Kompaktkurs Physik

Prof. Dr. Dr. h.c. Harry Pfeifer
Prof. Dr. Herbert Schmiedel
Prof. Dr. Ralf Stannarius
Kompaktkurs Physik
Beschreibung der Applets
August 2004
B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH,
Wiesbaden
31 Applets
Albert Einstein: So einfach wie möglich, aber nicht einfacher.
Zum Starten der Applets müssen im dazu benutzten Internet-Browser (z.B. Netscape oder Internet Explorer) die Rechte so eingestellt sein, dass das Starten von
Java-Programmen erlaubt ist. Zusätzlich ist das PDF-Leseprogramm (z.B. Acrobat
Reader) so einzustellen, dass Programme aus Dokumenten heraus gestartet werden
können.
Verzeichnis der Applets
1: Das Galton-Brett (Galton, Francis, 1822-1911) (S.1090)
2: Kräftezerlegung an zwei Seilen (S.1091)
3: Kräftezerlegung bei einem Seil mit Umlenkrolle (S.1092)
4: Kräftegleichgewicht, Balken mit Auflage (S.1093)
5: Mathematisches Pendel, Horizontalprojektion der Auslenkung (S.1094)
6: Mathematisches Pendel, Auslenkwinkel (S.1094)
7: Phasenraum des mathematischen Pendels (S.1096)
8: Parametrisch angeregtes Pendel (S.1097)
9: Schwerpunkt eines flüssigkeitsgefüllten Behälters (S.1098)
10: Elastischer Stoß, Zeitumkehr (S.1099)
11: Zentraler elastischer Stoß: Newton-Wiege (S.1100)
12: Zentraler elastischer Stoß ungleicher Massen (S.1102)
13: Haftreibung, angelehnte Leiter (S.1104)
14: Einfaches Billard (S.1105)
15: 2.Kepler-Gesetz (S.1108)
16: Zentralkraft und momentane Bahngeschwindigkeit (S.1109)
17: Bahnkurven im Gravitationsfeld eines ruhenden Zentralkörpers (S.1110)
18: Bewegung im Gravitationsfeld eines sich bewegenden Zentralkörpers (S.1111)
19: Bewegung dreier Körper (in einer Ebene) (S.1112)
20: Steiner’scher Satz (S.1113)
21: Nutation eines Kreisels (S.1114)
22: Schwimmender Balken, Auftrieb und Gleichgewichtslage (S.1115)
23: Barometrische Höhenformel am Beispiel elastisch stoßender Kugeln (S.1116)
24: Katenoide als Beispiel einer Minimalfläche (S.1117)
25: Innendruck einer Seifenblase (S.1118)
26: Kommunizierende Seifenblasen (S.1119)
27: Flüssiger Tropfen, Oberflächenspannungen (S.1120)
28: Ungedämpfter linearer Oszillator (S.1121)
29: Linearer Oszillator mit Reibung (S.1122)
30: Kopplung zweier linearer Oszillatoren (S.1123)
1086
31 Applets
31: Erzwungene Schwingungen eines linearen Oszillators (S.1125)
32: Überlagerung harmonischer Schwingungen, Schwebungen (S.1126)
33: Lissajous-Figuren (S.1127)
34: Phasen- und Gruppengeschwindigkeit (S.1128)
35: Wellenpaket mit Dispersion (S.1129)
36: Modellierung einer Wasserwelle (S.1130)
37: Dopplereffekt (S.1131)
38: Mach-Kegel (S.1132)
39: Teilchenbewegung in einer freien Schallwelle (S.1133)
40: Teilchenbewegung in einer stehenden Schallwelle (S.1134)
41: Gleichverteilungssatz am Beispiel elastisch stoßender Kugeln (S.1135)
42: Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung (S.1136)
43: Carnot-Wärmekraftmaschine als Animation (S.1137)
44: Der Stirling-Motor als Animation (S.1138)
45: Carnot-Wärmepumpe als Animation (S.1139)
46: linkslaufender Stirling-Prozess als Animation (S.1140)
47: Zustandsdiagramm des Carnot-Zyklus (S.1141)
48: Zustandsdiagramm des Stirling-Zyklus (S.1142)
49: Zustandsänderungen beim Carnot-Zyklus (S.1143)
50: Zustandsänderungen beim Stirling-Zyklus (S.1144)
51: Diffusion einer anfänglich δ-verteilten Konzentration (S.1145)
52: Fluss und Verteilungsdichte zu Applet 51 (S.1145)
53: Ausgleich einer Stufenfunktion durch Diffusion (S.1146)
54: Fluss und Verteilungsdichte zu Applet 53 (S.1147)
55: Diffusion in ein abgeschlosses Gebiet (reflektierender Rand) (S.1148)
56: Fluss und Verteilungsdichte zu Applet 55 (S.1148)
57: Diffusionsausgleich bei festen Randkonzentrationen (S.1150)
58: Fluss und Verteilungsdichte zu Applet 57 (S.1150)
59: Van-der-Waals-Gleichung (S.1151)
60: Boyle-Temperatur (S.1152)
61: Feldlinien von Punktladungen in einer Ebene (S.1153)
62: Feldlinien: Punktladung und entgegengesetzt geladene Platte (S.1154)
63: Feldlinien: Punktladung und gleich geladene Platte (S.1154)
64: Äquipotentiallinien um Punktladungen (S.1155)
65: Äquipotentiallinien nahe einer leitenden Wand (S.1155)
66: Feldstärke zwischen entgegengesetzt geladenen parallelen Platten (S.1156)
67: Feldstärke zwischen gleich geladenen parallelen Platten (S.1156)
68: Frequenzverhalten der Dielektrizitätskonstanten, Cole-Cole-Darstellung (S.1157)
69: Zwei Debye-Prozesse in der Cole-Cole-Darstellung (S.1158)
70: Feldverzerrung durch eine dielektrische Kugel (S.1159)
71: Potential nahe einer dielektrischen Kugel im äußeren Feld (S.1160)
72: Feldverzerrung durch eine leitende Kugel (S.1161)
31 Applets
1087
73: Potential um eine leitenden Kugel im äußeren Feld (S.1161)
74: Wheatstone-Brücke (S.1162)
75: Widerstandskombination (S.1163)
76: Widerstandskette (S.1164)
77: Kondensatorkombination (S.1165)
78: Kapazitätskette (S.1166)
79: Leistungsanpassung (S.1167)
80: Helmholtzspulen (S.1168)
81: RL-Reihenschaltung, Rechteckspannung (S.1169)
82: RL-Reihenschaltung, Sinusspannung (S.1170)
83: Lecherleitung (S.1171)
84: Bewegung eines geladenen Teilchens im Zyklotron (S.1173)
85: RC-Filter: Sinusspannung am Tiefpass (S.1174)
86: RC-Filter: Sinusspannung am Hochpass (S.1175)
87: Übertragung eines Rechtecksignals durch einen RC-Tiefpass (S.1176)
88: Übertragung eines Rechtecksignals durch einen RC-Hochpass (S.1177)
89: Einweg-Gleichrichter mit RC-Siebglied (S.1178)
90: Zweiweg-Gleichrichter mit RC-Siebglied (S.1179)
91: Antennenschwingkreis eines Funkempfängers (S.1180)
92: van der Pol’scher Oszillator, x0 -x-Phasendiagramm (S.1181)
93: Idealer Transformator (S.1182)
94: Fernfeld des Dipols (S.1183)
95: Lorentz-Kontraktion (S.1184)
96: Halbschatten und Kernschatten (S.1185)
97: Abbildung am sphärischen Hohlspiegel (S.1186)
98: Abbildung am Parabolspiegel (S.1187)
99: Regenbogen (Hauptregenbogen) (S.1188)
100: Nebenregenbogen (S.1191)
101: ”Regenbogen” an Glaskügelchen (S.1193)
102: Optische Täuschung, scheinbare Entfernung eines Objekts im Wasser (S.1194)
103: Optische Täuschung, scheinbare Lage eines Objekts im Wasser (S.1195)
104: Reflexionen im Lichtleiter (Glasfaserkabel mit Stufenindex) (S.1196)
105: Lichtausbreitung im Lichtleitkabel mit Stufenindex (S.1196)
106: Strahlengang am Prisma, Dispersion (S.1197)
107: Luftspiegelung durch Brechungsindexgradienten (S.1198)
108: Strahlengang an der Grenzfläche zwischen zwei Medien (S.1199)
109: Übergang vom optisch dünneren ins dichtere Medium, Totalreflexion (S.1200)
110: Strahlengang am Aquarium (S.1201)
111: Brechende Kugelfläche (S.1202)
112: Strahlengang durch eine dicke Linse (S.1203)
113: Strahlengang bei einer Sammellinse (S.1204)
114: Sammellinse mit unterschiedlichen Radien (S.1205)
1088
31 Applets
115: Strahlengang durch eine brechende Kugel (Luftblase in Wasser) (S.1206)
116: Bikonkavlinse (S.1207)
117: Konvexkonkavlinse (S.1207)
118: Linsensystem (S.1207)
119: Linsenfehler: sphärische Aberration (S.1208)
120: Linsenfehler: chromatische Aberration (S.1208)
121: Astronomisches (Kepler-) Fernrohr (S.1209)
122: terrestrisches (Galilei-) Fernrohr (S.1209)
123: Fourier-Zerlegung eines periodischen Signals (S.1210)
124: Interferenzfarben einer dünnen Platte (S.1211)
125: Interferenz von Wellen zweier gegenüber liegender Punktquellen (S.1212)
126: Interferenz zweier gegenüber liegender Spalte (S.1213)
127: Interferenz zweier Punktquellen verschiedener Wellenlängen (S.1214)
128: Interferenz von Wellenzügen aus zwei dünnen Spalten (S.1215)
129: Interferenz zweier Punktquellen mit unterschiedlicher Phase (S.1216)
130: Beugung an einem breiten Spalt (S.1217)
131: Moiré-Muster als Spezialfall der Interferenz (S.1218)
132: Optisches Gitter, Beugungsprofil (S.1219)
133: Optisches Gitter, spektrale Auflösung (S.1219)
134: Optisches Gitter mit endlicher Spaltbreite (S.1219)
135: Linear und zirkular polarisierte elektromagnetische Wellen, Animation (S.1220)
136: Stehende elektromagnetische Wellen, Animation (S.1220)
137: Elliptisch polarisierte elektromagnetische Welle, Animation (S.1221)
138: Lichtdurchgang durch Polarisatoren (S.1222)
139: Polarisatoren und λ/4-Platte (S.1223)
140: Reflexionskoeffizienten (S.1224)
141: Antireflexionsschicht (S.1225)
142: Die Bravais-Gitter (S.1226)
143: Gitterschwingungen, akustischer Zweig (S.1227)
144: Gitterschwingungen, optischer Zweig (S.1227)
145: Longitudinale Gitterschwingungen (S.1227)
146: Gruppen- und Phasengeschwindigkeit von Gitterschwingungen (S.1228)
147: Planck’sche Strahlungsformel, spektrale Energiedichte über der Frequenz (S.1229)
148: Planck’sche Strahlungsformel und Wien’sches Verschiebungsgesetz (S.1229)
149: Additive Farbmischung (S.1230)
150: Subtraktive Farbmischung (S.1230)
151: Schrödingergleichung für ein Kastenpotential (S.1231)
152: Schrödingergleichung für ein quadratisches Potential (S.1232)
153: Materiewelle: Eindringtiefe in eine Potentialstufe (S.1233)
154: Materiewelle: Tunneleffekt durch eine Potentialwand (S.1234)
155: Potentialstufe: Reflexions- und Transmissionskoeffizienten (S.1235)
156: Elektronendichtewolke im Wasserstoffatom (S.1236)
31 Applets
157:
158:
159:
160:
161:
162:
163:
1089
Elektronendichteverteilung im Wasserstoffatom, vertikaler Schnitt (S.1236)
Elektronendichteverteilung im Wasserstoffatom, horizontale Schnitte (S.1237)
Wasserstoff-Serien (S.1238)
Drehimpulsquantelung (S.1239)
Streuung am harten Körper (S.1240)
Streuung am 1/r-Potential, abstoßend (Rutherford-Streuung) (S.1241)
Streuung am −1/r-Potential, anziehend (S.1243)
1090
31 Applets
Applet 1: Das Galton-Brett (Galton, Francis, 1822-1911)
Beim Galton-Brett (galton board, Sir Francis Galton 1822-1911) fällt eine Kugel an
einem mit Nägeln besetzten Brett herab. Die Nägel sind in mehreren untereinander
liegenden Reihen so gegeneinander versetzt angeordnet, dass die fallende Kugel in
jeder Reihe auf einen Nagel trifft und von dort mit gleicher Wahrscheinlichkeit ihren
Weg nach links oder rechts fortsetzt. Danach trifft sie auf einen der beiden schräg
darunterliegenden Nägel der folgenden Reihe. Die Position der Kugel am unteren
Ende des Brettes, nachdem sie n Reihen von Nägeln passiert hat, ist die Folge von
n voneinander unabhängigen Zufallsereignissen, bei denen jeweils eines von zwei
Ereignissen mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 eintritt. Wir nummerieren in dem im
Applet dargestellten Beispiel die Reihen mit 0 beginnend von oben nach unten, die
Nagelpositionen von links mit null beginnend nach rechts.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel den m-ten Nagel der n-ten Reihe trifft, ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Weg dorthin
gewählt wird,
n
2−n , multipliziert mit der Anzahl der möglichen Wege dorthin, m
. Werden sehr
viele Kugeln geworfen, verteilt sich die Häufigkeit ihres Auftreffens entlang einer
horizontalen Nagelreihe entsprechend einer Binomialverteilung, die für große n in
die Gauß’sche Normalverteilung übergeht. Obwohl für n = 18 (siehe Beispiel) diese
Bedingung nur sehr grob erfüllt ist, beobachtet man für eine genügend große Anzahl
von Kugeln eine recht gute statistische Übereinstimmung ihrer horizontalen Verteilung (rote Kurve und rote Zahlenwerte) mit einer Gauß’schen Normalverteilung
(schwarze Kurve) gleichen Mittelwertes und gleicher Streuung.
Applet: gauss/gauss.html
aus dem Internet/lokal starten
31 Applets
1091
Applet 2: Kräftezerlegung an zwei Seilen
Beispiel der Zerlegung einer Kraft in mehrere Komponenten: Ein (masseloses) Seil
der Länge `1 sei an zwei horizontal nebeneinander liegenden Punkten mit gegenseitigem Abstand `2 fixiert (schwarze Dreiecke). An einem Punkt dieses Seils sei mit
einem weiteren, senkrecht herabhängenden Seil ein Gewicht G befestigt. Dieses zieht
mit einer Gewichtskraft G (schwarzer Pfeil) vertikal am Aufhängepunkt. Da das erste Seil nur Kraftkomponenten in seiner Längsrichtung aufnehmen kann, müssen
sich im Gleichgewicht alle Komponenten der drei in den jeweiligen Seilrichtungen
gezeichneten Kräfte kompensieren. Man erhält zunächst die Winkel w1 und w2 der
beiden Teilstücke des oberen Seils mit der Horizontalen aus den Längen `1 und `2
und dem Verhältnis, in dem das obere Seil durch die Aufhängung des Gewichts
geteilt wird. Danach ergeben sich zwei Gleichungen F1 cos w1 + F2 cos w2 = 0 und
F1 sin w1 + F2 sin w2 = G, aus denen die unbekannten Beträge F1 und F2 berechnet
werden können. Diese sind im Applet in Einheiten der Gewichtskraft G angegeben.
Es wird deutlich, dass diese beiden Kräfte (bei etwa symmetrischer Aufhängung)
deutlich größer als die Gewichtskraft werden können, wenn `1 nur wenig größer als
`2 ist, d.h. wenn das obere Seil nahezu horizontal verläuft. Außerdem wird die Erfahrungstatsache ersichtlich, dass bei unsymmetrischer Aufhängung die größere Kraft
auf Seiten des Seilabschnittes wirkt, nach dem die Aufhängung der Last verschoben
wurde.
Applet: forces/forces1.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit den beiden Schiebereglern kann die Länge des oberen Seils sowie die Lage des
Knotens auf diesem Seil variiert werden.
1092
31 Applets
Applet 3: Kräftezerlegung bei einem Seil mit Umlenkrolle
Ein Gewicht sei über eine Rolle an einem Seil befestigt. Nimmt man an, dass sich
die Rolle reibungsfrei drehen kann, dann muss die Zugspannung des Seiles zu beiden
Seilen der Rolle vom Betrag her gleich sein , was sich leicht plausibel machen lässt:
Eine Zug am Seilende um die Strecke dx (in Richtung des gespannten Seiles) mit
der Kraft F hebt das Gewicht G um die Strecke dx. Da die am Seil links verrichtete
mechanische Arbeit in diesem Fall gleich der dem Gewicht zugeführten potentiellen
Energie sein muss, ergibt sich die Gleichheit der Beträge F = G. Nur wenn diese
beiden Kräfte genau entgegengesetzt gerichtet wären, würde sich ihre Resultierende
aufheben. Da das hier nicht der Fall ist, muss die Rolle und ihre Halterung die Ge~ aufnehmen. Die Richtungen
genkraft F~h zur Resultierenden beider Kräfte F~ und G
und die Beträge (in Einheiten von G) sind im Applet angegeben.
Applet: forces/forces2.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schiebereglern kann die vertikale Lage des seitlichen Hakens variiert werden. Die Lage dieses Aufhängepunktes beeinflusst die Winkel zwischen den vom Seil
übertragenen Kräften und damit die Belastung des Hakens und der Rolle.
31 Applets
1093
Applet 4: Kräftezerlegung: Balken mit Auflage
Ein schwerer Balken mit dem Gesamtgewicht G, das sich gleichmäßig entlang seiner
Länge ` verteilt, ist an seinem linken Ende drehbar aufgehängt und wird an einem
Punkt x0 entlang seiner horizontalen Länge von unten gestützt. Die gesamte Gewichtskraft des Balkens verteilt sich nun auf die beiden Kräfte F1 und F2 auf die
Auflagen (nach unten gerichtet positiv) wie im Applet dargestellt. Längenangaben
x1 , x2 , x0 sind dimensionslos gemacht, die Balkenlänge ` sei 300. Die Auflageposition x0 kann mit dem Schieberegler variiert werden. Zur Berechnung der Kräfte
zerlegt man am einfachsten das Gewicht des Balkens in die zwei Teilgewichte G1
und G2 der beiden links bzw. rechts der Auflage x0 befindlichen Teilstücke. Aus
dem Gleichgewicht der Drehmomente (auf den Balken) bezüglich einer Drehung um
die mittlere Auflage F1 · (−x0 ) + G1 · (x1 − x0 ) + G2 · (x2 − x0 ) = 0, und aus der
vertikal wirkenden Gesamtkraft F1 + F2 + G1 + G2 = F1 + F2 + G = 0 erhält man
zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten F1 und F2 als Funktion von x0 .
Applet: forces/forces4.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann die Lage des Auflagepunktes variiert werden. Es sind die
jeweiligen Anteile der Gewichtskraft (blau) und die durch die Auflagen auf den Balken ausgeübten Kräfte (lila) dargestellt. Die Längen (in dimensionslosen Einheiten)
beziehen sich auf eine Balkenlänge von 300.
1094
31 Applets
Applet 5: Mathematisches Pendel, Horizontalprojektion der Auslenkung
Die Bewegungsgleichung des mathematischen Pendels lautet (s. Gl. (24))
m`
d2 α
dα
= −mg sin α − Kr
+ Kp sin ωp t.
dt2
dt
(1007)
Im Falle verschwindender Reibung und ohne äußere Anregung reduziert sich diese
Gleichung auf
d2 α
(1008)
m` 2 = −mg sin α.
dt
Die Lösungen dieser Gleichung sind im allgemeinen elliptische Integrale. Im Fall
kleiner Auslenkung α 1 können sie näherungsweise durch
p harmonische Funktionen
beschrieben werden: α(t) = α0 cos(ω(t − t0 )) mit ω = g/`
Im Applet wird die Bewegungsgleichung numerisch integriert, wobei ein RungeKutta-Verfahren angewendet wird. Es wird in der unteren Kurve die Zeitabhängigkeit der Projektion x(t) = arcsin α(t) der Pendelauslenkung auf die horizontale Koordinate dargestellt. Länge und maximale Auslenkung können per Mausklick modifiziert werden. Die Periode T der Schwingung wird numerisch bestimmt, die im
Applet angezeigte Größe
`
T0 = 2π
g
entspricht der Periode des Pendels bei gegebener Länge und kleiner Auslenkung.
Mit wachsender Auslenkung α0 verlängert sich diese Periode. Die Gravitationsbeschleunigung g ist mit 1 angenommen, Längen und Zeiten sind in dimensionslosen
Einheiten gegeben. Weiße Marken auf der Zeitkoordinate im unteren Bild erscheinen
im Abstand T0 .
Applet: pendel/pendel.html
aus dem Internet/lokal starten
Durch Klicken mit der Maus auf den oberen Bereich des Appletfensters wird eine
Stablänge und Anfangsamplitude gewählt und die Bewegung gestartet.
Applet 6: Mathematisches Pendel, Auslenkwinkel
Die Beschreibung der Pendelbewegung eines mathematischen Pendels erfolgt analog
zum vorigen Applet 5. Im Unterschied wird allerdings hier direkt die durch numerische Integration gewonnene Kurve α(t) aufgetragen. Die Lösungen stellen elliptische
Integrale dar. Die Zeit T0 gibt die für kleine Auslenkungen korrekte Periodendauer
an, die Zeit T wird wie oben numerisch bestimmt und gibt die tatsächliche Länge
31 Applets
1095
der Perioden an.
Applet: pendel/pendel2.html
aus dem Internet/lokal starten
Durch Klicken mit der Maus auf den oberen Bereich des Appletfensters wird eine
Stablänge und Anfangsamplitude gewählt und die Bewegung gestartet.
1096
31 Applets
Applet 7: Phasenraum des mathematischen Pendels
Der augenblickliche Zustand eines Pendels wird durch seine momentane Auslenkung
α(t) und seine Winkelgeschwindigkeit ω(t) = dα/dt vollständig beschrieben. Wählt
man als Koordinatenachsen die Varablen α und ω, dann entspricht jeder Punkt der
α, ω-Ebene einem bestimmten Zustand des Pendels. Als Phasenraum eines mechanischen Systems bezeichnet man den durch die verallgemeinerten Ortskoordinaten
q (hier `α) und die verallgemeinerten Impulskoordinaten p (hier m`ω) aufgespannten Raum. Die Bewegung des Systems wird dann durch die Bahn (Trajektorie) im
Phasenraum beschrieben.
Die Lösung der Pendelgleichung
`
d2 α
= −g sin α.
dt2
mit der Pendellänge ` und der Gravitationsbeschleunigung g wird als Trajektorie im
Phasenraum dargestellt. Für die Gravitationsbeschleunigung wurde g = 1 angenommen. Für kleine Auslenkung sind die Trajektorien nahezu Ellipsen, während sie für
große Auslenkungen deutlich davon abweichen. Die maximal erreichbare Geschwindigkeit erhält man bei Startwinkeln nahe 180 ◦ , sie ist dann
r
g
2
.
`
Die Markierungen auf den Achsen der unteren Grafik sind Bogenmaßeinheiten für
α und (g/`)1/2 für ω.
Applet: pendel/pendel3.html
aus dem Internet/lokal starten
Klicken Sie mit der Maus auf die obere Fläche des Applets um das Pendel mit einer
bestimmten Auslenkung und Stablänge zu starten.
31 Applets
1097
Applet 8: Parametrisch angeregtes Pendel
Wir lassen ein Pendel mit einer kleinen Auslenkung schwingen und befestigen den
Faden an einer Kurbel, die dazu geeignet ist, die Fadenlänge zu variieren. Die Drehung der Kurbel muss so erfolgen, dass wir die Fadenlänge verkürzen, wenn das
Pendel in Richtung des tiefsten Punktes schwingt, bzw. wieder verlängern, sobald
die Auslenkung wächst. Um möglichst effektiv Energie in das Pendel einzukoppeln,
muss die Kurbelgeschwindigkeit entsprechend angepasst werden. Wir erreichen das
hier, indem wir den Drehwinkel der Kurbel aus der momentanen Auslenkung des
Pendels berechnen (s. unten) und die Kurbeldrehung daraus ableiten. Das Applet
zeigt die Amplitude der Schwingung im Bogenmaß immer bei Erreichen des rechten
Umkehrpunktes an. Anfangs nimmt die Amplitude recht langsam zu, Geduld! Mit
wachsender Amplitude der Auslenkung wird die Einkopplung der Energie in das
Pendel effektiver.
Applet: parapendel/parapendel.html
aus dem Internet/lokal starten
Wir lösen das Differentialgleichungssystem
dα
=ω
dt
dω
= −`(t) sin(α)
dt
wobel die Pendellänge ` gegeben ist durch
` = `0 + cos φ(t),
φ(t) = (2 ∗ α − 90◦ )
Der Kurbeldurchmesser kann mit dem Schieberegler variiert werdent.
1098
31 Applets
Applet 9: Schwerpunkt eines flüssigkeitsgefüllten Behälters
Die Masse eines zylinderförmigen Behälters (Höhe H) sei M , er sei bis zur Höhe h
mit einer Flüssigkeit gefüllt. Die Dichte der eingefüllten Flüssigkeit sei so groß, dass
die Masse m(h) des Inhaltes bei gefülltem Behälter (h = H) doppelt so groß wie die
Masse M des leeren Behälters ist. Führen wir die Größe
ξ = m(H)/M
ein, so ergibt sich für den dargestellten Behälter ξ(H) = 2. Füllt man den Behälter,
dann bleibt dessen Schwerpunkt selbst immer am gleichen Ort (hier: halbe Behälterhöhe), der Schwerpunkt der Flüssigkeit liegt auf der Höhe h/2, er steigt mit zunehmendem Füllstand. Der gemeinsame Schwerpunkt s liegt auf der Höhe des gewichteten Mittels beider Schwerpunkte: Zunächst, bei leerem Behälter, befindet er sich
auf der Höhe H/2 des Behälterschwerpunktes, er bewegt sich dann mit zunehmender
Masse m der eingefüllten Flüssigkeit auf den Schwerpunkt der Flüssigkeit zu (verringert sich), um bei vollkommen gefülltem Gefäß wieder den Ausgangswert H/2 zu
erreichen.
Der gemeinsame Schwerpunkt s berechnet sich aus der Masse der Flüssigkeit m(h) =
ξM h/H, der Behältermasse M und den Schwerpunkten sFl = h/2, sB = H/2 durch
das gewichtete Mittel
s=
1 ξh2 + H 2
sFl m + sB H
= ·
m+M
2 ξh + H
Die minimale Höhe des gemeinsamen Schwerpunktes, smin , beim Füllen beträgt
smin = [(1 + ξ)0,5 − 1]H/ξ.
Dies entspricht der größtmöglichen Stabilität gegen ein Kippen des Behälters.
Applet: schwerpunkt/schwerpunkt.html
aus dem Internet/lokal starten
Im Applet kann mit dem Schieberegler der Füllstand eingestellt werden, die Lage der
drei Schwerpunkte sB (Behälter), braun, sFl (Flüssigkeit), zyan, und s (gesamtes
System), schwarz, wird angezeigt.
31 Applets
1099
Applet 10: Elastischer Stoß, Zeitumkehr
Kugeln sollen sich reibungsfrei auf einer Unterlage bewegen und dabei elastische
Stöße ausführen. Da die kinetische Energie bei der Bewegung und bei jedem Stoß
erhalten bleibt, bleibt die mittlere Geschwindigkeit der Kugeln zu allen Zeiten gleich,
die Bewegungsenergie verteilt sich im statistischen Mittel gleichmäßig auf alle Kugeln.
Es ist möglich, in diesem System nach einer Entwicklungszeit t die Zeitrichtung zu
invertieren, indem man die Vorzeichen der momentanen Impulse aller Kugeln umkehrt. Dabei verändern sich die kinetischen Energien der einzelnen Kugeln nicht.
Das System führt dann die Bewegungsphasen und alle Stöße rückwärts aus und
durchläuft insbesondere zum Zeitpunkt 2t erneut den Anfangszustand. Auf Grund
von Rundungsfehlern bei der Berechnung der Stöße funktioniert das im dargestellten
Applet jedoch nur für genügend kurze Zeiten t.
Applet: billard/revers.html
aus dem Internet/lokal starten
Umkehr der Zeitrichtung mit Mausklick.
1100
31 Applets
Applet 11: Zentraler elastischer Stoß: Newton-Wiege
Ein als Newton-Wiege (Newton’s cradle) bekanntes Demonstrationsexperiment besteht aus einer Reihe unmittelbar nebeneinander positionierter Pendel. Kugeln gleicher Masse sind jeweils durch zwei Fäden so aufgehängt, dass sie in einer Ebene
schwingen können. Lenkt man eines der äußeren Pendel dieser Reihe nach außen
aus und läßt es danach zurückschwingen, trifft es genau im unteren Punkt seiner
Bahn (mit maximaler kinetischer Energie) das benachbarte Pendel. Die Kugel gibt
bei einem vollständig elastischen Stoß alle kinetische Energie ab und bleibt in Ruhe.
Die zweite Kugel nimmt die Bewegungsenergie auf und gibt sie wiederum in einem
elastischen Stoß an die dritte Kugel weiter usw. Die letzte Kugel vollführt eine halbe Pendelschwingung und stößt danach wieder die vorletzte Kugel an, worauf die
kinetische Energie wieder Kugel für Kugel zur ersten ’zurückgereicht’ wird. Ein gut
präpariertes System wird so lange schwingen, bis die anfänglich zugeführte Energie
durch kleine Reibungsverluste und inelastische Anteile der Stöße aufgebraucht ist.
Im Applet wird diese Situation durch nebeneinander liegende, elastisch stoßende
Kugeln simuliert. Zur Veranschaulichung sind die Kugeln in der Reihe in solchen
Abständen platziert, dass man alle gegenseitigen Stöße einzeln beobachten kann.
Wenn zu Beginn die erste Kugel zentral auf die zweite trifft, wird dieses ideale Modellsystem unendlich lange seine zyklische Energieübertragung fortsetzen.
Applet: billard/stoss1.html
aus dem Internet/lokal starten
Man kann durch Mausklick das System zurücksetzen und der ersten Kugel eine
andere Anfangsgeschwindigkeit geben, dann sind im allgemeinen Fall der erste und
auch alle folgenden Stöße nicht zentral und die Bewegungsenergie wird in diesem
Fall nicht vollständig von der stoßenden auf die gestoßene Kugel übertragen. Damit
wird die Bewegung der Kugeln schnell vollkommen ungeordnet.
Es seien anfangs zwei Kugeln (grau) in Bewegung. Die Kugeln tauschen wieder bei
elastischen Stößen mit den jeweiligen Nachbarn ihre Impulse und Energien aus. Dadurch sind auch in der Folge zu jeden Zeitpunkt genau zwei Kugeln in Bewegung, alle
anderen in Ruhe. Die Beträge der Geschwindigkeiten ändern sich nicht. Insbesondere
sind in periodischer Folge nur jeweils zwei äußere Kugel auf einer Seite der Kette
in Bewegung, alle anderen Kugeln in Ruhe. Daran ändert sich auch dann nichts,
wenn beide anfangs bewegten Kugeln nicht die gleichen Anfangsgeschwindigkeiten
besitzen. In diesem Fall wird zu jedem Zeitpunkt eine der Kugeln (betragsmäßig)
die Anfangsgeschwindigkeit der ersten Kugel haben, eine zweite Kugel die Anfangsgeschwindigkeit der zweiten Kugel.
31 Applets
1101
In einer ’Newton-Wiege’ findet man eine ähnliche Situation vor. Lenkt man anfangs
zwei Pendel (oder allgemein n Pendel) aus, dann werden auf der anderen Seite der
Reihe ebenso viele Pendel abgestoßen.
Applet: billard/stoss11.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit einem Mausklick kann man das System zurücksetzen und nun 3 Kugeln die gleiche Anfangsgeschwindigkeit geben. Dann befinden sich zu jedem Zeitpunkt 3 Kugeln
in Bewegung, alle mit (betragsmäßig) gleichen Geschwindigkeiten, und die anderen
Kugeln sind in Ruhe. Nach einem weiteren Mausklick werden vier Kugeln gestartet,
nach dem folgenden fünf. Mit dem darauffolgenden Mausklick wird das System in
den Anfangszustand mit zwei sich bewegenden Kugeln zurückgesetzt.
1102
31 Applets
Applet 12: Zentraler elastischer Stoß ungleicher Massen
Wie im vorigen Beispiel (11) liegen Kugeln anfangs in einer Reihe und der erste sowie
alle folgenden Stöße sind zentral. Die Kugeln haben hier aber leicht unterschiedliche
Massen, die rechte (schwarze) Kugel ist um den Faktor (13/12)3 ≈ 1, 27 schwerer
als die übrigen. Damit ist der Energieübertrag beim ersten Stoß dieser Kugel nicht
vollständig und das System kommt danach sofort ’aus dem Rhythmus’.
Applet: billard/stoss4.html
aus dem Internet/lokal starten
Durch Drücken der linken Maustaste kann die Bewegung angehalten werden.
Das folgende Applet zeigt den zentralen Stoß von Kugeln sehr unterschiedlicher Massen (Massenverhältnis M = 50 : 1). Anfangs bewegt sich die kleinere Kugel mit der
Geschwindigkeit υ1 , die große Kugel ist in Ruhe. Nach dem zentralen elastischen Stoß
kehrt die kleine Kugel ihre Bewegungsrichtung um, sie erhält die Geschwindigkeit
υ10 = −
M −1
υ1 .
M +1
Die große Kugel bewegt sich nach dem Stoß, ihre Geschwindigkeit beträgt allerdings
nur
2
υ20 =
υ1 , |υ20 | |υ10 |.
M +1
Bei der zweiten Kollision wird die große Kugel weiter beschleunigt, die kleinere abgebremst. Das bleibt auch bei den folgenden Kollisionen so, solange beide Kugeln vor
der Kollision die gleiche Bewegungsrichtung haben. Nach der Reflexion der großen
Kugel an der Bande verliert diese nach jeder weiteren Kollision mit der kleinen Kugel an diese einen Teil ihrer Bewegungsenergie, bis sie stehenbleibt. Danach beginnt
der Prozess von vorn.
Applet: billard/stoss12.html
aus dem Internet/lokal starten
Das folgende Applet beschreibt den zentralen Stoß von Kugeln mit dem Massenverhältnis 2:1. Anfangs bewegt sich die kleinere Kugel (weiß), die große Kugel (blau)
ist in Ruhe. Nach dem zentralen elastische Stoß kehrt die erste Kugel ihre Bewegungsrichtung um, die zweite beginnt, sich gleichförmig zu bewegen. Das Verhältnis der
Beträge der Geschwindigkeiten nach dem Stoß ist 1:2. Beide Kugeln treffen wieder
zusammen, nachdem jede der Kugeln mit der gegenüberliegenden Bande kollidiert
ist und ihre Bewegungsrichtungen sich umgekehrt haben. Die Umkehr der Impulse
31 Applets
1103
beider Kugeln ist praktisch äquivalent einer Zeitumkehr im System, deshalb stellt
der folgende Stoß kinematisch die Umkehr des ersten Stoßes dar, die große Kugel
bleibt danach liegen, während die kleine Kugel ihre Anfangsgeschwindigkeit (betragsmäßig) wiedergewinnt.
Applet: billard/stoss13.html
aus dem Internet/lokal starten
Im folgenden Beispiel bewegt sich anfangs ebenfalls nur die kleinere Kugel (weiß),
die größere Kugel (blau) ist in Ruhe. Nach dem zentralen elastische Stoß kehrt die
erste Kugel ihre Bewegungsrichtung um, die zweite beginnt, sich gleichförmig zu
bewegen. Die Beträge der beiden Geschwindigkeiten sind danach gleich (wie muss
demzufolge das Verhältnis der beiden Massen sein?).
Beide Kugeln treffen wieder etwa an der gleichen Stelle in der Mitte zusammen,
nachdem jede der Kugeln mit der gegenüberliegenden Bande kollidiert ist.
Applet: billard/stoss14.html
aus dem Internet/lokal starten
1104
31 Applets
Applet 13: Haftreibung, angelehnte Leiter
Eine Leiter mit dem Gewicht G und Schwerpunkt in der Mitte lehnt an einer Wand.
An der Wand liegt sie reibungsfrei an (Rolle), auf dem Boden wird sie durch die
Haftreibung (Haftreibungskoeffizient 0,8) gehalten. An den Auflagepunkten wirken
die Kräfte F1 und F3 horizontal und am Boden die vertikale Kraft F2 . An der Wand
gibt es wegen der fehlenden Reibung keine Vertikalkomponente. Die Kräfte F1 und F3
müssen sich gegenseitig kompensieren, also gilt F1 = F3 . Die Kraft F2 kompensiert
das Gewicht der Leiter und folglich ist F2 = G. Bezüglich des Auflagepunktes am
Boden müssen sich die Drehmomente der Kräfte G und F3 gegenseitig kompensieren,
daraus ergibt sich
G cos a = 2F3 sin a,
wobei a der Winkel zwischen Leiter und Boden ist. Wenn F1 > 0, 8F2 , beginnt die
Leiter zu rutschen (gekennzeichnet durch roten Wert F1 ).
Applet: forces/forces3.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann der Anstellwinkel a der Leiter variiert werden.
31 Applets
1105
Applet 14: Einfaches Billard
Alle Kugeln führen miteinander und mit den Banden elastische Stöße aus. Die Kugeln
sind ideal glatt, es wird auch bei nichtzentralen Stößen keine Rotation der Kugeln
angeregt. Ein kleiner Gleitreibungsterm ist eingebaut. Nach einer Weile kommen alle
Kugeln zur Ruhe.
Applet: billard/billard.html
aus dem Internet/lokal starten
Durch Drücken der linken Maustaste kann man erneut die Anfangsaufstellung aufbauen und mit der Wahl der Position des Mauszeigers relativ zur Lage der weißen
Kugel dieser eine andere Anfangsgeschwindigkeit geben.
Im Folgenden soll die numerische Berechnung der Kugelbewegungen im Applet in
Grundzügen erläutert werden. Es seien N Kugeln gleicher Masse und gleichen Radius
R0 auf einer unbegrenzten Ebene verteilt. Die Kugeln können sich auf dieser Ebene
reibungsfrei translatorisch bewegen, rotatorische Bewegungen seien vernachlässigt
(ideal glatte Oberflachen, Impulsübertrag beim Stoß nur normal zur Berührungsfläche). Um die Bewegung der Kugeln einschließlich der Stöße zu berechnen, wird
zunächst der Zeitpunkt der nächsten Kollision bestimmt. Dazu wird die zeitliche
Änderung aller N · (N − 1)/2 Abstände zwischen beliebigen Paaren von Kugeln
(Mittelpunkt zu Mittelpunkt) berechnet unter der Voraussetzung, dass sich die Kugeln ohne Kollisionen weiterbewegen. Die Gleichungen
~ri (t) = ~ri0 + ~υi t,
i = 1, 2, ..., N
beschreiben die Änderung der Positionen ~ri der Kugeln, ~υi seien ihre Geschwindigkeiten und ~ri0 ihre Ausgangspositionen zur Zeit t = 0. Aus den Mittelpunktsabständen
2
Rij (t) = |~ri (t) − ~rj (t)| werden die in t quadratischen Funktionen Rij
(t) − (2R0 )2
bestimmt. Jede dieser Funktionen hat genau zu den Zeiten eine Nullstelle, zu denen
die Kugeln i und j sich mit ihren Oberflächen gerade berühren. Für die Existenz und
Lage der Nullstellen sind für jedes Kugelpaar drei mögliche Fälle zu unterscheiden:
1.) Es existieren keine Nullstellen, in diesem Fall verlaufen die Bewegungen beider
Kugeln so, dass sich die Kugeln nie treffen. Stöße dieser beiden Kugeln miteinander können zunächst unberücksichtigt bleiben. Im Falle der Existenz genau einer
Nullstelle würden sich die beiden Kugeln irgendwann gerade berühren oder bereits
berührt haben, ohne dass ein Stoß bzw. Impulsübertrag zu berücksichtigen ist (im
Moment der Berührung ist ihre zum gemeinsamen Massenschwerpunkt hin gerichtete Geschwindigkeitskomponente Null). Für die Berechnung der Bahnkurven kann
man solche Begegnungen der Kugeln ebenfalls vernachlässigen.
(1)
(2)
2.) Es existieren zwei Nullstellen und die zugehörigen Zeiten tij und tij sind beide
negativ, in diesem Fall werden sich die Kugeln i und j in der Zukunft nicht treffen,
1106
31 Applets
für die Bestimmung des Zeitpunktes der nächsten Kollision können die berechneten
Nullstellen unberücksichtigt bleiben.
(1)
(2)
3.) Es existieren zwei Nullstellen, die zugehörigen Zeiten tij < tij sind positiv,
(1)
dann werden die Kugeln i und j zur Zeit tij miteinander kollidieren, sofern keine
der beiden Kugeln bis zu diesem Zeitpunkt Stöße mit anderen Kugeln ausgeführt
hat.
(1)
(2)
Es existiert auch der unphysikalische Fall, dass tij und tij unterschiedliche Vorzeichen haben, das würde aber bedeuten, dass sich die Kugeln i und j zum Zeitpunkt
t = 0 gegenseitig durchdringen.
Auf einer endlichen Fläche mit Rand sind noch in einer ähnlichen Weise mögliche
Kollisionen der Kugeln mit den Rändern zu berechnen.
(1)
Man sucht nun aus den zu berücksichtigenden Zeiten (tij > 0) aller Kugelpaare den kleinsten Wert heraus, das ist der Zeitpunkt der nächsten Kollision zweier
Kugeln. Bis zu diesem Zeitpunkt kann die Bewegung aller Kugeln durch die oben
angegebenen Bewegungsgleichungen beschrieben werden. Zum Zeitpunkt des Stoßes ändern sich zumindest die Geschwindigkeiten der beiden kollidierenden Kugeln,
anschließend muss die gesamte Berechnung der Bewegungen wie oben angegeben
erneut durchgeführt werden, da sich zumindest für die beiden kollidierenden Kugeln
die vorausberechneten Abstände zu allen anderen Kugeln ändern, und man kann die
Bewegung des Systems bis zur folgenden Kollision berechnen.
Zur Beschreibung des Stoßes betrachtet man am einfachsten die beiden Geschwindigkeiten ~ui der Kugeln in ihrem Schwerpunktsystem, die man jeweils aus der Differenz
der ~υi und der Geschwindigkeit ihres gemeinsamen Schwerpunktes bestimmt. Die
beiden folgenden Bilder zeigen zwei Kugeln mit ihren Geschwindigkeiten, links im
ortsfesten System, rechts im Schwerpunktsystem, das sich im ortsfesten System mit
der Geschwindigkeit ~υs = (~υ1 + ~υ2 )/2 bewegt.
v1
v
1
vs
v
2
u1
−vs
−vs
v
2
u2
Bei der Kollision ändern die Geschwindigkeiten beider Kugeln im Schwerpunktsystem nur ihre Vorzeichen (zentraler elastischer Stoß). Man erhält danach die Geschwindigkeiten ~υ10 , ~υ20 im ortsfesten System nach dem Stoß, indem wie im folgenden
Bild gezeigt die Geschwindigkeit des Schwerpunktes wieder addiert wird.
31 Applets
vs
−u 1
1107
v1’ v ’
2
−u 2
vs
Ganz analog, wenn auch numerisch aufwändiger, funktioniert die Berechnung wenn
Reibungsterme oder eine Beschleunigung durch eine externe Kraft einbezogen werden oder wenn die Stöße nicht vollkommen elastisch verlaufen.
1108
31 Applets
Applet 15: 2. Kepler-Gesetz
Im Applet wird die Bewegungsgleichung einer Punktmasse (”Trabant”) im Gravitationspotential eines Zentralkörpers numerisch integriert. Der Trabant befindet sich
in einem Anfangsabstand R0 vom Zentralkörper, seine Anfangsgeschwindigkeit ist
tangential (d.h. senkrecht zum Leitstrahl, der Verbindungslinie zum Zentralkörper)
und er beschreibt in dessen Gravitationsfeld eine elliptische Bahn. Der Leitstrahl
überstreicht dabei in gleichen Zeiten gleiche Flächen (2. Kepler-Gesetz). Im Applet
wird das dadurch demonstriert, dass die Verbindungslinie zwischen beiden Körpern
in regelmäßigen Zeitabständen umgefärbt wird (gelb/grün). Nach jedem Zeitschritt
werden die aktuelle Bewegungsgeschwindigkeit V , bezogen auf die Anfangsgeschwindigkeit V0 , sowie der momentane Abstand R zum Zentralkörper bezogen auf den
Anfangsabstand R0 angezeigt. Die Angabe der Energie E ist normiert auf den Absolutbetrag der Energie einer identischen Punktmasse auf einer Kreisbahn mit Radius
R0 um den Zentralkörper. Nach einem Umlauf wird die Berechnung der Bahnbewegung beendet (die letzte Fläche kann dadurch von den anderen abweichen). Nach
Vollendung eines Umlaufes wird das Quadrat der Umlaufzeit T (bezogen auf den
Wert für die Kreisbahn) angezeigt. Außerdem wird numerisch der Wert des minimalen und maximalen Abstandes beider Körper berechnet und daraus die dritte Potenz
der großen Halbachse A bestimmt, die ebenfalls nach Vollendung des Umlaufes angezeigt wird (bezogen auf die dritte Potenz des Durchmessers der Kreisbahn). Bis
auf numerische Fehler sollte der ermittelte Wert mit dem darüberstehenden Quadrat
der Umlaufzeiten übereinstimmen, wie es das 3. Kepler-Gesetz voraussagt. In diesem
Beispiel sind alle einstellbaren Energien negativ, deshalb bleiben alle Zustände gebunden, es ergeben sich Ellipsenbahnen. Wegen der gewählten Anfangsbedingungen
liegen der zentrumsfernste und zentrumsnächste Punkt beide auf einer horizontalen
Linie durch den Zentralkörper.
Applet: kepler/kepler2.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann man die Anfangsgeschwindigkeit des Trabanten (und
damit seine Gesamtenergie) einstellen.
31 Applets
1109
Applet 16: Zentralkraft und momentane Bahngeschwindigkeit
Darstellung der Bewegung einer Punktmasse (”Trabant”) im Gravitationspotential
eines Zentralkörpers. Der blaue Pfeil kennzeichnet die Richtung der momentanen
Bahngeschwindigkeit des Trabanten, der rote Pfeil zeigt die anziehende Kraft des
Zentralkörpers auf den Trabanten an. Durch diese Kraft wirkt eine Beschleunigung
auf den Trabanten, der die Richtung und im allgemeinen Fall (Ausnahme Kreisbahn) auch den Betrag der Geschwindigkeit ändert. In der Anfangsposition befindet
sich der Trabant im zentralkörperfernsten Punkt (ist die Sonne der Zentralkörper,
spricht man vom Aphel, bei der Erde als Zentralkörper vom Apogäum) seiner Umlaufbahn. Zunächst hat die Kraft eine Komponente in Richtung der Geschwindigkeit,
dadurch wird der Trabant beschleunigt, und er nähert sich dem Zentralkörper. Im
zentralkörpernächsten Punkt der Bahn (Perihel, Perigäum) steht die anziehende
Kraft des Zentralkörpers senkrecht auf der Geschwindigkeit, die hier ihren größten
Wert erreicht. Danach bekommt die Zentralkraft eine Komponente, die antiparallel zur momentaten Umlaufgeschwindigkeit ist. Der Trabant verlangsamt seine Geschwindigkeit wieder und entfernt sich vom Zentralkörper.
Applet: kepler/kepler1.html
aus dem Internet/lokal starten
1110
31 Applets
Applet 17: Bahnkurven im Gravitationsfeld eines ruhenden
Zentralkörpers
Es wird die Bewegungsgleichung einer Punktmasse (”Trabant”) im Gravitationspotential eines Zentralkörpers numerisch integriert. Der Trabant befindet sich in einem
Anfangsabstand R0 vom Zentralkörper, seine Anfangsgeschwindigkeit ist tangential. In Abhängigkeit von seiner Energie E kann er eine elliptische Bahn beschreiben
(E < 0) oder das Gravitationsfeld auf einer Parabelbahn (E = 0) bzw. Hyperbelbahn (E > 0) verlassen. In jedem Fall überstreicht dabei der Leitstrahl in gleichen
Zeiten gleiche Flächen (2. Kepler-Gesetz). Im Applet wird die Verbindungslinie zwischen Zentralkörper und Trabant in regelmäßigen Zeitabständen umgefärbt. Wenn
eine Energie größer als 0 gewählt wird, gibt es keine geschlossene Kurve mehr, deshalb endet in diesem Fall das Programm nicht von selbst.
Applet: kepler/kepler3.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann man die Anfangsgeschwindigkeit des Trabanten (und
damit seine Gesamtenergie) einstellen.
31 Applets
1111
Applet 18: Bewegung im Gravitationsfeld eines sich bewegenden
Zentralkörpers
Die Bewegungsgleichung einer Punktmasse (”Trabant”) im Gravitationspotential eines sich bewegenden Zentralkörpers (damit bezeichnen wir hier einen Körper, dessen
Masse sehr groß gegen die des Trabanten ist, und der sich im gewählten Koordinatensystem gleichmäßig geradlinig bewegt) wird numerisch integriert. Der Trabant
befindet sich in einem Anfangsabstand R0 vom Zentralkörper, seine Anfangsgeschwindigkeit ist υ0 . Im Ruhesystem des Zentralkörpers beschreibt der Trabant wie
in Applet 17 je nach Energie eine Ellipsen-, Parabel- oder Hyperbelbahn. Geht man
in ein Koordinatensystem über, in dem sich der Zentralkörper gleichförmig bewegt,
dann hat der Trabant eine andere Anfangsgeschwindigkeit und folglich eine andere
Anfangsenergie, der Charakter seiner Bahn kann also davon abhängen, ob sich der
Zentralkörper im gewählten Koordinatensystem bewegt oder nicht Man kann leicht
zeigen, dass ein Übertrag von Energie auf den Trabanten stattfinden kann: denkt
man sich den Trabanten auf einer Hyperbelbahn mit sehr kleinem Öffnungswinkel,
so dass die Geschwindigkeiten vor und nach der Annäherung an den Zentralkörper
in dessen Ruhesystem S etwa gleichgroß, aber entgegengerichtet sind, und wechselt
man nun in ein System S0 , das sich etwa mit der Anfangsgeschwindigkeit des Trabanten im Ruhesystem S bewegt, dann wird dieser Trabant zu Beginn in Ruhe sein
und in genügend langer Zeit nach der Passage des Zentralkörpers im System S0 etwa
die zweifache Geschwindigkeit des bewegten Systems S0 relativ zum Ruhesystem S
haben. Man kann auf gleiche Art einen Trabanten bezüglich seiner Bewegung in einem System S0 abbremsen, wenn die Bewegung des Zentralkörpers der anfänglichen
Bewegung des Trabanten in S0 entgegengerichtet ist. Diesen Effekt kann man in der
Raumfahrt ausnutzen, etwa indem ein Satellit auf dem Weg zu einem ferneren Planeten am Jupiter oder Saturn im Vorbeiflug beschleunigt wird.
Applet: kepler/kepler4.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann man die Anfangsgeschwindigkeit des Trabanten (und
damit seine Anfangsenergie) einstellen. Seine anfängliche Gesamtenergie wird angezeigt. Nach jedem Zeitschritt wird der momentane Abstand, die Augenblicksgeschwindigkeit und die momentane Gesamtenergie angezeigt. Mit den Radioknöpfen
(links unten) kann man zwischen einem ruhenden, einem nach links und einem nach
rechts bewegten Zentralkörper wählen.
1112
31 Applets
Applet 19: Bewegung dreier Körper (in einer Ebene)
In einem Doppelsternsystem hat man es als Planetenbewohner nicht so leicht. Es
existieren im allgemeinen keine geschlossenen Bahnkurven, und keine gleichförmige
Abfolge von Jahreszeiten. Wenn die Bahn nicht nahezu kreisförmig ist, dann entsteht eine sehr unregelmäßige Bewegung. Im Beispiel ist die Bewegungsgleichung
einer Punktmasse, des ”Trabanten”, (rot) im Gravitationspotential zweier einander umkreisender zentraler Körper numerisch integriert. Dabei wurde angenommen,
dass die beiden großen zentralen Massen (schwarz) ungestört um einen gemeinsamen Schwerpunkt kreisen. Außerdem wird im Applet angenommen, dass sich die
drei Körper in einer Ebene bewegen. Es werden die Anfangsenergie des Trabanten E0 sowie seine momentane Energie E angezeigt. Man beachte, dass in diesem
Fall die Energie des Trabanten nicht mehr (wie im Fall einer Bewegung im Feld eines ruhenden Zentralkörpers) erhalten bleibt. Man kann sich leicht überlegen (siehe
Energiegewinn bei sich bewegendem Zentralkörper, Applet 18), dass bei der Bewegung um eine bewegte Gravitationsquelle die Energie jedes der Körper für sich allein
nicht mehr konstant ist.
Applet: kepler/kepler5.html
aus dem Internet/lokal starten
Der gegenseitige Abstand der beiden zentralen Körper (deren Massen als gleich und
sehr groß gegen die des Trabanten angenommen wurden) kann mit dem rechten
Schieberegler verändert werden. Mit dem linken Regler wird die Anfangsgeschwindigkeit und damit die Anfangsenergie des Trabanten eingestellt.
31 Applets
1113
Applet 20: Steiner’scher Satz
Das Trägheitsmoment der homogenen Vollkugel (Radius r, Masse m) bei Rotation
um ihren Mittelpunkt ist
2
I0 = mr2 .
5
Rotiert die Kugel um eine Achse, die nicht durch den Mittelpunkt geht, dann vergrößert sich das Trägheitsmoment um den Betrag ma2 , wobei a der Abstand der
Drehachse vom Mittelpunkt ist.
Applet: steiner/steiner.html
aus dem Internet/lokal starten
Der Abstand a kann mit dem Schieberegler eingestellt werden, das Trägheitsmoment
I wird angegeben.
1114
31 Applets
Applet 21: Nutation eines Kreisels
Das Trägheitsmoment des dargestellten Quaders mit quadratischem Grundriss lässt
sich als ein langgestrecktes oder abgeplattetes Rotationsellipsoid darstellen, je nach
Seitenverhältnissen des Kreiselkörpers. Wenn dieser Körper momentan nicht um seine Figurenachse s rotiert, dann fallen auch die momentate Drehachse (~
ω ) und die
~
Richtung des Drehimpulses L nicht zusammen. Die drei Achsen liegen aber zu jedem Zeitpunkt in einer Ebene, der Drehimpulsvektor ist für den kräftefreien Kreisel
~ die Figurenachse (Symmetrieachse des
raumfest, ω
~ und s rotieren auf Kegeln um L,
Trägheitsellipsoides) auf dem sog. Rastpolkegel, die momentane Drehachse auf dem
Gangpolkegel. Diese Taumelbewegung des kräftefreien Kreisels bezeichnet man als
Nutation (nutation). Im oberen Teil des Applets sind die Richtungen der Vektoren
~ und ω
L
~ sowie der Figurenachse S (parallel zur Seite a) in der Draufsicht auf die von
ihnen aufgespannte Ebene dargestellt. Je nach Form des Rotationsellipsoides liegen
S und ω
~ auf der gleichen Seite (langgestreckter Quader, abgeplattetes Trägheitsel~ (flacher Quader, langgestrecktes
lipsoid) oder auf entgegengesetzten Seiten von L
Trägheitsellipsoid). Sind alle Seiten des Quaders gleich, ist das Trägheitsellipsoid
~ unabhängig von der Lage
eine Kugel, und in diesem Fall ist ω
~ immer parallel zu L,
der Figurenachsen.
Applet: kreisel/kreisel.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem oberen Schieberegister wird das Seitenverhältnis a/b des Quaders eingestellt und mit dem unteren der Winkel φ zwischen dem Drehimpulsvektor L und der
Richtung des Vektors, der parallel zur Kantenlänge b steht (halber Öffnungswinkel
des Rastpolkegels).
31 Applets
1115
Applet 22: Schwimmender Balken, Auftrieb und Gleichgewichtslage
(siehe auch Übungsaufgabe 24)
Die Gleichgewichtslage eines schwimmenden Körpers wird durch die Lage der
Schwerpunkte des Körpers und des von ihm verdrängten Wassers bestimmt. Wir
bestimmen hier die Gleichgewichtslage eines schwimmenden Balkens quadratischen
Querschnittes und sehr großer Länge. Ein solcher Schwimmkörper nimmt genau
dann eine stabile Gleichgewichtslage ein, wenn alle Drehmonente auf seine horizontale Achse sich kompensieren und wenn sein Gewicht gleich dem Gewicht der vom
Körper verdrängten Flüssigkeit ist. Das ist aus Symmetriegründen dann der Fall,
wenn die vertikale Ebene, die seine Längsachse enthält, eine Spiegelebene ist, d.h.
wenn seine Seitenflächen entweder parallel und senkrecht zur Flüssigkeitsoberfläche
oder diagonal dazu gerichtet sind. In jeder anderen Lage ist der Schwerpunkt des
verdrängten Wassers nicht senkrecht unter der Mittelachse des Körpers, die seinen Schwerpunkt enthält, und Auftrieb und Gewicht üben ein Drehmoment auf
den Körper aus. Welche der beiden Schwimmlagen der Körper einnehmen wird, bestimmt sich dadurch, in welcher Höhe der Schwerpunkt des Körpers und der der
verdrängten Flüssigkeit sich befinden. Im ersteren Falle (Balkenoberseite parallel
zur Flüssigkeitsoberfläche) liegt der Schwerpunkt der verdrängten Flüssigkeit auf
der halben Eintauchtiefe, im zweiten Fall (diagonal schwimmender Balken) in 1/3
der Tiefe der eingetauchten unteren Kante. Vergleicht man die potentiellen Energien beider Lagen, dann ergibt sich, dass von einem sehr leichten Balken (Dichte ρB
klein gegen die Flüssigkeitsdichte ρFl ) die erstere Schwimmlage eingenommen wird
von einem schwimmenden Balken großer Dichte (ρ > 0, 242ρFl ) letztere Lage. Für
ρ = 0, 242ρFl ist das Gleichgewicht indifferent, alle Lagen sind gleichberechtigt.
Applet: schwerpunkt/schwerpunkt2.html
aus dem Internet/lokal starten
Das Verhältnis ξ = ρ/ρFl kann mit dem Schieberegler variiert werden. Die Lagen
der Schwerpunkte sk des schwimmenden Balkens und sw des verdrängten Wasses
werden angezeigt (bezüglich der Wasseroberfläche, in Einheiten der Kantenlänge des
quadratischen Balkenquerschnittes).
1116
31 Applets
Applet 23: Barometrische Höhenformel am Beispiel elastisch stoßender
Kugeln
Elastische Stöße unterschiedlich schwerer Kugeln unter dem Einfluss einer konstanten (Schwere-) Beschleunigung in senkrechter Richtung werden numerisch berechnet.
Die Massen der zyanfarbenen und blauen Kugeln verhalten sich wie 1:4, dementsprechend stellt sich im Mittel eine unterschiedliche Verteilung der mittleren Geschwindigkeiten ein (2:1, Gleichverteilungssatz der Verteilung der ’thermischen’ Energie auf
die Bewegungsfreiheitsgrade des Systems). Durch die Wirkung des Beschleunigungsterms konzentrieren sich die Kugeln im unteren Bereich des Kastens, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit jedes individuellen Teilchens in einer bestimmten Höhe wird durch
eine nach oben abfallende Exponentialfunktion beschrieben (barometrische Höhenformel, Gl. (92)). Dabei ist die mittlere Höhe (ze in Gl. (93)) für die schnelleren
(kleineren) Teilchen größer, denn es stellt sich im Mittel auch eine Gleichverteilung
der potentiellen Energie ein. Weil die Massen der kleinen und großen Teilchen sich
um den Faktor 4 unterscheiden, sollte der Mittelwert der Höhen der leichteren Teilchen im zeitlichen Durchschnitt um den Faktor 4 größer sein als der der schwereren
Teilchen. (Die Markierungen am Rand geben jeweils den augenblicklichen Mittelwert
der Höhen für beide Teilchensorten an.)
Applet: billard/baromet.html
aus dem Internet/lokal starten
Bemerkung 1: Da der Kasten nach oben geschlossen ist, entspricht die mittlere Höhe
der leichteren Kugeln nicht genau dem Wert, der sich aus der barometrischen Höhenformel ergeben würde, denn die Teilchen werden gelegentlich vom oberen Gefäßrand
reflektiert.
Bemerkung 2: Auf Grund von Rundungsfehlern bei der Berechnung der Kollisionen
im Applet ist die mittlere Energie (die Temperatur in Gl. (93)) und damit auch die
mittlere Höhe der Kugeln über sehr lange Zeiten nicht konstant.
31 Applets
1117
Applet 24: Katenoide als Beispiel einer Minimalfläche
Zwischen zwei Röhrchen mit dem Radius R, die mit ihren Enden zusammengehalten
werden, wird Seifenlösung gebracht. Beim Auseinanderziehen der Röhrchen entlang
ihrer gemeinsamen Achse (x-Koordinate) bildet sich ein ringförmiger Film, der unter
den gegebenen Randbedingungen (Fixierung an den Zylinderenden im gegenseitigen
Abstand 2D) eine Minimalfläche darstellt. Die Minimierung der Fläche bei gegebenen Randbedingungen
s
2
Z D
dr
dx = min!
2πr(x) 1 +
dx
−D
mit Hilfe der Euler-Lagrange-Gleichungen führt auf die Lösung
r(x)
x
= cosh
,
R0
R0
in der r(x) der lokale Radius des Filmes, x die Koordinate entlang der Röhrchenachse, mit dem Nullpunkt in der Mitte zwischen beiden Röhrchenenden und R0 = r(0)
der Radius des Filmes an seiner engsten Stelle ist. Die Konstante R0 ergibt sich in
Abhängigkeit vom Abstand 2D der Enden aus der Randbedingung
D
R
= cosh
.
R0
R0
Es existiert eine maximale Entfernung beider Röhrchen, bis zu der diese Bedingung
erfüllbar ist (D/R = 0, 66274). Zieht man die Röhrchen weiter auseinander, dann
reißt der Film zwangsläufig, weil dann keine stabile Lösung mehr existiert.
Applet: katenoide/katenoide.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler wird das Verhältnis des Röhrchendurchmessers zum Röhrchenabstand eingestellt.
1118
31 Applets
Applet 25: Innendruck einer Seifenblase
Für die Beziehung zwischen dem Überdruck p im Inneren einer Seifenblase und dem
Krümmungsradius R der Membran gilt die Gleichung
p = 4σ/R,
wobei σ die Oberflächenspannung der Seifenlösung ist. Der Faktor 4 anstelle von 2
berücksichtigt, dass der Seifenfilm zwei Luft-Flüssigkeits-Grenzflächen hat. Pumpt
man Luft in eine Kapillare, die durch einen ebenen Seifenfilm abgeschlossen ist, dann
kann man die Oberflächenspannung des Filmes aus dem Verhältnis zwischen p und R
bestimmen. Das Applet zeigt die Änderung des Radiusses und des Drucks als Funktion des in das System gepumpten Volumens. Der Krümmungsradius der Membran
ist anfangs unendlich und sinkt mit steigendem Volumen auf den Kapillarradius
rcap ab. Bei diesem Wert wird gleichzeitig der maximale Innendruck p = 4σ/rcap
erreicht. Bei weiterer Volumenzunahme steigt der Krümmungsradius wieder an und
der Überdruck sinkt invers proportional zum Blasenradius ab.
Applet: bubble/bubble1.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler wird das Volumen der Seifenblase verändert.
31 Applets
1119
Applet 26: Kommunizierende Seifenblasen
Die Beziehung zwischen dem Überdruck p im Inneren einer Seifenblase und dem
Krümmungsradius R der Membran ergibt sich aus der Gleichung
p = 4σ/R.
Verbindet man zwei Kapillaren gleichen Durchmessers, die durch Seifenfilme mit gleichen Oberflächenspannungen abgeschlossen sind, dann bilden sich gleiche Krümmungsradien der beiden Filme heraus. Solange das Volumen der beiden Kugelkappen zusammen kleiner als das einer Kugel mit dem Radius der Kapillaröffnungen ist, d.h.
solange beide Filme flacher als Halbkugelkappen sind, deformieren sich beide Filme
gleich stark (symmetrische Lösung). Wenn das in den Blasen vorhandene Luftvolumen soweit ansteigt, dass die Kugelkappen größer als Halbkugelkappen werden, gibt
es zu einem gegebenen Volumen zwei Lösungen. Die symmetrische Lösung (zwei
gleiche Kugelkappen) wird instabil, es wächst eine der beiden Blasen auf Kosten
der anderen. Geometrisch ergänzen sich beide Filme dabei zu einer Kugeloberfläche.
Das Applet zeigt die Änderung des Radiusses und des Drucks als Funktion des in
die Blasen gepumpten Volumens. Die symmetrische Lösung schlägt bei Erreichen
des kritischen Krümmungsradius rcap in die asymmetrische Lösung um.
Applet: bubble/bubble2.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler wird das Luftvolumen in den beiden Seifenblasen eingestellt.
1120
31 Applets
Applet 27: Flüssiger Tropfen, Oberflächenspannungen
(siehe auch Übungsaufgabe 26)
An der Grenzlinie dreier Fluide 1,2,3 (Flüssigkeiten oder Gase), die zueinander die
Grenzflächenspannungen σ12 , σ13 und σ23 haben, bildet sich ein Gleichgewicht, wenn
sich die durch die Grenzflächenspannungen ergebenden Kräfte in allen Raumrichtungen kompensieren. Das ist genau dann der Fall, wenn zwischen den Winkeln und
Grenzflächenspannungen die folgenden beiden Beziehungen gelten
σ12 = σ13 cos α13 + σ23 cos α23
und
σ13 sin α13 = σ23 sin α23 .
1
α 13
α 23
3
2
Ist die erste dieser Gleichungen nicht erfüllbar, weil σ12 + σ13 < σ23 oder σ12 + σ23 <
σ13 gilt, dann existiert kein Gleichgewichtszustand. Ein Tropfen von Flüssigkeit 3
auf Flüssigkeit 2 würde diese dann jeweils vollständig benetzen oder entnetzen.
Applet: tropfen/tropfen.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit Hilfe der Schieberegler kann man die Verhältnisse σ13 /σ12 beziehungsweise
σ23 /σ12 festlegen. Die an der Grenzfläche wirkenden Kräfte sowie die Winkel zwischen den Tangenten sind eingezeichnet. Die Winkel sind nicht von der Größe des
Tropfens abhängig.
31 Applets
1121
Applet 28: Ungedämpfter linearer Oszillator
Die Bewegungsgleichung des ungedämpften harmonischen Oszillators
m
d2 z
= −Dz,
d t2
die eine einfache
p analytische Lösung besitzt (harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz ω = D/m, siehe Abschnitt 5.1.1, Gln. (123)-(129)), wird hier numerisch
integriert (mittels Runge-Kutta-Verfahren). Eine zusätzlich wirkende Schwerkraft
(Beitrag mg mit einer konstanten Schwerebeschleunigung g) ändert die Bewegungsgleichung nicht, wenn man mit einer Koordinatentransformation (z̃ = z − mg/D)
die geänderte Nullpunktslage berücksichtigt.
Im Gegensatz zum mathematischen Pendel, bei dem eine harmonische Schwingung
nur für kleine Auslenkungen auftritt, ist hier die harmonische Lösung exakt. Koppelt man zwei Pendel miteinander, dann sind die Bewegungsgleichungen nicht mehr
einfach analytisch integrierbar, es ergeben sich komplizierte, nichtperiodische Bewegungen. Im Falle zweier gekoppelter linearer Oszillatoren (Applet 30), und linearer
Kopplung ergeben sich aber immer noch einfache analytische Lösungen (Überlagerungen harmonischer Bewegungen, bei denen höchstens zwei verschiedene Frequenzen auftreten).
Applet: oszill/oszillator1b.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit Hilfe der Schieberegler kann man die Masse m bei unveränderter Federkonstante
D = 1 variieren, die Kreisfrequenz wird angegeben. Alle Größen sind in dimensionslosen Einheiten angegeben.
1122
31 Applets
Applet 29: Linearer Oszillator mit Reibung
Die Bewegungsgleichung des linearen Oszillators mit Reibung
m
dz
d2 z
= −R
− Dz,
d t2
dt
die eine einfache analytische Lösung besitzt (Gl. (126)), wird hier numerisch integriert (mittels Runge-Kutta-Verfahren), die Lösung ist eine gedämpfte Schwingung.
Applet: oszill/oszillator1a.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit Hilfe der Schieberegler kann man das Verhältnis R/m bei unveränderter Federkonstante D = 1 und Masse m = 1 variieren. Die Markierungen auf der Zeitachse
geben die Periodendauer eines ungedämpften Oszillators derselben Masse und Federkonstanten an.
Alle Größen
psind in dimensionslosen Einheiten angegeben, d. h. R/m in Einheiten
von ω0 = D/m, damit entspricht die Bedingung für kritische Reibung (vor Gl.
(129)) hier im Applet der Parametereinstellung R/m = 2.
31 Applets
1123
Applet 30: Kopplung zweier linearer Oszillatoren
Im Gegensatz zum einfachen harmonischen Oszillator sind hier zwei Massen (ohne
Dämpfung) miteinander gekoppelt. Die Bewegungsgleichungen der einzelnen Massenpunkte haben die Form
m1
d2 z1
= −D1 z1 − D2 (z1 − z2 )
d t2
d2 z2
= −D2 (z2 − z1 ).
d t2
wobei z1 und z2 die Entfernung der Positionen der beiden Massen von ihren
Gleichgewichts-Ruhelagen (schwarze Linien) darstellen sollen. Diese gekoppelten Bewegungsgleichungen werden hier numerisch integriert (Runge-Kutta-Verfahren).
m2
Applet: oszill/oszillator2.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit den Schiebereglern können die Massen (1 obere, 2 untere Masse) variiert werden.
Der Zeitabstand der einzelnen Messpunkte ist 0,2 (in dimensionslosen Einheiten, die
Zeit ist in Einheiten von ([Masse] · [Federkonstante])0,5 gemessen, die Federkonstanten D1 , D2 sind beide 1 gesetzt.
Ist die untere Masse m2 deutlich schwerer als die obere (gleiche Federkonstanten
vorausgesetzt), dann vollführt sie relativ zur Lage der oberen Masse eine kaum
gestörte harmonische Schwingung mit ihrer Eigenfrequenz (s.unten), während die
obere, leichtere Masse 1 mit einer deutlich höheren Eigenfrequenz um eine mittlere Lage schwingt, die der langsamen Relativbewegung von Masse 2 in Phase folgt.
Ist die obere Masse m1 deutlich schwerer als die untere, dann schwingt ebenfalls
die untere Masse praktisch ungestört bezüglich m2 mit ihrer schnellen Eigenfrequenz, während die obere Masse ähnlich dem getriebenen harmonischen Oszillator
dieser Bewegung synchron, fast gegenphasig folgt. In beiden Fällen kann man in den
Pendelbewegungen die Anteile der beiden Eigenfrequenzen recht gut voneinander
unterscheiden. Zusätzliche Einflüsse einer Schwerkraft (zusätzliche Kräfte m1 g, m2 g
mit einer konstanten Schwerebeschleunigung g) ändert die Bewegungsgleichungen
nicht, wenn man die Nullpunktslagen der beiden Massen entsprechend korrigiert
(z̃1 = z1 − (m1 + m2 )g/D1 , z̃2 = z2 − (m1 + m2 )g/D1 − m2 g/D2 ).
Die Bewegungsgleichungen der ungekoppelten Oszillatoren sind linear, ebenso der
Kopplungsterm. Man kann daher die Bewegungsgleichungen auf ein lineares Differentialgleichungssystem zurückführen, das in Abhängigkeit von den jeweiligen Massen
und Federkonstanten zwei Eigenschwingungen hat. Setzt man z. B. im obigen Gleichungssystem die neuen Variablen x = z1 , y = z2 −z1 ein und wählt die Abkürzungen
p
p
ω12 = D1 /m1 , ω22 = D2 /m2 und q 2 = D1 /m2 ,
1124
31 Applets
dann ist
ẍ
ÿ
!
=−
ω12
−ω12
−q 2
ω22 + q 2
!
x
y
!
(zwei Punkte über einer Variablen bezeichnen ihre zweite Ableitung nach der Zeit).
Die beiden überlagerten Frequenzen, die im allgemeinen Fall die Bewegung der gekoppelten Pendel bestimmen, findet man aus den Eigenwerten λ1 , λ2 dieser Matrix.
r
ω12 + ω22 + q 2
(ω12 + ω22 + q 2 )2
λ1,2 = −
±
− ω12 ω22
2
4
31 Applets
1125
Applet 31: Erzwungene Schwingungen eines linearen Oszillators
Die Bewegungsgleichung des linearen Oszillators mit periodischer äußerer Kraft
m
dz
d2 z
= −R
− Dz + F̂ cos ωt,
d t2
dt
(Gl. (130)) wird hier numerisch integriert (Runge-Kutta-Verfahren). Die Zeitschritte
der dargestellten Kurve sind 0,2 (inp
dimensionslosen Zeiteinheiten, d. h. die Zeit ist
normiert in Einheiten von ω0−1 = m/D), die Längenangaben beziehen sich auf
eine Einheitslänge z0 . Bei der Berechnung wurden D = 1 und m = 1 gesetzt, d.h.
ω0 = 1. Die antreibende Kraft hat die Amplitude F̂ = 0, 01 (in Einheiten von Rz0 ).
Der Pfeil zeigt die momentane treibende Kraft an, die lila Kurve deren Zeitverlauf
(Marker kennzeichnen die Krafteinheit 0,005). Die blaue Kurve stellt die Auslenkung der Masse dar, die Marker kennzeichnen hier Längeneinheiten von 0,01. Für
geringe Anregungsfrequenzen ist der Oszillator in Phase mit der anregenden Kraft,
für hohe Frequenzen schwingt er gegenphasig. Bei der Resonanzfrequenz, die durch
die Reibung gegenüber der Eigenfrequenz des ungedämpften Oszillators geringfügig
zu niedrigeren Frequenzen verschoben ist, hat die Amplitude ihr Maximum und die
Phase der Schwingung ist um eine Viertelperiode gegenüber der anregenden Kraft
verzögert.
Applet: oszill/oszillator3.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler wird die Anregungsfrequenz ω (in Einheiten der Eigenschwingung ω0√des ungedämpften Oszillators) sowie die Dämpfung R (in Einheiten von
mω0 = mD) eingestellt.
1126
31 Applets
Applet 32: Überlagerung harmonischer Schwingungen, Schwebungen
Bei der Überlagerung von zwei Schwingungen mit gleicher Amplitude aber unterschiedlichen Frequenzen
sin ω1 t + sin ω2 t
entsteht eine Schwingung mit der mittleren Frequenz der beiden Einzelschwingungen, deren Amplitude mit der Differenzfrequenz der beiden erzeugenden Schwingungen moduliert ist. Im Applet werden (in verkleinertem Maßstab) die beiden ursprünglichen Schwingungen (grün,rot), die entstehende Überlagerungskurve sowie
deren Einhüllende dargestellt.
Applet: schwebung/schwebung.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler wird das Verhältnis der Frequenzen variiert, f2 ist dabei konstant gehalten.
31 Applets
1127
Applet 33: Lissajous-Figuren
Lissajous-Figuren entstehen durch die Darstellung von zwei harmonischen Schwingungen mit den Frequenzen f1 und f2 in der Form
x = cos(2πf1 t)
y = cos(2πf2 t + φ).
Sie werden im Applet für verschiedene rationale Frequenzverhältnisse gezeigt. Die
x-Achse ist in der Darstellung horizontal, die y-Achse vertikal. Der Koordinatenursprung liegt in der Mitte der Grafik. Applet: lissajous/lissajous.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit Hilfe der drei Schieberegler werden die beiden sich überlagernden Frequenzen f1
und f2 sowie die gegenseitige Phase φ variiert.
1128
31 Applets
Applet 34: Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
Das Applet zeigt die Bewegung eines anfangs gaußförmigen Wellenpaketes bei Vorhandensein von Dispersion: Eine Abhängigkeit ω ∝ k 0,5 der Kreisfrequenz der Welle
von ihrer Wellenzahl k (wie z.B. bei Schwerewellen in tiefem Wasser, s.Aufgabe 35)
wurde dabei angenommen. Das führt zu einer Gruppengeschwindigkeit υg , die genau halb so groß wie die Phasengeschwindigkeit υp ist. Die Phasengeschwindigkeit
kann man im Applet an der Position des roten Pfeiles mitverfolgen. Dieser Pfeil
folgt einer festen Phase der dominierenden Welle im Paket. Die Einhüllende des
Wellenpaketes ist durch die gepunktete schwarze Linie gekennzeichnet. Der blaue
Pfeil folgt dem Maximum der Einhüllenden und markiert die Gruppengeschwindigkeit. Die Form des Wellenpaketes bleibt hier erhalten, seine Breite nimmt zu, wie
man an der Zeitentwicklung des zweiten Momentes M2 der Einhüllenden ablesen
kann. Die Berechnung der Wellenpaketform erfolgte hier durch Aufsummieren einer
endlichen, diskreten Anzahl von Fourierkoeffizienten des Wellenzuges. Daher ist die
resultierende Funktion räumlich periodisch und nach einiger Zeit erscheint ein neuer
Wellenzug am linken Bildrand.
Applet: dispersion/dispersion.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem oberen Schieberegler kann man die mittlere Frequenz des Wellenpaketes
einstellen, mit dem unteren Regler dessen Breite. Die beiden Schalter erlauben die
Wahl zwischen Ausbreitung der Welle mit (ω ∝ k 0,5 ) und ohne (ω ∝ k) Dispersion
.
31 Applets
1129
Applet 35: Wellenpaket mit Dispersion
Es wird die Entwicklung eines anfangs rechteckigen Wellenpaketes bei Vorhandensein von Dispersion demonstriert (analog zum vorigen Applet 34, wobei wieder eine
Abhängigkeit ω ∝ k 0,5 angenommen wurde.
Die Phasengeschwindigkeit kann man im Applet an der Position des roten Pfeiles
mitverfolgen. Dieser Pfeil folgt einer festen Phase der dominierenden Welle im Paket.
Die Einhüllende des Wellenpaketes ist durch die gepunktete schwarze Linie gekennzeichnet. Der blaue Pfeil folgt dem Maximum der Einhüllenden und markiert die
Gruppengeschwindigkeit. Die Berechnung erfolgte durch Aufsummieren einer diskreten Anzahl von Fourierkoeffizienten des Wellenzuges. Daher ist die resultierende
Funktion räumlich periodisch und nach einiger Zeit erscheint ein neuer Wellenzug
am linken Bildrand. Wegen der begrenzten Anzahl der berücksichtigten Fourierkoeffizienten (300) ist das Paket allerdings anfangs nicht exakt rechteckig.
Wenn keine Dispersion vorhanden ist, bewegt sich das Wellenpaket mit der Geschwindigkeit υg = υp ohne seine Form zu verändern. Wenn Dispersion vorhanden
ist, verändert das Paket schnell seine Form, es ’zerfließt’.
Applet: dispersion/dispersion2.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem oberen Schieberegler kann man die mittlere Frequenz des Wellenpaketes
einstellen, mit dem unteren Regler dessen Breite. Die beiden Schalter erlauben die
Wahl zwischen Ausbreitung der Welle mit und ohne Dispersion.
1130
31 Applets
Applet 36: Modellierung einer Wasserwelle
Das Applet beschreibt die Konstruktion der Oberfläche einer Wasserwelle. Jedes
Teilchen auf der Oberfläche der Welle beschreibt am Ort eine kreisförmige Bewegung. Dadurch wird verständlich, warum Gegenstände oder Schwimmer, die sich an
der Oberfläche des Wassers befinden, nicht mit der gleichen Geschwindigkeit wie die
Wellenkämme von den Wellen transportiert werden (s. Übungsaufgabe 35).
Applet: wwelle/wasserwelle.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler läßt sich das Verhältnis der Wellenhöhe 2R zur Wellenlänge
λ einstellen.
31 Applets
1131
Applet 37: Doppler-Effekt
Die Frequenz eines von einer Schallquelle S ausgehenden Tones verändert sich für
einen Beobachter B, sobald Quelle und Beobachter eine nicht verschwindende Relativgeschwindigkeit zueinander haben. Der Schall bewege sich im umgebenden Medium mit der Geschwindigkeit υP , die Geschwindigkeit der Quelle sei υS und die des
Beobachters υB . Dann beträgt die wahrgenommene Frequenz mit den im Beispiel
festgelegten Definitionen, in denen die Geschwindigkeiten υS und υB nach rechts
positiv angenommen wurden:
fB =
(υP − υB )
f
(υP − υS )
(s. Gln. (150),(151)). Im Applet ist das Raum-Zeit-Diagramm (x, t) der Schallausbreitung in einer Dimension dargestellt. Die rote Gerade kennzeichnet die Bewegungskurve der Schallquelle. Die blaue Gerade bezeichnet den Weg des Beobachters.
Die von der Quelle ausgehenden aufeinanderfolgenden Schallwellenberge und -täler
sind durch helle oder dunkle Geraden markiert. Die gelben gestrichelten Linien zeigen die Zeitpunkte, an denen ein Wellenberg oder -tal den Beobachter erreicht. Die
rechte Kurve spiegelt die wahrgenommene Frequenz wieder. Diese Frequenz (f1 ) ist
im oberen Feld angegeben. Sobald der Beobachter die Quelle passiert hat, ändern
sich die Vorzeichen von υP in der obigen Gleichung, damit wird die Frequenz zu tieferen Werten verschoben. In diesem Fall ist der weitere Verlauf der wahrgenommenen
Schwingung andersfarbig markiert und die zweite Frequenz (f2 ) wird zusätzlich angegeben.
Applet: doppler/doppler.html
aus dem Internet/lokal starten
Die Schieberegler gestatten die Beeinflussung der Geschwindigkeiten von Sender und
Empfänger.
1132
31 Applets
Applet 38: Mach-Kegel
Das Applet zeigt die von einer bewegten Schallquelle ausgehenden Schallwellen. Die
Positionen der Schwingungsmaxima und Minima werden durch Kreise mit unterschiedlichen Grauwerten repräsentiert. Bei Geschwindigkeiten υ der Quelle unterhalb
der Schallgeschwindigkeit umgeben die Schallwellen die Quelle, die zuerst ausgesendete Schwingung erreicht auch zuerst jeden Punkt im Raum, gleichgültig ob vor oder
hinter der Schallquelle. Bewegt sich die Quelle schneller als die Schallgeschwindigkeit, die hier im Beispiel mit c (im Buch υP ) bezeichnet werden soll, dann bilden
alle von der Quelle ausgesandten Wellen einen Kegel mit dem Öffnungswinkel 2α,
der durch die blauen Linien im Bild dargestellt ist. In diesem Fall erreicht nicht
der zuerst ausgesandte Wellenzug zuerst einen sich seitlich von der bewegten Quelle
befindlichen Beobachter. Bezeichnet man mit z den senkrechten Abstand des Beobachters zur geradlinigen Bahn der Schallquelle, dann beträgt die Laufzeit einer
zur Zeit t (bei einer Frequenz f mit der Phase 2πf t) ausgesandten Welle bis zum
Beobachter
p
T = z 2 + (υt)2 /c + t.
Diese Funktion wächst für υ < c monoton, d.h. später ausgesandte Wellenzüge
erreichen später den Beobachter, für υ > c hat sie jedoch ein Minimum. Es kommen
dann praktisch gleichzeitig viele zu benachbarten Zeiten ausgesandte Wellenzüge
beim Beobachter an, wenn der Mach-Kegel ihn erreicht. Das löst den bekannten
’Überschallknall’ aus.
Der Öffnungswinkel des Mach-Kegels ergibt sich aus
sin α = c/υ
wie im Bild zu sehen ist.
Applet: mach/mach.html
aus dem Internet/lokal starten
Die Geschwindigkeit der Schallquelle in Einheiten der Schallgeschwindigkeit kann
mit dem Regler eingestellt werden.
31 Applets
1133
Applet 39: Teilchenbewegung in einer freien Schallwelle
Das Applet stellt die zeitliche Variation von Druck p, Dichte ρ und Geschwindigkeitsfeld v in einer nach rechts (Richtung x) laufenden Schallwelle in Abhängigkeit
der Zeit t dar. Druck, Dichte und Geschwindigkeit befinden sich in Phase miteinander (siehe Abschn.5.4.1). Die Auslenkung ξ jedes Teilchens aus seiner Ruhelage ist
gegenüber diesen drei Feldern um eine Viertelperiode phasenverschoben. Die Wellenlänge der Schallwelle ist λ.
Ein Probeteilchen ist rot markiert. Dieses ”Probeteilchen” entspricht hier einem
(makroskopischen) differentiellen Fluidvolumen, bestehend aus i.Allg. vielen tausend
Molekülen. Es bewegt sich periodisch um eine mittlere Lage, wird aber im Mittel
nicht weiter als eine halbe Wellenlänge von seiner Ursprungslage wegtransportiert.
Applet: schallwelle/schallwelle1.html
aus dem Internet/lokal starten
1134
31 Applets
Applet 40: Teilchenbewegung in einer stehenden Schallwelle
Das Applet stellt die Dichteρ und das Geschwindigkeitsfeld v in einer stehenden
Schallwelle dar, die sich z.B. in einer gedackten Pfeife ausbildet (siehe Abschn.5.4.1).
An den beiden geschlossenen Seiten befinden sich die Knoten des Geschwindigkeitsfeldes, die Teilchen sind dort in Ruhe, die Dichte- und Druckschwankungen haben an
diesen Stellen ihre Maxima. Das Geschwindigkeitsfeld ist gegenüber dem Druck- und
Dichtefeld um eine Viertelperiode zeitlich verschoben und ebenso in der räumlichen
Periode um eine Viertelwellenlänge versetzt.
Die Wellenlänge der Schallwelle ist λ. Ein Probeteilchen ist rot markiert.
Applet: schallwelle/schallwelle2.html
aus dem Internet/lokal starten
31 Applets
1135
Applet 41: Gleichverteilungssatz am Beispiel elastisch stoßender Kugeln
Wir betrachten ein System von unterschiedlich schweren Kugeln, zwischen denen
elastische Stöße erfolgen. Es werden bei jeder Kollision die jeweils in Richtung des
Schwerpunktverbindungsvektors liegenden Komponenten der Impulse der kollidierenden Kugeln in ihrem Schwerpunktsystem ausgetauscht. Im Grenzfall der Kollision einer sehr schweren Kugel mit einer sehr leichten führt das zu einer ’Reflexion’ der leichteren an der Oberfläche der schwereren, d. h. einer Umkehr von ihrer
Geschwindigkeitskomponente, die sie zum Zeitpunkt der Kollision in Richtung des
Schwerpunktverbindungsvektors hat.
Die Massen sind im Applet im Verhältnis 1:4:16 gewählt.
Es stellt sich eine Geschwindigkeitsverteilung ein, bei der im Mittel jede Kugel die
gleiche kinetische Energie besitzt, d. h. die kleinen Kugeln bewegen sich im Mittel schneller, die Geschwindigkeitsverhältnisse sind 4:2:1, was man optisch sofort
nachvollziehen kann. Nur translatorische Bewegungen wurden hier betrachtet, eine
mögliche Rotation der Kugeln blieb im Applet unberücksichtigt.
Applet: billard/stoss3.html
aus dem Internet/lokal starten
1136
31 Applets
Applet 42: Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung
Das Applet stellt die Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung in Gasen (Gl. (172),
Abb. 46) grafisch dar. Das Dreieck markiert die wahrscheinlichste Geschwindigkeit
(das Maximum der Verteilungskurve), die Linie markiert die mittlere Geschwindigkeit (sie teilt die Fläche unter der Verteilungskurve in zwei gleich große Flächen).
Die Größe p(v) ist die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Verteilung des Betrages v
der Geschwindigkeit der einzelnen Moleküle.
Applet: maxwell/maxwell.html
aus dem Internet/lokal starten
Aus der Liste können verschiedene Gase ausgewählt werden, die Temperatur lässt
sich mit dem Schieberegler einstellen.
31 Applets
1137
Applet 43: Carnot-Wärmekraftmaschine als Animation
Prinzipieller Ablauf des Carnot-Zyklus (Absch.9.1, S.117):
Rechtslaufend betrieben wirkt der Carnot-Zyklus als Motor, d.h. es wird Wärme aus
einem Reservoir höherer Temperatur entnommen, um mechanische Arbeit zu leisten.
Ein Teil der entnommenen Wärme wird dabei wieder an ein Reservoir niedrigerer
Temperatur abgegeben, so dass der Wirkungsgrad immer kleiner als 1 bleibt. Der
Zyklus besteht aus einer isothermen Kompression, gefolgt von einer adiabatischen
Erwärmung, einer isothermen Expansion und zuletzt einer adiabatischen Abkühlung.
Beschreibung:
Ein Arbeitskolben komprimiert das Gas, das sich im Kontakt mit dem Wärmereservoir auf der unteren Temperatur befindet. Dabei wird mechanische Arbeit am
System geleistet. Anschließend wird das Gas adiabatisch komprimiert, wobei es sich
auf die Temperatur des oberen Reservoirs erwärmt. Dabei wird es wärmeisoliert,
bzw. der Takt wird so schnell durchfahren, dass kein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfindet. Anschließend expandiert das Gas, während es in Kontakt mit
dem Wärmereservoir auf der oberen Temperatur ist. Dabei wird diesem Reservoir
Wärme entnommen und mechanische Arbeit geleistet. Schließlich kühlt sich das Gas
durch eine adiabatische Entspannung wieder auf die Temperatur des unteren Reservoirs ab.
Applet: carnot/carnotre.html
aus dem Internet/lokal starten
Der Schieberegler kann zum manuellen Durchfahren des gesamten Zyklus verwendet
werden.
1138
31 Applets
Applet 44: Der Stirling-Motor als Animation
Wirkungsprinzip des Stirling-Motors:
Der dem Stirling-Motor zugrunde liegende Kreisprozess besteht aus einer isothermen
Kompression, gefolgt von einer isochoren Erwärmung, einer isothermen Expansion
und schließlich einer isochoren Abkühlung.
Beschreibung:
Es werden zwei Kolben verwendet, einer befindet sich auf einer festen Temperatur (Arbeitskolben), der zweite isoliert Wärme, ist aber für das Gas durchlässig. An
einem Ende des Arbeitszylinders ist das Gas in Kontakt mit einem heißen Wärmereservoir. Zunächst befindet sich der isolierende Kolben entgegengesetzt vom Arbeitskolben, das Gas ist kalt, auf der Temperatur des Arbeitskolbens, es wird durch den
Arbeitskolben komprimiert. Dazu muss mechanische Arbeit am System geleistet werden. Danach wird der isolierende Kolben zur Seite des Arbeitskolbens geschoben, das
Gas dabei isochor erwärmt. Im dritten Takt leistet das heiße Gas mechanische Arbeit
am Arbeitskolben durch isotherme Expansion. Schließlich wird der wärmeisolierende
Kolben wieder vom Arbeitskolben weg an die entgegengesetzte Seite geschoben und
das Gas isochor abgekühlt.
Applet: carnot/stirlingre.html
aus dem Internet/lokal starten
Der Schieberegler kann zum manuellen Durchfahren des gesamten Zyklus verwendet
werden.
31 Applets
1139
Applet 45: Carnot-Wärmepumpe als Animation
Prinzip der Carnot-Wärmepumpe:
Linkslaufend betrieben wirkt der Carnot-Zyklus als Wärmepumpe, d.h. es wird mechanische Arbeit aufgewendet, um Wärme aus einem Reservoir niedriger Temperatur in ein Reservoir höherer Temperatur zu pumpen. Man kann diese Maschine
zum Kühlen verwenden oder z.B. zur energiesparenden Heizung von Gebäuden. Der
Zyklus setzt sich zusammen aus einer isothermen Kompression, einer adiabatischen
Erwärmung, einer isothermen Expansion und einer adiabatischen Abkühlung.
Beschreibung der Kältemaschine:
Ein Arbeitskolben komprimiert das Gas, das sich im Kontakt mit dem Wärmereservoir auf der unteren Temperatur befindet. Dabei wird mechanische Arbeit am
System geleistet. Anschließend wird das Gas adiabatisch komprimiert, wobei es sich
auf die Temperatur des oberen Reservoirs erwärmt. Dabei wird es wärmeisoliert,
bzw. der Takt wird so schnell durchfahren, dass kein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfindet. Anschließend expandiert das Gas, während es in Kontakt mit
dem Wärmereservoir auf der oberen Temperatur ist. Dabei wird diesem Reservoir
Wärme entnommen und mechanische Arbeit geleistet. Schließlich kühlt sich das Gas
durch eine adiabatische Entspannung wieder auf die Temperatur des unteren Reservoirs ab.
Applet: carnot/carnotli.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann der gesamte Zyklus manuell durchfahren werden.
1140
31 Applets
Applet 46: Linkslaufender Stirling-Zyklus als Animation
Wirkungsprinzip:
Linkslaufend kann dieser Zyklus theoretisch als Wärmepumpe betrieben werden,
dann besteht er aus einer isothermen Kompression, gefolgt von einer isochoren
Abkühlung, einer isothermen Expansion und einer isochoren Erwärmung.
Beschreibung:
Es werden zwei Kolben verwendet, einer befindet sich auf einer festen Temperatur
(Arbeitskolben), der zweite isoliert Wärme, ist aber für das Gas durchlässig. An
einem Ende des Arbeitskolbens ist das Gas in Kontakt mit einem Wärmereservoir.
Zunächst befindet sich der isolierende Kolben am Arbeitskolben, das Gas ist warm,
auf der Temperatur des höheren Reservoirs, es wird durch den Arbeitskolben komprimiert. Dazu muss mechanische Arbeit am System geleistet werden. Danach wird
der isolierende Kolben zur Seite des Reservoirs geschoben, das Gas dabei isochor
abgekühlt. Im dritten Takt leistet das Gas mechanische Arbeit am Arbeitskolben
durch isotherme Expansion. Schließlich wird der wärmeisolierende Kolben wieder
zum Arbeitskolben geschoben und das Gas isochor erwärmt.
Applet: carnot/stirlingli.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann der gesamte Zyklus manuell durchfahren werden.
31 Applets
1141
Applet 47: Zustandsdiagramm des Carnot-Zyklus
Der Carnot-Zyklus besteht aus zwei Isothermen mit Temperaturen T1 und T2 sowie
zwei Adiabaten (siehe auch Applet 43). Wird er rechtsläufig durchfahren, d.h. Kompression auf der unteren Isotherme und Dekompression auf der oberen Isothermen,
kann man damit Wärme in mechanische Arbeit umwandeln. Im Beispiel kann man
die Temperaturen und Volumina variieren, es werden die Grafik des Prozesses sowie
die Koordinaten der vier Schnittpunkte der Isothermen und Adiabaten angezeigt.
Sie sind mit den Buchstaben a-d markiert. Q1 ist die entlang der oberen Isothermen
dem System zugeführte Wärme, Q2 die an das untere Reservoir abgegebene Wärme.
Die Summe beider Werte (Q2 ist hier negativ genommen) ist die geleistete mechanische Arbeit. Man erhält den bekannten Wirkungsgrad (T1 − T2 )/T1 als Quotient
der mechanischen Arbeit und der zugeführten Wärme Q2 .
(Carnot-Prozess mit einem Mol idealen Gases, Drücke in MPa, Volumen in Liter,
Wärmemengen in J, Temperaturen in K)
Applet: carnot/carnot.html
aus dem Internet/lokal starten
Die Schieberegler dienen zum Verändern der Volumina Vc und Vd auf der unteren
Isothermen sowie zum Einstellen der Temperaturen T1 und T2 .
1142
31 Applets
Applet 48: Zustandsdiagramm des Stirling-Zyklus
Der Stirling-Zyklus besteht aus einer isothermen Kompression, danach einer isochoren Erwärmung, gefolgt von einer isothermen Expansion und zuletzt einer isochoren
Abkühlung (siehe auch Applet 44). In diesem Applet kann man die Temperaturen
und Volumina variieren, es werden die Grafik des Prozesses sowie die Koordinaten
der vier Schnittpunkte der Isothermen und Isochoren angezeigt. Sie sind mit den
Buchstaben a-d markiert. Q1 ist die entlang der oberen Isothermen dem System
zugeführte Wärme, Q2 die an das untere Reservoir abgegebene Wärme. Die Summe
beider Werte (Q2 ist hier negativ genommen) ist die geleistete mechanische Arbeit.
Man erhält den gleichen Wirkungsgrad (T1 − T2 )/T1 wie beim Carnot-Zyklus als
Quotient der mechanischen Arbeit und der zugeführten Wärme Q2 .
(Stirling-Prozess mit einem Mol idealen Gases, Drücke in MPa, Volumen in Liter,
Wärmemengen in J, Temperaturen in K)
Applet: carnot/stirling.html
aus dem Internet/lokal starten
Die Schieberegler dienen zum Verändern der Volumina Vc und Vd auf der unteren
Isothermen sowie zum Einstellen der Temperaturen T1 und T2 .
31 Applets
1143
Applet 49: Zustandsänderungen beim Carnot-Zyklus
(siehe Applet 47)
Der Carnot-Zyklus besteht aus zwei Isothermen mit Temperaturen T1 und T2 sowie
zwei Adiabaten. Wird er rechtsläufig durchfahren, d.h. Kompression auf der unteren
Isotherme und Dekompression auf der oberen Isothermen, kann man damit Wärme
in mechanische Arbeit umwandeln. Im Beispiel kann man die Temperaturen und
Volumina variieren, es werden die Grafik des Prozesses sowie die Koordinaten der vier
Schnittpunkte der Isothermen und Adiabaten angezeigt Sie sind mit den Buchstaben
a-d markiert.
Das Kreuz beschreibt eine Prozessführung als Motor, beim Durchlaufen der Prozesskurve wird der Wert der bis dahin geleisteten mechanischen Arbeit W sowie
die dem oberen Reservoir entnommene Wärme Q1 angezeigt. Nach einem Durchlauf
stoppt der Prozess. Nach Variation der Parameter Volumen/Temperatur startet der
Zyklus neu.
(Carnot-Prozess mit einem Mol idealen Gases, Drücke in MPa, Volumen in Liter,
Arbeit W und Wärmemenge Q1 in J, Temperaturen in K)
Applet: carnot/carnot2.html
aus dem Internet/lokal starten
Die Schieberegler dienen zum Verändern der Volumina Vc und Vd auf der unteren
Isothermen sowie zum Einstellen der Temperaturen T1 und T2 .
1144
31 Applets
Applet 50: Zustandsänderungen beim Stirling-Zyklus
(siehe Applet 48)
Der Stirling-Zyklus besteht aus einer isothermen Kompression, danach einer isochoren Erwärmung, gefolgt von einer isothermen Expansion und zuletzt einer isochoren
Abkühlung (siehe auch Applet 44). In diesem Applet kann man die Temperaturen
und Volumina variieren, es werden die Grafik des Prozesses sowie die Koordinaten
der vier Schnittpunkte der Isothermen und Isochoren angezeigt. Sie sind mit den
Buchstaben a-d markiert.
Das Kreuz beschreibt eine Prozessführung als Motor, beim Durchlaufen der Prozesskurve wird der Wert der bis dahin geleisteten mechanischen Arbeit W sowie
die dem oberen Reservoir entnommene Wärme Q1 angezeigt. Nach einem Durchlauf
stoppt der Prozess. Nach Variation der Parameter Volumen/Temperatur startet der
Zyklus neu.
(Stirling-Prozess mit einem Mol idealen Gases, Drücke in MPa, Volumen in Liter,
Arbeit W und Wärmemenge Q1 in J, Temperaturen in K)
Applet: carnot/stirling2.html
aus dem Internet/lokal starten
Die Schieberegler dienen zum Verändern der Volumina Vc und Vd auf der unteren
Isothermen sowie zum Einstellen der Temperaturen T1 und T2 .
31 Applets
1145
Applet 51: Diffusion einer anfänglich δ-verteilten Konzentration
Diffusion in einem unendlich ausgedehnten räumlich homogenen Gebiet. Am Anfang
ist das diffundierende Material gleichmäßig auf der yz-Ebene konzentriert und die
Konzentration wird durch die Delta-Funktion
C(x, y, z, t = 0) = δ(x)
beschrieben. Die Konzentration zu späteren Zeitpunkten t ist als Lösung der 2. Fick’schen
Gleichung gegeben durch
x2
1
exp −
,
C(x, y, z, t) = √
4Dt
4πDt
√
wobei D die Diffusionskonstante ist. In der Mitte wird der Abstand dX = 2Dt
markiert. Da die Diffusionsgleichung der Wärmeleitungsgleichung strukturell äquivalent ist, liefert die Rechnung zugleich die Lösung für das Temperaturprofil entlang
unendlich langen dünnen Stabes entlang der x-Achse, der lokal bei x = 0 kurzzeitig
erhitzt wird und in dem sich danach die Wärme gleichmäßig verteilt.
Applet: diffusion/diffusion1.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann die Diffusionskonstante D variiert werden. Die Run/StopKnöpfe dienen zum Anhalten/Wiederstarten des Zeitablaufs.
Applet 52: Fluss und Verteilungsdichte zu Applet 51
Diffusion in einem unendlich ausgedehnten räumlich homogenen Gebiet. Am Anfang sei das diffundierende Material wie in Applet 51 gleichmäßig auf der yz-Ebene
konzentriert und die Konzentration durch die Delta-Funktion
C(x, y, z, t = 0) = δ(x)
beschrieben. In diesem Applet wird gleichzeitig mit dem Konzentrationsprofil der
lokale Diffusionsstrom dargestellt (rote Kurve oben, in willk. Einheiten).
Applet: diffusion/diffusion1a.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann die Diffusionskonstante D variiert werden. Die Run/StopKnöpfe dienen zum Anhalten/Wiederstarten des Zeitablaufs.
1146
31 Applets
Applet 53: Ausgleich einer Stufenfunktion durch Diffusion
Diffusion in einem Gebiet, in dem die Konzentration an den beiden Rändern auf
konstanten Werten gehalten wird (C(0, t) = 1 und C(L, t) = 0) und in dem anfangs
eine scharfe Stufe im Konzentrationsprofil genau in der Mitte des Gebietes vorhanden
ist. Wir zerlegen hier das Konzentrationsprofil in drei Anteile:
C(x, t) = C0 + C1 x + C̃(x, t),
von denen die ersten beiden zeitunabhängig sind. Im gewählten Beispiel ist C0 =
1 und C1 = −1/L. Die Lösung erfolgt dann durch Zerlegung des Anfangsprofils
C̃(x, t = 0) in eine Fourierreihe
C̃(x, t = 0) =
nX
max
an0 sin(qn x)
n=1
mit
2π
n
L
und die Berechnung der Zeitentwicklung von
qn =
C(x, t) = C0 + C1 x +
nX
max
an (t) sin(qn x)
n=1
aus der zeitlichen Änderung der Koeffizienten (Lösung der Diffusionsgleichung)
Dt
an (t) = an0 exp − 2 .
qn
Es werden nmax = 200 Koeffizienten berücksichtigt. Die Reihe konvergiert schlecht,
weshalb anfangs einige Schwingungen auftauchen, die höheren√Koeffizienten verschwinden allerdings schnell. In der Mitte wird der Abstand 2 2Dt markiert. Da
die Diffusionsgleichung der Wärmeleitungsgleichung strukturell äquivalent ist, liefert
die Rechnung auch die Lösung für die Entwicklung eines eindimensionalen Temperaturprofils unter folgenden Anfangsbedingungen: Anfangs werden zwei gleich beschaffene Platten (Stäbe) an einer Seite je an ein Wärmereservoir gekoppelt und auf
unterschiedliche Temperaturen gebracht. Sie werden zur Zeit t = 0 mit den beiden
freien Seiten (Enden) in Kontakt gebracht, bleiben aber an die Wärmereservoire
angeschlossen.
Applet: diffusion/diffusion2.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann die Diffusionskonstante variiert werden. Die Run/StopKnöpfe dienen zum Anhalten/Wiederstarten des Zeitablaufs.
31 Applets
1147
Applet 54: Fluss und Verteilungsdichte zu Applet 53
Diffusion in einem Gebiet, in dem die Konzentration an den beiden Rändern auf
konstanten Werten gehalten wird (C(0, t) = 1 und C(L, t) = 0), und in dem anfangs eine scharfe Stufe im Konzentrationsprofil genau in der Mitte des Gebietes
vorhanden ist, wie in Applet 53. In diesem Applet wird gleichzeitig mit dem Konzentrationsprofil der lokale Diffusionsstrom dargestellt (rote Kurve oben, in willk.
Einheiten).
Applet: diffusion/diffusion2a.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann die Diffusionskonstante variiert werden. Die Run/StopKnöpfe dienen zum Anhalten/Wiederstarten des Zeitablaufs.
1148
31 Applets
Applet 55: Diffusion in ein abgeschlosses Gebiet (reflektierender Rand)
Das diffundierende Material kann den Kasten der Länge L nicht verlassen. Zu Beginn
befindet sich das Material vollständig am linken Rand des Kastens (x = 0). Die Berechnung erfolgt hier wie bei der Diffusion in einem unendlich ausgedehnten Gebiet.
Es muss aber berücksichtigt werden, dass das am rechten Rand ankommende Material nicht über die Kastengrenze diffundieren kann (es wird praktisch ’reflektiert’).
Mathematisch bedeutet das, dass zur Lösung
x2
1
exp −
C0 (x, t) = √
4Dt
4πDt
des unendlichen Gebietes die Lösung C1 (x, t) = C0 (2L − x, t) addiert wird. Damit
wird automatisch der Anstieg an der rechten Grenze (x = L) Null, und gemäß des
ersten Fick’schen Gesetzes findet kein Teilchenstrom durch die Wand statt.
Dieser Beitrag kann nur solange vernachlässigt bleiben, wie C0 (L, t) genügend klein
ist. Entsprechend muss man zu späteren Zeitpunkten berücksichtigen, dass die hinzugefügte Funktion C1 (0, t) = C0 (2L, t) des Anfangskonzentrationsprofils so groß wird,
dass auch sie in der Rechnung berücksichtigt werden muss. Es ist dann eine Funktion
C2 (x, t) = C0 (2L+x, t) zu addieren, später in analoger Weise C3 (x, t) = C0 (4L−x, t)
und so weiter. Hier sind die ersten drei Korrekturen mitgenommen worden. Die dunkelblaue Kurve zeigt das entstehende Diffusionsprofil, die helleren entsprechen jeweils
den einzelnen Beiträgen C1 , C2 , C3 .
Für das Wärmeleitungsproblem entspricht die Lösung dem Temperaturausgleich in
einem Stab, der an einem Ende lokal erhitzt wird und dessen beide Enden danach
thermisch isoliert werden.
Applet: diffusion/diffusion3.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann die Diffusionskonstante variiert werden. Die Run/StopKnöpfe dienen zum Anhalten/Wiederstarten des Zeitablaufs.
Applet 56: Fluss und Verteilungsdichte zu Applet 55
Diffusion in einem an den beiden Rändern begrenzten Gebiet. Zu Beginn befindet
sich das Material vollständig am linken Rand des Kastens (x = 0) wie in Applet 55.
Im vorliegenden Applet wird gleichzeitig mit dem Konzentrationsprofil der lokale
Diffusionsstrom dargestellt (rote Kurve oben, in willk. Einheiten).
Applet: diffusion/diffusion3a.html
aus dem Internet/lokal starten
31 Applets
1149
Mit dem Schieberegler kann die Diffusionskonstante variiert werden. Die Run/StopKnöpfe dienen zum Anhalten/Wiederstarten des Zeitablaufs.
1150
31 Applets
Applet 57: Diffusionsausgleich bei festen Randkonzentrationen
Diffusion in einem Gebiet, in dem die Konzentrationen an den beiden Rändern
(bei x = 0 und x = L) auf konstanten Werten gehalten werden (C(0, t) = 1 und
C(L, t) = 0) und in dem anfangs die Konzentration gleich dem rechten Randwert ist.
Die Berechnung erfolgt wie in Applet 53 durch Zerlegung des Anfangskonzentrationsprofils C(0, x) in eine Fourierreihe an0 sin(qn x) und die Berechnung der Zeitentwicklung aus der zeitlichen Änderung der Koeffizienten (Lösung der Diffusionsgleichung)
an (t) = an0 exp(−Dtqn−2 ). Es werden die ersten 200 Koeffizienten berücksichtigt. Die
Reihe konvergiert schlecht, weshalb anfangs einige Artefakte (Schwingungen) auftauchen,
die höheren Koeffizienten verschwinden allerdings schnell. Es ist der Abstand
√
2Dt vom linken Rand markiert. Die Lösungsfunktion beschreibt auch das Temperaturprofil eines Stabes, der sich Anfangs auf einer konstanten Temperatur und am
rechten Ende ständig in Kontakt mit einem Wärmereservoir der gleichen Temperatur befindet. Er wird zur Zeit t = 0 mit dem linken Ende an ein Wärmereservoir
einer anderen Temperatur gekoppelt und es vollzieht sich ein Wärmeausgleich, der
nach genügend langer Zeit in einem konstanten Temperaturgradienten resultiert.
Abgesehen von den Anfangsbedingungen entspricht dieses Applet dem Applet 53.
Applet: diffusion/diffusion4.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann die Diffusionskonstante variiert werden. Die Run/StopKnöpfe dienen zum Anhalten/Wiederstarten des Zeitablaufs.
Applet 58: Fluss und Verteilungsdichte zu Applet 57
Diffusion in einem Gebiet, in dem die Konzentrationen an den beiden Rändern
(bei x = 0 und x = L) auf konstanten Werten gehalten werden (C(0, t) = 1 und
C(L, t) = 0) und in dem anfangs die Konzentration gleich dem rechten Randwert
ist. In diesem Applet wird gleichzeitig mit dem Konzentrationsprofil der lokale Diffusionsstrom dargestellt (rote Kurve oben, in willk. Einheiten).
Applet: diffusion/diffusion4a.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann die Diffusionskonstante variiert werden. Die Run/StopKnöpfe dienen zum Anhalten/Wiederstarten des Zeitablaufs.
31 Applets
1151
Applet 59: Van-der-Waals-Gleichung
Die van-der-Waals-Gleichung beschreibt die Abhängigkeit zwischen Druck p, Temperatur T und molarem Volumen V eines realen Gases durch
a p + 2 (V − b) = RT.
V
Die Parameter a und b berücksichtigen die gegenseitigen Wechselwirkungen und das
Eigenvolumen der Atome bzw. Moleküle des Gases. Das Applet zeigt die Isothermen
für eine Reihe von Gasen, die im Textfeld durch Doppelklicken ausgewählt werden
können. Die ersten vier sind einatomige Gase, es folgen je 3 zwei-, drei- und mehratomige Gase. Die Parameter a und b und die Boyle-Temperatur können z.B. dem
Lehrbuch Physik von Alonso und Finn (Adison-Wesley 1992, S. 392) entnommen
werden. Die angegebenen kritischen Drücke, Temperaturen und molaren Volumen,
bei denen der Wendepunkt der Isothermen auftritt, sind aus den Parametern a und
b mit der Beziehungen
pkrit =
a
,
27b
Tkrit =
8a
,
27Rb
Vkrit = 3b
berechnet worden. Der kritische Punkt ist im Diagramm durch einen kleinen blauen
Kreis markiert. dT ist der Temperaturunterschied benachbarter Isothermen. Die Isotherme für 300 K (ungefähr Raumtemperatur) ist zur besseren Orientierung grün,
die für 500 K rot gezeichnet.
Applet: vdw/vdw.html
aus dem Internet/lokal starten
Aus der Liste kann eines von 13 Gasen gewählt werden, dessen van-der-WaalsIsothermen das Applet darstellt.
1152
31 Applets
Applet 60: Boyle-Temperatur
Es seien p, V und T die Zustandsgrößen Druck, molares Volumen und Temperatur
eines realen Gases. Wir gehen von der van der Waals Gleichung des realen Gases aus
und bestimmen die Abhängigkeit der mechanischen Arbeit pV vom inversen molaren
Volumen V1 des Gases.
pV =
RT
− aV1 ,
1 − bV1
V1 = V −1 .
Man kann für diese Gleichung eine Entwicklung nach Koeffizienten von V1 durchführen
(Virialkoeffizienten), dann ergibt sich
a
V1 + b2 V12 + ... .
pV ≈ RT 1 + (b −
RT
Der Koeffizient zum linearen Term wechselt sein Vorzeichen bei der Boyle-Temperatur
TB . Für Temperaturen unterhalb dieser Temperatur leistet ein reales Gas bei Entspannung mechanische Arbeit, das bedeutet, dass kann man das Gas durch Entspannung abkühlen kann. Das Applet zeigt Isothermen für eine Reihe realer Gase, die
im Textfeld durch Doppelklicken ausgewählt werden können. Die ersten vier sind
einatomige Gase, es folgen je 3 zwei-, drei- und mehratomige Gase. Die Parameter a
und b und die Boyle-Temperatur TB können z.B. dem Lehrbuch Physik von Alonso
und Finn (Adison-Wesley 1992, S. 392) entnommen werden. Aus den Parametern a
und b sind die kritischen Drücke, Temperaturen und molaren Volumina berechnet
worden. Die nach TB = a/(Rb) berechnete Boyle-Temperatur ist in Klammern angegeben.
Applet: vdw/boyle.html
aus dem Internet/lokal starten
Aus der Liste kann eines von 13 Gasen gewählt werden.
Applet 61: Feldlinien von Punktladungen in einer Ebene
Das Applet stellt das elektrische Feld einer Punktladungsverteilung dar. Die eingezeichneten Pfeile kennzeichnen die lokale Richtung des elektrischen Feldes. Sie sind
auf eine Einheitslänge normiert, d.h. die Pfeillängen geben nicht die Stärke des elektrischen Feldes wieder, sondern nur dessen Richtung. Mit Mausklicks auf das Applet
können die Ladungen verändert werden.
Applet: feldlinien/feldst.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit der rechten Maustaste können positive Einheitsladungen (rot gekennzeichnet)
erzeugt werden bzw. existierende Ladungen um 1 Einheit erhöht werden. Analoges
gilt für die linke Maustaste, mit der negative Ladungen (blau gekennzeichnet) erzeugt
werden bzw. existierende Ladungen um 1 Einheit vermindert werden können.
1154
31 Applets
Applet 62: Feldlinien: Punktladung und entgegengesetzt geladene Platte
Das Applet stellt die Richtung der Feldlinien zwischen einer Punktladung und einer
leitenden, entgegengesetzt geladenen Platte mit der gleichen absoluten Gesamtladung dar.
Applet: feldlinien/kondensator3.html
aus dem Internet/lokal starten
Der Abstand zwischen Ladung und Platte kann mit dem Schieberegler variiert werden.
Applet 63: Feldlinien: Punktladung und gleich geladene Platte
Das Applet stellt die Richtung der Feldlinien zwischen einer Punktladung und einer
leitenden, mit der gleichen Gesamtladung geladenen Platte dar.
Applet: feldlinien/kondensator4.html
aus dem Internet/lokal starten
Der Abstand zwischen Ladung und Platte kann mit dem Schieberegler variiert werden.
31 Applets
1155
Applet 64: Äquipotentiallinien um Punktladungen
Das Applet stellt die Äquipotentiallinien einer Punktladungsverteilung dar. Die eingezeichneten Potentiallinien kennzeichnen äquidistante Potentialschritte. Die graue
Linie repräsentiert das Potential 0. Mit Mausklicks auf das Applet kann die Ladungsverteilung modifiziert werden.
Applet: potential/potential1.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit der rechten Maustaste können positive Einheitsladungen (rot gekennzeichnet)
erzeugt werden bzw. existierende Ladungen um 1 Einheit erhöht werden. Analoges
gilt für die linke Maustaste, mit der negative Ladungen (blau gekennzeichnet) erzeugt
werden bzw. existierende Ladungen um 1 Einheit vermindert werden können.
Applet 65: Äquipotentiallinien nahe einer leitenden Wand
Das Applet stellt die Äquipotentiallinien einer Punktladungsverteilung nahe einer
leitenden Wand dar. Die eingezeichneten Potentiallinien kennzeichnen äquidistante
Potentialschritte, die graue Linie repräsentiert das Potential 0. Am rechten Rand befindet sich eine leitende Fläche auf dem Potential 0. Die Berechnung des Potentials
wird durch symmetrisch zum Leiter angeordnete Spiegelladungen mit umgekehrtem
Vorzeichen realisiert.
Applet: potential/potential2.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit Mausklick auf das Applet kann die Ladungsverteilung verändert werden. Mit der
rechten Maustaste können positive Einheitsladungen (rot gekennzeichnet) erzeugt
werden bzw. existierende Ladungen um 1 Einheit erhöht werden. Analoges gilt für
die linke Maustaste, mit der negative Ladungen (blau gekennzeichnet) erzeugt werden
bzw. existierende Ladungen um 1 Einheit vermindert werden können.
1156
31 Applets
Applet 66: Feldstärke zwischen entgegengesetzt geladenen parallelen
Platten
Das Applet stellt das elektrische Feld zwischen zwei leitenden, entgegengesetzt gleich
stark geladenen Platten dar. Die Platten sind senkrecht zur Bildebene unendlich
lang, so dass ein ebenes E-Feld entsteht.
Applet: feldlinien/kondensator1.html
aus dem Internet/lokal starten
Der Abstand zwischen beiden Platten kann mit dem Schieberegler variiert werden.
Applet 67: Feldstärke zwischen gleich geladenen parallelen Platten
Das Applet stellt das elektrische Feld zwischen zwei leitenden Platten mit gleicher
Ladung dar. Die Platten sind senkrecht zur Bildebene unendlich lang, so dass ein
ebenes E-Feld entsteht.
Applet: feldlinien/kondensator2.html
aus dem Internet/lokal starten
Der Abstand zwischen beiden Platten kann mit dem Schieberegler variiert werden.
31 Applets
1157
Applet 68: Frequenzverhalten der Dielektrizitätskonstanten,
Cole-Cole-Darstellung
Die Darstellung des Imaginärteils ε00r der komplexen dielektrischen Funktion ε̂r (ω),
über ihrem Realteil ε0r im Bereich eines dielektrischen Relaxationsprozesses wird als
Cole-Cole-Darstellung (Cole-Cole plot) bezeichnet. Für einen Debye-Prozess mit
der Relaxationszeit τ gilt
ε̂r (ω) = ε∞ + ∆ε
1
1 + iωτ
und für Real- und Imaginärteil
ε00r = (εs − ε∞ )
ωτ
1 + (τ ω)2
und
ε0r = ε∞ + (εs − ε∞ )
1
.
1 + (τ ω)2
Dabei bezeichnet ∆ε = εs − ε∞ die Stärke des Relaxationsprozesses, εs steht für den
statischen Anteil, d.h. den Wert der relativen Dielektrizitätskonstanten im Gleichfeld, ε∞ für ihren Wert bei Freqenzen, die groß gegen die Relaxationsrate 1/τ sind.
Wenn keine weiteren Relaxationsprozesse auftreten, ist in der Praxis ε∞ gleich dem
Quadrat des optischen Brechungsindex n.
Die Beziehung zwischen dem elektrischen Feld und der Stärke der induzierten Dipole
ist hier in der Größe εs − ε∞ zusammengefasst,
εs − ε∞ =
αcα
,
ε0
cα bezeichnet die Konzentration der Teilchen mit Polarisierbarkeit α (s. Gl. (294)).
Die Kreisfrequenz ist in dieser Darstellung ein Parameter, der entlang des Graphen
vom Punkt (ε0 , 0) für ω = 0, zum Punkt (ε∞ , 0) für ω → ∞ anwächst. Im Applet
ist das Verhalten für ε(inf) ≡ ε∞ = 1 dargestellt.
Applet: dk/colecole.html
aus dem Internet/lokal starten
Man kann mit dem rechten Schieberegler den Parameter ε(0) ≡ εs variieren. Mit
dem linken Regler wird eine Kreisfrequenz ω ausgewählt, deren zugehöriges komplexes ε̂r (ω) auf jeder Kurve mit einem farbigen Kreis markiert wird. Mit den Schaltknöpfen kann man in eine Darstellung umschalten, in der die Funktionen ε0 (ω) und
ε00 (ω) für die gleichen Parameter über der Kreisfrequenz dargestellt sind.
Alle Kreisfrequenzen sind in Einheiten von 1/τ angegeben.
1158
31 Applets
Applet 69: Zwei Debye-Prozesse in der Cole-Cole-Darstellung
Dieses Applet ist wie das vorige Applet 68 aufgebaut, in dessen Beschreibung die
Cole-Cole-Darstellung erläutert wurde. Hier wird die Überlagerung von zwei DebyeProzessen mit unterschiedlichen Relaxationszeiten (τ1 , τ2 ) aber gleichen Relaxationsstärken (∆ε1 , ∆ε2 ) dargestellt. ε0r und ε00r sind der Realteil bzw. Imaginärteil der
komplexen dielektrischen Funktion ε̂r (ω),
ε00r =
2
X
∆εi ·
i=1
und
ε0r = ε∞ +
2
X
i=1
ωτi
1 + (τi ω)2
∆εi ·
1
.
1 + (τi ω)2
Im Applet ist das Verhalten für ε∞ = 1, ∆ε1 = ∆ε2 = 1 dargestellt.
Applet: dk/colecole2.html
aus dem Internet/lokal starten
Man kann mit dem rechten Schieberegler den Parameter τ2 variieren. Mit dem linken
Regler wird eine Kreisfrequenz ω ausgewählt, deren zugehöriges komplexes ε̂r (ω) auf
jeder Kurve mit einem farbigen Kreis markiert wird. Mit den Schaltknöpfen kann
man in eine Darstellung umschalten, in der die Funktionen ε0 (ω) und ε00 (ω) für die
gleichen Parameter über der Kreisfrequenz dargestellt sind.
Frequenzen sind in Einheiten von 1/τ1 , Zeiten in Einheiten von τ1 angegeben.
31 Applets
1159
Applet 70: Feldverzerrung durch eine dielektrische Kugel
Das Applet stellt die Feldlinienverzerrung eines homogenen elektrischen Feldes durch
eine dielektrische Kugel dar (in einer Mittelebene der Kugel, in der sich die äußere
Feldrichtung befindet). Die eingezeichneten Pfeile geben die lokale Stärke des elektrischen Feldes wieder (auf der Position der Pfeilmitte, weshalb die Darstellung auf
dem diskreten Gitter in der Nähe des Kugelrandes nicht die Grenzflächenbedingun~ 0 , im Bild
gen exakt wiedergibt). Das Feld in großer Entfernung von der Kugel ist E
horizontal. Im Inneren der Kugel mit der relativen Dielektrizitätskonstante ε beträgt
die Feldstärke
3
E0 .
Ei =
(ε + 2)
Am linken und rechten Rand der Kugel (außen) beträgt das gesamte aus äußerem
und induziertem Dipolfeld zusammengesetzte Feld
E=
3ε
E0 = εEi ,
(ε + 2)
oben und unten am Kugelrand E = Ei , womit die Randbedingungen für die elektrische Feldstärke erfüllt sind.
Applet: dielektrikum/dielektrikum1.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann die relative Dielektrizitätskonstante ε im Kugelinneren
von 1 bis 10 variiert werden.
1160
31 Applets
Applet 71: Potentiallinien nahe einer dielektrischen Kugel im äußeren
Feld
Das Applet stellt die Äquipotentiallinien um eine dielektrische Kugel in einem äußeren homogenen elektrischen Feld dar. Die Äquipotentialflächen sind in diesem Fall
rotationssymmetrisch um die Feldrichtung, das Bild zeigt die Schnitte dieser Äquipotentialflächen mit einer Ebene, die durch den Kugelmittelpunkt geht und die äußere
~ 0 ist in großer Entfernung von der Kugel homogen,
Feldrichtung enthält. Das Feld E
die Feldrichtung ist im Bild horizontal.
Die elektrische Feldverteilung in und um die Kugel ist im Text zum vorigen Applet
70 beschrieben. Im Inneren der Kugel ist das Feld homogen und die Äquipotentialflächen sind äquidistante Ebenen.
Applet: dielektrikum/dielektrikum2.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann die relative Dielektrizitätskonstante ε im Kugelinneren
von 1 bis 10 variiert werden.
31 Applets
1161
Applet 72: Feldverzerrung durch eine leitende Kugel
Das Applet stellt die Feldverteilung um eine leitende Kugel im elektrischen Feld dar
(in einer Mittelebene der Kugel, in der sich die äußere Feldrichtung befindet). Das
Innere der Kugel ist im Gleichgewichtszustand feldfrei. Die eingezeichneten Pfeile kennzeichnen die lokale Feldstärke des elektrischen Feldes (auf der Position der
Pfeilmitte, weshalb die Darstellung auf dem diskreten Gitter in der Nähe des Kugelrandes nicht die Grenzflächenbedingungen exakt wiedergibt). Das Feld in großer
~ 0 , im Bild horizontal. Im Inneren der leitenden Kugel
Entfernung von der Kugel ist E
und auf ihrem Rand ist das elektrische Feld Null. Das elektrische Feld außen steht
überall senkrecht auf der Leiteroberfläche. Am linken und rechten Rand der Kugel
(außen) beträgt das elektrische Feld, das aus E0 und dem von induzierten Ladungen
erzeugten Zusatzfeld zusammengesetzt ist, E = 3E0 , oben und unten am Kugelrand
muss das Feld exakt Null sein.
Applet: dielektrikum/leiterkugel.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann die Größe der Kugel variiert werden.
Applet 73: Potential um eine leitende Kugel im äußeren Feld
Das Applet stellt die Flächen gleichen Potentials um eine leitende Kugel in einem
äußeren homogenen elektrischen Feld dar. Die Äquipotentialflächen sind in diesem
Fall rotationssymmetrisch um die Feldrichtung, das Bild zeigt die Schnitte dieser
Äquipotentialflächen mit einer Ebene, die durch den Kugelmittelpunkt geht und
die äußere Feldrichtung enthält. Das Feld ist in großer Entfernung von der Kugel
homogen, die Feldrichtung ist im Bild horizontal.
Im Inneren der leitenden Kugel ist das elektrische Feld Null. Die Kugeloberfläche
stellt selbst eine Äquipotentialfläche dar.
Applet: dielektrikum/leiterkugel1.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann die Größe der Kugel variiert werden.
1162
31 Applets
Applet 74: Wheatstone-Brücke
Mit der Wheatstone-Brücke in der angegebenen Schaltung kann man den unbekannten Widerstand Rx bestimmen. Man misst den Strom zwischen den Punkten A und
B, der vom Verhältnis der Widerstände R1 , R2 , R3 und Rx abhängt, für
Rx /R2 = R3 /R1
ist die Verbindung zwischen A und B stromlos.
Das Zeigerinstrument zeigt den zwischen A und B fließenden Strom I an (mit Ausschlagsbegrenzung), der numerische Wert von I wird unten rechts angezeigt (dabei
wurde ein Innenwiderstand des Instrumentes von Ri = 1 angenommen. Für einen
anderen Wert von Ri ändert sich nur der Absolutbetrag des Stromes, sein Vorzeichen
bleibt jedoch unverändert, sodass der Nullabgleich mittels R3 das gleiche Resultat
liefert.
Applet: gleichstrom/wheatstone.html
aus dem Internet/lokal starten
Im Applet kann man verschiedene Werte für R2 mit Hilfe der Schaltknöpfe wählen.
Der Schieberegler gestattet die Regelung von R3 , der gesuchte Widerstand Rx wird
durch Drücken des Knopfes Rx auf einen neuen Zufallswert gesetzt.
Alle Widerstände sind in Ω, Ströme in A und Spannungen in V angegeben.
31 Applets
1163
Applet 75: Widerstandskombination
Die Schaltung ist ähnlich der einer Wheatstone-Brücke. Man erhält die Ströme und
Spannungen aus der mehrfachen Anwendung der Knoten- und Maschenregel:
U1 + U2 = I1 R1 + I2 R2 = U
U3 + U4 = I3 R3 + I4 R4 = U
I3 − I5 = I4
I1 + I5 = I2
und z.B.
I3 R3 + I5 R5 + I2 R2 = U.
Dabei bezeichnet In den durch den Widerstand Rn fließenden Strom (Richtung wie
im Applet angezeigt) und Un die an diesem Widerstand anliegende Spannung.
Diese fünf linear unabhängigen Gleichungen genügen zur Bestimmung der fünf unbekannten Ströme In (N = 1, 2, ..., 5) bei bekannten Rn und U . I5 kann man z.B.
mit Hilfe der letzten Gleichung in der dritten und vierten Gleichung eliminieren,
und die erste und zweite Gleichung werden zur Eliminierung von I2 und I4 in den
genannten Gleichungen benutzt. Es bleibt ein System von zwei linearen Gleichungen
mit zwei Unbekannten (I1 , I3 ), das leicht zu lösen ist.
Applet: gleichstrom/R-kombination.html
aus dem Internet/lokal starten
Die Schieberegler gestatten das Einstellen verschiedener Widerstandswerte.
Die Pfeile zeigen die positiv gewählten Stromrichtungen an.
Die Spannungen und Ströme sind zur besseren Übersichtlichkeit auf vier Stellen
nach den Komma gerundet, deshalb ergeben sich, wenn man die Gültigkeit der
Knoten- und Maschenregel überprüft, manchmal geringe Differenzen in der letzten
angezeigten Stelle. Alle Widerstände sind in Ω, Ströme in A und Spannungen in V
angegeben.
1164
31 Applets
Applet 76: Widerstandskette
Das Applet gibt die Potentiale (blau) bezüglich des linken unteren Anschlusses für
die einzelnen Knoten der Schaltung an. In violetter Farbe werden die durch die Widerstände fließenden Ströme angezeigt und links der Gesamtstrom angegeben. Alle
Werte sind auf vier Nachkommastellen gerundet.
Der Stromfluss in der unteren Reihe erfolgt nach rechts, in der mittleren Reihe nach
oben. Der Stromfluss durch die Widerstände der oberen Reihe ist dem durch die
darunter liegenden Rb entgegengesetzt.
Die unten angegebenen R(n) sind Werte der Ersatzwiderstände für den rechten Teil
der Schaltung bis zum (n + 1). Widerstand Ra .
Applet: gleichstrom/R-kette.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit den Schiebereglern kann man die Werte der Widerstände Ra und Rb verändern.
Alle Widerstände sind in Ω, Ströme in A und Spannungen in V angegeben.
31 Applets
1165
Applet 77: Kondensatorkombination
Die Schaltung ist im Prinzip analog zur Kombination von Widerständen im Applet
75 aufgebaut.
Das Applet gibt die auf den Kondensatoren gespeicherten Ladungen Q1 , ..., Q5 (violett) sowie die Spannungen U1 , ..., U5 an den Kondensatoren (blau) an. Alle Werte
sind auf vier Nachkommastellen gerundet.
Jeder der beiden mittleren Knoten muss die Gesamtladung 0 besitzen, da diese Punkte von den Anschlüssen der Spannungsquelle U durch die Kondensatoren isoliert
sind. Dies ist das Analogon zur Kirchhoff’schen Knotenregel in einer Widerstandsschaltung. Die Summe der Ladungen auf C1 und C3 muss gleich der Summe der
Ladungen auf C2 und C4 sein, weil genau so viele Ladungen auf die linken Platten
der beiden linken Kondensatoren fließen, wie von den rechten Platten der beiden
rechten Kondensatoren abfließen (vgl. Aufgabe 85). Diese Summenladung, dividiert
durch die Spannung U , ergibt gleichzeitig die Gesamtkapazität der Schaltung.
Applet: gleichstrom/C-kombination.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit den Schiebereglern kann man die Kapazitäten der Kondensatoren verändern.
Alle Kapazitäten sind in F, Ladungen in As und Spannungen in V angegeben.
1166
31 Applets
Applet 78: Kapazitätskette
Das Applet gibt die Potentiale (blau) bezüglich des linken unteren Anschlusses für die
einzelnen Knoten der Schaltung an. In violetter Farbe werden die auf den Kondensatoren vorhandenen Ladungen angezeigt. Links ist die Gesamtladung angegeben,
die aus der Spannungsquelle auf die Kondensatoren fließt. Alle Werte sind auf vier
Nachkommastellen gerundet.
Die Ladungen in der unteren Reihe sind auf den rechten Kondensatorplatten positiv, in der mittleren Reihe auf den oberen Platten und in der oberen Reihe auf den
linken Platten.
Die unten angegebenen C(n) sind Werte der Ersatzkapazitäten für den rechten Teil
der Schaltung bis zum (n + 1). Kondensator Ca .
Applet: gleichstrom/C-kette.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit den Schiebereglern kann man die Kapazitäten der Kondensatoren Ca und Cb
verändern.
Alle Kapazitäten sind in F, Ladungen in As und Spannungen in V angegeben.
31 Applets
1167
Applet 79: Leistungsanpassung
Ein Verbraucher (Widerstand Ra ) wird an eine Batterie mit der Urspannung U0
und dem Innenwiderstand Ri angeschlossen. Sobald ein Strom fließt, fällt ein Teil
der Spannung U0 am Innenwiderstand ab, nur der verbleibende Teil der Spannung
steht am Verbraucher zur Verfügung. Die am Verbraucher abfallende Spannung
Ua = U0
der Strom
I=
Ra
,
R a + Ri
Ua
Ra
sowie die am Verbraucher verfügbare elektrische Leistung Pa = Ua I (im Diagramm
durch die blaue Fläche symbolisiert) werden für gegebene Widerstände Ra angezeigt.
Die maximale am Verbraucher verfügbare Leistung erhält man bei Ra = Ri (optimale Anpassung). Die graue Fläche entspricht der Leistung, die am Innenwiderstand
in der Batterie verbleibt.
Applet: gleichstrom/batterie.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann der Widerstand Ra des Verbrauchers verändert werden.
Alle Widerstände sind in Ω, Ströme in A, Spannungen in V und die Leistung in W
angegeben.
1168
31 Applets
Applet 80: Helmholtzspulen
Helmholtzspulen dienen zur Erzeugung eines möglichst homogenen magnetischen
Feldes über ein räumlich ausgedehntes Gebiet. Eine einzelne Ringspule liefert ein
Magnetfeld, das auf der Spulenachse zu beiden Seiten in Form einer Lorentzkurve
abfällt. Platziert man zwei solche Ringspulen koaxial im richtigen Anstand zueinander, dann erreicht man, dass in der Mitte zwischen beiden Spulen auf der Spulenachse
ein relativ homogenes Feld entsteht. Im Applet ist das Magnetfeld auf der Spulenachse (graue Kurve) als Funktion des gegenseitigen Spulenabstandes dargestellt. Die
farbigen Kurven zeigen die Magnetfelder der Einzelspulen. Der Spulenradius ist r,
der Spulenabstand beträgt 2D. Bei der Bedingung 2D = r (Spulenabstand = Spulenradius) ergibt sich die homogenste Feldverteilung im Bereich zwischen beiden Spulen.
Applet: helmholtz/helmholtz.html
aus dem Internet/lokal starten
Der Schieberegler stellt den Spulenabstand in Einheiten des Spulendurchmessers ein.
31 Applets
1169
Applet 81: RL-Reihenschaltung, Rechteckspannung
Im Applet wird der Verlauf der Spannungs- und Stromkurven in einer Parallelschaltung eines Widerstandes und einer Spule nach dem Einschalten einer Rechteckspannung U0 dargestellt. Die graue Kurve kennzeichnet den Verlauf der Eingangsspannung, die blaue Kurve die am Widerstand anliegende Spannung, die schwarze Kurve
den Spannungsverlauf an der Spule. Die Periode der Eingangsspannung ist 2π (Die
Spannungen sind in V gegeben, der Widerstand in Ω, die Induktivität in H, die Zeit
in s, Markierungen auf der Zeitachse im Diagramm entsprechen jeweils einer Zeiteinheit).
Applet: spule/RL-Schaltung1.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit den Schiebereglern lässt sich der Widerstand und die Induktivität verändern.
1170
31 Applets
Applet 82: RL-Reihenschaltung, Sinusspannung
Im Applet wird der Verlauf der Spannungs- und Stromkurven der angegebenen RLKombination bei einer sinusförmigen Eingangsspannung (Kreisfrequenz ω = 1) dargestellt. Es ist der Zustand nach dem Einschwingvorgang dargestellt. Die Amplituden der Spannungen an Widerstand und Spule (in Einheiten der Amplitude der
Eingangsspannung) sowie die Phasenverschiebung des Stromes bezüglich der Eingangsspannung werden angegeben.
Die graue Kurve kennzeichnet den Verlauf der Eingangsspannung, die blaue Kurve
die am Widerstand anliegende Spannung, die schwarze Kurve den Spannungsverlauf
an der Spule. Die Periode der Eingangsspannung ist 2π (Die Spannungen sind in V
gegeben, der Widerstand in Ω, die Induktivität in H, die Zeit in s, Markierungen auf
der Zeitachse im Diagramm entsprechen jeweils einer Zeiteinheit).
Applet: spule/RL-Schaltung2.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit den Schiebereglern lässt sich der Widerstand und die Induktivität verändern.
31 Applets
1171
Applet 83: Lecher-Leitung
Die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen auf Doppelleitungen, d.h. Leitungen,
deren Abmessungen senkrecht zur Leitungsrichtung klein gegen die Wellenlänge der
elektromagnetischen Wellen sind, lässt sich mathematisch durch das folgende Ersatzschaltbild beschreiben.
L
U~
C
R
Eine solche Doppelleitung aus zwei parallel aufgespannten gleichen Drähten bezeichnet man oft als Lecher-Leitung. C und L stellen die auf die Längeneinheit bezogene
Kapazität bzw. Induktivität der Doppelleitung dar (siehe z.B. H. Pfeifer: Elektronik
für den Physiker IV, Leitungen und Antennen. Akademie-Verlag Berlin, zweite Auflage 1970). Beim idealen Lecher-System wird der Ohm’sche Widerstand der Leitung
vernachlässigt, der Widerstand des Isoliermaterials wird als unendlich angenommen.
Die Leitung soll sich in x-Richtung erstrecken. Damit ergeben sich die folgenden
Beziehungen zwischen Strom I(x, t) und Spannung U (x, t)
∂U
∂I
=L ,
∂x
∂t
∂I
∂U
=C
.
∂x
∂t
Die Wellenausbreitung geschieht mit einer Phasengeschwindigkeit
υ=√
1
.
LC
Hinlaufende und rücklaufende Wellen gleicher Wellenlänge überlagern sich. Den Wellenwiderstand erhält man aus L und C durch
r
L
Rw =
.
C
Die Ausbreitung der elektromagnetischen Wellen auf einem halbunendlichen Leiterstück wird durch das Verhältnis zwischen diesem Wellenwiderstand und dem
Abschlusswiderstand R bestimmt. Die wichtigsten Spezialfälle sind offenes Ende
R Rw : stehende Wellen mit Spannungsknoten am Leitungsende (kein Energietransport), kurzgeschlossenes Ende R Rw: stehende Wellen mit Stromknoten am
Leitungsende (kein Energietransport), optimale Anpassung R = Rw : laufende Wellen ohne Phasenverschiebung zwischen U und I (maximaler Energietransport).
1172
31 Applets
Das Applet zeigt die zeitabhängigen Strom- und Spannungskurven auf einem links
abgeschlossenen Leiterstück.
Applet: lecher/lecher.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit den Schiebereglern stellt man Induktivität L und Kapazität C per Leitungslänge
sowie den Abschlusswiderstand ein. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit υ der Welle
und der Wellenwiderstand Rw werden berechnet.
31 Applets
1173
Applet 84: Bewegung eines geladenen Teilchens im Zyklotron
Um die für einen Linearbeschleuniger notwendigen langen geraden Beschleunigungsstrecken zu vermeiden, beschleunigt man geladene Teilchen in einem Zyklotron auf
annähernden Kreisbahnen. Zwei Gebiete konstanten Magnetfeldes (senkrecht zur
Blickrichtung im Applet) sind durch einen Spalt der Breite d getrennt. Im Spalt
wird das Teilchen mit der Ladung q durch ein elektrisches Feld E beschleunigt,
und es gewinnt die Energie qEd. Anschließend bewegt es sich auf einer Halbkreisbahn im Magnetfeld B mit der Kreisfrequenz ω = q/mB. Während das Teilchen
sich im Magnetfeld bewegt, wirkt die beschleunigende Kraft (Lorentzkraft) immer
senkrecht zur Bewegungsrichtung, daher ändert es seine Energie nicht. Die Zeit für
einen halben Umlauf π/ω ist unabhängig von der Geschwindigkeit bzw. Energie des
Teilchens (zumindest, solange es sich im nichtrelativistischen Bereich bewegt). Deshalb reicht es, das elektrische Feld mit der konstanten Frequenz ω/(2π) umzupolen,
um das Teilchen jedesmal bei Erreichen des Spaltes wieder zu beschleunigen. Der
Kreisbahnradius wächst linear mit der Geschwindigkeit des Teilchens. Bei jedem
Durchlaufen der Beschleunigungsstrecke d erhöht sich der Bahnradius um
1
−1
∆R = R · qEd · Ekin
2
(wobei R und Ekin die Größen vor dem Eintritt in den Beschleunigungsspalt bezeichnen sollen).
Applet: zyklotron/zyklotron.html
aus dem Internet/lokal starten
1174
31 Applets
Applet 85: RC-Filter: Sinusspannung am Tiefpass
Am Eingang des Tiefpasses aus der Kapazität C und dem Ohm’schen Widerstand
R liegt die Wechselspannung Ui mit der Frequenz f an. Am Ausgang misst man
die Spannung Uo , sie ist um die Phase ϕ gegen die Eingangsspannung verschoben.
Frequenzen, die klein gegen die Grenzfrequenz fc = 1/(2πRC) sind, passieren den
Tiefpass, höhere Frequenzen werden√gedämpft. Bei der Grenzfrequenz beträgt die
Dämpfung der Amplitude gerade 1/ 2
Die Eingangsspannung Ui ist grau und die Ausgangsspannung am Kondensator Uo
blau dargestellt. Das Verhältnis der Amplituden von Uo und Ui sowie die Phasenverschiebung ϕ werden angegeben. Im Applet wird die analytische Lösung der komplexen Wechselstromrechnung (s.S.263) verwendet, das Einschwingverhalten wurde
vernachlässigt.
Applet: filter/tpass.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler läßt sich die Frequenz der Eingangsspannung variieren.
Die Spannungskurven zeigen, dass die Kondensatorspannung der Eingangsspannung mit einer Phasenverschiebung hinterherläuft, weil sich der Kondensator solange auflädt, bis die nach dem Erreichen ihres Maximums wieder abnehmende Eingangsspannung den Wert der Kondensatorspannung unterschreitet. Danach entlädt
sich der Kondensator und lädt sich mit der umgepolten Spannung auf, bis wieder
der Wert der Eingangsspannung positiver wird als die Kondensatorspannung. Die
Schnittpunkte beider Kurven liegen also immer in den Extrema der Ausgangsspannungskurve.
31 Applets
1175
Applet 86: RC-Filter: Sinusspannung am Hochpass
Am Eingang des Hochpasses aus der Kapazität C und dem Ohm’schen Widerstand
R liegt die Wechselspannung Ui mit der Frequenz f an. Am Ausgang misst die
Spannung Uo , sie ist um die Phase ϕ gegen die Eingangsspannung verschoben. Frequenzen, die groß gegen die Grenzfrequenz 1/(2πRC) sind, passieren den Hochpass,
tiefere Frequenzen werden gedämpft. Eine Eingangsspannung,
die genau mit der
√
Grenzfrequenz schwingt, wird um den Faktor 1/ 2 gedämpft.
Die Eingangsspannung Ui ist grau und die Ausgangsspannung am Kondensator Uo
blau dargestellt. Das Verhältnis der Amplituden von Uo und Ui sowie die Phasenverschiebung ϕ werden angegeben.
Applet: filter/hpass.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler läßt sich die Frequenz der Eingangsspannung variieren.
Für niedrige Frequenzen läuft die Phase der Ausgangsspannung der der Eingangsspannung voraus, da am Widerstand nur dann Spannung abfällt, wenn der Kondensator geladen wird. Hat sich der Kondensator auf die momentane Eingangsspannung
aufgeladen, fließt kein Strom mehr und die Ausgangsspannung erreicht bereits ihren
Nulldurchgang.
1176
31 Applets
Applet 87: Übertragung eines Rechtecksignals durch einen RC-Tiefpass
Am Eingang des Tiefpasses aus der Kapazität C und dem Ohm’schen Widerstand
R liegt die Rechteckspannung Ui (t) mit der Periode T an. Am Ausgang wird die
Spannung Uo (t) gemessen. Der Tiefpass filtert hohe Frequenzen aus dem Rechteck
heraus, die Signalamplitude wird mit steigender Frequenz geringer, die Signalform
ändert sich, die Kanten werden geglättet. Die Grenzfrequenz beträgt
fR =
1
1
=
.
tR
RC
Im Applet wird die sich aus der komplexen Wechselstromrechnung (s.S.263) ergebende Differentialgleichung numerisch integriert (einschließlich eines Einschwingvorganges). Es wird der Verlauf der Eingangsspannung Ui (t) (grau) sowie die Spannung
am Kondensator Uo (blau) dargestellt.
Applet: filter/tpassrect.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann die Kapazität C und damit die Grenzfrequenz 1/tR variiert werden.
31 Applets
1177
Applet 88: Übertragung eines Rechtecksignals durch einen
RC-Hochpass
Am Eingang des Hochpasses aus der Kapazität C und dem Ohm’schen Widerstand R
liegt die Rechteckspannung Ui mit der Periode T an. Am Ausgang wird die Spannung
Uo gemessen. Der Hochpass filtert die tiefen Frequenzen, insbesondere den Gleichspannungsanteil, aus dem Rechtecksignal heraus, mit sinkender Frequenz wird die
durchgelassene Effektivspannung geringer, die Signalform ändert sich, an den Rechteckflanken der Eingangsspannung entstehen im Ausgangssignal kurze Impulse mit
alternierenden Vorzeichen. Da der Kondensator sich bei niedrigen Frequenzen vor
dem Umschalten der Eingangsspannung fast vollständig auf die Spannung Ui aufgeladen hat, liegt am Widerstand nach dem Umpolen der Eingangsspannung zunächst
eine Spannung von fast 2Ui an. Die Grenzfrequenz beträgt
fR =
1
1
=
.
tR
RC
Im Applet wird die Differentialgleichung, die sich aus der komplexen Wechselstromrechnung (s.S.263) ergibt, numerisch integriert (einschließlich eines Einschwingvorganges). Es sind die Eingangsspannung Ui (grau) sowie die Spannung am Widerstand
Uo (blau) dargestellt.
Applet: filter/hpassrect.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann die Kapazität C und damit die Grenzfrequenz 1/tR variiert werden.
1178
31 Applets
Applet 89: Einweg-Gleichrichter mit RC-Siebglied
Die Diode richtet einen Eingangswechselstrom gleich, mit Hilfe einer WiderstandsKondensator-Schaltung (Tiefpass) wird die gleichgerichtete Spannung geglättet. Dabei ist der Widerstand möglichst klein zu wählen, um Ohm’sche Verluste unter Last
gering zu halten, andererseits sollte die Relaxationszeit des RC-Gliedes tR = RC
möglichst groß werden, um eine ausreichende Glättung zu erhalten. Da eine Halbwelle der Eingangsspannung durch die Diode weggeschnitten wird, ist bereits dadurch
die erzielte effektive Ausgangsspannung im Verhältnis zur Eingangsspannung halbiert.
Im Applet ist die Differentialgleichung für die Änderung des Stroms
dI
I
d(Ui0 sin ωt)
+R
+
=0
dt
dt C
I
dI
+
=0
R
dt C
für sin ωt > 0
für sin ωt < 0
numerisch integriert worden und daraus die Spannung am Kondensator bestimmt
worden, mit der Anfangsbedingung I(t = 0) = 0. Für die Kennlinie der Diode (vgl.
Abb. 83) wurde hier vereinfachend angenommen, dass positive Spannungen unbeeinflusst durchgelassen und negative Spannungen vollkommen abgeschnitten werden
(ideale Kennlinie).
Applet: filter/gleich1.html
aus dem Internet/lokal starten
Die Kapazität kann mit Hilfe des Schiebereglers variiert werden.
Die Spannungskurven zeigen die Eingangsspannung (grau, punktiert), die Spannung
nach der Diode (schwarz) und die geglättete Spannung am Kondensator (blau).
Nach dem Abklingen der Einschaltvorgänge oszilliert die Ausgangsspannung um
den halben Effektivwert der Eingangswechselspannung.
31 Applets
1179
Applet 90: Zweiweg-Gleichrichter mit RC-Siebglied
Vier Dioden (Graetz-Schaltung) richten einen Eingangswechselstrom gleich, mit
Hilfe einer Widerstands-Kondensator-Schaltung wird die gleichgerichtete Spannung
geglättet. Eine Halbwelle wird ’umgeklappt’, dadurch ist die erzielte effektive Spannung nach der Gleichrichtung gleich der der Eingangsspannung.
Im Applet ist die Differentialgleichung für die Änderung des Stroms
dI
I
d(|Ui0 sin ωt|)
+R
+
=0
dt
dt C
für eine Eingangsspannung mit konstanter Amplitude numerisch integriert worden
und daraus die Spannung am Kondensator bestimmt worden, mit der Anfangsbedingung I(t = 0) = 0. Wie in Applet 89 wurden ideale Kennlinien der Dioden
angenommen.
Applet: filter/gleich2.html
aus dem Internet/lokal starten
Die Kapazität kann mit Hilfe des Schiebereglers variiert werden.
Die Spannungskurven zeigen die Eingangsspannung (grau, punktiert), die Spannung
nach den Dioden (schwarz) und die geglättete Spannung am Kondensator (blau).
Nach dem Abklingen der Einschaltvorgänge oszilliert die Ausgangsspannung um
den Effektivwert der Eingangswechselspannung.
1180
31 Applets
Applet 91: Antennenschwingkreis eines Funkempfängers
Ein Eingangsschwingkreis eines Empfängers bestehe aus einer Eingangsspule L, der
Kapazität C und dem Ohm’schen Widerstand R (des Spulendrahtes). Zwischen Antenne und Erde liege eine Wechselspannung U0 mit der Frequenz f an. Bei Frequenzen, die klein gegen die Resonanzfrequenz des idealen Serienschwingkreises aus L
und C
ωc = 2πfc
sind, fällt die Eingangsspannung ohne Phasenverschiebung im Wesentlichen am Kondensator ab. Bei sehr hohen Frequenzen f fc liegt die Eingangsspannung im Wesentlichen an der Spule an. Bei Erreichen der Resonanz können die Amplituden der
Spannungen an Spule und Kondensator, die gegeneinander dann eine Phasenverschiebung von fast 180◦ haben, die Amplitude der Eingangsspannung U0 beachtlich
übersteigen. Auf diese Weise kann man mit einem Eingangsschwingkreis eines Rundfunkempfängers selektiv ein schmales Frequenzband aus dem eintreffenden Signal
spannungsverstärken und herausfiltern. In Resonanz besitzt der Gesamtwiderstand
des Schwingkreises rein Ohm’schen Charakter, das spiegelt sich in der Gleichheit
von Eingangsspannung U0 und Spannungsabfall über dem Ohm’schen Widerstand
des Schwingkreises wider.
Im Applet sind die Eingangsspannung U0 (grau) sowie die Spannungen am Kondensator (blau), an der Spule (rot) und am Widerstand (schwarz) dargestellt.
Applet: antenne/antenne.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit den Schiebereglern lassen sich der Widerstand R der Schaltung und die Frequenz F der Eingangsspannung einstellen. XC und XL sind die bei der eingestellten
Frequenz auftretenden kapazitiven und induktiven Scheinwiderstände.
31 Applets
1181
Applet 92: Van der Pol’scher Oszillator, x0 -x-Phasendiagramm
Der van der Pol’sche Oszillator (s.S.273) wird durch die nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
x00 − ε(1 − x2 )x0 + x = 0
beschrieben. Das Applet zeigt den Phasenraum aus den beiden unabhängigen Variablen x und v = x0 . Die Pfeile symbolisieren das Flussfeld, d.h. die an jedem Ort
im Phasenraum aus der Differentialgleichung resultierende zeitliche Veränderung des
Systems, die Trajektorie ist als farbige Kurve gezeichnet, in der die Zeit als Parameter durch die Farbe (rot nach grün) dargestellt wird. Der Startwert liegt nahe dem
Punkt (0,0) im rechten oberen Quadranten. Der Oszillator beginnt zu schwingen,
was im Phasenraum durch die mit fortschreitender Zeit erreichte geschlossene farbige Kurve dargestellt wird.
Applet: vanderpol/vanderpol.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann der Parameter ε variiert werden.
1182
31 Applets
Applet 93: Idealer Transformator
√
Es wird ein idealer Transformator behandelt (Induktivitäten L12 = L21 = L1 L2 ,
keine Verluste). Im Applet sind im linken Diagramm die Eingangsspannung U0 (grau)
sowie die Spannungen an der Primärspule L1 (schwarz) und dem Widerstand R1
(blau), im rechten Diagramm die Spannungen an der Sekundärspule L2 (schwarz)
und dem Lastwiderstand R2 (blau) dargestellt.
Die Amplituden der Spannungen an den beiden Spulen und den beiden Widerständen
sowie die Phasenverschiebung der Spannung an R2 bezüglich der Eingangsspannung
werden angezeigt.
Applet: spule/trafo.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit den Schiebereglern lassen sich die Werte der beiden Widerstände und die Induktivitäten der beiden Spulen des Transformators einstellen.
Im nahezu lastfreien Zustand (großer Widerstand R2 ) verhalten sich die Amplituden der Spannungen an den Spulen L1 und L2 etwa proportional zum Verhältnis
der Induktivitäten. Bei hoher Last transformieren sich die Ströme im Primär- und
Sekundärkreis (erkennbar an den an R1 und R2 abfallenden Spannungen) etwa im
umgekehrten Verhältnis der Induktivitäten.
31 Applets
1183
Applet 94: Fernfeld des Dipols
Es wird das elektrische Fernfeld (s. Gln.(421)-(423) eines in z-Richtung (vertikal im
Bild) gerichteten Dipols in der xz-Ebene dargestellt. Das Feld ist um die Dipolachse
rotationssymmetrisch. Tatsächlich kommt das Fernfeld erst in der Entfernung einiger Wellenlängen vom Dipol der gezeigten Lösung nahe. Der rote Pfeil symbolisiert
die zeitliche Schwingung des Dipols.
Applet: dipol/dipol1.html
aus dem Internet/lokal starten
Per Schalter kann die Darstellung so verschoben werden, dass der Dipol am linken
Rand positioniert wird und nur der rechte Teil der Feldverteilung sichtbar ist.
1184
31 Applets
Applet 95: Lorentz-Kontraktion
Ein Quadrat (Seitenlänge L, Ebene des Quadrates in der xz-Ebene) bewegt sich relativ zu einem ruhenden Beobachter mit der Geschwindigkeit υ entlang der x-Achse
(im Applet horizontal), senkrecht zur Beobachtungsrichtung y. Alle Längen in der
Bewegungsrichtung erfahren eine Lorentzkontraktion und erscheinen dem ruhenden
Beobachter verkürzt. Längen senkrecht zur Bewegungsrichtung bleiben unverändert.
Damit ändern sich nicht nur die Abmessungen des Vierecks, sondern im allgemeinen
auch seine Winkel, wenn die Seiten nicht exakt parallel bzw. senkrecht zur Bewegung
gerichtet sind. Das Quadrat erscheint dann verzerrt.
Applet: srt/kontraktion.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem seitlichen Schieberegler kann das Quadrat gedreht werden, mit dem farbigen
unteren Schieberegler kann man die Geschwindigkeit υ des Quadrates bezüglich des
Beobachters zwischen 0 und 0, 99c (Lichtgeschwindigkeit c) einstellen.
31 Applets
1185
Applet 96: Halbschatten und Kernschatten
Das Applet visualisiert Halb- und Kernschatten der Erde bzw. des Mondes während
einer Sonnenfinsternis bzw. Mondfinsternis. Die Sonne erscheint von der Erde gesehen unter einem mittleren Winkel von 32’ (er schwankt jahreszeitlich zwischen
31’31” und 32’36”). Diesen Winkel bilden miteinander auch die den Halbschatten
und Kernschatten begrenzenden Strahlen. Der Mond ist im Mittel etwa 384400 km
von der Erde entfernt, der Abstand Erde-Mond schwankt zwischen etwa 356400 km
und 406700 km (markiert durch kurze Striche). Da die Kernzone des Mondschattens
in etwa 373000 km Entfernung vom Mondmittelpunkt endet, findet nicht in allen
Fällen, in denen Sonne, Mond und Erde in dieser Reihenfolge auf einer Verbindungslinie stehen, eine totale Sonnenfinsternis statt.
Applet: schatten/schatten.html
aus dem Internet/lokal starten
Per Schaltknopf kann zwischen der Konstellation einer Sonnen- und Mondfinsternis
gewählt werden. Mit dem Schieberegler kann die Koordinate senkrecht zur Verbindungsachse der Himmelskörper um einen Faktor zwischen 1 und 20 gespreizt werden.
1186
31 Applets
Applet 97: Abbildung am sphärischen Hohlspiegel
Ein vor einem sphärischen Spiegel stehender Gegenstand erzeugt je nach Position ein reelles oder virtuelles, verkleinertes oder vergrößertes Bild. Im Applet ist der
Strahlengang an Hand einiger weniger von der Spitze des Gegenstandes (roter Pfeil)
ausgehender Strahlen dargestellt. Ein Schnitt durch den Spiegel in der Ebene des
abgebildeten Gegenstandes ist durch den schwarzen Kreisbogen (Radius R) symbolisiert. Die senkrechte Marke auf der Mittelachse zeigt die Position des Brennpunktes
im Abstand R/2 vom Spiegel. Mit Hilfe des Mauszeigers kann die Position und Größe
des Gegenstandes variiert werden. Wir beschränken uns auf Gegenstände oberhalb
der Mittelebene, die Situation für die untere Halbebene ist dazu symmetrisch. Das
reelle Bild der Spitze entsteht im Schnittpunkt der von der Spitze ausgehenden reflektierten Strahlen, bzw. das virtuelle Bild im Schnittpunkt der Verlängerung dieser Strahlen hinter dem Spiegel. Man erkennt, dass nur für die paraxialen Strahlen
(mit kleinem Neigungswinkel und nahe der Mittelachse) ein solcher gemeinsamer
Schnittpunkt existiert. Diese Strahlen liefern das sich aus der Abbildungsgleichung,
Gl. (444), ergebende Bild (blauer Pfeil) im Abstand b vom Spiegel
1/b = 2/r − 1/g,
wobei r der Radius des Spiegels und g der Abstand von Fußpunkt des Gegenstandes
zum Spiegel auf der Mittelachse ist. Die im Bild gelb gezeichneten Strahlen fallen achsennah ein, sind aber nicht unbedingt flach. Sie entsprechen nur für geringe
Höhen des Gegenstandes den paraxialen Strahlen. Man erkennt vor allem für die
nicht achsennahen (weiß gekennzeichneten) Strahlen die Verzeichnungen, besonders
für große Gegenstände (d.h. bei der Abbildung von weit von der Achse entfernten
Punkten). Befindet sich der Gegenstand genau im Brennpunkt, dann entsteht ein
Bild im Unendlichen, befindet er sich innerhalb der Brennweite, dann entsteht ein
virtuelles Bild hinter dem Spiegel. In diesem Fall sind nur die Verlängerungen der
reflektierten Strahlen hinter der Spiegelfläche dargestellt.
Applet: spiegel/spiegel1.html
aus dem Internet/lokal starten
Mausklick rechts neben dem Spiegel oberhalb der Mittelebene: Zeichnen eines neuen
Gegenstandes mit Spitze an der angegebenen Position.
31 Applets
1187
Applet 98: Abbildung am Parabolspiegel
Ein vor einem Parabolspiegel stehender Gegenstand erzeugt je nach seiner Position ein reelles oder virtuelles, verkleinertes oder vergrößertes Bild. Im Applet ist
der Strahlengang an Hand einiger weniger von der Spitze des Gegenstandes (roter Pfeil) ausgehender Strahlen dargestellt. Ein Schnitt durch den Spiegel in der
Ebene des abgebildeten Gegenstandes ist durch die schwarz gezeichnete Parabel
(y 2 = 2rx) symbolisiert. Die senkrechte Marke auf der Mittelachse zeigt die Position
des Brennpunktes im Abstand r/2 vom Spiegel. Mit Hilfe des Mauszeigers können
die Position und Größe des Gegenstandes variiert werden. Wir beschränken uns
auf Gegenstände oberhalb der Mittelebene, die Situation für die untere Halbebene
ist dazu symmetrisch. Das reelle Bild der Spitze entsteht im Schnittpunkt der von
der Spitze ausgehenden reflektierten Strahlen, bzw. das virtuelle Bild im Schnittpunkt der Verlängerung dieser Strahlen hinter dem Spiegel. Man erkennt, dass nur
für die paraxialen Strahlen (mit kleinem Neigungswinkel und nahe der Mittelachse)
ein solcher gemeinsamer Schnittpunkt existiert. Diese Strahlen liefern das aus der
Abbildungsgleichung sich ergebende Bild (blauer Pfeil) im Abstand b vom Spiegel
1/b = 2/r − 1/g,
wobei r durch die Parabelgleichung definiert ist und g der Abstand von Fußpunkt
des Gegenstandes zum Spiegel auf der Mittelachse ist. Die im Bild grün gezeichneten
Strahlen fallen achsennah ein, sind aber nicht unbedingt flach. Sie entsprechen nur
für geringe Höhen des Gegenstandes den paraxialen Strahlen. Man erkennt vor allem für die nicht achsennahen (weiß gekennzeichneten) Strahlen die Verzeichnungen,
besonders für große Gegenstände, d.h. bei der Abbildung von weit von der Achse entfernten Punkten. Befindet sich der Gegenstand genau im Brennpunkt, dann entsteht
ein Bild im Unendlichen, befindet er sich innerhalb der Brennweite, dann entsteht
ein virtuelles Bild hinter dem Spiegel. In diesem Fall sind nur die Verlängerungen
der reflektierten Strahlen hinter der Spiegelfläche dargestellt.
Applet: spiegel/spiegel2.html
aus dem Internet/lokal starten
Mausklick rechts neben dem Spiegel oberhalb der Mittelebene: Zeichnen eines neuen
Gegenstandes mit Spitze an der angegebenen Position.
1188
31 Applets
Applet 99: Regenbogen (Hauptregenbogen)
Das Applet zeigt den Strahlengang in einem kugelförmigen Wassertropfen, der zur
Entstehung eines Regenbogens (Hauptregenbogen) führt. Das Licht wird beim Eintritt in den Wassertropfen gebrochen, innen einmal reflektiert und beim Austritt
nochmals gebrochen. Es wird mit einem Brechungsindex für Wasser von
n = 1, 341 − (λ/nm − 400) · 0, 00004
gerechnet.
Applet: regenbogen/regenbogen.html
aus dem Internet/lokal starten
Der obere linke Regler dient zum Verändern der Wellenlänge λ der dargestellten
Lichtstrahlen. Der zur eingestellten Wellenlänge gehörende Wert des Brechungsindexes wird neben dem Regler angezeigt. Die entsprechende Farbe im optischen Spektrum wird annähernd durch das daneben stehende Feld wiedergegeben. Der rechte
Schieberegler dient zur Auswahl eines einzelnen Lichtstrahls, dessen Einfallshöhe
variiert werden kann.
Die eingezeichnete weiße Linie bildet mit der Horizontalen einen Winkel von 42 ◦ .
Ungefähr in diesem Winkel verlassen besonders viele der einfach reflektierten Lichtstrahlen den Tropfen. Es ist der Öffnungswinkel, unter dem man die bekannte Lichterscheinung des Regenbogens sehen kann. Dieser Winkel hängt von der Brechzahl
des Wassers, und damit auch von der Wellenlänge des Lichts ab, deshalb sieht man
das reflektierte blaue Licht unter einem etwas flacheren Winkel als das rote, im
Hauptregenbogen ist der blaue Streifen deshalb innen, der rote außen. (vgl. dazu
das Applet 100 des Nebenregenbogens).
Zur Berechnung des Winkels, unter dem man den Regenbogen sieht, kann folgende
Betrachtung herangezogen werden (siehe Übungsaufgabe 125):
α1
α2
h
α1
α2
α2
R
α2
β
α1
31 Applets
1189
Ein Strahl, der in einem Abstand h vom Zentrumsstrahl den kugelförmigen Wassertropfen (Radius R) trifft, hat den Einfallswinkel α1 = arcsin(h/R) (s. Bild). Der
Winkel α2 des gebrochenen Strahles mit dem Einfallslot ergibt sich als Funktion von
α1 aus dem Brechungsgesetz: sin α1 = n sin α2 , wobei n der Brechungsindex der Kugel ist. Der gebrochene Strahl bildet also mit dem einfallenden den Winkel α1 − α2 .
In dem Punkt, in dem der gebrochene Strahl im Tropfen reflektiert wird, bildet er
mit dem Lot auf den Kugelmittelpunkt den Winkel α2 . Der Lichtstrahl ändert also bei der Reflexion seine Richtung um den Winkel 2 · (90◦ − α2 ). Schließlich wird
am Austrittsort des reflektierten Strahles der die Kugel verlassende Strahl nochmals
um den Winkel α1 − α2 gebrochen. Die gesamte Ablenkung des einfallenden Lichtes
beträgt damit 180◦ + 2α1 − 4α2 . Berechnet man nun die Blickrichtung β eines Beobachters (die entgegengesetzt zur Richtung des vom Tropfen kommenden Lichtes ist),
so erhält man den Beobachtungswinkel β = 4α2 − 2α1 , oder, durch h/R ausgedrückt
β = 4 arcsin
h
h
− 2 arcsin
nR
R
Diese Funktion ist im folgenden Bild dargestellt, wobei für die rote Kurve ein Brechungsindex von n = 1, 33 und für die blaue Kurve ein Brechungsindex von 1,34
angenommen wurde.
50
40
b
30
20
10
0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
h/R
Wenn man annimmt, dass der Tropfen gleichmäßig bestrahlt wird, dann ist die Zahl
der im Winkel β beobachteten Strahlen dort am größten, wo die Funktion β(h) ihr
Extremum hat. Dies ist genau für
r
h
(4 − n2 )
=
R
3
1190
31 Applets
der Fall. Dort hat die Funktion einen Wert von β ≈ 42 ◦ . Man sieht in der Grafik, dass
das Maximum für die blaue Kurve (höherer Brechungsindex) etwas niedriger ist als
für die rote. Außerdem sieht man, dass ein großer Anteil des Lichtes auch in Winkel
reflektiert wird, die kleiner als der Grenzwinkel sind, aber kein Licht in größeren
Winkeln beobachtet wird. Das bedeutet, dass die Fläche unterhalb des Regenbogens
dem Beobachter deutlich heller als die darüberliegenden Gebiete erscheint.
31 Applets
1191
Applet 100: Nebenregenbogen
Das Applet zeigt den Strahlengang in einem kugelförmigen Wassertropfen, der zur
Entstehung eines Nebenregenbogens führt. Das Licht wird beim Ein- und Austritt
an der Oberfläche des Wassertropfens zweimal gebrochen und im Wassertropfen
zweimal an dessen Oberfläche reflektiert.
Es wird mit einem Brechungsindex für Wasser von
n = 1, 341 − (λ/nm − 400) · 0, 00004
gerechnet.
Applet: regenbogen/nregenbogen.html
aus dem Internet/lokal starten
Der obere linke Regler dient zum Verändern der Wellenlänge λ der dargestellten
Lichtstrahlen. Die entsprechende Farbe im optischen Spektrum wird annähernd durch
das daneben stehende Feld wiedergegeben. Der zur eingestellten Wellenlänge gehörende Wert des Brechungsindexes wird neben dem Regler angegezeigt. Der rechte Schieberegler dient zur Auswahl eines einzelnen Lichtstrahls, dessen Einfallshöhe variiert
werden kann.
Die eingezeichnete weiße Linie bildet mit der Horizontalen einen Winkel von 51 ◦ .
Ungefähr in diesem Winkel verlassen besonders viele der innen zweimal reflektierten Lichtstrahlen den Tropfen. Es ist der Öffnungswinkel, unter dem man oft einen
Nebenregenbogen sehen kann. Weil der Anteil des reflektierten Lichts jeder der Reflexionen innerhalb des Tropfens sehr klein ist, erscheint der Nebenregenbogen deutlich
schwächer als der Hauptregenbogen (s. Applet 99). Im Nebenregenbogen sieht man
das reflektierte blaue Licht unter einem steileren Winkel als das rote, die Aufeinanderfolge der Farben ist daher gegenüber der des Hauptregenbogens genau umgekehrt,
der blaue Streifen erscheint außen, der rote außen.
Zur Berechnung des Winkels, unter dem man den Regenbogen sieht, kann man eine
Betrachtung analog zum vorigen Applet 99 herangeziehen. Durch die zweimalige
Reflexion beträgt der Winkel zwischen einfallendem Dtrahl und der Blickrichtung
des Beobachters hier β = 360◦ + 2α1 − 6α2 . Die Funktion ist im folgenden Bild
dargestellt.
1192
31 Applets
140
120
100
b
80
60
40
20
0
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
h/R
p
Das interessierende Extremum liegt bei h/R = − (9 − n2 )/8, d.h. bei β ≈ 51◦ .
Für blaues Licht ist der Winkel β im Extremum etwas größer als für rotes. Man
erkennt außerdem, daß das ein großer Anteil des Lichtes auch in größere Winkel
reflektiert wird, aber kein Licht den Beobachter unter kleineren Winkeln erreicht.
Deshalb erscheint der Himmel dem Betrachter auch oberhalb des Nebenregenbogens
etwas heller als zwischen dem Haupt- und Nebenregenbogen (vorausgesetzt, in der
Betrachtungsrichtung befinden sich genügend Regentropfen.
31 Applets
1193
Applet 101: ”Regenbogen” an Glaskügelchen
Würde man auch dann einen ”Regenbogen” sehen, wenn man feine Glaskügelchen
anstelle von Wassertropfen beobachtet? Das Applet zeigt den Strahlengang in einer
Glaskugel. Das Licht wird beim Ein- und Austritt an der Oberfläche des Glases
zweimal gebrochen und in der Glaskugel einmal an deren Oberfläche reflektiert.
Es wird mit einem Brechungsindex für Glas von
n = 1, 545 − (λ/nm − 400) · 0, 00008
gerechnet. Man erhält wie für die Reflexion im Wassertropfen ein Maximum des Winkels zwischen einfallendem Licht und Beobachtungsrichtung des reflektierten Lichtes,
dieses liegt bei etwa 20 Grad. Unter diesem Winkel würde auch durch Glaskügelchen
ein ”Regenbogen” hervorgerufen. Seine Intensität würde sogar höher als für einen
vergleichbaren Regenbogen an Wassertropfen ausfallen, weil der Anteil des reflektierten Lichtes wegen des höheren Brechungsindex höher ist als für Wasser und weil
das Maximum der Funktion β(h/R) (s. voriges Applet) flacher ist.
Applet: regenbogen/glasbogen.html
aus dem Internet/lokal starten
Der obere linke Regler dient zum Verändern der Wellenlänge λ der dargestellten
Lichtstrahlen. Die entsprechende Farbe im optischen Spektrum wird annähernd durch
das daneben stehende Feld wiedergegeben. Der zur eingestellten Wellenlänge gehörende Wert des Brechungsindexes wird neben dem Regler angegezeigt. Der rechte Schieberegler dient zur Auswahl eines einzelnen Lichtstrahls, dessen Einfallshöhe variiert
werden kann.
1194
31 Applets
Applet 102: Optische Täuschung, scheinbare Entfernung eines Objekts
im Wasser
Wenn man senkrecht durch eine Luft-Wasser-Grenzfläche Gegenstände im Wasser
beobachtet, erscheinen sie deutlich näher als sie tatsächlich sind. Das liegt unter
anderem daran, dass man bei Betrachtung eines Objektes mit beiden Augen die
Parallaxe bewertet (betrachtet man eine Szene mit nur einem Auge, geht der räumliche Eindruck verloren).
Das vom Gegenstand ausgehende Licht wird an der Luft-Wasser-Grenzfläche gebrochen und für den Beobachter scheint sich der Gegenstand (im Applet als gefüllter
roter Kreis dargestellt) dort zu befinden, wo die Verlängerungen der beiden in Luft
verlaufenden Beobachtungsstrahlen sich schneiden (leerer roter Kreis). Der tatsächliche Verlauf der Lichtstrahlen ist schwarz gezeichnet, der vom Beobachter angenommene grau. In diesem Fall (kleine Winkel angenommen, so dass der Sinus durch
sein Argument ersetzt werden kann) verkürzt sich die scheinbare Entfernung des
Gegenstandes zur Luft-Wasser-Grenzfläche um den Faktor 1/1, 33, entsprechend des
Verhältnisses der Brechzahlen von Luft und Wasser (siehe auch Übungsaufgabe 127).
Applet: entfernung/entfernung.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann der Beobachtungspunkt gewählt werden.
31 Applets
1195
Applet 103: Optische Täuschung, scheinbare Lage eines Objekts im
Wasser
Anders als im vorigen Applet 102 wird die Frage untersucht, wie tief eine in einem
flachen Becken liegende Münze einem Beobachter außerhalb des Wassers erscheint.
Wenn man wie im dargestellten Fall flach über die Wasseroberfläche schaut, wird die
Parallaxe nur wenig beeinflusst, d.h. der Gegenstand (die Münze) erscheint etwa in
der wirklichen Entfernung. Weil das vom Gegenstand ausgehende Licht an der LuftWasser-Grenzfläche gebrochen wird, scheint der Gegenstand (gefüllter roter Kreis)
dem Beobachter aber deutlich höher zu liegen als er tatsächlich ist. Diese Täuschung
wird um so stärker, je flacher man den Blickwinkel wählt. Im Grenzfall, wenn man
fast horizontal auf die Wasseroberfläche schaut, dann scheint der Gegenstand direkt unter der Oberfläche zu liegen. Der tatsächliche Verlauf der Lichtstrahlen ist
schwarz gezeichnet, der vom Beobachter angenommene grau. In welcher Entfernung
vom Eintrittspunkt der Lichtstrahlen ins Wasser der Beobachter den Gegenstand
auf der grauen Linie wahrnimmt, hängt direkt mit der Physiologie der visuellen
Wahrnehmung zusammen (optische Täuschungen).
Sucht man auf der grauen Linie (vom Beobachter angenommener Strahlengang) wie
in Übungsaufgabe 127 die Lage des virtuellen Bildes des Gegenstandes für den Betrachter, dann ergibt sich die durch den leeren roten Kreis bezeichnete Position.
Applet: entfernung/entfernung2.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit den Schiebereglern können der Beobachtungspunkt und die horizontale Lage des
Gegenstandes gewählt werden.
Die angezeigten Werte sind der Einfallswinkel und Brechungswinkel des Lichtstrahls
(Winkel α zur Vertikalen in der Luft, und Winkel β des tatsächlichen Lichtstrahls
zur Vertikalen im Wasser, beide in Grad angegeben) sowie die Entfernung l0 des
Bildes vom Eintrittspunkt des Lichtstrahls nach Übungsaufgabe 127, in Einheiten
der tatsächlichen Entfernung l des Gegenstandes vom Eintrittspunkt.
1196
31 Applets
Applet 104: Reflexionen im Lichtleiter (Glasfaserkabel mit Stufenindex)
Ein Lichtleiter besteht aus einem Medium mit hohem Brechungsindex, das von einem Medium mit niedrigerem Brechungsindex umgeben ist. Unter bestimmten Einkoppelbedingungen kann das Licht den Lichtleiter nicht über den Mantel verlassen,
es lässt sich dadurch relativ ungedämpft über sehr große Strecken übertragen. Im
Applet ist der Strahlverlauf des unter wählbaren Winkeln eingekoppelten Lichtes
dargestellt. Der Übersicht halber sind die Reflexionen im Mantel am Kern weggelassen.
Applet: fiber/fiber1.html
aus dem Internet/lokal starten
Der obere Schieberegler dient zum Einstellen des Einfallswinkels ϕ, der mittlere und
untere Regler zum Variieren der Brechungsindizes n1 (Kern) und n2 (Mantel), außen
ist der Brechungsindex 1.
Applet 105: Lichtausbreitung im Lichtleitkabel mit Stufenindex
Die Situation entspricht der im Applet 104 dargestellten. Es ist der Verlauf des
unter wählbaren Winkeln eingekoppelten Lichtes dargestellt. Die Abnahme der Intensitäten durch Reflexion und Brechung an den Grenzflächen ist hier mit berücksichtigt, allerdings sind der Übersicht halber die Reflexionen im Mantel am Kern
weggelassen.
Applet: fiber/fiber2.html
aus dem Internet/lokal starten
Der obere Schieberegler dient zum Einstellen des Einfallswinkels ϕ, der mittlere und
untere Regler zum Variieren der Brechungsindizes n1 (Kern) und n2 (Mantel), außen
ist der Brechungsindex 1.
31 Applets
1197
Applet 106: Strahlengang am Prisma, Dispersion
Es ist der Verlauf von sechs Strahlen verschiedener Wellenlängen dargestellt. Bei
Drehung des Prismas findet man für alle Wellenlängen die minimale Ablenkung
beim symmetrischen Strahlengang. Es wurde normale Dispersion angenommen, die
Brechungsindizes der einzelnen Strahlen sind:
n = 1, 550 (violett)
n = 1, 545 (blau)
n = 1, 540 (grün)
n = 1, 535 (gelb)
n = 1, 530 (orange)
n = 1, 525 (rot)
Applet: prisma/prisma.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann das Prisma gedreht werden.
1198
31 Applets
Applet 107: Luftspiegelung durch Brechungsindexgradienten
Das Applet demonstriert die in Übungsaufgabe 128 gerechnete Situation der Lichtausbreitung in einem Medium mit konstantem vertikalem Brechungsindexgradienten. Es ist der Strahlengang für einige ausgewählte Lichtstrahlen dargestellt.
Der Brechungsindex ist an der schwarzen Fläche 1,0 und er steigt linear mit der
Höhe an. Die Strahlen sind nach oben gekrümmt, so dass der Beobachter den Eindruck bekommt, einen oberhalb seiner Augenhöhe befindlichen Gegenstand zu sehen,
während er nach unten schaut. Dunkle Asphaltstraßen, über denen sich bei intensiver Sonneneinstrahlung eine heiße, optisch dünnere Luftschicht bildet, spiegeln dann
den Himmel wider und erscheinen dem Beobachter nass (spiegelnd).
Applet: fatamorgana/fatamorgana.html
aus dem Internet/lokal starten
Der Einfluss des linearen vertikalen Brechungsindexgradienten kann qualitativ überprüft werden, indem der Gradient mit dem Schieberegler variiert wird. Der eingestellte Wert entspricht dem Brechungsindex am oberen Bildrand.
31 Applets
1199
Applet 108: Strahlengang an der Grenzfläche zwischen zwei Medien
Eine Lichtquelle befindet sich in einem Medium mit hohem Brechungsindex, das
Licht dringt von dort in ein Medium mit niedrigerem Brechungsindex ein. Nur unter
bestimmten Einfallswinkeln kann das Licht das optisch dichtere Medium verlassen.
Es sind zu Beginn Brechzahlen von Luft (oben) und Wasser (unten) eingestellt.
Das Bild beschreibt das Sichtfeld eines Tauchers, der aus einer bestimmten Tiefe
nach oben schaut. Scheinbar sieht er über sich die gesamte Oberwasserwelt, aber
sie erscheint ihm nur innerhalb eines Gesichtsfeldes, das durch den Grenzwinkel der
Totalreflexion begrenzt wird.
Applet: brechung/brechung1.html
aus dem Internet/lokal starten
Oberer bzw. unterer Schieberegler dienen zum Variieren der jeweiligen Brechzahlen.
1200
31 Applets
Applet 109: Übergang vom optisch dünneren ins dichtere Medium,
Totalreflexion
Eine eindrucksvolle optische Täuschung kann man folgendermaßen erzeugen: Stellt
man ein leeres Marmeladenglas auf eine Münze, so kann man, wenn man von der Seite schräg nach unten in das Glas schaut, diese durch den Boden deutlich sehen. Füllt
man nun das Marmeladenglas mit Wasser und verschließt es mit einem undurchsichtigen Deckel, so dass man nur noch von der Seite in das Gefäß blicken kann, dann
verschwindet die Münze scheinbar. Der Strahlengang in diesem Fall wird im Applet
dargestellt. Es stellt sich heraus, dass fast alle von der Seite in das Glas einfallenden Lichtstrahlen am Bodenrand totalreflektiert werden, d. h. das Auge sieht nur
die entgegengesetzte Wand des Glases. Die rote Linie markiert den Grenzwinkel der
Totalreflexion. Die Glaswände des Gefäßes sind hier vernachlässigt, sie bewirken
tatsächlich nur eine geringe Parallelverschiebung der Strahlen. (Man kann ebenso
zeigen, dass fast alle von der Münze ausgehenden Lichtstrahlen das Glas nach oben
verlassen und nicht über die Seitenwände.) Das wassergefüllte Glas stellt damit eine
primitive Karikatur eines Lichtleiters dar. Bringt man zwischen Münze und Glasboden einen Tropfen Flüssigkeit, dann kann man die Münze wieder sichtbar machen,
weil in diesem Falle die Strahlen nicht mehr am Gefäßboden totalreflektiert werden.
Applet: brechung/brechung2.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann die man die vertikale Position des Beobachters einstellen.
31 Applets
1201
Applet 110: Strahlengang am Aquarium
Beobachtet man ein mit Wasser gefülltes Gefäß von einem Standpunkt, von dem aus
man sowohl durch eine durchsichtige Seitenwand als auch über die Wasseroberfläche
in das Wasser hineinschauen kann, dann stellt man fest, dass im Wasser befindliche
Objekte unter Umständen doppelt zu sehen sind. Der Strahlengang in diesem Fall
wird im Applet dargestellt. Die Brechzahlen sind 1,0 (außen) bzw. 1,33 (innen). In
dem durch gelbe und weiße sich kreuzende Strahlen markierten Gebiet erscheinen
Objekte dem Betrachter doppelt, in den anderen Gebieten sind sie jeweils nur durch
die Wasseroberfläche oder durch die Seitenscheibe sichtbar. (siehe auch Übungsaufgaben 129 und 130)
Applet: brechung/brechung3.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann die man die vertikale Position des Beobachters einstellen.
1202
31 Applets
Applet 111: Brechende Kugelfläche
Beim Übergang ins optisch dichtere Medium (hier von der Brechzahl 1,0 nach 1,5)
können die von einer Lichtquelle (Spitze des roten Pfeils) ausgehenden Strahlen fokussiert oder defokussiert werden. Der rot gezeichnete Strahl fällt horizontal ein.
Applet: brechung/brechung4.html
aus dem Internet/lokal starten
Durch Mausklick links neben der brechenden Fläche oberhalb der Mittelebene wird
ein neuer Gegenstand (roter Pfeil) mit Spitze an der angegebenen Position gezeichnet.
Wir wählen folgende Bezeichnungen:
Brechungsindex links von der brechenden Kugelfläche: n
Brechungsindex rechts von der brechenden Kugelfläche: n0
Krümmungsradius der brechenden Fläche: r
Gegenstandsweite: s
Bildweite: s0
Vorzeichenkonvention s. Übung 131.
Überzeugen Sie sich von der Gültigkeit der folgenden Gleichungen für achsennahe
paraxiale Strahlen:
1 1
1
1
0
n
−
=n
− 0 → Abbe’sche Invariante
r
s
r
s
n0 r
→ bildseitige Brennweite
−n
nr
f =− 0
→ objektseitige Brennweite
n −n
f0 =
n0
f0
f
+ = 1 → Abbildungsgleichung
0
s
s
31 Applets
1203
Applet 112: Strahlengang durch eine dicke Linse
Es ist der Strahlengang durch eine dicke Linse aus einem Material mit der Brechzahl n = 1, 5 dargestellt. Die Linse ist durch zwei sphärische Flächen mit gleichen
Krämmungsradien begrenzt. Der rote Strahl ist ein einfallender Parallelstrahl.
Applet: brechung/linse1.html
aus dem Internet/lokal starten
Durch Mausklick links neben der Linse oberhalb der Mittelebene wird ein neuer Gegenstand (roter Pfeil) mit Spitze an der angegebenen Position gezeichnet.
Die beiden Hauptebenen sind durch senkrechte gestrichelte Linien, die Brennpunkte
durch Marken auf der Achse markiert. Die Dicke d der Linse ist hier gleich dem
Krümmungsradius r beider Oberflächen. Die objektseitige Brennweite f ist gleich
der bildseitigen Brennweite f 0 ,
1
1
2
= 0 = (n − 1) .
f
f
r
Die Abstände der beiden Hauptpunkte auf der Achse vom jeweiligen Linsenrand
betragen
d
.
h = h0 =
2n
1204
31 Applets
Applet 113: Strahlengang bei einer Sammellinse
Abbildung mit einer Bikonvexlinse: Der rote Strahl ist ein einfallender Parallelstrahl
zur horizontalen Achse.
Applet: brechung/linse2.html
aus dem Internet/lokal starten
Durch Mausklick links neben der Linse oberhalb der Mittelebene wird ein neuer Gegenstand (roter Pfeil) mit Spitze an der angegebenen Position gezeichnet.
Mit dem Schieberegler lässt sich der Brechungsindex des Linsenmaterials verändern.
Die beiden Hauptebenen sind durch senkrechte gestrichelte Linien, die Brennpunkte
durch Marken auf der Achse markiert. Die objektseitige Brennweite f ist gleich der
bildseitigen Brennweite f 0 der Linse,
1
2
1
= 0 = (n − 1) ,
f
f
r
wobei r der Krümmungsradius beider Linsenoberflächen ist. Die Abstände der beiden
Hauptpunkte auf der Achse vom jeweiligen Linsenrand beträgt
h = h0 =
wobei d die Dicke der Linse ist.
d
,
2n
31 Applets
1205
Applet 114: Sammellinse mit unterschiedlichen Radien
Sammellinse (bikonvex) mit verschiedenen Krümmungsradien:
Applet: brechung/linse3.html
aus dem Internet/lokal starten
Durch Mausklick links neben der Linse oberhalb der Mittelebene wird ein neuer Gegenstand mit seiner Spitze an der angegebenen Position gezeichnet.
Mit dem linken Schieberegler kann der Brechungsindex des Linsenmaterials eingestellt werden. Mit dem rechten Schieberegler wird das Verhältnis der beiden Krümmungsradien variiert.
Die beiden Hauptebenen sind durch senkrechte gestrichelte Linien markiert, die
Brennpunkte durch Marken auf der Achse. Die objektseitige Brennweite f ist gleich
der bildseitigen Brennweite f 0 der Linse. Aus den Krümmungsradien r und r0 der
Linse findet man
1
1
q
1
= 0 = (n − 1)
+ 0 .
f
f
r
r
Der Abstand des objektseitigen Hauptpunktes auf der Achse vom linken Linsenrand
beträgt
d
,
h=
(1 + r/r0 )n
der des bildseitigen Hauptpunktes auf der Achse vom rechten Linsenrand beträgt
h0 =
wobei d die Dicke der Linse ist.
d
,
(1 + r0 /r)n
1206
31 Applets
Applet 115: Strahlengang durch eine brechende Kugel (Luftblase in
Wasser)
Das Applet zeigt den Strahlengang durch eine Luftblase in Wasser, die wie eine
Zerstreuungslinse wirkt. Der Brechungsindex des Linsenmaterials (1,0) ist hier geringer als der des umgebenden Mediums (1,33), deshalb wirkt diese sphärische Linse
zerstreuend, obwohl beide Grenzflächen konvex sind. Die totalreflektierten Strahlen
sind im Bild weggelassen.
Applet: brechung/linse4.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann der Brechungsindex des umgebenden Materials verändert
werden.
31 Applets
1207
Applet 116: Bikonkavlinse
Es ist der Strahlengang durch eine bikonkave Zerstreuungslinse dargestellt. Der rote
Strahl kennzeichnet einen parallel zur Symmetrieachse einfallenden Strahl.
Applet: brechung/linse5.html
aus dem Internet/lokal starten
Durch Mausklick links neben der Linse oberhalb der Mittelebene wird ein neuer Gegenstand mit seiner Spitze an der angegebenen Position gezeichnet.
Mit dem Schieberegler stellt man den Brechungsindex des Linsenmaterials ein.
Die beiden Hauptebenen sind durch senkrechte gestrichelte Linien markiert, die
Brennpunkte durch Marken auf der Achse (s. Applet 114).
Applet 117: Konvexkonkavlinse
Strahlengang durch eine Konvexkonkavlinse
Applet: brechung/linse6.html
aus dem Internet/lokal starten
Durch Mausklick links nebend der Linse oberhalb der Mittelebene wird ein neuer
Gegenstand mit seiner Spitze an der angegebenen Position gezeichnet.
Mit dem linken Schieberegler stellt man den Brechungsindex des Linsenmaterials ein.
Der rechte Schieberegler bestimmt das Verhältnis der beiden Krümmungsradien.
Applet 118: Linsensystem
Kombination aus Konvex- und Konkavlinse: Die Krümmungsradien der beiden Linsen (Zerstreuungs- zu Sammellinse) verhalten sich wie 1:2. Die jeweiligen Brennpunkte sind durch senkrechte Striche markiert. Bringt man die zwei objektseitigen
Brennpunkte zur Deckung, so werden aus achsennahen Parallelstrahlen wieder Parallelstrahlen, deren Abstände von der Achse um den Faktor 2 aufgeweitet sind.
Applet: brechung/linse7.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler wird der Abstand der beiden Linsen eingestellt.
1208
31 Applets
Applet 119: Linsenfehler: sphärische Aberration
Sphärische Aberration: Abbildung durch eine sphärische Linse für achsennahe und
achsenferne Strahlen Die achsenfernen Strahlen sind etwas dunkler dargestellt als
die achsennahen. Sie werden stärker gebrochen.
Applet: brechung/aberration1.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler lässt sich die Größe der ausgeleuchteten Fläche der Linse bzw.
(wie in der Abbildung) die Größe der vollständig ausgeleuchteten Linse einstellen
(die Zahl gibt den halben Öffnungswinkel des Kugelsektors in Grad an).
Applet 120: Linsenfehler: chromatische Aberration
Für Linsen aus einem Material, dessen Brechungsindex wellenlngenabhängig ist,
hängt auch die Brennweite von der Wellenlänge des einfallenden Lichtes ab. Das
Applet zeigt die Abbildung durch eine Linse für zwei verschiedene Wellenlängen: es
werden die Brechzahlen n = 1.545 für blaues Licht und n = 1.525 für rotes Licht
angenommen (normale Dispersion). Auf Grund der verschiedenen Brechzahlen befindet sich der Fokus für parallel einfallendes kurzwelliges Licht näher an der Linse
als der für langwelligeres Licht.
Applet: brechung/aberration2.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler ist eine Änderung des Krümmungsradius der Linse (Angabe
in willkürlichen Einheiten) und damit eine Verschiebung des Brennpunktes möglich.
31 Applets
1209
Applet 121: Astronomisches (Kepler-) Fernrohr
Zwei Sammellinsen bilden das Kepler-Fernrohr. Von links unter dem Winkel i eintretende Parallelstrahlbündel werden im Applet dargestellt. Die achsennahen Strahlen
(gelb gezeichnet) treten unter dem Austrittswinkel o beim Okular aus. Das Verhältnis dieser Winkel liefert die Vergrößerung des Fernrohres. Es entsteht ein reelles
Zwischenbild sowie ein seitenverkehrtes Abbild des Objektes. Die Brennweiten der
beiden Linsen verhalten sich wie 4:1. Bei der gängigen Einstellung des Fernrohres
fällt der bildseitige Brennpunkt des Objektivs mit dem objektseitigen Brennpunkt
des Okulars zusammen (unendliche Bildweite).
Applet: brechung/fernrohr1.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem oberen Schieberegler läßt sich der Abstand beider Linsen verändern, mit dem
unteren Schieberegler wird der Einfallswinkel des Parallelstrahlbündels variiert.
Applet 122: Terrestrisches (Galilei-) Fernrohr
Eine Sammellinse und eine Zerstreuungslinse bilden das Galilei-Fernrohr. Von links
unter dem Winkel i eintretende Parallelstrahlbündel werden im Applet dargestellt.
Die achsennahen Strahlen (gelb gezeichnet) treten unter dem Austrittswinkel o beim
Okular aus. Das Verhältnis dieser beiden Winkel liefert die Vergrößerung. Es entsteht
kein reelles Zwischenbild, das Abbild des Objektes ist seitenrichtig. Die Brennweiten
der beiden Linsen verhalten sich wie 4:1. Bei der gängigen Einstellung des Fernrohres
fällt der bildseitige Brennpunkt des Objektivs mit dem bildseitigen Brennpunkt des
Okulars zusammen (unendliche Bildweite).
Applet: brechung/fernrohr2.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem oberen Schieberegler läßt sich der Abstand beider Linsen verändern, mit dem
unteren Schieberegler wird der Einfallswinkel des Parallelstrahlbündels variiert.
1210
31 Applets
Applet 123: Fourier-Zerlegung eines periodischen Signals
Drei verschiedene periodische Signalformen werden als Summe von Fourierkomponenten dargestellt. Im oberen Fenster sind die Überlagerungen der entsprechenden
harmonischen Schwingungen dargestellt, im unteren Fenster zeigt ein Balkendiagramm die Fourierkoeffizienten. Der erste Balken gibt den nullten Fourierkoeffizienten (Integral des Signals) wieder.
Applet: fouriercoeff/fouriercoeff.html
aus dem Internet/lokal starten
Die Zahl der mitgenommenen Koeffizienten in der Entwicklung kann mit dem Schieberegler zwischen 1 und 100 eingestellt werden.
31 Applets
1211
Applet 124: Interferenzfarben einer dünnen Platte
Einfache und mehrfache Reflexion an den Oberflächen eines dünnen Plättchens
und die Überlagerung der reflektierten Komponenten ergeben für verschiedene Wellenlängen konstruktive oder destruktive Interferenz. Bei Plättchen, die deutlich
dicker als die Wellenlängen des optischen Spektrums sind, haben diese Interferenzen
eine sehr hohe Ordnung und Minima und Maxima eng benachbarter Wellenlängen
heben sich nahezu vollständig auf. An dünnen Plättchen liegen die Minima und Maxima für verschiedene Wellenlängen des optischen Spektrums deutlich voneinander
getrennt, damit erscheinen diese Plättchen farbig. Das Applet zeigt die Interferenzfarbe für senkrecht einfallendes weißes Licht in Reflexion. Im transmittierten Licht
sind diese Farben deutlich schwächer, weil ein großer Teil des Lichtes (bei Glas über
90%) unreflektiert durch die Grenzflächen geht. Das Bild zeigt insgesamt die Interferenzfarben zwischen 0 und 1000 nm Plättchendicke d für ein Plättchen mit dem
Brechungsindex 1,5. Der Brechungsindex der Umgebung ist 1.
Applet: interferenz/interferenz.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann eingestellt werden, welche Plättchendicke im Beobachtungsspalt erscheint.
1212
31 Applets
Applet 125: Interferenz von Wellen zweier gegenüber liegender
Punktquellen
Interferenz zweier Wellenzüge, die von gegenüberliegenden Punktquellen (durch
schwarze Punkte markiert) in das dargestellte Gebiet ausgesendet werden: Das
Wellenfeld ist rotationssymmetrisch um die Verbindungslinie der Quellen. Bei den
Anfangseinstellungen haben beide Quellen gleiche Amplituden und Wellenlängen
und gleiche Phase. Die anfangs eingestellte Wellenlänge beträgt 1/4 des Abstandes
der beiden Quellen. Die Amplitude jeder Welle fällt umgekehrt proportional zum
Abstand von ihrer Quelle ab. Das linke Applet stellt die zeitliche Änderung des
Schwingungszustandes dar, das rechte Applet zeigt das zeitgemittelte Quadrat der
Auslenkung. Die Skala an der linken Seite gibt die Farbkodierung des lokalen Schwingungszustandes an. Im rechten Applet kennzeichnet blau die Gebiete destruktiver
Interferenz (Auslöschung) und gelb die Gebiete konstruktiver Interferenz.
Weil die Amplituden beider Wellen im allgemeinen nicht gleich sind, führt die
destruktive Interferenz nur an wenigen Orten oder nirgends zur vollkommenen
Auslöschung der Schwingung.
Applet: interferenz2/interferenz2.html
aus dem Internet/lokal starten
Linkes Applet:
Die oberen beiden Regler gestatten die Variation der Wellenlänge λ1 von Quelle 1
(oben) und λ2 von Quelle 2 (unten). Mit dem unteren Regler wird die Amplitude A2
von Quelle 2 verändert. Die jeweilige Wellenlängen sind durch horizontale schwarze
Balken markiert.
Rechtes Applet:
Der linke Regler dient zur Variation der gemeinsamen Wellenlänge beider Quellen.
Mit dem rechten Regler wird die gegenseitige Phasenverschiebung am Ursprungsort
(in Grad) eingestellt. Die jeweilige Wellenlängen sind durch horizontale schwarze
Balken markiert.
31 Applets
1213
Applet 126: Interferenz zweier gegenüber liegender Spalte
Interferenz zweier Wellenzüge, die von parallelen Spalten (durch schwarze Punkte
markiert) in das dargestellte Gebiet gesendet werden: Es ist der Schnitt senkrecht
zur Spaltrichtung dargestellt. Das Wellenfeld ist translationssymmetrisch entlang
der (unendlich langen) linienförmigen Quellen. Bei den Anfangseinstellungen senden beide Quellen mit gleicher Amplitude und Wellenlänge und gleicher Phase. Die
anfangs eingestellte Wellenlänge beträgt 1/4 des Abstandes der beiden Quellen.
Die exakte Lösung der Wellengleichung setzt sich hier aus Hankel-Funktionen zusammen. In großem Abstand vom Spalt gehen diese Lösungen in harmonische Funktionen über, deren Amplitude mit der Wurzel aus dem senkrechten Abstand zum
Spalt abfällt. Im Applet ist diese Näherung überall verwendet worden, auch in der
Nähe der Quellen, so dass die Wellenfunktion in unmittelbarer Nähe jedes Spaltes
(etwa innerhalb 1/2 Wellenlänge ) nicht exakt wiedergegeben wird. Die Skala an der
linken Seite zeigt die Farbkodierung der lokalen Schwingungsamplitude.
Applet: interferenz2/interferenz2s.html
aus dem Internet/lokal starten
Die Regler gestatten die Variation der Wellenlänge λ1 von Quelle 1 (oben) und λ2
von Quelle 2 (unten) sowie der Amplitude A2 von Quelle 2. Die jeweilige Wellenlängen sind durch horizontale schwarze Balken markiert.
1214
31 Applets
Applet 127: Interferenz zweier Punktquellen
Interferenz zweier Wellenzüge, die von zwei Punktquellen (durch schwarze Punkte
markiert) ausgesandt werden, s. Applets 125 und 129): In der Anfangseinstellung
haben beide Quellen gleiche Amplituden und Wellenlängen und gleiche Phase. Die
anfangs eingestellten Wellenlängen entsprechen dem halben Abstand d der beiden
Quellen. Unterschiedlich zu Applet 125 ist hier nur die Lage des betrachteten Ausschnittes. Die Skala an der linken Seite zeigt die Farbkodierung des lokalen Schwingungszustandes. Im rechten Applet kennzeichnet blau die Gebiete destruktiver Interferenz (Auslöschung) und gelb die Gebiete konstruktiver Interferenz.
Applet: interferenz2/interferenz3.html
aus dem Internet/lokal starten
Linkes Applet:
Die Regler gestatten die Variation der Wellenlänge beider Quellen sowie der Amplitude von Quelle 2. Die eingestellten Wellenlängen sind durch horizontale schwarze
Balken markiert.
Rechtes Applet:
Der linke Regler dient zur Variation der gemeinsamen Wellenlänge beider Quellen.
Mit dem rechten Regler wird die gegenseitige Phasenverschiebung am Ursprungsort
(in Grad) eingestellt. Die jeweilige Wellenlängen sind durch horizontale schwarze
Balken markiert.
31 Applets
1215
Applet 128: Interferenz von Wellenzügen aus zwei dünnen Spalten
Interferenz zweier Wellenzüge, die von zwei parallelen Spalten (durch schwarze Punkte markiert) ausgesandt werden (s. Applet 126): Das Wellenfeld ist translationssymmetrisch entlang der Richtung der linienförmigen Quellen, es ist der Schnitt senkrecht zur Spaltrichtung dargestellt. In der Anfangseinstellung senden beide Quellen
mit der gleichen Amplitude und Wellenlänge und mit gleicher Phase. Die anfangs
eingestellten Wellenlängen entsprechen dem halben Abstand d der beiden Quellen.
Die Lösung der Wellengleichung setzt sich aus Hankel-Funktionen zusammen. In
großem Abstand vom Spalt gehen diese Lösungen in harmonische Funktionen über,
deren Amplitude mit der Wurzel aus dem senkrechten Abstand zum Spalt abfällt.
Im Applet ist diese Näherung überall verwendet worden, so dass die Wellenfunktion
in unmittelbarer Nähe eines Spaltes (etwa innerhalb 1/2 Wellenlänge) nicht exakt
wiedergegeben wird. Die Skala an der linken Seite zeigt die Farbkodierung der lokalen Schwingungsamplitude.
Applet: interferenz2/interferenz3s.html
aus dem Internet/lokal starten
Die Schieberegler erlauben die Einstellung der Wellenlänge der linken Quelle sowie
der Intensität der rechten Quelle.
1216
31 Applets
Applet 129: Interferenz zweier Punktquellen mit unterschiedlicher
Phase
Interferenz zweier Wellenzüge gleicher Wellenlänge, die von zwei Punktquellen
(durch schwarze Punkte markiert) ausgesandt werden (s. Applet 125): Die Wellenlänge beträgt anfangs die Hälfte des Abstandes d der beiden Quellen. Beide
Quellen senden anfangs mit der gleichen Phase. Die Amplitude jeder Welle fällt umgekehrt proportional zum Abstand von ihrer Quelle ab. Die eingestellte Wellenlänge
ist durch einen schwarzen Strich markiert. Die Skala an der linken Seite zeigt die
Farbkodierung der lokalen Schwingungsamplitude.
Applet: interferenz2/interferenz3a.html
aus dem Internet/lokal starten
Die Regler gestatten die Variation der gemeinsamen Wellenlänge λ, der gegenseitigen Phasenverschiebung φ, sowie der Amplitude A2 von Quelle 2.
31 Applets
1217
Applet 130: Beugung an einem breiten Spalt
Beugung einer durch einen breiten Spalt hindurchtretenden Welle: Das Wellenfeld ist
translationssymmetrisch entlang der Richtung des Spaltes, die Spaltbreite beträgt B.
Es ist der Schnitt senkrecht zur Spaltrichtung dargestellt. Im Applet ist nach dem
Huygens’schen Prinzip über Zylinderwellenzüge summiert worden, die von Linien
entlang des Spaltes ausgehen. Im Applet werden an Stelle der exakten Lösung für
diese Elementarwellen (Hankel-Funktionen) harmonische Funktionen benutzt, deren
Amplitude mit der Wurzel aus dem senkrechten Abstand zur Quelle abfällt. Diese
Näherung ist in der Nähe der Quelle nicht gerechtfertigt, so dass die Wellenfunktion in unmittelbarer Nähe des Spaltes (etwa innerhalb 1/2 Wellenlänge) nicht exakt
wiedergegeben wird. Für Wellenlängen, die deutlich größer als die Spaltbreite sind,
stimmt das Ergebnis wieder mit einer von einem dünnen Spalt ausgesendeten Zylinderwelle überein. Wenn die Wellenlänge deutlich kleiner als der Spalt wird, beobachtet man entlang bestimmter Richtungen fast völlige Auslöschung der Wellen. Die
Skala an der linken Seite zeigt die Farbkodierung der lokalen Schwingungsamplitude.
Applet: interferenz2/interferenz4s.html
aus dem Internet/lokal starten
Das Verhältnis der Wellenlänge λ zur Spaltbreite B kann mit dem Schieberegler
variiert werden.
1218
31 Applets
Applet 131: Moiré-Muster
Moiré-Muster entstehen, wenn Zeichnungen mit periodischen Linien- oder Punktanordnungen überlagert werden und entweder die Perioden oder die Richtung der
Periodizität der beiden überlagerten Muster sich geringfügig unterscheiden. Sie haben in verschiedener Hinsicht ähnliche Eigenschaften wie Interferenzmuster. Das
Applet zeigt übereinander dargestellt ein Muster gerader Linien und ein Muster
konzentrischer Kreise. Dreht man mit dem Schieberegler das Streifenmuster um den
Mittelpunkt der Kreise, dann dreht sich nicht einfach das überlagerte Muster, das
an sich schon ein Moiré-Muster darstellt, sondern die diskrete Struktur des darstellenden Mediums (Pixelstruktur des Monitors oder Druckers) macht sich zusätzlich
bemerkbar.
Applet: moire/moire.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann das Linienmuster gedreht werden.
31 Applets
1219
Applet 132: Optisches Gitter, Beugungsprofil
Das spektrale Auflösungsvermögen eines optischen Gitters ist allein durch die Anzahl
der Spalte dieses Gitters gegeben. Die in den Winkel α abgestrahlte Intensität ist
I = I0
sin2 [N π(g/λ) sin α]
,
sin2 [π(g/λ) sin α]
N ist die Zahl der Spalte des Gitters und g ihr Abstand. Die Breite der Spalte sei
vernachlässigbar klein.
Applet: optgitter/optgitter.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem linken Schieberegler kann man die Zahl der Spalten N variieren. Das
Verhältnis λ/g wird mit dem rechten Schieberegler ausgewählt.
Applet 133: Optisches Gitter, spektrale Auflösung
Das Auflösungsvermögen wird berechnet aus
As =
λ
= κN
|∆λ|
wobei κ die verwendete Ordnung ist, N die Zahl der Spalte des Gitters, g ihr Abstand. Die Breite der Spalte sei vernachlässigbar klein. Es werden zwei benachbarte
Wellenlängen im Applet dargestellt, ihr Wellenlängenunterschied beträgt ∆Λ.
Applet: optgitter/optgitter2.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem linken Schieberegler kann man die Zahl der Spalte N variieren. Die relative
Differenz der beiden Wellenlängen wird mit dem rechten Schieberegler ausgewählt.
Applet 134: Optisches Gitter mit endlicher Spaltbreite
Im Falle endlicher Spaltbreite b des Gitters wird die in Richtung des Winkels α
beobachtete Intensität beschrieben durch
I = I0
π sin2 [π(b/λ) sin α] sin2 [N π(g/λ) sin α]
·
,
[π(b/λ) sin α]2
sin2 [π(g/λ) sin α]
Applet: optgitter/optgitter3.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem linken Schieberegler kann man die Zahl der Spalte N variieren. Die beiden
anderen Regler dienen zum Einstellen der Verhältnisse g/λ und b/λ.
1220
31 Applets
Applet 135: Linear und zirkular polarisierte elektromagnetische Wellen,
Animation
Das Applet zeigt die räumliche Verteilung der elektrischen und magnetischen Felder
einer linear/zirkular polarisierten elektromagnetischen Welle.
Applet: propagation/propagation.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit den beiden Schiebereglern lassen sich die Betrachtungswinkel einstellen, die Auswahlknöpfe erlauben die Wahl zwischen linear polarisiertem Licht sowie links- bzw.
rechtszirkular polarisiertem Licht.
Applet 136: Stehende elektromagnetische Wellen, Animation
Das Applet zeigt die räumliche Verteilung der elektrischen und magnetischen Felder
einer stehenden elektromagnetischen Welle, wenn hin-und rücklaufende Wellen gleicher Amplituden überlagert werden. In keinem der Fälle findet (im Zeitmittel) ein
Energietransport statt, d.h. diese stehenden Wellen haben keine Ausbreitungsrichtung.
Applet: propagation/propagation2.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit den beiden Schiebereglern lassen sich die Betrachtungswinkel einstellen. Die Auswahlknöpfe erlauben die Wahl zwischen der Überlagerung einer hin- und rücklaufenden linear polarisierten Welle gleicher Schwingungsebene (1), einer hin- und rücklaufenden linear polarisierten Welle mit 90◦ zueinander verdrehten Schwingungsebenen, einer linkszirkular polarisierten hinlaufenden mit einer linkszirkular polarisierten zurücklaufenden Welle (z.B. nach Reflexion in einem cholesterinischen Flüssigkristall), und einer linkszirkular polarisierten hinlaufenden mit einer rechtszirkular
polarisierten rücklaufenden Welle (Reflexion am Metallspiegel).
31 Applets
1221
Applet 137: Elliptisch polarisierte elektromagnetische Welle, Animation
Das Applet zeigt die räumliche Verteilung der elektrischen und magnetischen Felder
einer sich in z-Richtung ausbreitenden elliptisch polarisierten elektromagnetischen
Welle.
Applet: propagation/propagation3.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem linken und dem oberen Schieberegler lassen sich die Betrachtungswinkel, mit
dem unteren die Elliptizität (Ax /Ay , wobei Ax und Ay die Amplituden der jeweiligen
Komponenten des elektrischen Feldes sind) einstellen. Die Auswahlknöpfe erlauben
die Wahl zwischen links- bzw. rechtsdrehend elliptisch polarisiertem Licht.
1222
31 Applets
Applet 138: Lichtdurchgang durch Polarisatoren
Drei Polarisatoren, zwei mit fester Polarisationsrichtung senkrecht bzw. waagerecht
im Bild sowie ein drehbarer Polarisator sind dargestellt. Sie liegen in der Reihenfolge
grün, blau, rot (Rahmenfarbe) übereinander. Die farbigen Striche geben die Richtungen der Polarisationsebene der einzelnen Polarisatoren an. Weil die beiden äußeren
Polarisatoren gekreuzt sind, geht durch die Fläche, an der sie sich überdecken, kein
Licht hindurch. Dort, wo sich die Polarisatoren nicht gegenseitig überdecken, beobachtet man die Hälfte der Intensität des einfallenden unpolarisierten Lichtes, weil
eine Schwingungsrichtung ausgelöscht wird. Auf den Flächen, auf denen sich der
drehbare Polarisator mit einem der festen überdeckt, variiert die beobachtete Intensität mit dem Quadrat des Sinus des gegenseitigen Verdrehungswinkels. Interessant
ist, dass dort, wo sich alle drei Polarisatoren überdecken, wieder eine Aufhellung
festgestellt wird, wenn der mittlere Polarisator gegen die beiden äußeren, gekreuzten Polarisatoren verdreht wird. Die Intensität variiert dann mit der Quadrat des
Sinus des doppelten Drehwinkels, d.h. sie ist Null, wenn der drehbare Polarisator
parallel zu einem der beiden anderen Polarisatoren ist, und maximal (1/8 der einfallenden Intensität) wenn seine Polarisationsrichtung diagonal zu den beiden äußeren
Polarisatoren steht.
Applet: polarisation/polarisation.html
aus dem Internet/lokal starten
Der Schieberegler dient zum Einstellen des Winkels des drehbaren Polarisators.
31 Applets
1223
Applet 139: Polarisatoren und λ/4-Platte
Zwei gekreuzte Polarisatoren, senkrecht bzw. waagerecht im Bild sowie eine drehbare
Phasenplatte sind im Applet dargestellt. Sie liegen in der Reihenfolge grün, blau,
rot (Rahmenfarbe) übereinander. Die farbigen Striche geben die Richtungen der
Polarisationsebene der einzelnen Polarisatoren bzw. der Phasenplatte an. Weil die
beiden äußeren Polarisatoren gekreuzt sind, geht durch die Fläche, an der sie sich
überdecken, kein Licht hindurch. Wenn das Licht zusätzlich durch die Phasenplatte
geht, variiert die beobachtete Intensität mit dem Quadrat des Sinus des doppelten
Verdrehungswinkels φ,
I = I0 sin2 φ cos2 φ.
Die maximale Aufhellung I0 /4 ergibt sich genau bei Diagonalstellung.
Erklärung: Wenn die Phasenplatte in Richtung eines der Polarisatoren orientiert ist,
dann beeinflusst sie die Transmission nicht (bis auf eine Änderung der Phase des EFeldes. Wenn die λ/4-Platte diagonal zum Polarisator verdreht ist, dann erzeugt sie
aus dem linear polarisierten Licht zirkular polarisiertes Licht, und zwar links- bzw.
rechtszirkular je nach der gewählten Diagonalen. Der Analysator läßt dann von diesem zirkular polarisierten Licht nur eine der beiden um 90◦ phasenverschobenen
linear polarisierten Wellen durch, so dass sich die Intensität nochmals halbiert. Man
kann dies experimentell leicht nachvollziehen z.B. mit Tesafilm, der ziemlich gut die
Eigenschaften eines λ/4- Plättchens aufweist.
Applet: polarisation/polarisation2.html
aus dem Internet/lokal starten
Der Schieberegler dient zum Einstellen des Winkels φ des λ/4-Plättchens.
1224
31 Applets
Applet 140: Reflexionskoeffizienten
Beim Übergang von einem Medium mit dem Brechungsindex n1 in ein Medium mit
dem Brechungsindex n2 wird ein Teil der Intensität des einfallenden Lichtes oder
sogar die gesamte Intensität reflektiert. Neben dem Verhältnis der Brechzahlen der
beiden Medien ist der Anteil des reflektierten Lichtes eine Funktion des Einfallswinkels α (Fresnel-Formeln). Der Reflexionskoeffizient R ist das Betragsquadrat des
Verhältnisses der elektrischen Feldstärken Er der reflektierten und Ee der einfallenden Wellen (s. Gln. (514) und (517)).
Die Reflexionskoeffizienten Rp für Licht, das in der Einfallsebene schwingt, und Rs
für Licht, das senkrecht zu dieser Ebene schwingt, unterscheiden sich dabei. Im
Applet sind beide Koeffizienten als Funktion des Einfallswinkels dargestellt. Die
Grafik zeigt links die Reflexionskoeffizienten bei Reflexion am optisch dünneren Medium und rechts bei Reflexion am optisch dichteren Medium. Außerdem sind der
Grenzwinkel der Totalreflexion bei der Reflexion am optisch dünneren Medium sowie der Brewsterwinkel markiert.
Applet: reflexion/reflexion.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann das Verhältnis n2 zu n1 variiert werden.
31 Applets
1225
Applet 141: Antireflexionsschicht
Beim Übergang von einem optisch dünneren in ein optisch dichteres Medium wird ein
Teil des einfallenden Lichtes reflektiert. Man kann dies zumindest für ausgewählte
Wellenlängen verhindern, indem man eine Antireflexionsschicht (AR) auf das optisch dichtere Medium aufbringt. Ein Teil des einfallenden Strahls wird jetzt auch
an der vorderen Seite der aufgebrachten Schicht reflektiert. Bei geeigneter Wahl der
Schichtdicke und der Brechungsindizes der beiden Materialien interferieren die an
beiden Grenzflächen reflektierten Wellen so miteinander, dass sie sich vollständig
auslöschen. Dies ist der Fall, wenn der Brechungsindex der AR-Schicht gleich der
Wurzel aus dem Brechungsindex des dahinter befindlichen Materials ist und die
Dicke ein (k + 1/4)-faches der Wellenlänge in der Schicht beträgt (k = 0, 1, 2, ...).
Auf diese Weise lassen sich z.B. Linsen oder Brillen entspiegeln. Genau genommen
funktioniert eine AR-Schicht aber nur für eine feste Wellenlänge (einen Satz von
Wellenlängen) und einen festen Einfallswinkel des Lichtes vollständig.
Applet: antireflex/antireflex.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann man die Brechungsindizes n (in der AR-Schicht) und
N (im dahinter befindlichen Material) variieren.
Applet 142: Die Bravais-Gitter
Ein jeder Kristall entsteht durch die dreidimensionale Aneinanderreihung von kleinsten Einheiten der Kristallstruktur, den Elementarzellen. Diese werden durch drei
Basisvektoren aufgespannt, die im allgemeinen nicht orthogonal und nicht gleich lang
sein müssen. Die sieben Kristallsysteme sind kubisch, trigonal, tetragonal, hexagonal, rhombisch, monoklin, triklin. Die Längen der drei Basisvektoren und die Winkel
zwischen diesen sind im Applet rot angezeigt. Sind nur die Ecken der Einheitszelle
besetzt, so nennt man diese primitiv. Außerdem können noch weitere Gitterpunkte
besetzt sein. Im Applet sind alle 14 möglichen Gittertypen grafisch veranschaulicht.
Es bedeuten die Symbole:
P primitiv,
I innenzentriert,
F, C flächenzentriert
Applet: gitter/kristallgitter2.html
aus dem Internet/lokal starten
Wählen Sie aus der Liste das gesuchte Gitter, mit den beiden Schiebereglern können
Sie die Figur um zwei Achsen drehen. Die Drehwinkel werden angezeigt. Mattrote
Gitterpunkte befinden sich im Hintergrund (vom Betrachter aus gesehen hinter der
Figurenmittelebene), die dunkelroten im Vordergrund. Die Linien sollen die Struktur
verdeutlichen. Auf perspektivische Darstellung wurde kein Wert gelegt.
31 Applets
1227
Applet 143: Transversale Gitterschwingungen, akustischer Zweig
Es wird die Auslenkung der Teilchen eines Gitters aus der Ruhelage im akustischen
Zweig der transversalen Gitterschwingungen dargestellt. (s. Abb. 221).
Applet: gitterschwingung/gitterschwingung1.html
aus dem Internet/lokal starten
Applet 144: Transversale Gitterschwingungen, optischer Zweig
Es wird die Auslenkung der Teilchen eines Gitters aus der Ruhelage im optischen
Zweig der transversalen Gitterschwingungen dargestellt (s. Abb. 221).
Applet: gitterschwingung/gitterschwingung2.html
aus dem Internet/lokal starten
Applet 145: Longitudinale Gitterschwingungen
Es wird die Auslenkung der Teilchen des Gitters aus der Ruhelage in einer longitudinalen Gitterschwingung dargestellt. Ein willkürlich ausgewähltes Teilchen wurde
rot markiert.s
Applet: gitterschwingung/gitterschwingung3.html
aus dem Internet/lokal starten
1228
31 Applets
Applet 146: Gruppen- und Phasengeschwindigkeit von
Gitterschwingungen
Wir betrachten eine unendliche Kette von Massepunkten m im Gleichgewichtsabstand `, welche jeweils mit ihren beiden unmittelbaren Nachbarn über eine Kraftkonstante κ gekoppelt sind. Es werden Phasen- und Gruppengeschwindigkeit einer
Welle berechnet, die sich aus Schwingungen dieser Massenpunkte zusammensetzt.
Die Auslenkung des n-ten Massenpunktes sei αn , die Auslenkung eines beliebigen
Massenpunktes in einer Welle mit der Frequenz ω sind gegeben durch
αn = An exp(iωt)
wobei An = exp(ik`n) sich aus der Wellenzahl k und dem Abstand benachbarter
Massen ` ergibt. Die Differentialgleichung
m
d
αn = κ(αn−1 − αn ) + κ(αn+1 − αn )
dt
bzw.
m
d
αn = κ(2 cos k` − 2)αn
dt
führt auf die Lösung
k` ω = 2ω0 sin2
2 r
mit ω0 =
κ
.
m
Die Phasen- und Gruppengeschwindigkeiten berechnen sich aus
vph =
ω
ω`
=
k
2 arcsin(ω/(2ω0 ))
und
vgr
dω
=
= `ω0
dk
s
1−
ω2
4ω02
Die Frequenz der Schwingung ist im Applet in Einheiten der Grundfrequenz ω0 angegeben, die Geschwindigkeiten in Einheiten von ω0 `, die Wellenzahl k in Einheiten
von 1/`. Die kleinstmögliche Wellenlänge entspricht dem doppelten Abstand der
Gitterpunkte (|kmax | = π/`). Sie wird erreicht bei ω = 2ω0 .
Applet: oszkette/oszkette.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann eine Kreisfrequenz ω ausgewählt werden, für die im
oberen Teil des Bildes die Welle dargestellt wird.
31 Applets
1229
Applet 147: Planck’sche Strahlungsformel, spektrale Energiedichte über
der Frequenz
Das Applet stellt die spektrale Energiedichte ρs (f, T ) nach der Planck’schen Strahlungsformel (Gl. (552) über der Frequenz dar (siehe auch Bild 227).
Applet: planck/planck.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann man eine Temperatur einstellen, für die die Energiedichte berechnet wird. Die farbigen senkrechten Markierungen zeigen die ungefähre
Lage der optischen Frequenzen für rotes, gelbes, grünes und blaues Licht.
Applet 148: Planck’sche Strahlungsformel und Wien’sches
Verschiebungsgesetz
Das Applet stellt die spektrale Energiedichte ρs (λ, T ) eines schwarzen Strahlers über
der Wellenlänge dar (siehe auch Applet 147).
Applet: planck/planck2.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann man eine Temperatur einstellen, für die die Energiedichte berechnet wird. Die farbigen senkrechten Markierungen zeigen die ungefähre Lage
der optischen Frequenzen für rotes, gelbes, grünes und blaues Licht. Die Position des
Maximums auf der Wellenlängenskala wird angezeigt, unter dem Insert ist das aus
dem Wien’schen Verschiebungsgesetz bestimmte Maximum angegeben.
1230
31 Applets
Applet 149: Additive Farbmischung
Die additive Mischung der drei Grundfarben wird anhand der drei Farbkanäle der
RGB-Darstellung demonstriert. Die einzelnen Regionen des Hexagons visualisieren
die additive Überlagerung der drei Farbkanäle mit unterschiedlichen Intensitäten:
links oben: rot und grün
rechts oben: rot und blau
Mitte unten: blau und grün.
Applet: farbkreis/farb-add.html
aus dem Internet/lokal starten
Die Intensitäten der drei Grundfarbanteile rot, grün und blau lassen sich mit den
drei Schiebereglern einstellen.
Applet 150: Subtraktive Farbmischung
Subtraktive Mischung der drei Farben
zyan (grün + blau = weiß − rot),
gelb (rot + grün = weiß − blau)
und magenta (rot + blau = weiß − grün):
Die einzelnen Regionen des Hexagons visualisieren die subtraktive Überlagerung der
drei Farben mit unterschiedlichen Intensitäten:
links oben: zyan und magenta
rechts oben: gelb und zyan
Mitte unten: magenta und gelb.
Applet: farbkreis/farb-sub.html
aus dem Internet/lokal starten
Die Intensitäten der drei Anteile zyan, gelb und magenta lassen sich mit den drei
Schiebereglern einstellen.
31 Applets
1231
Applet 151: Schrödingergleichung für ein Kastenpotential
Die Lösung der zeitunabhängigen Schödingergleichung (Gl. 586)
−
h̄2 d2 ψ(x)
+ Epot ψ(x) = Eψ(x)
2m dx2
für ein Teilchen der Masse m im eindimensionalen Kastenpotential mit unendlich
hohen Wänden (Epot = 0 für −x0 < x < x0 , E = ∞ sonst) ergibt nur diskrete
Zustände mit den Energieniveaus En = n2 E1 , (n = 1, 2, 3...). Im Applet werden zu
den ersten 10 Energieniveaus die Wellenfunktion (rote Kurve) sowie die zugehörige Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens (blaue Kurve) dargestellt. Da das
Teilchen nicht in die unendlich hohen Wände eindringen kann, verschwindet die
Wellenfunktion am Rand des Kastens.
Applet: kasten/kasten.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann man eines der ersten 10 Energieniveaus anwählen, die
zugehörige Wellenfunktion zu diesem Energieeigenwert wird dargestellt.
1232
31 Applets
Applet 152: Schrödingergleichung für ein quadratisches Potential
Die Lösung der zeitunabhängigen Schödingergleichung (Gl. (586))
−
h̄2 d2 ψ(x)
+ mω 2 x2 ψ(x) = Eψ(x)
2m dx2
für ein Teilchen der Masse m in einem quadratischen Potential existiert nur für
diskrete Energiezustände En = (n + 1/2)E0 . Sie wird durch die Wellenfunktionen
!
r
mωx2
2mω
ψ(x) = Cn exp −
Hn
x
2h̄
h̄
zum Energiezustand En beschrieben (Hn (x) sind die Hermite’schen Polynome, s.
Tab. 94). Im Applet werden zu den ersten 25 Energieniveaus die Wellenfunktionen (rot) sowie die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichten (blau) dargestellt. Das
Potential ist im Hintergrund angedeutet, die zum dargestellten Zustand gehörende
Energie wird durch seitliche Marken repräsentiert. Je höher die Energie über dem
Grundzustand ist, desto mehr nähert sich die Wahrscheinlichkeitsdichte dem klassischen Wert an, der durch eine Funktion mit zwei Singularitäten ausgezeichnet ist
an den Stellen, wo die Potentialhöhe gleich der gesamten Energie des Teilchens ist.
Dort hat das Teilchen klassisch keine kinetische Energie mehr, hält sich deswegen
sehr lange in der Nähe dieser Polstellen auf. Die Energien sind in der Darstellung in
Einheiten von E0 = h̄ω angegeben.
Applet: kasten/kasten1.html
aus dem Internet/lokal starten
Der Schieberegler dient zum Einstellen der Quantenzahl n.
31 Applets
1233
Applet 153: Materiewelle: Eindringtiefe in eine Potentialstufe
Das Applet stellt die Wellenfunktion (nicht normiert) eines stationären Zustandes
eines in ein Gebiet höheren Potentials (d.h. höherer potentieller Energie) eindringenden Teilchens dar. Für den tatsächlichen Zeitverlauf der Bewegung des Teilchens
müßte man aus vielen derartigen stationären Zuständen ein Wellenpaket formen.
Das Potential ist durch die rote Kurve am unteren Rand des Applets dargestellt, die
grüne Kurve zeigt zum Vergleich die Energie des Teilchens. Auf der linken Seite der
Stufe ist der Realteil der einfallenden Welle rot dargestellt. Auf sie sind alle Wellenzüge normiert. Die blaue Kurve gibt den Realteil des reflektierten Anteils, d.h.
der rücklaufenden Welle wieder. Die schwarze Kurve ist die Summe aus beiden Realteilen, d.h. der Realteil des stationären Zustandes. Am Rand des Potentialwalls sind
Wellenfunktion und erste Ableitung stetig. Liegt die Höhe des Potentials über der
Energie der Welle, dann dringt ein Teil der Welle nur in ein schmales Gebiet hinter
der Potentialschwelle ein. Ist die Potentialschwelle niedriger als die Teilchenenergie,
breitet sich die Welle auch im Gebiet des höheren Potentials aus. Dabei vergrößert
sich die Wellenlänge in diesem Gebiet gegenüber der Wellenlänge außerhalb des Potentialwalls. Ist das Potential hinter der Schwelle geringer als davor, beobachtet man
eine kürzere Wellenlänge in dem Gebiet hinter der Schwelle.
Applet: tunnel/tunnel4.html
aus dem Internet/lokal starten
Der Schieberegler stellt die Potentialhöhe (in Einheiten der Energie der Welle) ein.
Im folgenden Applet ist die gleiche Situation wie oben beschrieben dargestellt. Die
rote Kurve zeigt jetzt den Realteil, die blaue den Imaginärteil und die schwarze
Kurve den Betrag der Wellenfunktion.
Applet: tunnel/tunnel40.html
aus dem Internet/lokal starten
Der Schieberegler stellt die Potentialhöhe (in Einheiten der Energie der Welle) ein.
1234
31 Applets
Applet 154: Materiewelle: Tunneleffekt durch eine Potentialwand
Das Applet stellt einen stationären Zustand (nicht normiert) eines durch einen Potentialwall tunnelnden Teilchens dar. Für den tatsächlichen Zeitverlauf der Bewegung des Teilchens müßte man aus vielen derartigen stationären Zuständen ein Wellenpaket formen.
Das Kastenpotential ist durch die rote Kurve am unteren Rand des Applets dargestellt, die grüne Kurve zeigt zum Vergleich die Energie der Welle. Auf der linken
Seite des Tunnels ist der Realteil der einfallenden Welle rot dargestellt. Auf sie sind
alle Wellenzüge normiert. Die blaue Kurve gibt den Realteil des reflektierten Anteils,
d.h. der rücklaufenden Welle wieder. Die schwarze Kurve ist die Summe aus beiden
Realteilen, d.h. der Realteil des stationären Zustandes.
Am Rand des Potentialwalls sind Wellenfunktion und erste Ableitung stetig. Für
hohe bzw. breite Potentialwälle wird praktisch die gesamte Welle an der Vorderseite
des Potentialwalls reflektiert. Liegt die Höhe des Potentialwalls nur wenig über der
Energie der Welle oder ist die Breite des Potentialwalls nur von der Größenordnung
der Wellenlänge, tunnelt ein Teil der Welle in das Gebiet hinter dem Potentialwall.
Für Materiewellen bedeutet das, dass Teilchen mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eine Energiebarriere durchdringen können, die höher ist als die Teilchenenergie.
Ist der Potentialwall niedriger als die Teilchenenergie, breitet sich die Welle auch im
Gebiet des Potentialwalls aus. Dabei vergrößert sich die Wellenlänge in diesem Gebiet gegenüber der Wellenlänge außerhalb des Potentialwalls. Ist an Stelle des Walls
eine Senke, dann dringt die Welle hindurch, und im Gebiet der Senke beobachtet
man eine kürzere Wellenlänge.
Applet: tunnel/tunnel3.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem linken Schieberegler wird die Breite des Potentialwalls (in Einheiten der
Wellenlänge) eingestellt. Der rechte Schieberegler stellt die Potentialhöhe (in Einheiten der Energie der Welle) ein.
Im folgenden Applet ist die gleiche Situation wie oben beschrieben dargestellt. Die
rote Kurve zeigt jetzt den Realteil, die blaue den Imaginärteil und die schwarze
Kurve den Betrag der Wellenfunktion.
Applet: tunnel/tunnel30.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem linken Schieberegler wird die Breite des Potentialwalls (in Einheiten der
Wellenlänge) eingestellt. Der rechte Schieberegler stellt die Potentialhöhe (in Einheiten der Energie der Welle) ein.
31 Applets
1235
Applet 155: Potentialstufe: Reflexions- und Transmissionskoeffizienten
Es werden die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten einer durch einen Potentialwall tunnelnden Welle berechnet. Der Potentialwall hat die Höhe V , die Energie
E der Welle wird als Parameter variiert. Ist der Potentialwall niedriger als die Teilchenenergie, breitet sich die Welle auch im Gebiet des Potentialwalls aus, nur ein
Teil der Welle wird reflektiert. Bei einem endlichen Potentialwall kann ein Teil der
Welle auch dann den Wall durchdringen, wenn sie eine geringere Energie hat als die
Höhe des Potentialwalls. Die Kurve zeigt die Intensitätsverhältnisse (Quadrate der
Amplituden) der reflektierten (rot) sowie der transmittierten zur einlaufendenden
Welle (blau).
Applet: tunnel/tunnel3a.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem linken Schieberegler wird die Breite des Potentialwalls (in Einheiten der
Wellenlänge) eingestellt. Der Knopf auf der rechten Seite gestattet, zwischen einem
(halb)unendlich ausgedehnten Potentialwall und einem endlichen Potentialwall der
Breite d umzuschalten.
1236
31 Applets
Applet 156: Elektronendichtewolke im Wasserstoffatom
Das Bild der Elektronendichteverteilung im Wasserstoffatom wurde erzeugt, indem
Punkte mit der Verteilungsdichte der Elektronen in den untersten Energieniveaus
erzeugt wurden. Der Bohr-Radius a0 ist im oberen Teil markiert, mit wachsender
Hauptquantenzahl wurden kleinere Maßstäbe gewählt. Das Bild zeigt eine zweidimensionale Projektion der Punktverteilung, die blauen Punkte liegen dabei auf
niedrigeren z-Koordinatenwerten, die roten in Richtung höherer z.
Applet: wasserstoffatom/wasserstoffatom.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit den beiden Schiebereglern stellt man den Betrachtungswinkel ein. Der obere
Schieberegler dreht um die z-Achse, der seitliche neigt die z-Achse dem Betrachter
zu. Man kann mit dem Schalter im oberen linken Eck zwischen der Projektion der
3D-Verteilung und einem 2D-Schnitt durch das Zentrum wählen. Mit den Schaltern
im unteren Teil des Applets werden die Quantenzahlen eingestellt.
Applet 157: Elektronendichteverteilung im Wasserstoffatom, vertikaler
Schnitt
Das Bild zeigt die Verteilungsdichte der Elektronen in den untersten Energieniveaus
im zentralen Schnitt. Die Verteilung ist um die senkrechte Achse rotationssymmetrisch, d.h. die räumliche Verteilung erhält man durch Rotation des gezeigten Bildes
um seine vertikale Mittelachse. Für die Singulett-Zustände L = 0 ist die Verteilungsdichte am Mittelpunkt (Ort des Kerns) maximal und deutlich höher als in den
äußeren Schalen. Um dennoch die gesamte Verteilung sichtbar zu machen, wurde
(nur für diese Abbildungen) die Mitte unterdrückt (in der Abbildung sind die weggeschnittenen Intensitäten farbig dargestellt. Der Bohr-Radius a0 ist im oberen Teil
markiert, mit wachsender Hauptquantenzahl wurden kleinere Maßstäbe gewählt.
Helle Gebiete entsprechen hoher Elektronendichte.
Applet: wasserstoffatom/wasserstoffatom2.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit den Schaltern im unteren Teil des Applets werden die Werte der Quantenzahlen
eingestellt.
31 Applets
1237
Applet 158: Elektronendichteverteilung im Wasserstoffatom, horizontale
Schnitte
Das Bild zeigt die Verteilungsdichte der Elektronen in den untersten Energieniveaus in Schnitten in der xy-Ebene, alle Elektronendichteverteilungen sind in diesen
Ebenen rotationssymmetrisch (s. Applet 157). Helle Regionen kennzeichnen Gebiete
hoher Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons. Außerdem ist für diese Zustände
die Verteilungsdichte im Schnitt durch das Zentrum als Graph über die Abbildung
gelegt. Für einige Zustände (so z.B. 4d für gerade m) ist die Elektronenverteilung in
der äquatorialen Ebene exakt Null. In diesen Fällen erhält man nur dann ein Bild,
wenn man eine andere Beobachtungsebene wählt. Der Bohr-Radius a0 ist im oberen
Teil markiert, mit wachsender Hauptquantenzahl wurden kleinere Maßstäbe gewählt.
Applet: wasserstoffatom/h-atom-xy.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit den Schaltern im unteren Teil des Applets werden die Werte der Quantenzahlen eingestellt. Mit dem Schieberegler kann die Ebene der Beobachtung in vertikaler
Richtung verschoben werden, neben dem Regler ist die Verschiebung in Einkeiten
des Bohrschen Radius angegeben. Um wieder den zentralen Schnitt zu erhalten, kann
man den in der linken oberen Ecke befindlichen Schaltknopf verwenden.
1238
31 Applets
Applet 159: Wasserstoff-Serien
Die aus dem Termschema des Wasserstoffatoms abgeleiteten Absorptionsserien sind
für die Elektronenübergänge der inneren Bahnen aufgelistet. Sie wurden nach der
Formel
1
1
1
= R( 2 − 2 )
f
n
m
berechnet. Darin ist f die absorbierte Frequenz, n, m sind ganze Zahlen und R ist
die Rydberg-Konstante. Das Spektrum zeigt rot die Lage der Linien der gewählten
Serie, weiß alle anderen Linien, der Bereich optischer Frequenzen ist blau unterlegt.
Applet: rydberg/h2-series.html
aus dem Internet/lokal starten
Die gesuchte Serie kann aus der Liste gewählt werden.
31 Applets
1239
Applet 160: Drehimpulsquantelung
Für einen festen Gesamtdrehimpuls L kann die z-Komponente des Drehimpulses in
einem äußeren Magnetfeld in z-Richtung (magnetische Quantenzahl M ) nur 2L + 1
diskrete Werte −L bis L annehmen. Im Bild ist dargestellt, wie die Orientierung
des Drehimpulsvektors für verschiedene magnetische Quantenzahlen M bezüglich
der Magnetfeldachse gerichtet ist. Es gibt einen minimalen Winkel zwischen z-Achse
und Drehimpuls, der mit wachsender Drehimpulsquantenzahl L abnimmt. Die dargestellte Kugel hat den Radius (L(L + 1))0.5 , entsprechend dem Betrag des Drehimpulses.
Applet: drehimpuls/drehimpuls.html
aus dem Internet/lokal starten
Im Eingabefenster können ganzzahlige und halbzahlige Drehimpulsquantenzahlen L
(bis maximal 10) eingegeben werden. Neben den angedeuteten Orientierungen des
Drehimpulses für die einzelnen Werte der Richtungsquantenzahl M sind die Polarwinkel aufgetragen.
1240
31 Applets
Applet 161: Streuung am harten Körper
Ein harter Körper (Target) mit kreisförmigem Querschnitt werde mit kleinen Partikeln beschossen. Das Target soll als raumfest angenommen werden. Jedes der Partikel
wird am Target reflektiert, wenn es dessen Oberfläche trifft. Im Gegensatz zur Streuung am 1/r-Abstoßungs- oder Anziehungspotential (s. Applets 162 und 163) wird
die Winkelverteilung der gestreuten Partikel nicht durch die Energie der gestreuten
Teilchen beeinflusst.
b
2a
Im Bild ist die Streuung in der Mittelpunktsebene des Targets gezeigt (entspricht in
drei Dimensionen der Streuung an einem harten Zylinder).
Applet: rutherford/scattering.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann die Größe a des Targets variiert werden.
Im Applet sind Trajektorien für verschiedene Stoßparameter b dargestellt, von kleinen bis zu großen Stoßparametern. Der Streuwinkel φ nimmt mit kleiner werdendem
b zu, die Verteilung der Winkel der gestreuten Teilchen folgt der Beziehung
dN
φ
∝ sin
dφ
2
Im Bild ist der Strahlquerschnitt (Parameter b) auf −20..20 (in dimensionslosen
Einheiten, ebenso wie der Radius des Streuzentrums) eingeschränkt und für große a
sind nicht alle gestreuten Teilchen dargestellt.
31 Applets
1241
Applet 162: Streuung am 1/r-Potential, abstoßend
Ein geladenes Teilchen (Target) werde mit anderen geladenen Partikeln mit gleichem Vorzeichen der elektrischen Ladung beschossen. Das Target soll als raumfest
angenommen werden. Jedes der Partikel wird durch das Target von seiner ursprünglichen Bahn abgelenkt und beschreibt im abstoßenden Potential V = k/r der zentralen Ladung eine Hyperbelbahn. Die Form dieser Bahnen wird durch die Parameter
Anfangsgeschwindigkeit υ im Unendlichen (entsprechend der kinetischen Energie)
sowie Stoßparameter b (entsprechend dem Drehimpuls des Partikels bezüglich des
Targets) beschrieben. Der Parameter b ergibt sich aus dem Abstand der linearen
Verlängerung der ungestörten Flugbahn vom Zentrum des Targets. Der Parameter
k
mυ 2
ist durch das Verhältnis von Abstoßungspotential und Energie des Partikels bestimmt.
a=
r min
b
Der Streuwinkel φ ergibt sich aus
a
k
=
b
bmυ 2
Für anziehende Wechselwirkung findet man sich eine ähnliche Situation, die Ablenkung des Partikels auf der Hyperbelbahn ist dann zum Streuzentrum (Target) hin
gerichtet (vgl. Applet163).
tan φ =
Applet: rutherford/rutherford1.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann die Energie E des gestreuten Partikels variiert werden.
Der Parameter a ist invers proportional zu E, es wurde k = 100 (in dimensionslosen
Einheiten) gewählt.
1242
31 Applets
Im Bild sind Trajektorien für verschiedene Stoßparameter b dargestellt, farbig markiert von kleinen (grün) zu großen b (rot). Alle Einheiten sind dimensionslos gemacht.
Der Streuwinkel nimmt mit kleiner werdendem b zu, die Verteilung der Winkel der gestreuten Teilchen ergibt die Rutherfordsche Streuformel. Mit Erhöhung der Teilchenenergie wird der Streuwinkel reduziert. Da im Bild der Strahlquerschnitt (Parameter
b) auf -20...20 eingeschränkt wurde, sind die weit am Streuzentrum vorbeifliegenden,
weniger gestreuten Teilchenbahnen nicht dargestellt.
31 Applets
1243
Applet 163: Streuung am −1/r-Potential, anziehend
Ein geladenes Teilchen (Target) werde mit anderen, entgegengesetzt geladenen Partikeln beschossen. Es gelten alle im Fall abstoßender Ladungen dargestellten Gesetzmäßigkeiten (siehe Applet 162) bis auf die Richtung der Ablenkung der Trajektorie. Das Target wird als raumfest angenommen. Jedes der Partikel wird durch das
Target von seiner ursprünglichen Bahn abgelenkt und beschreibt im anziehenden Potential V = −k/r der zentralen Ladung eine Hyperbelbahn. Die Form dieser Bahnen
wird durch die Parameter Anfangsgeschwindigkeit υ im Unendlichen (entsprechend
der kinetischen Energie) sowie Stoßparameter b (entsprechend dem Drehimpuls des
Partikels bezüglich des Targets) beschrieben. Der Parameter b ergibt sich aus dem
Abstand zwischen der linearen Verlängerung der ungestörten Flugbahn und dem
Zentrum des Targets. Der Parameter
k
mυ 2
ist durch das Verhältnis von Anziehungspotential und Energie des Probepartikels
bestimmt.
a=
r min
b
Der Streuwinkel ergibt sich aus
tan φ =
a
k
=
b
bmυ 2
Applet: rutherford/rutherford2.html
aus dem Internet/lokal starten
Mit dem Schieberegler kann die Energie des gestreuten Partikels variiert werden.
Der Parameter a ist invers proportional zu E, es wurde k = 100 (in dimensionslosen
Einheiten) gewählt.