3 Gleichungen in C

3
Gleichungen in C
Satz
Zwei komplexe Zahlen z1 und z2 sind genau dann gleich, wenn ihre Real- und Imaginärteile
übereinstimmen. Formal:
z1 = z2
3.1
⇔
Im(z1 ) = Im(z2 )
∧
Im(z1 ) = Im(z2 )
Lineare Gleichungen
Beispiel 3.1
3z + 5z = 1 + i
Ansatz: z = x + iy
3(x + iy) + 5(x − iy) = 1 + i
3x + 3iy + 5x − 5iy = 1 + i
8x − 2iy = 1 + i
Damit:
8x = 1
−2y = 1
3.2
⇒
x = 1/8
y = −1/2
⇒
z=
1 1
− i
8 2
Lineare Gleichungssysteme
Beispiel 3.2
(2 − 2i)v + 3iw = 1 + 4i
(1 + 2i)v − 3w = 2 + 2i
Lineare Gleichungssysteme in C können wie lineare Gleichungssysteme in R gelöst werden.
PAM-Formelsammlung S. 33 und 31
Ein lineares Gleichungssystem der Form
a1 x + b1 y = k1
a2 x + b2 y = k2
hat genau eine Lösung (x, y), wenn
a1 b1
D = det
= a1 b2 − b1 a2 6= 0.
a2 b2
Dann ist x = Dx /D und y = Dy /D, wobei
k1 b 1
Dx = det
= k1 b2 − b1 k2
k2 b 2
a1 k 1
Dy = det
= a1 k2 − k1 a2
a2 k2
17
Koeffizienten: a1 = 2 − 2i b1 = 3i k1 = 1 + 4i
a2 = 1 + 2i b2 = −3 k2 = 2 + 2i
D = a1 b2 − b1 a2 = (−6 + 6i) − (−6 + 3i) = 3i
Dv = k1 b2 − b1 k2 = (−3 − 12i) − (−6 + 6i) = 3 − 18i
Dw = a1 k2 − k1 a2 = 8 − (−7 + 6i) = 15 − 6i
v = Dv /D = (3 − 18i)/3i = −6 − i
w = Dw /D = (15 − 6i)/3i = −2 − 5i
3.3
Die Kreisteilungsgleichung
Beispiel 3.3
z 2 = 4i
Polarform: z 2 = i = 4 cis(90◦ + k · 360◦ ) mit k ∈ Z
◦
√
90 + k · 360◦
de Moivre: zk = 4 cis
2
√
√
z0 = 2 cis 45◦ = 2(cos 45◦ + i sin 45◦ ) = 2 + i 2
√
√
z1 = 2 cis 225◦ = 2(cos 225◦ + i sin 225◦ ) = − 2 − i 2
z2 = 2 cis 405◦ = 2 cis 45◦ = z0
(keine neue Lösung)
iR
z
z0
R
z1
18
Beispiel 3.4
√
z 2 = −2 + 2 3 i
√
Polarform: r = 4 + 12 = 4
√
√
2 3
+ 180◦ = − arctan 3 + 180◦
ϕ = arctan
−2
◦
= −60 + 180◦ = 120◦
z 2 = 4 cis(120◦ + k · 360◦ ), k ∈ Z
60 + 0 · 360◦
= 2 cis 30◦
2
60 + 1 · 360◦
= 2 cis 240◦
z1 = 2 cis
2
z0 = 2 cis
iR
z
z0
R
z1
Das Lösungsverfahren lässt sich auf Gleichungen der Form z n = c (n ∈ N) verallgemeinern:
Satz: Die Gleichung
z n = c = r · cis ϕ,
(n ∈ N, c ∈ C)
hat n verschiedene Lösungen in C
√
ϕ
360◦
n
zk = r · cis
+k·
n
n
k = 0, 1, 2 . . . , n − 1
Beweis
Wir setzen die Lösung(en) in die Gleichung ein und rechnen mit der Formel von de Moivre:
n
√
360◦
360◦
ϕ
ϕ
n
n
+k·
= r · cis n · + n · k ·
zk =
r · cis
n
n
n
n
= r · cis (ϕ + k · 360◦ ) = r · cis ϕ = c
19
Beispiel 3.5
√
z 6 = −32 + 32 3 i = 64 · cis 120◦
√
6
z0 = 64 · cis (20◦ + 0 · 60◦ ) = 2 cis 20◦
z1 =
√
6
z2 =
√
6
z3 =
√
6
z4 =
√
6
z5 =
√
6
64 · cis (20◦ + 1 · 60◦ ) = 2 cis 80◦
64 · cis (20◦ + 2 · 60◦ ) = 2 cis 140◦
64 · cis (20◦ + 3 · 60◦ ) = 2 cis 200◦
64 · cis (20◦ + 4 · 60◦ ) = 2 cis 260◦
64 · cis (20◦ + 5 · 60◦ ) = 2 cis 320◦
iR
z1
z2
z0
R
z3
z5
z4
Aus diesem Grund wird z n = c Kreisteilungsgleichung genannt.
3.4
Quadratische Gleichungen
Beispiel 4.4
(1 + i)z 2 − (6 + 2i)z + 9 + 13i = 0
a=1+i
b = −6 − 2 i
c = 9 + 13 i
D = b2 − 4ac
= (6 + 2i)2 − 4(1 + i)(9 + 13i)
= 32 + 24i − 4(−4 + 22i)
= 32 + 24i + (16 − 88i)
= 48 − 64i
20
Lösung mit Ansatz z = x + i y:
z 2 = 48 − 64i
(x + i y)2 = 48 − 64i
x2 − y 2 + 2xy i = 48 − 64i
Gleichungssystem:
x2 − y 2 = 48
2xy = −64
⇔
xy = −32
x = ±8, y = ∓4
d1 = 8 − 4i, d2 = −8 + 4i
z1 =
=
=
z2 =
=
=
3.5
6 + 2i + 8 − 4i
−b + d1
=
2a
2(1 + i)
7−i
(7 − i)(1 − i)
14 − 2i
=
=
2(1 + i)
1+i
(1 + i)(1 − i)
6 − 8i
= 3 − 4i
2
−b + d1
6 + 2i − 8 + 4i
=
2a
2(1 + i)
−1 + 3i
(−1 + 3i)(1 − i)
−2 + 6i
=
=
2(1 + i)
1+i
(1 + i)(1 − i)
2 + 4i
= 1 + 2i
2
Die algebraische Gleichung dritten Grades
Die quadratische Gleichung und deren Lösung sind schon seit etwa 2000 v. Chr. bekannt.
Auch kubische Gleichungen traten in der altgriechischen, der indischen und der arabischen
Mathematik auf. Diese Gleichungen konnten dank Heron von Alexandria (ca. 100 v. Chr.)
näherungsweise gelöst werden, indem er alte babylonische und agyptische Näherungsverfahren
zum Wurzelziehen anwendete.
Die Auflösung der allgemeinen Gleichungen dritten Grades wurden jedoch erst in der
Zeit der Renaissance unabhängig von Scipione del Ferro (um 1465–1526) und von Niccolo
Tartaglia (um 1500–1557) gefunden. Die Resultate von del Ferro blieben unveröffentlicht.
Tartaglia verriet – unter der Bedingung der Geheimhaltung – seine Lösungsformel dem
venezianischen Professor Geronimo Cardano (1501–1576), der jedoch sein Versprechen
brach und die Formel unter seinem eigenen Namen veröffentlichte.
Die Gleichung
ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1)
mit a 6= 0 wird allgemeine Form der kubischen Gleichung genannt. Die Division durch a
führt zur normierten Form
x3 + rx2 + sx + t = 0 (2)
21
mit r = b/a, s = c/a und t = d/a.
Substitution x = y − r/3:
r3
r2
r 3
= · · · = y 3 − ry 2 + y −
x3 = y −
3
3
27
r 2
r2
2r
x2 = y −
= y2 − y +
3
3
9
r
x=y−
3
Setzt man diese Terme in die Gleichung x3 + rx2 + sx + t = 0 ein, erhält man:
r2
r3
2r
r2
r
3
2
2
y − ry + y −
+r y − y+
+s y−
+t=0
3
27
3
9
3
y 3 − ry 2 +
Aus p = s −
2r2
r2
r3
r3
y−
+ ry 2 −
y+
+ sy −
3
27
3
9
2r3
r2
3
y+
−
y + s−
3
27
rs
+t=0
3
rs
+t=0
3
r2
2r3 rs
und q =
−
+ t = 0 folgt die reduzierte Form:
3
27
3
y 3 + py + q = 0
(3)
Sind y1 , y2 und y3 Lösungen von (3), so sind
x1 = y1 − r/3
x2 = y2 − r/3
x3 = y3 − r/3
Lösungen von (2).
Löst man (3) nach y 3 auf, so erhält man
y 3 = −py − q
(4)
Bemerkung
Gleichung (4) eignet sich auch unter anderem dazu, eine graphische Näherungslösung von
(3) zu bestimmen:
3
zz=y
y
z = −py − q
22
Wir suchen die Lösungen für y 3 = −py − q
Für zwei beliebige Zahlen u und v gilt:
(u + v)3 = u3 + 3u2 v + 3uv 2 + v 3
(u + v)3 = 3uv(u + v) + u3 + v 3
Ersetze u + v durch y:
y 3 = 3uvy + u3 + v 3
Ein Koeffizientenvergleich mit y 3 = −py − q zeigt, dass y = u + v eine Lösung von (4) ist,
wenn die Zahlen u und v folgende Gleichungen erfüllen:
3uv = −p
u3 + v 3 = −q
(5)
(6)
Exkurs: Der Satz von Vieta
Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen der Lösungen einer algebraischen Gleichung n-ten Grades und ihren Koeffizienten.
Für die quadratischen Gleichung (n = 2) gilt:
x2 + a1 x + a0 = (x − x1 )(x − x2 )
x2 + a1 x + a0 = x2 − x1 − x2 + x1 x2
x2 + a1 x + a0 = x2 − (x1 + x2 ) + x1 x2
Ein Koeffizientenvergleich ergibt:
a1 = −(x1 + x2 )
a0 = x1 x2
Nun löst man Gleichung (5) nach uv auf
p
(5.1)
uv = −
3
und potenziert die neue Gleichung mit 3:
p 3
(5.2)
u3 v 3 = −
3
Nach dem Satz von Vieta sind u3 und v 3 Lösungen der Gleichung
p 3
z 2 + qz −
=0
3
wobei
r r q
q 2 p 3
q 2 p 3
q
3
3
+
, v =− −
+
(7)
u =− +
2
2
3
2
2
3
oder
r r q 2 p 3
q 2 p 3
q
q
3
3
u =− −
+
, v =− +
+
(8)
2
2
3
2
2
3
Aus Symmetriegründen genügt es, nur eines der Lösungspaare – beispielsweise (7) – weiter
zu untersuchen.
23
Ist u1 eine Lösung der Gleichung
q
u =− +
2
3
und sind
r q 2 p 3
+
2
3
√
2π
1
3
τ = cis 120◦ = cis
=− +i
3
2
2
√
4π
3
1
τ 2 = cis 240◦ = cis
=− −i
3
2
2
◦
die komplexen Zahlen, welche die Drehung um 120 bzw. 240◦ darstellen, so sind u2 = u1 τ
und u3 = u1 τ 2 die anderen beiden Lösungen.
Analog: Ist v1 eine Lösung der Gleichung
r q
q 2 p 3
3
v =− −
+
2
2
3
so sind v2 = v1 τ und v3 = v1 τ 2 die anderen beiden Lösungen.
Damit kommen als Lösungen für (u, v) zunächst 9 Kandidaten in Frage:
(u1 , v1 )
(u1 τ, v1 )
(u1 τ 2 , v1 )
(u1 , v1 τ )
(u1 τ, v1 τ )
(u1 τ 2 , v1 τ )
(u1 , v1 τ 2 )
(u1 τ, v1 τ 2 )
(u1 τ 2 , v1 τ 2 )
Da nach Konstruktion jedes Lösungspaar (u, v) die Gleichungen in (7) erfüllt, gilt auch
u3 + v 3 = · · · = −q
und
3 3
u v = ··· =
wie man leicht nachrechnet.
q 2
2
p 3
q 2 p 3
−
+
=−
2
3
3
Damit erfüllen alle Kandidaten die Gleichungen (6) und (5.2).
Welche Kandidaten erfüllen auch die Gleichung 3uv = −p?
Zu einer beliebigen Lösung u1 von
r q
q 2 p 3
3
+
u =− +
2
2
3
bestimmen wir v1 , so dass 3u1 v1 = −p ist.
Dann gilt:
p
v1 = −
3u1
und
24
v13
=−
=
p 3
3
p 3
1
· 3 =−
·
u1
3
1
r q 2
q
− +
2
2
+
p 3
3
!
r q 2 p 3
q
−
· − −
+
3
2
2
3
!
!
r r q 2 p 3
q 2 p 3
q
q
+
− −
+
− +
2
2
3
2
2
3
p 3
!
r q
q 2 p 3
· − −
+
−
r 3
2
2
3
q
q 2 p 3
+
=
=− −
q 2 p 3
q 2
2
2
3
−
+
2
2
3
Also ist v1 eine Lösung von
r q 2 p 3
q
+
v3 = − −
2
2
3
und (u1 , v1 ) eine Lösung von (5).
p 3
Wegen
3u1 τ i v1 τ j = 3u1 v1 τ i+j = −p ∈ R
muss τ i+j = 1 gelten und daher erfüllen nur die drei Paare
(u1 , u2 ), (u1 τ, u2 τ 2 ) und (u1 τ 2 , u2 τ )
die Gleichungen (5) und (6).
Die drei Zahlen
y 1 = u1 + v1
y 2 = u1 τ + v1 τ 2
y 3 = u1 τ 2 + v1 τ
Sind daher Lösungen der Gleichung (2).
Da eine Polynomgleichung dritten Grades nicht mehr als drei Lösungen besitzt, wurden
alle Lösungen gefunden.
Es soll nun noch geklärt werden, wann relle Lösungen und wann relle und komplexe
Lösungen auftreten.
Dazu betrachen wir den Term
D=
der in den (Teil-)Lösungen
q 2
2
+
p 3
3
r q 2 p 3
q
+
u =− +
2
2
3
r q
p 3
q 2
3
v =− −
+
2
2
3
3
auftritt und die Struktur der Lösungen definiert. Aus diesem Grund wird D ebenfalls
Diskriminante genannt.
25
1. Fall D > 0
Aus D > 0 folgt, dass
q √
q √
u3 = − + D und v 3 = − − D
2
2
rell sind. Damit sind aber auch
r
r
q √
q √
3
u = − + D und v = 3 − − D
2
2
reell.
y1 = u + v
y2 = uτ + vτ 2
√ !
√ !
1
3
3
1
=u − +i
+v − −i
2
2
2
2
=−
u+v
u−v √
3
+i
2
2
y2 = uτ 2 + vτ
√ !
√ !
3
3
1
1
=u − −i
+v − +i
2
2
2
2
=−
u+v
u−v √
−i
3
2
2
2. Fall D = 0
Aus D = 0 folgt
r
r
q
q
u=v= 3 − =−3 −
2
2
und als Spezialfälle der oben hergeleiteten Lösungen erhält man:
r
p
q
y1 = u + v = −2 3 = − 3 4q
2
r
q
u+v
u−v √
y2 = −
3= 3
+i
2
2
2
r
u−v √
q
u+v
−i
y3 = −
3= 3
2
2
2
3. Fall D < 0 (Casus irreducibilis)
p 3 q 2
Aus D =
+
< 0 folgt p < 0.
3
2
p
√
√
√
Es gilt D = (−1)2 D = i −D mit −D ∈ R
26
√
q
u3 = − + i −D = ̺(cos ϕ + i sin ϕ) = ̺ cis(ϕ)
2
√
q
v 3 = − − i −D = ̺(cos ϕ − i sin ϕ) = ̺ cis(−ϕ)
2
wobei
r
r r
3
2
p
q
p3
+ (−D) = −
̺ = |u3 | = |v 3 | =
da p < 0
=−
2
3
27
Ein Vergleich der Real und Imaginärteile in den Gleichungen
√
q
u3 = − + i −D = ̺(cos ϕ + i sin ϕ)
2
√
q
v 3 = − − i −D = ̺(cos ϕ − i sin ϕ)
2
führt zu:
q
− = ̺ cos ϕ
2
⇒
q
cos ϕ = −
2̺
⇒
q
ϕ = arccos −
2̺
oder zu:
√
√
−D
−D = ̺ sin ϕ ⇒ sin ϕ =
⇒
2̺
Mit der Formel von de Moivre erhalten wir
u1 =
√
3
̺ · cis
ϕ
3
und v1 =
√
3
̺ · cis
ϕ = − arcsin
√
−D
2̺
−ϕ
3
und damit
ϕ √
−ϕ
√
y1 = u1 + v1 = 3 ̺ · cis + 3 ̺ · cis
3
3
ϕ
−ϕ
−ϕ
ϕ
√
3
− i sin
= ̺ · cos + i sin + cos
3
3
3
3
ϕ
√
= 2 3 ̺ · cos
3
2
y 2 = u1 τ + v 1 τ
ϕ
2π
−ϕ
4π
√
3
+ cis
· cis
= ̺ cis · cis
3
3
3
3
−ϕ + 4π
ϕ + 2π
√
= 3 ̺ cis
+ cis
3
3
−ϕ + 4π
ϕ + 2π
√
3
+ cis
− 2π
= ̺ cis
3
3
ϕ
+
2π
ϕ
+
2π
√
= 3 ̺ cis
+ cis −
3
3
ϕ + 2π
ϕ + 2π
ϕ + 2π
ϕ + 2π
√
3
= ̺ cos
+ i sin
+ cos
− i sin
3
3
3
3
ϕ + 2π
√
= 2 3 ̺ cos
3
27
y 3 = u1 τ 2 + v 1 τ
ϕ
4π
−ϕ
2π
√
3
= ̺ cis · cis
+ cis
· cis
3
3
3
3
ϕ + 4π
−ϕ + 2π
√
= 3 ̺ cis
+ cis
3
3
ϕ + 4π
−ϕ + 2π
√
3
+ cis
− 2π
= ̺ cis
3
3
ϕ
+
4π
ϕ
+
4π
√
+ cis −
= 3 ̺ cis
3
3
ϕ + 4π
ϕ + 4π
ϕ + 4π
ϕ + 4π
√
3
+ i sin
+ cos
− i sin
= ̺ cos
3
3
3
3
ϕ + 4π
√
= 2 3 ̺ cos
3
Achtung
Nicht vergessen die Rücksubstitution
xi = yi −
r
3
(i = 1, 2, 3)
durchzuführen.
3.6
Die algebraische Gleichung vierten Grades
Die formelmässige Auflösung der allgemeinen Gleichung 4. Grades wurde von Ludovico
Ferrari (1522–1565) – einem Schüler und Mitarbeiter von Geronimo Cardano gefunden.
Hier soll die Auflösung nach René Descartes (1596–1650) gezeigt werden.
Zuerst wird die Gleichung 4. Grades auf Normalform
x4 + sx3 + tx2 + ux + v = 0
und anschliessend mit der Substitution x = y − s/4 auf die reduzierte Form
x4 + px2 + qx + r = 0
gebracht, wobei
3
p = t − s2 + t
8
1 3 1
q = s − ts + u
8
2
1
1
3 4
s + ts2 − us + v
r=−
256
16
4
Dann wählt man den Ansatz für die Zerlegung der reduzierten Form in ein Produkt aus
zwei quadratischen Faktoren:
x4 + px2 + qx + r = (x2 + ax + b)(x2 − ax + c)
= x4 + (−a2 + b − c)x2 + a(c − b)x + bc
28
Die Zerlegung ist so gewählt, dass beim Ausmultiplizieren keine dritten Potenzen von x
entstehen. Ein Vergleich der entsprechenden Koeffizienten links und rechts des Gleichheitszeichens ergibt das Gleichungssystem
b + c − a2 = p
a(c − b) = q
bc = r
Zunächst löst man die oberste Gleichung nach b und die mittlere nach c auf:
b = p + a2 − c
c=
q
+b
a
Dann setzt man gegenseitig ein:
q
+b
b = p + a2 −
a
q
c = + p + a2 − c
a
q
2b = a2 + p −
a
q
2c = a2 + p +
a
Nun setzen wir diese Terme in die mit 4 multiplizierte unterste Gleichung 4bc = 4r ein:
q
q 2
a +p+
= 4r
a2 + p −
a
a
q2
a4 + 2a2 p + p2 − 2 = 4r
a
a6 + 2a4 + (p2 − 4r)a2 − q 2 = 0
w3 + 2w2 + (p2 − 4r)w − q 2 = 0
wobei a2 durch w substituiert wurde.
Diese Gleichung dritten Grades wird kubische Resolvente genannt und besitzt mindestens
eine reelle Lösung w1 , die zwischen w = 0 und w = ∞ liegt; also positiv ist.
√
Aus a = w1 lassen sich sich b und c und damit die beiden quadratischen Faktoren
(x2 + ax + b)(x2 − ax + c)
der Gleichung bestimmen. Diese Faktoren lassen sich jedoch mit der entsprechenden
Lösungformel berechnen. Es gibt somit folgende Fälle:
• 4 reelle Lösungen
• 2 reelle und ein Paar konjugiert komplexer Lösungen
• 2 Paare konjugiert komplexer Lösungen
29
3.7
Die Sätze von Abel und Galois
Der Fundamentalsatz der Algebra macht nur eine Aussage über die Existenz von Lösungen
einer algebraischen Gleichung n-ten Grades.
Wie diese Lösungen im Fall n = 1, 2, 3, und 4 gefunden werden können, haben wir bereits
gesehen.
Lange Zeit suchte man nach einer Lösungsformel für die algebraischen Gleichungen vom
Grad n ≥ 4. Die Hoffnung wurde daduch genährt, dass in speziellen Fällen wie zum
Beispiel ax5 + b = 0 oder ax5 + bx4 + bx3 = 0 durchaus Lösungsformeln zu finden sind.
Zunächst konnte Nils Henrik Abel (1802–1829) beweisen, dass für die allgemeine algebraische Gleichung 5. Grades keine Lösungsformel gefunden werden kann.
Das war noch nicht genug.
Evariste Galois (1811–1832) erkannte, dass jeder algebraischen Gleichung ein spezielle
Gruppe zugeordnet werden kann. Die Struktur dieser Gruppe gibt Auskunft darüber,
wie die Lösungen der zugehörigen Gleichung gefunden werden können. Er bewies zudem,
dass für algebraische Gleichungen vom Grad grösser als 4 die Struktur der zugehörigen
Gruppen nicht mehr in jedem Fall eine Auflösung mit algebraischen Mitteln (Addition,
Subtraktion, Multiplikation, Divsion und Wurzeln) zulassen.
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