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ZfP-Sonderpreis der DGZfP beim Regionalwettbewerb Jugend forscht
NEUMARKT
Untersuchng eines Sensors für
optische Oberflächenvermessung auf größeren Meßfeldern
Philip Dienstbier
Schule:
Willibald-Gluck-Gymnasium
Dr.-Grundler-Str. 7
92318 Neumarkt in der Oberpfalz
Jugend forscht 2011
Willibald-Gluck-Gymnasium
Schriftliche Arbeit für Jugend forscht
aus dem Fach
Physik
Thema der Arbeit:
Untersuchung eines Sensors
für optische Oberflächenvermessung
auf größeren Messfeldern
Verfasser:
Lehrer:
Leiter(Uni):
Betreuer(Uni):
Philip Dienstbier
Martin Zieris
Prof. Gerd Häusler
M. Sc. Zheng Yang
Diese Forschungsarbeit ist von mir am Institut für Optik der Universität Erlangen in
der Abteilung OSMIN durchgeführt worden.
ii
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
iii
Kurzfassung
iv
1 Aufgabenstellung und Motivation
1
2 SIM - 3D Oberflächenvermessung mit strukturierter Beleuchtung
2.1 Messprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Laboraufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5
3 Theorie der Signalentstehung und Auswertung
3.1 Geometrisches Modell der Signalentstehung . . . .
3.1.1 Signalentstehung auf einem ebenen Spiegel
3.1.2 Einfluss der Neigung bei einem Spiegel auf
MTF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Die Auswertealgorithmen . . . . . . . . . . . . . .
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die
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Reflexion und die
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4 Experimentelle Untersuchungen
4.1 Lokale Genauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Planare Oberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Geneigte Oberfläche . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Globale Genauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Ursachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Messuntersuchung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Experimentelle Untersuchung des Astigmatismus
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5 Zusammenfassung der Ergebnisse
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Literaturverzeichnis
16
iii
Abbildungsverzeichnis
2.1 Schema des Makro-SIM Aufbaus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Intensitätsbild eines Objekts mit einer erhöhten Stufe in der Bildmitte,
die sich in der Fokusebene befindet (hoher Kontrast des Musters). . . . .
2.3 a) 4-Phasen-Shift für mehrere Pixel mit unterschiedlichem Kontrast. b)
Kontrastkarte eines Messobjekts durch Kontrastberechnung in jedem Pixel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Kontraststaffel durch Berechnung der Kontrastkarte an jeder z-Position. .
2.5 a) Ausgewertete Kontrastkurven für zwei Pixel mit verschiedenen Höhen.
b) Berechnete Höhenkarte des Messobjekts. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Versuchsaufbau als Skizze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Laboraufbau des Makro-SIM-Sensors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 a) Spiegelung der Abstrahlcharakteristik. b) Skizze für die Herleitung der
geometrischen MTF für einen ebenen Spiegel. [4, S. 17] . . . . . . . . . .
3.2 Vergleich von theoretischer und realer Messkurve. . . . . . . . . . . . . .
3.3 Effektiver Unschärfebereich für einen ungeneigten und geneigten Spiegel
im Fokus. [4, S. 23] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Unschärfebereich für die Streifenrichtung in Neigungsrichtung und die
dazu orthogonale Streifenrichtung. [4, S. 23] . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Fein abgetastete Messkurve mit Gauß-Approximation (engl. Fit) im
Hauptmaximum. Für den Fit wurden nur Werte oberhalb einer Grenze
(engl. Threshold) verwendet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.1 a) Höhendaten mit Grundform durch globalen Fehler. b) Höhendaten
nach Abzug der Grundform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Histogramm aus den Höhenabweichungen mit entsprechender Normalverteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Abhängigkeit der Genauigkeit von der Wahl der Streifenfrequenz. . . . .
4.4 Einfluss der Neigung auf a) Kurvenbreite und b) Messunsicherheit. . . .
4.5 Bildfeldwölbung bei einer Abbildung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Globaler Fehler in Abgängigkeit vom Neigungswinkel. . . . . . . . . . . .
4.7 a) Höhenkarte für horizontales Muster. b) Höhenkarte für vertikales Muster. c) absolute Differenz der für beide Streifenrichtungen ermittelten
Höhen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5.1 Kontrastkarte des Mottenkopfes.
15
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iv
Kurzfassung
In dieser Arbeit soll das bestehende Prinzip eines optischen 3D-Sensors für die Vermessung von Oberflächen auf größere Messfelder übertragen und der zugehörige Sensor
vorgestellt und untersucht werden. Das zugrunde liegende Messprinzip ist die „Fokussuche durch strukturierte Beleuchtung“, kurz SIM für Structured Illumination Microscopy
genannt. SIM wurde am Lehrstuhl für Optik der Universität Erlagen entwickelt. Im
Rahmen der Arbeit konnte ein funktionsfähiger Laboraufbau mit kommerziellen, nichttelezentrischen Objektiven zu je ca. 1000 Euro realisiert und das Messprinzip von einer
Feldgröße von weniger als 1 mm x 1 mm auf 3.6 mm x 4.8 mm erweitert werden.
Durch das Messprinzip kann der Sensor sowohl raue, als auch spiegelnde Freiformen
erfassen. Freiformen sind Oberflächen wie z.B. asphärische Linsen, die eine nahezu beliebige Form besitzen können und daher schwer zu vermessen sind. Der Sensor könnte
in der industriellen Fertigungskontrolle von z.B. Handyobjektiven eingesetzt werden.
In der Arbeit werden zuerst das Funktionsprinzip und die theoretischen Grundlagen
dargelegt. Anschließend wird der Sensor auf seine lokale Genauigkeit, d.h. wie gut man
kleinste Höhenstrukturen auflösen kann, untersucht. Es stellt sich heraus, dass eine lokale
Messunsicherheit von in etwa 1 µm mit dem jetzigen Aufbau möglich ist. Als Hauptlimitationen bei der erreichbaren Genauigkeit haben sich die Aberrationen der Objektive
erwiesen, was durch die Verwendung von Spezialobjektiven optimiert werden könnte.
Neben den lokalen Effekten haben sich durch die verwendete Optik globale Fehler gezeigt, die ebenfalls durch die Aberrationen verursacht werden. Das Ausmaß des globalen
Fehlers und die verschiedenen Einflüsse wie z.B. Objektneigung wurden untersucht.
Im Rahmen der Untersuchungen wurden auch zahlreiche technische und biologische Objekte vermessen, die das mögliche Anwendungsfeld des Sensors darlegen sollen. Sämtliche
von mir gemessenen Objekte befinden sich im Anhang der Arbeit.
Besonders bei biologischen Proben fasziniert die Möglichkeit, Abbildungen ähnlich denen von Rasterelektronenmikroskopen (REM) von großen Ausschnitten wie z.B. dem
Kopf eines Insekts zusätzlich zu den quantitativen Höhendaten zu erhalten (vgl. Abb.
5.1). Diese Abbildungen besitzen wie die eines REM eine sehr plastische und räumliche Wirkung und eine sehr große Schärfentiefe. Die maximale laterale Auflösung ist bei
diesem optischen Sensor zwar wegen der Wellennatur des Lichts geringer als bei einem
REM, dafür ist der Sensor aber erheblich günstiger und kann im Gegensatz zu einem
REM quantitativ verlässliche Höhendaten bereitstellen.
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1 Aufgabenstellung und Motivation
In dieser Arbeit soll das bestehende Prinzip eines optischen 3D-Sensors für die Vermessung von Oberflächen auf größere Messfelder übertragen und der zugehörige Sensor
vorgestellt und untersucht werden. Das zugrunde liegende Messprinzip ist die „Fokussuche durch strukturierte Beleuchtung“, kurz SIM für Structured Illumination Microscopy
genannt. Der makroskopische Sensor sollte mit nicht-telezentrischen, kommerziellen Videoobjektiven realisiert werden und wenn möglich eine lokale Höhenauflösung von einem
Mikrometer erreichen. Durch das Messprinzip kann dieser sowohl raue, als auch spiegelnde Freiformen erfassen. Freiformen sind Oberflächen wie z.B. asphärische Linsen,
die eine nahezu beliebige Form besitzen können.
SIM wurde am Lehrstuhl für Optik der Universität Erlagen entwickelt. Der dort entstandene mikroskopische Sensor ermöglicht die Vermessung kleinster Objektstrukturen
mit einer Höhengenauigkeit von nur wenigen nm über einen vergleichsweise großen Höhenbereich [5]. Der mikroskopische Sensor besitzt zwar eine hohe laterale Auflösung,
d.h. er ist in der Lage kleinste nebeneinanderliegende Strukturen aufzulösen, kann dafür
aber nur sehr kleine Flächen, typischerweise deutlich unter 1 mm x 1 mm, auf einmal
erfassen.
Die Möglichkeit, größere Oberflächen im Bereich von 4 mm x 4 mm nach diesem viel
versprechenden Prinzip vermessen zu können, war die Motivation, eine makroskopische
Variante des Sensors zu schaffen. Nicht zuletzt wegen der zunehmenden Verwendung
von sehr kleinen Optiken bei Geräten wie Handyobjektiven oder winzigen Beamern,
besteht ein großes Interesse der Industrie, solche Oberflächen z.B. zur Qualitätskontrolle
zu prüfen. Diese spiegelnden Freiformen mit zum Teil großen Neigungen und großer
Höhendynamik lassen sich mit einem solchen Sensor vermessen. Nach einigen Praktika
als Schüler am Lehrstuhl wurde mir die Möglichkeit gegeben, dieses Forschungsprojekt
als Facharbeit zu starten.
Ziel der Arbeit ist es, den Sensor nach seiner Messgenauigkeit auf spiegelnden Oberflächen zu untersuchen, mögliche Einflussfaktoren auf diese zu identifizieren und zu
verstehen. Damit kann das messtechnische Potential des Sensors festgestellt und möglicherweise optimiert werden.
Die Darlegung des Prinzips soll in die Thematik und das Prinzip von SIM einführen und
dem Leser den Messablauf zeigen. Wichtig für die Untersuchung der Messunsicherheit
ist ein genaues Verständnis der Theorie der Signalentstehung für ebene und geneigte
Objekte und der Signalauswertung. Im Rahmen der experimentellen Untersuchungen
werden die verschiedenen Parameter des Sensors und der Einfluss der Objektneigung
analysiert.
2
2 SIM - 3D Oberflächenvermessung mit
strukturierter Beleuchtung
Im ersten Teil des Kapitels soll das Prinzip hinter der Fokussuche mit strukturierter
Beleuchtung erklärt werden und der Ablauf einer Messung Schritt für Schritt dargelegt
werden. Dies ist wichtig, um die Arbeitsweise des Sensors zu verstehen und wie die
einzelnen Schritte ineinandergreifen.
Im zweiten Teil ist die konkrete Umsetzung des Laboraufbaus dargestellt.
2.1 Messprinzip
Abbildung 2.1: Schema des Makro-SIM Aufbaus.
Der Aufbau für einen SIM-Sensor besteht aus einer Beleuchtungs- und einer Beobachtungsachse. Die Beleuchung wird, wie in Abb. 2.1 schematisch dargestellt, durch einen
Strahlteiler in die Beobachtungsachse eingekoppelt. Es wird ein Unendlichstrahlengang
realisiert, d.h. eine scharfe Abbildung erfolgt von Brennebene zu Brennebene. Im Beobachtungsstrahlengang werden zwei gleiche Objektive verwendet, sodass es zu einer
1:1-Abbildung des Objekts auf dem CCD-Chip kommt.
2.1 Messprinzip
3
Abbildung 2.2: Intensitätsbild eines Objekts mit einer erhöhten Stufe in der Bildmitte, die sich
in der Fokusebene befindet (hoher Kontrast des Musters).
Statt einer homogenen Beleuchtung wird in die Fokusebene ein Sinusmuster projiziert
(Abb. 2.1). Auf dem CCD-Chip wird somit ein Überlagerung aus dem Muster und der
dem Objektiv zugewandten Seite des Objekts abgebildet (Abb. 2.2). Die zugewandte
Seite wird im Folgenden kurz als Objekt bezeichnet.
Das Muster erscheint nur dann scharf, wenn sich das Objekt genau in der Fokusebene
befindet. Ist das Objekt oder ein Teil davon außerhalb der Fokusebene, so nimmt die
Schärfe oder gleichbedeutend der Kontrast des Musters ab. Das Sinusmuster ändert
hierbei aber nur seinen Kontrast, es bleibt weiterhin ein idealer Sinus mit unveränderter
Phase. Der Kontrast stellt somit ein geeignetes Maß für die Suche nach dem Fokus dar,
denn an der Stelle mit maximalem Kontrast befindet sich der Fokus.
Abbildung 2.3: a) 4-Phasen-Shift für mehrere Pixel mit unterschiedlichem Kontrast. b) Kontrastkarte eines Messobjekts durch Kontrastberechnung in jedem Pixel.
Um diese Stelle zu finden, ist es nötig, den Begriff des Kontrasts exakt zu definieren
und quantitativ messen zu können. Ein ideales zweidimensionales Sinusstreifenmuster
kann durch I(x, y) = I0 (1 + C · sin(2πν0 x + ϕ)) beschrieben werden. Dabei ist I0 die
Grundhelligkeit, ν0 die Streifenfrequenz,ϕ eine beliebige Phase und C mit 0 ≤ C ≤ 1
wird als Kontrast definiert. Dieser Kontrast kann lokal in jedem einzelnen Pixel durch
einen sog. 4-Phasen-Shift gemessen werden (Abb. 2.3.a ). Es werden hierzu vier Aufnahmen I1 bis I4 des Musters gemacht und der Sinus nach jedem Bild um π2 in der Phase
2.1 Messprinzip
4
verschoben. Aus diesen vier Bildern lässt sich nun der Kontrast C(x, y) in jedem Pixel
nach folgender Formel [4, S. 18] berechnen:
!
(I2 − I4 )2 + (I1 − I3 )2
C(x, y) = 2 ·
(2.1)
(I1 + I2 + I3 + I4 )2
Eine lokale Auswertung, d.h. unabhängig von den Nachbarpixeln ist nötig, denn verschiedene Pixel können zu verschiedenen Objekthöhen gehören. Durch Auswertung aller
Pixel erhält man eine Kontrastkarte mit dem Kontrast für jeden einzelnen Pixel (Abb.
2.3.b ). Je nach lokaler Fokuslage des Objekts ergeben sich hohe oder niedrige Kontrastwerte. Das Objekt wird nun schrittweise durch die Fokusebene gefahren und an jeder
angefahrenen Position wird eine solche Kontrastkarte erstellt. Man erhält eine Kontraststaffel in z-Richtung (Abb. 2.4).
Abbildung 2.4: Kontraststaffel durch Berechnung der Kontrastkarte an jeder z-Position.
Betrachtet man nun die Kontrastwerte in jedem einzelnen Pixel entlang der z-Achse, so
erhält man seine „Kontrastantwort“ oder „Kontrastkurve“ in Abhängigkeit von z, wie in
Abb. 2.5.a für zwei verschiedene Pixel zu sehen ist.
Da diese Kurven aufgrund der Schrittweite des Linearmotors für die Objektverschiebung
(vgl. Abb. 2.6) nicht beliebig fein abgetastet werden können, berechnen die Auswertealgorithmen aus den Messwerten die erwartete Position des maximalen Kontrastes. Die
z-Position des maximalen Kontrastes ist die Position, an welcher sich der Objektpunkt
genau in der Fokusebene befindet. Die Fokusebene stellt eine absolute Bezugsebene für
die Objekthöhen dar.
Abbildung 2.5: a) Ausgewertete Kontrastkurven für zwei Pixel mit verschiedenen Höhen.
b) Berechnete Höhenkarte des Messobjekts.
2.2 Laboraufbau
5
Der Abstand zwischen zwei ermittelten Fokuspositionen (Abb. 2.5.a) entspricht der relativen Höhe der beiden Punkte, da genau die Höhe als z-Verschiebung notwendig ist,
damit nach dem ersten Punkt der zweite die Bezugsebene passiert. Da nun alle Objektpunkte gleichzeitig erfasst werden, erhält man auf diesem Weg eine vollflächige Höhenkarte (Abb. 2.5.b).
2.2 Laboraufbau
Abbildung 2.6: Versuchsaufbau als Skizze.
Abbildung 2.7: Laboraufbau des Makro-SIM-Sensors.
6
3 Theorie der Signalentstehung und Auswertung
Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit der Herleitung eines Modells für die Kontrastkurven, dem Einfluss der Objektneigung und der Signalauswertung.
3.1 Geometrisches Modell der Signalentstehung
Nach Beschreibung des Prinzips hinter SIM ist klar, dass man nach einer Funktion
suchen muss, welche von der Defokussierung in z-Richtung, dem Material (glatt/rau)
und der Neigung abhängen wird. Diese Kontrastübertragungsfunktion spielt in der Optik
allgemein eine sehr große Rolle und wird dort als MTF (Modulation Transfer Function)
bezeichnet. Für die Herleitung der MTF wird die geometrische Optik ohne Aberrationen
als Modell dienen.
3.1.1 Signalentstehung auf einem ebenen Spiegel
Abbildung 3.1: a) Spiegelung der Abstrahlcharakteristik.
b) Skizze für die Herleitung der geometrischen MTF für einen ebenen Spiegel.
[4, S. 17]
Da alle Strahlen der Abstrahlkegel durch den objektseitigen Brennpunkt F gehen müssen, erhält dieser Pixel P Intensität aus einem kreisförmigen Bereich, den wir Unschärfekreis nennen. Der gesamte Sensor kann dann einfach als eine parallele Anordnung
von vielen Pixeln mit gleicher MTF angesehen werden, was genau der Faltung mit dem
ortsinvarianten Kern entspricht. Das Muster M(x, y) mit der Gitterfrequenz ν0 , dessen Richtung wir o.B.d.A in x-Richtung legen und dessen Anfangsphase wir auf ϕ = 0
3.1 Geometrisches Modell der Signalentstehung
7
setzen, ist:
M(x, y) = I0 [1 + sin(2πν0 x)]
Der Unschärfekreis D(x, y) mit dem Radius r = 12 DUnschärfe wächst linear mit der Defokusierung z.
"
"
#
x2 + y 2
1, falls "x2 + y 2 ≤ r
)=
D(x, y) = circ(
r
0, falls x2 + y 2 > r
Die inkohärente Überlagerung der Intensitätsverteilung im Pixel P kann als eine normierte Mittelung über den Bereich D(x, y) mit dem Muster M(x, y) berechnet werden.
Für die Intensitätsverteilung I(x, y) auf dem CCD-Chip folgt:
M(x, y) ∗ D(x, y)
I(x, y) = $$ +∞
D(x, y)dxdy
−∞
(3.1)
Die ausführliche Berechnung führt zu dem Ergebnis:
&
%
J1 (2πν0 r)
I(x, y) = I0 1 +
· sin(2πν0 x)
πν0 r
(3.2)
Die Modulation und damit der Kontrast des Musters wird durch die Besselfunktion
erster Art [6, S. 568] bestimmt.
' '
'
'
∞
(
' J1 (2πν0 r) ' ' J1 (4πν0 z tan(uApertur )) '
(−1)k x 1+2k
'='
' , J1 (x) =
( )
C(x, y, z) = ''
πν0 r ' ' 2πν0 z tan(uApertur ) '
k!(k + 1)! 2
k=0
(3.3)
Das ist die geometrische MTF (vgl. Theoriekurven in Abb. 3.2) mit einer Halbwertsbreite
von:
0.35
FWHMSpiegel =
(3.4)
ν0 tan(uApertur )
Da für einen idealen, ebenen Spiegel C(x, y, z) für alle (x, y) gleich und deshalb nur
die z-Abhängigkeit von Interesse ist, schreibe ich kurz C(z). Wie man sieht, hängt die
Kurvenbreite von der verwendeten Streifenfrequenz ν0 ab und die Kurven sind umso
schmaler, je größer die verwendete numerische Apertur ist. Die Nebenmaxima kommen
durch eine Kontrastumkehr nach Durchlaufen der Nullstelle zustande und sind kein
Messartefakt, sondern echtes Signal.
In Abb. 3.2 sieht man eine reale und eine theoretisch berechnete Kurve im Vergleich.
Der Maximalkontrast der theoretischen Kurve ist eigentlich immer 1, er wurde hier aber
zwecks Vergleichbarkeit auf denselben Wert wie für die reale Kurve gesetzt. Die Ursachen
dieses geringeren Maximalkontrasts sind Beugung und vor allem Aberrationen. Zudem
führen Aberrationen zu breiteren Kurven. Je größer die verwendete Blende ist, desto
weniger Aberrationen sind vorhanden und die realen Kurven weichen weniger von den
theoretischen ab. Die theoretische Kurvenbreite kann als eine untere Abschätzung für
die reale Kurvenbreite angesehen werden.
3.1 Geometrisches Modell der Signalentstehung
8
<;=19;25>?+3@+5#%'58195A92+1,+3B+21-@+5#""571.2-8+9+2
5
"%)
CD+-21+./2=+
7+00./2=+
"%(
:-392;09
"%$
"%'
"%&
"%!
"%#
"5
!!""
!#$"
!#""
!$"
"
$"
*+,-./01+2/3456513571.2-8+9+2
#""
#$"
!""
Abbildung 3.2: Vergleich von theoretischer und realer Messkurve.
3.1.2 Einfluss der Neigung bei einem Spiegel auf die Reflexion und die MTF
Da die Strahlen auch bei geneigtem Spiegel weiterhin durch den bildseitigen Brennpunkt
F laufen müssen, entsteht durch die gerichtete Reflexion des um α gekippten Spiegels im
Bereich der Aperturebene ein verschobener Kreis. Dieser wird durch die Aperturblende
zum Teil abgedeckt und es gelangt nur noch der Schnitt zwischen der Aperturöffnung
und dem reflektierten Licht zum Kamerapixel P . Dieser Schnitt zweier Kreise ergibt ein
Kreiszweieck (vgl. Abb. 3.3).
Abbildung 3.3: Effektiver Unschärfebereich für einen ungeneigten und geneigten Spiegel im
Fokus. [4, S. 23]
Der genutzte Teil der Apertur wird kurz „effektive Apertur“ genannt. Man kann nur Neigungen kleiner als den Aperturwinkel erfassen, denn für α ≥ uApertur wird das gesamte
reflektierte Licht blockiert. Diese effektive Apertur ist kleiner als die echte Apertur, d.h.
es wird nur über einen kleineren Teil des Musters gemittelt. Da die effektive Apertur
ebenfalls linear mit der Defokussierung anwächst, muss man weiter defokussieren, um
über einen vergleichbaren Bereich zu mitteln und somit einen vergleichbaren Kontrastabfall zu bekommen. Die Konsequenz sind breitere Kurven sowohl für vertikale als auch
horizontale Streifen.
Beim Fall des unverkippten Spiegels hat die Wahl der Streifenrichtung keine Auswirkungen auf die Kurvenbreite, da immer über einen rotationssymmetrischen Bereich gemittelt wird. Durch die Verkippung hat aber nun die effektive Apertur eine unterschiedliche
Ausdehnung in und orthogonal zur Neigungsrichtung. Anhand von Abb. 3.4 ist dies sehr
gut zu erklären.
Für den Abfall des Kontrastes ist nötig, dass sowohl über helle als auch dunkle Bereiche des Musters gemittelt wird, denn dann weichen die vier durch den 4-Phasen-Shift
gewonnen Intensitäten kaum noch von der Durchschnittsintensität ab.
3.2 Die Auswertealgorithmen
9
Abbildung 3.4: Unschärfebereich für die Streifenrichtung in Neigungsrichtung und die dazu
orthogonale Streifenrichtung. [4, S. 23]
Für Streifen in Neigungsrichtung ist die Ausdehnung des Scheibchens senkrecht zum
Muster klein. Es wird somit fast nur über einen der beiden Bereiche, hier dem hellen
Anteil des Musters, gemittelt. Man muss erheblich defokussieren um auch einen ähnlich
großen dunklen Bereich einzuschließen.
Bei einem Muster, welches orthogonal zur Neigung orientiert ist, hängt die Ausdehnung
des Scheibchens senkrecht zum Musters weniger von der Neigung ab und breits für eine
geringe Defokussierung wird über ähnlich große helle und dunkle Bereiche gemittelt.
Die Kontrastkurve fällt deshalb erheblich schneller für Streifenrichtungen orthogonal
zur Neigung, als für Streifenrichtungen in Neigungsrichtung ab. [4, S. 20-25]
3.2 Die Auswertealgorithmen
Das Ziel bei SIM ist es, das Maximum des Kontrastes und den so definierten Fokus
für jede Kurve aus einer gegebenen Anzahl von Messpunkten möglichst präzise unter
Ausnutzung aller Punkte zu bestimmen.
Abbildung 3.5: Fein abgetastete Messkurve mit Gauß-Approximation (engl. Fit) im Hauptmaximum. Für den Fit wurden nur Werte oberhalb einer Grenze (engl. Threshold)
verwendet.
Ein Ansatz, der sich bis jetzt bewährt hat, ist durch das Hauptmaximum der Kontrast2
kurven eine Gaußfunktion f (x) = a·eb(x−m) mit dem Maxiumum an Position m mit Hilfe
eines modifizierten „Least Square Fit“ [1] zu legen, wie man es in Abbildung 3.5 durchgeführt sieht. Dieser Algorithmus wird im Folgenden als Caruana-Methode bezeichnet.
Die Ähnlichkeit des Hauptmaximums mit einer Gaußfunktion lässt sich theoretisch damit begründen, dass das zentrale Maximum einer Besselfunktion große Ähnlichkeit mit
einer solchen besitzt. Praktisch ist die Verwendung durch die große Übereinstimmung
in vielen Experimenten und die sehr guten Ergebnisse gerechtfertigt.
10
4 Experimentelle Untersuchungen
4.1 Lokale Genauigkeit
Abbildung 4.1: a) Höhendaten mit Grundform durch globalen Fehler. b) Höhendaten nach
Abzug der Grundform.
Die lokale Genauigkeit gibt an, wie gut man in einem kleinen Bereich nahe der optischen
Achse messen kann. Sie ist ein Maß für die kleinsten noch erfassbaren Höhenstrukturen.
Diese hängen vom hochfrequenten Rauschen auf den Messdaten ab. Eine Definition der
lokalen Genauigkeit erfolgt über die Statistik.
Als Messobjekt für die Genauigkeitsuntersuchung dient ein ebener Spiegel, dessen Höhenabweichung von einer idealen Ebene typischerweise weniger als λ4 beträgt und dessen
Oberflächenrauigkeit vernachlässigbar klein ist.
Ziel ist es nun, nur noch die Abweichung der Messdaten von einer optimalen Ebene
vorliegen zu haben. Dies macht es nötig, globale Formabweichung und eine Verkippung
des Messobjekts herauszurechnen, wie es in Abb. 4.1 gezeigt wird.
Abbildung 4.2: Histogramm aus den Höhenabweichungen mit entsprechender Normalverteilung.
4.1 Lokale Genauigkeit
11
Trägt man nun die Anzahl der Abweichungen aus einem hinreichend großen Bereich
nahe der optischen Achse nach ihrem Wert auf, so erhält man ihre Verteilung in Form
eines Histogramms (vgl. Abb. 4.2). Von dieser Verteilung kann die Standardabweichung
σz , unabhängig von der Art der Verteilung, bereits als Maß für die Streuung der Werte
angesehen werden.
Wie man aber Abb. 4.2 entnehmen kann, ist die Verteilung der Werte in guter Näherung
eine Normalverteilung. Für die Normalverteilung liegen mögliche Messwerte im Bereich
von 4σz oder 6σz um den Erwartungswert µz = 0 mit einer Wahrscheinlichkeit von
95.5% und 99.7%. Sowohl der Bereich von 4σz , als auch der von 6σz wären eine geeignete
Definition für eine Messunsicherheit δz, wobei im Folgenden δz = 4σz verwendet wird.
4.1.1 Planare Oberfläche
Abbildung 4.3: Abhängigkeit der Genauigkeit von der Wahl der Streifenfrequenz.
In diesem Teil wird die Messunsicherheit auf dem planaren Spiegel in Abhängigkeit von
der Streifenfrequenz und der Anzahl der gemittelten Bilder für die Kontrastberechnung
untersucht und optimiert. Nach der geometrischen Theorie würde man erwarten, dass die
Messunsicherheit aufgrund der immer schmäleren Kurven mit höheren Gitterfrequenzen
besser werden müsste. Tatsächlich ist die optimale Streifenfrequenz aber bereits für 5
Linienpaare pro mm erreicht (vgl. Abb. 4.3), was sich unter Einbeziehung der sphärischen
Aberrationen erklären lässt. Es ist erstaunlich, dass mit diesen sehr breiten Kurven bei
niedrigen Streifenfrequenzen trotzdem eine so gute lokale Unsicherheit von δz ≈ 1µm
möglich ist. Ein Objektiv gleicher Apertur mit weniger Aberrationen würde somit zu
einer besseren lokalen Genauigkeit führen!
4.1.2 Geneigte Oberfläche
Der Einfluss der Neigung wurde theoretisch mit dem geometrischen Modell hergeleitet
und soll hier experimentell bestätigt werden. Wie das Modell vorhersagt, wächst die
Kurvenbreite mit zunehmendem Neigungswinkel immer schneller an (vgl. Abb.4.4.a).
Für das Muster parallel zur Neigungsrichtung wächst sie wie erwartet sehr viel schneller
an, als für das orthogonale.
4.2 Globale Genauigkeit
12
Abbildung 4.4: Einfluss der Neigung auf a) Kurvenbreite und b) Messunsicherheit.
Wie man Abb.4.4.b entnehmen kann, verhält sich die Messunsicherheit ähnlich, d.h. in
etwa proportional zur Kurvenbreite. Da aber auch Aberrationen und andere Effekte eine
Rolle spielen, ist der Zusammenhang nicht exakt proportional.
Man kann als Ergebnis festhalten, dass die Orientierung der Streifen bei der Vermessung geneigter, glatter Objekte einen Einfluss auf die lokale Genauigkeit hat, wobei die
orthogonale Richtung bessere Ergebnisse liefert. Für zunehmende Neigungswinkel wird
die Messunsicherheit aber auch für diese immer schlechter.
4.2 Globale Genauigkeit
Neben der lokalen Messunsicherheit gibt es aber auch systematische globale Fehler. Diese wirken sich kaum auf kleine Bereiche aus. So können feine lokale Strukturen durchaus
korrekt wiedergegeben werden, obwohl die Grobform stark von der realen Form abweicht.
Damit der Sensor auch global quantitativ verlässliche Daten liefert, ist eine solche Untersuchung unerlässlich.
4.2.1 Ursachen
Ursachen für den systematischen Fehler sind Abbildungsfehler des Objektivs. Zum globalen Fehler tragen im wesentlichen zwei Aberrationen bei, die Bildfeldwölbung und der
Astigmatismus.
Die Bildfeldwölbung tritt bei ausgedehnten Strahlenbündeln auf, welche schräg auf eine Linse treffen. Sie führt dazu, dass die Fokusebene zu einer gewölbten Fokusschale
deformiert wird (vgl. Abb.4.5). Jeder Feldpunkt besitzt deswegen eine leicht andere Fo-
4.2 Globale Genauigkeit
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kusposition. Die Bildfeldwölbung ist abhängig vom betrachteten Feld und wird zum
Rand hin stärker.
Abbildung 4.5: Bildfeldwölbung bei einer Abbildung.
Bei SIM führt die Bildfeldwölbung bei der Messung eines planaren Objekts direkt zu
einer schalenförmigen Höhenabweichung von einer Ebene, welche die Höhenmessung
verfälscht.
Die Bildfeldwölbung alleine führt bereits zur Bildung einer Fokusschale. Ist diese Schale
für sagittale und meridionale Strahlen verschieden, d.h. hat das Unschärfescheibchen
seine kleinste Ausdehnung für meridioniale und sagittale Strahlen an unterschiedlichen
Stellen, so spricht man von Astigmatismus. Dieser wird umso stärker, je weiter man von
der optischen Achse entfernt ist.
Die Auswirkungen des Astigmatismus auf SIM liegen auf der Hand. Da die Fokuspositionen für horizontale und vertikale Streifen jeweils durch die kleinste Ausdehnung der
zum Muster senkrechten Achse des Unschärfescheibchens bestimmt werden, wird sich
der Fokus für die beiden Streifenrichtungen aufgrund des Astigmatismus unterscheiden. Genauere theoretische Überlegungen zeigen, dass die stärkere Abweichung immer
senkrecht zur Streifenrichtung erfolgen müsste. [3, S. 103-104] [2, S. 226-230]
4.2.2 Messuntersuchung
Abbildung 4.6: Globaler Fehler in Abgängigkeit vom Neigungswinkel.
Wie man an der Messreihe in Abb. 4.6 erkennt, ist der globale Fehler für kleine Neigungswinkel des Spiegels sehr stabil. Die Form der Fokusebene erinnert wie erwartet,
4.2 Globale Genauigkeit
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an eine Schale und hängt stark vom Feldpunkt ab. Die Tatsache, dass kleine Neigungen
so gut wie keine Auswirkungen haben, kann möglicherweise auf die nichtzugänglichen
und nicht vollständig genutzten Pupillen zurückgehen. Es liegt nämlich dann der durch
den Reflexionskegel gebildete Kreis für kleine Neigungen vollständig in der Beobachtungsapertur. Die effektive Apertur und das Unschärfescheibchen bleiben gleich, was zu
einer identischen Abbildung führt. Auffällig ist aber, dass für größere Winkel der globale
Fehler extrem zunimmt. Eine denkbare Ursache hierfür ist die Wirkung der sphärischen
Aberrationen zusammen mit der durch die Neigung entstehenden, effektiven Apertur.
Insgesamt ist der globale Fehler somit positions- und neigungsabhängig.
4.2.3 Experimentelle Untersuchung des Astigmatismus
Wie bereits in der Theorie besprochen, hängt der Astigmatismus vom Feldpunkt und
der Richtung ab. Die Betrachtung der Höhenkarten für das horizontale und vertikale
Muster ( Abb. 4.7.a und Abb. 4.7.b ) zeigt eine deutliche Höhenabweichung senkrecht
zur jeweiligen Musterrichuntg. Dies entspricht genau der Art von Abweichung, wie sie
theoretisch zu erwarten war. Besonders deutlich wird der Effekt des Astigmatismus
nochmals, wenn man die Differenz beider Höhenkarten betrachtet (Abb. 4.7.c).
Neben der Position im Feld und der Objektneigung hat also auch die Wahl der Streifenrichtung einen entscheidenden Einfluss auf den systematischen Fehler.
Eine Kalibrierung, die eine der zentralen noch zu lösenden Aufgaben darstellt, muss all
diese Effekte berücksichtigen und wird sich deshalb als kompliziert erweisen.
Abbildung 4.7: a) Höhenkarte für horizontales Muster.
b) Höhenkarte für vertikales Muster.
c) absolute Differenz der für beide Streifenrichtungen ermittelten Höhen.
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5 Zusammenfassung der Ergebnisse
Es konnte ein funktionsfähiger Laboraufbau mit den kommerziellen, nichttelezentrischen Objektiven ( zu je ca. 1000 Euro) realisiert und das Messprinzip
auf eine Feldgröße von 3.6 mm x 4.8 mm erweitert werden.
Die Untersuchungen haben gezeigt, dass die (sphärischen) Aberrationen der Objektive
entscheidend für die erreichbare lokale Messgenauigkeit sind, da diese zu breiten Kurven bzw. einem schlechten Maximalkontrast führen. Die Auswertealgorithmen erlauben
trotz dieser Limitationen lokal eine sehr genaue Bestimmung der Höhenstruktur mit
einer lokalen Messunsicherheit von in etwa 1 µm. Durch die Verwendung von speziell
für diesen Sensor gebauten und optimierten Objektiven sollte diese Genauigkeit noch
deutlich gesteigert werden können.
Neben den lokalen Effekten haben sich durch die verwendete Optik globale Fehler gezeigt, die zumindest qualitativ untersucht und erklärt werden können. Diese Effekte
variieren besonders stark für große Objektneigungen, der Position im Messfeld sowie der
eingesetzen Beleuchtung, was eine zukünftige Aufgabe einer Kalibrierung von diesem
Fehler zu einer schwierigen Aufgabe machen wird.
Insgesamt haben die Untersuchungen trotzdem gezeigt, dass Makro-SIM das Potential
hat, eine sehr hohe lokale Genauigkeit zu erreichen. Wenn das Problem der globalen
Genauigkeit zufriedenstellend gelöst werden kann, könnte ein solcher Sensor wegen der
Vorteile der SIM-Technik Anwendung in der Messtechnik finden. Besonders bei biologischen Proben fasziniert die Möglichkeit, Abbildungen ähnlich denen von Rasterelektronenmikroskopen (REM) von großen Ausschnitten wie z.B. dem Kopf eines Insekts
zusätzlich zu den quantitativen Höhendaten zu erhalten (vgl. Abb. 5.1).
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Abbildung 5.1: Kontrastkarte des Mottenkopfes.
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Literaturverzeichnis
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the central Gaussian part of a spectral line and their use for detection of spectral
interference. In: Spectrochimica Acta 45 B (1990)
[2] Hecht, E. : Optics. Addison-Wesley, 1987
[3] Häusler, G. ; Peterhänsel, S. ; Ettl, S. ; Knauer, M. : Angewandte Optik
und optische 3D-Sensoren. 2009
[4] Kranitzky, C. : 3D-Mikroskopie mit strukturierter Beleuchtung, FriedrichAlexander-Universität Erlangen-Nürnberg, Diplomarbeit, 2009
[5] Kranitzky, C. ; Richter, C. ; Faber, C. ; Knauer, M. ; Häusler, G. : 3Dmicroscopy with large depth of field. In: DGaO (2009)
[6] Stöcker, H. : Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren.
Harri Deutsch, 1987