Das Leerscript Physik - Technische Hochschule Mittelhessen

MBB3-NW2 SS2012
Das Leerscript Physik
Prof. Dr. U. Hoeppe, FB MND, Technische Hochschule Mittelhessen
INHALT
1.
Leerscript - Physik Elektrizität
1.1
1.2
1.3
1.3.1
1.3.2
1.3.3
1.3.4
1.3.5
1.4
1.5
1.5.1
1.5.2
1.5.3
1.6
1.6.1*
1.6.2*
1.6.3*
1.6.4*
1.6.5*
Elektrische Ladung
Coulombgesetz
Elektrisches Feld
Definition, Feldlinien
Elektrisches Potential
Feld als Gradient des Potentials
Gaußscher Satz des elektrischen Feldes
Kapazität
Elektrischer Dipol
Elektrischer Strom
Definition
Ohmsches Gesetz
Spezifischer Widerstand
Materie im elektrischen Feld
Orientierungspolarisation
Ionische Polarisierbarkeit αIon: p = αIon ε0 E
Elektronische Polarisierbarkeit α∞: p = α∞ ε0 E
Dispersion
Ferroelektrizität
2
Magnetismus
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4*
2.1.5
2.2
2.2.1*
2.2.2*
2.2.3*
2.3
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4*
Magnetfelder stationärer Ströme: Amperesches Gesetz
Magnetische Induktion
Lorentzkraft
Hall Effekt
Magnetische Dipole
Materie im magnetischen Feld
Paramagnetismus: χm > 1
Diamagnetismus: χm < 1
Ferromagnetismus: χm >> 1
Elektromagnetische Induktion
Magnetischer Fluß
Induktionsgesetz von Faraday
Wechselstromgenerator
Selbstinduktion und Induktivität
3
Maxwellgleichungen
4
Wechselstrom
4.1
4.2
4.3
4.4*
4.4
Addition von U, I und R
Kapazitäten
Induktivitäten
Verluste elektromagnetischer Wellen in Materie
Elektrischer Schwingkreis
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2
5*
Materie, Teilchen und Wellen
5.1
5.2
Quantennatur des Lichts
Teilchen-Welle Dualismus; Materiewellen
6*
Aufbau der Materie
6.1
6.1.1
6.2
6.2.1
6.2.2
6.3
Atomphysik
Atommodelle
Kernphysik
Aufbau von Atomkernen
Radioaktiver Zerfall
Kernenergie und Massendefekt
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3
1.
Elektrizität
1.1
Elektrische Ladung
Beobachtung:
-
e = 1,602181 ·10-19 C
Wirkungen:
-
1.2
Coulombgesetz
Charles A. de Coulomb (1736-1806)
→ Kraft Fc zwischen zwei Punktladungen q1 und q2:
vektoriell:
Betrag:
Elektrische Feldkonstante
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ε0 = 8,8542 ·10-12 C2·N-1·m-2
4
1.3
Elektrisches Feld
1.3.1
Definition, Feldlinien
Feld E wird definiert über die Kraftwirkung des Feldes auf eine
(bel.) positive Einheitsladung q:
Für eine Punktladung ergibt sich mit dem Coulombgesetz:
• Die Kraftwirkung des E-Feldes auf eine pos. Probeladung verläuft tangential
entlang der Feldlinien.
• Die Dichte der Feldlinien beschreibt die rel. Stärke des (lokalen) E-Feldes
Superpositionsprinzip:
Aus dem Superpositionsprinzip und der Symmetrie ergibt sich folgende
(homogene) Feldverteilung in einem Plattenkondensator:
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5
1.3.2
Elektrisches Potential
Das elektrisches Potential ϕ entspricht der potentiellen Energie einer
positiven Einheitsladung im elektrischen Feld:
Als Elektrische Spannung U bezeichnet man die Differenz zweier Potentiale:
[U]=
U·q entspricht also Energie: 1V · e = 1 eV = 1,602 ·10-19 C·V = 1,602 ·10-19 J
Der Zusammenhang von E-Feld bzw. Kraft und dem zugehörigen Potential
ergibt sich aus ‚Arbeit = Kraft x Weg’ :
Integration liefert:
(wobei üblicherweise ϕ (∞) = 0 gesetzt wird)
Bsp.: Bewege Elektron durch das gesamte homogene Feld eines
Plattenkondensators auf die negative Seite:
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6
Aus dW = Fds folgt mit dEpot = -dW nach Integration für die Änderung
der potentiellen Energie des Elektrons:
Alternativ ergibt sich die Energieänderung aus der Potentialdifferenz zu:
→
Wird entsprechend Konvention U für positiven Pol positiv gewählt,
ergibt sich für das E-Feld im Plattenkondensator:
1.3.3
Feld als Gradient des Potentials
Die skalare Größe des Potentials, die Spannung, ist leicht zu messen,
einzustellen oder vorzugeben. Oft ist das Potential für ein Problem
auch einfacher zu berechnen. Das entsprechende E-Feld erhält man
einfach durch Differentiation:
bisher:
jetzt:
Gradient:
Nabla-Operator:
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7
1.3.4
Gaußscher Satz des elektrischen Feldes
Aus der ‚Zahl von Feldlinien’ die durch eine
geschlossene Oberfläche dringen, lässt sich
auf die Ladung innerhalb des entsprechenden
Volumens schließen:
Der elektrische Fluss durch eine beliebig geformte
geschlossene Oberfläche entspricht der darin
enthaltenen Ladung.
→ Gaußscher Satz:
Unter Ausnutzung vorliegender Symmetrien lassen sich mit Hilfe des Gaußschen
Satzes Feldverteilungen berechnen:
Bsp.: Kugeloberfläche mit Punktladung im Zentrum:
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8
Der Gaußsche Satz gilt für bel. Ladungsverteilungen, mit
Raumladungsdichte:
oder der
Flächenladungsdichte:
gilt
Ladungen auf elektrischen Leitern:
- Ladungen sammeln sich aufgrund der Coulombkräfte an der Oberfläche
- Bei (perfekten) Leitern sind alle Teile innerhalb des Leiters auf gleichem
Potential.
→ mit U = ∆ϕ = 0 folgt auch E = 0 innerhalb des Leiters.
→ Aus dem gleichen Grund bildet die Oberfläche eine Äquipotentialfläche,
die Tangentialkomponente verschwindet, d.h.
E steht senkrecht auf der Oberfläche.
Aus der Anwendung des Gaußschen Satzes auf ein Flächenelement folgt:
→ Bsp.1: Ladung auf Metallkugel mit Radius R
→ Bsp.2: Ladung auf bel. geformten Metallkörpern
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9
1.3.5
Kapazität
Die Kapazität C ist ein Maß für die Fähigkeit eines Körpers bzw. Bauteils
Ladungen zu speichern:
[C]=
Bsp.: Plattenkondensator:
C=
→ Bsp.: Kapazität eines Plattenkondensators mit d = 1 mm und A = 1 cm2 :
→ Bsp.: Kapazität einer Kugel
→ Bsp.: Kapazität eines Zylinderkondensators bzw. Koaxialkabels.
Gespeicherte Energie:
Betrachte Arbeit, die für Laden des Kondensators aufgebracht werden muss:
dW = U·dQ , wobei sich U (und damit E) während des Ladens ändert →
→
W=
Für die Energiedichte w = W/V des Elektrischen Feldes ergibt sich mit V = A·d
w=
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10
1.4 Elektrischer Dipol
Dipolmomente entstehen durch zwei getrennte gleichgroße Ladungen
(bzw. Ladungsverteilungen) mit entgegengesetztem Vorzeichen:
Dipolmoment p :
p=
Feldverteilung des elektrischen Dipols:
Beispiele
HCl
CHN
H2O
Berechnung Potential und Feldverteilung:
Potential ϕ(r):
r
r
r
ϕ ( r ) = ϕ1 ( r ) + ϕ 2 ( r ) =
q1
q
1 ⎛⎜
+ r 2r
r
r
2
⎜
4πε 0
(r − r2 ) 2
⎝ (r − r1 )
⎞
⎟ = ...
⎟
⎠
Potential im Fernfeld, d.h. r >>r1, r2, d :
r
ϕ (r ) =
r r
r⋅p
4πε 0 r 3
1
Durch Differentiation ergibt sich das elektrische Feld:
r r
r
E ( r ) = − grad ϕ ( r ) =
r r r r
1 ⎛ r⋅p r
p⎞
⎜3 3 ⋅ − 3 ⎟
4πε 0 ⎝ r
r r ⎠
→ Im Fernfeld ist für Dipol
ϕ ~ 1/r2
und
E ~ 1/r3
ϕ ~ 1/r
und
E ~ 1/r2
Im Vergleich dazu gilt für
→ Punktladung (Monopol)
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11
1.5 Elektrischer Strom
1.5.1
Definition
Strom = bewegte Ladung:
[I]=
Ladungsträger:
Elektrische Leiter:
1.5.2
Ohmsches Gesetz
Ursache für einen el. Strom ist eine Kraft auf die Ladungsträger, welche
proportional zur Potentialdifferenz, d.h. der Spannung ist:
→
Die Stärke des Stroms ist u.a. abhängig von Material und Leiterquerschnitt,
zusammenfassend dem Leitwert G:
→
Daraus folgt das Ohmsche Gesetz:
[G]=
bzw. mit Definition eines
elektrischen Widerstandes R = 1/G
[R]=
Ist G bzw. R konstant, insbesondere nicht von I bzw. U abhängig, spricht man
von einem Ohmschen Widerstand. (→ Kennlinien)
Werner von Siemens (1816-1892),
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Georg Simon Ohm (1789-1854)
12
1.5.3
Spezifischer Widerstand
Mit der Einführung eines spezifischen Widerstandes ρ bzw. einer
spezifischen Leitfähigkeit κ erhält man um die Geometrie des Leiters
bereinigte materialspezifische Größen:
[ρ]=
[κ]=
Achtung: ρ bzw. κ sind i.A. keine Konstanten, sondern insbesondere
temperaturabhängig! (→ NTC, PTC, Temperaturmessung )
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13
1.6
Materie im elektrischen Feld
Wechselwirkung von E-Feld mit elektrischen Dipolen bewirkt
→ Polarisation P ~ E = Ausrichtung (+ Erzeugung) elektrischer Dipole
→ ’Verstärkung’ oder besser ’Unterstützung’ des E-Feldes
Elektrische Flussdichte = Verschiebungsdichte
bzw. mit Einführung der
relativen Dielektrizitätszahl εr
Achtung: Die relative Dielektrizitätszahl εr ist materialspezifisch aber
i.A. keine Konstante sondern insbesondere stark frequenzabhängig,
d.h. εr = εr(ω).
Betrachtet man die Ausbreitung von e.m. Wellen in solcher Materie, spricht
man von “Dispersion“. Am bekanntesten ist das Phänomen in der Optik
(Regenbogenfarben) und wird dort mit einer frequenz- bzw. wellenlängenabhängigen
1
für optische Materialien.
Brechzahl n(ω) beschrieben. Dabei gilt n(ω ) =
ε r (ω )
Polarisation P = Dipolmomente / Volumen
Ist die Zahl der vorhandenen Dipole vom E-Feld abhängig (induzierte Dipole), wird
statt der Dielektrizitätszahl oft die dielektrische Suszeptibilität χel verwendet.
Diese beschreibt, wie stark ein E-Feld die jeweilige Materie polarisiert:
r N r
r
r
P = ⋅ p = n ⋅ p = χ el ⋅ ε 0 ⋅ E
V
→
ε r = 1 + χ el
da gilt
r
r r
r
r
r
r
D = ε 0 E + P = ε 0 E + χ el ⋅ ε 0 E = (1 + χ el ) ⋅ ε 0 E = ε r ε 0 E
Mikroskopisch betrachtet, verwendet man anstatt der Suszeptibilität die Größe
der (lokalen, atomaren) Polarisierbarkeit α , def. über pi = α ⋅ Ei,lok
Diese ist ähnlich χel , bezieht sich jedoch auf Erzeugung eines einzelnen lokalen
Dipolmoments pi, da das entsprechende lokale E-Feld z.B. in einem Kristall stark
ortsabhängig ist. (Stichwort: → Lorentzfeld, Entelektrisierungsfeld)
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14
1.6.1*
Orientierungspolarisation
→ Ausrichtung permanenter Dipole im E-Feld
Dipol im homogenen elektrischen Feld:
r
r
⎛d ⎞ r r r
r r
M = ∑ ri × Fi = 2 ⋅ ⎜⎜ ⋅ q ⎟⎟ × E = p × E
⎝2 ⎠
Drehmoment auf Dipol:
r r r
M = p× E
Betrachte Arbeit, welche nötig ist, um Dipol um 180° zu drehen →
(potentielle) Energie eines Dipols im E-Feld
r r
E pot = − p ⋅ E
(mit Ep(90°) := 0)
( Stichworte: →Wasser, →LCD)
1.6.2*
Ionische Polarisierbarkeit αIon:
p = αIon ε0 E
→ Verschieben der Ladungsverteilung innerhalb eines Ionenkristalls
→ Verformung des Kristalls
→ i.A. anisotrop
(Stichworte: →Piezoelektrischer Effekt: Sensoren, Lautsprecher; →Schwingquarze)
1.6.3*
Elektronische Polarisierbarkeit α∞:
p = α∞ ε0 E
→ Verschieben der „Elektronenwolken“ gegen
den Atomkern
→ tritt bei jeder Materie auf
→ Noch wirksam bei sehr hohen Frequenzen
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15
1.6.4*
Dispersion
Jeder der o.g. Effekte ist stark frequenzabhängig. Für die
Dielektrizitätszahl εr(ω) ergibt sich schematisch folgender Verlauf:
Maxima der Frequenzabhängigkeit der Dielektrizitätszahl sind verknüpft
mit Maxima in der Absorption, d.h. mit einem Maximum an WW im Resonanzfall.
1.6.5*
Ferroelektrizität
In Analogie zum (länger bekannten) Ferromagnetismus spricht man im Falle
sehr großer Dielektrizitätszahlen in Folge von Selbstordnungsmechanismen von
Ferroelektrizität.
Beim Bariumtitanat (BaTiO3) z.B. werden
durch die Coulomb-WW die Ti4+ Ionen alle in
die gleiche (halbstabile) Lage innerhalb eines
Gitterplatzes geschoben. Bei nicht zu großen
Temperaturen kommt es dadurch zu einer
spontanen Polarisation.
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2
Magnetismus
2.1.1
Magnetfelder stationärer Ströme: Amperesches Gesetz
(Stationäre) Ströme erzeugen (statische) Magnetfelder H. Ein statisches
Magnetfeld H impliziert daher einen Strom I, erzeugt aber keinen.
Die magn. Feldlinien beschreiben wie die
elektrischen qualitativ Richtung und
Stärke des H-Feldes (, im Gegensatz zum
E-Feld aber keine Kraftwirkung ! ).
Strom und Feld sind verknüpft durch das
Amperesche Gesetz (Ampere-Maxwellsches Gesetz, Durchflutungsgesetz):
[H]=
∫
bezeichnet dabei ein beliebiges geschlossenes Wegintegral, welches
den Strom I einschließt.
Bsp.1: Ein gerader Leiter vom Strom durchflossen erzeugt (außerhalb des Leiters)
ein kreisförmiges zylindersymmetrisches H-Feld ~ 1/r:
wähle (entsprechend der Symmetrie) Integrationsweg s
entlang einer Feldlinie im Abstand r um den Leiter: Hier
steht H immer parallel zu ds ! ...
→
H(r) =
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Bsp.2: Lange Spule mit N Windungen auf der Länge l
→
H=
Anmerkung: Für bel. ‚Stromfäden’ berechnet sich das resultierende
H-Feld oft am besten mit dem Biot-Savartschen Gesetz, welches als
Spezialfall des Ampereschen Gesetzes für dünne Leiter gilt.
2.1.2
Magnetische Induktion
Analog zur elektrischen Verschiebungsdichte wird für das Vakuum
B=
[B]=
definiert, mit der magnetischen Feldkonstanten
µ0 = 4π·10-7 Vs ·A-1·m-1
Die Bedeutung von B (und D) wird bei der Behandlung der e.m. Felder in Materie deutlich.
2.1.3
Lorentzkraft
Eine bewegte Ladung erfährt in einem Magnetfeld H ( bzw. B) eine Kraft
F L=
FL steht senkrecht auf v (und B), daher wird nur die Richtung nicht der Betrag
von v geändert. Es wird daher auch keine Arbeit geleistet.
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18
Bsp.: Elektron in homogenem Magnetfeld
Das Elektron wird durch die
Lorentzkraft auf einer Ebene
senkrecht zu B auf eine Kreisbahn
gezwungen. Durch Gleichsetzen
von Fliehkraft und Lorentzkraft
folgt:
Bahnradius
Umlauffrequenz = Zyklotronfrequenz
Anwendungen:
Ablenkmagnete in Elektronenröhren, magnetische Linsen, Zyklotron/Betatron,
Massenspektrometer, Hallsonden, Drehspulmessinstrument
2.1.4*
Hall Effekt
Aufgrund der Lorentzkraft werden Elektronen auch innerhalb von Leitern
abgelenkt, wodurch sich eine sog. Hallspannung aufbaut, bis das E-Feld dieser
Spannung die Lorentzkraft kompensiert:
→→
UH = KH ⋅
B⋅I
= RH ⋅ I
d
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KH = 1/nq Hallkonstante (Materialeigenschaft)
RH = Hallwiderstand (Bauteileigenschaft)
19
2.1.5
Magnetische Dipole
Die Tatsache der Nichtexistenz magnetischer Monopole
beschreibt der Gaußscher Satz für das Magnetfeld:
Kleinste Einheit ist daher ein Dipol, für einen Kreisstrom gilt:
Magnetisches Dipolmoment m
(Entscheidend ist die von einem Strom eingeschlossene Fläche, vgl. Durchflutungsgesetz)
Für die Feldverteilung gilt ähnlich dem elektrischen Dipol im Fernfeld
(ohne Herleitung):
r r r
r
r r
µ ⎛ 3 r ⋅ (m ⋅ r ) m ⎞
B (r ) = 0 ⎜
−
⎟ ~
4π ⎝
r5
r3 ⎠
1
r3
Das B-Feld gleicht dem elektrischen
Dipolfeld also nur im Fernfeld.
Im Nahfeld macht sich deutlich bemerkbar,
dass die magnetischen Feldlinien geschlossen
sein müssen. (vgl. Durchflutungsgesetz)
Magnetfelder sind immer abbildbar auf (kleine) Kreisströme, z.B.:
a) permanente Kreisströme / magnetische Momente: (Para- und Ferromagnetismus)
- Drehimpuls von Elektronen → Bahnmagnetismus
- Eigendrehimpuls von Elektronen → Spinmagnetismus
b) induzierte Kreisströme/ magnetische Momente: (Diamagnetismus)
- Induzierte Kreisströme Elektronenhülle der Atome
- Wirbelströme in metallischen Leitern
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20
2.2
Materie im magnetischen Feld
Wechselwirkung von H-Feld mit magnetischen Dipolen bewirkt
→ Magnetisierung M ~ H = Ausrichtung (+ Erzeugung) magnetischer Dipole
→ ’Verstärkung’ oder besser ’Unterstützung’ des H-Feldes
Magnetische Induktion
bzw. mit Einführung der
relativen Permeabilitätszahl µr
Magnetisierung = magn. Dipolmomente / Volumen
Hier wird im Falle induzierte oder permanenter Dipole oft statt der
Permeabilitätszahl µr oft die magnetische Suszeptibilität χm verwendet.
Diese beschreibt, wie stark ein H-Feld die jeweilige Materie magnetisiert:
r N r
r
r
M = ⋅ m = n ⋅ m = χm ⋅ H →
µr = 1 + χm
V
r
r
r
r
r
r
r
B = µ 0 H + µ 0 M = µ 0 H + µ 0 χ m H = (1 + χ m ) ⋅ µ 0 H = µ r µ 0 H
da gilt
In anisotropen Medien, z.B. in Materialien in einem äußeren statischen Magnetfeld,
wird die Wechselwirkung zwischen H und M deutlich komplexer und χm muss als
Tensor dargestellt werden.
(Stichworte: → Magnetwerkstoffe, Ferrite, Permeabilitätstensor, Zirkulator)
2.2.1*
Paramagnetismus: χm > 1
→ Ausrichtung permanenter aber voneinander unabhängiger magn. Dipole
→ Atome, Moleküle mit ungepaarten Elektronen (→ Spinmagnetismus)
2.2.2*
Diamagnetismus: χm < 1
→ Induzierte magnetische Dipole = in „Elektronenwolken“ induzierte Kreisströme
→ Bei allen Atome und Moleküle vorhanden
2.2.3*
Ferromagnetismus: χm >> 1
→ Ausrichtung permanenter und miteinander gekoppelter magn. Dipole
→ Spontane Magnetisierung für T < TC (Curietemperatur), oberhalb paramagnetisch
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21
2.3
Elektromagnetische Induktion
2.3.1
Magnetischer Fluss
Der magnetische Fluss Φ entspricht der Zahl von magnetischen Feldlinien
durch eine Fläche A:
[Φ]=
( Da die magnetischen Feldlinien geschlossen sind, ist der Fluss durch eine
geschlossenen Oberfläche immer null. vgl. → Gaußscher Satz für H-Feld )
2.3.2
Induktionsgesetz von Faraday
Die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses durch eine
Leiterschleife induziert in dieser eine Spannung.
Das Vorzeichen der Spannung ist derart, dass der resultierende Strom
der erregenden Flussänderung entgegenwirkt (Lenzsche Regel).
Dabei ist es vollkommen irrelevant, ob sich das
Feld B oder die (gerichtete) Fläche A mit der Zeit
ändern (→Produktregel).
Verallgemeinerung:
(Stichworte: → Induktionsschleife, Erdmagnetfeld, Energiesatz, Wirbelstrombremse)
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22
2.3.3
Wechselstromgenerator
Drehe Spule mit N Windungen in konstantem magnetischen Feld hoher
Flussdichte. Die hohen Flußdichten werden mit „magnetisch leitenden“
Materialien (Weicheisen mit µr >> 1) erreicht.
Drehen der Spule bedeutet Änderung des von
A und B eingeschlossenen Winkels .
Drehung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit → α = ωt.
→ Sinus bzw. Cosinusförmige Änderung
der zu B senkrecht stehenden Fläche.
N Windungen → N-fache Spannung
2.3.4*
Selbstinduktion und Induktivität
→ Wird der Strom durch eine Spule zeitlich verändert, so entsteht,
entsprechend dem Induktionsgesetz, ein zeitlich verändertes H-Feld,
welches wiederum eine dem Strom entgegengesetzte Spannung induziert
(→Selbstinduktion).
Dieser Effekt ist je nach Aufbau der Spule verschieden groß und
und letztlich durch das Verhältnis magn. Fluss Φ zu Strom I bestimmt:
L=
Φ
I
heißt Induktivität des Bauteils/der Anordnung.
& = L ⋅ I& = U :
Bsp.: Für eine lange Spule ergibt sich z.B. aus Φ
ind
→→
L=
µ0 A ⋅ N 2
Luftspule
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l
L=
µ0µr A ⋅ N 2
l
Spule mit Kern
23
3
3.1
Maxwellgleichungen
Maxwellgleichungen
• Durchflutungsgesetz (Ampere-Maxwellsches Gesetz)
r r
∫ H ⋅ ds = I
„Strom erzeugt Magnetfeld“
c
r
r
r
d
r
∫ H ⋅ ds = I + dt ∫ D ⋅ dA
c
Ergänzung für zeitabhängige E bzw. D-Felder
A
• Induktionsgesetz
r r
d r r
∫c E ⋅ ds = − dt ∫A B ⋅ dA
„Flußänderung induziert Spannung“
• Gaußscher Satz für E-Feld
r r
∫ D ⋅ dA = ∫ ρ ⋅ dV = q
A
„Ladung ist Quelle von E-Feld“
V
• Gaußscher Satz für H-Feld
r r
∫ B ⋅ dA = 0
„Es ex. kein magnetischer Monopol“
A
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24
3.2*
Stetigkeitsbedingungen
Aus den Maxwellgleichungen und geeignet gewählten Integrationswegen
bzw. Integrationsflächen, lassen sich für die Grenzflächen
zwischen zwei verschiedenen Medien allgemeingültige Stetigkeitsbedingungen
für statische Felder herleiten.
Für die Vektorkomponenten des
elektrischen Feldes gilt
r
E|| = stetig
r
D⊥ = stetig
)*
* nur wenn keine Oberflächenladungen vorliegen
und für das magnetische Feld:
r
H || = stetig
)**
r
B⊥ = stetig
** nur wenn keine Oberflächenströme vorliegen
(Stichwort: Induktion im →Luftspalt eines Magneten)
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25
4
4.1
Wechselströme
Addition von U, I und R bei Phasenverschiebungen
Beispiel: R-L-C- Serienschaltung:
Relativ zur Spannung an einem ohmschen Verbraucher (dort sind Strom und Spannung in
Phase) eilt bei einer Induktivität die Spannung dem Strom voraus , während sie bei der
Kapazität ‚hinterherhinkt’. Die Scheitelwerte (Maximalwerte) von U, I und R lassen sich
daher nicht einfach addieren, die Phasenverschiebungen müssen z.B. vektoriell im
Zeigerdiagramm berücksichtigt werden:
Die Zeiger im obigen Diagramm drehen mit der Frequenz ωt (Phase ϕ) der Wechselspannung, die Phasendifferenz der Scheitelwerte von ± π/2 bleibt aber jederzeit
erhalten! Es bietet sich daher die vektorielle Addition der Scheitelwerte entsprechend
untenstehender Grafik an.
U 0 = U R + (U L − U C ) 2
2
Für die Widerstände gilt analog:
Rges
⎛
1 ⎞
⎟⎟
= R + ( RL − RC ) = R + ⎜⎜ ω L −
C
ω
⎝
⎠
2
2
2
2
= Z
( RC und RL können sich kompensieren → „Scheinwiderstände“ ; Z = „Impedanz“)
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26
Die phasengerechte Addition der Scheitelwerte lässt sich bequem mit Hilfe der
komplexen Zahlen ausführen:
Wobei für die komplexe Zahl c gilt:
c = a + b ⋅ i = ρ ⋅ e i⋅φ
c = ρ ⋅ e i⋅φ = ρ ⋅ cos φ + i ⋅ ρ ⋅ sin φ
c = ρ = a2 + b2
Setzt man für die Phase φ bei der Induktivität φ = π/2 und bei der Kapazität φ = - π/2
Ergibt sich als komplexer Widerstand die Impedanz Z:
Z = R + i ⋅ω L +
⎛
1 ⎞
⎟⎟
= R + i ⋅ ⎜⎜ ω L −
i ⋅ω C
C
ω
⎝
⎠
1
d.h.
R ges = Z
Mit den Rechenregeln der komplexen Zahlen ergibt sich z.B. der Gesamtwiderstand
Rges automatisch als der Betrag der Impedanz.
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27
4.2
4.2.1
Kapazitäten
Kapazitäten, verlustfrei
Def.:
C=
Q
U
Bei angelegter Wechselspannung U (ω > 0) fließt Strom IC durch Kondensator:
Sei
U = U 0 ⋅ sin(ω ⋅ t )
→ IC = ?
→
mit I 0 = ω ⋅ C ⋅ U 0
d.h. I 90° Phasenverschoben!
→
Kapazitiver Widerstand:
D
RC =
U0
1
=
I0 ω ⋅ C
bzw.:
RC =
1
i ⋅ω C
→ R klein für ω sehr groß und umgekehrt
→ Mögliche Anwendung: Hochpass und Tiefpass
Bsp.: Plattenkondensator:
C = ε0 ⋅εr ⋅
A
= ε r ⋅ C0
d
d.h. mit Dielektrikum εr wird C erhöht, Frequenzverlauf entsprechend verändert!
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28
4.2.2
Kapazitäten, verlustbehaftet
Das Einbringen eines Dielektrikums erhöht leider nicht nur die Kapazität, sondern
verursacht durch eine Restleitfähigkeit auch Verluste. Im Ersatzschaltbild wird daher
ein Widerstand parallel geschaltet:
→
Die Ströme addieren sich (vektoriell !), d.h. IR in Phase mit U aber IC phasenverschoben:
’Faires’ relatives Maß für die Verluste (abgebildet auf R):
Verlustwinkel:
tan δ e =
IR
IC
= ... =
G
ωC
Anstatt der Einführung eines Ersatzschaltbildes für das Bauteil werden die Verluste
des Materials besser direkt über Einführung einer komplexen Dielektrizitätskonstante
εr ≡ ε ' − i ⋅ε"
dargestellt. Der Realteil ε’ beschreibt die Feld verstärkende Wirkung und der
Imaginärteil ε’’ die Verluste des Materials. Auch hier ergibt sich mit den Rechenregeln
für komplexe Zahlen automatisch eine Abbildung der Verluste auf einen
(‚versteckt parallel geschalteten’) ohmschen Widerstand:
C = ε0 ⋅εr ⋅
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A
= C 0 ⋅ ε r = C 0 ⋅ (ε '−i ⋅ ε " )
d
29
Für den Strom durch den Kondensator ergibt sich damit:
d.h.
tan δ e =
I R U 0 ⋅ ω C0 ⋅ ε " ε "
=
=
IC
U 0 ⋅ ω C0 ⋅ ε ' ε '
→
tan δ ε =
ε"
ε'
Sind andere Verluste vernachlässigbar, wird der Verlustwinkel daher zur reinen
Materialeigenschaft des Dielektrikums!
Physik MBB3-SS2012, Hoeppe
30
4.3
4.3.1
Induktivitäten
Induktivitäten, verlustfrei
Def.:
L=N⋅
Φ
I
→
N ⋅Φ = L⋅I
•
•
Zeitlich variierender Strom induziert Spannung in Spule: U ind = − N ⋅ Φ = − L ⋅ I
Sei
I = I 0 ⋅ sin(ω ⋅ t )
→ U = -Uind = ?
→
mit U 0 = ω ⋅ L ⋅ I 0
Induktiver Widerstand:
D
d.h. U 90° Phasenverschoben!
→
RL =
U0
=ωL
I0
bzw.:
RL = i ⋅ ω L
→ R steigt linear mit ω
→ Mögliche Anwendung: Tiefpass und Hochpass
N2
= µ r ⋅ L0
Bsp.: Lange Spule: L = µ 0 ⋅ µ r ⋅ A
l
d.h. mit magn. Kern µr wird L erhöht, Frequenzverlauf entsprechend verändert!
Physik MBB3-SS2012, Hoeppe
31
4.3.2
Induktivität, verlustbehaftet
Das Einbringen eines magnetischen Kerns in eine Spule erhöht leider nicht nur die
Induktivität, sondern verursacht durch einen zusätzlichen Widerstand auch erhöhte
Verluste. (Auch ohne Kern sind die Verluste durch den ohmschen Widerstand der Spule
selbst meist nicht vernachlässigbar.) Im Ersatzschaltbild wird daher ein Widerstand in
Serie geschaltet:
→
Für die Serienschaltung sind die Widerstände (vektoriell !), d.h. R in Phase mit U aber RL
phasenverschoben zu addieren:
Rges = Z = R + i ⋅ ωL = R 2 + (ωL) 2
Auch hier ist der Verlustwinkel ein ’faires’ relatives Maß für die Verluste:
Verlustwinkel:
tan δ m =
R
RL
=
R
ωL
Die Verluste sind meist wesentlich durch das magnetische Material gegeben,
anstatt der Einführung eines Ersatzschaltbildes für das Bauteil werden die Verluste
des Materials besser direkt über Einführung einer komplexen Permeabilitätszahl
µr ≡ µ ' − i ⋅ µ"
dargestellt. Der Realteil µ’ beschreibt auch hier wieder die Feld verstärkende Wirkung
und der Imaginärteil µ’’ die Verluste des Materials. In komplexer Schreibweise ergibt
sich damit für die Induktivität
N2
= L0 ⋅ µ r = L0 ⋅ ( µ ' − i ⋅ µ " )
L = µ0 ⋅ µr ⋅ A
l
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32
und für den resultierenden Widerstand einer Spule mit Kern:
RL ,µ = i ⋅ ω L = i ⋅ ω L0 ⋅ ( µ ' − i ⋅ µ " ) = i ⋅ ω L0 ⋅ µ ' + ω L0 ⋅ µ " ≡ RL + R
d.h.
tan δ m =
R
RL
=
ω L0 ⋅ µ " µ "
=
ω L0 ⋅ µ ' µ '
→
tan δ µ =
µ"
µ'
Sind, wie oben angenommen, die ohmschen Verluste gegenüber den magnetische
Verlusten des Kerns vernachlässigbar klein, wird der Verlustwinkel daher zur reinen
Materialeigenschaft !
4.4*
Verlustleistung in Materialien bei Ausbreitung
elektromagnetischer Wellen
Wie bei der Ausbreitung von Licht durch ein verlustbehaftetes Medium (-> Lambert
Beer’sches Gesetz) ist auch bei der Ausbreitung von Wellen auf Wellenleitern (z.B.
Kabeln) ein exponentieller Abfall von Strom, Spannung bzw. der Leistung zu erwarten.
In der Leitungstheorie ordnet man einer Leitung einen Kapazitäts- und einen
Induktivitätsbelag C’ = C/l und L’ = L/l zu:
Sind diese von εr bzw. µr abhängig, werden die Verluste durch das Material längs der
Leitung wieder richtig durch die Imaginärteile von εr und µr beschrieben. Für kleine
Verluste (der relevante Anwendungsfall) gilt k = ω L' C ' . Für ein Koaxialkabel ergibt
sich damit k = ω
c
bzw. c = f ⋅ λ . Es ist somit dispersionsfrei.
Physik MBB3-SS2012, Hoeppe
33
Beispiel: Koaxialkabel mit Dielektrikum
U = U 0 ⋅ cos(ω t − k x) bzw. U = U 0 ⋅ e
(Strom und) Spannung als Welle:
i (ω t − k x )
Für Koaxialkabel gilt daher wie für die Ausbreitung im freien Raum:
c = f ⋅λ =
1
µ ⋅ε
1
=
µ 0 µ r ⋅ ε 0ε r
=
c0
µr ⋅ ε r
1
c0 =
mit
µ0 ⋅ ε 0
Da f = const ändert sich in Materie daher die Wellenlänge bzw. die Wellenzahl:
λ k0
c
=
=
=
c0 λ0
k
1
µr ⋅ ε r
→
k = k0 ⋅ µ r ⋅ ε r
mit µr = 1 , εr = ε’ – iε’’ und kleine Verluste, d.h. ε’’ << ε (bzw. tan δ ε ≤ 10 −3 ) :
U = U0 ⋅e
d.h.
i (ω t − k x )
= U0 ⋅e
U = U0 ⋅e
i ( ω t − k 0 ⋅ ε ' − iε '' ⋅ x )
i (ω t − k ' x )
⋅e
= ... = U 0 ⋅ e
− 12 tan δ ε ⋅k ' x
mit
i (ω t − k ' x )
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− tan δ ε ⋅k ' x
1 ε ''
⋅k ' x
2ε'
k ' = k0 ⋅ ε '
Die Amplitude nimmt also längs der Leitung mit dem Faktor
die Leistung P ~ U² mit dem Faktor e
⋅e
−
e
− 12 tan δ ε ⋅k ' x
ab,
.
34
4.5
Elektrischer Schwingkreis
Entsprechend den Definitionen der jeweiligen Bauteile/Größen gilt für:
Induktivität L:
Ohmscher Widerstand R:
Kapazität C:
Nach der sog. Maschenregel (→ Kirchhoffsche Gesetze) ist die Summe der
Spannungsabfälle in obiger Schaltung = 0, d.h. es gilt
Die Schwingung wird letztlich von den Ladungen Q im Stromkreis ausgeführt,
mit der Definition des Stroms I = dQ/dt folgt also
Für diese (jetzt bekannte) DGL erhält man als Lösung eine zeitlich sinusförmige
Ladungsverschiebung und somit auch einen sinusförmigen Verlauf von Strom und
Spannung mit der Eigenfrequenz
.
Für einen (in der Praxis immer) gedämpften und getriebenen Schwingkreis, erhält
man Resonanzkurven wie im vorigen Kapitel dargestellt.
Dieses Resonanzverhalten ist z.B. Grundlage für Radiosender und -empfänger.
(→ Elektrischer LC-Schwingkreis, Filter, Radio, Marconi)
Physik MBB3-SS2012, Hoeppe
35
Beispiele für Anwendung von R-C-L Kombinationen / Schwingkreise:
a) Frequenzweiche:
b) Serienschwingkreis → Filter:
c) Parallelschwingkreis → Filter, Oszillator:
Physik MBB3-SS2012, Hoeppe
36
5
5.1
Materie, Teilchen und Wellen
Quantennatur des Lichts
Newtons Teilchenhypothese des Lichts ist ungeeignet zur Beschreibung
der Ausbreitung des Lichts. Zur Erklärung von z.B. Beugung und Interferenz
muss das Wellenmodell verwendet werden.
Es zeigt sich jedoch, dass zur Beschreibung von Wechselwirkungen des Lichts
mit Materie (Absorption und Emission) wieder ein Teilchencharakter des Lichts
angenommen werden muss (→ Lichtquanten, Photonen)
Photoeffekt
Fällt (monochromatisches) Licht auf eine (elektrisch leitende) Kathode in einer
Vakuumröhre, so können durch das Licht Elektronen ausgelöst werden. Die über die
Anode abfließenden Elektronen können als elektrischer Strom gemessen werden:
Dieser Strom nimmt mit der Lichtintensität zu, kann aber unabhängig von der
Lichtintensität I durch Anlegen einer Gegenspannung U0 zum versiegen gebracht
werden! Man beobachtet, dass die jeweilig anzulegende Spannung U0 eine lineare
Funktion der Frequenz f des eingestrahlten Lichts ist:
U 0 = U 0 ( f ) = const ⋅ f − ∆U
∆U = const ⋅ f grenz
Auch ohne Anlegen einer Gegenspannung, also für U0 = 0 , wird erst ab f ≥ fgrenz
ein Photostrom beobachtet. ∆U ist weder von der Frequenz noch von der
Intensität des Lichts abhängig sondern nur abhängig von den verwendeten
Materialien im Versuchsaufbau.
Physik MBB3-SS2012, Hoeppe
37
Erklärung (Einstein, 1905):
Licht kann seine Energie nur in ‚Portionen’ abgeben, wobei eine
‚Energieportion’ E = h⋅f ein Lichtquant bzw. ein Photon definiert.
h ist das sog. Planck’sche Wirkungsquantum: h = 6,626⋅ 10-34 J⋅s
Interpretiert man ∆U⋅e als Austrittsarbeit ∆WA, welche geleistet werden
muss, um die Elektronen aus der Kathode zu lösen, ergibt sich:
U ⋅ e + ∆U ⋅ e = U ⋅ e + ∆W A = const ⋅ f ≡ h ⋅ f = E PHOTON
Es fließt demnach nur ein Strom, wenn die Energie der eingestrahlten Photonen
größer ist als ∆WA, und die ausgelösten Elektronen noch eine positive kinetische
Energie Ekin = h⋅f - ∆WA erhalten.
Anwendungen des Photoeffekts:
- Lichtintensitätsmessung
Photozelle wie oben abgebildet wird bei pos. angelegter Spannung U
in Sättigung betrieben. Der Photostrom ist dann proportional zur
Lichtintensität, d.h. zur Zahl einfallender Photonen (Bsp.: Geigerzähler)
- Sekundärelektronenvervielfacher
(→ Photomultiplier) Über die Erzeugung von Photonen durch einzelne schnelle
Elektronen, werden wiederum in einer Hochspannungsanordnung mittels des
Photoeffekts viele Elektronen ausgelöst und damit zu leicht messbaren
Stromstößen. (s.a. REM)
- Halbleiterbauteile wie z.B. Solarzelle ( innerer Photoeffekt )
Durch Absorption eines Photons wird ein Atom bzw. Molekül ionisiert. Das freie
Elektron verlässt aber das Material nicht, sondern bleibt als Ladungsträger
in dem Festkörper erhalten (Anhebung ins Leitungsband).
So wird die Leitfähigkeit bzw. der elektr. Widerstand des Halbleiters abhängig
von der Lichtintensität (→ Photosensoren).
Werden bei geeigneter Kombination von Halbleitern die vom Licht erzeugten
Ladungen getrennt, kann die Lichtenergie in elektrischen Strom umgewandelt
werden.
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38
5.2
Teilchen-Welle Dualismus; Materiewellen
A) Elektronenstreuexperiment von G.P. Thomson (1892-1975) 1927 :
Thomson beschoss eine Graphitfolie mit in einer Vakuumröhre beschleunigten
Elektronen. Das beobachtete Interferenzbild am Schirm kann nur durch
Welleneigenschaften der Elektronen erklärt werden.
bereits zuvor:
B) De Broglie (1892-1987) Wellenlänge von Teilchen 1924 :
Teilchen haben entsprechend ihres Impulses p (d.h. ihrer Masse und kinetischen
Energie) eine Wellenlänge
h
λ deBroglie =
p
und breiten sich wie Wellen aus.
Für im E-Feld beschleunigte Elektronen gilt mit E kin =
λe =
−
h
=
p
1
p2
=U ⋅e:
me v 2 =
2
2 ⋅ me
h
2 ⋅ me ⋅ U ⋅ e
Streuexperimente wie das von Thomson lassen sich so erklären. Es zeigt sich
letztlich, das ein Teilchen nicht durch eine Welle allein sondern durch ein
Wellenpaket beschrieben werden muss. Die Teilchengeschwindigkeit entspricht
der Gruppengeschwindigkeit dieses Wellenpaketes und nicht der (größeren)
Phasengeschwindigkeit.
In Folge der Dispersion laufen diese Wellenpakete „mit der Zeit auseinander“, wodurch der
Ort eines Teilchens immer unbestimmter wird. Hier zeigen sich
bereits die begrifflichen Schwierigkeiten der ‚Wellenmechanik’ bzw. der Quantentheorie
(→Unschärferelation, Messprozess).
Physik MBB3-SS2012, Hoeppe
39
6
6.1
6.1.1
Aufbau der Materie
Atomphysik
Atommodelle
A) Spektrallinien
Licht wird von Materie / Atomen i.A. nicht als kontinuierliches Spektrum,
sondern insbesondere von Gasen als Linienspektrum emittiert.
Balmer (1825-1898) fand 1885 empirisch, dass das Linienspektrum des
Wasserstoff darstellbar ist als:
f =
1 ⎞
⎛ 1
= Rf ⎜ 2 − 2 ⎟
λ
n ⎠
⎝m
c
Rf = 3,288·1015 Hz, Rydbergfrequenz
Neben den chemischen Eigenschaften der Atome, musste ein gutes Modell
für den Aufbau eines Atoms auch die Spektrallinien erklären können.
B) Atommodell von J.J. Thomson (1856-1940) 1904:
Spektrallinien ?
Streuversuch von Rutherford?
C) Streuversuch von Rutherford (1871-1937) 1911:
Beschuss einer dünnen Goldfolie
mit Teilchen (He2+-Kernen):
Die meisten Teilchen werden kaum
oder gar nicht abgelenkt
Winkelverteilung der Streustrahlung war theoretisch nur
erklärbar mit der Annahme von
„harten“ schweren Kernen mit
Durchmessern von ca. 10-15 m,
also viel kleiner als Atom mit ca. 10-10 m!
Physik MBB3-SS2012, Hoeppe
40
D) Rutherford / Bohrsches (1885-1962) Atommodell 1916:
Fe =
1 e 2 ! me v 2
=
= Fz
4πε 0 r 2
r
E pot = −
1 e2
4πε 0 r
;
Ekin =
1
me v 2
2
→ Gesamtenergie
Eges = Ekin + E pot = −
1 e2
8πε 0 r
Strahlung?
Forderung Bohr: Stabile Bahn nur für
!
Wirkung = ∫ pdq = n ⋅ h
→
rn =
bzw.
r
l = n⋅h
n 2ε 0 h 2
=: n 2 r0
π mee 2
En = −
n = 1, 2, 3, ..
1 me e 4
1
=: − 2 E A
2
2
n 8ε 0 h
n
n: Energie / Hauptquantenzahl ( Energien bzgl. l entartet)
Das Spektrum des H-Atoms:
En = −
1 me e 4
1
1
= − 2 2,18010 ⋅ 10 −18 J = − 2 13,6 eV
2
2
n 8ε 0 h
n
n
Emission / Absorption:
hf i ,k = hω i ,k = ∆Ei ,k = Ei − E k = 13,6 eV ⋅
1
1
− 2
2
i
k
i, k = 1, 2, 3 ..
→
f i ,k =
∆E i , k
h
=
13,6 eV 1
1
⋅ 2 − 2
h
i
k
Die Balmer Serie entspricht Übergängen von
angeregten Zuständen mit n = 3, 4, 5, .. auf den
Zustand n = 2. Später beobachtet:
→ n = 1: Lyman-Serie (UV)
→ n = 3: Paschen-Serie (IR)
→ n = 4: Bracket-Serie (IR)
→ n = 5: Pfund-Serie (IR)
Physik MBB3-SS2012, Hoeppe
41
Definitionsgemäß ist die Energie eines freien Elektrons positiv, die eines
gebundenen Elektrons negativ (→Bindungsenergie). Ein angeregter Zustand
entspricht einer höheren Energie (n > 1) bzw. geringeren Bindungsenergie. Für die
Ionisation aus dem Grundzustand, also dem Übergang n = 1 → n = ∞, wird folglich die
Energie entsprechend n = 1 also 13,6 eV = 2,18·10-18 J für das H-Atom benötigt.
Was für die Emission von Licht gilt, gilt auch für die Absorption: Dies erklärt u.a.
das ‚reverse’ Absorptionsspektrum des Sonnenlichts hervorgerufen durch
vergleichsweise kühlere Gase in den äußeren Schichten der Sonne(n).
(→ Fraunhoferlinien)
E) Ergänzungen des Bohrschen Modells durch Sommerfeld (1868-1951)
- Berücksichtigung der Mitbewegung des Kerns (reduzierte Masse des e-)
- Zulassen von Ellipsenbahnen (vgl. Planeten) + relativistische Masse des e→ Aufhebung der l – Entartung (d.h. Energien auch von l abhängig)
→ weitere Quantenzahl l = 0, 1, .. n-1
→ Erklärung der Feinstruktur,
z.B. gelbe „Natrium D-Linie“ bei ~ 590 nm ↔ 589,59 nm + 589,00 nm
Alle klassischen Atommodelle versagen bei größeren bzw. komplizierteren Atomen,
neben den Spektrallinien können u.a. die magnetischen Eigenschaften nicht erklärt
werden.
F) Quantenmechanisches Atommodell
Die Schrödingergleichung der Quantentheorie ‚liefert’ für gebundene
Teilchen (z.B. e- im Atom) immer Lösungen/erlaubte Zustände mit diskreten
Energien (→ Quantisierung). Alle beobachteten Spektrallinien, von Atomen (und
auch Molekülen) können erklärt werden. Die Beschreibung von Materie als Wellen
führt letztlich nur zu Aufenthaltswahrscheinlichkeiten im Raum (→ Orbitale)
anstelle eines genau definierten Ortes der betrachteten Elektronen.
Sehr stark vereinfacht:
e- als stehende Welle im Potential des Atomkerns. Es sind nur Wellenlängen und
damit Zustände erlaubt, für die sich „konstruktive Interferenz“ ergibt, d.h. der
Umfang der Elektronenbahn muss ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge sein:
Physik MBB3-SS2012, Hoeppe
42
Aus der relativistischen Theorie des Elektrons von Dirac (1902-1984) 1928 folgt
neben n und l eine weitere Quantenzahl s, welche den Spin = Eigendrehimpuls des
Elektrons beschreibt. Die Struktur des Periodensystems der Elemente spiegelt
sich in den Quantenzahlen n, l und s sowie der Ausrichtung der Drehimpulse im
Raum gekennzeichnet durch ml und ms wieder.
6.2
6.2.1
Kernphysik
Aufbau von Atomkernen
Atomhülle: Elektronen eAtomkern: Nukleonen:
- Protonen
p+
- Neutronen n
me = 9,1095 ⋅10-31 kg
re ≅ 2,8 fm
mp = 1,6726 ⋅10-27 kg
mn = 1,6748 ⋅10-27 kg
rp ≅ 1,2 fm
rn ≅ 1,2 fm
Allgemeine Bezeichnung verschiedener Atomkerne, Nuklide:
A
Z
XN
Z
N
A
Protonenzahl = Ordnungszahl (= Elektronenzahl)
Neutronenzahl
= Z + N Nukleonenzahl = Massenzahl
Isotope = Nuklide eines chem. Elements
Bsp.: H → 1H (Wasserstoff), 2H (Deuterium), 3H (Tritium)
Angabe der Massenzahl A mit Zeichen für chem. Element eindeutig.
Ausführlich:
1
1
H0
2
1
H1
3
1
H2
Massenzahl M (= Ar relative Atommasse) im Periodensystem der chem. Elemente ist
gewichteter Mittelwert entsprechend der natürlichen Häufigkeit. Bsp: Kohlenstoff:
M(C) = 98,90 % ⋅ M(12C) + 1,10% ⋅ M(13C) + 0,00% ⋅ M(14C) = 12,0107 [ u bzw. g/mol]
6.2.2
Radioaktiver Zerfall
Beobachtung: Atomkerne sind i.A. instabil, d.h. sie zerfallen
in andere Nuklide unter Abgabe von Strahlung
→ Natürliche Radioaktivität:
α - Strahlung: He-Kerne 4He2+
β - Strahlung: Elektronen eγ - Strahlung: Photonen hoher Energie (MeV)
→ Künstliche Radioaktivität:
Positronenstrahlung e+ , Protonenstrahlung p , Neutronenstrahlung n
Physik MBB3-SS2012, Hoeppe
43
A) Zerfallsgesetz
Ein (instabiler) Kern zerfalle mit Wahrscheinlichkeit λ, d.h. er habe eine mittlere
Lebensdauer τ = 1/λ. Messbar nur für große Zahl N von Kernen →
Aktivität einer Stoffmenge/Probe:
N (t ) = N 0 ⋅ e
= N0 ⋅ e
20
−
t
N [ 10
−λ ⋅t
]
dN = −λ ⋅ N ⋅ dt →
A:= λ⋅N
τ
Becquerel : 1 Bq =
32
28
24
20
16
12
8
4
0
1 Ereignis
s
T½ = 20
0
20
40
60
80
100
Zeit
Nach der Zeit t = T½ = τ⋅ln2 ist die Hälfte der Kerne zerfallen.
B) Zerfallsarten
α - Zerfall ( vorwiegend bei schweren Kernen )
A
Z
K
α
⎯
⎯→
A− 4
Z −2
K ∗ + 24He 2 +
β - Zerfall ( Neutron → Proton + Elektron )
A
Z
K
β
⎯⎯→
K ∗ + e−
A
Z +1
γ - Zerfall ( eigentlich Folgereaktion )
A
Z
K∗
γ
⎯
⎯→
K +γ
A
Z
Bsp.:
Physik MBB3-SS2012, Hoeppe
44
6.3
Kernenergie und Massendefekt
Die freiwerdenden Energien beim Kernzerfall, Kernspaltung oder Kernfusion
entspricht freiwerdender Bindungsenergie. Diese sind bei Atomkernen so groß,
dass sie sich entsprechend E = mc² in einem messbaren Massendefekt äußern.
Bsp.: Sauerstoff ist (letztlich aus Wasserstoff) durch Kernfusionsreaktionen im
Inneren von Sternen entstanden. Die dabei freigewordene Energie ’fehlt’ dem
Sauerstoffkern, weshalb er leichter ’als erwartet’ ist:
16
O besteht aus
8 Protonen
8 Neutronen
8 Elektronen
Summe:
8 x mp =
8 x mn =
8 x me =
8 x 1,67262 ⋅10-27 kg
8 x 1,67482 ⋅10-27 kg
8 x 0,00091 ⋅10-27 kg
26,7868 ⋅10-27 kg
Die Masse von 16O ist jedoch 16,1313 u = 26,6395 ⋅10-27 kg, d.h. kleiner!
Entscheidend ist die Summe der Bindungsenergien bzw. Massendefekte aller
beteiligten Nukleonen. Betrachtet man den Massendefekt pro Nukleon, lässt sich
leicht ablesen durch welche Prozesse Energie frei werden kann:
Massendefekt / Nukleon [ MeV ]
0
-1
-2
-3
Kernfusion
-4
Energiegewinn durch Kernspaltung
-5
-6
-7
-8
-9
-10
0
50
100
150
200
250
Nukleonenzahl = Massenzahl A
In obiger (schematischer) Darstellung lässt sich auch zeigen:
- Die leichten Elemente bis ~ 56Fe entstehen unter Energiegewinn
durch Kernfusion in Sternen.
( Anwendung: Fusionsreaktor, Wasserstoffbombe )
- Die schwereren Elemente entstehen unter Energieverbrauch wahrscheinlich
hauptsächlich während Supernova-Explosionen. (Eine Fusion von sehr vielen Nukleonen
zu einem schweren Kern wäre denkbar, ist aber viel zu unwahrscheinlich.)
Umgekehrt wird durch Kernspaltung (in mittelschwere Nuklide) Energie frei.
( Anwendung: Atomkraftwerke, Atombombe )
Physik MBB3-SS2012, Hoeppe
45