Blatt 2 - Professur für Theoretische Informatik

Diskrete Modellierung
Wintersemester 2015/2016
Dipl.-Inf. Bert Besser
Mario Holldack
Prof. Dr. Georg Schnitger
Hannes Seiwert, M.Sc.
Institut für Informatik
AG Theoretische Informatik
Ausgabe: 22.10.15
Abgabe: 29.10.15 bis 8:15 Uhr
Übung 2
Aufgabe 2.1. Modellierung: Schneedynberger auf der Flucht
(4+4+7+10 Punkte)
Professorin Schmitta leitet den Lehrstuhl für Neuere Spaziergangswissenschaften und Atemübungen
(kurz: NSA) und hat ein Problem: Ihr Mitarbeiter Eduard E. Schneedynberger hat sich mit einem
riesigen Fundus vertraulicher Dokumente (Musterlösungen zu Übungsaufgaben, Klausurentwürfe
etc.) nach Hongkong abgesetzt. Von dort aus plant er die Veröffentlichung dieser Unterlagen und
seine weitere Flucht.
Schneedynberger verfügt über
• eine Menge streng geheimer Dokumente STR,
• eine Menge geheimer Dokumente GEH sowie
• eine Menge vertraulicher Verschlusssachen VSV und
• eine Menge von Verschlusssachen nur für den Dienstgebrauch VSD.
Jedes Dokument ist über eine natürliche Zahl, das sogenannte Aktenzeichen, eindeutig identifiziert:
Die Mengen STR, GEH, VSV und VSD sind also Teilmengen der natürlichen Zahlen.
a) Geben Sie die Menge aller Dokumente DOKS an, über die Schneedynberger verfügt.
b) Definieren Sie die Menge aller Verschlusssachen (vertraulich oder nur für den Dienstgebrauch)
VS und die Menge aller geheimen oder streng geheimen Dokumente GoSG.
c) Um ein wenig Ordnung in das Dokumentenchaos zu bringen, möchte Schneedynberger Verweise
zwischen Dokumenten verwalten: Ein Verweis liegt vor, wenn in Dokument i das Dokument j
mindestens einmal erwähnt wird.
Definieren Sie die Menge LINKS aller Verweise mit Hilfe einer geeigneten Relation.
d) Bekanntermaßen hat das Fürstentum Franken kein Auslieferungsabkommen für Straftäter mit
der Bundesrepublik Deutschland. Um seine weitere Flucht nach Bayreuth zu finanzieren, möchte
Schneedynberger Teilmengen von GoSG verkaufen. Er verlangt eine Pauschale von 5 Euro für ein
geheimes und 10 Euro für ein streng geheimes1 Dokument.
Geben Sie eine Funktion g : D → P an, die jeder möglichen Teilmenge von GoSG den entsprechenden Preis zuordnet. Wählen Sie hierfür geeignete Mengen D und P und geben Sie die
Berechnungsvorschrift an.
Hinweis: Sie können bei der Lösung einzelner Teilaufgaben auf die definierten Mengen aus den
vorherigen Teilaufgaben zurückgreifen.
1
Beachten Sie: Kein Dokument ist sowohl als geheim wie auch als streng geheim klassifiziert.
1
Aufgabe 2.2. Mit Mengen arbeiten
((2+2+2+2)+(3+3+5+6) Punkte)
a) Gegeben sei das Universum U := N sowie die Menge M := {2, 8, 17, 37, 47, 97}, die Menge
N := {1, 3, 5, 7, . . . } der ungeraden natürlichen Zahlen und die Menge P := {1, 2, 4, 8, 16, . . . }
= {2i : i ∈ N} der Zweierpotenzen. Geben Sie jede der folgenden Mengen in extensionaler2 Form
an. Sie brauchen Ihre Antworten nicht zu begründen.
S
i) M 2 ∩ U
iii)
{1, x}
x∈(N ∩M )
iv) P {23 , 32 }2 \ P 2
ii) (P ∩ N ) × M
b) Gegeben sei ein Universum U sowie Mengen A, B ⊆ U . Begründen Sie jeweils kurz Ihre Antwort,
z.B. mit Hilfe eines Venn-Diagramms, einer Definition oder eines Gegenbeispiels.
i)
ii)
iii)
iv)
Folgt aus A × B = ∅, dass A = B = ∅ gilt?
Folgt aus A = ∅ oder B = ∅, dass A × B = ∅ gilt?
Gilt P(A × B) = P(A) × P(B)?
Gilt A ⊕ B = (A ⊕ B) ⊕ U ?
Aufgabe 2.3. Funktionen
(15+3+12 Punkte)
a) Betrachten Sie folgende Funktionen:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
f1
f2
f3
f4
f5
: {a}∗ → N mit f1 (w) := |w| f.a. w ∈ {a}∗
: {b, c}+ → N mit f2 (w) := |w| f.a. w ∈ {b, c}+
: Z → N mit f3 (z) := 21 (|z| + z) f.a. z ∈ Z
: Z → N mit f4 (z) := (|z| + 1)2 + z f.a. z ∈ Z
: P(Z) → P(N) mit f5 (x) := x ∩ N f.a. x ∈ P(Z)
Geben Sie für jede der obigen Funktionen fi an, ob sie injektiv, surjektiv und/oder bijektiv ist.
Geben Sie jeweils auch Bild(fi ) an.
Geben Sie für jede nicht-injektive Funktion fi zwei Elemente x, y ∈ Def(fi ), sodass x 6= y und
fi (x) = fi (y) gilt.
Geben Sie für jede nicht-surjektive Funktion fi ein Element x aus dem Bildbereich an, sodass
x 6∈ Bild(fi ) gilt.
Sie brauchen Ihre Antworten nicht zu begründen.
b) Sei f : A → B eine Funktion und B 0 ⊆ B. Das Urbild f −1 (B 0 ) von B 0 unter f ist definiert als
f −1 (B 0 ) := {a ∈ A : f (a) ∈ B 0 } .
Wir betrachten erneut die Funktion f2 aus Teil a). Geben Sie eine Menge P an, sodass das Urbild
f2−1 (P ) genau 10 Elemente enthält. Sie brauchen Ihre Antwort nicht zu begründen.
c) Seien A, B und C beliebige Mengen und g : A → B, f : B → C Funktionen. Wir definieren die
Funktion h : A → C als die Verkettung von f und g durch h(x) = f (g(x)) f.a. x ∈ A.
Bearbeiten Sie entweder i) oder ii):
i) Beweisen Sie: Falls h bijektiv ist, dann ist f surjektiv.
ii) Beweisen Sie: Falls h bijektiv ist, dann ist g injektiv.
Bemerkung: Hier ist ein formaler Beweis verlangt.
Bitte wenden!
2
bzw. konstruktiver
2
Aufgabe 2.4. Hilberts transgalaktisches Transportunternehmen
(8+12 Punkte)
Das transgalaktische Transportunternehmen SpaceMod transportiert Reisende mit Hilbert-Raumfrachtern durchs All. Ein solcher Raumfrachter hat unendlich viele Kryoschlafkapseln, die fortlaufend
mit allen Zahlen aus N nummeriert sind. SpaceMod besitzt unendlich viele dieser Raumfrachter, die
ebenfalls fortlaufend mit allen Zahlen aus N nummeriert sind.
a) Aus betrieblichen Gründen muss SpaceMod die Reisenden aus den drei Raumfrachtern
,
und
in einen neuen, anfänglich leeren Raumfrachter zusammenlegen.
Geben Sie eine Funktion f an, die einem Reisenden in Frachter i und Schlafkapsel j eine neue
Schlafkapsel f (i, j) im neuen Frachter zuweist. Dabei darf natürlich keine Schlafkapsel mehr als
einem Reisenden zugewiesen werden.
b) Aus schwerwiegenden betrieblichen Gründen muss SpaceMod die Reisenden aus allen Raumfrachtern in einen neuen Raumfrachter zusammenlegen.
Geben Sie eine Funktion g an, die einem Reisenden in Frachter i und Schlafkapsel j eine neue
Schlafkapsel g(i, j) im neuen Frachter zuweist. Auch hier darf kein Platz doppelt vergeben werden.
Hinweis: Die Schlafkapseln im neuen Raumfrachter müssen nicht lückenlos vergeben werden.
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