PHG11 g-Bestimmung File

Skript zum Labor
Physikalische Grundlagen
Anleitung zum Laborversuch
Bestimmung der Erdbeschleunigung g
Stand 10.2016
1. Aufgabenstellung
1. Bestimmung der Erdbeschleunigung g mit Hilfe von Pendelschwingungen
2. Untersuchung der Abhängigkeit der Schwingungsdauer von der Amplitude der Schwingung
3. Untersuchung des Abklingverhaltens der Schwingungsamplitude und Abschätzung des Einflusses der Dämpfung durch den Luftwiderstand auf die Messergebnisse
2. Grundlagen
Die Gravitation ist eine der Grundkräfte der Physik und führt zu einer gegenseitigen Anziehung von Massen.
Befindet sich ein Körper in der Nähe der Erdoberfläche, so kann die Anziehungskraft der Erdmasse auf die
Masse m des Körpers durch die Erdanziehungskraft
Fg = m · g
beschrieben werden, wobei g die sogenannte Erdbeschleunigung ist. Die Erdbeschleunigung ist keine universelle
Konstante. Ihr Wert hängt von der Höhe des Ortes über dem Meeresspiegel ab und schwankt auch je nach
geografischer Lage. Die lokalen Unterschiede der Erdbeschleunigung sind insbesondere auf die Fliehkraft infolge
der Erdrotation und auf die Abweichung der Erde von einer exakten Kugelform zurückzuführen. Die Werte für
g liegen zwischen gerundet gÄquator = 9, 780 m/s2 am Äquator und gPol = 9, 832 m/s2 an den Polen [1]. Der
Wert für Berlin (Tempelhof) beträgt [1]:
2
g Berlin-Tempelhof = 9, 8126670 m/s
(1)
Eine sehr genaue und häufig angewandte Methode zur Bestimmung der Erdbeschleunigung g beruht auf der
Auswertung von Pendelschwingungen. Die Schwingungsdauer1 T eines sogenannten mathematischen Pendels ist
in erster Näherung nur von der Pendellänge L und der Erdbeschleunigung g abhängig:
s
L
T = 2π ·
g
(2)
Eine kurze Abhandlung über mathematische Pendel mit der Herleitung dieser Formel ist im Anhang gegeben.
Zur Bestimmung der Erdbeschleunigung g reicht es also im Prinzip aus, die Schwingungsdauer einer Pendelschwingung und die dazugehörige Pendellänge experimentell zu bestimmen. Die Schwingungsdauer T kann z. B.
1 statt
Schwingungsdauer wird häufig auch der Begriff Periodendauer verwendet. Beide Begriffe sind zulässig. Um Verwirrung zu
vermeiden, haben wir uns auf die Verwendung eines Begriffs beschränkt.
Laborpraktikum Physikalische Grundlagen, g-Bestimmung
HTW Berlin
mit Hilfe einer Lichtschranke mit hoher Genauigkeit bestimmt werden. Die Genauigkeit kann sogar noch erhöht
werden, wenn eine größere Anzahl von Schwingungen (z. B. 10 oder 20) ausgezählt werden und die Gesamtzeit
gemessen wird. Verglichen damit kann die Pendellänge mit einfachen Mitteln nur relativ ungenau bestimmt
werden, unter anderem weil sie zum Schwerpunkt des Pendelkörpers gemessen werden müsste. Mit einer wesentlich größeren Genauigkeit kann jedoch bei dem vorliegenden Versuchsaufbau die Veränderung einer Pendellänge
gemessen werden. Dazu wird der biegsame Faden eines Pendels durch eine Hülse geführt, die in vertikaler Richtung verschoben werden kann. Die Verschiebung x kann auf einer Messskala mit Nonius sehr genau eingestellt
und abgelesen werden. Die Gesamtlänge L des Pendels ist dann:
L = L0 + x
(3)
Bereits bei der Durchführung von zwei Messungen mit unterschiedlichen Werten von x ist die Bestimmung der Länge L0 des Pendels nicht mehr notwendig
Nebenrechnung:
T = 2π ·
q
und kürzt sich bei der Berechnung heraus (s. Nebenrechnung rechts).
Das Quadrieren von Gleichung (2) und das Einsetzen von Gleichung (3) zeigt,
dass das Quadrat der Schwingungsdauer T bei der Pändenlänge (L0 + x) eine
lineare Funktion der Verschiebung x ist:
=⇒
T 2 (x) =
T12 = 4π 2 ·
L 0 + x1
g
und T22 = 4π 2 ·
L 0 + x2
g
=⇒
=⇒
L0 + x
T 2 (x) = 4π 2 ·
g
L
g
T12 − T22 =
4π 2
· (x1 − x2 )
g
4π 2 · L0
4π 2
+
·x
g
g
(4)
Vergleicht man diese Gleichung mit der Grundgleichung einer linearen Funktion
f (x) = a + b · x
so sieht man, dass a =
4π 2 · L0
4π 2
der y-Achsenabschnitt und b =
die Steigung der Geraden ist. Wenn also
g
g
die Quadrate der gemessenen Schwingungsdauern T 2 als Funktion der eingestellten Verschiebung x aufgetragen
werden, erhält man eine Gerade, aus deren Steigung b die Erdbeschleunigung g berechnet werden kann:
g=
4π 2
b
(5)
Für die Herleitung der oben genutzten Formeln wurde die Näherung sin ϕ = ϕ für kleine Winkel genutzt (s. Anhang), die dazu führt, dass die Abhängigkeit der Schwingungsdauer T von der Amplitude2 in Gleichung (2) und
folglich auch Gleichung (4) nicht berücksichtigt wird. Jedes Pendel zeigt jedoch auch bei kleinen Winkeln eine
leichte Abhängigkeit der Schwingungsdauer T von der Amplitude. Damit der Einfluss dieser Amplitudenabhängigkeit bei der Bestimmung der Erdbeschleunigung g nicht in Erscheinung tritt, sollten die einzelnen Messungen
bei verschiedenen Pendellängen alle bei möglichst der gleichen Amplitude durchgeführt werden.
Möchte man hingegen den Einfluss der Amplitude auf die Schwingungsdauer untersuchen, so empfiehlt es sich,
Messungen bei gleicher Pendellänge und unterschiedlichen Amplituden durchzuführen.
Durch die Luftreibung tritt eine schwache Dämpfung der Pendelschwingung auf. Neben der Dämpfung bewirkt
die Luftreibung auch, dass sich das Pendel etwas langsamer bewegt als im ungedämpften Zustand. Das führt
zu einer kleinen Abweichung der Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung von der Schwingungsdauer der
ungedämpften Schwingung (s. Anhang A.3.3). Experimentell ermittelt wird der Wert der gedämpften Schwingung; die Gleichungen (2) und (4) wurden jedoch für ungedämpfte Schwingung hergeleitet. Um den Einfluss der
2
Ein Synonym für Amplitude ist Schwingungsweite.
Seite 2 von 11
Laborpraktikum Physikalische Grundlagen, g-Bestimmung
HTW Berlin
Dämpfung mit zu berücksichtigen, kann die Dämpfungskonstante3 δ herangezogen werden. Um die Dämpfungskonstante einer gedämpften Schwingung zu ermitteln, kann das Abklingen der Amplitude von einem Startwert
ϕ0 bis zu einem Endwert ϕN nach der Zeit von N Schwingungen gemessen werden (s. Anhang A.3.3).
Zur Berücksichtigung der Dämpfung muss das Ergebnis für die Erdbeschleunigung g dann mit dem Korrekturfaktor
2
ϕ0
1
(6)
·
KD = 1 + ln
ϕN
2πN
multipliziert werden.
3. Versuchsdurchführung
Praktische Anmerkungen zur Versuchsdurchführung:
Eine schematische Darstellung des Messaufbaus ist in Abb. 1 gezeigt.
• Die Verschiebung x kann mit dem Schlitten an der Säulenführung
auf definierte Werte eingestellt und auf einer Messskala mit Nonius
abgelesen werden. Zur genauen Einstellung des x-Werts verfügt der
x
Aufbau über eine Feinverstellschraube am unteren Ende der Säulenführung bzw. am unteren Ende des Verstellelements (je nach Aufbau).
• Es ist zweckmäßig, die Verschiebung x auf ganzzahlige Zentimeter-

L0
werte einzuregeln.
• Stoppen Sie die Schwingung des Pendels immer, bevor Sie die Pen-
dellänge ändern!
ΔL
• Benutzen Sie zur Auslenkung des Pendelkörpers und zum Stoppen
der Schwingung das bereitgelegte Brett als Hilfsmittel wie in Abb. 2
Abb. 1: Schema Messaufbau
gezeigt, um eine zusätzliche Schaukelbewegung des Körpers weitgehend auszuschließen. Lenken Sie das Pendel nicht ohne Hilfsmittel
aus.
• Für die Zeitmessung steht eine Lichtschranke mit angeschlossenem
Messgerät mit LCD-Anzeige zur Verfügung. Die LCD-Anzeige ist in
Abb. 3 dargestellt. Die Messung wird mit dem Drucktaster an der
Seite des Messgeräts gestartet bzw. auf Null zurückgesetzt. In der
ersten Zeile der Anzeige wird die Anzahl der Schwingungen angegeben, die seit dem Drücken des Startknopfes gezählt wurden. In der
Abb. 2: Auslenkung des Pendel-
zweiten Zeile wird die Schwingungsdauer der aktuellen Periode an-
körpers mit Brett
gezeigt und in der dritten Zeile die Gesamtdauer der ersten zehn
Schwingungen. Die Zeiten werden in der Einheit ms ausgegeben.
• Zum Starten einer Zeitmessung drücken Sie den Taster an der Sei-
te des Datenerfassungsgerätes. Warten Sie das Messergebnis für 10
Schwingungen ab und lesen Sie die Dauer von 10 Schwingungen ab
Abb. 3: LCD-Anzeige
3 Die
(Zeile drei der LCD-Anzeige).
Dämpfungskonstante wird häufig auch mit dem Formelzeichen d oder γ bezeichnet
Seite 3 von 11
Laborpraktikum Physikalische Grundlagen, g-Bestimmung
HTW Berlin
• Um die Auslenkung des Pendels zu bestimmen, wird mit einer LED-Lampe ein Schatten auf eine an der Wand
befestigte Skala geworfen (s. Abbildung 1). Die LED-Lampe sollte so ausgerichtet sein, dass der Schatten des
ruhenden Pendeldrahtes auf der Skala bei der Marke 0 cm abgebildet wird. Die Stellung der LED-Lampe darf
während der gesamten Versuchsdurchführung nicht verändert werden. Lenken Sie das Pendel zum Starten
immer in die gleiche Richtung aus (links oder rechts) und lesen Sie die maximale Auslenkung des Schattens
auch immer auf dieser Seite ab, damit eventuell auftretende Abbildungsfehler durch eine nicht mittig platzierte
LED-Lampe keinen Einfluss auf das Endergebnis haben.
• Da die LED-Lampe als (halbwegs) punktförmige Lichtquelle keinen parallelen Lichteinfall liefert, entsprechen
die Abstände, die als Schattenwurf auf der Skala an der Wand gemessen werden, nicht den Abständen der
Position des Drahtes, sondern werden proportional vergrößert. Um Ihnen die Arbeit zu erleichtern wurde die
an der Wand angebrachte Skala entsprechend gestreckt, so dass die dort abgelesenen Werte der Entfernung
des Schattens vom Nullpunkt in mm entsprechen.
• Die Messreihe zur Bestimmung der Schwingungsdauer T für verschiedene Pendellängenänderungen x soll
bei gleicher Amplitude durchgeführt werden. Amplitude steht im Falle einer Pendelschwingung für Winkelamplitude. Um bei verschiedenen Pendellängen einen konstanten Auslenkwinkel ϕ zu bekommen, muss bei
Änderung der Pendellänge (L = L0 + x) auch die auf der Skala eingestellte Auslenkung des Schattens S
entsprechend geändert werden (s. Abb. 1). Für die Berechnung des Wertes für S als Funktion der Längenänderung x des Pendels wird folgende Formel verwendet:
S(x) = (L00 + x) · tan(ϕ)
(7)
Da die Skala etwas höher hängt als die Pendelmasse, wird zur Berechnung von S(x) die Länge L00 = L0 − ∆L
verwendet. Um Ihnen die Arbeit zu erleichtern, ist in Abb. 4 eine grafische Darstellung des Zusammenhanges
zwischen der Schwingungsweite S und der Verschiebung x für einen Winkel von ϕ = 3, 0◦ und eine Länge
von L00 = (88, 0 ± 0, 5) cm gegeben.
67
S in mm
65
63
61
59
57
55
53
51
49
47
45
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
x in cm
Abb. 4: Auslenkung des Schattens S auf der Skala als Funktion der Verschiebung x für einen konstanten Winkel
von ϕ = 3, 0◦ und für die Längen L00 = (88, 0 ± 0, 5) cm.
Seite 4 von 11
Laborpraktikum Physikalische Grundlagen, g-Bestimmung
HTW Berlin
3.1. Messung der Schwingungsdauern zur Bestimmung der Erdbeschleunigung
• Messen Sie für ausreichend viele verschiedene Pendellängen L = L0 + x die dazugehörige Schwingungsdau-
er (Empfehlung: etwa 20 Messpunkte)4 . Achten Sie darauf, alle Messpunkte bei gleicher Winkelamplitude
durchzuführen.
3.2. Messung der Amplitudenabhängigkeit der Schwingungsdauer
• Wählen Sie mit dem Schlitten an der Säulenführung eine Einstellung für x (idealerweise x = 0).
• Wählen Sie einen kleinen und einen großen Wert für die Amplitude bzw. für die Auslenkung des Schattens
S aus (Beispielsweise S1 = 20 mm und S2 = 95 mm) und messen Sie für die beiden Werte jeweils die
Schwingungsdauer T1 und T2 als Mittelwert von jeweils 10 Schwingungen.
3.3. Messung zum Einfluss der Dämpfung
• Wählen Sie mit dem Schlitten an der Säulenführung eine Einstellung für x (idealerweise x = 0).
• Lenken Sie das Pendel mit Hilfe des Brettes weit aus (der Schattenwurf muss noch im Bereich der Skala
liegen) und geben es frei. Achten Sie darauf, dass der Pendeldraht die Gabel der Lichtschranke nicht berührt.
• Notieren Sie die maximale Auslenkung des Schattens S0 (links oder rechts; abzulesen auf der Seite, zu der
Sie das Pendel anfangs ausgelenkt haben).
• Starten sie unmittelbar danach die Messung der Lichtschranke durch Drücken des Taster an der Seite des
Messgeräts.
• Warten Sie ungefähr N = 200 Schwingungen ab (etwa 8 min; Anzahl der Schwingungen ist auf der LCD-
Anzeige ablesbar) und registrieren Sie dann wieder die maximale Auslenkung SN des Schattens des Drahtes
auf der Skala. Notieren Sie Anzahl N der tatsächlich abgelaufenen Schwingungen.
4. Auswertung
4.1. Berechnung der Erdbeschleunigung
• Tragen Sie die xi -Ti -Wertepaare in eine Tabelle ein (Excel oder anderes Tabellenkalkulationsprogramm bzw.
Computeralgebrasystem). Berechnen Sie die Quadrate Ti2 der ermittelten Zeiten. Stellen Sie die Funktion
T 2 (x) grafisch dar. Es sollte sich ein linearer Zusammenhang ergeben:
T 2 (x) = a + b · x
• Bestimmen Sie mit Hilfe einer linearen Regression den Achsenabschnitt a und die Steigung b sowie die
zugehörigen Fehler.
• Berechnen Sie aus dem so ermittelten Wert für die Steigung b die Erdbeschleunigung g.
• Ermitteln Sie die relative und absolute Unsicherheit für den von Ihnen berechneten Wert der Erdbeschleuni-
gung.
• Vergleichen Sie Ihren Wert der Erdbeschleunigung mit der Angabe in Gleichung (1) und bewerten Sie quan-
titativ und verbal die Abweichung.
4 Diejenigen,
die mit dem vorgefertigten Excel-File arbeiten, müssen bei dem Startwert x = 2 cm anfangen und in 2 cm-Schritten
bis zu dem Wert x = 40 cm gehen.
Seite 5 von 11
Laborpraktikum Physikalische Grundlagen, g-Bestimmung
HTW Berlin
4.2. Berechnung der Pendellänge
• Berechnen Sie aus dem Ergebnis der linearen Regression den Wert der Pendellänge L0 einschließlich der
relativen und absoluten Fehlers.
• Bewerten Sie verbal die Genauigkeit der auf diesem Weg ermittelten Pendellänge.
4.3. Amplitudenabhängigkeit der Schwingungsdauer
• Vergleichen Sie quantitativ und verbal die Differenz der beiden von Ihnen ermittelten Schwingungsdauern T1
und T2 für die beiden Amplituden ϕ1 und ϕ2 . Bestimmen Sie die relative Abweichung der beiden Werte und
vergleichen Sie die Differenz der beiden Werte mit der relativen Genauigkeit des Wertes für g.
4.4. Einfluss der Dämpfung
• Berechnen Sie um wie viel Prozent die Amplitude nach den N Messungen abgenommen hat.
• Bestimmen Sie den Korrekturfaktor KD , der den Einfluss der Dämpfung beschreibt, bzw. den Wert (1 − KD ).
Bewerten Sie aufgrund dieser Ergebnisse, ob die Luftreibung bei der Auswertung berücksichtigt werden muss
oder ob ihr Einfluss vernachlässigt werden kann.
• Hinweis: Für kleine Winkel gilt:
ϕ1
S1
=
ϕ2
S2
A. Anhang (Herleitungen)
A.1. Schwingungen allgemein
Als Schwingungen werden zeitlich periodische Änderungen einer physikalischen Zustandsgröße bezeichnet.
Schwingungen kommen in der Mechanik, in der Elektrodynamik und anderen physikalischen Bereichen vor,
aber auch in ganz anderen Gebieten wie zum Beispiel in der Biologie und in der Wirtschaft. Ein anderes Wort
für Schwingung ist Oszillation. Entsprechend wird ein schwingungsfähiges System auch Oszillator genannt.
Im Kasten auf der rechten Seite sind die wichtigsten physikalischen Größen zur Beschreibung von
Schwingungen und die dazugehörigen Einheiten
Wichtige Größen zur Beschreibung von Schwingungen:
physikalische Größe
Formelzeichen
und Zusammenhänge zusammengestellt5 .
Einheit
Schwingungsdauer
T
s
sich das System wieder im gleichen Bewegungs-
Frequenz
f
s−1 = Hz
zustand befindet. Für Mechanische Schwingungen
Kreisfrequenz oder
Winkelgeschwindigkeit
ω
s−1
Die Schwingungsdauer T ist die Zeit, nach dem
bedeutet das, dass der Körper sich wieder am gleichen Ort befindet und die gleiche Geschwindigkeit
und die gleiche Beschleunigung besitzt.
Zusammenhang:
T =
o
2π
1
=
;
f
ω
ω = 2πf
Die Frequenz f ist der Kehrwert der Schwingungsdauer T und beschreibt, wie oft sich ein Bewegungszustand pro Zeiteinheit wiederholt.
5 Anmerkung:
Die Einheit Hz wird nur für Frequenz verwendet, jedoch nicht für die Winkelgeschwindigkeit oder Kreisfrequenz. Auch
wenn die Winkelgeschwindigkeit oder Kreisfrequenz auf den ersten Blick auch in s−1 angegeben wird, steckt dahinter doch etwas
anderes: Die Winkelgeschwindigkeit oder Kreisfrequenz beschreiben eine Winkeländerung pro Zeitintervall; die entsprechende
Einheit ist also die Einheit des Winkels durch die Einheit der Zeit. Da jedoch in der Physik und insbesondere bei der Diskussion
von Schwinungen und Wellen die Winkel meist in Bogenmaß angegeben werden und das Einheitenzeichen rad im allgemeinen
weggelassen wird, bliebt nur s−1 als Einheit stehen. Die unterschiedliche Handhabung der Einheiten Hz und s−1 erleichtert die
Unterscheidung zwischen Frequenz und Kreisfrequenz.
Seite 6 von 11
Laborpraktikum Physikalische Grundlagen, g-Bestimmung
HTW Berlin
Die Kreisfrequenz oder Winkelfrequenz gibt den pro Zeiteinheit überstrichenen Winkel an (wobei der Winkel
in Bogenmaß angegeben wird). Die Kreisfrequenz und die Frequenz unterscheiden sich durch den Faktor 2π.
Damit ein System schwingen kann, muss bei einer Auslenkung aus der Ruhelage eine rücktreibende Kraft
wirksam werden, d. h. es muss eine Kraft auftreten, die der Auslenkung entgegen wirkt.
Um eine Schwingung zu beschreiben, muss man die zeitliche Abhängigkeit der Zustandsgröße kennen, die hier
mit x bezeichnet wird. Um x(t) zu finden, muss zunächst die Bewegungsgleichung aufgestellt werden und diese
anschließend gelöst werden. In der Mechanik werden Bewegungsgleichungen immer aus dem zweiten Newtonschen Axiom abgeleitet: eine Kraft F , die auf einen Körper der Masse m einwirkt, bewirkt eine Beschleunigung
a gemäß der Formel:
F =m·a
(8)
Zum Aufstellen der Bewegungsgleichung von Schwingungen wird in Gleichung 8 für F die rücktreibende Kraft
eingesetzt.
Im zweiten Schritt muss diese Bewegungsgleichung gelöst werden. Da die rücktreibende Kraft immer ortsabhängig sein muss, handelt es sich bei den Bewegungsgleichungen für Schwingungen immer um Differentialgleichungen, bei denen der Ort und seine zeitlichen Ableitungen auftreten.
Das Lösen dieser Differentialgleichungen fällt in den Bereich Mathematik. Solange es sich um homogene, lineare
Differentialgleichungen handelt, kann man eine Funktion als Lösung ”erraten”. Als Lösungen kommen in diesem
Falle sin-, cos- oder komplexe e-Funktionen in Frage.
Die erratene Lösung setzt man in die Bewegungsgleichung ein und erhält dadurch die Information, unter welchen
Bedingungen die angesetzte Funktion eine Lösung der Differentialgleichung ist. Differentialgleichung haben in
der Regel unendlich viele Lösungen. Durch das Einsetzten der Anfangsbedingung kann die passende Lösung
ausgewählt werden.
A.2. Das mathematische Pendel
Eines der typischen Beispiele für ein schwingungsfähiges mechanisches
System ist das Fadenpendel. Dieses besteht aus einer Kugel der Masse m,
die an einem Faden (oder Draht) der Länge L hängt. L ist dabei definiert

als der Abstand vom Aufhängpunkt des Pendels bis zum Mittelpunkt der
L
Kugel. Wenn die Masse des Fadens sehr viel kleiner ist als die Masse m
der Kugel und der Durchmesser der Kugel sehr viel kleiner als die Länge
L des Fadens, dann nennt man diese Anordnung ein mathematisches
Pendel. Die Masse m kann in diesem Fall als Punktmasse angesehen

rad
Ruhelage
werden.
Ein solches Pendel ist in Abbildung 5 dargestellt. In der Ruhelage ist der
tan
Winkel ϕ = 0 und die Gewichtskraft, die auf die Masse m wirkt, zeigt in
radialer Richtung senkrecht nach unten. Kräfte in radialer Richtung wer-
Abb. 5: Mathematisches Pendel
den durch die Kraft des Fadens kompensiert, daher tritt in der Ruhelage
keine Beschleunigung auf.
Wird das Pendel um den Winkel ϕ = 0 ausgelenkt, so wirkt ein Teil der Gewichtskraft in radialer Richtung,
der andere Teil in tangentialer Richtung. Der radiale Anteil der Kraft F~rad wird auch hier wieder durch die
Kraft des Fadens kompensiert. Der tangentiale Anteil der Kraft F~tan wirkt als rücktreibende Kraft und verursacht die Schwingung. Die Tangentialkompnente Ftan kann über ein Kräfteparallelogramm bestimmt werden (s.
Abbildung 5):
Ftan = −m · g · sin ϕ
(9)
Am Minuszeichen ist zu erkennen, dass es sich um eine rücktreibende Kraft handelt, d. h. dass die Kraft immer
entgegengesetzt zur Richtung der Auslenkung wirkt.
Seite 7 von 11
Laborpraktikum Physikalische Grundlagen, g-Bestimmung
HTW Berlin
Setzt man diese rücktreibende Kraft (Gleichung (9)) in Gleichung (8) ein, so erhält man die Bewegungsgleichung:
−m · g · sin ϕ = m · a
(10)
Die Masse m lässt sich herauskürzen. Die Beschleunigung a ist in diesem Fall eine Tangentialbeschleunigung und
lässt sich durch Winkelbeschleunigung α ersetzten und diese wiederum durch die zweite Ableitung des Winkels
ϕ nach der Zeit:
a=r·α=r·
d2 ϕ
= r · ϕ̈ ,
dt2
(11)
wobei r der Radius ist, in Falle des Pendels also r = L. Eingesetzt in Gleichung (14) ergibt
−g · sin ϕ = L · ϕ̈
(12)
und aufgelöst nach ϕ̈:
ϕ̈ = −
g
· sin ϕ
L
(13)
Dies ist eine nicht-lineare Differentialgleichung, die deutlich schwieriger
zu lösen ist, als lineare Differentialgleichungen. Um die Gleichung zu
vereinfachen wird die Näherung
sin ϕ ≈ ϕ
(14)
verwendet. Diese Näherung gilt nur für kleine Werte von ϕ (s. Anmerkung auf der rechten Seite). Damit lässt sich die Bewegungsgleichung (13) in eine lineare Differentialgleichung überführen:
ϕ̈ = −
g
·ϕ
L
(15)
Als Lösung dieser Differentialgleichung kommen die Funktionen
Anmerkung:
Die Näherung sin ϕ ≈ ϕ erhält man
durch eine Potenzreihenentwicklung der
Funktion sin ϕ:
sin ϕ = ϕ −
ϕ3
ϕ5
ϕ7
+
−
+ ...
3!
5!
7!
Für ausreichend kleine Werte von ϕ können die höheren Glieder vernachlässigt
werden.
Um den Zusammenhang zu veranschaulichen sind in dem Diagramm unten die
beiden Funktionen f (x) = sin(x) und
f (x) = x gemeinsam aufgetragen. Um
den Nullpunkt herum liegen die beiden
Kurven fast übereinander.
f (x)
f (x)=x
ϕ(t) = A · sin (ω · t + α) ,
f (x)=sin(x)
ϕ(t) = A · cos (ω · t + α) oder
x
ϕ(t) = A · ei(·ω·t+α) ,
in Frage, wobei A die Amplitude6 der Schwingung ist und α der Nullphasenwinkel (Winkel zum Zeitpunkt
t = 0).
Ableiten und Einsetzen in die Bewegungsgleichung (16) ergibt in allen drei Fällen die Gleichung für die Kreisfrequenz ω und daraus folgend für die Schwingungsdauer T , die für diesen Laborversuch zur Bestimmung der
Erdbeschleunigung g genutzt wird:
r
ω=
g
L
s
=⇒
T = 2π ·
L
g
(16)
Die Werte der Amplitude A und des Nullphasenwinkel α ergeben sich aus den Anfangsbedingungen.
Bei dieser Herleitung wurde neben der Näherung sin ϕ ≈ ϕ auch die Reibung im Aufhängpunkt und des
Luftwiderstands vernachlässigt.
6
Andere Bezeichnungen für Amplitude sind maximale Auslenkung oder Schwingungsweite.
Da ϕ(t) die Änderung eines Winkels beschreibt, handelt es sich im Falle von Pendelschwingungen bei der Amplitude um einen
Winkel. Um das klar herauszustellen wird auch der Begriff Winkelamplitude verwendet
Seite 8 von 11
Laborpraktikum Physikalische Grundlagen, g-Bestimmung
HTW Berlin
A.3. Korrekturfaktoren
Das Modell des mathematischen Pendels ist eine idealisierte Näherung, die in der experimentellen Praxis nicht
realisierbar ist. Die Pendelmasse hat immer eine endliche Ausdehnung und der Faden eine endliche Masse. Ein
solches reales Pendel wird als physikalisches oder physisches Pendel bezeichnet.
Damit sich der Faden unter dem Einfluss der Fliehkräfte bei der Pendelbewegung nicht in der Länge verändert,
wird meist statt des Fadens ein dünner Stahldraht verwendet.
Für genaue Messungen müssen auch geringsten Abweichungen des realen Pendels vom mathematischen Pendel
sowie andere Näherungen berücksichtigt werden bzw. deren Einfluss abgeschätzt werden:
• Die Masse des Drahtes: mD 6= 0
• Die räumliche Ausdehnung des Pendelkörpers
• Die Amplitudenabhängigkeit der Schwingungsdauer, die durch die Näherung sin ϕ ≈ ϕ vernachlässigt wurde.
• Die Dämpfung durch den Luftwiderstand
A.3.1. Physikalisches oder physisches Pendel
Die Abweichungen des realen Pendels von dem idealisierten Modell eines mathematischen Pendels gleicher
Abmessungen können über einer aufwändige Korrekturrechnung erfasst werden. Der Einfluss dieser Korrekturen
liegt bei dem vorliegenden Versuchsaufbau unter 1h und sie müssen im Rahmen dieses Laborversuchs nicht
mit berücksichtigt.
A.3.2. Amplitudenanbhängigkeit
Ein mathematisches Pendel (und erst recht ein physikalisches Pendel) zeigt selbst bei kleinen Amplituden eine
leichte Abhängigkeit der Schwingungsdauer von der Amplitude. Diese Abhängigkeit wird bei der Herleitung
durch die Näherung sin ϕ = ϕ vernachlässigt. Die Näherung gilt nur für sehr kleine Winkel. Aber auch für kleine
Winkel führt die Näherung noch zu kleine Abweichungen der theoretischen Werte für die Schwingungsdauer von
den experimentell ermittelten Schwingungsdauern des Pendels.
A.3.3. Dämpfung durch den Luftwiderstand
Durch den Luftwiderstand erfährt das Pendel eine schwache
Dämpfung, die zu einer mit der Zeit exponentiell abnehmenden
Schwingungsamplitude führt. Darüber hinaus erhöht sich auch die
Schwingungsdauer, da die Bewegung aufgrund des Luftwiderstand
etwas langsamer verläuft. Bei Vorhandensein von Reibung lautet
eine Lösung der Differentialgleichung für die zeitabhängige Auslenkung des Pendels:
Abb. 6: Gedämpfte Schwingung
S(t) = S0 e(−δt) sin(ωt)
(17)
Dabei ist S0 = S(t0 ) die Anfangsauslenkung und ω die Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung. Die entsprechende Funktion ist in Abb. 6 dargestellt. Die exponentielle Abklingkonstante δ (sprich delta) wird Dämpfungskonstante genannt und ist ein Maß für die Stärke, mit der die Amplitude exponentiell abnimmt. Nach der
Zeit τ = 1/δ ist die ursprüngliche Amplitude S0 auf 1/e abgefallen. Nach einer Schwingungsperiode T ist die
Amplitude auf e(−δT ) abgefallen.
Die Dämpfung kann experimentell bestimmt werden, um die Größenordnung des daraus resultierenden Fehlers
zu ermitteln. Die Amplitudenreduktion nach N Schwingungsperioden lässt sich mit obigem Ausdruck schreiben
Seite 9 von 11
Laborpraktikum Physikalische Grundlagen, g-Bestimmung
HTW Berlin
als
S(t0 )
= e(−N δT ) ,
S(t0 + N T )
(18)
wobei S(t0 ) = S0 die Anfangsweite ist und S(t0 + N T ) = SN die Amplitude nach einer Anzahl von N Schwingungen. Aus diesem experimentell einfach zugänglichen Verhältnis lässt sich durch die Beobachtung des Abklingverhaltens der Amplitude das Produkt aus Dämpfungskonstante und Schwingungsperiode ermitteln:
S(t0 )
ln
= δT = Λ
(19)
S(t0 + N T )
Die Größe wird mit Λ (sprich Lambda) bezeichnet und Logarithmisches Dekrement genannt. Die Zeit T in dieser
Gleichung ist die tatsächlich gemessene Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung. Aus diesen Werten lässt
sich die Dämpfungskonstante berechnen:
δ=
Λ
T
(20)
Die Kreisfrequenz ωR einer gedämpften Schwingung ergibt sich aus der Kreisfrequenz ω0 der ungedämpften
Schwingung und der Dämpfungskonstanten δ:
q
2π
und
ωR = ω02 − δ 2 mit ωR =
T
ω0 =
2π
T0
(21)
Daraus kann die Schwingungsdauer T0 berechnet werden, die das Pendel ohne Dämpfung hätte:
(
T02 = T 2 ·
Λ
1+
2π
2 )−1
(22)
Der berechnete Wert für die Erdbeschleunigung muss daher mit dem Korrekturfaktor
Λ
KD = 1 +
2π
2
(23)
multipliziert werden, um den Einfluss der Dämpfung zu berücksichtigen.
Literatur
[1] F. Kohlrausch, Praktische Physik 3, B.G. Teubner, Stuttgart (24. Auflage) 1996, ISBN 3-519-23000-3
Seite 10 von 11
Laborpraktikum Physikalische Grundlagen, g-Bestimmung
HTW Berlin
Fragenkatalog
Diese Fragen sollten Sie für das Labortestat beantworten können:
1. Wie sieht der experimentelle Aufbau aus?
2. Wie lautet (in erster Näherung) der Zusammenhang zwischen der Periodendauer T0 und der Pendellänge L
bei einem mathematischen Pendel? (Formel)
3. Bei dieser Formel handelt es sich um einen nichtlinearen Zusammenhang. Wie kann man diese Formel umformen bzw. welche Größen kann man in einem Diagramm auftragen, um die Auswertung dennoch mit der
Methoden der linearen Regression durchzuführen?
Aus welcher Größe der Geradengleichung bestimmt man die Erdbeschleunigung?
4. Was kennzeichnet ein mathematisches Pendel?
Welche Bedingungen muss ein Pendel erfüllen, um annähernd als mathematisches Pendel zu gelten?
5. Was ist (beim vorliegenden Versuch) der Vorteil davon, wenn man nicht die gesamte Pendellänge misst
sondern nur die Änderung der Pendellänge?
6. Mit welcher Einschränkung bzw. unter welcher Bedingung gilt die unter Punkt 2 gefragte Formel für die
Periodendauer einer Pendelschwingung als Funktion der Pendellänge?
7. Zur Bestimmung der Erdbeschleunigung wird Periodendauer als Funktion der Pendellänge gemessen. Welche
Größe wird bei dieser Messreihe (möglichst) konstant gehalten? Wieso?
8. Welche Messung/Messungen werden durchgeführt um die Amplitudenabhängigkeit der Schwingungsdauer zu
überprüfen?
9. Welchen Einfluss hat die Dämpfung auf die Schwingungsdauer einer Pendelschwingung?
Welche Messung/Messungen werden durchgeführt um diesen Einfluss zu untersuchen?
S. Kröger, A. Bartelt, C. Becker und das Physikteam
Hochschule für Technik und Wirtschaft
Fachbereich 1: Ingenieurwissenschaften - Energie und Information
Wilhelminenhofstraße 75A
D-12459 Berlin
Seite 11 von 11