1.1 Zwei-Dimensionales Elektron Gas (2DEG) Übersicht 2DEGs

Einführung/
2DEG
1.1 Zwei-Dimensionales Elektron Gas (2DEG)
Einführung
• Zwei-Dimensionales Elektronen Gas
• Quanten-Hall-Effekt
• Ballistischer Transport: Quanten-Draht / Quanten-Punkt-Kontakt
• „Elektronen als gestreute Wellen“: Landauer-Formel und Streu-Theorie
• Beispiele: Resonantes Tunneln, Edge-state
Transmissions-Elektronenmikroskop-Aufnahme einer AlAs/GaAlAs-Heterojunction
14. November 2005
Einführung/
2DEG
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
12
Übersicht 2DEGs
Zwei-dimensionale Elektronengase enstehen an Grenzflächen …
• ... zwischen einem Halbleiter und einem Isolator
MOS-Struktur
auf Si basierend
• ... zwischen zwei verschiedenen Halbleitern
mit unterschiedlicher Bandlücke
Heterostrukturen
(HEMT)
Verbindungshalbleiter.
III-V-Halbleiter
(GaAs, AlAs, InAs, …)
II-VI-Halbleiter
(ZnS, CdTe, …)
standard Hetero-junction
14. November 2005
Quantum-Well
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
I-VII-Halbleiter
(CuCl, …)
13
Einführung/
2DEG
MOS-Struktur (1)
MOS =
Metal-OxidSemiconductor
GateSpannung
•
idealisiert:
•
kein Stromtransport
Im = Is
p-dotierter Halbleiter:
flat band:
accumulation:
depletion:
(weak) inversion:
Vg = 0
Vg < 0
Vg > 0
Vg >> 0
negative
Raumladung
Löcher
14. November 2005
Einführung/
2DEG
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
14
MOS-Struktur (2)
strong inversion: Halbleiter ist n-leitend an der Oberfläche, p-leitend im „bulk“
„Confinement“ (Einschränkung) der Wellenfunktion
in z-Richtung in einem angenähert dreieckigen
Potentialtopf:
·
¸
~2
+ VT (z) Zn (z) = En Zn (z)
2m
(x, y, z) = *(x, y)Zn (z)
Subbänder:
E(kx , ky ) = En +
µ
~2 kx2
~2 kx2
+(
2m
2m
¶
Nur unterstes Subband besetzt: 2 DEG
14. November 2005
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
15
Einführung/
2DEG
Metal-Oxid-Semiconductor-FET
MOS-Feld-Effekt-Transistor
Strom zwischen Source und Drain wird duch die Gate
Spannung (elektrisches Feld) gesteuert, welches einen nleitenden Kanal zwischen Source- und Drain-Kontakt induziert.
Transconductance:
g=
²oxid µ
dIsat
(VGS VP )
dVG S
doxid LG
~
(~vDrif t = µE)
gewünscht:
• kleine Gate-Länge
• dünne Oxidschicht (hohe Permeabilität)
• hohe Mobilität
5nm MOSFET (2003)
14. November 2005
Einführung/
2DEG
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
16
Metal-Oxid-Semiconductor-FET: CMOS
CMOS = complementary metal
oxide semiconductor
Inverter
14. November 2005
NOR
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
NAND
17
Einführung/
2DEG
Heterostrukturen (HEMT)
2 DEG zwischen zwei verschiedenen Halbleitern mit
HEMT =
High electronmobility Transistor
•
•
identischer Gitterkonstante (kein „Stress“)
unterschiedlicher Bandlücke
sehr viel höhere Mobilität, da
•
•
quasi monokristallin
die ionisierten Donatoren von den Elektronen im 2DEG räumlich
getrennt sind ( „modulation doping“ )
2DEG
EC
EC
EF
EF
' EC
EC
EV
EF
EV
' EV
EV
AlGaAs
Energielücke zwischen
Valenz-und Leitungsband
GaAs
AlGaAs/GaAs
x=0.3
14. November 2005
Einführung/
2DEG
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
18
Heterostrukturen: Mobilitäten
Mobilität als Funktion der Temperatur:
(Rekord: 20 Millionen)
•
•
Grenzflächenrauhigkeit
•
Intersubbandübergänge
Streuung aufgrund von Legierungsunordnung
z.B. Al–Atome sitzen statistisch verteilt auf Ga Plätzen
14. November 2005
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
19
Einführung/
2DEG
•
•
•
Heterostrukturen: Modulation Doping
Modulation doping
Spacer-Layer
Parallel-Leitung
14. November 2005
Einführung/
2DEG
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
20
Heterostrukturen: III-V-Halbleiter
Quantum Well
Heterojunction
verschiedene
Heterostrukturen:
GaAs:
Zinkblende-Struktur
(fcc mit 2-atomiger Basis)
Bandlücke als Funktion der Gitterkonstante
(„bandgap engineering “)
(aufgenommen mit einem Transmissions-Elektronenmikroskop)
direktes Band-Gap:
Elektronen können direkt vom
Leitungs- ins Valenzband
Relaxieren unter Emission eines
Photons (nich möglich in Si)
Grosser Anwendungsbereich
für Opto-Elektronische Devices
(z.Bsp. Laser-Diode)
Wellenvektor k
14. November 2005
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
21
Einführung/
2DEG
Herstellung von Heterostrukturen: MBE
MBE =
Molecular-BeamEpitaxy
Uni Neuchâtel
• sehr hohe Reinheit der Schichten (UHV)
• atomare Interfaces
• Kontrolle über Zusammensetzung
einer Schicht (während des Wachstums)
• Kontrolle über den Dotierungsrad
14. November 2005
Einführung/
2DEG
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
22
Herstellung von Heterostrukturen: MOCVD
MOCVD =
metal organic chemical
vapour deposition
Bei der MOCVD werden die Halbleiterkomponenten im Gasstrom auf dem
geheizten Substrat abgeschieden:
650 oC
Beispiel:
14. November 2005
(CH3) 3GA +AsH3
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
ĺ
GaAs Ļ + 3CH4
23
Einführung/
2DEG
2DEG: Zusammenfassung
Zusammengefasst: 2DEGs bilden sich in zwei verschiedenen Typen von Halbleiterstrukturen:
MOSFET
HEMT
S
n+
G
D
S
n AlGaAs n+
n+
i GaAs
S.I. GaAs
G
2DEG
EC
2DEG
EF
EV
EF
EV
• basierend auf Silizium
• kleinere Mobilität
• basierend auf III-V Halbleitern
• sehr hohe Mobilität, d.h. schnell
• für Hochfrequenz-Anwendungen
Einführung/
QHE
n+
p-type Si
EC
14. November 2005
D
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
24
1.2 Quanten-Hall-Effekt
Einführung
• Zwei-Dimensionales Elektronen Gas
• Quanten-Hall-Effekt
• Ballistischer Transport: Quanten-Draht / Quanten-Punkt-Kontakt
• „Elektronen als gestreute Wellen“: Landauer-Formel und Streu-Theorie
• Beispiele: Resonantes Tunneln, Edge-state
2DEG in einem starken
Senkrechten Magnetfeld
14. November 2005
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
25
Einführung/
QHE
Klassischer Hall-Effekt
klassisch
Ly
E. H. Hall:
„On the New Action of Magnetism on a
Permanent Electric Current“,
PhD-thesis,
The Johns Hopkins University, 1880
Rx =
1 Lx
enµ Ly
RH =
UH
B
=
Ix
en
14. November 2005
Einführung/
QHE
Lx
(1)
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
26
Entdeckung des Quanten-Hall-Effekt
Original-Daten von Klitzing
Quanten-H.E.
Klaus von Klitzing:
5.Februar 1980,
Hochfeldlabor in Grenoble
Widerstand
Si-MOSFET bein 19.8 Tesla und 4.2 Kelvin:
Elektronendichte
K. v. Klitzing, G. Dorda and M. Pepper, Physical Review Letters 45, p494 (1980)
14. November 2005
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
27
Einführung/
QHE
Phänomenologie des Quanten-Hall-Effekt
Quanten-H.E.
Phänomenologisch:
•
Plateaus im Hall-Widerstand
RH =
•
1 h
,
" e2
" = 1, 2, 3 . . .
Longitudinaler Widerstand
wird Null:
Rx = 0
für
14. November 2005
" = 1, 2, 3 . . .
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
Einführung/
QHE
28
Ursache des Quanten-Hall-Effekts
Landau-Quantisierung
Die 2-dimensionale Zustandsdichte geht von einer Stufenform im Nullfeld in eine Sequenz von Peaks
über bei genügend starkem Magnetfeld:
Magnetfeld
Schrödinger-Gleichung für Teilchen in Magnetfeld und Confinement-Potential V(y) (ohne Spin):
"
(i~(/(x eBy)2
2m
14. November 2005
#
p2y
+
+ V (y) *(x, y) = E*(x, y)
2m
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
29
Einführung/
QHE
Landau-Quantisierung
Klassisch:
Zyklotron-Bahnen mit Kreisfrequenz
C =
eB
m
Bohr-Sommerfeld-Quantisierung:
µ
2$rC = nB = n
2
rC
=
~
mC
h
mv
¶
Quantenmechanisch exakt:
2 2
mv2
mC
~C
rC
E(n, k) =
=
=n
2
2
2
E(n, k) = ~C (n 1/2)
,
n = 1, 2, 3 . . .
Harmonischer Oszillator
mit Energie-Eigenwerten
entartete
Landau-Levels
Landau-Niveaus (levels) (LL):
(magnetische Sub-bänder)
~C
Energie hängt nicht von k ab,
LLs sind stark entartet
14. November 2005
Einführung/
QHE
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
30
Filling-factor und quantisierter Hall-Widerstand
Entartung der Landau-Niveaus
Genau p (ganze Zahl) LLs besetzt:
EF ermi = p · ~C
Z
n=
EF ermi
0
Zustandsdichte
eines LLs:
'2D (E)dE =
m
EF
2$~2
nB =
n
eB
=
p
h
~C
Filling-factor:
(Füllfaktor)
Hall-Widerstand alleine durch
fundamentale Naturkonstanten
(h,e) bestimmt.
Hall-Widerstand:
(siehe Gl.(1))
"=
RH =
n
nB
1h
B
=
en
p e2
p = 1, 2, 3 . . .
14. November 2005
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
31
Einführung/
QHE
Metall-Isolator-Übergänge im QHE
Fermie-Level als Funktion der Elektronen-Dichte n:
Metall
";
/N:
EF = ~C (p 1/2)
(p ; N, " < p < p + 1)
Isolator
";N :
EF = ~C · "
";
/N:
EF =
~e
(p 1/2) · B
m
";N :
EF =
2$~2
n
m
Fermie-Level als Funktion des Magnetfeldes B:
Metall
Isolator
Sequenz von Metall-Isolator-Übergängen als Funktion der Dichte n / des Magnetfeldes B.
14. November 2005
Einführung/
QHE
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
32
Metall-Isolator-Übergänge im QHE
Fermie-Level als Funktion des Magnetfeldes B (Messung):
Metall
Isolator
Messung des chemischen Potentials in einem 2DEG
Als Funktion des Magnetfeldes mit Hilfe eines
Single-Electron-Transistors (siehe Teil 2).
S. Ilani, et al., Physical Review Letters 84, p3133 (2000)
14. November 2005
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
33
Einführung/
QHE
Ursache der Plateaus: Disorder
Unordnung (disorder):
•
•
hebt die Entartung der LLs auf: Aufweitung der G-Peaks
in der Zustandsdichte
lokalisierte und ausgedehnte Zustände
Nur ausgedehnte (nicht-lokalisierte) Zustände tragen zum Stromtransport bei.
Fermi-Niveau kann in einem Gebiet lokalisierter Zustände liegen, so dass sich
die Anzahl ausgedehnter Zustände nicht ändert, wenn die Dichte / das Magnetfeld
verändert wird.
14. November 2005
Einführung/
QHE
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
34
Ursache der Plateaus (2)
•
Die Plateaus im Hall-Widerstand sind
Regionen, wo sich die Anzahl der ausgedehnten Zustände nicht nicht ändert.
•
Das Fermi-Niveau liegt dabei in einem
Bereich lokalisierter Zustände.
•
Die Unordnung vergössert den Parameterbereich (Dichte oder Magnetfeld) der
isolierenden Regionen:
Isolator:
Punkte werden
stark aufgeweitet
Metall:
Linien sehr viel
kürzer
14. November 2005
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
35
Einführung/
QHE
•
Minima in Rx in / Quantisierungsbedingungen
•
Streurate 1/W hängt von der Postition des
Fermi-Niveaus relativ zu den LLs ab:
Bedingungen für Beobachtung
der Quantisierung
halb-gefüllte LL:
grosse Streurate,
Maxima in Rx
(1)
ganz-gefüllte LL:
Streuung ungerdrückt
Rx = 0
(2)
14. November 2005
Einführung/
QHE
kB T ¿ ~C
1
+C C
¿ + d.h. µB À 1
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
36
QHE und Metrologie
Unabhängig von Probenparametern
Mobilität
Plateau
Probenbreite (i=1)
Probenbreite (i=2)
Das metrologische Dreieck
Versuch,
Masseinheiten
über Quanten-Effekte
auf der Basis
fundamentaler Naturkonstanten zu definieren
Bundesamt für Metrologie und Akkreditierung (METAS), Bern
14. November 2005
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
37
Einführung/
QHE
•
Fraktionaler QHE (1)
In sehr reinen Proben und bei hohen Magnetfeldern können Plateaus/Minima auch bei
gebrochenen Füllfaktoren beobachtet werden:
1/3, 2/3, … , 1/5, 2/5, etc.
•
Entdeckung 1982 durch Störmer, Tsui und
Gossard, Erklärung 1983 durch McLaughlin
D. C. Tsui, H. L. Stormer, and A. C. Gossard., Physical Review Letters 48, p1559 (1982)
14. November 2005
Einführung/
QHE
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
Fraktionaler QHE (2)
•
Der fraktionale QHE verursacht durch
Coulomb-Wechselwirkung der Elektronen
•
Grundzustand ist Vielteilchen-Wellenfunktion
•
Quasiteilchen-Anregungen (composite Particles)
haben gebrochene Elektronenladung, die z.Bsp.
Mit Rauschmessungen bestimmt werden kann
•
„Composite-Fermion“-Modell: Quasiteilchen aus
Elektronen und Flussquanten. Der fraktionale
QHE kann beschrieben werden als integraler
QHE von solchen Quasiteilchen in einem
effektiven Magnetfeld.
14. November 2005
38
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
39
Einführung/
QHE
14. November 2005
Einführung/
QHE
Fraktionaler QHE (3)
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
40
Randzustände im QHE
1-dimensionale Randkanäle:
•
Landauniveaus werden am Rand der
Probe „hochgebogen“ (confinement)
•
AnzahlZahl der 1D-Randkanäle
= Zahl der besetzten Landauniveaus.
•
Fermienergie zwischen zwei LLs:
Transport nur durch Randkanäle möglich:
räumliche Trennung zwischen hin- und
rücklaufende Zustände, daher keine Rückstreuung:
ballistischer Transport
Beispiel für idealen „Quanten-Draht“
FRAGEN:
Wieviel Strom wird von solch einem
Zustand getragen?
Wie gross ist der Widerstand eines
solchen 1d-Quanten-Drahts
14. November 2005
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
41
Einführung/
Ballist.Transport
1.3 Ballistischer Transport
Einführung
• Zwei-Dimensionales Elektronen Gas
• Quanten-Hall-Effekt
• Ballistischer Transport: Quanten-Draht / Quanten-Punkt-Kontakt
• „Elektronen als gestreute Wellen“: Landauer-Formel und Streu-Theorie
• Beispiele: Resonantes Tunneln, Edge-state
14. November 2005
Einführung/
Ballist.Transport
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
42
Klassiche- und Quantenmechanische Beschreibung
lokale, material-spezifische „Leitfähigkeit“
D
Klassische Beschreibung
des Elektronentransport:
ne2 +
=
m
:
Elektronendichte:
Elementarladung:
mittlere freie Flugzeit:
Elektronemasse:
n
e
+
m
experimentell zugängliche Grösse „Leitwert“ G = IV:
G=
Übergang zu immer kleineren
Strukturen (Nanostrukturen)
A
· D
L
L < F , `, `*
?
charakteristische Längenskalen:
Phasenhohärenzlänge:
`
`*
Fermi-Welllenlänge:
F
Elastische freie Weglänge:
Quantenmechanische
Beschreibung des
Elektronentransport:
14. November 2005
•
Quantenmechanische Natur der Ladungsträger
(Wellennatur,Kohärenz): Lokalität geht verloren
•
Da QM-Systeme nur durch Observablen zugänglich sind,
definieren zu wollen.
Macht es keinen Sinn, ein lokales
•
Physikalisch relevante Grösse ist der Leitwert G, da diese
makroskopische Grösse gemessen werden kann.
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
43
Einführung/
Ballist.Transport
Klassiche- und Quantenmechanische Beschreibung
Klassischer Beschreibung
des Elektronentransport:
Zusammengefasst:
~
~j = · nµ
e
Übergang zu immer kleineren
Strukturen (Nanostrukturen)
lokal
L < F , `, `*
?
charakteristische Längenskalen:
Phasenhohärenzlänge:
`
`*
Fermi-Welllenlänge:
F
Elastische freie Weglänge:
I =G·
µ
e
Quantenmechanische
Beschreibung des
Elektronentransport:
14. November 2005
nicht-lokal
… wie ?
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
Einführung/
Ballist.Transport
44
Quantenmechanische Beschreibung
Elektrischer Transport durch Transmission:
Reservoirs:
Kontakte im thermodynamischen
Gleichgewicht (inelastische Prozesse)
Rolf Landauer
(1927 - 1999)
Markus Büttiker
Yosef Imry
charakterisiert durch Temperatur T und
chemisches Potential µ:
f (E) =
1
1 + exp[(E µ)/kB T ]
Elektronischer Wellenleiter:
1-dimensionaler Quantendraht,
keine Streuung (ballistisch)
Kohärente Streuregion:
Beschrieben durch Streumatrix S, die
einfallende und auslaufende Moden
miteinander verknüpft
14. November 2005
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
45
Einführung/
Ballist.Transport
Elektronen-Wellenleiter
Ballistischer Wellenleiter für Elektronen:
keine Streuung
L<`
… analog zu optischem
Wellenleiter, wo sich Licht
in 1-dimensionalen
Moden ausbreitet.
14. November 2005
Einführung/
Ballist.Transport
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
46
Analogie zur Optik: Lichtwellenleiter
Planarer Wellenleiter (Total-Reflektion):
Superposition von zwei Planwellen:
u1 eing (k0 cos ) ei[ng (k0 sin )zt]
u2 eing (k0 cos ) ei[ng (k0 sin )zt]
u1 + u2 cos[ng (k0 cos )x]
Selbstkonsistenz der stehenden Welle in x-Richtung:
4a ng (k0 cos ) 2*() = m · 2$
m = 1, 2, 3 . . .
Modengleichung
14. November 2005
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
47
Einführung/
Ballist.Transport
Analogie zur Optik: Lichtwellenleiter
Aus Modengleichung: gegebener Modenindex
m:
Lösung
= m
mit Ausbreitungskonstante
1
m (kz ) =
ng
r
(c0 kz )2 +
³ $mc ´2
0
2a
(Phasenänderung bei Reflexion vernachlässigt)
kz = km = ng (k0 sin m )
Moden mit verschiedenem m haben
unterschiedliche Phasengeschwindigkeit:
vphase (m) =
Dispersionsrelation
für verschiedene Moden
eines optischen
Wellenleiters
c0
c
=
# 0
km
ng sin m
nef f
effektiver Brechungsindex:
nef f = ng sin m
Transversales Modenprofil:
Für jede Mode gibt es eine „Cut-Off“-Frequenz,
d.h. für eine bestimmte Frequenz gibt es eine
maximale Anzahl möglicher Moden
14. November 2005
Einführung/
Ballist.Transport
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
48
… Elektronischer Wellenleiter
Parabolisches „Confinement“-Potential:
keine Streuung
(ballistisch)
V (y) =
1
m02 y 2
2
L<`
Schrödinger-Gleichung für Teilchen in Magnetfeld und Confinement-Potential V(y) (ohne Spin):
"
#
p2y
(i~(/(x eBy)2
+
+ V (y) *(x, y) = E*(x, y)
2m
2m
(Gl. Seite 27)
Ansatz:
*(x, y) = eikx (y)
"
(B=0):
14. November 2005
#
p2y
~2k2
1
2 2
+
+ m0 y (y) = E(y)
2m
2m 2
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
Lösungen: siehe QM
49
Einführung/
Ballist.Transport
Lösungen:
Elektronische-Subbänder (Moden)
n(y) = e
En (k) =
q2 /2
r
Hn (q) mit q =
~2k2
+ ~0(n 1/2) ,
2m
Hermitsche Polynome:
Energie „Cut-off“:
m0
~
~0
n = 1, 2, 3 . . .
Hn (q)
En = ~0(n 1/2)
•
Anzahl besetzter Moden
(= elektrischer Subbänder):
grösste Integer-Zahl
•
Gruppen-Geschwindingkeit
einer Mode:
vn (k) =
•
Abstand zwischen zwei Subbändern:
~0
Energie-„Cut-off“
N , so dass EN < EF
1 (En (k)
~ (k
Je enger das „Confinement“, desto grösser sind die Abstände zwischen den Sub-Bändern.
(Subbänder werden oft auch als transversale Moden bezeichnet in Analogie zu elektromagnetischen
Wellenleitern)
14. November 2005
Einführung/
Ballist.Transport
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
Analogie: Optik - Elektronik
= ck
14. November 2005
50
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
E=
~2 k 2
2m
51
Einführung/
Ballist.Transport
Magneto-Elektrische Subbänder
Wieviel Strom fliesst in einem einzelnen Subband (Mode) ?
"
#
p2y
(i~(/(x eBy)2
+
+ V (y) *(x, y) = E*(x, y)
2m
2m
+
(Gl. Seite 27)
~2k2 02
2 + ~C0 (n 1/2) ,
2m C0
q
2 + 2
C0 = C
0
En (k) =
Energie-Eigenwerte:
mit
Elektrische Subbänder
C =
eB
m
n = 1, 2, 3 . . .
Magneto-Elektrische Subbänder
Magnetische Subbänder
~C
~0
µ
¶
2
C
mm 1+ 2
0
Effekt des Magnetfelds: Erhöhung der Masse:
14. November 2005
Einführung/
Ballist.Transport
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
52
Strom pro Subband (1)
µ1
µ2
L<`
•
Spannung V angelegt zwischen den beiden
Kontakten: Unterschiedliche elektrochemische
Potentiale in den beiden Reservoirs:
µ1 > µ2
•
•
Mode, die nach links läuft, ist besetzt bis
µ1 = EF + eV
•
Mode, die nach rechts läuft, ist besetzt bis
µ2 = EF
nur 1 Mode im Wellenleiter kann besetzt
werden
ĺ
14. November 2005
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
Netto-Strom nach links
53
Einführung/
Ballist.Transport
•
Strom pro Subband (2)
Strom:
~j = en~v
Z EF +eV
I=e
'1D (E)v(E)dE
in 3D:
in 1D:
EF
r
2m
1
=
E
$
µ
¶1
•
1-DimensionaleZustandsdichte
1
'1D (E) =
$~
•
Gruppengeschwindigkeit:
v(E) =
1 (E
~ (k
1
$~
•
Das Produkt zwischen Zustandsdichte und Gruppengeschwindigkeit ist Energie-unabhängig und daher gleich für
jedes Subband.
•
Der Strom wird gleichmässig auf alle Subbänder verteilt.
•
Jedes Subband trät
als Strom pro Energie-Intervall zum
Gesamtstrom bei. h
v(E)'1D (E) =
2e
I = (eV )
h
14. November 2005
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
Einführung/
Ballist.Transport
Leitwertquantisierung
I=
2e
(eV ) ,
h
(E
(k
G = I/V
54
G=
2e2
h
2e2
zum Gesamtleitwert.
h
•
Jedes Subband gibt einen Beitrag
•
Der Leitwert / Widerstand ist quantisiert !
•
Für N besetzte Moden ist der Leitwert eines (ballistischen)
Ellektronen-Wellenleiter gegeben durch:
Ein paar Beispiele:
2e
GN =
2e2
·N
h
• Quanten-Punktkontakt definiert in einem zwei-dimensionalen Elektronengas
• Break-Junction
• Nanotube
• Randzustände im Quanten-Hall-Regime (chiral)
14. November 2005
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
55
Einführung/
Ballist.Transport
1. Bsp.: Quanten-Punkt-Kontakt (QPC)
Verengung W in einem zwei-dimensionalen Elektronengas;
definiert mit Hilfe von metallischen Split-Gates, an die eine
negative Spannung angelegt wird, welche das Elektronengas
darunter verdrängt.
GN =
N=
W
F /2
2e2
·N
h
,
F ' 50n nm
B. J. van Wees et al., Physical Review Letters 60, p848 (1998)
D. Wharam et al., Journal of Physics C 21, p209 (1998)
14. November 2005
Einführung/
Ballist.Transport
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
56
1.Bsp.: Optisches Analogon ...
... zur Leitwertquantisierung in einem ballistischen
Punktkontakt
Experiment nach der Entdeckung der
quantisierten Leitfähigkeit, obwohl die
Wellennatur des Lichtes relativ lange
bekannt !
E. A. Monthie et al., Nature 350, p594 (1991)
14. November 2005
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
57
Einführung/
Ballist.Transport
1. Bsp.: QPC im Magnetfeld / Temperaturabhängigkeit
Magnetische Depopulation der Subbänder
Thermische Verschmierung
Tunnel-Resonanzen für
nicht-adiabatische
Punktkontakte
Plateaus werden grösser mit stärkerem Feld: Das
Confinement wird stärker im Magnetfeld
(Übergang von elektrischen zu magnetischen Subbändern)
14. November 2005
Einführung/
Ballist.Transport
Resonanzen treten auf für nicht-adiabatische Punktkontakte.
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
58
1. Bsp.: QPC und Thermospannung
Thermopower
zeigt wie die Leitfähigkeit Quantisierungseffekte:
Leitfähigkeit
: Temperatur
14. November 2005
Die Plateaus verschwinden, wenn kB T À ~0 .
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
Thermospannung
Anstatt Stufen (Leitfähigkeit) sieht man in der thermischen
Spannung Oszillationen als Funktion der Gatespannung, d.h.
Der Anzahl Subbänder im Quantenpunktkontakt.
59
Einführung/
Ballist.Transport
2. Bsp.: ‚Break-junction‘
J. van Ruitenbeek (Leiden University, Niederlande)
Plateaus in verschiedenen Messkurven unterschiedlich (Statistik)
Charakteristische Histogramme für verschiedene Elemente
14. November 2005
Einführung/
Ballist.Transport
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
60
3. Bsp.: Carbon-Nanotube (CNT)
entdeckt 1991 von S. Iijima.
Stufe, wenn ein weiteres Nanotube Kontakt macht:
Nanotube als idealer elektrischer Wellenleiter.
G0 =
2e2
h
S. Frank, P. Poncharal, Z. L. Wang, and W. A. de Heer, Science 280, p1744 (1998)
14. November 2005
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
61
Einführung/
Ballist.Transport
4. Bsp.: Randzustände im Quanten-Hall Regime
Randzustände (edge-states) im QH-Regime sind ideale (chirale)
elektronische Wellenleiter
siehe Folie 41
Aus Stromerhaltung folgt:
Strom ist gleichverteilt unter i Moden:
RH
µ1 = µ2 = µ3 = eV
I =i·
e
µ1
h
=
µ4 = µ5 = µ6 = 0
14. November 2005
Einführung/
Ballist.Transport
=
=
(µ2 µ4)/e
I
µ1 /e
i(e/h)µ1
1h
i e2
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
62
Woher stammt der endliche Widerstand ?
Obwohl wir davon ausgegangen sind, dass keine Rückstreuung (gar keine Streuung) stattfindet,
hat ein idealer Quantendraht mit einem Subband den endlichen Widerstand
RC =
1
h
= 2 ' 12.9 k
GC
2e
Diesen Widerstand bezeichnet man als Kontaktwiderstand.
Er rührt daher, dass innerhalb der Kontakte (Reservoirs) der Strom von „unendlich“ vielen Moden
getragen wird, während im Quanten-Draht der gesamte Strom nur von einer einzelnen Mode
getragen wird.
µ1
µ2
Die Umverteilung des Stromes von unendlich
vielen auf 1 einzelne Mode ist der physikalische
Grund für den endlichen (2-Punkts-)
Widerstand eines idealen Quantendraht.
L<`
14. November 2005
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
63
Einführung/
Ballist.Transport
Potentialverlauf in einem Quantendraht
Im Draht sind die nach
rechts laufenden Moden besetzt bis
µ1 = EF + eV
links laufenden Moden besetzt bis
µ2 = EF
Mittleres elektro-chemische Potential im Draht:
hµi = 12 (EF + EF + eV ) = EF +
FRAGE:
eV
2
Wie verändert sich der Widerstand, wenn man eine Barriere (Streuer) in den
Draht einbaut ? Siehe folgender Abschnitt.
14. November 2005
Einführung/
Ballist.Transport
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
64
4-Punkts-Widerstand eines ballistischen Quantendrahts
Ballistischer
1-Moden-Leiter:
2-Punktswiderstand:
endlich (12.9 k:)
4-Punktswiderstand:
0
Cleaved-edge-over-growth
R. de Picciotto et al., Nature 411, p51 (2001)
Longitudinaler
4-Punkts-Widerstand
im Quanten-Hall-Regime:
14. November 2005
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
µ1 = µ2 = µ3
RL =
µ2 µ3
=0
I
65
Einführung/
LandauerLandauer-Formel
1.4 Landauer-Beschreibung: Streutheorie
Einführung
• Zwei-Dimensionales Elektronen Gas
• Quanten-Hall-Effekt
• Ballistischer Transport: Quanten-Draht / Quanten-Punkt-Kontakt
• „Elektronen als gestreute Wellen“: Landauer-Formel und Streutheorie
• Beispiele: Resonantes Tunneln, Edge-state
QPC
14. November 2005
Einführung/
LandauerLandauer-Formel
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
66
Landauer-Beschreibung: Streutheorie
Widerstand
Streuung
ng
oi
tg ve
ou wa
ou
t
w goi
av n
e g
incoming
wave
14. November 2005
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
67
Einführung/
LandauerLandauer-Formel
Idealer Quantendraht mit Barriere (1)
Unterbrechung des idealen Elektronenwellenleiters durch eine Potential-Barriere U(x)
µ1
µ2
(x) = teikx
klassisch: T(E) = 1 oder = 0 !
(x) = eikx + reikx
~2k2
=E
2m
Kontinuität der
Wellenfunktion und
deren Ableitung an den
2 Grenzbereichen:
~2 K 2
= E U0
2m
14. November 2005
Einführung/
LandauerLandauer-Formel
(x) = AeiKx + BeiKx
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
68
Idealer Quantendraht mit Barriere (2)
Transmissionsamplitude der Wellenfunktion:
t
Transmissionswahrscheinlichkeit:
T = |t|2
2e
(eV )
h
2e
· T (eV )
h
Strom injiziert von Reservoir 1:
transmittierter Strom:
links der Barriere:
2e
2e
(eV ) (1 T )(eV )
h{z
|h
}
Ilinks
I = GV
G=
gilt allgemein für N (M) Moden
links (rechts) der Barriere:
14. November 2005
rechts der Barriere:
2e2
·T
h
2e
T (eV )
|h {z }
Irechts
Landauer-Formel
2e2 X
|tmn |2
·
G=
h n,m
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
69
Einführung/
LandauerLandauer-Formel
Verallgemeinerung / Streumatrix
Das Konzept, den elektrischen Widerstand als Streuproblem zu behandeln, kann verallgemeinert
werden für den Fall mit mehreren Reservoiren:
b : Amplitude der auslaufenden Wellen
a : Amplitude der einlaufenden Wellen
µ
¶ µ
¶µ
¶
bL
r t0
aL
=
bR
t r0
aR
Streumatrix s
s#m,n : Streuamplitude von der Mode n aus dem
Kontakt D in die Mode m in den Kontakt E.
s† s = 1 : Unitarität (Stromerhaltung)
s#m,n (B) =
sn,#m(B)
: Symmetrie in Bezug auf ZeitUmkehr
I
C
X
2e H
In =
Tmn µmO
(Mn Rn )µn h
Landauer Büttiker Formel:
m(6=n)
14. November 2005
Einführung/
LandauerLandauer-Formel
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
70
Ohmsches Gesetz (1)
Landauer-Formel:
(M Moden mit Transmission T)
G=
Leiter der Breite W (2-dim.):
M
2e2
MT
h
=
=
=
=
W/(F /2)
(kF /$) · W
mvF /($~) · W
~vF '2D W
; = 2$/kF F
; kF = mvF /~
; '2D = m/($~2 )
G = e2'2D (vF /$) · W · T
Transmission von 2 Barrieren in Serie:
T12
= T1 T2 + T1R2R1T2 + T1 R2 R1 R2R1T2 + . . .
= T1 T2(1 + R1R2 + (R1R2)2 + (R1 R2)3 + . . . )
T1T2
=
1 R1 R2
1 T12
1 T1 1 T2
=
+
T12
T1
T2
14. November 2005
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
TN =
T
N(1 T ) + T
71
Einführung/
LandauerLandauer-Formel
Ohmsches Gesetz (2)
N = "L
Anzahl Streuzentren:
T (L) =
(Q = Dichte der Streuzentren pro Längeneinheit)
T
`0
=
L"(1 T ) + T
L + `0
G = e2 '2D (vF /$) · W ·
Definiere Diffusionskonstante:
,
`0 =
`0
L + `0
T
"(1 T )
mittlere freie Weglänge
D = (vF /$)`0
2
= e '2D D
Benutze Einsteinrelaton:
G=
W
`0 + L
Ohmsches Gesetz
R = G1 =
`0 + L
`0
L
=
+
W
W
W
Kontaktwiderstand
R = G1 =
14. November 2005
Einführung/
Beispiele
Widerstand (4pt)
h 1
h 1T
h
= 2+ 2
2
2e T
2e
2e
T
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
72
1.5 Beispiele
Einführung
• Zwei-Dimensionales Elektronen Gas
• Quanten-Hall-Effekt
• Ballistischer Transport: Quanten-Draht / Quanten-Punkt-Kontakt
• „Elektronen als gestreute Wellen“: Landauer-Formel und Streu-Theorie
• Beispiele: Edge-states, Resonantes Tunneln (siehe Teil 3)
14. November 2005
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
73
Einführung/
Beispiele
Beispiel: Quanten-Hall Regime
C
I
C
I1
h I3 n 2e h
h
n
h
H I3 O = h H
I4
QHE mit Barriere:
IC
1 (1 T ) 0
T
µ1
n h µ2
1
1
0
0
nh
0
T
1 (1 T ) O H µ3
µ4
0
0
1
1
I
n
n
O
µ4 # 0
I
C
I1
H I3 O = 2e H
h
I3
C
C
I
µ1
h
H
H µ2 O =
2e
µ
I
IC
1 (1 T ) 0
µ1
1
1
0 O H µ2 O
T
µ3
0
1
IC I
1/T (1 T )/T 0
I
1/T
1/T
0 OH 0 O
1
1
1
0
C
Spannungskontakte 2 und 3:
I2 = I3 = 0
I1 = I
3
Spannung gemessen
zwischen 2 und 3;
Spannung gemessen
zwischen 1 und 4;
14. November 2005
Einführung/
Beispiele
R23 =
R14 =
(µ2 µ3 )/e
h 1T
= 2
I
2e
T
für
T =0
R23 = 0,
(µ1 µ4)/e
h 1
= 2
I
2e T
R14 =
h
2e2
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
74
Beispiel: Quanten-Hall Regime
QHE mit Barriere (mehrere Moden):
C
I
I1
h I3 n
2e
h
n
H I3 O = h
I4
C
N
h N
h
H 0
0
(N M )
N
M
0
0
0
N
N
IC
M
µ1
n h µ2
0
nh
(N M ) O H µ3
µ4
N
I
n
n
O
µ4 # 0
M:
T=1
N-M: T=0
Spannungskontakte 2 und 3:
I2 = I3 = 0
I1 = I
Spannung gemessen
zwischen 2 und 3;
C
I
C
I1
H I3 O = 2e H
h
I3
C
C
I
µ1
h
H
H µ2 O =
2e
µ
3
R23
(µ2 µ3 )/e
h
=
= 2
I
2e
µ
I
IC
(M N) 0
µ1
N
0 O H µ2 O
M
µ3
N
IC I
1/M (N M)/MN
0
I
1/M
1/M
0 OH 0 O
1/N
1/N
1/N
0
N
N
0
1
1
M
N
¶
fraktionale Plateaus
14. November 2005
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
75
Einführung/
Beispiele
Beispiel: Quanten-Hall Regime
QHE mit Barriere (N Moden, M transmittiert):
R23
µ
1
1
M
N
¶
beobachtete
Plateaus im
Experiment
M:
T=1
N-M: T=0
M \ N
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
1.000
0.500
0.750
0.833
0.875
0.900
2.000
0.000
0.250
0.333
0.375
0.400
3.000
0.083
0.167
0.208
0.233
4.000
0.000
0.083
0.125
0.150
5.000
0.033
0.075
0.100
6.000
0.000
0.042
0.067
7.000
0.018
0.043
8.000
0.000
0.025
9.000
0.011
10.000
0.000
14. November 2005
(µ2 µ3)/e
h
=
= 2
I
2e
S. Oberholzer: Nano-Elektronik
76