P7 Darstellung von Operatoren in zweiter Quantisierung

Übungen zur Theoretischen Festkörperphysik: Vertiefung (TV-2)
4. Präsenzübung am 15. Mai 2014
P7 Darstellung von Operatoren in zweiter Quantisierung
In dieser Aufgabe soll die Darstellung von Einteilchen-Operatoren in zweiter Quantisierung
bestimmt werden.
a) Zeigen Sie zunächst folgendes:
h
i
N̂ ψ̂(xi ) = ψ̂(xi ) N̂ − 1 . ⇔ ψ̂(xi ), N̂ = −ψ̂(xi )
Dabei ist N̂ der Teilchenzahl-Operator und die Feldoperatoren ψ̂(x) und ψ̂† (x) erfüllen
die Vertauschungsrelationen
o
n
o n
o
n
ψ̂(xi ), ψ̂† (xj ) = δ(xi − xj ) .
ψ̂(xi ), ψ̂(xj ) = ψ̂† (xi ), ψ̂† (xj ) = 0 und
b) Zeigen Sie, dass die Darstellung eines Einteilchenoperators α̂ =
Quantisierung
Z
α̂ =
dx ψ̂† (x)α̂(x)ψ̂(x)
PN
i=1
α̂(xi ) in zweiter
lautet (N ist die Teilchenzahl).
Lösung:
a) Der Teilchenzahloperator lautet ausgedrückt durch die Feldoperatoren
Z
N̂ =
dxψ̂† (x)ψ̂(x) .
Dann erhält man unter Verwendung der Vertauschungsrelationen der Feldoperatoren:
Z
Z
N̂ ψ̂(xi ) =
dxψ̂† (x)ψ̂(x)ψ̂(xi ) = − dxψ̂† (x)ψ̂(xi )ψ̂(x)
Z
= − dx δ(x − xi ) − ψ̂(xi )ψ̂† (x) ψ̂(x) = −ψ̂(xi ) + ψ̂(xi )N̂
= ψ̂(xi )(N̂ − 1)
b) Man kann einen N -Teilchen Zustand als
1
√ ψ̂(xN )ψ̂(xN−1 ) . . . ψ̂(x1 ) |n1 , n2 , . . .i = Ψ{n1 ,n2 ,...} (x1 , x2 , . . . xN ) |0i
N!
schreiben.
Dass, dies tatsächlich möglich ist, kann man sich veranschaulichen. Aus der Vorlesung
kennt man bereits
φµ (x) = hx|1µ i = h0| Ψ̂(x) |1µ i
Für den antisymmetrisierten 2 Teilchen Zustand gilt
1
φ{µ,ν} (x1 , x2 ) = √ hx1 , x2 |1µ , 1ν i = h0| Ψ̂(x2 )Ψ̂(x1 ) |1µ , 1ν i .
2
Dass die Gleichung für N Teilchen gilt lässt sich per Induktion zeigen.
Die Darstellung eines Einteilchenoperators in zweiter Quantisierung erhält man nun,
indem man fordert, dass die Matrixelemente des Operators in erster und zweiter Quantisierung gleich sind:
Z
∗ Ψ{n} α̂Ψ{n′ } =
dx1 . . . dxN Ψ∗{n} (x1 , . . . xN )α̂Ψ{n′ } (x1 , . . . xN )
Z
E
D =
dx1 . . . dxN 0 Ψ∗{n} (x1 , . . . xN )α̂Ψ{n′ } (x1 , . . . xN ) 0
*
+
Y
Z
1
Y
N †
1
=
dx1 . . . dxN n1 , n2 , . . . ψ̂(xk ) n′1 , n′2 , . . .
ψ̂ (xj )α̂
N!
j=1
k=N
Der Zustand |n1 , n2 , . . .iN ist ein N -Teilchenzustand, der der N -Teilchen Ortswellenfunktion Ψ{n} (x1 , x2 , . . . xN ) entspricht. Wir werten nun das Integral für einen der
N Summanden aus, aus denen der Einteilchen-Operator α̂ besteht. Dabei werden die
Feldoperatoren solange untereinander und mit dem Teilchenzahloperator vertauscht,
bis ein Ausdruck der Form
Z
dx1 . . . dxi . . . dxN ψ̂† (x1 ) . . . ψ̂† (xN )α̂(x1 )ψ̂† (xi )ψ̂(xi )ψ̂(xN ) . . .
Z
=
dx1 . . . dxN ψ̂† (x1 ) . . . ψ̂† (xN )α̂(x1 )N̂ ψ̂(xN ) . . .
erscheint:
Z
dx1 . . . dxN ψ̂† (x1 ) . . . ψ̂† (xN−1 )α̂(x1 )ψ̂† (xN )ψ̂(xN )ψ̂(xN−1 ) . . . ψ̂(x1 )
. . . ψ̂† (xN−2 )ψ̂† (xN−1 )α̂(x1 )N̂ ψ̂(xN−1 )ψ̂(xN−2 ) . . .
. . . ψ̂† (xN−2 )α̂(x1 )ψ̂† (xN−1 )ψ̂(xN−1 )ψ̂(xN−2 )(N̂ − 2) . . .
(mit Teilaufgabe a))
. . . ψ̂† (xN−3 )ψ̂† (xN−2 )α̂(x1 )ψ̂(xN−2 )ψ̂(xN−3 ) . . . ψ̂(x1 )(N̂ − N + 1) . . .
......
Nachdem über alle Koordinaten außer über x1 integriert wurde erhält man so:
Z
o
n 1
∗ dx1 ψ̂† (x1 )α̂(x1 )ψ̂(x1 ) (N − 1)(N − 2) . . . 1 ×
Ψ{n} α̂Ψ{n′ } =
N!
|
{z
}
(N−1)!
Damit folgt:
α̂ =
Z
dxψ̂† (x)α̂(x)ψ̂(x)
N
|{z}
Zahl der Summanden in α̂
P8 Zweiteilchen-Zustand; Spinstruktur und Parität
Wir betrachten die Parität und die Spin-Struktur eines Zwei-Elektronen Zustandes.
Wir erinnern uns zuerst an die folgende Darstellung eines Quantenzustandes.
a) Zeigen sie, dass
|1i 1j i = ĉ†i ĉ†j |0i .
1
u
Ψ↑↑
ij = √ α(1)α(2) [φi (x1 )φj (x2 ) − φi (x2 )φj (x1 )] = α(1)α(2)Φij (x1 , x2 )
2
1
u
Ψ↓↓
ij = √ β(1)β(2) [φi (x1 )φj (x2 ) − φi (x2 )φj (x1 )] = β(1)β(2)Φij (x1 , x2 ).
2
Es handelt sich um einen Zustand mit einem Elektron im Zustand i und einem weiteren Elektron im Zustand j. Da es sich um einen fermionischen Zustand handelt, ist die Wellenfunktion antisymmetrisch unter Vertauschung der beiden Elektronen, wie man an ĉ†i ĉ†j = −ĉ†j ĉ†i
sieht.
Der folgende Zustand ist ein Zweiteilchenzustand mit einem Elektron am Ort x1 und dem
anderen Elektron am Ort x2 :
1
Ψ↑↓
ij = √ [φi (x1 )φj (x2 )α(1)β(2) − φi (x2 )φj (x1 )α(2)β(1)]
2
1
↓↑
Ψij = √ [φi (x1 )φj (x2 )β(1)α(2) − φi (x2 )φj (x1 )β(2)α(1)]
2
|x1 x2 i = ψ̂† (x1 )ψ̂† (x2 ) |0i .
Die Ortsdarstellung des ersten Zustandes erhält man wie folgt:
1
1
Ψij (x1 , x2 ) = √ hx1 x2 |1i 1j i = √ h0| ψ̂(x2 )ψ̂(x1 )ĉ†i ĉ†j |0i .
2
2
Die Feldoperatoren ψ̂(x) können gemäß
ψ̂(x) =
X
φk (x)ĉk .
k
durch die Operatoren ĉi ausgedrückt werden. Einen analogen Ausdruck erhält man für
ψ̂† (x) durch Hermitische Konjugation. Durch Einsetzen dieser Ausdrücke findet man:
1
Ψij (x1 , x2 ) = √ [φi (x1 )φj (x2 ) − φi (x2 )φj (x1 )]
2
Offensichtlich gilt Ψij (x2 , x1 ) = −Ψij (x1 , x2 ).
Wir haben bislang die Spin-Variable nicht explizit notiert.
Mit spin-abhängigen Basisfunktionen φiγ (γ ∈ {↑, ↓}) bekommen wir für den Zustand
|1iγ , 1jδ i =
ĉ†iγ c†jδ |0i
die Wellenfunktion
Ψγδ
ij (x1 , x2 )
1 = √ φiγ (x1 )φjδ (x2 ) − φiγ (x2 )φjδ (x1 ) .
2
Diese Wellenfunktion ist wie man sofort sieht antisymmetrisch bezüglich des Austauschs
von kompletten Indexpaaren (i, γ) ↔ (j, δ), nicht aber bezüglich des Austauschs einzelner
Indices wie etwa i ↔ j oder δ ↔ γ.
Die Basisfunktionen kann man in einen Orbitalanteil φ und einen Spinanteil α, β separieren:
φi↑ (x1 ) = φi (x1 )α(1)
φi↓ (x1 ) = φi (x1 )β(1).
vier mögliche Zustände sind.
Sie können sich leicht davon überzeugen, dass alle 4 Zustände antisymmetrisch bezüglich
γδ
Teilchenaustauschs sind d.h. Ψγδ
ij (1, 2) = −Ψij (2, 1).
↓↓
Allerdings sind nur für Ψ↑↑
ij und Ψij die Orbital- und Spinanteile separat antisymmetrisch bzw. symmetrisch.
Liegt keine Wechselwirkung zwischen Orbital- und Spinkoordinaten d.h. Spinbahnkopplung vor, so erwartet man, dass es möglich ist, diese Symmetrien bzw. Antisymme↓↓
trien für alle Zustände separat betrachten zu können, wie es bei den Ψ↑↑
ij und Ψij der
Fall ist. Kombinieren Sie die Zustände |1i↑ , 1j↓ i und |1i↓ , 1j↑ i, um auch dort diese
Trennung von Orbital und Spin-Symmetrie oder Antisymmetrie zu erreichen.
b) Zeigen Sie, dass die Zustände
1
√ (c†i↑ c†j↓ + c†i↓ c†j↑ )|0i =
2
1 † †
√ (ci↑ cj↓ − c†i↓ c†j↑ )|0i =
2
1
+
√ (Ψ↑↓
+ Ψ↓↑
ij ) = Ψij
2 ij
1
−
√ (Ψ↑↓
− Ψ↓↑
ij ) = Ψij
2 ij
separat für Spin- oder Zustandsindex bestimmte Parität haben.
c) Zeigen Sie, dass sich Ψ±
ij als
α(1)β(2) + α(2)β(1) u
√
Φij (x1 , x2 )
2
α(1)β(2) − α(2)β(1) g
√
Φij (x1 , x2 ),
=
2
Ψ+
ij =
Ψ−
ij
schreiben lassen. Hierbei sind
1
Φu,g
ij := √ [φi (x1 )φj (x2 ) ∓ φi (x2 )φj (x1 )]
2
gerade und ungerade Kombinationen.
Sie haben nun 4 Zustände mit separater Symmetrie bzw. Antisymmetrie in Spin und
Orbitalanteil. Diese 4 möglichen Zustände sind tabellarisch als
α(1)β(2) + α(2)β(1)
Ψ1,2,3 = α(1)α(2),
√
, β(1)β(2) φu
ij (x1 , x2 )
2
α(1)β(2) − α(2)β(1) g
Ψ4 =
√
φij (x1 , x2 ),
2
gegeben. Es wurde hierbei nach geradem und ungeradem Orbitalteil geordnet.
Übungen zur Theoretischen Festkörperphysik: Vertiefung (TV-2)
4. Hausaufgabe, Abgabe: 20. Mai 2014, 10 c. t. (Kasten im Hörsaal)
Wir erinnern uns an die folgenden Ausdrücke für die Spin-Operatoren:
Ŝ = Ŝ1 + Ŝ2
Ŝ2 = Ŝ21 + Ŝ22 + 2Ŝ1 · Ŝ2 = 43 ~2 + 43 ~2 + 2Ŝz1 Ŝz2 + 2(Ŝx1 Ŝx2 + Ŝy1 Ŝy2 )
Ŝz = Ŝz1 + Ŝz2
(Ŝx1 + iŜy1 )(Ŝx2 − iŜy2 ) + h.c. = 2(Ŝx1 Ŝx2 + Ŝy1 Ŝy2 )
Ŝ2 = 32 ~2 + 2Ŝz1 Ŝz2 + Ŝ+,1 Ŝ−,2 + Ŝ+,2 Ŝ−,1
Ŝ± = Ŝx ± iŜy
Außerdem erinnern wir uns an
Lösung:
Ŝxi =
a) Man erhält diese Zustände, indem man Orts und Spinfunktionen derart kombiniert,
dass sie antisymmetrisch unter (i, γ) ↔ (j, δ) Vertauschung sind.
~
2
0
1
1
;
0
Ŝyi =
~
2
0
i
−i
;
0
Ŝzi =
~
2
1
0
0
−1
(Achtung diese wirken natürlich nur auf Vektoren aus dem zugehörigen Hilbertraum)
und daran, dass für Eigenvektoren V
Ŝ 2 V = ~2 S(S + 1)V ;
b) Dies ergibt sich durch explizites Ausführen dieser Ersetzungen.
c) Wieder ergibt sich die Antwort leicht durch explizites Einsetzen.
Ŝz V = ~ms V.
Wenn wir auf Spin-Funktionen wirken, erhalten wir
Ŝz
α(1)β(2) + α(2)β(1)
√
= 0.
2
α(1)β(2) + α(2)β(1)
α(1)β(2) + α(2)β(1)
√
= 2~2
√
2
2
α(1)β(2)
−
α(2)β(1)
√
=0
Ŝ2
2
Ŝ2
H7 Eigenzustände des Spinoperators
a) Zeigen Sie, dass die 3 geraden Spinzustände von 2 Elektronen (siehe Präsenzübung)
α(1)β(2) + α(2)β(1)
Ψ1,2,3 = α(1)α(2),
, β(1)β(2)
√
2
Spin 1 haben. Zeigen sie weiter, dass die Eigenwerte des Operators Sz für diese
Zustände ∈ {+1, 0, −1} sind.
b) Berechnen Sie Quantenzahlen (S, Eigenwert von Ŝz und Ŝ 2 ), die zum ungeraden
Zustand
α(1)β(2) − α(2)β(1)
√
Ψ4 =
2
gehören.
Lösung:
a) Wendet man Ŝ 2 auf diese Zustände explizit an (mit Pauli Matrizen). So ergibt sich
jeweils
Ŝ 2 Ψ1,2,3 = 2~2 Ψ1,2,3 .
Man kann hier direkt mit Ŝ 2 Ψ1,2,3 = S(S + 1)~2 Ψ1,2,3 = 1(1 + 1)~2 Ψ1,2,3 den Wert
S = 1 ablesen.
Explizite Anwendung des Operators Ŝz auf die Zustände ergibt
Ŝz Ψi = ~mi Ψi ;
mit mi = 1, 0, −1 für i = 1, 2, 3
b) Mit den Formeln aus der Angabe ergibt sich
• Geben Sie die vier möglichen Zustände sowohl in zweiter Quantisierung als auch
in Koordinatendarstellung an.
• Zeigen Sie: Die Matrixdarstellung des Störterms V̂ (x1 −x2 ) lautet unter Verwendung dieser Zustände als Basis für den Unterhilbertraum des ersten angeregten
Zustandes:


C +A
0
0
0
 0
C +A 0
0
,
V̂ = 
 0
0
C A
0
0
A C
wobei die Abkürzungen C, A folgendes bedeuten:
Z Z
1
dx1 dx2 V (x1 − x2 ) |ψ1 (x1 )ψ2 (x2 )|2 + |ψ1 (x2 )ψ2 (x1 )|2
C=
2
Z Z
A=−
dx1 dx2 V (x1 − x2 )Re(ψ1 (x1 )ψ2 (x2 )ψ1 (x2 )ψ2 (x1 ))
Ŝ 2 Ψ4 = 0,
was bedeutet, dass S = 0. Außerdem erhalten wir aus der Angabe
Sz Ψ4 = 0,
also m = 0.
H8 Das Helium-Atom
Der Hamiltonoperator, der das Heliumatom beschreibt, ist durch
Ĥ = −
~2
Ze2
Ze2
e2
(∇21 + ∇22 ) −
−
+
= Ĥ0 + V̂ (x1 − x2 )
2m
x1
x2
|x1 − x2 |
gegeben. Man betrachtet das Heliumatom also als 2 Wasserstoffatome mit Ladungszahl
Z = 2, bei denen die Elektronen über ein Potential V̂ wechselwirken. Im Folgenden werde
V̂ als Störung betrachtet.
Man erhält in 0-ter Ordnung Störungstheorie also die Eigenwertgleichung
c) Bestimmen Sie die Eigenwerte von V̂ . Diese sind die erste Korrektur zu den ungestörten
Energien. Wie lauten die hierzu gehörenden Eigenvektoren, und damit die “richtigen”
Wellenfunktionen? Zeichnen Sie ein Energieniveauschema für die gestörten Zustände.
Notieren Sie in Ihrem Energieniveauschema auch die Gesamtspins der Zustände. Was
fällt Ihnen auf?
Lösung:
(0)
Ĥ0 Ψ
(0)
=E
(0)
Ψ
(0)
a) Für die Energie gilt (Wasserstoffatom!): En1 n2 = −
,
4
−4 me
~2
mit den Eigenzuständen
(0)
Ψn
1 n2
σ1 , σ2
(0)
Hierbei sind Ψ n
Elektronen.
1 n2
σ1 , σ2
Z2
2n2
1
+
Z2
2n2
2
me4
~2
0 =
⇒ E11
Die Wellenfunktion muss bezüglich des Austauschs von Teilchen 1 und 2 antisymmetrisch sein. In zweiter Quantisierung gilt also
(x1 , x2 ) = Ψn1 (x1 )Ψn2 (x2 )χ(1, 2).
|Ψ(0) i = |1↑ , 1↓ i = c†1↑ c†1↓ |0i .
wasserstoffartige Wellenfunktionen, χ(1, 2) ist die Spinfunktion zweier
In Koordinatendarstellung erhält man die Kombination
a) Betrachten Sie zuerst den Grundzustand n1 = n2 = 1
Ψ
(0)
• Welche Energie E11 besitzt der ungestörte Grundzustand?
• Wie sieht der Grundzustand |Ψ(0) i in zweiter Quantisierung aus?
• Geben Sie auch die Koordinatendarstellung von
|Ψ(0) i
an.
b) Betrachten Sie nun die ersten angeregten Zustände: n1 = 1,
2, n2 = 1 je nach Nummerierung)
(0)
n2 = 2 (oder n1 =
• Welche Energie E12 besitzt ein solcher ungestörter Zustand?
(0)
11
σ1 , σ2
(x1 , x2 ) = Ψ1 (x1 )Ψ1 (x2 )
4
α(1)β(2) − α(2)β(1)
p
(2)
0 = −2, 5 me . Die Zustände in beiden Darstellungen sind
b) Die Energie hier lautet: E12
~2
gegeben durch:
1
↑↑
† †
|Ψ↑↑
12 i = c1↑ c2↑ |0i ; ψ12 = √ α(1)α(2) [ψ1 (x1 )ψ2 (x2 ) − ψ1 (x2 )ψ2 (x1 )]
2
1
↓↓
† †
↓↓
|Ψ12 i = c1↓ c2↓ |0i ; ψ12 = √ β(1)β(2) [ψ1 (x1 )ψ2 (x2 ) − ψ1 (x2 )ψ2 (x1 )]
2
1
↑↓
↑↓
† †
|Ψ12 i = c1↑ c2↓ |0i ; ψ12 = √ [ψ1 (x1 )ψ2 (x2 )α(1)β(2) − ψ1 (x2 )ψ2 (x1 )α(2)β(1)]
2
1
† †
↓↑
|Ψ↓↑
√
[ψ1 (x1 )ψ2 (x2 )β(1)α(2) − ψ1 (x2 )ψ2 (x1 )β(2)α(1)]
i
=
c
c
|0i
;
ψ
=
12
12
1↓ 2↑
2
Zur Verifizierung der Matrixdarstellung müssen die entsprechenden Matrixelemente
ausgerechnet werden, wozu man die Orthonormalität der Spinfunktionen ausnutzen
muss. Exemplarisch sei hier eines explizit berechnet:
Z Z
h
i
1
↑↓
dx1 dx2 V (x1 − x2 ) ψ1 (x1 )ψ2 (x2 )α(1)β(2) − ψ1 (x2 )ψ2 (x1 )α(2)β(1)
hΨ↑↓
|
V̂
|Ψ
i
=
12
12
2
[ψ1 (x1 )ψ2 (x2 )α(1)β(2) − ψ1 (x2 )ψ2 (x1 )α(2)β(1)] =
Z Z
h
i
1
=
dx1 dx2 V (x1 − x2 ) ψ1 (x1 )ψ2 (x2 )ψ1 (x1 )ψ2 (x2 ) + ψ1 (x2 )ψ2 (x1 )ψ1 (x2 )ψ2 (x1 ) =
2
Z Z
1
dx1 dx2 V (x1 − x2 ) |ψ1 (x1 )ψ2 (x2 )|2 + |ψ1 (x2 )ψ2 (x1 )|2 = C
2
Die anderen nicht-verschwindenden Elemente sind:
↑↑
↓↓
↓↓
hΨ↑↑
12 |V̂ |Ψ12 i = hΨ12 |V̂ |Ψ12 i = C + A
↑↓
↓↑
↓↑
hΨ↑↓
12 |V̂ |Ψ12 i = hΨ12 |V̂ |Ψ12 i = C
↓↑
↓↑
↑↓
hΨ↑↓
12 |V̂ |Ψ12 i = hΨ12 |V̂ |Ψ12 i = A
c) Das Berechnen der Eigenwerte führt zu: λ1,2,3 = C + A, die zum Gesamtspin S = 1
gehören und λ4 = C − A mit S = 0. Das ergibt folgendes Energieniveauschema:
S=1 ↑↑
Orthohelium
S=0 ↑↓
Parahelium
S=0 ↑↓
Je nach Gesamtspin spricht man vom Ortho-Helium (S = 1) bzw. Para-Helium
(S = 0). Die “richtigen” Wellenfunktionen
entsprechen also den Eigenzuständen des
Gesamtspins: √1 Ψ↑↓ ± Ψ↓↑ (siehe auch H7).
2