß
P 0 (t) = N (t) = e−Rt ,
(5.6)
wenn man den Einschaltvorgang außer acht läßt. Für R erhält man aus der Abbildung 5.3
einen Wert von 4, 4 · 1013 s−1 . Vergleichen wir diesen Zahlenwert mit dem Ergebnis von
5 · 1013 s−1 aus der Abbildung 2 in [47], so finden wir innerhalb der Ablesegenauigkeit eine
gute Übereinstimmung der Ionisationsraten.
Als zweites Beispiel wollen wir noch die Ionisation von Wasserstoffatomen mit einem
KrF–Laser der Wellenlänge λ = 248, 6 nm untersuchen. Der Laser soll mit einer Intensität von 1, 6 · 1014 W/cm2 arbeiten. Für die Freisetzung des Elektrons sind in diesem Fall
5.1. Wasserstoff
51
1,0
Norm
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
200
400
600
800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Zeit in atomaren Einheiten
Abbildung 5.2: Zeitabhängige Norm der Wasserstoffwellenfunktion für die Laserparameter
λ = 1064 nm und I = 2 · 1014 W/cm2 .
Norm
1,0
0,1
0
200
400
600
800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Zeit in atomaren Einheiten
Abbildung 5.3: Zeitabhängige Norm der Wasserstoffwellenfunktion für die Laserparameter
λ = 1064 nm und I = 2 · 1014 W/cm2 in logarithmischer Auftragung.
52
Kapitel 5. Ergebnisse und Diskussion
nur drei Photonen nötig. Die Abnahme der Norm über 16 Laserperioden ist in der Abbildung 5.4 bereits logarithmisch dargestellt. Man erhält daraus eine Ionisationsrate von
R = 1, 3 · 1014 s−1 . Die kurze Wellenlänge des KrF–Lasers ist für numerische Simulationen
gut geeignet, da in diesem Fall 16 Perioden nur 0,83 fs benötigen. Demgegenüber steht
der Wert von 3,5 fs für 16 Perioden des Nd:YAG–Lasers mit seiner mehr als viermal so
langen Wellenlänge. Man benötigt daher für eine Simulation mit dem KrF–Laser nur 2,2
CPU–Stunden auf der Cray Y–MP am Landesrechenzentrum in München, während eine
Berechnung mit dem Nd:YAG–Laser 9,0 CPU–Stunden dauert.
Um die Unabhängigkeit der gefundenen Ergebnisse von der Gittergröße zu untersuchen,
wiederholen wir die letzte Rechnung auf einem Gitter mit Nρ = 186 und Nz = 225. Diese
Werte führen auf 83886 Gitterpunkte und eine räumliche Ausdehnung von 40 a. u. in
der ρ–Richtung sowie 100 a. u. in der z–Richtung. Der numerische Aufwand steigt damit
erheblich, was sich in der benötigten Rechenzeit von 10 CPU–Stunden niederschlägt. Die
erhaltene, zeitabhängige Norm ist zusammen mit den Werten aus der Rechnung auf dem
kleineren Gitter in der Abbildung 5.5 logarithmisch dargestellt. Man erkennt deutlich die
verzögerte Abnahme der Norm auf dem größeren Gitter, da die Gitterränder von denselben
Teilen der Wellenfunktion nun zu späteren Zeiten erreicht werden. Die sich schließlich
einstellende, exponentielle Abnahme der Norm entspricht aber in guter Näherung dem
Ergebnis auf dem kleineren Gitter. Die gefundenen Ionisationsraten betragen 1, 2·1014 s−1
bzw. 1, 3 · 1014 s−1 . Alle weiteren Rechnungen werden daher aus Zeitgründen auf dem
kleineren Gitter mit Nρ = 105 und Nz = 145 durchgeführt.
Abschließend wenden wir uns noch dem Fall eines realistischen Laserpulses zu, der
sowohl durch ein zeitliches, als auch durch ein räumliches Intensitätsprofil charakterisiert
ist. Wir bezeichnen dieses Intensitätsprofil im weiteren mit I(r, t). Um die Anzahl der
erzeugten Ionen bzw. die Abnahme der neutralen Atome in einem solchen inhomogenen
Laserpuls zu berechnen, betrachten wir ein infinitesimales Raum–Zeit–Element d3 rdt, in
dem die Intensität als konstant angesehen werden kann. Verfügt der experimentelle Atomstrahl über eine räumliche Dichteverteilung1 %0 (r), dann gilt für deren Änderung:
d%(r, t) = −R(I(r, t))%(r, t) d3 rdt
mit %(r, t0 ) = %0 (r).
(5.7)
Die Werte der Ionisationsraten R(I) werden dabei aus obigen Simulationen mit Pulsen konstanter Intensität gewonnen. Die Integration von Gleichung (5.7) benötigt die Kenntnis
der Ionisationsraten R(I) in einem weiten Intensitätsbereich. Die Berechnung der Ionenausbeute in realistischen Laserpulsen ist damit eine prinzipiell mögliche, aber sehr rechenzeitintensive Aufgabe.
1
Ein zeitliches Stromprofil braucht wegen der Dauer des Laserpulses von nur einigen Pikosekunden nicht
berücksichtigt werden.
5.1. Wasserstoff
53
Norm
1,0
0,1
0
200
400
600
800
1000
1200
Zeit in atomaren Einheiten
Abbildung 5.4: Zeitabhängige Norm der Wasserstoffwellenfunktion für die Laserparameter
λ = 248, 6 nm und I = 1, 6 · 1014 W/cm2 in logarithmischer Auftragung.
1,0
Norm
kleines Gitter
großes Gitter
0,1
0
200
400
600
800
1000
1200
Zeit in atomaren Einheiten
Abbildung 5.5: Zeitabhängige Norm der Wasserstoffwellenfunktion für die Laserparameter
λ = 248, 6 nm und I = 1, 6 · 1014 W/cm2 in logarithmischer Auftragung für verschiedene
Gittergrößen.
54
5.1.2
Kapitel 5. Ergebnisse und Diskussion
Harmonische Spektren
Wir wenden uns im folgenden der Berechnung der Photoemissionsspektren, dem Hauptanliegen dieser Arbeit, zu. Als Einstieg wählen wir die Laserparameter λ = 1064 nm und
I = 2·1013 W/cm2 , die bereits von Krause, Schafer und Kulander [78] für die Untersuchung
der Harmonic Generation“ an Wasserstoff verwendet wurden. Für das zeitliche Profil f (t)
”
wird wieder die lineare Rampe mit einer Anstiegszeit von drei Laserperioden benutzt (siehe Abbildung 5.1). Wie im letzten Unterabschnitt führen wir damit eine Simulation zu
fester Intensität I durch.
Unsere Rechnung liefert zunächst das zeitabhängige Dipolmoment d(t), das in der
Abbildung 5.6 dargestellt ist. Man findet ein Anwachsen des Dipolmoments innerhalb
der ersten drei Laserperioden, das auf dem Ansteigen der Laserintensität beruht, und
anschließend eine Schwingung mit der Frequenz des treibenden Feldes und kaum merklich abnehmender Amplitude. Zur Berechnung des Photoemissionsspektrums müssen wir
gemäß der Gleichung (3.19) die Fourier–Transformierte des Dipolmoments bilden. Dies
erfordert allerdings die Kenntnis von d(t) für alle Zeiten t ∈ (−∞, ∞). Aufgrund der Periodizität des Dipolmoments im Bereich konstanter Intensität des Lasers können wir aber
die Fourier–Transformierte über einem endlichen Zeitintervall berechnen:
1
d(ω) =
t2 − t 1
Zt2
e−iωt d(t) dt.
(5.8)
t1
Die Zeiten t1 und t2 sind dabei so zu wählen, daß Einschalteffekte bereits abgeklungen sind,
und ihre Differenz ein Vielfaches der Periodendauer des Lasers ist. In unserem Beispiel
führen wir daher die Fourier–Transformation (5.8) über die letzten sechs Schwingungszyklen aus. In der Abbildung 5.7 sind die erhaltenen Werte von |d(ω)|2 aufgetragen. Man
erkennt deutliche Peaks im Spektrum an den Stellen der ungeraden Harmonischen der
Laserfrequenz. Diese fallen innerhalb der ersten Ordnungen schnell ab und gehen dann ab
der 5. Harmonischen in ein Plateau mit näherungsweise konstanter Intensität über, das
schließlich abrupt endet. Unsere Rechnung reproduziert damit qualitativ die im Experiment gemachten Beobachtungen, die nicht mehr im Rahmen der Störungstheorie erklärt
werden können. Ein Vergleich mit der Abbildung 10 in [78] zeigt zudem die gute quantitative Übereinstimmung unseres Harmonischen Spektrums mit den Ergebnissen von Krause,
Schafer und Kulander.
Das Abbrechen des Spektrums wird nach Abschnitt 4.1 auch vom semiklassischen
Modell vorhergesagt. Dieses liefert nach der cutoff“–Regel (4.8) für die Ordnung der
”
höchsten Harmonischen bei den oben gewählten Laserparametern einen Wert von 17. Im
Spektrum 5.7 finden sich zwar noch höhere Ordnungen, doch läßt sich die 17. Harmonische
gut mit dem Ende des Plateaus identifizieren, dem dann noch ein Abklingen der Harmo-
5.1. Wasserstoff
55
0,15
z–Koordinate
0,10
0,05
0
-0,05
-0,10
-0,15
0
500
1000
1500
2000
Zeit in atomaren Einheiten
Abbildung 5.6: Zeitabhängiges Dipolmoment des Wasserstoffatoms in einem über drei
Schwingungszyklen eingeschalteten Laserfeld mit λ = 1064 nm und I = 2 · 1013 W/cm2 .
10−1
relative Intensitäten
10−3
10−5
10−7
10−9
10−11
10−13
10−15
0
5
10
15
20
25
30
35
Harmonische Ordnung
Abbildung 5.7: Harmonisches Spektrum von Wasserstoff für die Laserparameter λ =
1064 nm und I = 2 · 1013 W/cm2 . Die Frequenz der Laserphotonen nimmt in atomaren Einheiten einen Wert von 0,0428 a. u. an.
56
Kapitel 5. Ergebnisse und Diskussion
nischen folgt. Wir werden daher die Grenzfrequenzen, die die cutoff“–Regel (4.8) für die
”
verschiedenen Laserparameter vorhersagt, im weiteren als Schätzwerte für das Plateauende
betrachten.
Die Berechnung des Photoemissionsspektrums erfolgte wegen Gleichung (5.8) in der
Längenform des Dipolmoments. Dazu äquivalent ist nach Unterabschnitt 3.4.2 die Berechnung in der Beschleunigungsform:
1
d(ω) = − 2
ω (t2 − t1 )
Zt2
¨ dt.
e−iωt d(t)
(5.9)
t1
Für die zweite Zeitableitung des Dipolmoments gilt dabei nach (3.23):
¨ = −f (t)E0 sin(ω0 t) −
d(t)
Z
z
n(r, t) d3 r.
r3
(5.10)
Die Fourier–Transformation (5.9) wird im Bereich konstanter Laserintensität durchgeführt.
Dort ist f (t) ≡ 1, und der erste Term der rechten Seite von (5.10) läßt sich dann analytisch
fouriertransformieren. Eine kurze Rechnung ergibt:
Zt2
t1
i
e−iωt sin(ω0 t) dt = (t2 − t1 )δω,ω0 .
2
(5.11)
Damit vereinfacht sich die Gleichung (5.9) zu:

1
i
1
d(ω) = 2  E0 δω,ω0 +
ω
2
t2 − t 1
Zt2 Z
t1

z
e−iωt 3 n(r, t) d3 rdt .
r
(5.12)
Das mittels der Beschleunigungsform berechnete Spektrum wird in der Abbildung 5.8 mit
dem Spektrum aus Abbildung 5.7 verglichen. Man erhält für die Peaks im Spektrum eine
sehr gute Übereinstimmung bis zur 25. Harmonischen. Danach liefert die Beschleunigungsform jedoch zusätzliche Harmonische, die aufgrund des numerischen Rauschens mit der
Längenform nicht mehr aufgelöst werden können. Zwar liegen diese Harmonischen bei den
gewählten Parameterwerten bereits jenseits des Plateaus, das aber allgemein bessere Abheben der Peaks vom Rauschen im Bereich der hohen Harmonischen spricht dennoch für
die Verwendung der Beschleunigungsform. Da uns hauptsächlich die Intensitäten der ungeraden Harmonischen interessieren, ist es übersichtlicher, die Spektren auf folgende Weise
darzustellen: Wir markieren nur die Intensitätswerte der ungeraden Harmonischen durch
Punkte, die zur Verdeutlichung des Trends mit Linien verbunden sind. In dieser Darstellung ist die sehr gute Übereinstimmung der beiden Formen noch besser zu erkennen (siehe
Abbildung 5.9).
5.1. Wasserstoff
57
10−1
Längenform
Beschleunigungsform
relative Intensitäten
10−3
10−5
10−7
10−9
10−11
10−13
10−15
0
5
10
15
20
25
30
35
Harmonische Ordnung
Abbildung 5.8: Vergleich der Harmonischen Spektren von Wasserstoff aus der Längenform
und aus der Beschleunigungsform des Dipolmoments für die Laserparameter λ = 1064 nm
und I = 2 · 1013 W/cm2 .
10−1
Längenform
Beschleunigungsform
relative Intensitäten
10−3
10−5
10−7
10−9
10−11
10−13
10−15
0
5
10
15
20
25
30
35
Harmonische Ordnung
Abbildung 5.9: Vergleich der berechneten, ungeraden Harmonischen von Wasserstoff aus
der Längenform und aus der Beschleunigungsform des Dipolmoments für die Laserparameter λ = 1064 nm und I = 2 · 1013 W/cm2 .
58
Kapitel 5. Ergebnisse und Diskussion
10−1
relative Intensitäten
10−3
10−5
10−7
10−9
10−11
10−13
0
0,5
1,0
1,5
Frequenz ω in atomaren Einheiten
Abbildung 5.10: Harmonisches Spektrum von Wasserstoff für die Laserparameter λ =
532 nm und I = 2 · 1013 W/cm2 . Das semiklassische Modell sagt eine Grenzfrequenz von
0,54 a. u. vorher.
Nach diesem Einführungsbeispiel wollen wir nun die Änderung der Photoemissionsspektren
bei Variation der Laserparameter untersuchen. Als Anhaltspunkt wird uns weiterhin die
cutoff“–Regel
”
E2
ωmax = I0 + 3, 2 Up
mit Up = 02
(5.13)
4ω0
dienen. Verringern wir zuerst nur die Wellenlänge λ bei konstanter Laserintensität I =
2 · 1013 W/cm2 , so erwarten wir nach (5.13) eine Verkürzung des Plateaus. Für einen Wert
von λ = 532 nm ergibt sich eine Grenzfrequenz von 0,54 a. u., während sich das Plateau
für unsere ursprüngliche, doppelt so große Wellenlänge λ = 1064 nm bis zu einer Frequenz von 0,75 a. u. ausdehnt. Diese Plateauverkürzung wird auch in der quantenmechanischen Berechnung beobachtet (vergleiche Abbildungen 5.7 und 5.10). Zusätzlich findet
man aber auch eine Erhöhung des Plateaus und damit eine bessere Photonenausbeute bei
Verwendung der kürzeren Wellenlänge. Um einen generellen Trend feststellen zu können,
werden die Berechnungen noch für weitere Laserfrequenzen durchgeführt. Die erhaltenen
Ergebnisse sind in Abbildung 5.11 zusammen dargestellt. Die zu den jeweiligen Kurven
angegebenen Faktoren bezeichnen das Verhältnis der benutzten Frequenzen zur Frequenz
ω0 = 0, 04284 a. u. unseres Einführungsbeispiels. Ein Vergleich der Spektren bestätigt
die bereits oben angedeutete Erkenntnis: Je kleiner die Wellenlänge bei gleichbleibender
Intensität gewählt wird, desto kürzer wird das beobachtbare Plateau. Gleichzeitig ist aber
5.1. Wasserstoff
59
10−1
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
relative Intensitäten
10−3
10−5
10−7
10−9
10−11
10−13
10−15
0
0,5
1,0
1,5
Frequenz ω in atomaren Einheiten
Abbildung 5.11: Harmonische Spektren von Wasserstoff für verschiedene Frequenzen bei einer Intensität von I = 2·1013 W/cm2 . Die angegebenen Faktoren bezeichnen die Frequenzerhöhung bezüglich der Frequenz ω0 = 0, 04284 a. u. unseres Einführungsbeispiels.
eine Intensitätszunahme der erzeugten Harmonischen um mehrere Größenordnungen feststellbar.
Ein Aspekt unserer Simulationen ist es, Laserparameter zu finden, die besonders intensive und hohe Harmonische erzeugen. Da nach obigen Befunden die alleinige Variation
der Wellenlänge nicht zum Ziel führt, werden wir in den folgenden Rechnungen beide
Laserparameter verändern. Dazu multiplizieren wir die Feldstärke E0 und die Frequenz
ω0 mit dem gleichen Faktor, so daß das ponderomotorische Potential Up = E02 /4ω02 und
damit auch das Plateauende unverändert bleiben. Wir beginnen dabei wieder bei unserem
Einführungsbeispiel und erhöhen dann den Faktor, mit dem wir E0 und ω0 multiplizieren,
schrittweise von 1,0 auf 3,0. Die erhaltenen Spektren zeigt Abbildung 5.12. Man findet für
alle Parametersätze ein Plateauende, das in der Nähe der semiklassischen Grenzfrequenz
von 0,75 a. u. liegt. Interessanter ist aber das Anwachsen der Intensitäten der Harmonischen im Plateau um mehrere Größenordnungen bei gleichzeitiger Erhöhung von E0 und
ω0 . Der Intensitätszunahme scheint aber ab einem Faktor von 2,0 eine Grenze gesetzt
zu sein. Eine mögliche Ursache für diese Sättigung liegt in der einsetzenden Ionisation.
Für den Faktor 1,0 ist am Ende der Rechnung noch über 99% der Norm innerhalb der
Gittergrenzen vorhanden, während man für den Faktor 3,0 dann nur noch 25% der Norm
vorfindet.
Zuletzt untersuchen wir nun die Änderung des Photoemissionsspektrums bei einer
60
Kapitel 5. Ergebnisse und Diskussion
10−1
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
relative Intensitäten
10−3
10−5
10−7
10−9
10−11
10−13
10−15
0
0,5
1,0
1,5
Frequenz ω in atomaren Einheiten
Abbildung 5.12: Harmonische Spektren von Wasserstoff bei gleichem ponderomotorischen
Potential. Die Frequenz- und Feldstärkenwerte für die einzelnen Kurven erhält man durch
Multiplikation der Werte unseres Einführungsbeispiels mit den angegebenen Faktoren.
Erhöhung der Intensität für die feste Wellenlänge λ = 1064 nm des Nd:YAG–Lasers. Nach
der cutoff“–Regel (5.13) erhoffen wir uns davon eine zunehmende Verbreiterung des Pla”
teaubereichs. Die für Intensitäten von I = 2, 0 · 1013 W/cm2 bis I = 3, 2 · 1014 W/cm2
berechneten Spektren zeigt die Abbildung 5.13. Man erkennt eine dramatisch bessere Photonenausbeute für die hohen Intensitäten, da das Plateau sowohl deutlich angehoben, als
auch verbreitert wird. Vergleichen wir allerdings die gefundenen Plateauausdehnungen mit
den semiklassischen Grenzfrequenzen aus Tabelle 5.2, so treffen deren Vorhersagen nur für
Intensitäten bis etwa 1, 0·1014 W/cm2 zu. Weiterhin ist für Intensitäten ab 2, 5·1014 W/cm2
sogar ein Rückgang in der Erzeugung von Harmonischen zu beobachten. Beide Effekte sind
aber sehr wahrscheinlich auf den Konkurrenzprozeß der Ionisation zurückzuführen, der ab
Intensitäten von 1, 5 · 1014 W/cm2 relevant wird2 . Die gewonnenen Erkenntnisse dieses
Unterabschnittes wollen wir abschließend noch zusammenfassen:
Für die Erzeugung von intensiven, hohen Harmonischen erweisen sich langwellige Laser mit einer Intensität knapp unterhalb der Sättigungsintensität — das
ist diejenige Intensität, bei der eine merkliche Ionisation der Atome einsetzt
— als am besten geeignet.
2
Bei einer Intensität von 1, 5·1014 W/cm2 sind nach 16 Laserperioden bereits 45% der Wasserstoffatome
ionisiert.
5.1. Wasserstoff
61
10−1
I
I
I
I
I
I
10−3
relative Intensitäten
10−5
=2, 0 · 1013
=4, 0 · 1013
=8, 0 · 1013
=1, 5 · 1014
=2, 5 · 1014
=3, 2 · 1014
W/cm2
W/cm2
W/cm2
W/cm2
W/cm2
W/cm2
10−7
10−9
10−11
10−13
10−15
10−17
0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
Frequenz ω in atomaren Einheiten
Abbildung 5.13: Harmonische Spektren von Wasserstoff bei einer Wellenlänge von λ =
1064 nm für verschiedene Laserintensitäten.
I (W/cm2 )
ωmax (a. u.)
2, 0 · 1013
0,75
4, 0 ·
1013
1,00
8, 0 ·
1013
1,49
1, 5 · 1014
2,31
2, 5 ·
1014
3,53
3, 2 ·
1014
4,46
Tabelle 5.2: Semiklassische Grenzfrequenzen ωmax nach (5.13) für verschiedene Laserintensitäten I. Man findet eine gute Übereinstimmung mit den quantenmechanischen Werten
aus der Abbildung 5.13 für Intensitäten bis etwa 1, 0 · 1014 W/cm2 .
62
Kapitel 5. Ergebnisse und Diskussion
10−1
relative Intensitäten
10−3
10−5
10−7
10−9
10−11
10−13
10−15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
Harmonische Ordnung
Abbildung 5.14: Harmonisches Spektrum von Wasserstoff für die Laserparameter λ =
456 nm und I = 4 · 1013 W/cm2 .
5.1.3
Zwei–Farben–Pulse
Ein weiterer Ansatz zur effizienteren Erzeugung hoher Harmonischer ist die Verwendung
von Laserpulsen, die eine Grundfrequenz und ein Vielfaches dieser Frequenz enthalten.
Wir wenden uns daher nun dem Verhalten von Wasserstoffatomen zu, die einem Laserfeld
der Form f (t)E0 ( sin(ω0 t) + sin(2ω0 t + δ)) ausgesetzt sind, d. h. wir regen die Atome
mit der Frequenz ω0 und deren zweiter Harmonischen 2ω0 an. Beide Anteile besitzen
dieselbe Intensität, können aber um die konstante Phase δ differieren. Für unsere Rechnung
wählen wir die Laserparameter λ = 456 nm und I = 2 · 1013 W/cm2 und benutzen wieder
die Rampenform für f (t). Vor der Diskussion der Ergebnisse betrachten wir zunächst
noch das Spektrum für einen monochromatischen Puls mit derselben Wellenlänge aber
der doppelten Intensität (siehe Abbildung 5.14). Man erkennt ein kurzes Plateau bei einer
Intensität von etwa 2 · 10−4 W/cm2 , das nach der 5. Harmonischen endet.
Die Zwei–Farben–Rechnungen benötigen die Angabe der Phasendifferenz δ. Aufgrund
der Periodizität der Ergebnisse mit der Periode π (siehe Abschnitt 4.2.1) werden wir nur
Werte von δ im Intervall [0, π] untersuchen. Wir beginnen mit einer Phasendifferenz von
δ = 0. Die Abbildung 5.15 zeigt das berechnete Harmonische Spektrum. Dabei fallen
deutlich die zusätzlichen Peaks an den Stellen der geraden Harmonischen auf, die auf
kombinierte Anregungen mit mehreren Photonen der Frequenz ω0 und 2ω0 zurückgeführt
werden können [45]. Das Plateau liegt nun eine Größenordnung höher als im Fall von
5.1. Wasserstoff
63
10−1
relative Intensitäten
10−3
10−5
10−7
10−9
10−11
10−13
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
Harmonische Ordnung
Abbildung 5.15: Harmonisches Spektrum von Wasserstoff für einen Zwei–Farben–Puls mit
λ = 456 nm, I = 4 · 1013 W/cm2 und δ = 0.
10−1
relative Intensitäten
10−3
10−5
10−7
10−9
10−11
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
Harmonische Ordnung
Abbildung 5.16: Vergleich der Harmonischen Spektren von Wasserstoff für einen Ein–
Farben–Puls und einen Zwei–Farben–Puls mit denselben Laserparametern λ = 456 nm,
I = 4 · 1013 W/cm2 und δ = 0.
64
Kapitel 5. Ergebnisse und Diskussion
10−1
δ=0
δ=π
relative Intensitäten
10−3
10−5
10−7
10−9
10−11
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Harmonische Ordnung
Abbildung 5.17: Vergleich der berechneten Harmonischen von Wasserstoff für Zwei–
Farben–Pulse mit den Phasendifferenzen δ = 0 und δ = π. Die verwendeten Laserparameter betragen λ = 1064 nm und I = 4 · 1013 W/cm2 .
nur einer Laserfrequenz (siehe Abbildung 5.16) und reicht bis zur 6. Harmonischen. Diese Grenze wird auch von der cutoff“–Regel für Zwei–Farben–Felder (4.19) vorhergesagt.
”
Überraschend ist allerdings die starke Unterdrückung der 5. Harmonischen. Simulationen
für weitere Phasendifferenzen zeigen qualitativ das gleiche Verhalten und sind daher nicht
aufgeführt. Die Tatsache, daß unabhängig von der Phasendifferenz das Plateau gegenüber
dem Fall des monochromatischen Pulses gleicher Intensität angehoben, aber nicht verkürzt
wird, stellt das zentrale Resultat unserer Untersuchungen der Anregung von Wasserstoffatomen mit zwei Frequenzen dar.
An dieser Stelle wollen wir noch einmal auf die Periodizität der Ergebnisse mit der Periode π zurückkommen. Da diese nach Unterabschnitt 4.2.1 nur für streng periodische Laserfelder der Form E0 ( sin(ω0 t)+sin(2ω0 t+δ)) bewiesen wurde, gibt uns die Überprüfung der
vorhergesagten Periodizität die Möglichkeit, die Unabhängigkeit unserer Ergebnisse vom
numerisch benötigten Einschaltvorgang nachzuweisen. Wir berechnen dazu die Photoemissionsspektren, die Zwei–Farben–Pulse mit λ = 1064 nm und I = 4 · 1013 W/cm2 für
die Phasendifferenzen δ = 0 und δ = π erzeugen. Ein Vergleich dieser Spektren in der
Abbildung 5.17 zeigt eine exzellente Übereinstimmung der Harmonischen. Die Verwendung der Rampenform für f (t) zur Simulation einer festen Intensität ist damit trotz des
Einschalten des Laserpulses über drei Laserperioden bestens gerechtfertigt.
5.1. Wasserstoff
65
0,20
z–Koordinate
0,10
0
-0,10
-0,20
0
200
400
600
800
1000
Zeit in atomaren Einheiten
Abbildung 5.18: Zeitabhängiges Dipolmoment für die Laserparameter λ = 228 nm und
I = 4 · 1013 W/cm2 .
5.1.4
Resonanzen
Wir wenden uns zuletzt noch einmal einer Ein–Farben–Rechnung für die Laserparameter
λ = 228 nm und I = 4 · 1013 W/cm2 zu. Die Form des resultierenden, zeitabhängigen
Dipolmoments in Abbildung 5.18 läßt vermuten, daß für die gewählten Parameterwerte
ein zusätzlicher Effekt auftritt. Die kurzfristige Abnahme des Dipolmoments bei etwa 300
atomaren Zeiteinheiten kann mit Hilfe der Symmetriebetrachtungen aus Abschnitt 3.6 folgendermaßen gedeutet werden: Die zeitabhängige Wellenfunktion ψ(r, t) des Elektrons läßt
sich zu jedem Zeitpunkt nach den Energieeigenzuständen des Wasserstoffatoms entwickeln.
Dominiert in dieser Entwicklung nun einer der zeitabhängigen Entwicklungskoeffizienten,
so ist auch die Dichte des Elektrons hauptsächlich durch die Dichte der zugehörigen Energieeigenfunktionen in der Entwicklung bestimmt. Da wegen Gleichung (3.98) das Dipolmoment für alle symmetrieangepaßten Energieeigenzustände des Wasserstoffatoms mit der
SO(3)–Symmetrie verschwindet, kann man die erhaltene Form des Dipolmoments mit dem
Durchlaufen eines resonanten Zwischenzustandes erklären.
Auch die zeitabhängige Norm weicht bei den verwendeten Laserparametern von der
für nichtresonante Ionisation üblichen Gestalt ab (siehe Abbildung 5.19). Auffallend ist
hier vor allem die schnelle Abnahme der Norm im Bereich von 300 atomaren Zeiteinheiten.
Man kann daher für die gewählten Laserparameter eine stärkere Ionisation erwarten als
für benachbarte Parameterwerte.
66
Kapitel 5. Ergebnisse und Diskussion
1,00
Norm
0,99
0,98
0,97
0,96
0,95
0
200
400
600
800
1000
Zeit in atomaren Einheiten
Abbildung 5.19: Zeitabhängige Norm für die resonante Anregung von Wasserstoff mit den
Laserparametern λ = 228 nm und I = 4 · 1013 W/cm2 .
5.2
Helium
Nach den umfassenden Berechnungen zum Verhalten von Wasserstoff in starken Laserpulsen gehen wir nun zur Betrachtung von Helium über. Wir werden uns dabei ganz auf
die Untersuchung der Harmonic Generation“ konzentrieren.
”
Das Heliumatom im Laserfeld beschreiben wir mittels der zeitabhängigen Hartree–
Fock–Gleichungen
∂
i ψσ (r, t) =
∂t
Ã
∇2
−
+
2
Z
!
|ψσ (r0 , t)|2 3 0
2
ψσ (r, t)
d r + f (t) E0 z sin(ω0 t) −
0
|r − r |
r
(5.14)
sowie der zeitabhängigen Kohn–Sham–Gleichungen
Ã
∇2
+
−
2
!
Z
|ψσ (r0 , t)|2 3 0
2
d r + vc (r, t) + f (t) E0 z sin(ω0 t) −
ψσ (r, t)
0
|r − r |
r
(5.15)
für die Spinwellenfunktionen ψσ (r, t) mit σ =↑↓. Die numerische Behandlung erfolgt auf
einem Gitter mit Nρ = 105 und Nz = 289 und den Gitterabständen aus Tabelle 5.3. Für
das Korrelationspotential vc [n] verwenden wir die adiabatische Lokaldichtenäherung
∂
i ψσ (r, t) =
∂t
vcALDA [n](r, t)
¯
d hom ¯¯
e
=
(n)¯
dn c
n=n(r,t)
(5.16)
5.2. Helium
67
n
∆n (a.u.)
1, . . . , 20
21, . . . , 40
41, . . . , 60
61, . . . , Nmax
0,10
0,15
0,20
0,25
Tabelle 5.3: Gewählte Gitterabstände für das Heliumatom
mit der Parametrisierung von Vosko, Wilk und Nusair [97] für die Korrelationsenergie
ehom
(n) des homogenen Elektronengases:
c
"
ehom
(x)
c
Ã
x2
= A ln
X(x)
"
!
Ã
µ
Q
2b
arctan
+
Q
2x + b
(x − x0 )2
bx0
−
ln
X(x0 )
X(x)
!
¶
µ
Q
2(b + 2x0 )
arctan
+
Q
2x + b
¶# #
(5.17)
mit
µ
¶1
3 6
x =
4πn
2
X(x) = x + bx + c,
p
(5.18)
(5.19)
4c − b2 ,
(5.20)
A = 0, 0310907
(5.21)
x0 = −0, 10498
(5.22)
b = 3, 72744
(5.23)
c = 12, 9352.
(5.24)
Q =
und den Parametern
Zur Lösung der zeitabhängigen Gleichungen (5.14) und (5.15) benötigen wir noch die
Angabe des Anfangszustandes. Wie beim Wasserstoffatom nehmen wir an, daß sich das
Heliumatom vor dem Einschalten des Lasers im Grundzustand befindet. Letzteren erhalten wir durch die Diagonalisierung der entsprechenden stationären Gleichungen. Dabei
findet man für die Grundzustandsenergie einen Wert von -0,955 Hartree. Die Abweichung
vom exakten Wert von -0,918 Hartree läßt sich durch die Verwendung des groben Gitters
erklären. Bei dessen Dimensionierung muß man stets einen Kompromiß zwischen erreichter
Genauigkeit und benötigter Rechenzeit eingehen.
68
Kapitel 5. Ergebnisse und Diskussion
10−1
relative Intensitäten
10−3
10−5
10−7
10−9
10−11
10−13
10−15
0
5
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
Harmonische Ordnung
Abbildung 5.20: Harmonisches Spektrum von Helium für die Laserparameter λ = 616 nm
und I = 7, 0 · 1014 W/cm2 .
5.2.1
Ein–Farben–Pulse
Wir untersuchen zunächst die Anregung des Heliumatoms mit einem monochromatischen
Laserpuls. Aufgrund des im Vergleich zum Wasserstoffatom fast doppelt so großen Ionisationspotentials von Helium erwarten wir nach der cutoff“–Regel (4.8) eine deutlich bessere
”
Erzeugung hoher Harmonischer. Aus dem gleichen Grund kann man zusätzlich noch die
Laserintensität erhöhen, ohne daß Ionisation die Effizienz der Harmonic Generation“ min”
dert. Für unsere erste Rechnung benutzen wir daher die Parameterwerte λ = 616 nm und
I = 7, 0 · 1014 W/cm2 eines Farbstofflasers. Das mit den zeitabhängigen Hartree–Fock–
Gleichungen (5.14) berechnete Photoemissionsspektrum zeigt die Abbildung 5.20. Man findet ein Plateau von ungeraden Harmonischen bei einer Intensität von etwa 1 · 109 W/cm2 ,
das sich bis zur 51. Harmonischen erstreckt. Für die gewählten Laserparameter und das
Ionisationspotential von I0 = 0, 955 a. u. sagt das semiklassische Modell nach Gleichung
(4.8) ein Plateauende bei der 53. Harmonischen vorher. Die auch für Helium gute Übereinstimmung dieser Werte bekräftigt, daß das physikalische Bild der Harmonic Generation“,
”
welches dem semiklassischen Modell zugrunde liegt, die wesentlichen Aspekte der auftretenden Prozesse enthält.
Benutzen wir anstelle der Hartree–Fock–Gleichungen (5.14) zur Berechnung der zeitabhängigen Spinwellenfunktionen ψσ (r, t) die Kohn–Sham–Gleichungen (5.15), so erhalten
wir trotz des zusätzlichen Korrelationspotentials vc keine bedeutenden Änderungen im
5.2. Helium
69
10−1
ohne Korrelation
mit Korrelation
relative Intensitäten
10−3
10−5
10−7
10−9
10−11
10−13
10−15
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80
Harmonische Ordnung
Abbildung 5.21: Vergleich der Harmonischen Spektren von Helium berechnet mit den
Hartree–Fock–Gleichungen (ohne Korrelation) und mit den Kohn–Sham–Gleichungen (mit
Korrelation). Die Laserparameter betragen in beiden Fällen λ = 616 nm und I = 7, 0 ·
1014 W/cm2 .
Harmonischen Spektrum (siehe Abbildung 5.21). Die für die Photoemission weitgehende
Bedeutungslosigkeit der Korrelation der Elektronen im Heliumatom ist vermutlich eine
Folge der Tatsache, daß das Laserfeld an beiden Elektronen stets gleichstark angreift und
damit keinen direkten Grund für eine Relativbewegung der Elektronen darstellt.
5.2.2
Zwei–Farben–Pulse
Wegen der generellen Erhöhung der Photonenausbeute bei der Anregung von Wasserstoff
mit einem Zwei–Farben–Puls (siehe hierzu 5.1.3) erhoffen wir uns auf diese Weise auch
für das Heliumatom eine Intensitätssteigerung der Harmonischen. Wir berechnen daher
die Photoemissionsspektren für die gleiche Grundfrequenz wie beim Ein–Farben–Puls und
deren zweite Harmonische mit jeweils einer Intensität von I = 3, 5 · 1014 W/cm2 . Die Abbildungen 5.22 und 5.23 zeigen die erhaltenen Spektren für die Phasendifferenzen δ = 0
und δ = 0, 67π. Wie schon beim Wasserstoffatom erkennt man nun auch Peaks an den
Stellen der geraden Harmonischen der Grundfrequenz. Die unterschiedliche Ausdehnung
der Plateaus kann man mit Hilfe der cutoff“–Regel (4.19) verstehen. Die Phasendifferen”
zen δ wurden dabei den Extremwerten der Abbildung 4.4 entsprechend ausgewählt, um
deren Einfluß möglichst gut darzustellen.
70
Kapitel 5. Ergebnisse und Diskussion
10−1
relative Intensitäten
10−3
10−5
10−7
10−9
10−11
10−13
10−15
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80
Harmonische Ordnung
Abbildung 5.22: Harmonisches Spektrum von Helium für die Laserparameter λ = 616 nm
und I = 7, 0 · 1014 W/cm2 . Das Laserfeld enthält die Grundfrequenz und deren zweite
Harmonische mit einer Phasendifferenz von δ = 0.
10−1
relative Intensitäten
10−3
10−5
10−7
10−9
10−11
10−13
10−15
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
Harmonische Ordnung
Abbildung 5.23: Harmonisches Spektrum von Helium für die Laserparameter λ = 616 nm
und I = 7, 0 · 1014 W/cm2 . Das Laserfeld enthält die Grundfrequenz und deren zweite
Harmonische mit einer Phasendifferenz von δ = 0, 67π.
5.2. Helium
71
10−1
Eine Farbe
Zwei Farben
relative Intensitäten
10−3
10−5
10−7
10−9
10−11
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Harmonische Ordnung
Abbildung 5.24: Vergleich der Harmonischen Spektren von Helium für einen Ein–Farben–
Puls und einen Zwei–Farben–Puls mit denselben Laserparametern λ = 616 nm, I = 7, 0 ·
1014 W/cm2 und δ = 0.
In der Abbildung 5.24 vergleichen wir die berechneten Spektren für den Ein–Farben–
Puls und den Zwei–Farben–Puls mit δ = 0. Dabei findet man für die meisten Harmonischen eine Intensitätserhöhung um fast zwei Größenordnungen. Ein Vergleich mit der
Zwei–Farben–Rechnung für δ = 0, 67π zeigt ein ähnliches Verhalten. Durch die Verwendung von zwei Farben im Laserpuls lassen sich damit auch beim Heliumatom bei fester
Gesamtintensität höhere Photonenausbeuten erzielen.
Daß dafür nicht unbedingt nur die zweite Harmonische verwendet werden muß, zeigen die Rechnungen für Zwei–Farben–Pulse mit einer Grundfrequenz und deren dritter
Harmonischen. Die dabei erhaltenen Spektren sind in den Abbildungen 5.25 und 5.26 für
Phasendifferenzen von δ = 0 und δ = −0, 72π dargestellt. Die Auswahl dieser Werte ist
durch die Abbildung 4.5 motiviert. Das semiklassische Modell liefert dann nach (4.21) ein
Plateauende bei der 43. bzw. der 33. Harmonischen. Diese Vorhersagen werden durch
die berechneten Spektren gut bestätigt. Da wir als zweite Farbe die dritte Harmonische
der Grundfrequenz gewählt haben, finden wir jetzt wieder nur Peaks bei den ungeraden
Harmonischen. Auffallend ist auch die Treppenstruktur des Plateaus der Abbildung 5.25
sowie die deutliche Unterdrückung der 5. Harmonischen. Diese Effekte können aber zum
gegenwärtigen Zeitpunkt nur erwähnt werden, da noch keine Modelle für ihre Erklärung
existieren.
Vergleicht man nun die Spektren aus den Abbildungen 5.20, 5.22 und 5.25, die alle
72
Kapitel 5. Ergebnisse und Diskussion
10−1
relative Intensitäten
10−3
10−5
10−7
10−9
10−11
10−13
10−15
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Harmonische Ordnung
Abbildung 5.25: Harmonisches Spektrum von Helium für die Laserparameter λ = 616 nm
und I = 7, 0 · 1014 W/cm2 . Das Laserfeld enthält die Grundfrequenz und deren dritte
Harmonische mit einer Phasendifferenz von δ = 0.
10−1
relative Intensitäten
10−3
10−5
10−7
10−9
10−11
10−13
10−15
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Harmonische Ordnung
Abbildung 5.26: Harmonisches Spektrum von Helium für die Laserparameter λ = 616 nm
und I = 7, 0 · 1014 W/cm2 . Das Laserfeld enthält die Grundfrequenz und deren dritte
Harmonische mit einer Phasendifferenz von δ = −0, 72π.
5.2. Helium
73
10−1
nur Grundfrequenz
Grundfrequenz und zweite Harmonische
Grundfrequenz und dritte Harmonische
relative Intensitäten
10−3
10−5
10−7
10−9
10−11
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Harmonische Ordnung
Abbildung 5.27: Vergleich der Harmonischen Spektren von Helium für einen Ein–Farben–
Puls und für Zwei–Farben–Pulse mit der zweiten bzw. der dritten Harmonischen. Die
Laserparameter betragen in allen drei Fällen λ = 616 nm und I = 7, 0 · 1014 W/cm2 .
für dieselbe Laserintensität berechnet sind, so erkennt man ein nochmaliges Anwachsen
der Photonenausbeute bis zur 29. Ordnung bei Übergang zur Anregung mit der Grundfrequenz und der dritten Harmonischen (siehe Abbildung 5.27). Die in 5.1.2 gemachte
Beobachtung, daß bei fester Intensität das Plateau mit zunehmender Frequenz ansteigt,
aber auch verkürzt wird, findet sich damit auch in den Zwei–Farben–Rechnungen wieder.
Um den Beitrag der einzelnen Frequenzanteile bei der Erzeugung hoher Harmonischer
untersuchen zu können, variieren wir die Intensitäten I1 und I3 der Grundfrequenz und
der dritten Harmonischen so, daß die Gesamtintensität I = I1 + I3 = 7, 0 · 1014 W/cm2
konstant bleibt:
I1 =
I3 =
1
I,
Q+1
Q
I.
Q+1
(5.25)
(5.26)
Das Intensitätsverhältnis von der dritten Harmonischen zur Grundfrequenz ist dann durch
die Zahl Q gegeben. Die für verschiedene Q–Werte und eine Phasendifferenz von δ = π/2
erhaltenen Spektren findet man in der Abbildung 5.28. Man erkennt, daß bereits eine kleine Beimischung (Q = 0, 01) der Frequenz 3ω0 zur Grundfrequenz ω0 zu einer beachtlichen
Intensitätssteigerung der erzeugten Harmonischen gegenüber der monochromatischen Anregung mit Q = 0 führt. Die größte Photonenausbeute erhält man aber durch eine Gleich-
74
Kapitel 5. Ergebnisse und Diskussion
10−1
Q=0
Q = 0, 01
Q=1
Q = 100
relative Intensitäten
10−3
10−5
10−7
10−9
10−11
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Harmonische Ordnung
Abbildung 5.28: Vergleich der Harmonischen Spektren von Helium für verschiedene Intensitätsverhältnisse Q von der dritten Harmonischen zur Grundfrequenz.
behandlung (Q = 1) der beiden Frequenzen. Eine Dominanz der dritten Harmonischen
(Q = 100) liefert nach Abbildung 5.28 keine wesentliche Verbesserung der zu erwartenden
Intensitäten.
Kapitel 6
Zusammenfassung
Die jüngsten Fortschritte in der Lasertechnologie ermöglichen heutzutage die Erzeugung
von Laserpulsen im Femtosekundenbereich mit Intensitäten bis zu 1019 W/cm2 . Da deren
Feldstärken die von Atomkernen erzeugten, elektrischen Felder unter Umständen weit
übertreffen, kommt es beim Beschuß von Atomen mit solchen Laserpulsen zu einer Fülle
neuartiger Phänomene.
Durch Multiphotonenionisation können unabhängig von der Laserwellenlänge alle Elektronen aus einem Atom entfernt werden. Bei der Messung der kinetischen Energie der
Photoelektronen kann man die sogenannte Above Threshold Ionization“ beobachten: Die
”
Elektronen können weit mehr Photonen absorbieren, als zur Überwindung des Ionisationspotentials nötig wären. Weiterhin weist das Photoemissionsspektrum von Atomen, die mit
starken Laserpulsen angeregt werden, Peaks an den Stellen der ungeraden Vielfachen der
eingestrahlten Laserfrequenz auf. In derartigen Spektren von Helium wurden Harmonische
bis weit über die 100. Ordnung hinaus sowie die Bildung eines Plateaus der gemessenen
Peakhöhen beobachtet. Diesen Effekt nennt man Harmonic Generation“.
”
All diesen Phänomenen ist gemeinsam, daß sie sich nur unzureichend durch störungstheoretische Methoden erklären lassen. Stattdessen ist eine nichtpertubative quantenmechanische Beschreibung wechselwirkender Teilchen in starken, äußeren Feldern nötig. Dies
erfordert im Prinzip die volle Lösung der zeitabhängigen Schrödinger–Gleichung für wechselwirkende Vielteilchensysteme.
Für die einfachsten Systeme, Wasserstoff und Helium in starken Laserpulsen, existiert
eine Vielzahl von Arbeiten zur Lösung der entsprechenden Schrödinger–Gleichungen. Die
Untersuchung von Atomen mit mehr als zwei Elektronen war aus numerischen Gründen
bis vor kurzem nur im Rahmen der Single active electron“–Näherung möglich. Man be”
schränkt sich dabei auf die Beschreibung durch ein aktives Elektron, während die restlichen Elektronen gewissermaßen eingefroren und nur durch ein statisches Modellpotential
berücksichtigt werden. Einen Durchbruch bei der Beschreibung von Vielelektronensyste75
76
Kapitel 6. Zusammenfassung
men schaffte die Arbeit von Ullrich, dem eine gleichwertige Behandlung aller Elektronen
der Elemente Beryllium und Neon gelang, ohne auf die numerische Einfachheit von Ein–
Elektronen–Gleichungen verzichten zu müssen. Den Schlüssel zu diesem Erfolg bildete
die zeitabhängige Dichtefunktionaltheorie, die besagt, daß alle Observablen eines Systems
als Funktionale seiner zeitabhängigen Dichte geschrieben werden können. Neben dieser
recht formalen Aussage liegt die eigentliche Stärke dieser Theorie aber darin, daß sie diese
zeitabhängige Dichte als die Dichte eines nichtwechselwirkenden, zeitabhängigen Systems
zu berechnen gestattet. Die gute Übereinstimmung der von Ullrich präsentierten Rechnungen zur Harmonic Generation“ in Neon mit experimentellen Daten läßt erwarten,
”
daß die zeitabhängige Dichtefunktionaltheorie zur Standardmethode für die Beschreibung
von Vielelektronenatomen in starken Laserpulsen avanciert.
Ziel dieser Arbeit war es, aufbauend auf der numerischen Methode von Ullrich das
Phänomen der Harmonic Generation“ systematisch zu untersuchen und optimale Laser”
parameter für eine effiziente Erzeugung hoher Harmonischer zu finden. Diese Aufgabe wurde vor allem auch durch die vor kurzem beobachteten Intensitätssteigerungen in den Photoemissionsspektren bei der Verwendung von Zwei–Farben–Pulsen motiviert. Dazu wurde
der Formalismus der zeitabhängigen Spindichtefunktionaltheorie in seinen Grundzügen
vorgestellt und seine Anwendung auf das Studium von Atomen in Laserfeldern beschrieben.
Die numerische Methode erlaubt durch die Verwendung von absorbierenden Randbedingungen die Simulation von Ionisation. Die Photoemissionsspektren werden aus der Fourier–
Transformierten des zeitabhängigen Dipolmoments gewonnen. Mit Hilfe des Ehrenfest–
Theorems für Vielteilchensysteme wurde eine exakte Eigenschaft des Austausch–Korrelations–Potentials hergeleitet, die eine alternative Berechnung der Photoemissionsspektren
erlaubt. Ein Vergleich der mit beiden Verfahren erhaltenen Spektren wurde im Ergebnisteil
durchgeführt und wies eine exzellente Übereinstimmung auf. Aus allgemeinen, gruppentheoretischen Überlegungen heraus konnte das Transformationsverhalten der Dichte aus
Vielteilchenwellenfunktionen, die sich nach den irreduziblen Darstellungen der Symmetriegruppe des zugrundeliegenden Hamilton–Operators klassifizieren lassen, ermittelt werden.
Um das in Experimenten beobachtbare Plateau der Harmonischen Spektren qualitativ
zu erklären, wurde ein semiklassisches Modell der Harmonic Generation“ vorgeführt. Die
”
hergeleitete cutoff“–Regel für das Plateauende diente im weiteren als Anhaltspunkt bei
”
der Auswahl der Laserparameter für numerische Rechnungen. Analoge Regeln konnten
auch für Zwei–Farben–Pulse gefunden werden.
Für das Wasserstoffatom wurde die Simulation der Multiphotonenionisation durchgeführt. Die erhaltenen Ionisationsraten stimmten dabei gut mit den numerischen Ergebnissen von Kulander überein. Weiterhin wurde systematisch die Änderung der Photoemissionsspektren bei der Variation der Laserparameter untersucht. Als optimale Wahl für
die effiziente Erzeugung hoher Harmonischer stellten sich dabei langwellige Laser mit einer
77
Intensität knapp unterhalb der Sättigungsintensität heraus. Besonderer Wert wurde auf
die Behandlung von Zwei–Farben–Pulsen gelegt. Den experimentellen Befunden entsprechend wurde eine Intensitätssteigerung in den Photoemissionsspektren bei der Anregung
mit einer Grundfrequenz und deren zweiter Harmonischen gegenüber der Anregung mit
einem monochromatischen Puls gleicher Intensität gefunden. Die Wahl der Phasendifferenz zwischen den beiden Laserpulsen war dabei nur von geringer Bedeutung. Bei den
Laserparametern λ = 228 nm und I = 4 · 1013 W/cm2 wurde eine resonante Anregung
von Wasserstoff gefunden. Die beobachtete Einschnürung im zeitabhängigen Dipolmoment
konnte mit Hilfe der Symmetrieüberlegungen zum Transformationsverhalten der Dichte
gedeutet werden.
Bei der Untersuchung des Heliumatoms im Laserfeld konzentrierten wir uns ganz auf
die Berechnung der Photoemissionsspektren. Die Ausdehnungen der gefundenen Plateaus
übertrafen die beim Wasserstoffatom erhaltenen Ergebnisse bei weitem. Die Übereinstimmung der Plateauenden mit den Vorhersagen des semiklassischen Modells war auch hier
überraschend gut. Bei der Verwendung von Zwei–Farben–Pulsen konnte wiederum eine
Intensitätserhöhung der Harmonischen beobachtet werden. In diesem Fall wurde die Anregung mit einer Grundfrequenz und deren zweiter Harmonischen bzw. dritter Harmonischen
untersucht. Für die letztere Möglichkeit wurden schließlich Rechnungen bei verschiedenen
Intensitätsverhältnissen durchgeführt. Dabei zeigte sich deutlich, daß bereits eine geringe
Beimischung der dritten Harmonischen zur Grundfrequenz zu einem beachtlichen Intensitätsanstieg in den Harmonischen Spektren führt.
Literaturverzeichnis
[1] C. J. Joshi and P. B. Corkum, Phys. Today 48 (1), 36 (1995).
[2] Atoms in Intense Laser Fields, ed. by M. Gavrila, Academic Press, Boston (1992).
[3] Super–Intense Laser–Atom Physics, ed. by B. Piraux, A. L’Huillier, and K. Rza̧żewski,
NATO ASI series B316 (Plenum Press, New York, 1993).
[4] Super–Intense Laser–Atom Physics IV, ed. by H. G. Muller (Kluwer, 1996).
[5] G. Mainfray and C. Manus, Rep. Prog. Phys. 54, 1333 (1991).
[6] R. R. Freeman and P. H. Bucksbaum, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 24, 325 (1991).
[7] K. Burnett, V. C. Reed, and P. L. Knight, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 26, 561
(1993).
[8] A. L’Huillier, L. A. Lompré, G. Mainfray, and C. Manus, J. Phys. B: At. Mol. Phys.
16, 1363 (1983); Phys. Rev. A 27, 2503 (1983); J. Physique 44, 1247 (1983).
[9] M. D. Perry, O. L. Landen, A. Szöke, and E. M. Campbell, Phys. Rev. A 37, 747
(1988).
[10] T. S. Luk, U. Johann, H. Egger, H. Pummer, and C. K. Rhodes, Phys. Rev. A 32,
214 (1985).
[11] T. S. Luk, A. McPherson, G. Gibson, K. Boyer, and C. K. Rhodes, Opt. Lett. 14,
1113 (1989).
[12] P. Lambropoulos, Phys. Rev. Lett. 55, 2141 (1985).
[13] D. N. Fittinghoff, P. R. Bolton, B. Chang, and K. C. Kulander, Phys. Rev. Lett. 69,
2642 (1992) and Phys. Rev. A 49, 2174 (1994).
[14] B. Walker, E. Mevel, B. Yang, P. Breger, J. P. Chambaret, A. Antonetti, L. F. DiMauro, and P. Agostini, Phys. Rev. A 48, R894 (1993).
78
LITERATURVERZEICHNIS
79
[15] K. Kondo, A. Sagisaka, T. Tamida, Y. Nabekawa, and S. Watanabe, Phys. Rev. A
48, R2531 (1993).
[16] B. Walker, B. Sheehy, L. F. DiMauro, P. Agostini, K. J. Schafer, and K. C. Kulander,
Phys. Rev. Lett. 73, 1227 (1994).
[17] M. Pont, N. R. Walet, M. Gavrila, and C. W. McCurdy, Phys. Rev. Lett. 61, 939
(1988).
[18] M. Pont, N. R. Walet, and M. Gavrila, Phys. Rev. A 41, 477 (1990).
[19] K. C. Kulander, K. J. Schafer, and J. L. Krause, Phys. Rev. Lett. 66, 2601 (1991).
[20] J. H. Eberly and K. C. Kulander, Science 262, 1229 (1993).
[21] M. P. de Boer, J. H. Hoogenraad, R. B. Vrijen, L. D. Noordam, and H. G. Muller,
Phys. Rev. Lett. 71, 3263 (1993).
[22] M. P. de Boer, J. H. Hoogenraad, R. B. Vrijen, R. C. Constantinescu, L. D. Noordam,
and H. G. Muller, Phys. Rev. A 50, 4085 (1994).
[23] P. Agostini, F. Fabre, G. Mainfray, G. Petite, and N. K. Rahman, Phys. Rev. Lett. 42,
1127 (1979).
[24] P. Kruit, J. Kimman, H. G. Muller, and M. J. van der Wiel, Phys. Rev. A 28, 248
(1983).
[25] J. H. Eberly, J. Javanainen, and K. Rza̧żewski, Phys. Rep. 204, 331 (1991).
[26] A. McPherson, G. Gibson, H. Jara, U. Johann, T. S. Luk, I. A. McIntyre, K. Boyer,
and C. K. Rhodes, J. Opt. Soc. Am. B 4, 595 (1987).
[27] N. B. Delone and V. P. Krainov, Fundamentals of Nonlinear Optics of Atomic Gases
(John Wiley, New York, 1988).
[28] M. Ferray, A. L’Huillier, X. F. Li, L. A. Lompré, G. Mainfray, and C. Manus, J. Phys.
B 21, L31 (1988).
[29] X. F. Li, A. L’Huillier, M. Ferray, L. A. Lompré, and G. Mainfray, Phys. Rev. A 39,
5751 (1989).
[30] A. L’Huillier, L. A. Lompré, G. Mainfray, and C. Manus, in Ref. [2], S. 139.
[31] N. Sarukura, K. Hata, T. Adachi, R. Nodomi, M. Watanabe, and S. Watanabe,
Phys. Rev. A 43, 1669 (1991).
80
LITERATURVERZEICHNIS
[32] K. Miyazaki and H. Sakai, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 25, L83 (1992).
[33] C.-G. Wahlström, J. Larsson, A. Persson, T. Starczewski, S. Svanberg, P. Salières,
P. Balcou, and A. L’Huillier, Phys. Rev. A 48, 4709 (1993).
[34] K. Kondo, T. Tamida, Y. Nabekawa, and S. Watanabe, Phys. Rev. A 49, 3881 (1994).
[35] Y. Liang, S. Augst, S. L. Chin, Y. Beaudoin, and M. Chaker, J. Phys. B: At. Mol.
Opt. Phys. 27, 5119 (1994).
[36] S. L. Chin and P. A. Golovinski, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 28, 55 (1995).
[37] A. L’Huillier and P. Balcou, Phys. Rev. Lett. 70, 774 (1993).
[38] S. G. Preston, A. Sanpera, M. Zepf, W. J. Blyth, C. G. Smith, J. S. Wark, M. H.
Key, K. Burnett, M. Nakai, D. Neely, and A. A. Offenberger, Phys. Rev. A 53, R31
(1996).
[39] J. Larsson, E. Mervel, R. Zernet, A. L’Huillier, C.-G. Wahlström, ans S. Svanberg, J.
Phys. B 28, L53 (1995).
[40] R. Haight and D. R. Peale, Phys. Rev. Lett. 70, 3379 (1993).
[41] Ph. Balcou, K. S. Budil, T. Ditmire, M. D. Perry, P.Salière, and A. L’Huillier, (1993).
[42] H. G. Muller, P. H. Bucksbaum, D. W. Schumacher, and A. Zavriyev, J. Phys. B 23,
2761 (1990).
[43] M. D. Perry and J. K. Crane, Phys. Rev. A 48, R4051 (1993).
[44] S. Watanabe, K. Kondo, Y. Nabekawa, A. Sagisaka, and Y. Kobayashi, Phys.
Rev. Lett. 74, 2692 (1994).
[45] H. Eichmann, A. Egbert, S. Nolte, C. Momma, B. Wellegehausen, W. Becker, S. Long,
and J. K. McIver, Phys. Rev. A 51, R3414 (1995).
[46] K. C. Kulander, Phys. Rev. A 35, 445 (1987).
[47] K. C. Kulander, K. J. Schafer, and J. L. Krause, in Ref. [2], S. 247.
[48] K. J. Schafer and K. C. Kulander, Phys. Rev. A 45, 8026 (1992).
[49] S. Long, W. Becker, and J. K. McIver, Phys. Rev. A 52, 2262 (1995).
[50] M. Protopapas, A. Sanpera, P. L. Knight, and K. Burnett, Phys. Rev. A 52, R2527
(1995).
LITERATURVERZEICHNIS
81
[51] K. C. Kulander, Phys. Rev. A 36, 2726 (1987).
[52] X. Tang, H. Rudolph, and P. Lambropoulos, Phys. Rev. A 44, R6994 (1991).
[53] P. Lambropoulos and X. Tang, in Ref. [3], S. 403.
[54] M. Pont, A. Bugacov and S. R. Atlas, in Ref. [3], S. 195.
[55] S. Blodgett-Ford, J. Parker and C. W. Clark, in Ref. [3], S. 391.
[56] K. C. Kulander, Phys. Rev. A 38, 778 (1988).
[57] K. C. Kulander, K. J. Schafer, and J. L. Krause, Int. J. Quant. Chem. Symp. 25, 415
(1991).
[58] H. Xu, X. Tang, and P. Lambropoulos, Phys. Rev. A 46, R2225 (1992).
[59] H. Xu, X. Tang, and P. Lambropoulos, Laser Phys. 3, 759 (1993).
[60] C. A. Ullrich, Doktorarbeit, Universität Würzburg (1995).
[61] E. Runge and E. K. U. Gross, Phys. Rev. Lett. 52, 997 (1984).
[62] P. Hohenberg and W. Kohn, Phys. Rev. 136, B864 (1964).
[63] W. Kohn and L. J. Sham, Phys. Rev. 140, A1133 (1965).
[64] R. G. Parr and W. Yang, Density-Functional Theory of Atoms and Molecules (Oxford
University Press, New York, 1989).
[65] R. M. Dreizler and E. K. U. Gross, Density Functional Theory: An Approach to the
Quantum Many-Body Problem (Springer-Verlag, Berlin, 1990).
[66] Density Functional Theory, ed. by E. K. U. Gross and R. M. Dreizler, NATO ASI
series B337 (Plenum Press, New York, 1994).
[67] K. L. Liu and S. H. Vosko, Can. J. Phys. 67, 1015 (1989).
[68] M. Bünner, Diplomarbeit, Universität Würzburg (1992).
[69] M. Bünner, J. F. Dobson, E. K. U. Gross, zur Veröffentlichung eingereicht bei Phys.
Rev. Lett.
[70] E. K. U. Gross, C. A. Ullrich, and U. J. Gossmann, in Ref. [66], S. 149.
[71] C. A. Ullrich, U. J. Gossmann, and E. K. U. Gross, Phys. Rev. Lett. 74, 872 (1995).
[72] J. J. Sakurai, Advanced Quantum Mechanics, Addison Wesley, Reading (1967).
82
LITERATURVERZEICHNIS
[73] R. R. Freeman, P.H. Bucksbaum, W. E. Cooke, G. Gibson, T. J. McIlrath, and L. D.
van Woerkom, in Ref. [2], S. 43.
[74] H. R. Reiss, Prog. Quant. Electr. 16, 1 (1992).
[75] F. H. M. Faisal, Theory of Multiphoton Processes, Plenum Press, New York (1987).
[76] M. H. Mittleman, Introduction to the Theory of Laser-Atom Interactions, Plenum
Press, New York (1993).
[77] M. Weissbluth, Atoms and Molecules, Academic Press (1978).
[78] J. L. Krause, K. J. Schafer, and K. C. Kulander, Phys. Rev. A 45, 4998 (1992).
[79] A. L’Huillier, P. Balcon, S. Candel, K. J. Schafer, and K. C. Kulander, Phys. Rev. A
46, 2778 (1992).
[80] A. L’Huillier, L. A. Lompré, G. Mainfray, and C. Manus, in Ref. [2], S. 139.
[81] A. L’Huillier, K. J. Schafer, and K. C. Kulander, J. Phys. B 24, 3165 (1991).
[82] A. L’Huillier, K. J. Schafer, and K. C. Kulander, Phys. Rev. Lett. 66, 2200 (1991).
[83] M. Levy, J. P. Perdew, Phys. Rev. A 32, 2010 (1985).
[84] G. Vignale, Phys. Rev. Lett. 74, 3233 (1995).
[85] U. J. Gossmann, Diplomarbeit, Universität Würzburg (1994).
[86] G. Bandarage, A. Maquet, T. Ménis, R. Taı̈eb, V. Véniard, and J. Cooper, Phys.
Rev. A 46, 380 (1992).
[87] M. Hamermesh, Group Theory and its Application to Physical Problems, Dover
(1989), S. 85.
[88] M. Hamermesh, Group Theory and its Application to Physical Problems, Dover
(1989), S. 111.
[89] M. Hamermesh, Group Theory and its Application to Physical Problems, Dover
(1989), S. 134.
[90] M. Hamermesh, Group Theory and its Application to Physical Problems, Dover
(1989), S. 336.
[91] A. R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton (1960).
[92] P. B. Corkum, Phys. Rev. Lett. 71, 1994 (1993).
LITERATURVERZEICHNIS
83
[93] K. C. Kulander, K. J. Schafer, and J. L. Krause, in Ref. [3], S. 95.
[94] K. C. Kulander, J. Cooper, and K. J. Schafer, Phys. Rev. A 51 561 (1995).
[95] V. L. Keldysh, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 47, 1945 (1964) [Sov. Phys.—JETP 20, 1307
(1965)].
[96] N. H. Burnett, C. Kan, and P. B. Corkum, Phys. Rev. A 51 R3418 (1995).
[97] S. H. Vosko, L. Wilk, and M. Nusair, Can. J. Phys. 58, 1200 (1980).
Danksagung
An dieser Stelle möchte ich mich ganz herzlich bei Herrn Prof. Dr. Eberhard K. U. Groß
für die interessante Themenstellung und die vielen hilfreichen Diskussionen und Vorschläge
bedanken. Seinem bemerkenswerten Engagement für meine Person, das bereits lange vor
meiner Diplomarbeit begann, ist ein Großteil meiner wissenschaftlichen Leistungen zuzuschreiben.
Mein Dank gilt auch der gesamten Arbeitsgruppe. Die herzliche und kollegiale Atmosphäre, die ich in den letzten zwei Jahren erleben durfte, war für mich von größter
Wichtigkeit.
Weiterhin danke ich der Studienstiftung des deutschen Volkes für ideelle und finanzielle
Unterstützung sowie dem Freistaat Bayern für ein großzügiges Stipendium.
Dank auch an meinen Studienkollegen Berthold Brendel für die unschätzbare Hilfe bei
A
L TEX–Problemen.
Dem Rechenzentrum Würzburg und dem Landesrechenzentrum München bin ich für
die freundliche Bereitstellung von Rechenzeit sehr dankbar.
Vor allem aber meinen Eltern bin ich zu besonderem Dank verpflichtet. Alles, was ich
erreicht habe, haben sie mir erst ermöglicht.