Elemente der Stochastik (SoSe 2016) 7. ¨Ubungsblatt

Dr. M. Weimar
23.05.2016
Elemente der Stochastik (SoSe 2016)
7. Übungsblatt
Aufgabe 1 (1+1+1=3 Punkte)
Maria, Joseph und Hannes gehen zusammen mit drei weiteren Personen zur Nikolausparty ihres Tischtennisclubs. Es wird gewichtelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) Maria ein Geschenk erhält, welches von Joseph oder Hannes stammt?
b) Maria und Joseph ihre eigenen Geschenke zurückerhalten?
c) Niemand der Anwesenden sein eigenes Geschenk zurückerhält?
Aufgabe 2 (2+3=5 Punkte)
In einem Hostel sind noch sieben Vierbettzimmer frei. Wieviele Möglichkeiten gibt es,
a) vier neue Gäste
b) fünf neue Gäste
auf diese Zimmer zu verteilen? Dabei sind Mehrfachbelegungen zugelassen und von Interesse ist nur
die Anzahl der Personen pro Zimmer.
Aufgabe 3 (2 Punkte)
An einem Seminar zur Didaktik nehmen sechs Studierende teil. In der ersten Woche des Semesters
wird festgelegt, dass in den verbleibenden zwölf Semesterwochen jeder Teilnehmer zwei Vorträge halten
soll. Wieviele Möglichkeiten gibt es die Themen zu verteilen, wenn an jedem Seminartermin genau ein
Vortrag gehalten wird?
Aufgabe 4 (1 Punkt)
Wie oft kann man in der nachfolgenden Abbildung das Wort Zufall lesen, wenn man aus jeder Zeile
(beginnend von der obersten) genau einen Buchstaben auswählt, der “unmittelbar schräg unter” dem
aus der vorhergehenden Zeile gewählten Buchstaben steht?
(Zwei Möglichkeiten sind bereits eingezeichnet)
Abgabe (freiwillig): In den Tutorien während der 9. Vorlesungswoche (06.–10.06.2016)
Musterlösung zum 7. Übungsblatt Elemente der Stochastik (SoSe 2016)
Aufgabe 1.
a) Es gibt 6 (= 3 + 3) mögliche Geschenke für Maria, genau zwei davon stammen von Joseph und
Hannes. Die gesuchte W-keit ist damit
2
1
= ≈ 0.3333.
6
3
b) Es gibt 6! mögliche Anordnungen aller 6 Geschenke. Erhalten Maria und Joseph ihre eigenen Geschenke zurück, so können die restlichen 4 beliebig angeordnet werden. Dafür gibt es 4! Möglichkeiten. Die gesuchte W-keit ist damit
4!
1
1
=
=
≈ 0.0333.
6!
6·5
30
c) In Beispiel 6.32 haben wir festgestellt, dass die gesuchte W-keit bei n Wichtel-Teilnehmern durch
n
dn X (−1)j
=
n!
j!
j=0
gegeben ist. Hier ist n = 6, sodass
6
d6 X (−1)j
=
6!
j!
j=0
(−1)0 (−1)1 (−1)2 (−1)3 (−1)4 (−1)5 (−1)6
+
+
+
+
+
+
0!
1!
2!
3!
4!
5!
6!
1 1
1
1
1
=1−1+ − +
−
+
2 6 24 120 720
53
=
≈ 0.3681.
144
=
Aufgabe 2. Vgl. Bsp. 6.20 und die “method of stars and bars”!
a) Die zugrunde liegende kombinatorische Figur ist “Ungeordnete Stichprobe mit Zurücklegen vom
Umfang k = 4 aus Urne mit n = 7 Kugeln”. Dafür gibt es nach Satz 6.18
10 · 9 · 8 · 7
n+k−1
10
10!
=
= 10 · 3 · 7 = 210
=
=
k
4
4! · 6!
4·3·2
Möglichkeiten.
b) Analog zu a) gibt es
n + k0 − 1
11
11!
11 · 10 · 9 · 8 · 7
=
=
=
= 11 · 2 · 3 · 7 = 462
0
k
5
5! · 6!
5·4·3·2
Möglichkeiten k 0 = 5 Gäste auf n = 7 Zimmer aufzuteilen. Da es sich nur um Vierbettzimmer
handelt müssen aber die 7 Möglichkeiten in denen alle 5 Gäste einem einzigen Zimmer zugeordnet
werden würden ausgeschlossen werden. Es bleiben also
462 − 7 = 455
Möglichkeiten.
Aufgabe 3. Nach Folgerung 6.27 gibt es
12
12!
=
2! · 2! · 2! · 2! · 2! · 2!
2, 2, 2, 2, 2, 2
12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2
=
2·2·2·2·2·2
= 6 · 11 · 10 · 9 · 7 · 3 · 5 · 4 · 3
= 7‘484‘400
Arten n = 12 Vorträge auf r = 6 Studierende zu verteilen, sodass jeder von ihnen kj = 2 halten muss
(j = 1, . . . , 6).
Aufgabe 4. Vgl. Kütting/Sauer, Sect. 2.8.6/Aufg. 10, S.166 + Lösung in Sect. 11.2.5, S.381. Es muss
mit dem einzig vorhandenen Z begonnen werden. Für jeden der restlichen 5 Buchstaben in Zufall gibt
danach stets genau zwei Möglichkeiten (rechts/links). Insgesamt gibt es also
1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 = 32
Wege durch das Diagramm.
Vorschläge für die Tutorien zum 7. Übungsblatt Elemente der Stochastik (SoSe 2016)
Aufgabe 5
Vier Spielkarten (Bube, Dame, König, Ass) liegen verdeckt auf dem Tisch und ein vermeintlicher
Hellseher gibt an, zu fühlen, welche Karte an welcher Stelle liegt. Sie vermuten, dass es sich um einen
Schwindler handelt, der einfach auf gut Glück rät. Mit welcher W-keit liegt er in diesem Fall bei
wenigstens einer Karte richtig?
LÖSUNG:
Die W-keit dafür, dass er (beim gleichverteilten Raten) bei keiner der Karten richtig liegt, ist d4 /4!,
wobei dn die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen von n Elementen bezeichnet (vgl. Aufg. 1c).
Die gesuchte W-keit ist damit gegeben durch
1−
d4
3
5
= 1 − = = 0.625.
4!
8
8
Aufgabe 6 (Vgl. Kütting/Sauer, Sect. 2.8.6/Aufg. 16, S.167 + Lösung in Sect. 11.2.5, S.381)
Betrachte die Toto 11er Wette aus Bsp. 6.15. Es gibt 311 = 177‘147 Möglichkeiten eine Tippreihe
auszufüllen. Genau eine dieser Möglichkeiten entspricht der richtigen Vorhersage für alle 11 Spiele. Im
schlimmsten Fall werden alle 11 Spiele falsch getippt.
a) Wieviele der 177‘147 möglichen Tipps enthalten genau k Fehler (k = 0, 1, 2, . . . , 11)?
b) Welche Anzahl falsch getippter Spiele ist am wahrscheinlichsten wenn eine Tippreihe zufällig
ausgefüllt wird?
c) Wie hoch ist die entsprechende W-keit in b)?
LÖSUNG:
a) Sei k ∈ {0, 1, 2, . . . , 11} gegeben. Dann gibt es
11
k
Möglichkeiten k der 11 Spiele auszuwählen, die falsch getippt werden. Für jeden der k Fehler
gibt es zudem genau zwei Möglichkeiten, da drei Zeichen (0, 1, 2) zur Verfügung stehen und nur
ein Zeichen jeweils richtig ist. Sind also k Spiele ausgewählt, so gibt es 2k Möglichkeiten diese
falsch zu tippen. Insgesamt enthalten daher
11
11!
· 2k =
· 2k
k
k! · (11 − k)!
der 177‘147 möglichen Tipps genau k Fehler.
b) Man werte die hergeleitete Formel einfach für jedes k = 0, 1, . . . , 11 aus! Für die ersten k ergibt
sich z.B.
1, 22, 220, 1‘320, 5‘280, . . .
Die Tabelle zeigt, dass k = 7 oder k = 8 Fehler am häufigsten vorkommen (jeweils 42‘240
Möglichkeiten).
c) Die W-keit dafür beträgt jeweils
42‘240
14‘080
=
≈ 0.2384.
177‘147
59‘049
Aufgabe 7
Gegeben seien n ≥ 3 Punkte im dreidimensionalen Raum, von denen keine 4 in einer gemeinsamen
Ebene liegen. Wieviele verschiedene Ebenen gibt es, die jeweils mindestens drei der n Punkte enthalten? Geben sie die Anzahl für n = 3, 4, 5 explizit an!
LÖSUNG:
Es lassen sich
n
n!
=
3
3! · (n − 3)!
verschiedene Mengen aus genau drei der n Punkte auswählen. Jede dieser Auswahlen bestimmt genau
eine Ebene. Da niemals vier (oder mehr) Punkte in einer Ebene liegen sollen, sind alle so konstruierten
Ebenen verschieden.
Für n = 3 Punkte gibt es also 33 = 1 Ebene, für n = 4 genau 43 = 4 und für n = 5 genau 53 = 10
Ebenen. Allgemein: n3 Ebenen bei n ≥ 3 Punkten.
Aufgabe 8 (Vgl. Kütting/Sauer, Sect. 2.8.6/Aufg. 17, S.167 + Lösung in Sect. 11.2.5, S.381f)
Wie groß ist die W-keit beim Lotto “6 aus 49” genau r ∈ {0, 1, . . . , 6} “Richtige” zu tippen? Ausführlicher formuliert: Wie groß ist die W-keit dafür, dass bei einer Lottoziehung am Ende genau r Übereinstimmungen mit einer vorliegenden Tippreihe vorhanden sind? (Die Superzahl werde der Einfachheit
halber nicht berücksichtigt!) Geben sie die W-keiten für r = 0 und r = 1 explizit an!
LÖSUNG:
Beim Lotto werden k = 6 aus n = 49 Kugeln ohne Zurücklegen ausgewählt. Es gibt 49
solcher
6
Auswahlen. Steht ein solcher Tipp fest, so hat die Lottofee 6r Möglichkeiten r der 6 getippen Zahlen
43
aus der Lottotrommel auswählen und es gibt 6−r
mögliche Auswahlen der verbleibenden 6−r Kugeln
mit den 43 nicht auf dem Tippschein angekreuzten Zahlen. Also gilt
43 6
“Anzahl der günstigen Fälle”
r · 6−r
.
P (“genau r Richtige”) =
=
49
“Anzahl der möglichen Fälle”
6
Auswerten liefert
P (“keine Richtige”) ≈ 43.596%
und
P (“genau 1 Richtige”) ≈ 41.302%.