Vorlesung 5

01.09.2010
Friedel Bolle, Claudia Vogel
Spieltheorie mit
sozialwissenschaftlichen
Anwendungen
SS 2010
Spieltheorie und Anwendungen
1. Spiele mit simultanen und sequentiellen Zügen
− Informationsmengen
− Normalform vs. extensive Form
− Nash-Gleichgewicht vs. Rückwärtsinduktion
− Teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht
2. Spiele mit gemischten Strategien
− Einleitung
− Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien
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01.09.2010
Spiele mit simultanen und sequentiellen Zügen
•
Bisher:
1. Sequentielle Spiele mit vollkommener Information
(extensive Form, Spielbaum, Rückwärtsinduktion…)
2. Spiele mit simultanen Zügen
(strategische Form, Auszahlungsmatrix, Nash-Gleichgewicht…)
•
Jetzt:
– Spiele mit simultanen und sequentiellen Zügen
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Informationsmengen
•
•
•
Das wesentliche an simultanen Zügen ist nicht, dass sie tatsächlich
gleichzeitig stattfinden, sondern dass es keine Möglichkeit für einen
der Spieler gibt, auf die simultanen Entscheidungen der anderen zu
reagieren.
Dies ist der Ausgangspunkt für die Darstellung simultaner Züge in
Spielbäumen.
Die Idee ist:
− Willkürlich eine Reihenfolge der simultanen Entscheidungen
festzulegen
− diese im Spielbaum darzustellen und
− durch Informationsmengen darzustellen, dass ein Spieler über
die simultanen Züge anderer Spieler nicht informiert ist.
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Informationsmengen
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Externe Unsicherheit
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Normalform vs. Extensive Form
•
Sequentielle Spieler werden zu simultanen Spielen, wenn die
Spieler die Züge ihrer Gegner nicht mehr beobachten können.
•
Simultane Spiele werden sequentiell, wenn einer der Spieler in der
Lage ist, den Zug des anderen zu beobachten und darauf zu
reagieren.
•
Jede Änderung der Spielregel führt zu einem anderen Ergebnis des
Spiels.
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Beispiel 1: Keine Ergebnisänderung 1/2
Wife
CONFESS
DENY
(Defect)
(Cooperate)
CONFESS
(Defect)
Husband
DENY
(Cooperate)
10yr, 10yr
1yr, 25yr
25yr, 1yr
3yr, 3yr
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Beispiel 1: Keine Ergebnisänderung 2/2
Sequentielles Spiel:
Husband zieht zuerst
Wife zieht zuerst
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Beispiel 2: First-mover advantage 1/2
Dean
James
Swerve
(Chicken)
Straight
(Tough)
Swerve
(Chicken)
Straight
(Tough)
0, 0
-1, 1
1, -1
-2, -2
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Beispiel 2: First-mover advantage 2/2
Sequentielles Spiel:
James zieht zuerst
Dean zieht zuerst
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Beispiel 3: Second-mover advantage 1/2
Navratilova
Evert
DL
CC
DL
50,50
80,20
CC
90,10
20,80
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Beispiel 3: Second-mover advantage 2/2
Sequentielles Spiel:
Evert zieht zuerst
Navratilova zieht zuerst
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Beispiel 4: Verbesserung für Beide 1/2
Federal Reserve
Low interest High interest
rates
rates
Budget
Balance
Congress
Budget
Deficit
3, 4
1, 3
4, 1
2, 2
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Beispiel 4: Verbesserung für Beide 2/2
Sequentielles Spiel:
Congress zieht zuerst
Fed zieht zuerst
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Nash-Gleichgewicht vs. Rückwärtsinduktion 1/3
Federal Reserve
Congress
Low High
if B if B Low, High,
High Low Low High
if D if D
Balance
3,4
1,3
3,4
1,3
Deficit
2,2
4,1
4,1
2,2
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Nash-Gleichgewicht vs. Rückwärtsinduktion 2/3
•
Jede Rückwärtsinduktionslösung in einem Spiel mit perfekter
Information ist auch ein Nash-Gleichgewicht. Aber nicht jedes NashGleichgewicht in einem solchen Spiel ist auch eine
Rückwärtsinduktionslösung.
•
Die Analyse in der strategischen Form geht davon aus, dass die
Spieler sich zu Beginn des Spieles auf ihre Strategien festlegen.
In einem Nash-Gleichgewicht hat kein Spieler einen Anreiz von
seiner Strategiewahl abzuweichen falls alle Spieler sich an ihre
Strategien halten.
In einer Rückwärtsinduktion wird zusätzlich überprüft, ob die
Entscheidungen der Spieler nach jedem möglichen Verlauf des
Spiels optimal sind.
•
•
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Nash-Gleichgewicht vs. Rückwärtsinduktion 3/3
•
Welches Lösungskonzept sollte man verwenden?
− Nash-Gleichgewichte, die nicht einer Rückwärtsinduktion
entsprechen, beruhen auf unglaubwürdigen Drohungen.
Rationale Spieler werden die Unglaubwürdigkeit solcher
Drohungen durchschauen.
Schlussfolgerung: Betrachte nur die
Rückwärtsinduktionslösung.
− Das Konzept der Rückwärtsinduktion unterstellt ein Übermaß an
Rationalität und Kenntnis der Spielsituation. Das Konzept des
Nash-Gleichgewichts ist hier robuster.
Schlussfolgerung: Betrachte alle Nash-Gleichgewichte und
entscheide im Einzelfalle, o es gute Argumente gibt, eines oder
mehrere zu eliminieren.
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Weitere Definitionen
•
Außerhalb des Gleichgewichtspfades heißt, dass der gewählte Weg
bei den gewählten Strategien der Spieler nicht erreicht werden
kann.
•
Eine Strategiekombination ist ein teilspielperfektes NashGleichgewicht wenn sie in jedem Teilspiel ein Nash-Gleichgewicht
induziert.
Strategien müssen auch außerhalb des Gleichgewichtspfades
optimal sein.
Die Weiterführung der Strategie muss für jeden Spieler in jedem
Teilspiel die beste Antwort auf die Strategie seiner Mitspieler sein.
•
•
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Beispiel
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Teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht
•
In einem teilspielperfekten Nash-Gleichgewicht ist die Strategie
jedes Spielers optimal, gegeben die Strategien der anderen Spieler
im gesamten Spiel.
− Optimal in allen Teilspielen, welche erreicht werden, wenn die
Spieler ihre Strategien befolgen
− Optimal auch in allen Teilspielen, welche nicht erreicht werden,
wenn die Spieler ihre Strategien befolgen.
•
Jedes extensive Spiel mit perfekter Information hat ein
teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht.
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Beispiel: Kampf der Geschlechter 1/2
•
•
•
•
Zwei Spieler: Harry und Sally
Sie müssen wählen, was sie am Abend unternehmen.
Harry kommt als erster zum Zug und entscheidet, ob er zu
Hause fernsieht oder ausgeht.
Wenn er entscheidet auszugehen, müssen beide Spieler
simultan entscheiden, ob sie ein Fußballspiel oder das Ballett
besuchen.
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Beispiel: Kampf der Geschlechter 2/2
H
TV
Sally
ausgehen
2
2
F
B
(ausgehen, F)
3,1
0,0
(ausgehen, B)
0,0
1,3
(TV, F)
2,2
2,2
(TV, B)
2,2
2,2
H
F
B
S
Harry
S
F
B
F
3 0
1 0
B
0 1
0 3
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Analyse des zweiten Teilspiels
H
TV
Sally
ausgehen
2
2
F
B
F
3,1
0,0
B
0,0
1,3
H
F
S
F
Harry
B
S
B
3 0
1 0
F
B
0 1
0 3
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01.09.2010
Schlussfolgerung aus der Analyse des zweiten
Teilspiels
Ergebnis im letzten Teilspiel
(F,F)
Ergebnis im letzten Teilspiel
(B,B)
H
TV
2
2
H
ausgehen
3
1
TV
2
2
((ausgehen, F),F) ist ein
teilspielperfektes
Gleichgewicht
ausgehen
1
3
((TV,B),B) ist ein
teilspielperfektes
Gleichgewicht
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Finden teilspielperfekter Gleichgewichte
•
Es gibt zwei teilspielperfekte Gleichgewichte:
− ((ausgehen,F),F)
− ((TV,B),B)
•
Das Nash-Gleichgewicht ((TV,F),B) ist nicht teilspielperfekt: (F,B)
ist kein Nash-Gleichgewicht im letzten Teilspiel.
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Spieltheorie und Anwendungen
1. Spiele mit simultanen und sequentiellen Zügen
− Informationsmengen
− Normalform vs. extensive Form
− Nash-Gleichgewicht vs. Rückwärtsinduktion
− Teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht
2. Spiele mit gemischten Strategien
− Einleitung
− Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien
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Gemischte Strategien
• Reine Strategie: eine Aktion, die einem Spieler zur Verfügung steht
• Gemischte Strategie: eine Mischung der reinen Strategien. Jede
reine Strategie wird mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit gewählt.
• Erwartete Auszahlung einer gemischten Strategie:
mathematische Erwartungswert der Auszahlungen
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der
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Beispiel
x
Spieler 2
y
z
a
4,10
1,0
1,3
b
7,0
0,10
10,3
Spieler 1
Erwartete Auszahlung für „Münze“ von Spieler 2, wenn Spieler 1 a spielt:
E=0.5×10+0.5×0 =5
Erwartete Auszahlung für „Münze“ von Spieler 2, wenn Spieler 1 b spielt:
E=0.5×0 +0.5×10=5
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Beste Antworten 1/3
Spieler 2
p
Spieler 1
x
y (1-p)
a
q
4,10
1,0
b
(1-q)
7,0
0,10
Erwartungswert von Spieler 2:
E1=10pq +0(1-p)q +0p(1-q) +10(1-p)(1-q) =20pq-10p-10q+10
Erwartungswert von Spieler 1:
E2=4pq+1(1-p)q+7p(1-q) +0(1-p)(1-q) = - 4pq+7p+q
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Beste Antworten 2/3
Beste Antwort von Spieler 2 auf q von Spieler 1:
E1=p(20q-10)-10q+10
q>0.5
(20q-10)>0
beste Antwort:
p=1
q=0.5
(20q-10)=0
beste Antwort:
jedes p
q<0.5
(20q-10)<0
beste Antwort:
p=0
Beste Antwort von Spieler 1 auf p von Spieler 2:
E2=q(- 4p+1)+7p
p<0.25
(- 4p+1)>0
beste Antwort:
q=1
p=0.25
(- 4p+1)=0
beste Antwort:
jedes q
p>0.25
(- 4p+1)<0
beste Antwort:
q=0
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q
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Beste Antworten 3/3
1
Spieler 2:
q<0.5 Nash Gleichgewicht
0,5
0,25
0,5
1
p=0
q=0.5 jedes p
q>0.5 p=1
Spieler 1:
p<0.25 q=1
p=0.25 jedes q
p>0.25 q=0
p
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Gemischte Strategien in Chicken
Dean
James
ausweichen
q
ausweichen
p
0,0
geradeaus
(1-q)
1,-1
geradeaus
(1-p)
-1,1
-2,-2
Erwartungswert von DEAN:
ED=0pq +1(1-p)q -1p(1-q) -2(1-p)(1-q) =p(1-2q)+3q-2
Erwartungswert von JAMES:
EJ=0pq -1(1-p)q +1p(1-q) -2(1-p)(1-q) = q(1-2p)+3p-2
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Beste Antworten 1/2
Beste Antwort von DEAN auf q von JAMES:
ED= p(1-2q)+3q-2
q<0.5
(1-2q)>0
beste Antwort:
p=1
q=0.5
(1-2q)=0
beste Antwort:
jedes p
q>0.5
(1-2q)<0
beste Antwort:
p=0
Beste Antwort von JAMES auf p von DEAN:
E2=q(1-2p)+3p-2
p<0.5
(1-2q)>0
beste Antwort:
q=1
p=0.5
(1-2q)=0
beste Antwort:
jedes q
p>0.5
(1-2q)<0
beste Antwort:
q=0
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01.09.2010
q
Beste Antworten 2/2
1
DEAN:
q<0.5 p=1
q=0.5 jedes p
q>0.5 p=0
0,5
JAMES:
p<0.5 q=1
p=0.5 jedes q
p>0.5 q=0
0,5
1
p
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Allgemein 1/2
Spieler 2
p
Spieler 1
x
y (1-p)
a
q
α,a
β,b
b
(1-q)
γ,c
δ,d
Erwartungswert für Spieler 2:
E1=apq+b(1-p)q+cp(1-q)+d(1-p)(1-q)
=p[qa-qb+(1-q)c-(1-q)d]+qb+(1-q)d
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Allgemein 2/2
Beste Antwort von Spieler 2 auf (q, 1-q) von Spieler 1
E1=p[qa-qb+(1-q)c-(1-q)d]+qb+(1-q)d
p=
1
für […]>0
jedes
für […]=0
0
für […]<0
Analog für Spieler 1.
Indifferenzkriterium: Eine gemischte Strategie erfordert für beide
Spieler, dass Sie zwischen ihren Strategien indifferent sind […]=0
Lösen von […]=0 für p bzw. q führt zu folgenden Formeln:
p=
δ-β
α-β-γ+δ
q=
d-c
a-b-c+d
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Beispiel von oben
Spieler 2
p
Spieler 1
p=
q=
δ-β
α-β-γ+δ
d-c
a-b-c+d
x
y (1-p)
a
q
4 α,10 a
1 β,0 b
b
(1-q)
7 γ,0 c
0 δ,10 d
=
0-1
4-1-7+0
=0.25
Spieler 2: (0.25,0.75)
=0.5
Spieler 1: (0.5,0.5)
=
10-0
10-0-0+10
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Anmerkungen zu Nash-Gleichgewichten in
Gemischten Strategien
• Jedes endliche Spiel mit simultanen Zügen besitzt mindestens ein
Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien.
− „endlich“ bedeutet, dass es eine endliche Anzahl von Spielern
gibt, die jeweils über eine endliche Anzahl von Aktionen
verfügen.
− Auch ein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien ist ein NashGleichgewicht in gemischten Strategien.
• Eigenschaften eines Nash-Gleichgewichts in gemischten Strategien:
− Jeder Spieler ist zwischen seinen Handlungen indifferent (er
kann sich aber nicht strikt verbessern).
− Die Spieler wählen eine Strategie, welche den Gegner indifferent
macht zwischen seinen Aktionen.
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