T - Institut für Experimentelle Physik

PHYS3100 Grundkurs IIIb für Physiker
Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universität Ulm
[email protected]
Vorlesung nach
Leisi, Tipler, Gerthsen, Känzig, Alonso-Finn
Skript: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003
Übungsblätter und Lösungen:
http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk3b-2002-2003/ueb/ue#
23. Januar 2003
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http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003
23. Januar 2003
Selbstinduktivität
φB = L · I
(1)
Die Einheit der Induktivität ist
Wb
T · m2
1H = 1Henry = 1
=1
A
A
Lange, dicht gewickelte Spule
B = µ0
N
I
`
(2)
Dabei ist N = n · ` die Anzahl Windungen auf der Länge `. Hat die Spule
den Querschnitt A, so ist der Fluss
N2
φB = N · B · A = µ0 I · A = µ0n2A`I
`
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(3)
1
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Damit ist die Induktivität der Spule
φB
N2
L=
= µ0 A = µ0n2A`
I
`
(4)
Die magnetische Permeabilität µ0 kann also auch als
µ0 = 10−7
Henry
m
(5)
Die Änderung der Stromstärke bedingt eine Änderung des magnetischen
Flusses.
dφB
d(LI)
dI
=
=L
(6)
dt
dt
dt
dφm
dI
(7)
U =−
= −L
dt
dt
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2
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Transformator
Zwei gekoppelte Stromkreise
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3
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Der magnetische Fluss am Punkt P2 hängt sowohl vom Strom I2 wie
auch vom Strom I1 ab:
φB (P2) = L2 · I2 + M12 · I1
(8)
Ebenso hängt der magnetische Fluss am Punkt P1 von beiden Strömen ab
φB (P1) = L1 · I1 + M21 · I2
(9)
Neben der Selbstinduktivität Li müssen bei realen Systemen auch die Gegeninduktivitäten Mij berücksichtigt werden. Wie bei den Induktivitäten
hängt auch bei den Gegeninduktivitäten die Grösse allein von der Geometrie
ab.
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4
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Transformator II
Symbolische Darstellung eines Transformators
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5
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Behauptung: M12 = M21
B1 = µ0n1I1
(10)
Ausserhalb der Spule 1 ist das Magnetfeld B1 = 0 (Annahme einer langen
Spule). Deshalb ist der Fluss durch den Strom I1 für die Spule 2 gegeben
durch
φB2 = N2 · B1(πr12) = n2`B1(πr12) = µ0n1n2`(πr12)I1
(11)
Die Gegeninduktivität M12 ist also
M12 =
φB2
= µ0n1n2`(πr12)
I1
(12)
Im entgegengesetzten Falle beginnen wir mit
B2 = µ0n2I2
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(13)
6
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Der für die Spule 1 relevante Fluss ist durch die von der Spule 1 umschlossene
Fläche, also N1(πr12) gegeben.
φB1 = N1 · B2(πr12) = n1`µ0n2I2(πr12) = µ0n1n2`(πr12)I2
(14)
Damit wird die Gegeninduktivität
M21
φB1
=
= µ0n1n2`(πr12) = M12
I2
(15)
Diese Beziehung, die an einem Spezialfall gezeigt wurde, gilt auch allgemein
(ohne Beweis).
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Transformator III
Schematischer Aufbau eines Transformators
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dφB
(16)
dt
Diese Spannung muss durch die Wechselspannungsquelle U erzeugt werden
UL,1 = N1
U = UL,1 = N1
dφB
dt
(17)
Durch die Anordnung des Eisens wird erreicht, dass der gesamte durch die
erste Spule erzeugte magnetische Fluss durch die zweite Spule fliesst. Dort
haben wir die induzierte Spannung
dφB
U2 = −N2
dt
N2
U2 = − U1
N1
N2/N1 heisst der Übersetzungsfaktor des Transformators.
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(18)
(19)
9
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Wird der Ausgang des Transformators mit dem Ohmschen Widerstand R
belastet, fliesst der Strom I2, der zu U2 in Phase ist. Dieser Strom erzeugt
einen magnetischen Fluss φ0B ∝ N2I2, der den ursprünglichen Fluss φB
durch die Spule 2 schwächt. Da durch beide Spulen der gleiche magnetische
Fluss fliesst, muss auch der Fluss durch die erste Spule geschwächt werden.
Da die Spannung durch die Spannungsquelle U vorgegeben ist, muss der
Strom I1 auf der Primärseite zusätzlich fliessen, so dass φ0B ∝ N1I1 gilt.
I2 = −
N1
I1
N2
Wenn wir die Effektivwerte betrachten haben wir damit
·
¸·
¸
N2
N1
U2I2 = − U1 − I1 = U1I1
N1
N2
(20)
(21)
sofern man Verluste vernachlässigt. Ideale Transformatoren übertragen
also verlustfrei Leistung.
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Kirchhoffsche Gesetze
Kirchhoffsche Gesetze: links die Maschenregel, rechts die Knotenregel.
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In einer komplizierten elektrischen Schaltung betrachtet man eine einzelne Masche. Nach der definition der EMK muss eine Probeladung langsam
um die Masche herumgeführt werden. Dies führt auf die Maschenregel
X
∀k
X
Uk =
∀j
Quellen
Uj
(22)
Verbraucher
wobei die Vorzeichen entsprechend dem Umlaufsinn einzusetzen sind. In
unserem Beispiel bedeutet dies:
U1 − U2 = UR + UL
Die Knotenregel ist ein Ausdruck für die Ladungserhaltung. An jedem
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Knoten gilt
X
∀k
Ik = 0
(23)
eines Knotens
Mit diesen beiden Regeln sowie der Kenntnis der Charakteristika der
Bauelemente kann jede statische oder quasistatische elektronische Schaltung
berechnet werden.
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Impedanzen
In diesem Abschnitt betrachten wir die Wirkung von cosinusförmigen
Wechselspannungen
U ≡ U (t) = U0 cos (ωt − ϕ)
(24)
Die Zeitskala für die Wechselspannung wird so gewählt, dass ϕ = 0 ist.
Weiter setzen wir voraus, dass die zeitliche Änderung aller Grössen so
gering sind, dass wir wie im stationären Falle rechnen können. Wir dies den
quasistationären Fall.
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Definition von Strömen und Spannungen bei Wechselspannungen
Da bei Wechselspannungen a priori keine Stromrichtung vorgegeben ist,
definiert man, zum Beispiel wie in der Abbildung oben, die Stromrichtung
zu einem bestimmten Zeitpunkt, hier für t = 0. Zu jedem Zeitpunkt muss
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die Spannung im Stromkreis insgesamt null sein. Also ist
U − UR = 0
(25)
und mit dem Ohmschen Gesetz
U0 cos(ωt) − I · R = 0
(26)
oder
I(t) =
U0
cos(ωt) = I0 cos(ωt)
R
(27)
Der Strom und die Spannung erreichen immer dann einen Extremwert,
wenn ωt ein ganzzahliges Vielfaches von π ist. Der durch einen Widerstand
fliessende Strom ist in Phase mit der Spannung.
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Die momentane Leistung am Widerstand ist
U0
U02
P (t) = U (t) · I(t) = U0 cos(ωt) ·
cos(ωt) =
cos2(ωt) = I02R cos2(ωt)
R
R
(28)
­ 2 ®
Der Mittelwert der Leistung ist ( cos ωt t = 1/2)
1 U02 1 2
hP (t)it =
= I R
2R
2
(29)
Unter dem Effektivwert der Spannung (des Stromes) versteht man
diejenige Gleichspannung, die an einem Ohmschen Widerstand die gleiche
Verlustleistung erzeugt. Also ist für sinusförmige Spannungen
1
Uef f = √ U0
2
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(30)
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beziehungsweise
1
Ief f = √ I0
2
(31)
Für beliebige Spannungsverläufe (Stromverläufe) ist der Effektivwert (auch
rms-Wert von ”Root Mean Square”)
Uef f = Urms
v
u t+T
u Z
u1
=t
U 2(τ )dτ
T
(32)
t
wobei T eine Zeit ist, die bei periodischen Signalen der Periodendauer
entspricht und bei zufälligen Signalen lang gegenüber der charakteristischen
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Zeitdauer der Schwankungen sein muss. Für Ströme gilt die analoge Formel
v
u t+T
u Z
u1
Ief f = Irms = t
I 2(τ )dτ
(33)
T
t
Spule mit Wechselspannung
Die induzierte Spannung ist der Flussänderung entgegengesetzt. Sie wirkt
so, dass die Zunahme des Stromes bei zunehmender Anregungsspannung
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gebremst wird. Deshalb ist
U − UL = 0 = U − L
dI
dt
(34)
Setzen wir U = U0 cos(ωt) ein, erhalten wir
dI
U0
=
cos(ωt)
dt
L
(35)
und damit
U0
I(t) =
L
Zt
0
U0
U0
π
cos(ωτ )dτ =
sin(ωt) =
cos(ωt − )
Lω
Lω
2
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(36)
20
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Der Strom hat also den Scheitelwert
I=
U0
U0
=
ωL XL
(37)
wobei XL = ωL die Impedanz oder der induktive Widerstand der Spule
ist. Die Einheit der Impedanz ist gleich wie die Einheit des Widerstandes,
das Ohm. Der Strom folgt der Spannung mit einer Phasenverschiebung von
−π/2. Für die Effektivwerte gilt Ief f = Uef f /XL, da für sinusförmige Spannungen und Ströme der gleiche Faktor zur Umrechnung von Scheitelwerten
zu Effektivwerten verwendet werden muss.
Die momentan dissipierte Leistung an einer Spule ist
π
U02
U0
cos(ωt − ) =
cos(ωt) sin(ωt)
P (t) = U (t) · I(t) = U0 cos(ωt) ·
ωL
2
ωL
(38)
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21
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Die dissipierte Leistung kann sowohl positiv wie auch negativ sein. Die
mittlere dissipierte Leistung ist
U02
hP it =
hcos(ωt) sin(ωt)it = 0
ωL
(39)
Im Mittel wird also keine Leistung an einer Spule dissipiert.
Kondensator mit Wechselspannung
Beim Kondensator ist UC = q/C. Diese Spannung muss gleich der
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treibenden Spannung sein.
q
U − UC = 0 = U −
C
(40)
Wir setzen U ein und erhalten
q = C · U0 cos(ωt)
(41)
Der Strom ist dann für den Strom
I=
d
π
dq
= C ·U0 cos(ωt) = −Cω ·U0 sin(ωt) = Cω ·U0 cos(ωt+ ) (42)
dt
dt
2
Wir nennen
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1
XC =
ωC
(43)
23
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die Impedanz des Kondensators. Der Scheitelwert des Stromes ist
I0 = ωCU0
(44)
Analog wie bei der Spule gilt die Gleichung Ief f = Uef f /XC mit der
gleichen Begründung auch für Kondensatoren. Die momentan dissipierte
Leistung ist
P (t) = ωCU02 cos(ωt) sin(ωt)
(45)
Sie ist, analog wie bei der Spule, positiv oder negativ. Deshalb ist die
mittlere dissipierte Leistung
hP (t)it = ωCU02 hcos(ωt) sin(ωt)it = 0
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(46)
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Schwingkreis
Der Kondensator soll zur Zeit t = 0 auf die Spannung UC,0aufgeladen
sein. Zur Zeit t = 0 wird der Schalter geschlossen. Die Differentialgleichung
dieser Schaltung lautet:
dI Q
L + =0
(47)
dt C
Wir differenzieren einmal und bekommen
1
d2I
+
I=0
dt2 LC
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(48)
25
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Dies ist die aus der Mechanik bekannte Schwingungsdifferentialgleichung.
Durch Analogieschluss sieht man, dass die Resonanzfrequenz
r
ω0 =
1
LC
(49)
ist.
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26
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Schwingkreis mit Widerstand
Der gedämpfte Schwingkreis enthält neben dem Kondensator und der
Spule auch einen Widerstand. Die Differentialgleichung des gedämpften
Schwingkreises ist
dI
Q
L +R·I + =0
(50)
dt
C
Wir differenzieren einmal und bekommen
1
d2I R dI
+
+
I=0
dt2 L dt LC
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(51)
27
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R
Analog zur Mechanik ist die C
der Dämpfungsterm. Das in der Mechanik
berechnete Verhalten eines schwingungsfähigen Systems gilt auch für den
elektrischen Schwingkreis.
Wenn der elektrische Schwingkreis von einer Wechselspannungsquelle
getrieben wird, ergeben sich die gleichen Phänomene wie bei einem getriebenen Pendel, also auch eine Resonanz.
Anwendungen
• Schwingkreise zur Signalfilterung in Radioempfängern
• Verhalten von langen Leitungen
• Verhalten elektrischer Maschinen
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Elektromotoren
Prinzipbild eines Elektromotors
Wir betrachten zuerst den Elektromotor als Generator. Der Fluss durch
die Leiterschlaufe mit N Windungen und einer Fläche A ist
φB = N BA cos Θ
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(52)
29
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wobei Θ der Winkel zwischen der Normalen der Fläche der Leiterschlaufe und
der Richtung des Magnetfeldes ist. Mit Θ = ωt + δ wird der zeitabhängige
Fluss durch eine sich mit ω drehende Leiterschlaufe
φB (t) = N BA cos(ωt + δ)
(53)
Durch Ableiten erhält man die Induktionsspannung
dφB (t)
d
U =−
= −N BA cos(ωt + δ) = N BAω sin(ωt + δ)
dt
dt
(54)
Die induzierte effektive Spannung ist
Uef f,i
N BAω
= √
2
(55)
Wenn die Leiterschlaufe mit Spannung versorgt wird, arbeitet sie als Motor.
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30
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Durch den Strom I wird ein Drehmoment
M = N AB · I · sin Θ
(56)
erzeugt1. Das mittlere Drehmoment bei einem Motor, bei dem der Kommutator immer bei dem Winkel, bei dem das Drehmoment null wird, das
Vorzeichen ändert, ist
N AB
(57)
Mef f = √ I
2
Wenn der Widerstand des Ankers, der rotierenden Spule, R ist, kann man
den mittleren Strom berechnen
Ief f
1
U − Uef f,i U N BA
=
= − √ ω
R
R
R 2
(58)
Beachte die Phasenverschiebung zwischen Fluss und Drehmoment!
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31
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Damit hängt das Drehmoment von der Drehzahl ab
N AB
Mef f (ω) = √
2
µ
U N BA
− √ ω
R
R 2
¶
N ABU N 2A2B 2
√ −
ω
=
2R
R 2
(59)
Das Drehmoment des ruhenden Motors ist also
Mef f (0) = Mmax =
N ABU
√
R 2
(60)
und die maximale Drehzahl (da wo Mef f = 0) ist
√
ωmax
2U
=
N AB
(61)
Diese Charakteristik hat man immer dann, wenn das erregende Feld B
unabhängig von der Drehzahl ist, bei Permanentmagneten oder wenn die
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32
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Spule für die Erregerwicklung parallel zum Anker angeschlossen ist. Will
man die Drehzahl erhöhen, muss man das Feld B schwächer machen.
Ist die Erregerwicklung in Serie zur Ankerwicklung geschaltet, gibt es
keine maximale Drehzahl. Eine lange Zylinderspule (Länge `, Windungszahl
N ) hat das Magnetfeld
BZ = µ0
N
I
`
(62)
Für andere Geometrien gilt das gleiche Gesetz, aber mit einem geometrieabhängigen Vorfaktor K. Im statischen Falle ist der Strom nur vom
Gleichstromwiderstand RE der Erregerspule abhängig. Wenn UE der Spannungsabfall an der Erregerspule ist, ist
NE UE
NE
B(UE ) = Kµ0
== Kµ0
IE
`E RE
`E
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(63)
33
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Der durch den Anker fliessende Strom ist dann durch
Ief f
U − UE − Uef f,i U UE N B(UE )A
√
= −
−
ω
=
R
R
R
R 2
(64)
gegeben. Da Ief f = IE ist, gilt
Ief f
U RE
µ0 · K · N · NE · A
√
= −
Ief f −
Ief f ω
R
R
`E R 2
oder
Ief f =
U
R + RE +
Damit wird das Drehmoment
µ0 ·K·N√·NE ·A
ω
`E 2
U
N AB
√
Mef f (ω) =
√·NE ·A ω
2 R + RE + µ0·K·N
`
2
(65)
(66)
(67)
E
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34
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Dieser Motor hätte, ohne Lagerreibung, eine unendlich grosse maximale
Drehzahl. Das Startdrehmoment für ω = 0 ist
N AB U
Mef f (0) = Mmax = √
2 R + RE
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(68)
35
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Betatron
Die Idee hinter der Konstruktion des Betatrons ist, dass bei einem
~
~ = −∂ B/∂t
~
zeitabhängigen B-Feld
nach rot E
auch ein zeitabhängiges
~
E-Feld
existiert.
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36
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~ = −∂ B/∂t
~
Nach dem Induktionsgesetz rot E
hat das durch ein in
die z-Richtung zeigende Magnetfeld induzierte elektrische Feld keine z~
Komponente. Nehmen wir an, dass das E-Feld
eine Radialkomponente hätte.
Sie könnte zum Beispiel in die y-Richtung zeigen. Rotieren wir die ganze
~
Anordnung um π um die y-Achse und kehren die Richtung des B-Feldes
um, haben wir wieder die Ausgangsanordnung. Mit der Richtungsumkehr
~ hat aber auch E
~ die Richtung geändert (Induktionsgesetz). Dies ist
von B
aber im Widerspruch zur Ausgangssituation. Deshalb kann es kein radiales
~
~
E-Feld
geben: das E-Feld
ist tangential und beschleunigt die geladenen
Teilchen. Damit die Teilchen auf der Kreisbahn bleiben, muss
v2
m = e · v · B(t)
R
(69)
mv(t) = p(t) = e · B · R
(70)
oder
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37
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Das zweite Newtonsche Axiom in tangentialer Richtung angewandt bedeutet
dp(t)
= eE(t)
dt
(71)
Mit der Integralform des Induktionsgesetzes erhält man mit einer Kreisbahn
S(R) mit dem Radius R
I
d
~
E(t) · d~s = E(t) · 2πR = −
dt
S(R)
ZZ
dB̄(t)
~
B(t) · d~a =
· πR2
dt
(72)
A(R)
~
wobei B̄ das über die Fläche des Kreises gemittelte B-Feld
ist. Durch Kombination der obigen Gleichungen und unter Berücksichtigung der Vorzeichen
erhalten wir
dp(t) e · R dB̄
=
·
(73)
dt
2
dt
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Die Integration mit den Anfangsbedingungen p(0) = 0 und B(0) = 0 liefert
e·R
p(t) =
· B̄(t)
2
(74)
Der Vergleich mit der Bedingung für die Zentripetalkraft liefert die WideroeBedingung
B̄(t) = 2 · B(t)
(75)
Diese Bedingung kann durch eine geeignete Wahl der Form der Polschuhe
erreicht werden.
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Skin-Effekt
Berechnung des Skin-Effektes
Bei Gleichstrom in einem zylindrischen Leiter ist das elektrische Feld konstant über dem Querschnitt. Nach dem Ampèreschen Durchflutungsgesetz
ist das Magnetfeld proportional zum Abstand.
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Für den Fall eines Wechselstroms mit niedriger Frequenz müssen wir das
Induktionsgesetz berücksichtigen. Nach dem Induktionsgesetz gilt für die
Kurve S, die auf einer Ebene, in der auch die Zylinderachse liegt, liegt
I
~ · d~s = − d
E
dt
S
ZZ
~ · d~a
B
(76)
A(S)
Für die eingezeichnete Schlaufe gilt
dB̄
h [E(r − ∆r) − E(r)] =
· h · ∆R
dt
(77)
wobei wieder B̄ das über die Fläche ∆r · h gemittelte Magnetfeld ist.
~
ortsabhängig sein.
Da der Strom zeitabhängig ist, muss auch das E-Feld
Eine homogene Stromverteilung bei Wechselstrom ist bei einem Ohmschen
Leiter nicht vereinbar mit dem Induktionsgesetz. Die Taylorentwicklung
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von Gleichung (76) liefert die betragsmässige Bedingung
∂E(r, t) ∂ B̄(r, t)
=
∂r
∂t
(78)
Das elektrische Feld muss also bei Wechselstrom mit zunehmendem Abstand
vom Radius zunehmen. Da der Gesamtstrom gegeben ist, ist die Stromdichte
an der Oberfläche konzentriert. Dies ist der Skin-Effekt.
Anwendung
• Bei Überlandleitungen wird um ein Stahlseil Kupfer (Luxusausführung)
oder Aluminium (das Übliche) gewickelt. Dies erhöht den Widerstand
kaum, da der Skin-Effekt die Stromleitung bei 50Hz auf etwa 1cm Tiefe
beschränkt.
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Energie im Magnetfeld
Berechnung der Energie im Magnetfeld
Wir betrachten eine mit einer Wechselstromquelle U (t) = U0 sin(ωt)
verbundene reale Spule. Diese Spule wird modelliert durch einen Widerstand
R und eine ideale Spule L. Die Differentialgleichung dieses Kreises lautet
˙ + R · I(t)
U (t) = L · I(t)
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(79)
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Die stationäre Lösung dieser Gleichung hat die Form
IS (t) = I0 cos(ωt − δ)
(80)
Für den Fall, dass R ¿ ωL ist, bekommt man
U0
IS (t) = −
· cos ωt
ωL
(81)
Die momentane Leistung der Spannungsquelle ist
U02
U02 1
PU (t) = U (t) · I(t) = −
· sin ωt · cos ωt = −
· sin(2ωt)
ωL
ωL 2
(82)
~
Die Leistung der Spannungsquelle kann nur die Energie des B-Feldes
ändern, da wir keine dissipativen Elemente haben (R = 0). Wenn man
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die Differentialgleichung für den Fall mit I(t) multipliziert, bekommt man
d
˙
PU = U (t) · I(t) = L · I · I =
dt
µ
L 2
I
2
¶
(83)
Nun ist aber P = dE/dt. Damit ist die Energie des Magnetfeldes
EL =
L 2
I
2
(84)
Um die Energiedichte eines Magnetfeldes zu berechnen betrachten wir eine
Spule
B = µ0nI
(85)
mit der Selbstinduktivität
L = µ0n2A`
(86)
wobei A der Querschnitt der Spule und ` ihre Länge ist. Eingesetzt in die
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Gleichung für die Energie EL bekommt man
1
EL = · µ0n2A` ·
2
µ
B
µ0n
¶2
B2
=
A`
2µ0
(87)
~
Deshalb ist die Energiedichte des B-Feldes
B2
wB =
2µ0
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(88)
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Kugeln im inhomogenen Magnetfeld
Diamagnetische (Bi), paramagnetische (Al) und ferromagnetische (Fe) Materialien im inhomogenen Magnetfeld.
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Materie im Magnetfeld
diamagnetisches Verhalten Die Materie wird aus dem starken magnetischen Feld herausgedrückt.
paramagnetisches Verhalten Die Materie wird in das starke Feld hineingezogen.
ferromagnetisches Verhalten Die Materie wird in das starke Feld hineingezogen, aber sehr viel stärker als bei paramagnetischen Substanzen.
Zudem zeigen diese Substanzen ein remanentes Magnetfeld, auch wenn
das äussere Magnetfeld wieder verschwunden ist.
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Kreisströme als Ursache des Dia- und des Paramagnetismus
Die Materie im inhomogenen Magnetfeld verhält sich wie wenn die
Materie aus einem Kreisstrom bestände. Auf diesen Kreisstrom wirkt, je nach
Umlaufsinn eine Kraft zum hohen oder zum niedrigen Feld. Das magnetische
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~ Beim
Moment der Kreisströme ist beim Diamagnetismus antiparallel zu B.
Paramagnetismus und beim Ferromagnetismus zeigt das magnetische
~ Der Kreisstrom ist induziert, das heisst,
Moment in die Richtung von B.
~ abhängt. Die resultierende Kraft ist
dass seine Richtung von der von B
~ × d~`. Wenn
die Biot-Savart-Kraft. Sie ist proportional zum Produkt B
man die Richtung des Magnetfeldes umkehrt, wird auch d~` umgekehrt. Die
~
Richtung der Kraft ist als unabhängig von der Richtung von B.
Wenn der Kreisstrom (die Materie) sich auf der Symmetrieachse eines
rotationssymmetrischen inhomogenen Magnetfeldes befindet, ist
∂Bz (z, 0)
Fz = mz ·
∂z
(89)
wobei mz das induzierte magnetische Moment des Kreisstromes ist.
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Satz von Larmor
Illustration zum Satz von Larmor
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Langsames Einschalten eines Magnetfeldes für ein Elektron in
einem Atom. Im Linken Schaubild sind die positiven Richtungen
definiert.
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Larmorwinkelgeschwindigkeit
e
~ =
~
Ω
B
2me
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(90)
In einem mit der Winkelgeschwin~ rotierenden System sind
digkeit Ω
die Elektronenbahnen im Atom unverändert.
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Berechnung der Larmorfrequenz mit einem Kreisel
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Diamagnetismus
Berechnung des Diamagnetismus
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Im diamagnetischen Atom ist die Summe aller magnetischer Momente
der Elektronen exakt null.
m
~A=
X
m
~j=0
(91)
j
Man kann sich dies vereinfacht so vorstellen, dass jede Elektronenbahn von
zwei gegenläufigen Elektronen besetzt ist. Ein diamagnetisches Atom hat
~
eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung.
deshalb, ohne äusseres B-Feld
Diese entsteht, weil sich die einzelnen Elektronenbewegungen über die Zeit
ausmitteln.
~
Wenn ein B-Feld
eingeschaltet wird, beginnt diese kugelsymmetrische
Ladungsverteilung mit der Larmorfrequenz zu präzedieren. Durch diese
Präzession im Magnetfeld entsteht ein von null verschiedenes magnetisches
Moment m
~ A, das zum Diamagnetismus führt. Zur vereinfachten Berechnung
nimmt man an, dass das Atom eine homogen geladene Kugel ist mit der
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Ladungsdichte
ρel = −
Ze
(4/3)πR3
(92)
wobei Z die Kernladungszahl und R der Radius der Elektronenwolke ist.
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Ein einzelner Kreisstrom
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Diese homogen geladene Kugel rotiert im äusseren Magnetfeld mit
e
Ω=
B
2m
(93)
Durch ein raumfestes Flächenelement fliesst der Strom
δI = ρel · r · dr · dϕ · v(r, ϕ)
(94)
v(r, ϕ) = Ω · r · sin ϕ
(95)
mit
Da die Ladungen negativ sind, ist das magnetische Moment m
~ A entgegen~ und entgegengesetzt zu B,
~ hier also nach unten, gerichtet.
gesetzt zu Ω
Dieses magnetische Moment ist
δmA(r, ϕ) = Fläche · Strom = πr2 sin2 ϕ · δI
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(96)
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oder
δmA(r, ϕ) = πr2 sin2 ϕ · ρel · r · dr · dϕ · v(r, ϕ)
(97)
= πr2 sin2 ϕ · ρel · r · dr · dϕ · Ω · r · sin ϕ
= πr4 sin3 ϕ · ρel · Ω · dr · dϕ
Der Betrag des gesamten magnetischen Momentes erhält man durch Integration über r und ϕ Er ist
ZR Zπ
δmA(r, ϕ)drdϕ
|m
~ A| =
0
(98)
0
Zπ
ZR
0
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sin3 ϕ · dϕ
r4 · dr ·
= π · ρel · Ω ·
0
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ZR
4
r · dr ·
3
4
= π · ρel · Ω ·
0
R5 4
= π · ρel · Ω ·
·
5 3
Z ·e
R5 4
= π · 4π 3 · Ω ·
·
5 3
3 R
Z · e eB R5 4
= π · 4π 3 ·
·
·
2me 5 3
3 R
=
Z · e2 · B · R2
10me
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Vektoriell geschrieben erhalten wir für das diamagnetische Moment
Z · e2 · R 2 ~
m
~A=−
B
10me
(99)
Diese diamagnetische Moment ist in allen Atomen vorhanden. Bei
paramagnetischen und ferromagnetischen Substanzen wird es unterdrückt.
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Magnetisierung
Atomare Kreisströme
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Elektronenspin
Ne-
Elektronenspin
ben den von der Bahnbewegung herrührenden magnetischen Momenten hat
zum Beispiel das Elektron ein magnetisches Moment, das von seinem DreUniversität Ulm, Experimentelle Physik
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himpuls ~s (Spin) herrührt. Zu diesem Drehimpuls oder Spin gehört ein
entsprechendes magnetisches Moment m
~ s. Aus der Quantenmechanik weiss
man, dass die Projektion des Spins auf eine raumfeste Achse einen festen
Betragswert
1h
1
sz =
= h̄
(100)
2 2π 2
hat, wobei das Plancksche Wirkungsquantum durch
h = 6.63 × 10−34Js
(101)
oder
h̄ ≈ 10−34Js
ist. Nach der Quantenmechanik gilt
e
m
~ s = − ~s
m
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(102)
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Nach der klassischen Mechanik (rotierende homogen geladene Kugel) wäre
e
m
~ s = −(1/2) m
~s. Die Grösse des magnetischen Momentes eines Elektrons
ist
e1
|ms,z | =
(103)
h̄ ≡ 1µB = 0.927 × 10−23A · m2
m2
auch bekannt unter dem Namen Bohrsches Magneton.
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Paramagnetismus
Curie-Gesetz
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Ferromagnetismus
Messung der Hysterese eines Ferromagneten. Rot ist der
Primärkreis, grün der Sekundärkreis.
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Unter Vernachlässigung der Selbstinduktion ist die Differentialgleichung
für den Sekundärkreis
dB(t) Q(t)
−A ·
−
= R · I2(t)
dt
C
(104)
Dabei ist Q(t) die Ladung am Kondensator. Wir schreiben den Strom als
zeitliche Ableitung der Ladung.
A dB(t) Q(t) dQ(t)
− ·
=
+
R
dt
RC
dt
(105)
Die Anregung in dieser Schaltung ist ein Strom I1(t), der die Frequenz ω hat.
Also ist auch Q(t) eine periodische Funktion mit der gleichen Frequenz. Bei
harmonischen Funktionen gilt, dass dQ(t)/dt ≈ ωQ(t) ist. Wenn 1/RC ¿
ω ist, kann der erste Term auf der rechten Seite vernachlässigt werden.
Dann gilt
Q(t) = const · B(t)
(106)
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und damit für die Spannung am Kondensator
UC (t) = Q(t)/C ∝ B(t)
(107)
Der Ausgangsstrom selber erzeugt das anregende Feld.
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Hysteresekurve eines Ferromagneten
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Ferromagnetische Domänen
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Änderung der Domänenstruktur bei stärker werdendem äusserem
Magnetfeld
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Domänen ändern die
Richtung ihrer Magnetisierung nicht, sie ändern
nur ihre Grösse.
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Löschen des remanenten Magnetismus
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