Slides aus Vorlesung 10

Lineare Algebra IIa
- 10.Vorlesung Prof. Dr. Daniel Roggenkamp
&
Sven Balnojan
128
11.2 Quotientengruppen
Im folgenden betrachten wir spezielle Äquivalenzrelationen auf Gruppen.
Proposition 11.4. Sei (G, ·) eine Gruppe und H ✓ G eine Untergruppe. Dann definieren
1
(1)
g
⇠
· g 2 H 11.2.
und Quotientengruppen
L h :, h
11.2 Quotientengruppen
(2) g ⇠R h :, g · h 1 2 H
Spezielle
Äquivalenzrelationen:
Im
folgenden
betrachten
Äquivalenzrelationen
auf wir
G. spezielle Äquivalenzrelationen auf Gruppen.
Proposition
11.4. nur
Sei ⇠
(G,
·) eine
Gruppe
H✓
G eine⇠Untergruppe.
Dann
definieren
Beweis. Betrachte
Beweis
für ⇠und
analog.
für alle
g2G
L , der
R geht
L ist reflexiv, da
(1)g g1⇠· Lg h=:,
h 1 ·eg 2
2 H und
gilt
e, und
für alle Untergruppen H. Ferner folgt aus g ⇠L h gerade
1
1
:,H geine
· h Untergruppe
2H
h (2)
· gg2⇠H.
ist, folgt, dass auch (h 1 · g) 1 = g 1 · h 2 H ist. Daher
R hDa
h ⇠L g. Also ist ⇠L auch
symmetrisch. Seien nun g ⇠L h und h ⇠L i für g, h, i 2 G. Dann
Äquivalenzrelationen
auf G.
sind h 1 · g und i 1 · h beide Elemente von H. Da H Untergruppe ist, gilt das auch für deren
Beweis. Betrachte
nur
1
1 ⇠L , der1Beweis für ⇠R geht analog. ⇠L ist reflexiv, da für alle g 2 G
Produkt: (i · h) · (h · g) = i · g 2 H. Also g ⇠L i. ⇠L ist also auch transitiv, und damit
gilt g 1 · g = e, und e 2 H für alle Untergruppen
H. Ferner folgt aus g ⇠L h gerade
eine
Äquivalenzrelation.
1
hÄquivalenzklassen:
· g 2 H. Da H eine Untergruppe ist, folgt, dass auch (h 1 · g) 1 = g 1 · h 2 H ist. Daher
h ⇠L g. Also ist ⇠L auch symmetrisch. Seien nun g ⇠L h und h ⇠L i für g, h, i 2 G. Dann
Proposition
11.5.
Seibeide
(G, ·)Elemente
eine Gruppe
mitDa
Untergruppe
H ✓ G.
sind
h 1 · g und
i 1·h
von H.
H Untergruppe
ist,Die
giltÄquivalenzklassen
das auch für deren
[g]L für g (i
2 G1 ·bzgl.
⇠L sind
Produkt:
h) · (hder1 ·Äquivalenzrelation
g) = i 1 · g 2 H. Also
g ⇠Lgegeben
i. ⇠L istdurch
also auch transitiv, und damit
eine Äquivalenzrelation.
[g]L = g · H = {g · h | h 2 H} .
Man nennt sie die Linksnebenklassen von H in G.
Proposition 11.5. Sei (G, ·) eine Gruppe mit Untergruppe H ✓ G. Die Äquivalenzklassen
Analog gilt für die Äquivalenzklassen [g] für g 2 G bzgl. der Äquivalenzrelation ⇠R
[g]L für g 2 G bzgl. der Äquivalenzrelation R⇠L sind gegeben durch
[g]R = H · g = {h · g | h 2 H} .
[g]L = g · H = {g · h | h 2 H} .
Man nennt sie die Rechtsnebenklassen von H in G.
Man nennt sie die Linksnebenklassen von H in G.
Beweis.
wieder
⇠L . Das Argument
analog.
gilt
AnalogBehandle
gilt für die
Äquivalenzklassen
[g]R für ⇠
g R2 ist
G bzgl.
derEsÄquivalenzrelation
⇠R
1
0
1
0
g 0 2 [g]L ,
g
·
g
2
H
,
9h
2
H
mit
g
·
g
=h
[g]R = H · g = {h · g | h 2 H} .
, 9h 2 H mit g 0 = g · h , g 0 2 g · H .
Man nennt sie die Rechtsnebenklassen von H in G.
Beweis. Behandle wieder ⇠L . Das Argument für ⇠R ist analog. Es11.2.
gilt Quotientengruppen
Beweis. Behandle wieder ⇠L . Das Argument für ⇠R ist analog. Es gilt
g 0 2 [g]L , g 1 · g 0 2 H , 9h 2 H mit g 1 · g 0 = h
, 9h 2 H mit g 0 = g · h , g 0 2 g · H .
Quotientenmenge:
Definition 11.6. Sei (G, ·) eine Gruppe, und H eine Untergruppe. Die Quotientemenge
bzgl. der Äquivalenzrelationen ⇠L und ⇠R bezeichnet man mit
G/ ⇠L =: G/H bzw. G/ ⇠R =: H\G .
Beispiel 11.7.
(1) Betrachte die Abelsche Gruppe G = (Z, +). Wie wir in Satz 2.9 gesehen haben sind
alle Untergruppen von G von der Form H = pZ für ein p 2 N0 . Die Nebenklassen sind
gegeben durch
[n] = n + pZ = {n + p z | z 2 Z} ,
und für
p 6= welchen
0 gilt G/H
= Z/pZ =
{[0],
. . .die
, [p Gruppenstruktur
1]}. (Für p = 0von
istG?
H = {0} und
Unter
Bedingungen
erbt
G/H
G/H = G = Z.)
11.2. Quotientengruppen
und [(2 3)]L = (2 3) · H =
(2 3), (2 3) · (1 2) =
1 2 3
3 1 2
.
Die Frage, die wir uns nun stellen ist, unter welchen Bedingungen G/H bzw. H\G die
Konjugation:
Gruppenstruktur von G erben. Um dies zu formulieren, benötigen wir die folgenden Begri↵e.
Bemerkung 11.8.
(1) Die Abbildung
Cg : G ! G
h 7! g · h · g
1
wird Konjugation mit g genannt. Sie ist bijektiv, und hat die Umkehrabbildung
Cg 1 = Cg 1 .
(2) In der Tat ist Cg ein Gruppenhomomorphismus, denn
Cg (h) · Cg (h0 ) = g · h · g
1
· g · h0 · g
1
= g · h · h0 · g
1
= Cg (h · h0 ) .
(3) Darüberhinaus ist auch die Abbildung g 7! Cg , die g 2 G auf den Gruppenhomomorphismus Cg abbildet ein Gruppenhomomorphismus von G in die Gruppe der Gruppenhomomorphismen von G, denn
Cg1 Cg2 (h) = Cg1 (g2 · h · g2 1 ) = g1 · g2 · h · g2 1 · g1 1 = (g1 · g2 ) · h · (g1 · g2 )
1
= Cg1 ·g2 (h).
(4) Sei G eine Gruppe und H ✓ G eine Untergruppe. Dann ist für alle g 2 G auch
g·H ·g
1
= {g · h · g
1
| h 2 H} ✓ G
eine Untergruppe. Man nennt sie zu H konjugierte Untergruppe. Sie ist vermöge des
Gruppenhomomorphismus Cg 1 |gHg 1 isomorph zu H.
11.2. Quotientengruppen
g·H ·g
= {g · h · g
| h 2 H} = H .
In diesem Fall schreiben wir H E G, bzw. H C G, falls H ⇢ G eine
echteQuotientengruppen
Untergruppe ist.
130
11.2
130
11.2
Quotientengruppen
Normale Untergruppen:
Proposition 11.10. Eine Untergruppe H ✓ G einer Gruppe G ist normale Untergruppe
genau dann,11.9.
wenn Sei
die G
entsprechenden
und Rechtsnebenklassen
übereinstimmen:
Definition
11.9.
Sei
G eine
eine Gruppe.
Gruppe.LinksEine Untergruppe
Untergruppe
von
heißtnormale
normale
Definition
Eine
HH✓✓GGvon
GGheißt
Untergruppe oder
oder auch
auch Normalteiler
Normalteilervon
vonG,
G,falls
fallsfür
füralle
alleg g22GGgilt
gilt
Untergruppe
[g]L = [g]R 8 g 2 G .
H··gg 11=={g
{g· ·hh· ·gg 1 1| h
| h22H}
H}==HH. .
gg··H
Wir bezeichnen die Nebenklassen dann mit [g] und die Äquivalenzrelation mit ⇠=⇠L =⇠R .
In diesem
diesem Fall
Fall schreiben
schreiben wir
wir H
HEEG,
G,bzw.
bzw.HHCCG,
G,falls
fallsHH⇢⇢GGeine
eineechte
echteUntergruppe
Untergruppeist.
ist.
In
Beweis. Multiplikation mit Gruppenelementen (von links und von rechts) sind Bijektionen
der Gruppe. Also
giltEine
für alle
g2G
Proposition
11.10.
Eine
Untergruppe
einerGruppe
GruppeGGististnormale
normaleUntergruppe
Untergruppe
Proposition
11.10.
Untergruppe
HH ✓✓GGeiner
genau dann,
dann, wenn
wenn die
die entsprechenden
entsprechendenLinksLinks-und
undRechtsnebenklassen
Rechtsnebenklassenübereinstimmen:
übereinstimmen:
1
[g]R = [g]L , H · g = g · H , H = g · H · g .
[g]LL==[g]
[g]RR88gg22GG. .
[g]
bezeichnen die
die Nebenklassen
Nebenklassendann
dannmit
mit[g]
[g]und
unddie
dieÄquivalenzrelation
Äquivalenzrelationmit
mit⇠=⇠
⇠=⇠
Wir bezeichnen
L =⇠
L =⇠
R .R .
Bemerkung
11.11. mit
Beweis.
Multiplikation
Multiplikation
mit Gruppenelementen
Gruppenelementen(von
(vonlinks
linksund
undvon
vonrechts)
rechts)sind
sindBijektionen
Bijektionen
Jede Untergruppe
Gruppe ist normal.
der(1)
Gruppe.
Also
alle
22GG
Gruppe.
Also gilt
gilt ffür
üreiner
alle ggAbelschen
(2) Sei ' : G ! H ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist
[g]
[g]RR =
=[g]
[g]LL ,
, HH· ·gg==gg· ·HH ,
, HH==g g· H
· H· g· g1 .1 .
ker(') = {g 2 G | '(g) = eH }
eine normale Untergruppe von G.
(3) Betrachte die Untergruppen N ✓ H ✓ G. Dann folgt aus N EG auch N EH. (Vorsicht:
Bemerkung
11.11.
Bemerkung
11.11. folgt aber aus N E H E G nicht N E G.)
im Allgemeinen
(1)
(1) Jede
Jede Untergruppe
Untergruppe einer
einer Abelschen
AbelschenGruppe
Gruppeist
istnormal.
normal.
(2)
:: G
!
H
Beweis.
(2) Sei
Sei '
'(1)
Gist
!o↵ensichtlich.
H ein
ein Gruppenhomomorphismus.
Gruppenhomomorphismus.Dann
Dannistist
11.2. Quotientengruppen