1 Angeordnete Körper und Anordnung

1 ANGEORDNETE KÖRPER UND ANORDNUNG
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Angeordnete Körper und Anordnung
Die Idee, die wir interpretieren müssen ist die Anordnung. Man kann zeigen, dass sie
nicht über jeden Körper möglich ist.
Definition 1.1. Ein angeordneter Körper ist ein Körper F zusammen mit einer Untermenge P . Elemente aus P heissen positive und erfüllen folgende Eigenschaften:
i) Wenn a, b ∈ P , dann a + b ∈ P und ab ∈ P .
ii) Für jedes Element a ∈ F gilt genau eine der folgende Eigenschaften:
a ∈ P ; a = 0; −a ∈ P.
Aus dieser Definition können wir folgende Eigenschaften beweisen.
Proposition 1.1. Sei (F, P ) ein angeordneter Körper, dann gilt
1) 1 ∈ P , also 1 ist ein positives Element.
2) Die Charakteristik von F ist 0, also m 6= 0 für jedes m ∈ N>0 .
3) Der kleinste Unterkörper von F , der 1 enthält, ist zu Q isomorph.
4) Für jedes a 6= 0 ∈ F , a2 ∈ P .
Beweis. 1) In jeder Körper 1 6= 0, also, nach ii) entweder 1 ∈ P oder −1 ∈ P . Wenn
1 ∈ P , ist alles in Ordnung. Wir nehmen also an, dass −1 ∈ P . Wenn das gilt, gilt
auch, nach ii), dass −1 · (−1) = 1 ∈ P . Das ist aber ein Widerspruch, weil nur 1 oder
−1 in P sein können. Also 1 ∈ P .
2) Das folgt mit 1) und i). Tatsächlich 1 ∈ P , also 1 + 1 + · · · + 1 ∈ P beliebig viel Mal.
3) Sei
P :=
\
G,
G⊂F
GUnterkörper
dann ist P ein Körper, der Primkörper von F . Sei weiter
ϕ:Z→P


1 + ··· + 1


| {z }
n-mal
n 7→
0



−(−n)
wenn n > 0
wenn n = 0
wenn n < 0
Mit dem Distributivgesetz und Induktion, kann man zeigen, dass ϕ ein Ringhomomorphismus ist.1 Da die Charakteristik von F 0 ist, ist ϕ injektiv, also sind alle Elemente
0 6= n ∈ P invertierbar und P enthält somit einen zu Q isomorph Unterkörper. Da
P aber der kleinste Unterkörper von F ist, haben wir, dass P und Q isomorph sein
müssen. Somit ist der kleinste Unterkörper von F zu Q isomorph.
1
Man muss also zeigen ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b), ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b), ϕ(1Z ) = 1P , für jedes Element
a, b ∈ Z.
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4) Sei a 6= 0, sonst haben wir 02 = 0 ∈ P , dann ist, nach ii) entweder a ∈ P oder −a ∈ P .
Wenn a ∈ P , gilt a · a = a2 ∈ P nach der erste Eigenschaft der Definition 1.1, sonst,
wenn −a ∈ P , gilt (−a) · (−a) = a2 ∈ P . Also sind wir zufrieden.
Proposition 1.2. Sei (F, P ) ein angeordneter Körper und a, b ∈ F . Wir definieren
a > b, wenn a − b ∈ P und a < b, wenn b − a ∈ P . Diese Definition erfüllt die folgende
Eigenschaften:
i) Wenn a > b und c ∈ F , dann a + c > b + c.
ii) Wenn a > b und b > c, dann a > c.
iii) Wenn a > b und c > 0, dann ac > bc.
iv) Seien a, b ∈ F . Es gilt genau eine der folgenden Eigenschaften: a > b; a = b; a < b.
Beweis.
i) Da a > b, a − b ∈ P . Ferner
a − b = a + c − c − b = a + c − (b + c),
also a + c > b + c.
ii) Aus der Definition haben wir a − b ∈ P und b − c ∈ P , also nach der erste Eigenschaft
von der Definition 1.1, a − b + b − c = a − c ∈ P .
iii) Da c > 0, c ∈ P . Elementen in P sind stabil unter Multiplikation, also a − b ∈ P
impliziert ac − bc ∈ P .
iv) Seien a, b ∈ F . Wenn a = b, sind wir zufrieden, also nehmen wir an a 6= b. Es
folgt nach der Eigenschaften des Körpers, dass a − b in F liegt. Nach der zweite
Eigenschaft der Definition 1.1 haben wir entweder a − b ∈ P , oder −(a − b) ∈ P .
Beispiel 1.1. (1) Der Körper Q der rationale Zahlen und der Körper R der reellen Zahlen
sind angeordnete Körper mit dem üblichen Begriff von positive Zahlen.
(2) Der Körper der komplexe Zahlen C ist kein Beispiel für einen angeordneten Körper,
da die vierte Eigenschaft der Proposition 1.1, zum Beispiel für die Zahl i, nicht erfüllt
ist.
√
√
Beispiel eines Körper, der zwei
(3) Der Körper Q( 2) = {a + b 2 | a, b ∈ Q} ist ein √
mögliche Ordnungen besitzt. Zuerst können wir Q( 2) als Unterkörper von R anschauen, also sind wir berechtigt, den üblichen Begriff für positive Zahlen zu betrachten, wie in
√ Beispiel (1). Es gibt aber eine zweite mögliche Ordnung, gegeben durch
alle x ∈ Q( 2), welche die Eigenschaft ϕ(x) > 0 erfüllen, wobei
√
ϕ : Q( 2) → R
√
√
a + b 2 7→ a − b 2.
Es ist interessant zu merken, dass nicht alle positive √
Zahlen gemäss die erste Ordnung,
auch positiv für die zweite
die erste
√ Ordnung sind. Die Zahl 2 ist, zum Beispiel, für√
Ordnung positiv, weil 2 > 0, während für die zweite Ordnung nicht, da − 2 ≯ 0.
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Proposition 1.3. Sei F ein Körper und es sei eine Anordnung in der Kartesischen Ebene
ΠF gegeben, welche die Axiome (B1) − (B4) erfüllt. Dann ist F ein angeordneter Körper.
Umgekehrt, wenn (F, P ) ein angeordneter Körper ist, können wir eine Anordnung ΠF
definieren, welche die Eigenschaften (B1) − (B4) erfüllt.
Beweis. Wir nehmen zuerst an, dass F ein Körper ist und, dass ΠF eine Anordnung ist,
die die Eigenschaften (B1)-(B4) erfüllt. Wir müssen eine Untermenge P von F definieren,
welche die Eigenschaften der Definition 1.1 erfüllt. Wir setzen also
P := {0 6= a ∈ F | (a, 0) auf der gleichen Seite von 0 wie 1 ist }.
Seien a, b ∈ P , wir müssen zeigen, dass a + b ∈ P und ab ∈ P liegen. a + b liegt in P , weil
die Addition nicht anders ist, als die Aneinanderreihen von Strecken, die auf der gleichen
Seite von 0 wie 1 sind. Es ist ein bisschen schwieriger zu zeigen, dass ab ∈ P liegt. Zuerst
definieren wir die Multiplikation in P . Um ab zu bekommen, legen wir a auf der x-Achse
und 1, b auf der y-Achse, zeichnen eine Gerade l durch die Punkte (a, 0) und (0, 1). Die
zur l parallele Gerade, die durch den Punkt (0, b) geht, schneidet dann die x-Achse im
Punkt (ab, 0). Das Bild illustriert besser dieses Verfahren.
b
1
ab
a
1
Wir betrachten a 6= 1 6= b, weil sonst liegt ab natürlich in P . Aus symmetrische Gründen
müssen wir nur 5 Fälle betrachten:
a < 1 < b,
1 < a < b,
a < b < 1,
a = b < 1,
1 < a = b.
Für den ersten Fall haben wir eine zur untenstehende Figur ähnliche Situation.
B
b
1
A
l
a
C
1
ab
Wir betrachten das Dreieck mit Eckpunkte A = (0, 0), B = (0, b), C = (ab, 0) und die
Gerade l gegeben bei den Punkte (a, 0), (0, 1). Es gilt (0, 0) ∗ (0, 1) ∗ (0, b), also schneidet
die Gerade l die Seite AB im Innern. Nach B4 muss diese Gerade eine andere Seite
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des Dreiecks schneiden: entweder BC oder AC. Die Gerade l kann die Seite BC nicht
schneiden, da sie parallel zueinander stehen. l schneidet also die Seite AC. AC liegt auf
der x-Achse, darum liegt den Schnittpunkt auch auf der x-Achse. Da der Punkt (a, 0) auf
der x-Achse liegt und auch auf der Geraden l, muss (a, 0) den Schnittpunkt sein. Also
(0, 0) ∗ (a, 0) ∗ (ab, 0) und somit ab ∈ P .
Die andere 4 Fälle sind sehr ähnlich, mann muss einfach das richtige Dreieck betrachten.
Für den Fall a < b < 1 betrachtet man zum Beispiel das Dreieck mit Eckpunkte A =
(0, 0), B = (0, 1), C = (a, 0). Es bleibt also nur die zweite Eigenschaft der Definition 1.1
zu zeigen. Nach Konstruktion haben wir
F = −P ∪ {0} ∪ P,
also ist (F, P ) ein angeordneter Körper.
Sei Also jetzt (F, P ) ein angeordneter Körper, wir definieren eine Anordnung wie folgt:
seien A = (a1 , a2 ), B = (b1 , b2 ), C = (c1 , c2 ) drei Punkte auf einer Geraden y = mx + b.
Wir sagen, dass B ist zwischen A und C liegt, und schreiben A ∗ B ∗ C, wenn
entweder a1 < b1 < c1
oder a2 < b2 < c2 .
Wir müssen die 4 Axiome B1 − B4 überprüfen.
B1 folgt direkt aus der Definition.
B2 Seien A = (a1 , a2 ), B = (b1 , b2 ) zwei verschieden Punkte auf einer Geraden, dann gilt
oBdA a1 < b1 . Setzen wir c1 = a1 − 1, c2 := 21 (a1 + b1 ), (2 6= 0, weil die Charakteristik 0
ist) c3 = b1 + 1, dann
c1 < a1 < c2 < b1 < c3 ,
also können wir ohne Probleme ein dritter Punkt C finden, so dass A ∗ B ∗ C.
B3 In ein angeordneter Köper kann, für drei verschieden Punkte a, b, c, nur eine der
folgenden 6 Situatione erscheinen:
a < b < c,
a < c < b,
b < c < a,
b < a < c,
c < a < b,
c < b < a,
also ist B3 auch erfüllt.
B4 Sei ∆ABC ein Dreieck und l eine Gerade, die durch die Seite AB geht. Nehmen
wir auch an, dass A, B, C ∈
/ l. Wir müssen zeigen, dass l eine andere Seite des Dreiecks
schneidet, aber nicht beide.
Nehmen wir zuerst an, dass die Gerade l vertikal ist, mit Gleichung, sagen wir x = d.
Seien a, b, c die x-Koordinaten von A, B, C. Nach Annahme gilt entweder a < d < b, oder
b < d < a. OBdA, sei a < d < b. Es ist jetzt klar, dass wenn c < d, schneidet dann die
Gerade l die Seite BC und nicht die Seite AC und umgekehrt, wenn c > d, schneidet die
Gerade l die Seite AC und nicht BC.
A
l
B
C
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Wenn l nicht vertikal ist, führen wir einen Variablenwechsel ((14, 2) im Buch), so dass l
Vertikal wird. Variablenwechsel entweder bewahren oder invertieren die Ungleichungen,
also ist die Anordnung nicht verletzt und der Fall ist auf der vorherigen zurückgeführt.
Wir enden den Abschnitt mit einer Überlegung über Archimedes’ Axiom und Dedekinds’
Axiom.
Proposition 1.4. Sei (F, P ) ein angeordneter Körper. Die kartesische Ebene ΠF erfüllt
(A) und (D) genau dann, wenn F die folgende Eigenschaften für einen Körper erfüllt:
(A0 ) (Archimedes’ Axiom für einen Körper). Für a > 0 in F existiert eine ganze Zahl
n, so dass n > a.
(D0 ) (Dedekinds’ Axiom .fur einen Körper). Sei F die disjunkte Vereinigung zweier
nicht leerer Mengen: F = S ∪ T und es gelte fur alle a ∈ S und b ∈ T , a < b. Es existiert
dann ein eindeutiges Element c ∈ F , so dass für alle a ∈ S und alle b ∈ T gilt: a ≤ c ≤ b.
Beweis. Die Idee für (A) ist AB so zu wählen, dass sie die Einheitsstrecke darstellt. Wenn
C und D auf der selben Geraden den Elementen c < d ∈ F entsprechen, dann werden n
Kopie von AB grösser als CD genau dann, wenn n > d − c.
Die Idee für (D) ist die Koordinaten so zu wählen, dass die betroffene Gerade die x-Achse
ist. Wenn wir die Elementen auf der x-Achse mit den Elementen aus F identifizieren,
sind dann die Aussagen (D) und (D0 ) die selben.
Proposition 1.5. Sei F ein angeordneter Korper der (A0 ) erfüllt. Dann ist F ordnungserhaltend isomorph zu einem Teilkörper von R. Ausserdem erfullt F in diesem Fall (D0 )
genau dann wenn dieser Teilkörper R ist.
Beweis. Wir haben in Proposition 1.1 teil 3) gesehen, dass F einen kleinste zu Q isomorph
Unterkörper F0 entält. Also haben wir einen Isomorphismus ϕ0 : F0 → Q. Zu zeigen,
dass F zu einem Teilkörper von R isomorph ist, erweitern wir diesen Isomorphismus zu
einem Homomorphismus ϕ
f0 : F → R. Sei also α ∈ F und sei, nach (A0 ), a0 die eindeutige
ganze Zahl n, so dass
a0 ≤ α < a0 + 1,
weiter sei a1 die eindeutige Zehntenzahl n ∈
1
Z,
10
so dass
1
,
10
a1 ≤ α < a1 +
ferner sei a2 die eindeutige Zahl n ∈
1
Z,
100
so dass
a2 ≤ α < a2 +
1
,
100
und so weiter. Wir erhalten eine Folge (an )n≥0 von rationale Zahlen mit den Eigenschaften
a0 ≤ a1 ≤ · · · und
an ≤ α ≤ an + 10−n ∀ n ∈ N.
2 KONGRUENZ VON STRECKEN UND WINKELN
6
Diese Folge konvergiert gegen eine Zahl, die wir ϕ
f0 (α) nennen. Wir haben also eine
Abbildung
ϕ
f0 : F → R
α 7→ lim an
n→∞
definiert, die auch ein Homomorphismus zwischen Körper ist. Tatsächlich gilt
ϕ
f0 (α + β) = lim (an + bn ) = lim an + lim bn = ϕ
f0 (α) + ϕ
f0 (β)
n→∞
n→∞
n→∞
und
ϕ
f0 (αβ) = lim an bn = lim an lim bn = ϕ
f0 (α)f
ϕ0 (β).
n→∞
n→∞
n→∞
Insbesondere ist ϕ
f0 ein Isomorphismus zu seinem Bild ϕ
f0 (F ) ⊂ R. Zudem gilt, falls
α < β, dass ϕ
f0 (α) < ϕ
f0 (β). Also ist ϕ
f0 ein ordnungstreuer Isomorphismus von F nach
ϕ
f0 (F ) ⊂ R.
Nun gilt, (D0 ) auf F ist äquivalent zu (D0 ) auf ϕ
f0 (F ), weil die Korper isomorph sind und
der Isomorphismus ordnungserhaltend ist. Jede Zahl r ∈ R ist charakterisiert durch die
Mengen Σ1 = {a ∈ R | a ≤ r} und Σ2 = {a ∈ R | a > r}. Deshalb gilt klarerweise: (D0 )
gilt auf ϕ
f0 (F ) genau dann wenn ϕ
f0 (F ) = R.
2
Kongruenz von Strecken und Winkeln
Um die Kongruenz zwischen zwei Strecken zu definierien, benutzen wir die übliche Euklidische Abstand. Gegeben seien A = (a1 , a2 ) und B = (b1 , b2 ), dann ist
p
d(A, B) := (a1 − b1 )2 + (a2 − b2 )2
die Abstand zwischen die Punkte
A und B. Da es nicht offensichtlich ist, dass ein Körper
√
die Wurzel
besitzt (z.B. hat 2 keine Wurzel in Q, denn es keine Zahl y ∈ Q gibt, so dass
√
y 2 = 2), benutzen wir die zweite-Potenz Abstand
d2 (A, B) := (a1 − b1 )2 + (a2 − b2 )2 .
(1)
Definition 2.1. Wir definieren die Strecke AB als die Menge aller Elemente, die zwischen
A und B liegen, A und B inklusiv.
Definition 2.2. Zwei Strecken AB und CD heissen kongruent auf der kartesische Ebene,
falls
d2 (A, B) = d2 (C, D).
Da die Gleichkeit in F eine Äquivalenzrelation ist, folgt das Axiom (C2) sofort. Wir
merken auch, dass, wenn A und B zwei verschieden Punkte sind, gilt
d2 (A, B) > 0.
im Folgenden werden wir Kongruenz zwischen Winkeln definieren, indem wir die Funktion tan(α), für jedes α ∈ F definieren werden. Der Hintergrund zu dieser Definition
verbindet sich mit der üblichen trigonometrischen Funktion, aber da wir auf einem abstrakten Körper arbeiten, sollen wir die übliche Eigenschaften dieser Funktion nicht benutzen, bis wir sie bewiesen haben.
2 KONGRUENZ VON STRECKEN UND WINKELN
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Definition 2.3. Ein Winkel ist rechtwinkelig genau dann, wenn die Steigungen seinen
Stralen die Gleichung
mm0 = −1
erfüllen.
Definition 2.4. Ein Winkel ist spitzer genau dann, wenn er im Innen eines Rechtwinkels
enthalten ist und er ist stumpfer genau dann, wenn er das Innen eines Rechtwinkels
enthält.
Definition 2.5. Wenn α ein Winkel, der von zwei Strahlen r, r0 , mit Steigungen m, m0
geformt ist, ist, definieren wir die Tangente von α als
0
m −m ,
tan α := ± 1 + mm0 wobei wir +/−, wenn der Winkel spitzer/stumpfer ist nehmen.
Bemerkung 2.1. Die Tangente eines strengen spitzen Winkels (oder eines strengen stumpfen
Winkels) ist ein Element des Körpers F , während die Tangente eines rechtwinkligen
Winkels ist mit dem Symbol ∞ verzeichnet. Wenn die Steigung eines Strahles ∞ ist,
können wir die Formel ebenso benutzen, indem wir sie wie folgt betrachten:
1
∞−m
= .
1+m·∞
m
Definition 2.6. Zwei Ecken auf der kartesischen Ebene auf einem angeordneten Körper
sind kongruent genau dann, wenn sie die gleiche Tangente haben, betrachtet als ein Element der Menge F ∪ {∞}.
Bemerkung 2.2. Die Kongruenz basiert sich auf die Gleichkeit zwischen Elemente der
Menge F ∪ {∞}, das Axiom (C5) folgt also unmittelbar.
Proposition 2.1. Sei (F, P ) ein angeordneter Körper mit der dazugehörigen kartesischen
Ebene ΠF . ΠF erfüllt die Axiome (C2) − (C5), ferner (C1) gilt genau dann, wenn F die
folgende Eigenschaft erfüllt:
Für jedes Element a ∈ F , besistzt das Element 1 + a2 eine Wurzel in F
(2)
Bemerkung 2.3. Ein Körper, der die Eigenschaft (2) erfüllt, heisst Pythagoreischer Körper.
Beweis. (C2) die Transitivität der Kongruenz folgt, weil sie auf die Gleichkeit definiert
ist, welche eine Äquivalenzrelation ist.
(C3) Wir betrachten eine Situation wie in der Figur.
C = (c1 , c2 )
g
A = (a1 , a2 )
B = (b1 , b2 )
g0
D = d(d1 , d2 )
F = (f1 , f2 )
E = (e1 , e2 )
2 KONGRUENZ VON STRECKEN UND WINKELN
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Wir wissen, dass AB = DE und BC = EF , also, nach der Definition (1)
(b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 = (e1 − d1 )2 + (e2 − d2 )2
(c1 − b1 )2 + (c2 − b2 )2 = (f1 − e1 )2 + (f2 − e2 )2
Weil A, B und C auf einer Geraden liegen und weil D, E und F auf einer Geraden liegen,
haben wir
(c1 − a1 )2 + (c2 − a2 )2 = (c1 − b1 + b1 − a1 )2 + (c2 − b2 + b2 − a2 )2
= (c1 − b1 )2 + (b1 − a1 )2 + (c2 − b2 )2 + (b2 − a2 )2
= (c1 − b1 )2 + (c2 − b2 )2 + (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2
= (f1 − e1 )2 + (f2 − e2 )2 + (e1 − d1 )2 + (e2 − d2 )2
= (f1 − e1 + e1 − d1 )2 + (f2 − e2 + e2 − d2 )2
= (f1 − d1 )2 + (f2 − d2 )2
was zu zeigen war.
(C4) Nehmen wir an, dass wir eine Ecke α haben und einen Strahl mit Steigung m, der
aus einem Punkt A entspringt.
m0
α
β
A
m
Wir müssen eine Gerade aus A finden, welche Steigung m0 hat, so dass
0
m −m tan α = ± 1 + mm0 gilt, wobei wir + oder − wählen gemäss dem gleichen Kriterion wie in der Definition 2.5.
Auflösung nach m0 ergibt
m ± tan α
m0 =
.
1 ∓ tan α
Die zwei Lösungen ergeben Ecken auf beide Seiten der Gerade m, so dass wir die Ecke β
so wählen können, wie wir möchten.
(C5) Siehe Bemerkung 2.2
(C1) Das Problem mit dem Axiom (C1) ist, dass nicht jeder Körper eine Wurzel für jedes
Element besitzt. Sei a ∈ F beliebig. Wir betrachten das Segment S von (0, 0) zu (1, a).
Es gibt ein Segment, dass von der Uhrsprung auf der kartesischen Ebene ausgeht und
dass zu S kongruent ist, nur wenn es ein Element b ∈ F gibt, so dass
d2 ((0, 0), (a, 1)) = d2 ((0, 0), (0, b))
oder, anders gesagt, so dass
1 + a2 = b 2 .
2 KONGRUENZ VON STRECKEN UND WINKELN
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Also müssen wir ein Element b ∈ F haben, so dass es eine Wurzel von 1 + a2 ist. Anders
gesagt wenn (C1) in ΠF gilt, dann muss (2) gelten.
Für die umgekehrte
Richtung, nehmen wir an, dass F (2) erfüllt, also dass, für jedes
√
c ∈ F , auch 1 + c2 ∈ F . Wir merken, dass für a 6= 0
2 !
b
a2 + b 2 = a2 1 +
.
a
Sei c := b/a, dann
√
ist auch ein Element von F , weil
weil die Abstand Funktion
√
a2 + b2 = |a| · 1 + c2
|{z} | {z }
√
∈F
∈F
1 + c2 ein solches Element ist. Wir sind jetzt zufrieden,
d(A, B) =
p
(a1 − b1 )2 + (a2 − b2 )2
jetzt auch ein Element von F ist. Warum ist das nütlich? Nehmen wir an, dass wir eine
Gerade der Form y = mx + b und einen Punkt A auf dieser Gerade haben. Wir suchen
einen Punkt C auf dieser Gerade, so dass die Abstand zwischen A und C gleich eine
beliebige Länge d ist. Wir können A = (a, ma + b) und C = (c, cm + b) schreiben, dann
gilt
p
(a − c)2 + (ma + b − (mc + b))2 = d
d(A, C) = d ⇐⇒
äquivalent
|a − c| ·
√
1 + m2 = d.
Da F (2) erfüllt, können wir diese Gleichung nach c auflösen. Der Grund, weil es zwei
Lösungen gibt und nicht nur eine, ist, dass die Gerade y zwei Richtungen hat.
Bemerkung 2.4. Der Beweis von dem Axiom (C6) wird in die nächste Vorstellung ausgeführt.
Proposition 2.2. Sei Π eine kartesische Ebene auf einem angeordneten Körper (F, P ).
Die folgende Aussagen sind äquivalent:
i) Π erfüllt die circle-circle intersection property (E);
ii) Π erfüllt die line-circle intersection property (LCI);
iii) Der Körper F erfüllt
Für jedes a ∈ F , a > 0, gibt es eine Wurzel von a in F .
(3)
Bemerkung 2.5. Ein Körper, der (3) erfüllt, heisst euklidischer Körper.
Beweis. ”i) =⇒ ii)” Sei f = 0 die Gleichung eines Kreises und g = 0 die Gleichung einer
Gerade. Dann ist f +g = 0 ein anderer Kreis und seine Schnittpunkte mit dem ersten Kreis
sind genau die Schnittpunkte des ersten Kreises mit der Gerade g. Als Beispiel betrachten
wir den Kreis f (x, y) = x2 + y 2 − 1 = 0 und die Gerade g(x, y) = 2x − y + 1 = 0
2 KONGRUENZ VON STRECKEN UND WINKELN
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f (x, y) + g(x, y) = x2 + y 2 + 2x − y
f (x, y) = x2 + y 2 − 1
g(x, y) = 2x − y + 1
”ii) =⇒ iii)” Wir nehmen an, es gelte die Eigenschaft (LCI) in F . Wir beweisen, dass
jedes Element a ∈ F, a > 0 eine Wurzel in F besitzt. Sei also a ∈ F, a > 0 gegeben. Wir
betrachten die Punkte O = (0, 0); A = (a, 0); A0 = (a + 1, 0) und den Kreis mit Zentrum
( 21 (a + 1), 0) und Radius 21 (ag+ 1). A liegt im Innere des Kreises. Sei l die vertikale Gerade
durch A. Nach (LCI) trifft diese Gerade den Kreis in einem Punkt B auf dem Kreis.
Dieser Punkt hat die Koordinate

 s
2 2
√
1
1
a,
(a + 1) −
(a − 1)  = (a, a).
2
2
√
Also, da B auf dem Kreis liegt, ist a ein Element von F .
”iii) =⇒ i)” Wir müssen die Eigenschaft (E) beweisen. Seien also Γ und Γ0 zwei Kreise
in Π, mit Gleichungen
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
(x − c)2 + (y − d)2 = s2
wobei (a, b) und (c, d) die Zentren und r und s die Radien den Kreise sind. Wenn wir zur
erste Gleichung die zweite subtrahieren, erhalten wir
x=
r2 − s2 − a2 + c2 + 2y(b − d)
2c − 2a
und wenn wir dieses x in die obige Gleichungen einsetzten, erhalten wir eine quadratische
Gleichung nach y. Die zwei Lösungen sind dann die zwei Schnittpunkte (wenn die Kreise
sich überhaupt schneiden) den Kreise. Die zwei Lösungen existieren in F , weil F Wurzeln
für alle Elemente enthält.
Proposition 2.3. Sei Ω := {a ∈ R | a = r(b)} wobei r √
eine Funktion ist, die zu einer
Zahl b ∈ Q endliche viele Operationen aus +, −, ·, /, c 7→ 1 + c2 anwendet. Dann ist Ω
ein angeordneter Pythagoreischer Körper.
Bemerkung 2.6. Ω ist der kleinste angeordneter Pythagoreischer Körper. Wir nennen ihn
Hilbert Körper.
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Proposition 2.4. Sei K := {a ∈ R | a = r0 (b)} wobei r0 eine√Funktion ist, die zu einer
Zahl b ∈ Q endliche viele Operationen aus +, −, ·, /, c > 0 7→ c anwendet. Dann ist K
ein angeordneter Euklidischer Körper.
Bemerkung 2.7. Wir nennen so einen Körper konstruierbarer Körper, weil er der kleinste
Körper ist, wo wir Konstruktionen mit Zirkel und Lineal führen können.