EXKURS: MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME In

EXKURS: MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
In diesem Abschnitt wiederholen wir zunächst grundlegende Definitionen und Eigenschaften im Bereich der Matrizenrechnung, die wahrscheinlich bereits in Ansätzen
aus der Schule bekannt sein werden, um uns daraufhin mit dem Zusammenhang
zwischen Matrizen und linearen Gleichungssystemen zu beschäftigen, indem wir
(m × n)-Matrizen als (lineare) Abbildungen Rn → Rm interpretieren. Am Ende
dieses Exkurses werden wir als Anwendung mithilfe des Gelernten den sogenannten
Satz vom Fußball beweisen, der besagt, dass es zu Beginn beider Halbzeiten eines
Fußballspiels (bei dem nur ein Ball benutzt wird) beim jeweiligen Anstoß zwei antipodale Punkte auf der Oberfläche des Balles gibt, die sich an genau derselben Stelle
im umgebenden Raum befinden.
Definition:
(i) Es seien m, n ∈ N. Eine (m × n)-Matrix A = (aij )1≤i≤m ist ein rechteckiges
1≤j≤n
Zahlenschema der Form

a11
 a21

A= .
 ..
a12
a22
..
.
···
···
..
.

a1n
a2n 

.. 
. 
am1
am2
···
amn
mit m Zeilen und n Spalten, deren Einträge aij ∈ R sind. Hierbei bezeichnet
aij oder Aij das Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte der Matrix A.
Für die i-te Zeile der Matrix A schreiben wir auch Ai· und für die j-te
Spalte entsprechend A·j. Die Menge der (m × n)-Matrizen bezeichnen wir
mit M (m × n). Für m = n spricht man von quadratischen Matrizen und
bezeichnet deren Gesamtheit kurz mit M (n).
(ii) Eine Matrix A ∈ M (m × n) kann mit einer Zahl r ∈ R skaliert werden

a11
 a21

r·A=r· .
 ..
a12
a22
..
.
···
···
..
.
 
a1n
r · a11
 r · a21
a2n 
 
..  =  ..
.   .
r · a12
r · a22
..
.
···
···
..
.

r · a1n
r · a2n 

.. 
. 
am1
am2
···
amn
r · am1
r · am2
···
r · amn
und zwei Matrizen A, B ∈ M (m × n) werden komponentenweise addiert
a12
a22
..
.
···
···
..
.
 
b11
a1n
 b21
a2n 
 
..  +  ..
.   .
b12
b22
..
.
···
···
..
.

b1n
b2n 

.. 
. 
am1 am2

a11 + b11
 a21 + b21

=
..

.
···
amn
bm1
bm2
···

bmn

a11
 a21

A+B = .
 ..
am1 + bm1
a12 + b12
a22 + b22
..
.
···
···
..
.
a1n + b1n
a2n + b2n
..
.
am2 + bm2
···
amn + bmn




(iii) Das Produkt C = A · B ∈ M (m × k) zweier Matrizen A ∈ M (m × n) und
B ∈ M (n × K) ist definiert durch C = (cij ) mit
cij =
n
X
ail · blj = ai1 · b1j + ai2 · b2j + . . . + ain · bnj .
l=1
Man beachte hierbei, dass das Produkt A·B nur erklärt ist, wenn A genauso
viele Spalten wie B Zeilen hat.
Bemerkung:
(i) Das neutrale Element bezüglich Matrizenmultiplikation ist die (n × n)Einheitsmatrix

1

0
In = 
.
 ..
0
0
..
.
..
.
···
···
..
.
..
.
0

0
.. 
.


0
1
mit lauter Einsen auf der Diagonalen als einzige von Null verschiedene
Einträge. Es gilt In · A = A und B · In = B für alle A ∈ M (n × k) und
B ∈ M (m × n).
(ii) Als “spezielle“ Matrizen interpretieren wir hier
Zeilenvektoren
 ebenfalls

x1
 
(x1 , . . . , xn ) ∈ M (1 × n) und Spaltenvektoren  ...  ∈ M (m × 1). Vekxm


x1
 
toren x ∈ Rn verstehen wir grundsätzlich als Spaltenvektoren x =  ... .
xn
(iii) Mittels Matrizenmultiplikation kann man Zeilen- und Spaltenvektoren miteinander multiplizieren und erhält eine reelle Zahl:
 
y1
 y2 
 
(x1 , x2 , . . . , xn ) ·  .  = x1 · y1 + x2 · y2 + . . . xn · yn ∈ M (1) = R
 .. 
yn
Aufgefasst als Vektoren im Rn , nennt man dieses Produkt das 
kanonische

x1
 
Skalarprodukt oder das Standardskalarprodukt der Vektoren x =  ...  und
xn


y1
 .. 
y =  .  im Rn und bezeichnet dies auch mit
yn
   
* x1
y1 +
 ..   .. 
hx, yi =  .  ,  .  = xT · y.
xn
yn
Dabei bedeutet die Notation xT lediglich, dass aus dem Spaltenvektor x
ein Zeilenvektor gemacht wird. Wir kommen auf diese Notation an späterer
Stelle noch einmal zurück.
Das Skalarprodukt kann verwendet werden, um Winkel zwischen Vektoren zu
messen.
Bemerkung: Nach der Ungleichung von Cauchy-Schwarz gilt für x, y ∈ Rn
−1 ≤
hx, yi
≤1
kxk · kyk
p
p
wobei hier kzk = hz, zi = z12 + . . . + zn2 die Länge des Vektors z ∈ Rn bezeichnet. Somit gibt es genau eine Zahl ](x, y) ∈ [0, π] mit
cos(](x, y)) =
hx, yi
.
kxk · kyk
Diese Zahl ](x, y) nennt man den Winkel zwischen x und y. Insbesondere sind
x und y genau dann orthogonal, d.h. ](x, y) = π/2 (=
ˆ 90◦ ), wenn hx, yi = 0. In
diesem Fall schreiben wir x ⊥ y.
Wir kommen nun zu der schon angekündigten Interpretation von Matrizen als
Abbildungen.
Definition: Es sei A ∈ M (m×n). Dann erhalten wir eine Abbildung fA : Rn → Rm
duch fA (x) = A · x.
Bemerkung:
(i) Es gilt fA (λ · x) = λ · fA (x) und fA (x + y) = fA (x) + fA (y) für alle
x, y ∈ Rn und λ ∈ R. Eine solche Abbildung nennt man linear und jede
lineare Abbildung ist von dieser
(siehe (ii)).
 Form

 
0
1
1
0
 
 
 
(ii) Es bezeichne e1 =  .  , e2 = 0 und ganz allgemein sei ei der Vektor im
 .. 
 .. 
.
0
0
Rn mit einer 1 an der i-ten Stelle und sonst nur Nullen, der sogenannten
i-te kanonische Einheitsvektor im Rn . Durch direktes Nachrechnen sieht
man dann, dass gilt
 
a1i
 a2i 
 
fA (ei ) =  .  = A·i
 .. 
ani
d.h. die i-te Spalte von A ist das Bild des i-ten Einheitsvektors unter der
Abbildung fA . Ist umgekehrt L : Rn → Rm eine lineare Abbildung und
A ∈ M (m × n) die Matrix, deren i-te Spalte gerade durch das Bild L(ei )
gegeben ist, so gilt L = fA (vgl. Übung).
Beispiel: Ein lineares Gleichungssystem (kurz: LGS) mit m Gleichungen und n
Unbekannten ist von der Form:
a11 · x1 + a12 · x2 + . . . + a1n · xn = b1
a21 · x1 + a22 · x2 + . . . + a2n · xn = b2
..
.
..
.
am1 · x1 + am2 · x2 + . . . + amn · xn = bm
und führt über die Koeffizientenmatrix A = (aij ) auf die Matrix-/Vektorgleichung
 
 
b1
x1
 .. 
 .. 
n
A · x = b bzw. fA (x) = b mit x =  .  ∈ R und b =  .  ∈ Rm .
xn
bm
Die Frage nach der Lösbarkeit/Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems entspricht daher der Bestimmung von Urbildern der Abbildung fA : Rn → Rm . Ist
diese Abbildung surjektiv, gibt es somit für jede rechte Seite b eine Lösung des
LGSs und ist fA injektiv, so ist jede Lösung (falls existent) eindeutig. Anschaulich
entspricht die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems, wie in der Vorlesung
gesehen, einer Schnittmenge von geometrischen Objekten (Hyperebenen), wobei n
die Dimension des zugrundeliegenden Raumes und m die Anzahl der Objekte ist.
Definition: Eine Matrix A ∈ M (n) ist invertierbar, falls es eine Matrix B ∈ M (n)
mit A · B = B · A = In gibt. Eine solche Matrix B ist dann eindeutig bestimmt und
wir mit A−1 bezeichnet und inverse Matrix von A genannt.
Satz:
(i) Sind A, B ∈ M (n) invertierbar, so ist auch A · B ∈ M (n) invertierbar mit
(A · B)−1 = B −1 · A−1 .
(ii) Eine Matrix A ∈ M (n) ist genau dann invertierbar, wenn die Abbildung
fA : Rn → Rn bijektiv ist. In diesem Fall ist dann fA−1 = fA−1 .
Die Implikation “⇐“ von Teil (ii) beweisen wir in dieser Vorlesung nicht. Der
Rest des Beweises wird als Übungsaufgabe gestellt.
Beispiel: Ist A ∈ M (n) die Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems
und ist A invertierbar, so gibts es für jede rechte Seite b ∈ Rn genau eine Lösung
des LGSs und zwar x̄ = A−1 · b, denn
fA (x̄) = A · x̄ = A · (A−1 · x) = (A · A−1 ) · x = In · x = x.
Definition/Satz:
(i) Die Determinante einer Matrix A =
a
c
b
∈ M (2) ist det(A) := ad − bc
d
und die Determinante einer Matrix


a b c
A = d e f  ∈ M (3)
g h i
ist det(A) = a · e · i + b · f · g + c · d · h − c · e · g − a · f · h − b · d · i (Formel
von Sarrus).
Eine Matrix A ∈ M (1) entspricht einfach einer reellen Zahl. Der Vollständigkeit halber definieren wir die Determinante in diesem Fall durch det(A) =
A.
(ii) Eine Matrix A ∈ M (n) mit n ≤ 3 ist genau dann invertierbar, wenn
a b
det(A) 6= 0 gilt. Ist A =
∈ M (2), so ist in diesem Fall
c d
1
1
d −b
d −b
·
=
A−1 =
−c a
det(A)
ad − bc −c a
Sind Verwechselungen ausgeschlossen, schreibt man oft auch einfach det A statt
det(A). Ist det A 6= 0, so ist im Fall n = 1 die Zahl A 6= 0 und A−1 = 1/A. Im
Fall n = 2 wird A−1 durch die obige Formel gegeben, wie man leicht durch direktes
Nachrechnen überprüfen kann. Für den Fall n = 3 kann man, falls detA 6= 0,
ebenfalls eine Formel für die Koeffizienten der inversen Matrix A−1 in Termen der
Koeffizienten von A angeben, worauf wir hier allerdings nicht näher eingehen wollen.
Dass die Determinante einer invertierbaren Matrix ungleich Null sein muss, folgt
aus dem nächsten Satz.
Satz: Es seien A, B ∈ M (n), n ≤ 3, invertierbar. Dann gilt:
(i) det In = 1 und det(A · B) = det(A) · det(B).
(ii) Bezeichnen wir mit AT = (aji ) die sogenannte transponierte Matrix von
A, deren Element ATij gerade dem Element Aji von A entspricht, so gilt
det(AT ) = det(A) und (A · B)T = B T · AT .
1
(iii) det(A−1 ) = det(A)−1 = det(A)
.
Beweis: Die Punkte (i) und (ii) beweist man durch direktes Nachrechnen. Die
Aussage in (iii) folgt dann aus
1 = det(In ) = det(A · A−1 ) = det(A) · det(A−1 )
also det(A−1 ) =
1
detA .
Bemerkung: Die Determinante einer Matrix A =
v1
v2
w1
w2
entspricht der ori v1
entierten Fläche des Parallelotops in der Ebene, das von den Vektoren v =
v2
w1
und w =
aufgespannt wird (vgl. hierzu Kapitel 3.1.1. in “Lineare Algebra“
w2
von Gerd Fischer). Analog entspricht die Determinante einer Matrix


| | |
A = u v w
| | |
dem orientierten Volumen des von den Vektoren u, v, w ∈ R3 aufgespannten Spats.
Insbesondere ist genau dann det A = 0, wenn die Spaltenvektoren linear abhängig
sind, d.h. wenn das von den Spaltenvektoren aufgespannte Parallelogramm bzw.
der aufgespannte Spat entartet ist.
Definition: Man nennt eine Matrix A ∈ M (n) orthogonal, falls A das kanonische
Skalarprodukt erhält, d.h. falls
xT · y = hx, yi = hAx, Ayi = (Ax)T · Ay = xT · (AT A) · y
für alle x, y ∈ Rn gilt. Dies ist äquivalent dazu, dass AT · A = In gilt (vgl. Übung).
Die Menge
O(n) = A ∈ M (n)| AT · A = In
heißt daher die orthogonale Gruppe. Die Teilmenge
SO(n) = {A ∈ O(n)| det A = 1}
heißt die spezielle orthogonal Gruppe (im Fall n ≤ 3).
Dass diese Bezeichnung gerechtfertigt ist, zeigt der folgende Satz.
Satz: O(n) ist mit der Einschränkung der gewöhnlichen Matrizenmultiplikation
eine Gruppe mit Untergruppe SO(n) (für n ≤ 3).
Der Beweis wird als Übungsaufgabe gestellt.
Beispiel: Wie wir in der Vorlesung gesehen haben, ist eine Matrix A ∈ M (2)
genau dann orthogonal, wenn es ein α ∈ [0, 2π) gibt, so dass
cos α − sin α
cos α
sin α
A=
oder A =
sin α cos α
sin α − cos α
Im ersten Fall ist det A = 1 und fA ist eine Drehung in R2 (um den Ursprung) um
den Winkel α und im zweiten Fall ist det A = −1 und fA eine Spiegelung an der
Ursprungsgeraden mit Schnittwinkel α/2 mit der x-Achse.
Definition: Eine Matrix A ∈ M (n) hat einen Eigenwert λ ∈ R, falls es einen
Vektor 0 6= v ∈ Rn mit A · v = λ · v gibt. Einen solchen Vektor nennt man dann
Eigenvektor zum Eigenwert λ.
Beispiel:
cos α − sin α
(i) Die Matrix Dα =
entspricht, wie gesehen, einer Dresin α cos α
hung um
den Winkel α ∈ [0, 2π)
und hat
somit bis auf die Spezialfälle
1 0
−1 0
D0 =
= In und Dπ =
= −In , d.h. α ∈ {0, π}, keine
0 1
0 −1
Eigenwerte.
cos α
sin α
(ii) Die Matrix Sα =
entspricht, wie gesehen, einer Spiegesin α − cos α
cos(α/2)
lung an der Ursprungsgeraden R ·
und hat damit zwei Eigensin(α/2)
cos(α/2)
werte, nämlich λ1 = 1 mit Eigenvektor
(der Länge 1), da die
sin(α/2)
Gerade selbst unter
Spiegelung
punktweise fixiert wird, und λ2 = −1
der
cos α+π
2
(der Länge 1), da die Gerade orthogonal zur
mit Eigenvektor
sin α+π
2
Spiegelungsgeraden ebenfalls invariant gelassen wir.
(iii) Wegen A · (r · v) = r · A · v gibt es mit einem immer bereits unendlich viele
Eigenvektoren zu einem Eigenwert, denn ist A · v = λ · v, so ist
A · (r · v) = r · A · v = r · λ · v = λ · (r · v)
für alle r ∈ R.
(iv) Ist λ ein Eigenwert von A ∈ O(n), so gilt für einen Eigenvektor v
hv, vi = hAv, Avi = hλ · v, λ · vi = λ2 · hv, vi
also λ2 = 1 bzw. λ ∈ {±1}, da hv, vi =
6 0.
Da es nicht immer so leicht wie in diesem Beispiel ist, die Eigenwerte und Eigenvektoren einer gegebenen Matrix geometrisch zu bestimmen, benötigen wir eine
algebraische Methode, um diese im allgemeinen Fall zu berechnen.
Bemerkung/Definition: Wegen
A · v = λ · v ⇔ A · v − λ · v = 0 ⇔ (A − λ · In ) · v = 0
folgt, dass λ genau dann ein Eigenwert von A ist, wenn
PA (λ) = det(A − λ · In ) = 0
gilt. Das Polynom PA (λ) (vom Grad n) nennt man das charakteristische Polynom
von A. Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms entsprechen also gerade
den Eigenwerten von A. Für einen Eigenwert λ0 erhält man dann die zugehörigen
Eigenvektoren entsprechend als Lösungen v des linearen Gleichungssystems (bzw.
der Matrix-/Vektorgleichung)
(A − λ0 · In ) · v = 0.
Man beachte in den obigen Gleichungen, dass dort die 0, bis auf eine Ausnahme,
stets den Nullvektor 0 ∈ Rn und nicht die Zahl 0 ∈ R bezeichnet.
Nachdem wir nun die nötigen Begriffe kennengelernt haben, kommen wir nun
am Ende dieses Exkurses zur bereits erwähnten Anwendung.
Satz: (Satz vom Fußball ) Bei jedem Fußballspiel, bei dem nur ein Ball benutzt
wird, gibt es zwei Punkte auf der Oberfläche des Balles, die sich zu Beginn beider Halbzeiten (wenn der Ball auf dem Anstoßpunkt liegt) an derselben Stelle im
umgebenden Raum befinden.
Wir wollen den Beweis hier lediglich argumentativ führen und die einzelnen Schritte
skizzieren. Einen ausführlichen Beweis finden Sie in Kapitel 5 des Buches “Lineare
Algebra“ von Gerd Fischer.
Beweiskizze: Die Beweisidee ist eigentlich recht einfach. Vergisst man nämlich
die Translationen, d.h. die Verschiebungen im Raum, so können die Drehungen
des Balles durch Abbildungen fA : R3 → R3 mit A ∈ SO(3) beschrieben werden. Hierbei wird der Ball als einer der gewöhnlichen Bälle um den Ursprung
Br (0) = {x ∈ R3 | kxk2 = x21 + x22 + x23 ≤ r2 } und dementsprechend die Oberfläche
des Balles als die Abstandssphäre S 2 (r) = {x ∈ R3 | kxk2 = x21 + x22 + x23 = r2 }
interpretiert. Da SO(3) eine Gruppe ist, sind insbesondere die Kompositionen von
solchen Drehungen“ wieder Drehungen. Somit können wir die Lage (der Ober”
fläche) des Balles auf dem Anstoßpunkt zu Beginn der zweiten Halbzeit als Bild
einer Sphäre S 2 (r) unter einer solchen Abbildung fA mit A ∈ SO(3) auffassen (es
gilt kfA (x)k = kxk für alle x ∈ R3 ).
Die Aussage folgt nun aus der Tatsache, dass jede Matrix A ∈ SO(3) einen Eigenwert 1 hat. Denn dann wird, für einen Eigenvektor v zum Eigenwert 1, die
Ursprungsgerade R · v von fA punktweise fixiert, d.h. fA (rv) = A · (rv) = rv für alle
r ∈ R, und die beiden Punkte, an denen die Gerade die Sphäre (d.h. die Oberfläche
des Balles) durchstößt sind dann gerade die gesuchten Fixpunkte.
Es bleibt also zu zeigen, dass jede Matrix A ∈ SO(3) einen Eigenwert 1 hat. Hierzu
überlegen wir uns zuerst, dass es zu jedem A ∈ O(3) eine Matrix B ∈ O(3) gibt
mit


±1 0 0
B −1 · A · B =  0 a b 
0 c d
und
e=
A
a
c
b
∈ O(2).
d
Um das zu sehen, bemerken wir, dass das charakteristische Polynom PA (λ) vom
Grad 3 ist und somit eine Nullstelle hat, d.h. A hat einen Eigenwert. Nach Punkt
(iv) des letzten Beispiels gilt dann für den Eigenwert λ ∈ {±1}. Sei nun v ein
Eigenvektor zum Eigenwert λ von A. Dann gibt es zwei Vektoren w1 , w2 ∈ R3
der Länge 1 mit w1 ⊥ v und w2 ⊥ v sowie w1 ⊥ w2 . Ist dann B die Matrix mit
B · e1 = v, B · e2 = w1 und B · e3 = w2 , d.h.

|
B = v
|
|
w1
|

|
w2 
|
so kann man nachrechnen, dass B ∈ O(3) und damit B −1 AB ∈ O(3) ist. Ferner
gilt
(B −1 AB) · e1 = (B −1 · A) · (B · e1 ) = B −1 · (A · v) = B −1 · (±v) = ±(B −1 · v) = ±e1
sowie für i ∈ {2, 3}
(B −1 AB) · ei , e1
B∈O(3)
= hA · (B · ei ), B · e1 i = hA · wi , vi
A·v=±v
=
± hA · wi , A · vi
A∈O(3)
=
± hwi , vi = 0.
Somit ist
±1
B −1 AB =  0
0

0 0

e
A

 
z1
e ∈ M (2), denn für einen Vektor z = z2  ∈ R3 ist hz, ei i = zi für i ∈ {1, 2, 3}.
mit A
z3
Aus


 
1 0 0
1
0 0
!  0

=
(B −1 AB)T · (B −1 AB) =  0


T
0
0
2
e ·A
e
A
I
e ∈ O(2). Da in unserem Fall sogar A ∈ SO(3) gilt und
folgt dann A
e = det(B −1 AB) = det(B −1 ) · det(A) · det(B) = det(B)−1 · det(A) · det(B)
±1 · det(A)
= det(A) = 1
e = 1 oder
steht auf der Diagonalen von B −1 AB entweder 1 und es gilt det(A)
e = −1. Im ersten Fall ist dann aber
der Diagonaleintrag ist −1 und es gilt det(A)
B −1 AB · e1 = e1 und im zweiten Fall entspricht fAe einer Spiegelung in der von
e2 und e3 aufgespannten Ebene. Dann gibt es aber, wie gesehen, ein w ⊥ e1 mit
B −1 AB · w = fAe(w) = w. In jedem Fall hat also B −1 AB einen Eigenwert 1. Nun
haben aber A und B −1 AB wegen
PB −1 AB (λ) = det(B −1 AB − λ · I3 )
= det(B −1 AB − λ · B −1 · I3 · B)
= det(B −1 · (A − λ · I3 ) · B)
= det(B −1 ) · det(A − λ · I3 ) · det(B)
= det(B)−1 · det(A − λ · I3 ) · det(B)
= det(A − λ · I3 ) = PA (λ)
dieselben Eigenwerte. Somit hat A ebenfalls den Eigenwert 1 und die Behauptung
folgt mit den obigen Überlegungen.