WRUMS Übung 13 - Fakultät Statistik (TU Dortmund)

WRUMS
Übung 13
Christoph Kustosz ([email protected])
Mathematikgebäude Raum 715
Christoph Kustosz ([email protected])
WRUMS Übung 13
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Aufgabe 1
Eine Münze mit einer schwarzen und einer roten Seite soll überprüft
werden. Im Zuge der Überprüfung soll die Münze so lange geworfen
werden, bis zum ersten Mal die schwarze Seite oben liegt. Dabei
bezeichnet R die Anzahl der Würfe, die mit der roten Seite enden,
ehe das erste Mal die schwarze Seite erscheint und ps die
Wahrscheinlichkeit, dass die Münze nach einem Wurf schwarz zeigt.
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(a)
(a) Wie ist R unter H0 : ps = 1 − ps verteilt?
Ein einzelner Münzwurf kann durch X ∼ Ber (ps ) beschrieben
werden. Dabei gilt
P(X = 1) = ps = 1 − P(X = 0).
Sei
{X = 1} = Schwarze Seite liegt oben
{X = 0} = Rote Seite liegt oben.
R beschreibt dann die Anzahl der Misserfolge, bis zum ersten Mal
ein Erfolg (schwarz oben) vorliegt.
Damit ist (Handout 8 S.6-7) R geometrisch verteilt mit Parameter
ps .
Weiter gilt:
1
ps = 1 − ps ⇔ 2ps = 1 ⇔ ps =
2
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(a)
Verteilungsname: geometrische Verteilung
Parameterwert : 0.5
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(b)
(b) Wie muss der kritische Wert cα gewählt werden, damit durch
den Test mit der Entscheidung: Lehne H0 ab, wenn R > cα ein
exakter Test zum Niveau α = 1/8 für H0 : ps = 1 − ps gegen
H1 : ps < 1 − ps gegeben ist?
Für einen exakten Test mit Nievau α Test muss gelten:
P(Lehne H0 ab|H0 wahr) = α
Wenn wir ablehnen, falls R > cα heißt das:
P(R > cα |H0 gilt) = α
Unter H0 ist ps = 12 , also suchen wir cα , so dass
1
1
P(R > cα |ps = ) = .
2
8
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(b)
(b) Wie muss der kritische Wert cα gewählt werden, damit durch
den Test mit der Entscheidung: Lehne H0 ab, wenn R > cα ein
exakter Test zum Niveau α = 1/8 für H0 : ps = 1 − ps gegen
H1 : ps < 1 − ps gegeben ist?
Nun gilt, da R die geometrische Verteilung zu Parameter ps ist:
1
1
P(R ≤ x|ps = ) = 1 − ( )x+1
2
2
Also
1
1
P(R > x|ps = ) = ( )x+1
2
2
Damit können wir cα durch Lösen von
1
1
1
P(R > cα |ps = ) = ( )cα +1 = = α
2
2
8
bestimmen.
log ( 18 )
⇒ cα =
−1=2
log ( 21 )
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(b)
(b) Wie muss der kritische Wert cα gewählt werden, damit durch
den Test mit der Entscheidung: Lehne H0 ab, wenn R > cα ein
exakter Test zum Niveau α = 1/8 für H0 : ps = 1 − ps gegen
H1 : ps < 1 − ps gegeben ist?
Lösung: cα = 2 liefert exakten Test zum Niveau α = 18 .
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(c)
(c) Wie lauten P-Wert und Testentscheidung des Tests aus (b),
wenn 3 Würfe mit rot enden, ehe das erste mal schwarz kommt?
Nach Handout 12 gilt
αp = P(T (X ) > T (x)|H0 )
= P(R > 3|ps = 0.5)
= 1 − P(R ≤ 3|ps = 0.5)
1
1
= ( )3+1 =
2
16
Der P-Wert ist also
1
16
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(c)
(c) Wie lauten P-Wert und Testentscheidung des Tests aus (b),
wenn 3 Würfe mit rot enden, ehe das erste mal schwarz kommt?
Mit α = 18 sehen wir, dass
αp =
1
1
< =α
16
8
und lehnen daher H0 : ps = 0.5 zum Niveau α =
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1
8
ab.
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(c)
(c) Wie lauten P-Wert und Testentscheidung des Tests aus (b),
wenn 3 Würfe mit rot enden, ehe das erste mal schwarz kommt?
1
P-Wert: 16
Testentscheidung: Lehne H0 ab
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(d)
(d) Wie lautet der Wert γ(ps,1 ) der Gütefunktion des Tests aus (b)
an der Stelle ps,1 = 31 ?
Es gilt
γ(ps,1 ) = 1 − P( Lehne nicht ab|ps = ps,1 )
= 1 − P(T (X ) ≤ cα |ps = ps,1 )
1
= 1 − P(R ≤ 2|ps = )
3
2
8
1 2+1
= ( )3 =
= 1 − (1 − (1 − ))
3
3
27
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(d)
(d) Wie lautet der Wert γ(ps,1 ) der Gütefunktion des Tests aus (b)
an der Stelle ps,1 = 31 ?
8
Wert ist : 27
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