Lineare Algebra IIa - 10.Vorlesung Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Sven Balnojan 128 11.2 Quotientengruppen Im folgenden betrachten wir spezielle Äquivalenzrelationen auf Gruppen. Proposition 11.4. Sei (G, ·) eine Gruppe und H ✓ G eine Untergruppe. Dann definieren 1 (1) g ⇠ · g 2 H 11.2. und Quotientengruppen L h :, h 11.2 Quotientengruppen (2) g ⇠R h :, g · h 1 2 H Spezielle Äquivalenzrelationen: Im folgenden betrachten Äquivalenzrelationen auf wir G. spezielle Äquivalenzrelationen auf Gruppen. Proposition 11.4. nur Sei ⇠ (G, ·) eine Gruppe H✓ G eine⇠Untergruppe. Dann definieren Beweis. Betrachte Beweis für ⇠und analog. für alle g2G L , der R geht L ist reflexiv, da (1)g g1⇠· Lg h=:, h 1 ·eg 2 2 H und gilt e, und für alle Untergruppen H. Ferner folgt aus g ⇠L h gerade 1 1 :,H geine · h Untergruppe 2H h (2) · gg2⇠H. ist, folgt, dass auch (h 1 · g) 1 = g 1 · h 2 H ist. Daher R hDa h ⇠L g. Also ist ⇠L auch symmetrisch. Seien nun g ⇠L h und h ⇠L i für g, h, i 2 G. Dann Äquivalenzrelationen auf G. sind h 1 · g und i 1 · h beide Elemente von H. Da H Untergruppe ist, gilt das auch für deren Beweis. Betrachte nur 1 1 ⇠L , der1Beweis für ⇠R geht analog. ⇠L ist reflexiv, da für alle g 2 G Produkt: (i · h) · (h · g) = i · g 2 H. Also g ⇠L i. ⇠L ist also auch transitiv, und damit gilt g 1 · g = e, und e 2 H für alle Untergruppen H. Ferner folgt aus g ⇠L h gerade eine Äquivalenzrelation. 1 hÄquivalenzklassen: · g 2 H. Da H eine Untergruppe ist, folgt, dass auch (h 1 · g) 1 = g 1 · h 2 H ist. Daher h ⇠L g. Also ist ⇠L auch symmetrisch. Seien nun g ⇠L h und h ⇠L i für g, h, i 2 G. Dann Proposition 11.5. Seibeide (G, ·)Elemente eine Gruppe mitDa Untergruppe H ✓ G. sind h 1 · g und i 1·h von H. H Untergruppe ist,Die giltÄquivalenzklassen das auch für deren [g]L für g (i 2 G1 ·bzgl. ⇠L sind Produkt: h) · (hder1 ·Äquivalenzrelation g) = i 1 · g 2 H. Also g ⇠Lgegeben i. ⇠L istdurch also auch transitiv, und damit eine Äquivalenzrelation. [g]L = g · H = {g · h | h 2 H} . Man nennt sie die Linksnebenklassen von H in G. Proposition 11.5. Sei (G, ·) eine Gruppe mit Untergruppe H ✓ G. Die Äquivalenzklassen Analog gilt für die Äquivalenzklassen [g] für g 2 G bzgl. der Äquivalenzrelation ⇠R [g]L für g 2 G bzgl. der Äquivalenzrelation R⇠L sind gegeben durch [g]R = H · g = {h · g | h 2 H} . [g]L = g · H = {g · h | h 2 H} . Man nennt sie die Rechtsnebenklassen von H in G. Man nennt sie die Linksnebenklassen von H in G. Beweis. wieder ⇠L . Das Argument analog. gilt AnalogBehandle gilt für die Äquivalenzklassen [g]R für ⇠ g R2 ist G bzgl. derEsÄquivalenzrelation ⇠R 1 0 1 0 g 0 2 [g]L , g · g 2 H , 9h 2 H mit g · g =h [g]R = H · g = {h · g | h 2 H} . , 9h 2 H mit g 0 = g · h , g 0 2 g · H . Man nennt sie die Rechtsnebenklassen von H in G. Beweis. Behandle wieder ⇠L . Das Argument für ⇠R ist analog. Es11.2. gilt Quotientengruppen Beweis. Behandle wieder ⇠L . Das Argument für ⇠R ist analog. Es gilt g 0 2 [g]L , g 1 · g 0 2 H , 9h 2 H mit g 1 · g 0 = h , 9h 2 H mit g 0 = g · h , g 0 2 g · H . Quotientenmenge: Definition 11.6. Sei (G, ·) eine Gruppe, und H eine Untergruppe. Die Quotientemenge bzgl. der Äquivalenzrelationen ⇠L und ⇠R bezeichnet man mit G/ ⇠L =: G/H bzw. G/ ⇠R =: H\G . Beispiel 11.7. (1) Betrachte die Abelsche Gruppe G = (Z, +). Wie wir in Satz 2.9 gesehen haben sind alle Untergruppen von G von der Form H = pZ für ein p 2 N0 . Die Nebenklassen sind gegeben durch [n] = n + pZ = {n + p z | z 2 Z} , und für p 6= welchen 0 gilt G/H = Z/pZ = {[0], . . .die , [p Gruppenstruktur 1]}. (Für p = 0von istG? H = {0} und Unter Bedingungen erbt G/H G/H = G = Z.) 11.2. Quotientengruppen und [(2 3)]L = (2 3) · H = (2 3), (2 3) · (1 2) = 1 2 3 3 1 2 . Die Frage, die wir uns nun stellen ist, unter welchen Bedingungen G/H bzw. H\G die Konjugation: Gruppenstruktur von G erben. Um dies zu formulieren, benötigen wir die folgenden Begri↵e. Bemerkung 11.8. (1) Die Abbildung Cg : G ! G h 7! g · h · g 1 wird Konjugation mit g genannt. Sie ist bijektiv, und hat die Umkehrabbildung Cg 1 = Cg 1 . (2) In der Tat ist Cg ein Gruppenhomomorphismus, denn Cg (h) · Cg (h0 ) = g · h · g 1 · g · h0 · g 1 = g · h · h0 · g 1 = Cg (h · h0 ) . (3) Darüberhinaus ist auch die Abbildung g 7! Cg , die g 2 G auf den Gruppenhomomorphismus Cg abbildet ein Gruppenhomomorphismus von G in die Gruppe der Gruppenhomomorphismen von G, denn Cg1 Cg2 (h) = Cg1 (g2 · h · g2 1 ) = g1 · g2 · h · g2 1 · g1 1 = (g1 · g2 ) · h · (g1 · g2 ) 1 = Cg1 ·g2 (h). (4) Sei G eine Gruppe und H ✓ G eine Untergruppe. Dann ist für alle g 2 G auch g·H ·g 1 = {g · h · g 1 | h 2 H} ✓ G eine Untergruppe. Man nennt sie zu H konjugierte Untergruppe. Sie ist vermöge des Gruppenhomomorphismus Cg 1 |gHg 1 isomorph zu H. 11.2. Quotientengruppen g·H ·g = {g · h · g | h 2 H} = H . In diesem Fall schreiben wir H E G, bzw. H C G, falls H ⇢ G eine echteQuotientengruppen Untergruppe ist. 130 11.2 130 11.2 Quotientengruppen Normale Untergruppen: Proposition 11.10. Eine Untergruppe H ✓ G einer Gruppe G ist normale Untergruppe genau dann,11.9. wenn Sei die G entsprechenden und Rechtsnebenklassen übereinstimmen: Definition 11.9. Sei G eine eine Gruppe. Gruppe.LinksEine Untergruppe Untergruppe von heißtnormale normale Definition Eine HH✓✓GGvon GGheißt Untergruppe oder oder auch auch Normalteiler Normalteilervon vonG, G,falls fallsfür füralle alleg g22GGgilt gilt Untergruppe [g]L = [g]R 8 g 2 G . H··gg 11=={g {g· ·hh· ·gg 1 1| h | h22H} H}==HH. . gg··H Wir bezeichnen die Nebenklassen dann mit [g] und die Äquivalenzrelation mit ⇠=⇠L =⇠R . In diesem diesem Fall Fall schreiben schreiben wir wir H HEEG, G,bzw. bzw.HHCCG, G,falls fallsHH⇢⇢GGeine eineechte echteUntergruppe Untergruppeist. ist. In Beweis. Multiplikation mit Gruppenelementen (von links und von rechts) sind Bijektionen der Gruppe. Also giltEine für alle g2G Proposition 11.10. Eine Untergruppe einerGruppe GruppeGGististnormale normaleUntergruppe Untergruppe Proposition 11.10. Untergruppe HH ✓✓GGeiner genau dann, dann, wenn wenn die die entsprechenden entsprechendenLinksLinks-und undRechtsnebenklassen Rechtsnebenklassenübereinstimmen: übereinstimmen: 1 [g]R = [g]L , H · g = g · H , H = g · H · g . [g]LL==[g] [g]RR88gg22GG. . [g] bezeichnen die die Nebenklassen Nebenklassendann dannmit mit[g] [g]und unddie dieÄquivalenzrelation Äquivalenzrelationmit mit⇠=⇠ ⇠=⇠ Wir bezeichnen L =⇠ L =⇠ R .R . Bemerkung 11.11. mit Beweis. Multiplikation Multiplikation mit Gruppenelementen Gruppenelementen(von (vonlinks linksund undvon vonrechts) rechts)sind sindBijektionen Bijektionen Jede Untergruppe Gruppe ist normal. der(1) Gruppe. Also alle 22GG Gruppe. Also gilt gilt ffür üreiner alle ggAbelschen (2) Sei ' : G ! H ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist [g] [g]RR = =[g] [g]LL , , HH· ·gg==gg· ·HH , , HH==g g· H · H· g· g1 .1 . ker(') = {g 2 G | '(g) = eH } eine normale Untergruppe von G. (3) Betrachte die Untergruppen N ✓ H ✓ G. Dann folgt aus N EG auch N EH. (Vorsicht: Bemerkung 11.11. Bemerkung 11.11. folgt aber aus N E H E G nicht N E G.) im Allgemeinen (1) (1) Jede Jede Untergruppe Untergruppe einer einer Abelschen AbelschenGruppe Gruppeist istnormal. normal. (2) :: G ! H Beweis. (2) Sei Sei ' '(1) Gist !o↵ensichtlich. H ein ein Gruppenhomomorphismus. Gruppenhomomorphismus.Dann Dannistist 11.2. Quotientengruppen