Übungsaufgaben - Technische Fakultät

Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik
Übungsaufgaben
Ellen Baake, Sebastian Hummel
Sommersemester 2016
Inhaltsverzeichnis
Übungsblatt 1
Gewöhnliche Differentialgleichungen
1–1
Aufgabe 1.1
AWP ẏ = cy 2 , Lösung bestimmen, Gültigkeit . . . . . . . . . . . .
1–1
Aufgabe 1.2
Lösung einer DGL 2. Ordnung nachweisen . . . . . . . . . . . . .
1–1
Aufgabe 1.3
Ausbreitung einer Krankheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1–2
Aufgabe 1.4
Übungsblatt 2
Lösung x(t) = x0 ·
a
t
t0
gegeben, bestimme AWP. . . . . . . . . .
System Gewöhnliche Differentialgleichungen
1–2
2–1
Aufgabe 2.1
AWP in 2 Dimensionen lösen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2–1
Aufgabe 2.2
Solution in the plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2–1
Aufgabe 2.3
Konkurrenzmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2–2
Aufgabe 2.4
Lösungskurve in der Phasenebene
2–2
Übungsblatt 3
Jakobimatrizen, SIRS Modell
. . . . . . . . . . . . . . . .
3–1
Aufgabe 3.1
Jakobimatrix: Spalten vertauscht ⇒ Stabilität? . . . . . . . . . . .
3–1
Aufgabe 3.2
Eigensystem bestimmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3–2
Aufgabe 3.3
SIRS Modell, Reproduktionszahl . . . . . . . . . . . . . . . . .
3–2
Übungsblatt 4
Gleichgewichte und asymptotisches Verhalten, SIRS Modell, HodgkinHuxley
4–1
Aufgabe 4.1
Lösung eines einfachen Infektionsmodells. . . . . . . . . . . . . .
4–1
Aufgabe 4.2
SIRS Modell, qualitatives Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . .
4–2
Aufgabe 4.3
Original Fitzhugh Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4–2
Übungsblatt 5
SIR-Modell mit Impfung, Parametrisierung von Kurven
5–1
Aufgabe 5.1
Parametrisierung von Kurven. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5–1
Aufgabe 5.2
SIR-Modell mit Impfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5–1
Aufgabe 5.3
Bogenlänge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5–2
Übungsblatt 6
Luria-Delbrück Experiment
6–1
Aufgabe 6.1
Luria-Delbrück: Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6–1
Aufgabe 6.2
Endliche Stichprobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6–2
Aufgabe 6.3
Poissonapproximation, Momentenmethode . . . . . . . . . . . . .
6–2
Übungsblatt 7
Luria-Delbrück Experiment, Parametrisierung und Bogenlänge 7 – 1
Aufgabe 7.1
Erwartungswert und Varianz: neue Annahmen zur Mutation . . . . .
7–1
Aufgabe 7.2
Bogenlänge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7–2
Aufgabe 7.3
Parametrisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7–2
Übungsblatt 8
Wright-Fisher und Moran Modell, Bedingte Wahrscheinlichkeit,
Gauß-Test
8–1
Aufgabe 8.1
Multitypen Wright-Fisher Modell . . . . . . . . . . . . . . . . .
8–1
Aufgabe 8.2
Bedingte Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8–2
Aufgabe 8.3
Gauß-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8–2
Übungsblatt 9
Wright-Fisher und Moran Modell, TDT-Tests
9–1
Aufgabe 9.1
Genhäufigkeiten unter genetischem Drift . . . . . . . . . . . . . .
9–1
Aufgabe 9.2
Parameterschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9–2
Aufgabe 9.3
TDT-Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9–2
Übungsblatt 10
Wright-Fisher und Moran Modell, Markov Ketten
10 – 1
Aufgabe 10.1
Matrixexponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 – 1
Aufgabe 10.2
Kontinuierliche Markov Kette mit zwei Zuständen. . . . . . . . . .
10 – 1
Aufgabe 10.3
Geburtsprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 – 1
Übungsblatt 11
Wright-Fisher und Moran Modell
11 – 1
Aufgabe 11.1
Moran-Modell mit Selektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 – 1
Aufgabe 11.2
Matrixexponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 – 1
Aufgabe 11.3
Koaleszenzprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 – 2
0–2
Mathematische Biologie - Übungsblatt 1
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Abgabe Ihrer Hausübungslösung: 22.04.2016 (in der Vorlesung)
Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik
Sommersemester 2016
Ellen Baake, Sebastian Hummel
Präsenzübung
Aufgabe 1.1
AWP ẏ = cy 2 , Lösung bestimmen, Gültigkeit
Lösen Sie das Anfangswertproblem
ẏ = cy 2 , y(t0 ) = y0 > 0, c > 0
mit der Methode der Variablentrennung (die Ihnen im Tutorium gerne erklärt wird). Ist Ihre Lösung
für alle t > t0 gültig?
Aufgabe 1.2
Lösung einer DGL 2. Ordnung nachweisen
Die Funktion g : R → R sei zweimal differenzierbar und erfülle die Eigenschaft g 0 (x) 6= 0 für alle
x ∈ R. Zusätzlich sei die Funktion f : R → R definiert durch f (x) = cos(kg(x)), wobei k ∈ R. Zeigen
Sie, dass
g 00
2
f 00 − f 0 0 + (kg 0 ) f = 0.
g
1–1
Hausübung
Aufgabe 1.3
Ausbreitung einer Krankheit
Wir wollen die Ausbreitung einer ansteckenden Krankheit beschreiben, die mit Rate α übertragen
wird, wenn ein Infizierter einen Nichtinfizierten trifft, und von der Infizierte mit Rate µ genesen. Sei
p der Anteil der Infizierten in einer Population; dann ist 1 − p der Anteil der Nichtinfizierten. Da
Neuinfektionen Kontakte zwischen Infizierten und Nichtinfizierten voraussetzen, ist der Zuwachs an
Infizierten einerseits proportional zu p, andererseits zu 1 − p; die Proportionalitätskonstante ist α. Der
Verlust an Infizierten ist dagegen nur proportional zu p mit Proportionalitätskonstante µ. Insgesamt
ändert sich p mit Geschwindigkeit
ṗ = αp(1 − p) − µp
Teilaufgabe 1.3.1
Phasenliniendiagramm, 1 Punkt
Zeichnen Sie das Phasenliniendiagramm für α < µ und α > µ. Was folgt für das qualitative Verhalten
(Gleichgewichtspunkte, Stabilität)? Skizzieren Sie Lösungen.
Teilaufgabe 1.3.2
Diskussion Gesundheitszustand, 1 Punkt
Diskutieren Sie: Was bedeuten die beiden Fälle für den „Gesundheitszustand“ der Population bzw.
die Ausbreitung der Krankheit?
Aufgabe 1.4
Lösung x(t) = x0 ·
a
t
t0
gegeben, bestimme AWP, 1 Punkt
Welches Anfangswertproblem löst die Funktion
x(t) = x0 ·
t
t0
a
, a>0?
[Hinweis: Hier ist die Differentialgleichung zeitabhängig, d.h. auf der rechten Seite taucht die Variable
t explizit auf.]
1–2
[!]
Mathematische Biologie - Übungsblatt 2
System Gewöhnliche Differentialgleichungen
Abgabe Ihrer Hausübungslösung: 29.04.2016 (in der Vorlesung)
Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik
Sommersemester 2016
Ellen Baake, Sebastian Hummel
Präsenzübung
Aufgabe 2.1
AWP in 2 Dimensionen lösen
Verwenden Sie die Methode der Variablenseparation, um das folgende Anfangswertproblem zu lösen:
ẋ = xy,
2
ẏ = y ,
Aufgabe 2.2
x(1) = e
(1)
y(1) = −1
(2)
Solution in the plane
Betrachten Sie folgende Lösung einer Differentialgleichung in der Ebene:
Teilaufgabe 2.2.1
Skizziere Koordinaten im Zeitverlauf
Skizzieren Sie (möglichst genau) den zugehörigen Zeitverlauf x(t), y(t) als Funktion der Zeit. Die
Abstände zwischen den 11 Zeitpunkten sollen gleich sein.
2–1
Hausübung
Aufgabe 2.3
Konkurrenzmodell
Das Differentialgleichungssystem
ẋ = x(1 − 2x − y)
ẏ = y(2 − y − x)
soll die Konkurrenz zweier Populationen beschreiben.
Teilaufgabe 2.3.1
Erklärung, ODE für Symbiose, 1 Punkt
Erklären Sie, warum dies ein Konkurrenzmodell ist. Stellen Sie dann ein Differentialgleichungssystem
auf, das die Symbiose zweier Populationen beschreibt.
Teilaufgabe 2.3.2
Geometrische Analyse und biologische Interpretation, 2 Punkte
Betrachten Sie nun ihr Symbiosemodell. Berechnen und zeichnen Sie die Nullisoklinen und die Gleichgewichtspunkte. Zeichnen Sie die Richtungsvektoren ein und schließen Sie daraus auf die Stabilitätseigenschaften der Gleichgewichtspunkte. Skizzieren Sie einige Lösungen in der Phasenebene. Suchen
Sie sich einen Startwert aus, für den Sie auch den Zeitverlauf skizzieren.
Interpretieren Sie Ihr Ergebnis anschließend biologisch.
Aufgabe 2.4
Lösungskurve in der Phasenebene
Gegeben sei folgende Lösungskurve eines Differentialgleichungssystems in der Phasenebene
Teilaufgabe 2.4.1
Nullisoklinen und mögliches DGL-System, 1 Punkt
Zeichnen Sie in das Bild die Nullisoklinen ein und stellen Sie das dazugehöriges Differentialgleichungssystem auf.
2–2
Mathematische Biologie - Übungsblatt 3
Jakobimatrizen, SIRS Modell
Abgabe Ihrer Hausübungslösung: 12.05.2016 (in der Vorlesung)
Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik
Sommersemester 2016
Ellen Baake, Sebastian Hummel
Präsenzübung
Aufgabe 3.1
Jakobimatrix: Spalten vertauscht ⇒ Stabilität?, 1 Punkt
Angenommen es sei ein System gekoppelter Differentialgleichungen
ẋ = g(x, y),
ẏ = h(x, y)
gegeben mit einem anziehenden Gleichgewicht (x̄, ȳ). Sie möchten die Stabilität mit Hilfe der Jacobimatrix im Gleichgewicht untersuchen. Die Matrix ist gegeben durch
J=
∂
∂x g(x̄, ȳ)
∂
∂x h(x̄, ȳ)
∂
∂y g(x̄, ȳ)
∂
∂y h(x̄, ȳ)
!
Sie haben versehentlich die Spalten von J vertauscht, d.h. Sie arbeiten stattdessen mit
J˜ =
∂
∂y g(x̄, ȳ)
∂
∂y h(x̄, ȳ)
∂
∂x g(x̄, ȳ)
∂
∂x h(x̄, ȳ)
!
.
Welches Resultat werden Sie für die Stabilität in (x̄, ȳ) erhalten?
[!]
[Hinweis: Dies war ein beliebter Fehler in den letzten MathBio Klausuren.]
3–1
Hausübung
Aufgabe 3.2
Eigensystem bestimmen, 2 Punkte
Bestimmen Sie die Eigenwerte und (rechten) Eigenvektoren der folgenden Matrizen:
A=
Aufgabe 3.3
−α β
α −β
!
!
and
B=
1 1
1 −1
SIRS Modell, Reproduktionszahl, 2 Punkte
Betrachte das sogenannte SIRS model:
Ṡ = −αSI + γR
I˙ = αSI − µI
Ṙ = µI − γR
mit S + I + R = 1 und Parametern α, γ, µ > 0. I bezeichnet den Anteil infizierter Individuen, S
den Anteil gesunder Individuen die anfällig, d.h. nicht immun sind, und R den Anteil der gesunden
Individuen die immun gegen die Krankheit sind.
1. Welche Situation beschreibt das Modell? Was ist die Bedeutung der Parameter α, γ, and µ?
2. Berechne die Reproduktionszahl (R0 ). Was ist die Bedeutung dieser Größe?
3–2
Mathematische Biologie - Übungsblatt 4
Gleichgewichte und asymptotisches Verhalten, SIRS Modell, Hodgkin-Huxley
Abgabe Ihrer Hausübungslösung: 19.05.2016 (in der Vorlesung)
Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik
Sommersemester 2016
Ellen Baake, Sebastian Hummel
Präsenzübung
Aufgabe 4.1
Lösung eines einfachen Infektionsmodells, 1 Punkt
Betrachte erneut das einfache Infektionsmodell aus Aufgabe 1.3. Für jeden Anfangswert p(0) = p0 ≥ 0,
ist die Lösung gegeben durch
p(t) =

p0

,
 1+αtp
0
µ = α,
(µ−α)p0

 e(µ−α)t µ+α(p −1)−αp ,
0
0
µ 6= α
Überprüfe das asymptotische Verhalten, dass in Aufgabe 1.3 bereits (für nichtnegative Anfangswerte)
gefunden wurde. Zeige außerdem, dass p(t) gegen 0 konvergiert für α ≤ µ und gegen 1−µ/α für α > µ,
gegeben p0 > 0.
4–1
Hausübung
Aufgabe 4.2
SIRS Modell, qualitatives Verhalten, 3 Punkte
Betrachte erneut das SIRS Modell aus Aufgabe 3.3. Unter der Annahme, dass die Populationsgröße
konstant ist gilt R = 1 − S − I und das Modell vereinfacht sich zu
Ṡ = −αSI + γ(1 − S − I)
I˙ = αSI − µI.
Berechne und zeichne die Nullisoklinen und Gleichgewichtspunkte, fertige eine Vektorfeldskizze an und
skizziere eine Lösung in der Ebene (positiver Quadrant).
[Hinweis: Eine Fallunterscheidung ist nötig.]
Was kann man alleine aufgrund der Vektorfeldskizze über die Stabilität aussagen?
Aufgabe 4.3
Original Fitzhugh Modell
Das original Modell von Fitzhugh unterscheidet sich ein wenig von der Form aus der Vorlesung, nämlich
dx
dt
dy
c
dt
1
= c y + x − x3 − I ,
3
= a − x − by.
Hier ist x das Membranpotenzial (analog zu v aus der Vorlesung) und y ist eine ’Relaxationsvariable’
sowie der Öffnungszustand des Kaliumkanals. I ist der Strominput (aktuell als konstant angenommen)
und a, b und x sind positive Parameter mit b < c, b < 1, b < c2 .
Teilaufgabe 4.3.1
2 Punkte
Berechne die Jakobimatrix im Gleichgewicht (x̄, ȳ). (Nehme x̄, ȳ als Parameter an ohne sie explizit zu
berechnen.) Zeige, dass das Gleichgewicht stabil ist, falls
b
− c 1 − (x̄)2 > 0,
c
1 − b 1 − (x̄)2 > 0.
4–2
[!]
Mathematische Biologie - Übungsblatt 5
SIR-Modell mit Impfung, Parametrisierung von Kurven
Abgabe Ihrer Hausübungslösung: 03.06.2016 (in der Vorlesung)
Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik
Sommersemester 2016
Ellen Baake, Sebastian Hummel
Präsenzübung
Aufgabe 5.1
Parametrisierung von Kurven
Eine parametrisierte Kurve im Rn ist eine Abbildung γ : [τ0 , τ1 ] → Rn (man kann sich das als
“Bewegung” vorstellen: für jeden Zeitpunkt τ ∈ [τ0 , τ1 ] gibt man an, an welchem Ort im Raum man
sich befindet).
Finden Sie zwei verschiedene Parametrisierungen γ(τ ) der Parabel y = x2 .
Hausübung
Aufgabe 5.2
SIR-Modell mit Impfung
Betrachten Sie folgende Variante des SIR-Modells
Ṡ = −αSI,
I˙ = αSI − µI,
(3)
Ṙ = µI.
(5)
(4)
Gehen Sie von einer festen Populationsgröße aus, d.h. S + I + R = 1.
Teilaufgabe 5.2.1
2 Punkte
Erklären Sie das Modell. Geben Sie R0 an und zeigen Sie, dass es keinen nennenswerten Ausbruch der
Krankheit geben kann, falls
R0 S(0) < 1.
(6)
[Hinweis: Zeigen Sie, dass (6) ⇔
der Krankheit stattfindet.]
dI
dt (0)
< 0. Argumentieren Sie, wieso dies zeigt, dass kein Ausbruch
[!]
5–1
Teilaufgabe 5.2.2
2 Punkte
Betrachten Sie nun den Fall, dass zu Beginn ein Anteil v der Population geimpft ist. Welchen Wert
hat jetzt die Reproduktionszahl Rv ? Wie groß muss der Anteil v sein, damit es zu keinem Ausbruch
kommt? Berechnen Sie ein den Anteil von Geimpften der nötig ist um die Ausbreitung von Masern
(R0 = 15 ohne Impfung) und Pocken (R0 = 6 ohne Impfung) zu verhindern.
Aufgabe 5.3
Bogenlänge, 2 Punkte
Die Bogenlänge einer parametrisierten Kurve γ(τ ) (siehe auch Aufgabe 5.1) ist die Funktion
Zτ
s(τ ) :=
kγ̇(u)kdu,
τ0
wobei kvk :=
q
v12 + · · · + vn2 die Länge des Vektors v angibt.
Berechnen Sie die Bogenlänge s(τ ) für den Kreis in der Parametrisierung
γ(τ ) = (sin τ, cos τ ), τ ∈ [0, 2π].
5–2
Mathematische Biologie - Übungsblatt 6
Luria-Delbrück Experiment
Abgabe Ihrer Hausübungslösung: 10.06.2016 (in der Vorlesung)
Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik
Sommersemester 2016
Ellen Baake, Sebastian Hummel
Präsenzübung
Aufgabe 6.1
Luria-Delbrück: Varianz
Überprüfen Sie die Aussage der Vorlesung:
Für das Luria-Delbrück-Experiment gilt
V(Z) =
T
X
V(Y (t)) = (2T − 1)N p(1 − p).
t=1
[!]
[Hinweis: Geometrische Reihe]
6–1
Hausübung
Aufgabe 6.2
Endliche Stichprobe, 3 Punkte
Beim Luria-Delbrück-Modell wurden in der Vorlesung Erwartungswert und Varianz der Zahl der Mutationsereignisse und der Zahl der mutierten Zellen betrachtet.
Erwartungswert und Varianz sind theoretische Größen, die man beobachten würde, wenn man das
Experiment unendlich oft wiederholt. Im Experiment wurden jedoch nur endliche Stichproben betrachtet.
Beschäftigen wir uns nun also mit dem Effekt endlicher Stichproben: Wir haben C Parallelkulturen.
1. Berechnen Sie unter der Hypothese spontaner Mutationen die Wahrscheinlichkeit, dass das erste
Mutationsereignis (über alle C Kulturen gesehen) in Generation t auftritt.
2. Stellen Sie die Verteilung dieser Zeitpunkte graphisch dar für p = 10−7 und C = 10, 100, 1000, 10000.
3. Diskutieren Sie das Ergebnis im Hinblick auf die Auswertung des Luria-Delbrück-Experiments.
[Hinweis: Bedenken Sie, dass E[Y (t)] = N p unabhängig von t ist.]
Aufgabe 6.3
[!]
Poissonapproximation, Momentenmethode, 2 Punkte
Betrachten Sie eine Bakterienkultur, die mit N = 108 Zellen startet und nur über eine Generation
beobachtet wird. In dieser Generation teilt sich jede Zelle genau ein Mal, wobei mit Wahrscheinlichkeit p (p sehr klein) eine Mutation auftritt.
Sie wissen, dass die Zahl der Mutationsereignisse, X, dann Bin(N, p) verteilt ist. Approximieren Sie
diese Verteilung nun mit Hilfe der Poisson-Verteilung (warum ist das erlaubt?). Geben Sie – in dieser
Approximation – P(X = 0) an.
In einem Experiment wurden nun m = 20 solche Kulturen parallel durchgeführt. In 11 von diesen
Kulturen wurde keine Mutation beobachtet, in den übrigen trat mindestens eine Mutation auf. Schätzen Sie p mit Hilfe der Momentenmethode.
[Hinweis: Wiederholen Sie ggf. das Thema ‘Momentenschätzer’ aus Ihrem WTS-Kurs.]
6–2
[!]
Mathematische Biologie - Übungsblatt 7
Luria-Delbrück Experiment, Parametrisierung und Bogenlänge
Abgabe Ihrer Hausübungslösung: 17.06.2016 (in der Vorlesung)
Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik
Sommersemester 2016
Ellen Baake, Sebastian Hummel
Präsenzübung
Aufgabe 7.1
Erwartungswert und Varianz: neue Annahmen zur Mutation
Berechne E(Z) und V(Z) im Luria-Delbrück-Modell, falls
1. mutierte Zellen sich nur noch in jeder zweiten Generation teilen.
2. mutierte Zellen sich gar nicht mehr teilen.
7–1
Hausübung
Aufgabe 7.2
Teilaufgabe 7.2.1
Bogenlänge
1 Punkt
Zeichnen Sie die logarithmische Spirale γ(τ ) = (eτ cos τ, eτ sin τ ) mit Start bei τ0 = 0.
Teilaufgabe 7.2.2
1 Punkt
Berechnen Sie ihre Bogenlänge s(τ ).
Aufgabe 7.3
Teilaufgabe 7.3.1
Parametrisierung
2 Punkte
Finden Sie eine Parametrisierung γ(τ ) der Schraubenlinie (“Helix”)
Seitenansicht:
Aufsicht (aus z-Richtung):
y
1
1
{
−1
0
1 x
z
y
−1
x
(Start ist mit γ(0) = (1, 0, 0), und eine Windung entspricht einer Einheit in z-Richtung.)
Teilaufgabe 7.3.2
1 Punkt
Berechnen Sie den Tangentenvektor sowie den Tangenteneinheitsvektor an diese Kurve als Funktion
von τ .
7–2
Mathematische Biologie - Übungsblatt 8
Wright-Fisher und Moran Modell, Bedingte Wahrscheinlichkeit, Gauß-Test
Abgabe Ihrer Hausübungslösung: 24.06.2016 (in der Vorlesung)
Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik
Sommersemester 2016
Ellen Baake, Sebastian Hummel
Präsenzübung
Aufgabe 8.1
Multitypen Wright-Fisher Modell
Bisher haben wir genetische Drift nur für zwei Typen (z.B. A, a) betrachtet. Betrachten Sie nun ein
Wright-Fisher-Modell mit K Typen.
(i)
(i)
Xn sei die Zahl der Individuen vom Typ i in Generation n, i = 1, . . . , K, mit ΣK
i=1 Xn = N . Die
Bildung der nächsten Generation läuft dann nach dem bekannten Schema ab: Jedes der N Individuen
zieht (mit Zurücklegen) einen Elter aus der vorigen Generation und erbt dessen Typ. Geben Sie die
0 Individuen vom
Wahrscheinlichkeit an, dass die nächste Generation j10 Individuen vom Typ 1, . . . , jK
Typ K hat, wenn die Elterngeneration j1 Individuen vom Typ 1, . . . , jK Individuen vom Typ K hat
(Σi ji0 = Σi ji = N ), also die Wahrscheinlichkeit
P(Xn+1 = j 0 | Xn = j)
(1)
(K)
mit Xn = (Xn , . . . , Xn ), j = (j1 , . . . , jK ), und entsprechend für j 0 .
8–1
Hausübung
Aufgabe 8.2
Bedingte Wahrscheinlichkeiten, 2 Punkte
Berechnen Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten
P(M = mi , M̄ = mj | D = d1 )
als Funktion von µ, δ, ρ und a, für i, j ∈ {1, 2}.
Aufgabe 8.3
Gauß-Test, 4 Punkte
Sie haben in der Vorlesung einen Binomialtest kennengelernt, mit dessen Hilfe Kopplung zwischen
Marker-und Krankheitslocus nachgewiesen wurde. Ersetzen Sie nun den Binomialtest durch einen
Gausstest, indem Sie X durch eine normalverteilte Zufallsvariable approximieren (warum ist das erlaubt?), und führen Sie den Test durch (für die Diabetes-Daten in der VL, α = 0.05).
[Hinweis: Wiederholen Sie ggf. die Kapitel ‘Normalapproximation’ und ‘Gauss-Test’ aus Ihrem WTSKurs.]
8–2
[!]
Mathematische Biologie - Übungsblatt 9
Wright-Fisher und Moran Modell, TDT-Tests
Abgabe Ihrer Hausübungslösung: 01.07.2016 (in der Vorlesung)
Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik
Sommersemester 2016
Ellen Baake, Sebastian Hummel
Präsenzübung
Aufgabe 9.1
Teilaufgabe 9.1.1
Genhäufigkeiten unter genetischem Drift
2 Punkte
Genetische Drift in einer Population der Größe 1 entspricht wiederholter Selbstbefruchtung. Man denke sich eine Population, die aus einhäusigen heterozygoten Pflanzen des Genotyps Aa hervorgegangen
ist und durch Selbstbefruchtung fortbesteht, indem in jeder Generation von jeder Elternpflanze ein
Nachkomme zufällig ausgewählt wird. Der Vektor p(n) = ([AA](n) , [Aa](n) , [aa](n) ) gebe die Häufigkeiten der Genotypen in der n-ten (diskreten!) Generation an. Was ist die Übergangsmatrix P für die
Zahl der A-Allele (0, 1 oder 2) in jeder einzelnen Pflanze ? Man verwende P , um p(1) , p(2) und p(3)
auszurechnen. Schließen Sie auf den allgemeinen Ausdruck für p(n) .
Teilaufgabe 9.1.2
2 Punkte
Berechnen Sie die erwartete Zeit, bis eine gegebene Linie (also eine ‘Population der Größe 1’) homozygot ist.
[Hinweis: Bedenken Sie, dass der Nachkomme eines heterozygoten Individuums mit Wahrscheinlichkeit
1/2 homozygot ist. Welcher Verteilung folgt die Zahl der Generationen bis zum homozygoten Zustand?]
9–1
[!]
Hausübung
Aufgabe 9.2
Parameterschätzung, 3 Punkte
Sie wollen im Kontext des TDT-Tests den Parameter % schätzen. Nehmen Sie an, dass Sie Schätzwerte
für a, δ, P(M = m1 , M̄ = m2 | D = d1 ) und P(M = m2 , M̄ = m1 | D = d1 ) haben. Finden Sie einen
Schätzwert für %. Wie würden Sie die besagten Wahrscheinlichkeiten aus den Daten schätzen?
[Hinweis: Sie dürfen die Ergebnisse aus Aufgabe 8.2 verwenden.]
Aufgabe 9.3
[!]
TDT-Tests, 3 Punkte
In einer Arbeit von Stewart (2006) wurde der TDT-Test durchgeführt, um genetische Risikofaktoren
für das Auftreten des polycystischen Ovarialsyndroms aufzuspüren. Aus Vorstudien war eine statistische Assoziation zwischen der Krankheit und Allel 8 des genetischen Markers D19S884 auf Chromosom
19 bekannt. Es wurden nun 98 betroffene Töchter untersucht und ihre heterozygoten Eltern; von diesen
übertrugen 59 das Allel 8 von D19S884, die übrigen 39 übertrugen ein anderes Markerallel. Führen Sie
den zugehörigen Binomialtest durch, um zu entscheiden, ob die Daten auf eine signifikante Kopplung
zwischen Marker-und Krankheitslocus schließen lassen (Signifikanzniveau: 0.05).
[Hinweis: Die auftretenden Wahrscheinlichkeiten berechnen Sie besser mit Hilfe von Wolfram Alpha
oder eines kleinen Programms als mit dem Taschenrechenr.]
9–2
[!]
Mathematische Biologie - Übungsblatt 10
Wright-Fisher und Moran Modell, Markov Ketten
Abgabe Ihrer Hausübungslösung: 08.07.2016 (in der Vorlesung)
Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik
Sommersemester 2016
Ellen Baake, Sebastian Hummel
Präsenzübung
Aufgabe 10.1
Matrixexponential
Welche der folgenden Matrizen lässt sich als Exponential einer anderen Matrix schreiben?
a)
1 0
0 1
!
1 0
1 0
b)
!
c)
0 1
1 0
!
Hausübung
Aufgabe 10.2
Kontinuierliche Markov Kette mit zwei Zuständen, 2 Punkte
µ
*
Betrachten Sie die Markov-Kette in stetiger Zeit, die durch den Übergangsgraphen 1 ) 2 gegeben ist.
λ
Geben Sie die Ratenmatrix Q an und berechnen Sie die zugehörige Markov-Halbgruppe.
Aufgabe 10.3
Geburtsprozess, 2 Punkte
Betrachten Sie die folgende Markov-Kette in stetiger Zeit: Start mit einem Individuum zur Zeit 0.
Jedes Individuum teilt sich mit Rate s in zwei Tochterindividuen. Der Prozess ist also durch folgenden
Übergangsgraphen charakterisiert:
s
2s
(i−2)s
(i−1)s
is
(i+1)s
1 −→ 2 −→ · · · −→ i − 1 −→ i −→ i + 1 −→ . . .
Sei K(t) die Zahl der Individuen zur Zeit t und pk (t) := P (K(t) = k).
Stellen Sie die Kolmogorov-Vorwärts-Gleichung auf. Rechen Sie nach, dass diese durch
pk (t) = e−st (1 − e−st )k−1
gelöst wird. [Hinweis: Zeigen Sie zunächst die Hilfsidentität pk−1 − pk = e−st pk−1 ,
[!]
k > 2.]
10 – 1
Mathematische Biologie - Übungsblatt 11
Wright-Fisher und Moran Modell
Abgabe Ihrer Hausübungslösung: 15.07.2016 (in der Vorlesung)
Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik
Sommersemester 2016
Ellen Baake, Sebastian Hummel
Präsenzübung
Aufgabe 11.1
Moran-Modell mit Selektion, 2 Punkte
Betrachten Sie ein Moran-Modell mit Selektion: Typ A reproduziert sich mit Rate 1 + s (s > 0 ist der
’Selektionsvorteil’), Typ a mit Rate 1; ersetzt wird jeweils ein zufällig ausgewähltes Individuum aus
der Population (das nicht der eigene Elter ist). Wie sehen dann λi (A ersetzt a) und µi (a ersetzt A)
für den Prozess X(t) = i = #A aus? Geben sie den Markov-Generator an.
Teilaufgabe 11.1.1
2 Punkte
Wie würden Sie ein Wright-Fisher-Modell mit Selektion formulieren?
[Denkansatz: Für jedes Kind wird zufällig ein Elter ausgewählt, aber ein Elter vom Typ A hat eine um
einen Faktor σ höhere Wahrscheinlichkeit, ausgewählt zu werden, als Typ a.]
Hausübung
Aufgabe 11.2
Matrixexponential, 2 Punkte
Wir betrachten das Matrixexponential eM einer Matrix M .
Wie sieht es aus, falls M eine Diagonalmatrix ist? Unter welchen Bedingungen gilt für zwei Matrizen
A und B, dass
eA+B = aA · eB
und warum ist diese Bedinungen nötig?
11 – 1
[!]
Aufgabe 11.3
Teilaufgabe 11.3.1
Koaleszenzprozess, 3 Punkte
1 Punkt
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von n Leuten (und bei 365 Tagen im Jahr)
keine zwei am selben Tag Geburtstag haben?
Teilaufgabe 11.3.2
1 Punkt
Ziehen Sie zufällig 2 Individuen aus einer Population der Größe N , die sich nach dem Wright-Fisher
Modell fortpflanzen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammen die beiden Individuen vom selben Elternindividuum ab?
Teilaufgabe 11.3.3
1 Punkt
Betrachten Sie ein Wright-Fisher Sampling in diskreter Zeit (also getrennte Generationen, jedes Kind
sucht sich – mit Zurücklegen – ein Elternindividuum aus der vorigen Generation aus). Geben Sie für
eine haploide Population der Größe N die Wahrscheinlichkeit an, dass zwei Kinder auf zwei verschiedene Elternindividuen zurückgehen (siehe Teilaufgabe 13.1.2), sowie die Wahrscheinlichkeit P(k), dass
k Kinder k verschiedene Eltern haben (‘verschieden’ meint hier immer ‘nicht dasselbe Individuum’,
unabhängig vom Genotyp).
Betrachten Sie nun den Prozess über mehrere Generationen hinweg zurück in der Zeit. Geben Sie
die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass k Kinder über n Generationen hinweg jeweils k verschiedene
Eltern haben, und in Generation n + 1 ein Koaleszenzereignis stattfindet, dass also in Generation n + 1
mindestens zwei Individuen auf denselben Elter treffen.
11 – 2