3.3 Konvergenzkriterien

3.3. KONVERGENZKRITERIEN
67
und `n+1 wiederum als kleinsten Wert, so dass
`n+1
A2n+2 = A2n+1 +
X
< A.
k=`n
Alle diese Indizes existieren und damit ist eine Folge {Ak }k∈N definiert. Diese
Folge konvergiert gegen A, denn
|A − A2k | ≤ |an2k |, bzw. |A − A2k+1 | ≤ ap2k+1 .
Da die Folge der {an }n∈N eine Nullfolge bildet, folgt limk→∞ Ak = A. Wir definieren τ (0) = 0 und setzen für n ∈ N τ (n) = jn +P
`n . Ist für n ∈ N τ (n − 1) <
n−1
jmP+ (k − τ (n − 1)). Ist
k ≤ τ (n − 1) + jn so setzen wir β(k) = ps mit s = m=1
n−1
`m + (k − τ (n −
τ (n − 1) + jn < k ≤ τ (n), so setzen wir β(k) = nr mit r = m=1
1) − jn ).
Korollar 3.2.7 (allgemeiner Umordnungssatz)
Ist {an }n∈N eine reelle Folge nicht absolut konvergent ist. Betrachtet man die
Mengen P, N wie in Gleichung 3.1 und sind die Reihen
X
X
ap und
an
p∈P
n∈N
beide nicht konvergent, so gilt die Aussage des Satzes 3.2.6
3.3
Konvergenzkriterien
In diesem Abschnitt wollen wir Reihen auf Konvergenz untersuchen. Wir wissen
bereits, dass die geometrische Reihe konvergent ist, d.h. für 0 < γ < 1 ist die
Reihe
∞
X
γn
n=0
absolut konvergent. Wir beweisen zunächst einen Vergleichssatz, der auch als Majorantenkriterium bekannt ist.
Satz
(Majorantenkriterium, Vergleichssatz)
P3.3.1
∞
Ist n=1 an eine absolut konvergente Reihe mit an ≥ 0 für alle n ∈ N und gilt
für eine komplexe Folge {zn }n∈N
|zn | ≤ an für alle n ∈ N
so ist die Reihe
P∞
n=1 zn
absolut konvergent.
68
KAPITEL 3. REIHEN
P
P
Beweis. Sei A(n) = nk=1 ak und Z(n) = nk=1 zk . Von der letztgenannten Folge
{Z(n)}n∈N müssen wir zeigen, dass sie eine Cauchyfolge in C ist, während wir
als bekannt voraussetzen dürfen, dass die Folge der A(n) eine reelle Cauchyfolge
ist.
Sei ε > 0 vorgegeben. Dann gibt es ein N ∈ N mit n > m > N impliziert
|A(n) − A(m)| < ε.
Dann ist für n > m > N
n
n
n
X
X
X
|Z(n) − Z(m)| = zn k ≤
|zk | ≤
an = |A(n) − A(m)| < ε.
k=m+1
k=m+1
k=m+1
Korollar 3.3.2 (Quotientenkriterium)
Es sei {an }n∈N eine Folge, so dass höchstens endlich viele n ∈ N existieren, so
dass an = 0 ist. Gibt es ein N ∈ N und eine reelle Zahl 0 < θ < 1, so dass
n > N impliziert
|an+1 |
≤ θ.
|an |
P
Dann ist die Reihe ∞
n=0 an absolut konvergent.
Beweis. Sei c = |aN +1 |. Dann ist (wie man leicht durch vollständige Induktion
überprüft,) |aN +m | ≤ cθm−1 . Da die Reihe
∞
X
cθm
m=1
konvergiert, gilt dies nach Satz 3.3.1 auch für die Reihe
∞
X
am+N .
m=1
Dann ist natürlich auch die Reihe
∞
X
n=0
konvergent.
an
3.3. KONVERGENZKRITERIEN
69
Korollar 3.3.3 (Wurzelkriterium)
Ist {an }n∈N eine Folge komplexer Zahlen, so dass es ein 0 < θ < 1 gibt, so dass
p
für alle n ∈ N gilt n |an | ≤ θ, dann ist die Reihe
∞
X
an
n=0
absolut konvergent.
Satz 3.3.4 (Verdichtungssatz)
Es sei {an }n∈N eine reellwertige, monotone Folge. Die Reihe
∞
X
an
n=0
konvergiert genau dann, wenn die verdichtete Reihe
∞
X
2k a2k
k=0
konvergiert.
Beweis. Sei o.B.d.A. an ≥ 0 für alle n ∈ N und die Folge monoton fallend. Sei
S(n) die Teilsummenfolge der ursprünglichen Folge. Dann ist
j+1
n
n
S(2 ) =
2
X
ak =
k
2
X
X
ar ≤
2j a2j .
j=0
j=0 r=2j +1
k=1
k
X
Die Konvergenz der ursprünglichen Reihe folgt nun aus dem Majorantenkriterium
und der Konvergenz der verdichteten Reihe.
Wir müssen noch die andere Richtung beweisen. Die verdichtete Reihe konvergiert genau dann, wenn die Reihe
∞
X
∞
k−1
2
k=1
a2 k
1X k
=
2 a2k
2 k=1
konvergiert. Dies lässt sich aufgrund der Voraussetzungen abschätzen durch
a2 + 2a4 + 4a8 + · · · ≤ (a1 + a2 ) + (a3 + a4 ) + (a5 + a6 + a7 + a8 ) . . . ,
allgemein gilt
k
k−1
2
a2k ≤
2
X
j=2k−1 +1
aj
70
KAPITEL 3. REIHEN
und damit folgt die Behauptung aus dem Majorantenkriterium.
Korollar 3.3.5 (n−α -Reihe)
Die Reihe
∞
X
1
nα
n=0
konvergiert genau dann, wenn α > 1.
Beweis. Wir betrachten die verdichtete Folge
∞
X
∞
X
1
2k(1−α) .
2 k α =
(2
)
k=1
k=1
k
Für α ≤ 1 ist die Folge ak = 2k(1−α) keine Nullfolge, für α > 1 hat man eine
geometrische Reihe.
3.4
Produkte von Reihen
Wir definieren ein zunächst etwas merkwürdig aussehendes Produkt und zeigen,
dass es geeignete Konvergenzeigenschaften besitzt und sich die Grenzwerte so
verhalten wir wir es von Produkten erwarten. Seien a = {an }n∈N , b = {bn }n∈N
Folgen in R oder C. Wir definieren eine neue Folge {cn }n∈N durch
cn =
n
X
ak bn−k .
k=0
Sei c = {cn }n∈N . Wir schreiben dafür c = a ∗ b.
Satz 3.4.1 (Cauchy-Produkt)
Sind a, b Folgen, so dass
∞
X
an ,
n=0
∞
X
bn
n=0
absolut konvergent sind, so ist mit c = a ∗ b
∞
X
cn
n=0
absolut konvergent und es gilt
∞
X
n=0
cn =
∞
X
n=0
!
an
·
∞
X
n=0
!
bn .
3.4. PRODUKTE VON REIHEN
71
P
P∞
Beweis. Sei A = ∞
k=1 ak und B =
k=1 bk . Es gilt zu zeigen, dass es zu ε > 0
ein N ∈ N gibt, so dass n > N impliziert
|
n
X
ck − AB| < ε.
k=0
Wir beginnen mit dem Fall, dass alle an > 0 und alle bn > 0 sind. Dann ist
!
!
2n
2n
2n X
2n
X
X
X
ak ·
bk
=
ak bj
k=0
k=0 j=0
k=0
≥
2n X
k
X
ak−j bj
k=0 j=0
≥
n X
n
X
ak b j
k=0 j=0
Wir bilden die Differenz
∆=
2n X
2n
X
ak bj −
n X
n
X
k=0 j=0
k=0 j=0
2n X
2n
X
2n X
2n
X
ak b j .
Wir können abschätzen
∆≤
ak b j +
k=n j=0
ak b j .
k=0 j=n
Da beide Terme gleich aussehen, reicht es einen abzuschätzen. Dazu beachten
wir, dass die Teilsummenfolge konvergiert, also beschränkt ist, und zu einer konvergenten Folge und jedem ε > ein N ∈ N existiert, so dass n > N impliziert,
dass die entsprechenden Folgenglieder durch ε abgeschätzt werden können. Sei B
eine obere Schranke für die Teilsummenfolge der |bn |. Also gilt:
2n X
2n
2n
2n
X
X
X
ak b j = ak
bj j=0
k=n j=0
k=n
2n
2n
X
X
= bj ak j=0
k=n
≤ Bε.
Insgesamt können wir die Differenz klein machen. Damit konvergiert die Reihe
!
∞
k
X
X
|aj ||bk−j | .
k=0
j=0
72
KAPITEL 3. REIHEN
Damit ist auch die Reihe
∞
k
X
X
k=0
!
aj bk−j
j=0
konvergent. Das bisherige Argument zeigt, dass
2n k
n X
n
2n X
2n
n X
n
X
X X
X
X
ak−j bj −
ak b j ≤
|ak ||bj | −
|ak ||bj |
k=0 j=0
k=0 j=0
k=0 j=0
k=0 j=0
ist, und dieser Ausdruck kann mit großem n beliebig klein werden.
3.5
Die Exponentialreihe
Wir definieren für z ∈ C die Exponentialreihe durch
E(z) =
∞
X
zn
n=0
n!
.
Zunächst beweisen wir, dass die Exponentialreihe für alle z ∈ C definiert ist.
Satz 3.5.1 (Absolute Konvergenz der Exponentialreihe)
Die Exponentialreihe ist für alle z ∈ C absolut konvergent.
Beweis. Sei z ∈ C, dann existiert ein N ∈ N mit |z| < N . Dann ist
|z|n
n!
|z|n+1
(n+1)!
=
n+1
n+1
N +1
>
>
|z|
N
N
für n > N + 1. Damit ist das Quotientenkriterium anwendbar und die Reihe
konvergiert.
Definition 3.5.2 (e)
Wir definieren die Eulersche Zahl2 e durch
e = E(1).
Diese Zahl ist eine der zentralen Zahlen der Mathematik, sie taucht in vielem
2
Leonhard Euler (15.4.1707-18.9.1783) stammt aus der Schweiz und ist Schüler von Johann
Bernoulli. Sein Werk ist äußerst umfangreich (ca. 900 Publikationen) und behandelt Fragen aus
allen Bereichen der Mathematik und Physik. Er verbrachte lange Zeit in St. Petersburg, wo er
zunächst Professor für Physik war. Später folgte er dem Ruf Friedrich des zweiten nach Berlin,
wo er Direktor der math. Klasse der Akademie der Wissenschaften war. Im Jahre 1766 kehrte