Lösungsweg

Physikdepartment E13
WS 2011/12
Übungen zu Physik 1 für Maschinenwesen
Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum, Dr. Eva M. Herzig, Dr. Volker Körstgens, David Magerl,
Markus Schindler, Moritz v. Sivers
Vorlesung 08.12.2011 enfällt, Übungswoche 12.12. – 16.12.2011
Blatt 8
1. Gradienten
Berechnen Sie für r =
a) U (~r ) =
p
x2 + y2 + z2 jeweils grad U (~r ) und |grad U (~r )|für
a
r
 
x
~r = y.
z
NR:
∂
a
p
∂x x2 + y2 + z2
∂
a · ( x2 + y2 + z2 )−1/2 = −1/2 · a · ( x2 + y2 + z2 )−3/2 · 2x =
∂x
− ax
=
(1)
2
( x + y2 + z2 )3/2
∂
 
∂x
x
∂
−
a
a
p
y = − a ·~r
·
=
grad U (~r ) = 
 ∂y  x2 + y2 + z2
r3
( x2 + y2 + z2 )3/2
z
∂
=
∂z
b) U (~r ) =
a
a grad = 2
r
r
b
r2
NR:
∂
∂x
b
x 2 + y2 + z2
∂
b · ( x2 + y2 + z2 )−1 = −1 · b · ( x2 + y2 + z2 )−2 · 2x =
∂x
−2bx
(2)
=
2
( x + y2 + z2 )2
∂
 
∂x
x
∂
2b
b

y = − 2b~r
=
−
grad U (~r ) = 
·
 ∂y  x2 + y2 + z2
r4
r4
z
∂
=
∂z
grad b = 2b
r2 r3
c) Zeigen Sie allgemein, dass für jedes radialsymmetrische
Feld, d. h. für jedes Feld, bei dem
p
2
2
die skalare Größe T (r ) nur vom Abstand r = x + y + z2 abhängt, gilt:
grad T (r ) =
dT (r ) ~r
·
dr
r
Nebenrechnung (analog zum Nachdifferenzieren):
∂T
∂T ∂r
∂T ∂
=
·
=
·
∂x
∂r ∂x
∂r ∂x
q
∂T
x 2 + y2 + z2 =
·
∂r
Also
~ T (r ) =
grad T (r ) = ∇
∂
∂x
∂
  T (r )
 ∂y 
∂
∂z
2
1
1
·p
· 2x
2
2
x + y2 + z2
=


∂
∂x T (r )

∂
 T (r ) 

 ∂y
∂
∂z T (r )
=
dT ~r
·
dr r
!
=
∂T x
·
∂r r
2. Amplitude der erzwungenen Schwingung
Laut Vorlesung ist die Amplitude einer erzwungenen Schwingung für lange Zeiten gegeben durch
K
A=
m
q
(ω02 − ωe2 )2 + ( kms ωe )2
a) Zeigen Sie, dass die Resonanzamplitude bei ωe =
nimmt.
K
A ( ωe ) =
m
"
ω02
2
− ωe2
+
q
.
ω02 − k2s /2m2 einen Maximalwert ein-
ks
ωe
m
2 #−1/2
dA (ω0 )
=0
dωe
"
2 #−3/2 1K
ks
k2s
!
2
2
2
2 2
0=−
ωe
· 2 ω0 − ωe (−2ωe ) + 2 2 ωe
ω0 − ω e +
2m
m
m
notwendige Bedingung für Maximum
1. Faktor ist immer 6= 0, also muss 2. Faktor = 0 sein
=⇒
k2
−4 ω02 − ωe2 ωe + 2 s2 ωe = 0
m
Gleichung wäre durch ωe = 0 gelöst, dies entspräche dem Fall keiner Anregung,
also ωe 6= 0 (ωe = 0 ist uninterressant)
Somit darf ωe gekürzt werden
r
2
k2
k
+
ω02 − s 2
=⇒ ω02 − ωe2 = s 2 =⇒ ωemax =(−)
2m
2m
Zeigen, dass dies ein Maximum ist:
"
2 #−3/2 2k2
ks
dA (ωe )
1K
2
2 2
· 4 ωe2 − ω02 + 2s ωe
ω0 − ω e +
=−
ωe
dωe
2 m}
m
m |{z}
| {z
|
{z
} >0
{z
}
|
<0
max
>0
= 0 für ωe = ωe
< 0 für ωe < ωemax
> 0 für ωe > ωemax
A (ωe ) streng monoton steigend für ωe < ωemax
⇒ Maximum bei ωemax
⇒
A (ωe ) streng monoton fallend für ωe > ωemax
b) Was muss geschehen, damit es zur sogenannten Resonanzkatastrophe kommt?
Nenner in A(ωe ) muss gegen 0 gehen
wenn k s → 0 geht, dann ωemax → ω0
=⇒ Resonanzkatastrophe für k s nahe Null und Erregerfrequenz = ω0 .
3
3. Brückenversuch
Nach ihrer Fertigstellung unterzogen die Bauingenieure die neue Brücke über die Hamburger
Norder-Elbe einem Großversuch. Unter der Last eines in der Mitte der Brücke zu diesem Zweck
angehängten Gewichts von m = 100 t bog sich die Brücke den Messungen zufolge um 5,0 cm
durch. Als schließlich die Verbindung der Brücke mit dem Gewicht schlagartig gelöst wurde, geriet die Brücke wie erwartet in Schwingungen, die viele Sekunden andauerten. Die Frequenz der
Schwingung betrug f = 0,62 Hz. Ein Beobachter, der sich mitten auf der Brücke befand, berichtete, er habe das Gefühl gehabt, die Brücke habe sich um ca. einen Meter gehoben und gesenkt.
a) Wie groß war die Amplitude, mit der sich der Augenzeuge bewegt hat in Wirklichkeit? Wie
groß war seine maximale Geschwindigkeit?
m = 100 t; x0 = −0,05 m
x (t) = x0 cos(ωt) = x0 cos(2π f t)
(da zum Zeitpunkt t = 0 gilt: x (0) = −0,05 m und ẋ (0) = 0)
=⇒ Amplitude der Bewegung des Augenzeugen ebenfalls 0,05 m
ẋ (t) = −2π f xc sin(2π f t)
=⇒ maximale Geschwindigkeit vmax = −2π f x0 = −2π · 0,62 1s · −0,05 m = 0,19 ms
b) Bei welcher Auslenkung erfuhr obiger Beobachter die maximale Beschleunigung und wie
groß war diese?
ẍ (t) = −4π 2 f 2 x0 cos(2π f t)
wird maximal für cos(2π f t) = 1, also z.B. für t = 0
2
maximale Beschleunigung amax = −4π 2 f 2 x0 = −4π 2 0,62 1s · −0,05 m = 0,76 m
s2
c) Um wie viel Prozent scheint sich sein Gewicht während einer solchen Schwingungsbewegung
zu ändern?
m
m
, amin = −0,76 2
s2
s
Dies entspricht etwa (±)7,7% des Ortsfaktors und damit seiner gefühlten Gewichtsänderung.
amax = 0,76
4
d) Wie groß ist die Energie, die mit der beschriebenen Schwingbewegung der Brücke verbunden
ist?
„Federkonstante“ D der Brücke über Ausgangssituation
D=
mg
F
=
x0
x0
Betrachte Punkt der maximalen potentiellen Energie. An dem gilt:
Emax = E pot =
1 2
1
N
1
Dx0 = mgx0 = · 100 · 103 kg · 9,81
· 0,05 m = 2,5 · 104 J
2
2
2
kg
e) Ein Steinchen der Masse 2,0 g liegt neben dem Beobachter. Bleibt dieses Steinchen am
Boden liegen? Und wenn nicht, wie hoch wird es im Vergleich zur unausgelenkten Brücke
geschleudert?
amax und amin gelten für das Steinchen genauso. Da | amin | < | g| ist, bleibt das
Steinchen am Boden liegen.
5
4. U-Rohr
L
Wir betrachten eine reibungsfreie Flüssigkeitssäule in
cher Höhe so ist das System im Gleichgewicht. Ist
eine rücktreibende Gewichtskraft F. Hierbei sei L =
kg
A = 35,0 cm2 die Querschnittsfläche und ρ = 1,00 dm3
einem U-Rohr. Sind beide Enden auf gleidie Säule um y verschoben, so entsteht
85,0 cm die Länge der Flüssigkeitssäule,
die Dichte der Flüssigkeit (Wasser).
a) Geben Sie die Formel für die Rückstellkraft F an.
rücktreibende Kraft = Gewichtskraft der Flüssigkeitssäule mit der Höhe 2y
F = −ρ · V (Säule mit Höhe 2y) · g = −ρ · A · 2y · g
b) Stellen Sie eine Differentialgleichung auf, die die Bewegung beschreibt. Um welche Art von
Bewegung handelt es sich?
Mÿ = −2ρAyg (Newton)
mit M = Masse der kompletten Flüssigkeit, also M = ρAL
=⇒
=⇒
ÿ +
ρALÿ + 2ρAyg = 0
2g
y = 0 (Schwingungsgleichung, Form: ÿ + ω02 y = 0)
L
c) Lösen Sie die Differentialgleichung unter der Voraussetzung, dass bei t = 0 die Wassersäule
um y = 10 cm ausgelenkt ist und dass dies gleichzeitig auch die maximale Auslenkung ist.
Wir kennen die Lösung dieser DGL bereits:
y(t) = y0 cos(ω0 t + ϕ0 ) = y0 cos
r
2g
· t + ϕ0
L
haben Anfangsbedingungen y(0) = 0,1 m und ẏ(0) = 0
!
r
r
2g
2g
· sin
· t + ϕ0
ẏ(t) = −y0
L
L
r
2g
0 = ẏ(0) = −y0
sin( ϕ0 ), wähle ϕ0 = 0
| {z L}
!
6 =0
=⇒
0,1 m = y(0) = y0
s

!
r
2 · 9,81 m
2g
1
2
s


· t = 0,1 m · cos
· t = 0,1 m · cos 4,8 · t
y(t) = 0,1 m · cos
L
0,85 m
s
6
d) Wie groß müsste die Fadenlänge eines mathematischen Pendels sein, das die gleiche
Schwingungsfrequenz hat wie unser U-Rohr?
q
g
aus Vorlesung: ω Fadenpendel = l
r
g
=
l
r
2g
L
=⇒
l=
L
2
Es müsste eine Fadenlänge von 42,5 cm haben.
e) Was würde sich ändern wenn wir eine andere Flüssigkeit mit einer dreimal so hohen Dichte
einfüllen würden?
Nichts, da die Dichte in der Bewegungsgleichung nicht vorkommt.
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