Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons

601
Zur Quantenmechanik
des m a g n e t i s c h e n Elektrons.
Von W. Pauli jr. ia Hamburg.
(Eingegangen am 3. ~ai 1927.)
Es wird gezeigt, wie man zu einer Formulierung der Quantenmechanik des magnetischen Elektrons nach der SchrSdingerschen Methode der Eigenfunktionen
ohne Verwendung zweideutiger Funktionen gelangen kann, indem man, gesttitzt
au[ die allgemeine D i r a e - J o r d a n s c h e Transformationstheorie, neben den 0rtskoordinaten jedes Elektrons, um seinen rotatoriseheu Freiheitsgraden Reehnuag zu
tragen, die Komponente seines Eigenimpulsmomentes in einer festen Riehtung als
weitere unabh~ngige Ver~nderliehe einfiihrt. Im Gegensatz zur klassischen
Meehanik kann diese Variable jedoch, ganz unabh~ngig yon irgend einer speziellen
i h
1 h
Art der ~ul]eren Kraftfelder, nur die Werte ~ - ~
und --~-2---~ annehmen.
Das Hinzutreten der genannteu neuenVariable bewirkt daher bei einem Elektron
einfach ein Aufspalten der Eigeafunktion in zwei Ortsfunktionen ~ , ~fl und allgemeiner bei N Elektronen in 2N Funktionen, die als die ,Wahrseheialichkeitsamplituden" dafiir zu betrachten sind, dal] in einem bestimmten station~ren Zustand
des Systems nieht nur die Lagenkoordinaten der Elektronen in vorgegebenen infinitesimalen Intervallen liegen, sondern aueh die Komponenten ihrer Eigenmomente
1 h,
1 h
in der festgew~hlten Riehtung bei ~?~ z u - ~ - ~ ~ bei ~fl z u - - ~ - ~ vorgegebene
Werte haben. Es werden Methoden angegeben, umbei gegebener Hamiltonseher
Funktion des Systems ebenso viele simultane Differentialgleichungeu for die
w-Funktionen anfzustellen, als ihre Anzahl betr~gt (also 2 bzw. 2N). Diese
Gleichungeu sind in ihren Folgerungen mit den Matrizengleichungen von H eis enberg und J o r d a n vSllig aquivalent. Feruer wird im Fall mehrerer Elektronen
diejenige LSsung der Differentialgleiehungeu, die der ,,Aquivalenzregel" geuiigt, im
Ansehlul] an H e i s e n b e r g und Dirac durch ihre Symmetrieeigensehaften bei Vertausehung der Variablenwerte zweier Elektronen in einfacber Weise eharakterisiert.
w 1. A l l g e m e i n e s
fiber
die Einordnung
des E l e k t r o n e n -
magnetismus
in die S c h r S d i n g e r s c h e
F o r m tier Q u a n t e n m e c h a n i k . Die zuerst yon G o n d s m i t und U h l e n b e e k zur Erkl~rung
der Komplexstruktur der Spektren und ihrer anomalen Zeemaneffekte
herangezogene Bypothese, gemgB weleher dem Elektron ein Eigenimpuls1 h
moment yon der GrSl~e ~ ~ and ein magnetisehes Moment yon e i n e m
Magneton zukommt, ist dutch H e i s e n b e r g
und J o r d a n I) mit g i l f e
der Methode der Matrizenreehnung in die Quantenmechanik eingegliedert
und hlerdurch quantitativ prgzisiert worden. Wahrend sonst die- Matrizenmethode mathematisch vSllig ~quivalent ist der yon S c h r S d i n g e r
enMeekten Methode der Eigenfunktionen in mehrdimensionalen R~umen,
1) ZS. f. Phys. 37, 263, 1926.
ftlr Physik. Bd. XLI~.
Zeitschrift
41
602
W. Pauli ir.,
st~l]t man bei einem Versueh, auch die dureh das Eigenmoment des
Elektrons bedingten Kr~[te and Drehmomente, die dieses in ~ul~eren
Feldern erf~hrt, naeh einer entspreehenden Methode zu behandeln, auf
eigentiimliche formale Sehwierigkeiten. Bei Ein~tihrung eines weiteren
Freiheitsgrades, welcher der Orientierung des Eigenimpulses des Elektrons
im Raum entspricht, gu~ert sieh n~mlich die empiriseh feststehende Tatsaehe der z w e i quantenm~Big mhgliehen Lagen dieses Momentes in einem
gul]eren Magnetfeld darin, dal] man zungchst auf Eigenfunktionen gefiihrt
wird, die in dem betreffenden Drehwinkel, z. B. dem Azimut des Impulses um eine raumfeste Aehse, mehrdeutig, und zwar z w e i d e u t i g sind.
Man hat daher vielfach vermutet, da~ diese zwar formal mSgliche Darstellung mittels zweidentiger Eigenfunktionen dem wahren physikalisehea
Sachverhalt nieht gereeht wird und hat die Lhsung des Problems in
einer anderen Riehtung gesucht. So hat kfirzlich D a r w i n 1) versueht,
die in der Annahme des Elektronenimpulses zusammengefa~ten Tatsaehen
ohne Einfiihrung einer den Kreiselfreiheitsgraden des Elektrons entspreehenden neuen Dimension des Konfigurationsraumes dadureh zu erfassen, dal] er die Amplituden der de B r o g l i e sehen We]len ale geriehtete
Grhl]en, das hefl]t die S e h r S d i n g e r s c h e Eigenfunktion als v e k t o r i e l l
betrachtet. Bei einem Yersuch, diesen anf den ersten Anbliek scheinbar
verheil~ungsvollen Weg konsequent zu Ends zu denken, ergeben sieh
iedoch Sehwierigkeiten, die gerade wieder mlt der Zahl 2 der Lagen des
Elektrons in einem aul]eren Feld zusammenhgngen nnd yon denen ich
nieht glaube, da~ sie sieh fiberwinden lassen werden. Andererseits ist
eine Darstellung des quantenmeehanisehen Verhaltens des magnetlsehen
Elektrons naeh der Methode der Eigenfunktionen namentlieh im Falle
eines Atoms mit mehreren Elektronen deshalb sehr erwtinseht, weft die
Auswahl der in der Natur allein realisierten, die ,,J~quivalenzregel" erfiillenden Lhsung der quantenmeehanisehen Gleichungen aus allen nach der
ietzigen Theorie m~g]ichen Lhsungen nach t t e i s e n b e r g 2) und D i r a c 2) am
fibersichtllchsten mit Hilfe der Symmetrieeigensehaften der Eigenfunktionen
bei Vertausehen der zu zwei Elektronen gehhrenden Variablenwerte erfolgt.
Wir wollen hier nun zeigen, dal] durch eine geeignete Benutzung
der von J o r d a n ~) und D i r a c 3) au[gestellten Formulierung der Quanten1) Nature 119, 282, 1927.
*) W. Heisenberg, ZS. f. Phys. 88, 411, 1926; 39, 499, 1926; 41, 239,
1927. P.A.M. Dirac, Proc. Roy. Soc. 112, 661, 1926.
s) p. Jordan, ZS. f. Phys. 40, 809, 1927; Ghtt. Nachr. 1926, S. 161;
P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. (A) 113, 621, 1927; vgl. auch F. London,
ZS. f. Phys. 40, 193, 1926.
Zur Quantenmechanik des magaetischen Elektrons.
603
mechanlk, welche allgemeine kanonlsche Transformationen der SchrSdingerschen Funktlonen $ zu verwerten gestattet, eine quantenmechanische Darstelhng des Verhaltens des magnetischen Elektrons nach
der ~[ethode der Eigenfunktionen in der Tat mSglich ist~ ohne da~ mehrdeutige Funktionen herangezogen werden. Dies gelingt namlich dadurch,
dal~ man zu den Lagenkoordinaten q der Elektronenschwerpunkte die
Komponenten des Eigenimpulses jedes Elektrons in einer festen Richtung
(start der zu diesen konjugierten Drehwinkel) als neue unabh~tngige
Variable hinzuftigt. Wie im folgenden w 2 zun~chst im Spezialfall eines
einzigen Elektrons ausgefiihrt wird, spaltet sich dann (bei Fehlen vor~
Entartung) in iedem Quantenzustand die Eigenfunktion im allgemeinen
in zwei Funktionen ~,~ (qk)und ~p~ (qk), yon denen die Quadrate der
Absolutbetr~tge, mit d q l ' " d qr multipliziert, die Wahrscheinlichkeit dafiir
angeben, dal] in diesem Zustand nicht nut die q~ in dem vorzugebenden
infinitesimalen Interval1 (qk, qk ~- d qk) liegen, sondern aul]erdem noch die
Komponente des Eigenimpulses in tier lest gewahlten Riehtung den
Wert -p ~-1 9szzhbzw.
21 2hz~annimmt.
Es wird dann welter gezeigt,
wie durch Wahl geeigneter linearer Operatoren fi~r die Komponenten
s~, sy, s~ des Eigenmomentes naeh einem vorzugebenden Koordinatenachsenkreuz far die Eigenfunktionen des magnetisehen Elektrons in gul]eren
Kraftfeldern Differentialgleichungen aufgestellt werden kSnnen, die den
Matrizengleiehungen yon H e i s e n b e r g und J o r d a n aquivalent sind.
Far den Fall sines ruhenden Elektrons in einem ~ul]eren Magnetfeld und
far ein wasserstoffghnliehes Atom wird dies in w 4 naher ausgefiihrt.
Ferner wird untersucht, wie die Eigenfunktionen ~ , ~ sich bei Anderung
tier Koordinatenaehsen transformieren (w 3).
Die in der vorliegenden Arbeit angegebenen Ditferentialgleiehungen
der Eigenfunktionen des magnetischen Elektrons k~nnen nut als provisoiiseh und approximativ betrachtet werden, weil sie ebenso wie dis
H e i s e n b e r g- J o r d a n sche Matrizenformulierung nicht relativistiseh invariant geschrieben sind and im Wasserstoffatom nur in derienigen
~N'gherung gelten, in der das dynamische Verhalten des Eigenmomentes
als sakulare StSrung (in der klassisehen Theorie: Mitteln iiber den
Bahnnmlauf) betraehtet werden kann. Insbesondere ist es also noch nicht
mSglich, die zu hSheren Potenzen yon ~ Z s proportionalen Korrektionen
(~z-- 2~e~hc- -
Feinstrukturkonstante) in der Grt~l]e der Wasserstoff-
Feinstrukturaufspaltung quantenmechanisch zu berechnen, deren bei den
41"
W. Pauli it.,
604
RSntgenspektren empirisch festgestetlte Betrage durch die S o m m e r f e 1dsehe Formel gut wiedergegeben werden. Die Schwierigkeiten, die der
LSsung dieses Problems zurzeit noch entgegenstehen, werden in w 4
kurz diskutiert.
0bwohl also die hier mitgeteilte Formulierung der Quantenmechanik
des magnetischen Elektrons in dieser Hinsicht noch g~nzlich unbefriedigend
ist, bietet sie andererseits den Vorteil, dal] sie, wie in w 5 dargelegt
wird, im Falle mehrerer Elektronen (im Gegensatz zur D a r w i n s e h e n
Formulierung) zu keinerlei neuen Schwierigkeiten Anla] gibt und auch
die nach H e i s e n b e r g zur Erfiillung tier ,:4quivalenzregel" notwendigen
Symmetrieelgenschaften der Eigenfunktionen ]eicht za formulieren erlanbt.
Namentlich aus diesem Grunde semen mir bereits im gegenwartigen Zeitpunkt eine 3litteilung der bier vorgesehlagenen Methode gereehtfertigt,
nnd vielleieht kann man sogar hoffen, daf~ sie auch bei dem noeh ungelssten Problem der Berechnung der Wasserstoff-Feinstruktur in hSheren
Naherungen sieh als niitzlleh erweisen wird.
w
E i n f i l h r u n g der K o m p o n e n t e des E i g e n m o m e n t e s des
E l e k t r o n s in e i n e r f e s t e n R i e h t u n g als u n a b h ~ n g i g e V a r i a b l e
in die E i g e n f u n k t l o n .
D e f i n i t i o n der den K o m p o n e n t e n des
E i g e n m o m e n t e s e n t s p r e e h e n d e n O p e r a t o r e n . In der klassisehen
Meehanik kann das dynamische Verhalten des Elektronenmomentes durch
die folgendenPaare von kanonisehenVariablen besehrieben werden: Der
Betrag s des gesamten Eigenmomentes des Elektrons und der Drehwinkel Z um dessen Achse; zweitens die Komponente s~ dieses Momentes
in einer festen Richtnng z und das yon der (xz)-Ebene aus gezghlte
Azimut qp des Momentvektors uxn die z-Aehse. Da der Quotient s~/s den
Kosinus des Winkels zwischen diesem Vek~or und der z-Achse angibt,
sind dann dessen x- und y-Komponenten gegeben durch
=
-
s: cos
sy =
-
s: sin
Da der Drehwinkel Z stets zykliscb ist, in der I-I a m i 1 t o n schen
Funktion also nicht auftritt, bleibt s konstant nnd kann als feste Zahl
angesehen werden, so dal] als eigentliches, das dynamische Verhalten des
Elektronenmomentes bestimmendes kanonisehes Variablenpaar nur (s~, r
verbleibt.
Bei Anwendung der urspriinglichen S c h r S d i n g e r s e h e n Methode
h~tte man also bei Vorhandensein eines einzigen Elektrons in jedem
Quantenzustand (der bei Aufhebung der Entar~ung in ~u~eren Kraftfeldern durch einen bestimmten Energiewert E bereits eindeutig ge-
Zur Quantenmeehaaik des magnetischen Elektrons.
605
kennzeichnet ist) eine Eigenfunktion ~p, die aui~er yon den drei Ortskoordinaten des Elektronenschwerpunktes (kurz mit qk oder auch q bezeiehnet) noch yore Winkel r abhangt. Es gibt dann
IVy(q, r ]~dql dq~ dqs dcf
die Wahrschein]ichkeit an, daI] in dem betreffenden Quantenzustand der
Energie E sowohl die Ortskoordinaten in den Intervallen qk, qk-4-dqk
als auch der Winkel r in (r 9~ d-dep) liegt. Wenn in irgend einer
dynamischen Funk~ion die zu q~ koniugierte Impulskoordlnate Sz auftritt,
h
d
so ware sie dann zu ersetzen durch den Operator 2 ~ i 6)r angewandt
auf die Eigenfunktion ~p, ebenso wie die zu q~ kon~ugierte Impulsit
O
komponente /ok der Translationsbewegung durch den Operator 2 ~ i 0 qk
vertreten wird. Wie bekannt, hat jedoch der Umstand, dal] die Zahl
der quantenm~l]ig erlaubten Orientierungen des Elektronenmomeates 2
betrggt, zur Fo]ge, daI] die so definierte Funktion WE (q, r bei stetigem
Fortschreiten yon r yore Wert 0 bis 2 ~ nicht zu ihrem Ausgangswert
zurtickkehrt, sondern ihre V0rzeichen veriindert.
Indessen kann man das Au[treten soleher Zweideutigkeiten, wie
iiberhaupt die explizite Verwendung irgendwelcher Polarwinkel dadureh
vermeiden, dal] man an Stelle yon r die Impulskomponente sz als unabh~,ngige Variable in die Eigenfunk~ion einfiihrt. Hierbei tritt in der
Quantenmeehanik noeh ein besonderer vereinfachender Umstand auf: In
der klassisehen }Iechanik wird ira allgemeinen Sz, abgesehen von dem
Sonderfall, wo s~ gerade ein Integral der Bewegnngsgleiehungen ist, bei
bestimmter Energie eines Kontinuums yon Werten fghig sein (z. B. wenn
der Momentvektor um eine yon der z-Aehse verschiedene Richtung prazessiert). In der Quantenmechanik kann abet s~, als zu.einer Winkel1 h
koordinate koniugiert , nut die charakteristischen Werte d - - 2 2-~ und
1
h
227t
annehmen; dies sollheil]en, die F u n k t i o n ~pE(qk,S~) zerfi~llt
in die b e i d e n F u n k t i o n e n
tb~, z (qk) und
die den W e r ~ e n s.
tp~, E (qk),
1 h
-{- -2- - -2zc und sz -
Es gibt
I~)a, E (qk)] 2 dql dq;:dq 3
1 h
2 2~ entsprechen.
606
W. Pauli jr.,
die Wahrscheinlichkeit dafiir an, dal3 in dem betrachteten stationi~ren
Zustand gleichzeitig damlt, dab qk iu (qk, qk + dq~) liegt, s~ den Wert
1 h
+ ~
hat, und
J
(qk) I dqi
die Wahrseheinliehkeit dafiir, dab bei gleiehem Wert tier q~ die Impuls1 h
komponente sz den Wert
2 2 z annimmt. Jeder Versueh, die Griil~e
yon sz in einem bestimmten stationaren Zustand zu messen, wird immer
1 h
1 h
nur die beiden Werte + ~ ~ und
2 2 ~ ergeben, auch dann, wenn
sz kein Integral der Bewegungsgleichungen vorstellt. D i e s e r S o n d e r f a l l (z.B. s t a r k e s M a g n e t f e l d in tier z - R i e h t u n g ) i s t v i e l m e h r
d a d u r c h a u s g e z e i e h n e t , da~ b i e r bei b e s t i m m t e r E n e r g i e E
s t e t s n u r eine der b e i d e n F u n k t i o n e n ~ , E o d e r ~fl, E y o n N u l l
v e r s c h i e d e n ist. Bei bestimmter Wahl des Koordinatensystems sind
~ und ~ in jedem stationaren Zustand bet Normierung gemal3
= 1
bis auf einen g e m e i n s a m e n Phasenfaktor vSllig bestimmt.
die Orthogonalit~tsrelation gelten miissen
~ ( $a,n ~b*a,m+ ~ , n ~bfl
*, m) d qi d q~ d q3 ~
(la)
Aueh wird
O, fiir n:C:m.
(lb)
Hierin bezeichnen die Indlzes n, m zwei voneinander verschiedene Quautenzust~nde and der beigefiigte* (bier wie stets im fo]genden) den koniugiert
komplexen Wert 1).
Um weiterhin die Differentialgleichungen aufstellen zu k~innen, deaen
die Funktionen ~p~, ~p~ bet gegebener t t a m i l t o n s c h e r Funktion geniigen,
kSnnte man so vorgehen, daI~ man diese Ms Funktion yon (Pk, qk) und
(sz, r
ausdriickt uad dann 1% durch den Operator 2 ~ i 0 q~' q~ dutch den
h
O
Operator ~ 2 ~ i O s~ ersetzt. Der Gesamtopera~or ware dana auf ~ (qk, sz)
~nzuwenden und schlle~lich hlitte man zur Grenze iiberzugehen, wo ~p
1) Es set an dieser Stelle nebenbei erw~hnt, daft gem~fl der Dirac-Jordunschen Transformatioastheorie die friiher erw~hnte Funktion ~ (q, ~) mit den
Fuaktionen ~va, ~vfl gem~l~ den Formeln
~v(q, T) z ~va(q) e2 -~-~vs(q) e
zusammenh~ngt.
2
Zur Quantenmeehanik des magnetisehen Elektrons.
1
nur
fiir sz
h
~ ~ ~
1
607
h
2 2 zt yon N u l l verschleden ist.
und s z - -
Indessen w~re ein solches Verfahren uniibersichtlich und w e n i g zweckmal3ig.
Die tats~chlich v o r k o m m e n d e n
tIamilton-Funktionen
enthalten
zun~chst i m m e r die Drehimpulskomponente'fi s~, sy, sz als V a r i a b l e und
es ist daher zweekmal]ig, fiir diese d i r e k t
Polarwinkel r
ohne den U m w e g fiber den
geeignete 0 p e r a t o r e n einzufiihren.
Diese 0 p e r a t o r e n miissen (abgesehen yon einem Vorzeichen, vgl. unten)
denselben V e r t a u s c h u n g s r e l a t i o n e n geniigen, w i e die betreffenden Matrizen,
namlich
[~]
=
-- 2zi
~;
-----
s ( s ~- 1) m i t s =
~/2,
w o r i n 5 eine V e k t o r m a t r i x m i t den K o m p o n e n t e n Sx, Sy, Sz b e d e u t e t l ) 9
Messen w i t ~ i m folgenden der E i n f a e h h e i t halber in der E i n h e i t
d. h. man erset:ze ~ dureh ~
~
~
1
h
--22z
und sehreiben die V e k t o r g l e i e h u n g e n
in Komponen~en aus, so erhalten w i r
S z Sv - - Sv S z =
+
worin
durch
...
die
+
Gleichungen
2 i Sz, "" ", I
= 3,
angedeutet
/
sind,
(2)
die
aus
tier
an-
geschriebenen d u t c h zyklische Vertauschung tier K o o r d i n a t e n h e r v o r g e h e n 2).
1) Vgl. W' H e i s e n b e r g und P. J o r d a n , 1. e., G]. (10). - - Matrizen und
Operatoren (oder ,,q-Zahlen") werden ira folgenden stets durch Fettdruek gekennzeichnet.
u) Infolge des besonderen Umstandes, daft die Zahl der quantenmiiflig er]aubten Lagen yon 5 dan Weft 2 hat (daft es sich also um zweizeilige )fatrizen
handelt), ffelten aufler (2) noch die weiteren verseh~rften Relationen
S~ S~ ~-- - - s y S~ = i s~, -. -,
(2 a)
~[an sieht dies am einfachsten ein, wenn man Sz als Diagonalmatrix w~hlt (die
Relationen gelten sber allgemein). Bei mehrgliedrigen Matrizen, die (2) erfiillen
(wobei der Wert 3 dareh r ~ - 1 mit r = Zeilenzahl der ~atrix zu ersetzen ist),
wiirden dagegen S~Sy und S~ nieht versehwindende Matrixelemente an denjenigen
Stellen haben, deren Zeilenindex sich vom Kolonnenindex um 2 unterseheidet (die
also Uberg~ngen der zu s z geh5renden Quantenzahl um zwei Einheiten korrespondieren), so daft die Gleichungen (2a) nieht zu Recht bestehen k5nnten.
Auf das Bestehen der Relationen (2a)wurde ich von tIerrn P. J o r d a n
freundlichst hingewiesen, wofiir ieh ihm auch an dieser Stelle meinen Dank aus-
608
W. Panli jr.,
Es liegt nun nahe, ftir die 0peratoren Sx, Sy, $~, die den Relationen (2)
genfigen, den Ansatz yon l i n e a r e n T r a n s f o r m a t i o n e n d e r ~p~ a n d ~fl
zu machen, und zwar ist der einfachst mSgliehe Ansatz der ~olgende:
sy ( ~ ) =
s~ ( ~ )
- i ~,
=
Man kann diese Relationen
schreiben :
(0,1~
Sx(~P) ~-- \ 1 , 0 / " ~ p ;
~,
sy (~3) =
Sz ( ~ )
i ~; /
=
-
(3)
~.
auch in der symbolischen Matrizenform
0,
"
$Y (~') ----- ( i, - ; ) ' ~ P ;
1,
Sz(*)=
0"
(0, - i ) " ~" (3)
Die Relationen (2) sind hierbei so zu verstehen, daft die Matrizen (3)
in (2) eingesetzt, bei Anwendung der gew(ihnlichen Vorschrift zur Multiplikatlon der Matrizen ~) diesen Relationen geniigen. D i e e n t s p r e c h e n d e n O p e r a t o r e n g e n i i g e n i e d o c h G l e i c h u n g e n , die a u s (2) d u r e h
Vertauschung der Reihenfolge aller Multlplikationen
hervorgehen2). Die Rechtfertigung fiir diese Vorschrift wird sich uns aus
dem allgemeinen Zusammenhang yon Operator- und Matrixkalkiil ergeben.
Die letzte der Relationen (3) ist offenbar physikaliseh notwendig, wenn
~ , und ~fl die Wahrscheinliehkeitsamplitude daffir bedeuten sollen, dal] $~
in der Einheit ~ ~
gemessen den Wert @ 1 oder - - 1 annimmt, weil
der Operator Sz dann einfaeh Multiplikation der Eigenfunktion mit dem
Zahlwert yon Sz bedenten mul]. Dal] die in der speziellen Wahl yon
Sx, Su enthaltenen, fiber die Forderungen der Relationen (2) hinausgehensprechen will. Er maehte reich auch auf folgendea Zusammenhang mit der
Quaternionentheorie aufmerksam. Schreibt man eine Quaternion Q in der Form
Q = klA@k2B@ksC@D,
so gentigen die ,,Einheiten" kl, k~, k 8 den Relationen
1~l k 2 z -- k~kl = k~,..-,
Diese sind mit den Relationen (2a) iiquivalent, wenn man setzt
s x ---- i It1,
8y ~
i k~,
8z z
i k s.
1) Vgl. Anm. 1~ S. 612.
u) Die Notwendigkeit, an dieser Stelle zwisehen Operatorrelation nnd l~atrizenrelation zu unterseheiden, ergab sieh mir erst naehtr~iglieh auf Grund einer brieflichen Mitteilung yon tIerrn C. G. Darwin betreffend den Vergleieh der von ihm
aufgestellten Gleiehungen mit den meinen. (Siehe nnten Anm. 2, S. 618.) lch
mSehte auch an dieser Stelle tterrn Darwin fiir seine Anregung meinen besten
Dank aussprechen.
Zur Quantemnechanik des magnetisehen Elcktrons.
609
den Normierungen keine Beschrankung der Allgemeinheit bedeuten, wird
aus dem fo]genden Paragraphen ersichtlieh werden, wo das Verhalten
der Funktionen ~ , ~ bei u
der Achsen des sie definierenden
Koordinatensystems untersucht wird. [Vgl. unten S. 614, G1. (3").]
Ist nun irgend eine H a m i l t o n s c h e Funktion
H (2~ , q~, sx, Sy, sz) =
E
eines spezie]]en, ein magne~isehes Elektron enthaltenden meehanisehen
Systems vorgegeben, so sind durch
H( I~ a
und
)
a qk
t)
H ( h
(4)
)
worin ffir $x, Sy, Sz die Operatoren (3) einzusetzen sind, zwei simultane
Differentialgleichungen far ~ und ~ gegeben, die zugleich die Eigeuwerte E bestimmen.
Die Matrixkompone~+.en irgend einer Funktion f (~v, q, sz, s~, s~),
yon der wir zun~tehst annehmen wollen, dal] sie die Gr~il3en s~, Sy, s~
entweder gar nicht oder nur linear enthglt, sind definiert dureh die simultanen Gleichungen
n
wenn unter f der Operator
n
\2zi
a_
Oq' q' $~' Sy' Sz) verstanden
wird.
Insbesondere gilt also
n
n
und entsprechende Gleiehungen fiir y und z. Daft auf der rechten Seite
von (5)-und (6) fiber den e r s t e n Index der Matrix summiert wird, ist
wesentlich, um zwisehen der aufeinanderfolgenden Anwendung zweier
Operatoren f u n d g und der Multiplikationsvorschrift der Matrizen Ubereinstimmung herzustellen. VermSge der Orthogonalita~srelationen (l a)
und (1 b) folgt aus (6) leicht
fnm ----- ~ [f(~bm=) ~b~= -~- f(~-'mfl) ~'*~] dq~ d % dqa ....
(5')
Insbesondere ist also
(S~)n~ = f I(S~ ~,~) ~,~ ~- (S~ ~m~) '~*~] dq = ~ ( ~ o ~*~ - - ~,,~ ~ )
d q.
610
W. Pauli jr.,
Faflt man die allgemeine Eigenfunktion
mit unbestimmten Faktoren cn ins Auge, so spielen also die Ausdriicke
d~ =
-- i (~ r
-- ~ ~),
(6")
formal die Rolle yon u
des Eigenmomentes des Elektrons.
W~r haben nun noch den Nachweis zu erbringen, dab die gemal] (6')
berechneten Matrizen allgemein den Relationen (2) yon H e is e n b e r g und
J o r d a n geniigen.
Wenn wir mit i und k irgendwelehe der Indizes
x, y, z bezeiehnen, bilden wir also
l
Setzen wir hierin fiir (sk)~ seinen aus (6') folgenden Wert ein, so
ergibt sich
l
1
Nun ist (si)nz = ( s i ) ~ , da die ~Iatrizen $i (wie man ant Grund yon (6')
iibrigens leicht bestatigt) hermitisch sind, also gilt gem~tl~ (6)
l
und ebenso
1
(s~)~ Ct~
=
[s~ (~)]*.
Das Endresultat ist also
Au~ Grund dieser Relation best~tigt man durch Einsetzen der 0peratoren (3)
durch Vergleichen mit (6') leicht alle Relationen (2), wenn diese als
Matrizenrelationen aufgefa]t werden. Z.B. ergibt sich fiir i = x, k = z
(s~sy
8y 8:r
gemal~ (6'). Ebenso verifiziert man die iibrlgen Relationen (2). Damit
ist zugleich die Wahl der Operatoren (3) gerechtfertigt.
Beispiele flit Gleichungen der F.orm (4) werden in w 4 gegeben
werden.
w
V e r h a l t e n der F u n k t i o n e n ~ , $~ bei D r e h u n g e n des
Koordinatensystems.
In der Theorie yon D i r a e - J o r d a n wird allgemein die Frage beantwortet; wie bei Ubergang von einem System
kanoniseher u
(p, q) zu einem neuen System P, Q sieh die Eigen
Zur quantenmeehanik des magnetisehen Elektrons.
funktlonen ~p transformieren.
(Multiplikation mit q ) u n d p P=SpS
611
Ist S ein Operator, der die 0peratoren q
h
d
2 ~ i a q gema6
-1,
Q =
$qS -1
(7)
in die den neuen Variablen entsprechenden 0peratoren p, Q iiberftihrt,
so erhglt m a n die ~.u Q gehSrige Eigenfunktion @E (Q) aus der zu q gehSrigen Eigenfunktion ~PE(q) einfach dutch Anwendung des Operators S :
eE (q) =
S [e~ (Q)].
(s)
Es stellt dann
i ~ (Q)I ~d Q
wieder die Wahrseheinliehkeit dafiir dar, dal3 bei bestimmter Energie E
und beliebigem Wert yon P die Variable Q zwischen Q und Q d- d Q liegt 1).
In unserem Falle werden wir allerdings nieht mit den kanonischen
Vergnderliehen (sz, q~) selbst reehnen, sondern mit den Komponenten
s~, su, Sz des Eigenmomentes, fiir welche die Vertuusehungsrelationen die
nicht kanonische Form (2) haben. Wir werden sodann die Frage zu
beantworten haben, w i e aus den g e g e b e n e n E i g e n f u n k t i o n e n @~,
S z u n d 0 p e r a t o r e n $~, Sy, Sz in b e z u g auf ein b e s t i m m t e s A c h s e n k r e u z (x,y, z) die E i g e a f u n k t i o n e n ~ , ~ u n d 0 p e r a t o r e n $ ~ , ,
Sy,, $~, in b e z u g auf ein n e u e s A e h s e n k r e u z (x', y', z') b e r e e h n e t
w e r d e n kSnnen. Die Quadrate der Absolutbetrgge der neuen ~ , @~
bestimmen dann die Wahrscheinliehkeiten dafiir, dai] (bei gewissen Werten
der 0rtskoordinaten q des Elektrons) bei beHebigem Wert des Winkels q~'
(
1 h
)
um die z'-Aehse der Impuls sz, in der Einheit ~- ~ gemessen die Werte
-t- 1 bzw. - - 1 hat.
Nun ist es fiir die Operatorgleiehung (7) nieht wesentlieh, dal~ die
Ver~ausehungsrelationen zwisehen p und q sowie zwisehen ,D und Q
gerade die kanonisehe Form haben. Es kommt vielmehr nur darauf an,
daft die Vertausehungsrelationen bei der Transformation ihre Form be-
1) Da] wir gerade die Energie E als festen Parameter w~hlen, ist nur ein
Sonderfall der von Dirac nnd Jordan betrachteten Transformationen. Diese
Verfasser untersuchten aueh noch n~her den Zusammenhang zwischen zwei verschiedenen Darstelhmgen des Operators S: 1. der Differentialdarstellung, bet der
S = S ~
~-~, x aus den Operatoren der Differentiation naeh einer Variablen x
und ~ultiplikation mit x zusammengesetzt gedaeht wird, und 2. der Integraldarstellung yon S, bei der gesetzg wird
S [f(q)] = ~ S(x, q) f(x) dx,
worin S (x, q) eine gewShnliche Funktion ist.
612
W. Pauli jr..
wahren, d. h. dai] sie richtig bleiben, wenn man einfach an Stelle der
alten Variablen die neuen schreibt. In nnserem Falle ist es nun in der
Tat bekannt, dab die Relationen (2) bei orthogonalen Koordlnatentransformationen unverandert bestehen bleiben, so daft auch ffir die gestriehenen
GrSl~en gilt:
S~, S r
-
-
sy, s~, =
(2 P)
2 i st,, . . . , /
s~, + s~, + s2, = a
Also wird es erlaubt sein, zu setzen
s~. -~- 5 s ~ 5 -1,
sg, =
5sy5
-1,
s~, = - 5 s . 5
(9)
-~.
Die bequemste formale D a r s t e l h n g der Operatoren, die wit immer auf
das Eigenfunktionpaar $~, ~bfl anzuwenden haben werden, ist die Matrixdarste]lung, die schon oben in (3') benutzt wurde. Ffihrt der OperatOr S
das Paar ( ~ , $fl) fiber in ( $ 1 1 5 ~ + $ 1 ~ , S ~ 1 5 ~ + $ 2 ~ f l ) , worin
S~1 , S l e , S~1 , $2~ gewShnliche Zahlkoeffizienten sind, so schreiben wit
S als Matrix
Damit die Relationen (1 a) und (1 b) auch ffir das neue Paar ( S ~ ,
gelten, mug S der bekannten Orthogonalitiitsrelation
~ $l~)
SS*---~ 1
(10)
genfigen, worin der * Ubergang zu konjugiert komplexem Wert und das
(lberstreiehen Vertausehen "con Zeilen und Kolonnen in der Matrix bedeutet. Also ausgeschrieben 1)
Andererseits folgt aus der Definition der Komponenten des Eigenmomentes, dab sieh die ihnen entspreehenden 0peratoren genau so transformieren mfissen wie die Koordinaten, also bei Einffihrung der E n l e r s e h e n
Winkel O, q), ~F gemaI] den Formeln ~)
Sz = (cos 9 cos gr __ sin ~ sin gr cos O) $~,
+ ( - - sin 9 cos W - - cos ~ sin gr cos O),Sv' + sin grsin 0
$v =
+
(cos ~ sin gr + sin 9 cos W cos 0)$~
+
cos
S.~ ----- sin 9 sin 0 S~, + cos 9 sin 0
,
eos
Su +
/ (11)
sin
cos 0 St,-
t
S.,, 9]
I
!
]
1) Wir erinnern daran, dall man das an der Stelle (n, m) stehende Element
im Produkt zweier Matrizen dnreh gliedweises Multiplizieren der n-ten Zeile der
ersten Matrix mit der m-ten Kolonne der zweiten Matrix erh~ilt.
u) Vgl. fiir das l%lgende A. Sommerfeld und F. Klein, Theorie des Kreisels,
I, w 2 bis 4, insbesondere die Definition der Parameter a, fl, y, $. Auf deren Bedeutung ftir unser Problem hat reich Herr P. J o r d a n aufmerksam gemacht.
Zur Quantemnechanik des magnetischen Elektrons.
613
Unser Ziel wird es nun sein, die M a t r i x S so zu b e s t i m m e n , da$
(9) und (11) iibereinstimmen.
Gelingt uns dies, dann ist unsere
Frage nach der Transformation der ( ~ , ~#) bei Drehungen des Koordinatensystems durch die Gleichungea
(G, ~) = S(~, ~)
oder
beantwortet.
~#
Um nun (9) und (11)
ist es zweckmailig, wie ia
zeichnungen eiazufiihren :
~ = Sz + i sy,
~'=&,§162
0
~z=cos~-e
(12)
= S~1 ~ q- $22 ~Pfl I
miteinander in Ubereinstimmung zu bringen,
der Kreiseltheorie iiblich, die folgenden Be~} = - - S x
+ i Sy,
~/'=--s~,+isr
i ~-~
~ ,
o ~*-~
=isin~e
2 ,
#=isin-ge
0
~=--Sz,~
~'
(13)
"
S~,~,
i -`~+~
I
~
o i-|
i~-~- cos-~e
~
,[
(14)
I
. J
Die Gr5l~en r fl, 7, i~ sind die C a y l e y - K l e i n s e h e n Drehungsparameter;
zwisehen ihnen bestehen die Relationen
=
c~*,
7 -----fl*,
~--/J7
Es ist dann (11) aquivalent mit 1)
= ~ ' + # ~ ' + 2~#~',
~ / = 7 ~ ' q - 6~-~/' q- 2 y ~ ' ,
= gT~' + / ~ '
+ (~6 +
(9) aquivalent mit
:
S-~'3,
~ =
3-~'3,
~--- 1.
(14')
(11')
#~) ~',
~ =
S-~'S.
(9')
W i r b e h a u p t e n n u n , dal] wir, um (9') mit (11') in U b e r e i n s t i m m u n g zu bringen, einfaeh die M a t r i x S mit der M a t r i x
~'*, ~,
der k o n i u g i e r t e n Wert:e der C a y l e y - K I e i n s e h e n
Para-
m e t e r i d e n t i f i z i e r e n k6nnen:
S = \7*,
(~*' #*)
~* oder S,~ = e*, $1= =
/3*, S~ --~ ~*, S~= =
/$*. (15)
Dies ist zungehst erlaubt, weil die Relation (10) vermSge (14') gerade
erfiillt ist: (cr /~* c~
(}, - - 7 ~ ( g ,
1,
\y*, 6")(fl ~) ~--- ( - - fl,
cr
~) = (0, 01)"
~) Theorie des Kreisels, Gleichung (9), S. 21.
614
W. Pauli ~r.,
Setzen wir ferner in (9') und (11') fiir ~', ~', ~' die aus (3') gem~l] (13)
folgenden Matrizen
~'~
(o: lo)+
und
o
1,
ein, so erhalten wir aus beiden Gleichungen iibereinstimmend:
).
Hiermit ist der gewtinsetite Naehweis erbraeht.
Wir haben nur noeh einige erg~nzende Bemerkungen hinzuzufilgen.
Die eine betrifft den Spezialfall einer Drehung des Koordinatensystems
um die z-Aehse, so dal] @ = 0, fl = 7 = 0 und mit O ~ F ~
co,
ir
ct ~
e2
ioJ
8 ~
e
s wird.
Man erhalt in diesemFalle
Dies sind zugleich, wie leicht nachzurechnen ist, die allgemeinsten Matrizen (bzw. linearen Transformationen der ~ , ~#), die hermitisch sind,
die Vertauschungsrelationen (2) erfallen und bei denen aut]erdem noeh S~
seine Normalform (1,
0, - - 01) hat.
Mansiehthieraus,
dal] die F u n k -
t i o n e n (p~, ~b~) d u r c h A n g a b e der z - R i e h t u n g a t l e i n n o c h n i e h t
e i n d e u t i g b e s t i m m t sind ( W i l l k i i r der P h a s e co), s o n d e r n e r s t ,
w e n n alas ganze ( x , y , z ) - A e h s e n k r e u z v o r g e g e b e n i s t .
Sehon aus
diesem Grunde scheint es kaum mSglich, dem magnetischen Elektron
geriehtete (vektorielle) Eigeafunktionen zuzuordnen.
Die zweite Bemerkung bezieht sieh auf die Frage naeh den a]lgemeinsten (hermitischen) linearen Transformationen der ( ~ , ~b~), die den
Relationen (2) geniigen. Es ist leieht zu sehen, dal3 diese allgemeinsten
s~, S~, sz stets dureh eine Transformation tier Form (9) [worin S die
Relation (10) erffill~] auf die Normalform (3') gebraeht werden kSnnen.
Wir wollen bier den Beweisgang nut kurz andeuten. Zunaehst zeigt
man, da2 das a]lgemeinste (10) befriedigende S stets in der Form (14),
Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons.
615
(15) durch Winkel 0, ~, W ausgedrtickt werden kann. Sodann kann
jedenfalls zungchst $~ durch eine Transformation (9) in eine Diagonalmatrix verwandelt werden. Aus den Relationen (2) folgt dann bereits,
dalt Sz die gewiinschte Normalform hat. Sodann mull nut noch durch
eine geeigne~e Drehung um die z-Achse die Phase co in den S~, Ss zu Null
gemacht werden.
Zusammenfassend kSnnen wlr sagen, da~ trotz Auszeichnung eines
bestimmten Koordinatensystems durch die Wahl (3) der Operatoren s~,
Sv, S.~ infolge der Invarianz der quantenmechanisehen Gleiehungen gegentiber Substitutionen der Form (9) und infolge des gesChilderten Vethaltens der ( ~ , ~ ) bei Drehungen des auszeichnenden Achsenkreuzes
die Uaabhangigkeit aller endgilltigen Resultate yon einer speziellen Wahl
des Achsenkreuzes garantiert ist.
w
D i f f e r e n t i a l g l e i e h u n g e n der E i g e n f u n k t i o n e n eines
m a g n e t i s e h e n E l e k t r o n s in s p e z i e l l e n K r a f t f e l d e r n . a) Ruh e n d e s E l e k t r o n im h o m o g e n e n M a g n e t f e l d .
Bereits in Gleichung (3), (4) wurde angegeben, wie bei gegebener H a m i t t o n s e h e r
Funktion H die Differentia]gl~ichungen ftir das Eigenfunktionenpaar
( ~ , ~ ) des magnetisehen Elektrons aufgestellt werden kSnnen. Betraehten wir zun~ehst den Fall des ruhenden Elektrons in einem homogenen Magnetfeld, dessen Feldstarke die Komponenten H~, Hy, Hz besitzen mSge. Da das Elektron ruht, h~ngen bier die Eigenfunktionen
yon den 0rtskoordinaten des Elektrons nieht ab. Bezeiehnet e und mo
Ladung und Masse des Elektrons,
eh
t~o - - 4 ~rm o C
die Grille des Bohrsehen Magnetons~ so lautet die Hamiltonfunktion bier
f/~
~o (H~ s~ + Lrv sy + H~ s~),
wenn wir die konstaate Translationsenergie fortlassen und s~, ... wieder
1 h
in der Einheit ~ 2--~ gemessen werden.
Ersetzt man s~, Sy, s~ dutch
dle Operatoren (3) (w~hrend natiirlleh tto, H~, Hy, Itz gewShnliehe Zahlen
bleiben), so ergibt sich [tir ( ~ , ~#) das Gleichungssystem
(1~)
t~o [ ( ~ + i/~,u) ~ - - H~ ~ ] = ~ ~ . !
Wit haben absiehtlieh nicht yon vornherein die Riehtung des Magnetfeldes mit der [dutch die Wahl der Operatoren (3) ausgezeichneten]
z-Achse zusammenfallen lassen, um die physikalische Bedeutung unserer
616
W. Pauli jr.,
Grsl]en ~p~, ~2fl und ihre im vorigen Paragraphen abgeleiteten Transformationseigenschaften an einem Beispiel erl~u~ern zu k(innen.
Aus (16) folgen zunachst die Eigenwerte E mittels der Determinantenbedingung
~o (Y~ + i Hy), - - (~o H. + ~ )
=
0
(~o~ H~ - - E ~) - - ~ (H~ + t / ~ ) =
0
oder
Zll
wie es ftir diesen Fall yon vornherein za ~ordern ist. Ferner folgt
aus (16), wenn man den Winkel zwischen der Feldriehtung und der
z-Achse mit O bezeiehnet und ( ~ , ~fl) gema~ Ie~ P + leVI' ----- 1 normiert,
rut K =
-t- t~0 t HI :
[~1~ =
[~fi[e
--
analog fiir E =
sin ~ O
sin ~ O
sin20 ~- (1 - - cos O) a ~--- 2 (1 - - cosO) =
e~
O
2-'
(1-e~
2 __ s i n U O
2 (1 - - cos 0)
--/Zo IH]:
l~h a =
~n~~
I*~1 ~ =
oo~
O
~.
Dieses Ergebnis is~ aueh im Einklang mit den Transformationseigenschaften (12), (14), (15) yon (O~, ~Pfl). Es kann z.B. folgendermal3en
physikaliseh gedeu~et werden: Es habe urspriinglich das aufiere Magnetfeld die dureh H~, Hy, Hz angegebene Riehtung u n d e s seien nur parallel
zum Fe]de geriehtete Elektronen vorhanden, jedoeh keine antiparallelen;
dann drehe man das Feld plStz]ich in die z-Riehtung. Man wird sodann
O
finden, dal] der Bruchteil cos ~ ~ aller Elektronen parallel zur z-Aehse
O
gerichte~e Momente, der Bruehteil sin2~2- antiparallel
zur z-Aehse ge-
riehtet, e Momente haben wird; und umgekehrt, wenn urspriinglieh nut
antiparallel zur Feldrichtung orientierte Elek~ronen vorhanden waren.
b) E i n m a g n e t i s e h e s
Elektron
im C o u l o m b s c h e n
Felde
(wasserstoff~hnllehes
A t o m ) . Wenn wit nun dazu tibergehen, die
Gleiehungen fiir das Eigenfunktionenpaar ~ , ~ des magnetisehen Elektrons im Kernatom au[zustellen, wollen wir uns hier konsequent auf
den Standpunkt stellen, bei dem die hSheren Relativiti~ts- und magnetisehen Korrektionen vernachli~ssigt nnd die yon der Rela~ivitatstheorie
Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons.
617
und dem Eigenmoment des Elektrons herriihrenden Glieder als StSrungsfunktion aufgefal]t werden. Analog wle in dem vorlgen Beispiel nehmen
wir sogleich ein i~ul]eres homogenes Magnetfeld mit den Komponenten
H~, Hy, H~ als vorhanden an, um die Theorie des anomalen Zeemaneffekts mit zu umfassen. Wir betonen nocti ausdrticklich, dal] die hier
aufgestellten Gleichungen mit den yon H e i s e n b e r g und J o r d a n 1) angegebenen Matrizengleichungen mathematisch und physikalisch v(illig
~quivalent sind. Von diesen Verfassern iibernehmen wir auch die Form
der H a m i l t o n s c h e n Funktion.
Zuni~chst hat man die H a m i l t o n s c h e Funktion des ungestSrten
Kernatoms mit einem Elektron:
1
Z#
Ho - = 2,,--o
+
+ p2) -
-7-
( ~ , Pu, Pz --~ Translationsimpuls, Z ----- Kernladungszahl) oder als Operator
geschrieben :
1
ha
/-]o(~) ---- - - 2 m ~ 4 ~ ~
worin wie iiblieh J ~
Z e~
--
--r
7p,
(17)
02
02
02
Ox ~ + ~ + ~-~ gesetzt ist. Sodann kommen
die Terme, die schon bei einem Elektron ohne Eigenmoment info]ge
Wirkung des aul]eren Magnet[eldes und iniolge der Relativltatskorrektion
hinzutreten :
1
(E
1
~)
e
111 - 2moC2 2 + 2Eo Ze2 --r +Z~et
+ ~moC (3~ [rp]),
worin E o den ungest~rten Eigenwert, ~ den Vektor des iiul]eren Magnetfeldes,
p den des Translationsimpulses und ~ den vom Kern zum Elektron
Iiihrenden Radiusvektor bedeutet.
A]s Operator geschrieben gibt dies:
1
HI(~P):
2moC2
r
~T V~itto(~[rgrad~p]) - (18)
Die Operatoren Ho und #/1 gelten in gleicher Weise ftir ~ und ~pfl,
sie verandern den Index ct oder fl nicht. Es kommen nun noch die fiir das
Eigenmoment des Elektrons charakteristischen Terme hiazu, die erstens den
berelts im vorlgen Beispiel angeschriebenen Wechselwirkungsgliedern des
Eigenmomentes mit dem aul]eren Magnetfeld und zweitens den gema~
der Relativltatstheorie daraus folgenden Wechselwirkungsgliedern eines
1) ZS. f. Phys., 1. c., Vgl. insbesondere Gleichung (2), (3), (4) dieser s
ZeRsehrift itlr Physik.
rid.
'X'T,TTT
42
618
W. Pauli jr.,
b e w e g t e n Elektrons mit Eigenmoment mi~ dem Cou]ombschen elektrlschen Felde entspreehen. Letztere iibernehmen wir hier ohne neue
Begrfindung yon T h o m a s 1) und F r e n k e l l ) , insbesondere was den
Faktor 1/a beLrifft. Belde Terme znsammen geben, gleleh als Operator
gesehrieben :
1
ha
Ze ~
1 1
Ha ( ~ ) ~ - -s 4 ~a . ~ ca r ~ i (k~ s~ + ky s;, + k._s~) (~)
+ t,o(H~s~ + H.~s,j + H,s,)(,),
I
2:~i
(19)
)
worin kx, kv, kz als Abkfirzung ffir die ~mit -~--- multiplizierten zum
Bahnimpulsmoment geh~rigen Operatoren gesehrieben ist, die gegeben
sind dureh
k~ =
O
v -g-i -
0
~ ~
,
k~ =
0
~ ~
-
0
x-g-;,
0
0
k~=x~-:y~.
(20)
Setzen wir endlich fiat Sx, Sv, $~ die durch (3) gegebenen Operatoren
ein, so erhalten wir gemlil] der allgemeinen Vorschrift (4) ffir ~p. (x, y, z)
und ~p~(x, y, z) in unserem Falle die simultanen Differentialgleichungen
1 h a Z ea 1
(Plo + Pl,) (~p~) + 4 4 ~ ~ ~ 2 j [ - - (i k~ + kv) ~
'In o c
- - i k~ ~,.l
(21)
1
ft a
Ze a
1
(/% + / 4 0 (~) + 4 ~:~a a ~ ~.~ [(-- i k~ + k~) ,~ + i/~ ~ /
m o c
+ 9o [(H~ -+- i Hy) ~ . - - Hz ~Pa] ------ E ~p~,
in denen also ]']o, ]-]1 und ]r kv, kz durch (17), (18) und (20) gegeben
sind. Setzt man hierin speziell H z ~-- H v ~ O, so gehen diese Gleiehungen
in solehe fiber, die bereits yon D a r w i n a) aufgestellt worden sind. Im
Gegensatz zu D a r w i n sehen wir aber als die Quelle dieser Gleichungen
letzten Endes die Vertausehungsre]ationen (2) [bzw. die verscharften
Relationen (2 a)] an, nicht aber die u
dal] die Amplituden der
de Broglie-Wellen gerlehtete GrSl]en sind. Es ist ferner zu bemerken,
dal] die G]eichungen (21) gegenfiber Drehungen des Koordinatensystems
invariant sind, wenn hierbei das Funktionspaar (~Pa, ~bfl) naeh den Vorschriften des vorigen Paragraphen transformiert wird. Anf die Integration
der Differentialgleichungen (21) brauchen wir nieht einzugehen, well sie
naeh den Methoden yon H e i s e n b e r g und J o r d a n ohne Sehwierigkeit
1) L.H. T h o m a s , Nature 117, 514, 1926; Phil. Sing. 8, 1, 1927; J. F r e n k e l ,
ZS. f. Phys. 87, 243, 1926.
u) C. G. D a r w i n , 1. c., Gleichung (3).
Zur Quantemnechanik des magnetischen Elektrons.
619
durchgefiihrt werden kana und gegeniiber den Ergebnlssen dieser Verfasser zu niehts Neuem fiihrt. Es sei aueh noeh kurz erwKhnt, dal3 die
Gleichungen (21) auch aus einem Varlationsprinzip abgeleitet werden
kSnnen, in welchem die (lurch (16) definierten Grfl~en d~, dy, d~ eine
Rolle spielen. Da sieh eine neue physikalische Einsicht hieraus jedoeh
nieht ergibt, soll dies bier nicht naher ausgefiihrt werden.
Wie bereits in der Einleitung erwahilt, ist die hier formul]erte
Theorie nut als provisorisch anzusehen, da man yon einer endgiiltigen
Theorie verlangen muG, dal~ sie yon vornherein relativistiseh invariant
formuliert ist und aneh die h(iheren Korrektionen zu bereehnen erlaubt.
Nun bietet es kelne Sehwierigkeiten, den Drehimpulsvektor ~ zu einem
sehie~symmetrisehen Tensor (Seehservektor) in der vierdimensionalen RaumZeit-Welt mit den Komponenten s~k zu erganzen und fiir diese gegenfiber Lorentztransformationen invariante Vertausehungsrelationen aufzustellen, die als nattirliehe Vera]]gemeinerung yon (2) [oder auch yon (2 a)]
anzusehen sind. Man stS$t dann ~edoeh auf eine andere Sehwlerigkeit,
die bereits in den oben erw~hnten, auf der klasslschen Elektrodynamik
basierenden Theorien yon T h o m a s und F r e n k e l auftritt. In diesen
Theorien braucht man in den h~iheren N~herungen besondere Zwangskr~fte, um zu erreiehen, dal] in einem Koordinatensystem, wo das Elektron
momentan rnht, dessen elektrisehes Dipolmoment versehwindet; und zwar
sind diese Zwangskr~fte in den sukzessiven N~.herungen ]eweils hiiheren
r~umlichen Dif~erentialquotienten der am Elektron angreifenden Feldstarken proportional. Es scheint, dal] in der Qnantenmeehanik diese
Schwierigkeit bestehen bleibt, und es ist mir aus diesem Grunde bisher nieht
gelungen, zu einer relativistiseh invarianten Formulierung der Quantenmeehanik des magnetischen Elektrons zu gelangen, die Ms hinreichend
naturgem~l] und zwangsl~ufig angesehen werden kann. Man wird sogar,
sowohl auf Grund des geschilderten Verhaltens der Zwangskrafte wie
auch noch aus anderen Griinden, zu Zweiieln gefiihrt, ob eine solehe
Formulierung der Theorie iiberhaupt miiglleh ist, solange man an der
Idealisierung des Elektrons dutch einen unendlich kleinen magnetischen
Dipol (mit Vernachlasslgung -con Quadrupol- und hSheren Momenten)
festhalt, ob nicht vielmehr fiir eine solche Theorie ein genaueres Modell
des Elektrons erforder]ich sein diirfte. Doch soll auf diese noeh ungelSsten Probleme bier nieht naher eingegangen werden.
w 5. D e r F a l l m e h r e r e r E l e k t r o n e n .
Der Fall, dal~ mehrere,
sagen wir 5V E]ektronen mit Eigenmoment im betrachteten mechanischen
System vorhanden sind, bietet bei unserem physikalisehen Ausgangspunkt
42*
620
W. Pauli jr.,
der Methode der Eigenfunktionen gegeniiber dem Fa]le eines einzigen
Elektrons keine neuen Schwierig'keiten mehr.
Wir haben hier naeh der Wahr~eheinlichkeit zu frag'en, dal] in einem
bestimmten, durch den Wert E der Gesamtenergie charakterisierten
stationgren Zustande des Systems die Lagenkoordinaten der Elektronen
in bestimmten infinitesimalen interval]en liegen nnd gleichzeitig die
Komponenten ihrer Eigenmomente in einer fest zu w'ahlenden z-Richtung,
1 h
in der Einheit ~- ~ gemessen, entweder die Werte ~ 1 oder - - 1 haben.
Wir bezeichnen die Elektronen dureh einen yon 1 his N fortlaufenden
Index k, die Lagenkoordinaten des k-ten Elektrons kurz mit dem einen
Buehstaben qk (fiir xk, Yk, zk) und ihr infinitesimales Volumelement mit dqk
(fiir d x k d yk d zk), ferner soll durch den Index c~k oder ~k angemerkt
werden, ob ftir das k-re Elektron die Komponente seines Eigenmoments
in der z-Riehtung positiv oder negativ ist. Wir haben dana den Zustand
des Systems zu charakterlsieren d u r c h die 2 ~Y F u n k t i o n e n
WI.. %v(ql... g~,-),e~1-2.. ~N(q~"" ~), *P~,s~-~-.-N(q~'-'q~')-" .e,~ ~.. ~3~,(q~...~-),
~..~-(~...
~-), . . . . . . . . . . .
...............................
, *~..~_~u
, ~..(3~(q~... %).
Es gibt dann z. B.
1~
~.. %~(q.-. q~,~)t'~dq... d ~
die Wahrscheinlichkeit dafiir an, da~ ~iir das erste Elektron sz g]eich
1 und q in (ql, ql ~- dq), ftir das zweite Elektron s~ gleieh - - 1 und
q in (qe, q2 ~- d q : ) . . , und ~iir das drltte bis N-re Elektron sz g]eich -~- 1
und q bzw. in [q~, q3 -~ dq3... (qN, q~'-~ dqN)]. Die Reihenfo]ge, mit
der die Suffixe c~k oder flk angeschrieben sind, soil belanglos sein, w~hrend
die Variablen q ebenso wie der Ladex k ~ 1 . . . N in einer bestimmten
Reihen[olge au~ die Elektronen bezogen sein sol]en. Fiir die Komponenten
s~x, sky, skz des Eigenmoments des k-ten E]ektrons kSnnen wir die Operatoren (3) direkf iibernehmen, wenn wir die Festsetzung tre~fen, dal~ nur
die Indlzes cr oder /~ dieses k-ten Elektrons an den Funktionen ~b durch
diesen Operator ver~ndert werden sollen, die der iibrige~ Elektronen
~ , oder fl~, ~iir k'~_~ k) aber m~ver~lCdert bleiben. Wir haben dana
also z. B.
-
-
s~(~..~..(~dq~...%b)=~..~..~,,
s~(*P..~..) = ~..,~..,
/
S~(~P..~..)=--i~P..2~..,
S~.v(~P..2~..) i~p..~..,
(
s~
~
(~.. %..) = ~.. %..,
s~.~(~.. ~..)
=
--
~..~...
(22)
Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons.
h
621
Ordnet man wie itblieh den Impulskoordinaten ~k den Operator
0
zu, so entspricht ietzt~jeder Funktion
2 ~i Oq~
f(~l'"~N,
ql'"qN,
s~, s~, s~z...SN~, SN~.I, sNz)
ein Operator
2~i Oq~'
2~i O~N' ql'"qlv, Szx, Szy, Slz...SNx, Si~y, SNz "
Insbesondere ergibt der Operator der Flamiltonschen Funktion H, angewandt auf die 2 iv Funktionen ~ . . . , die 2 N s i m n l t a n e n D i f f e r e n t i a l gleichungen
ho
2~iOq 1
)
2~iOqN' ql'..qN, $1~ SiN, $1z...$N~$Ny$~z Oi~...iN
=
. E 0 i t . . . i s mi~ ik =
~e oder ilk.
(23)
Beziehen sieh die lndizes n oder m a u f die verseMedenen station~ren
Zus~nde, so gilt die Orthogonalit~tsrelatio~
I
~
9i k ~
(0n,
il.,.
iN
@*m,Q . . . iN) d q~... d qN =
6n
(24)
a koderfle~
(Snm ~
0 far n =r round ~
1 ftir n =
m)
und jeder Funktion f der oben besehriebenen Art entspreehen die ~[atrizen
fn,n= ~
J ik
~
~
{f(e,n,i~...tN).e*n,i~...iN} dq~...dqN.
(25)
a k oder flk
Es bedeutet bier f den oben definierten zu f gehSrigen Operator nnd
sowohl in (24) wie in (25) steht im Integranden eine S,mme yon 2 N Posten.
Die in Wirkliehkeit vorkommenden tt amiltonschen Funktionen,
ebenso wie alle zur Matrizendarstellung gelangenden Funktionen f~ die
ta~s~ehliehe physikalisehe Reaktionen des Systems besehreiben, haben nun
wegen der Gleichheit der Elektronen die Eigenschaft, ihren Wert nicht
zu gndern, wenn die Koordinaten zweier Elektronen, und zwar sowohl qk
als aueh ~k miteinander vertauscht werden; H and f kSnnen symmetrisch
in den N Variablensystemen (qk, Sk~, Sky, Skz) angenomme~ werden. Dies
hat nun naeh H e i s e n b e r g nnd D i r a e zur Folge, da~ die Terme in
versehiedene nicht miteinander kombinierende Gruppen zerfallen, die
dureh die Symmetrieeigensehaften der Eigenfunktionen bei Ver~auschen
zweier Elektronen charakterisiert sind. Dabei ist wesentlieh zu beachten, da~ sieh das Vertauschen zweier Elektronen, etwa des ersten und
zweiten, in der gleichzeitigen Vertausehung der Koordinatenwerte ql und
qs und tier zu den Indizes 1 und 2 gehSrigen Suffixe a oder fl, d. h. ia
der Werte yon s~t und sz~ bemerkbar maeht.
622
W. Psuli jr.,
Insbesondere gibt es eine symmetrische LSsung; fiir irgend zwei
Indizes k and j bei unveranderten q and Suffixen der iibrigen Indizes grit:
,~ym..
. . ~k ~ . . . (...
q~. . . qj. . .) ~
~ym..
. . ~ ~j. . . (...
qj. . . q~. ..), |
~ym..,, ~k/~. 9 9 (..- qk... ~j...) ~ ~sym.... ~ ~j... (... ~j... ~k'' ")' / (26)
W ym'' -" ~k ~ ' ' '
( - ' ' qk-." q j ' . . ) ~
~m....
~k ~ . - - ( - . - ~ j - - - q k . .
")
ferner eine antisymmetrische LSsung, bei der fiir irgend ein Indexpaar
(Elektronenpaar) k und j bei Vertausehung Vorzeichenwechsel eintritt:
@antis.... gk t~j . . . (... q k " " q j ' " )
@antls''''gk~J'''('''qk'''qJ''')
~,~~
. . . ~ j
. . . (...
~
-- ~antis....~Z k tZj... (... qj... qk'" "), )
~- -- ~)antfs''"~O~J"'('"qJ'''qk'"
)' i (27)
~
. . . q~. . .) -~
-
~
.
. . . ~
~.
. . (...
q~. . . ~k.
. .).
Es ~o]gt dies elnfach daraus, daI] symmetrische Operatoren f den Symmetriecharakter der Funktionen, auf die sie ausgetibt werden, unverandert
lassen. Auch das Nichtkombinieren der symmetrischen and der unsymmetrischen Klasse folgt einfach aus (25).
Es w~re interessant, die gruppentheoretische Untersuchung yon
W i g n e r ~) Iiir den Fall -con N Elektronen ohne Eigenmoment aut solehe
mit Eigenmoment Zu tibertragen and zugleich Iestzustellen, wie die Terme,
die den verschiedenen Symmetrieklassen entsprechen, die man bel u
naehlassigung des Eigenmoments erhalt, sich auf die Symmetrieklassen
der Elektronen mit Eigenmoment verteilen. ]_m Falle yon 2 Elektronen
gibt es n u r die symmetrische and die schiefsymmetrische Klasse, die also
nach (26), (27) in diesem Falle (N ~- 2) charakterisiert sind dutch die
Gleichungen
~ysyra. [Z1 ~fl (ql' q2) = ~)sym. ~1 052 (gO' ql)' ~bsym"/~1 f12 (ql' q2 ) : ~)sym. fll ~2 (q2' ql)'
(2~')
~)sym. /~1 0~2 (ql' q2) --~ ~)sym. O~1 tiff (q2' qi)'
~)antls. ~1 [Z2 (ql' ~2) ~
- - ~)antis. 1~1 0~2 (q2' ql)'
~ t ~ . ~1 ~(q~, ~_) _- - - - ~ antis. ~ ( q ~ ,
q~),
|
Dagegen besteht im allgemeinen k eine einfaehe Beziehung zwlsehen den
Funktionswerten W~,.fl~ (q~, q~) and ~p~,,fl= (qo, q~) ; denn diesen entspreehen zwei Konfigurationen verschiedener potentie]ler Energie; ngmlieh
einmal hat das Elektron mit positivem sz die Lagenkoordinaten q, and das
Elektron mit negativem s~ die Lagenkoordinaten q~; das andere Mal is{
umgekehrt das Elek{ron mit posi{ivem s, im Raumpunkt, der q~ entsprieh{,
and das Elektron mit negativem s: im Raumpnnkt, der q~ entspricht
~) E. Wigner, ZS. f. Phys. 40, 883, 1927.
Zur quantenmeehanik des magnetischen Elektrons.
623
Die schie~symmetrlsclle LSsung ist auch im al]gemeinen Falle yon
N Elektronen dleienige, welche die ,,~iqulvalenzregel" erfiillt und in der
Natur allein vorkommt 1). Es schelnt mir ein Vorzug der ~[ethocle der
Eigenfunktionen, dal~ diese LSsung in so einfacher Weise charakterisiert
werden kann, und gerade deshalb sehien mir die [ormale Ausdehnung
dieser Methode auf Elektronen mit Eigenmoment nicht ohne Bedeutung,
obwohl sie gegentiber den t t ei s e n b e r g schen Matr~zenmethoden zu keinen
neuen Resultaten fiihren kann. Auch diirften sich die Intensit~ten der
Interkombinationslinien zwisehen Singulett- und Triplettermen, woriiber
neue 1Resultate yon O r n s t e i n und B u r g e r 2) vorliegen, nach diesen
Methoden in iibersichtlieher Weise quantenmeehaniseh bereehnen lassen.
1) Bei dieser Gelegenheit mSchte ieh gern betonen, dab das alleinige Vorkornmen der schiefsymmetrisehen LSsung zun~ehst nut bei Elektronen, und zwar
bei Beriicksichtigung ihres Eigenmomentes yon der Erfahrung gefordert wird. In
einer friiheren Mitteilung (ZS. f. Phys. 41, 81, 1927) wird die Fermisehe Statistik
ebenfalls nur filr das Elektronengas beim Vergleich mit der Erfahrung herangezogen.
Die MSglichkeit anderer Arten yon Statistik bei anderen materiel]en Gasen bIeibt
irr,mer noeh often, was in dieser ~Iitteilung ieider nicht geni~gend hervorgehoben
win'de. Vgl. hierzu auch F. tIund, ZS. f. Phys. 49, 93, 1927.
~) L. S. O r a s t e i n und H. C. B u r g e r , ZS. f. Phys. 40, 403, 1926.