Freie Moduln mit unterschiedlich langen Basen

Freie Moduln mit unterschiedlich langen Basen
I. Polynomringe in einer, mehreren und unendlich vielen Variablen
Definition 1
Sei K ein Körper (oder kommutativer Ring mit 1), sei x eine Unbekannte.
Ein Polynom p mit endlich vielen Koeffizienten ai ∈ K ist ein formaler Ausdruck der Form p(x) =
a0 + a1 t + a2 t2 + ... + an tn
Der Grad eines Polynoms ist der höchste Exponent n, für den der zugehörige Koeffizient ungleich Null
ist.
Die Menge aller Polynome nennen wir Polynomring K[x]. (K[x],+,·) ist ein kommutativer Ring mit
1, aber kein Körper. Mit Skalarmultiplikation ist K[x] ein K-Modul.
Jedes Polynom bestimmt genau eine Polynomfunktion, aber verschiedene Polynome können dieselbe
Funktion beschreiben.
Definition 2
Polynomring in mehreren Variablen, rekursive Definition: K[x1 , ..., xn ] := K[x1 , ..., xn−1 ][xn ] Die
Elemente sind
P also Polynome in xn mit Koeffizienten aus K[x1 , ..., xn−1 ] mit der eindeutigen Darstellung: p = (i1 ,...,in )∈Nn a(i1 ,...,in ) x1i1 ...xnin
Der Grad eines Polynoms ist der maximale Totalgrad (i1 + ... + in ) mit a(i1 ,...,in ) 6= 0
Definition 3
Polynomring in unendlich vielen Variablen. Sei I beliebige nichtleere Indexmenge mit |I| = ∞.
Dann beschreibt K[(ti )i∈I ] Polynome in unendlich vielen Variablen von der Form:
p=
P
i1 ,...,in ∈I
m1 ,...,mn ∈N
mn
m1
1 ,...,mn
am
i1 ,...,in xi1 ...xin
II. Dimension eines Vektorraums mit endlicher Basis, Wohldefiniertheit
Austauschlemma
Sei V ein K-VR mit endlicher Basis B = (v1 , ..., vr ) und w = λ1 x1 + ... + λr xr ∈ V
für 1 ≤ k ≤ r und λk 6= 0 ist B 0 := (v1 , ..., vk−1 , w, vk+1 , ..., vr ) wieder eine Basis von V.
Beweisskizze: Darstellung eines Basiselements aus B durch Elemente aus B 0 . Mit Elementen aus B 0
existiert keine nichttriviale Darstellung der 0.
Austauschsatz
Sei V ein K-VR, B = (v1 , ..., vr ) Basis und (w1 , ..., wn ) ein linear unabhängiges System.
Dann folgt n ≤ r, und ∃i1 , ..., in ∈ {1, ..., r} derart, dass man nach Austauschen vi1 w1 , ..., vin wn
wieder eine Basis von V erhält. Mit Umnumerierung bedeutet das, dass B 0 := (w1 , ..., wn , vn+1 , ..., vr )
eine Basis von V ist.
Beweisskizze: Induktion nach n, unter Anwendung des Austauchlemmas
Korollar 1
Je zwei endliche Basen eines K-VR haben gleiche Länge.
Definition 4
Für einen K-Vektorraum V definieren wir die Dimension von V über K
r
V hat Basis mit Länge r,
dimK V :=
∞ V hat keine endliche Basis.
1
III. Nicht je 2 Basen eines freien Moduls haben gleich viele Elemente
Gegenbeispiel 1
Seien K ein Körper, R = EndK K[X] der Ring aller K-linearen Endomorphismen von K[X]. Wir
betrachten R als R-Modul
Basis aus einem Element: B1 = (IdK[x] )
Basis aus zwei Elementen: B2 = (f1 , f2 ), mit
f1 (X i ) =
X i/2
0
für i gerade,
für i ungerade,
f2 (X i ) =
0
X (i−1)/2
für i gerade,
für i ungerade,
Dann folgt, dass für alle a,b ∈ R, gilt
(af1 + bf2 )(X i ) =
a(X i/2 )
für i gerade,
b(X (i−1)/2 ) für i ungerade,
⇒ f1 , f2 sind linear unabhängig
Setze nun für ein g ∈ R die Koeffizienten a(X i ) = g(X 2i ) und b(X i ) = g(X 2i+1 ), wir erhalten eindeutige Darstellung für jedes g ∈ R bzgl B2
⇒ B2 ist Basis von V.
L
L
Es existiert also ein Isomorphismus R → R2 und es folgt somit R ' R2 = R R ' R2 R = R3 '...
dann folgt induktiv Rn ' R für alle n≤1.
Satz 2
Sei R ein kommutativer Ring ungleich dem Nullring. Sind (v1 , ..., vn ) und (w1 , ..., wm ) Basen eines
R–Moduls M, so gilt n=m.
IV.Modul und Untermodul: Aus Ranggleichheit folgt nicht Gleichheit
Korollar 2
Ist U ⊂ V Untervektorraum eines endlich erzeugten VR, so ist auch U endlich erzeugt, es gilt
dim(U ) ≤ dim(V ). Aus dim(U) = dim(V) folgt U=V.
Beweis: Wäre U nicht endlich widerspräche dies dem Austauschsatz, also hat U eine endliche Basis
mit dim(U)≤dim(V).
Sei n=dim(U)=dim(V) und (u1 , ..., un ) Basis von U. Ist U6=V ⇒ ∃v ∈ V \ U
Gegenbeispiel 2
Betrachte den Z-Modul Z und 2Z ⊂ Z als Untermodul.
(1) ist eine Basis von Z, also rang(Z) = 1
(2) ist eine Basis von 2Z, also rang(2Z) = 1.
Gegenbeispiel 3
Betrachte den Z-Modul Z × Z = Z2 und U:={(a,b) ∈ Z × Z|a+b ∈ 2Z} ⊂ Z2 als Untermodul.
1
( 0 , 10 ) ist eine Basis von Z2 , also rang(Z2 ) = 2
1
wegen U = {m 11 +n −1
|m,n ∈ Z} gilt rang(U) = 2.
[Literatur: Fischer: Lineare Algebra, Springer Spektrum; Jantzen, Schwermer: Algebra, Springer Spektrum.]
Vortrag im Rahmen des Proseminars über Gegenbeispiele in Analysis und Linearer Algebra Dozenten: Reiner Lauterbach, Johannes Wächtler, und Ingo Runkel - Vortragender: Marco Kosbü - 28.April 2015
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