lesen - TU Darmstadt

Berechnung von
Transportkoeffizienten in
nichtidealen Plasmen
Transport Coefficients in nonideal Plasmas
Master-Thesis von Michael Endres
April 2013
Fachbereich Physik
Institut für Kernphysik
AG Hoffmann
Kosmische Plasmaphysik
Berechnung von Transportkoeffizienten in nichtidealen Plasmen
Transport Coefficients in nonideal Plasmas
Vorgelegte Master-Thesis von Michael Endres
1. Gutachten: Prof. Dr. Dr. h.c./RUS Dieter H. H. Hoffmann
2. Gutachten: Dr. habil. Claudia-Veronika Meister
Tag der Einreichung:
Erklärung zum Master-Thesis
Hiermit versichere ich, die vorliegende Thesis nur mit den angegebenen Quellen
und Hilfsmitteln angefertigt zu haben. Alle Stellen, die aus Quellen entnommen
wurden, sind als solche kenntlich gemacht. Diese Arbeit hat in gleicher oder ähnlicher Form noch keiner Prüfungsbehörde vorgelegen.
Darmstadt, den 30. April 2013
(Michael Endres)
Titelbild: Abbildung der Streuphasen zu r D = 10a0 aufgetragen über ka0 , siehe Abb. 3.4.
i
Zusammenfassung
Die elektrische Leitfähigkeit des vollständig ionisierten Wasserstoffplasmas wurde als Beispiel
für Transporteigenschaften eines Plasmas untersucht. Für die nichtidealen Plasmen wird eine
Näherung eingesetzt, die für wesentlich größere Plasmaparamter als die Spitzer-Theorie gültig
ist. Ausdrücke für die Leitfähigkeit, die mit Hilfe der Methode des Linear Response hergeleitet
wurden, werden ausgewertet. Diese sind abhängig von Korrelationsfunktionen. Mit der T-Matrix
Näherung können diese Korrelationsfunktionen berechnet werden. Im Rahmen der T-Matrix Näherung ist es nötig, die Streuphasen der jeweiligen Wechselwirkungs-Potentiale zu bestimmen.
Dazu wurde die Schrödinger-Gleichung integriert.
ii
Inhaltsverzeichnis
1. Einführung
1.1. Spitzer-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Wahl des Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
3
3
2. Streuprozesse
2.1. Streuphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. T-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
9
3. Numerische Methoden
3.1. Berechnung der Streuphasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Integration der Schrödingergleichung . . . . . . . . .
Numerische Integration des System erster Ordnung
Numerov-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. WKB Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3. Bornsche Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Numerische Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Potential der harten Kugel . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Debye-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
10
10
10
11
13
13
13
13
14
4. Leitfähigkeit in stark nichtidealen Plasmen
20
4.1. Linear Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2. T-Matrix Näherung der Korrelationsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3. Berechnung der Leitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5. Resultate
25
5.1. Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2. Wasserstoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.3. Vergleich mit COMPTRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6. Ausblick
32
A. Anhang
35
A.1. Listings Streuphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
A.2. Listings Korrelationsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
iii
Abbildungsverzeichnis
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
Anordnung bei Rutherford-Streuung . . . . . . . . . .
Schema der Berechnung von Transportkoeffizienten .
Übersicht über typische Plasmaskalen. . . . . . . . . .
Aschirmradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
3
5
6
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
Streuphasen für das Potential der harten Kugel
Streuphasen für das Debyepotential I . . . . . .
Streuphasen für das Debyepotential II . . . . .
Streuphasen für das Debyepotential III . . . . .
Totale Streuquerschnitte . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
16
17
18
19
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5.1. Leitfähigkeit und Korrelationsfunktion für Wasserstoff bei T = 104 K und T =
2 · 104 K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Leitfähigkeit und Korrelationsfunktion für Wasserstoff bei T = 2 · 104 K und T =
2.5 · 104 K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Leitfähigkeit und Korrelationsfunktion für Wasserstoff bei T = 3 · 104 K und T =
5 · 104 K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Leitfähigkeit und Korrelationsfunktion für Wasserstoff bei T = 8 · 104 K und T =
10 · 104 K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Vergleich mit COMPTRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
28
29
30
31
Tabellenverzeichnis
5.1. Chemisches Potential, Plasmaparamter, Elektronedichte und Abschirmlänge bei
T = 104 K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
iv
1 Einführung
Im Folgenden wird als Beispiel für Transporteffekte im Plasma die elektrische Leitfähigkeit σ
~
untersucht. Sie beschreibt die Fähigkeit eines Materials, den von einem elektrischen Feld E
erzeugten Strom zu leiten. Im allgemeinen ist sie ein Tensor. wir werden hier nur die skalare
Leitfähogkeit untersuchen. Für die elektrische Stromdichte ~j gilt:
~j = σ E
~.
(1.1)
Folgende Parameter für das Plasma werden verwendet:
β=
1
kB T
rd = κ−1 =
l ab = −
ma b =
,
β X
ε0 a
qa q b
4πε0
!−1/2
na qa2
λB =
,
β,
ma m b
,
ma + m b
‚ 2
Œ1/2
h β
8π2 ma b
Γ = |l a b /rd |.
(1.2)
,
(1.3)
(1.4)
(1.5)
β ist die inverse thermische Energie, ma b die reduzierte Masse, rd die Debye-Länge, λB die
thermische De Broglie-Wellenlänge, l die Landau-Länge und Γ ist der Nichtidealitätsparameter.
1.1 Spitzer-Theorie
Eine gängige Theorie zur Berechnung der Leitfähigkeit in Plasmen stellt die Spitzersche Theorie
dar. Diese berücksichtigt reine Coulomb-Stöße.
Ausgehend von Coulomb-Stößen im Plasma wird die Stoßfrequenz ν beziehungsweise die Stoßzeit τ berechnet. Diese bezeichnet die mittlere Zeit zwischen zwei Stößen, oder die Zeit, die im
Mittel für einen Stoß benötigt wird. In dieser Zeit wird ein Teilchen der Masse m und Ladung
~ durch die Kraft F~ beschleunigt. Die Driftgeschwindigkeit v D ergibt sich
q im elektrischen Feld E
nun aus der Bewegungsgleichung [17, 27]:
v~D
τ
=
F~
m
→ v~D = τ
F~
m
= τq
~
E
m
.
(1.6)
Kennt man die Teilchenzahldichte n, kann aus der Driftgeschwindigkeit die Stromdichte gewonnen werden. Wird angenommen, jedes Teilchen trage die Ladung q, und alle Teilchen spüren
somit die gleiche Kraft F~ , kann für die Gesamtstromdichte angegeben werden:
~j = qn~
v = qnτ
F~
m
= qnτ
~
qE
m
.
(1.7)
~ mit der elektrischen Stromdichte ~j erhalten
Mit dem Zusammenhang des elektrischen Feldes E
wir einen Ausdruck für die Leitfähigkeit:
~j = σ E
~=
q2 nτ
m
~ ⇒σ=
E
q2 nτ
m
(1.8)
1
In Bezug auf das Plasma können wir nun noch die Teilchen bestimmen, die den Stromfluss
tragen. Nimmt man die Ionen als stationär an, tragen nur die Elektronen zur Stromdichte bei
und es ergibt sich für q = −e und m = me
e2 nτ
σ=
me
.
(1.9)
Die Stoßzeit τ, also die Zeit, die ein Stoß dauert, beschreibt also auch den Zeitraum, in dem die
Geschwindigkeit des Teilchens wesentlich geändert wird.[17, 13]
τ12 =
p1 (0) − p1 (∞)
dp1
dt
=
p1 (0) − p1 (∞)
F1
.
(1.10)
Abbildung 1.1.: Anordnung bei Rutherford-Streuung
Für den Stoß zweier Teilchen der Masse m1 und m2 gilt klassisch die Rutherford-Streuformel
[27]. v 0 sei die Geschwindigkeit des Teilchens mit der Masse m1 vor dem Stoß. Der Stoßparameter b beschreibt den Abstand der ursprünglichen Teilchenbahn zu einer durch das Stoßzentrum
verlaufenden Parallele zu dieser, θ und r sind die Koordinaten des einfliegenden Teilchens mit
dem Stoßzentrum im Koordinatenursprung. Für die Kraft auf ein Elektron ergibt sich [17, Kapitel 10 und 11]:
F1 =
dp1
dt
=
Z
m2 δ v 2
d2 N2 (δv 2 )
d2 d(δv 2 )
d(δv 2 ) =
Z
m2 δv 2 n2 v 2
dσ
dΩ
(δv 2 ) = −
e4 n0
4πε20 m2e v 2
ln(ΛC )
(1.11)
Der differentielle Wirkungsquerschnitt ergibt sich aus der Rutherford-Streuung.
dσ
dΩ
‚
=
Z1 Z2 e2
4πε0 4E2
Œ2
1
sin4 θ2
.
(1.12)
ΛC ist der Coulomb-Logarithmus:
ln ΛC =
2
bma x
bmin
=
kB T 4πε0 rd
q1 q2
.
(1.13)
Für die Stoßzeit gilt nun:
τ12 =
m1 u
F1
=
4πε10 m1 m r u2
q1 q2 lnΛC n2
.
(1.14)
Setzt man dies für Elektronen in der Formel für die Leitfähigkeit ein, folgt:
σSpi tzer =
(4πε0 )2 (kB T )(3/2)
.
p
4 2πe2 pme ln ΛC
3
(1.15)
1.2 Vorgehensweise
Die Vorgehensweise bei der Berechnung der elektrischen Leitfähigkeit in einem nichtidealen
Plasma ist in Abb. 1.2 dargestellt. Auf der einen Seite muss Information über den Streuprozess
gewonnen werden. Auf der anderen können mit Hilfe der Vielteilchen-Quantenmechanik die
Transportkoeffizienten berechnet werden.
Many Particle Theory
Single Interaction
−
−→
−
−→
Potential Scattering
H = Hs + H 1
Schrödinger Equation
Radial
l(l+1)
d2
2
+
k
−
U(r)
−
ul (r) = 0
dr 2
r2
dρ
dt
Neuman
Equation
i + ħh H, ρ = −ηz (ρ − ρq ),
ηz → 0.
←
−−
→
−−
δl
~ ~R
H 1 = −e E
Statistical Operator
non-equlibrium
−−−→
−−−→
Hˆ0 + V̂ (~r) Ψ(~r) = EΨ(~r)
Separation
Partial Wave Expansion
Perturbation
Linear Response
Force-Force Correlation Function
−
→
σ(ne , r D , T, δl )
Abbildung 1.2.: Schema der Berechnung von Transportkoeffizienten
1.3 Wahl des Potentials
Im Plasma wirkt auf die Teilchen nicht das reine Coulomb-Potential. Nimmt man die Ionen als unbeweglich und somit als Hintergrund an, kann man deren Einfluss auf eine
Zwei-Teilchen-Wechselwirkung als Abschirmung darstellen. Zusätzlich sollen hier zunächst
3
wasserstoff-ähnliche Ionen angenommen werden. Das Coulomb-Potential wird von den umgebenden Ionen abgeschirmt. Es ergibt sich das Debye-Potential:
q1 q2
VDeb =
exp(r/r D ).
4πε0 r
(1.16)
Im klassischen Plasma ist die Abschirmlänge die Debye-Länge, es gilt:
rd =
1
X€
k b T ε0
na qa2
!−1/2
Š
.
(1.17)
a
Die Debye-Länge rd gibt also die Reichweite des Potentials an. Ist der mittlere Teilchenabstand
eines Plasmas rn = n−3 kleiner als die Debye-Länge, müssen die Wechselwirkungen zwischen
den Teilchen berücksichtigt werden. Das Plasma ist nicht ideal. Ein Maß für die Quanteneffekte
im Plasma ist die thermische De Broglie-Wellenlänge:
r
λB = ħ
h
2πβ
m
.
(1.18)
Ist der mittlere Teilchenabstand kleiner als λB , müssen Quanteneffekte berücksichtigt werden.
In Abb. 1.3 sind die Bereiche des idealen, nichtidealen und Quanten-Plasmas markiert. Für
T = 104 K beginnt der Bereich des Quantenplasmas bei ca. ne > 1027 m−3 . In diesem Bereich
ändert sich auch der Abschirmradius. In [6] ist folgende Abschätzung gegeben:
‚
rCW =
β e2
ne Θe + ni Θi
ε0
Œ−1/2
,
(1.19)
Wobei im weiteren nur der Elektronenanteil an der Abschirmlänge verwendet wird. Θ berechnet
sich aus den Fermifunktionen Iν(x) [16, S. 8]. Diese sind Integrale über die in Quantengasen
gültige Fermi-Verteilung.
Θa = I−1/2 βµa /I1/2 βµa ,
Iν(x) =
1
Z∞
dy
Γ(ν + 1)
yν
e y−x + 1
.
(1.20)
0
Wobei µa das chemische Potential ist. Ein weiteres Beispiel für die Verwendung von Iν ist z.B.
die Zustandsgleichung eines ideales Fermigases [16, S. 11]:
pid =
X 2s + 1
a
a
βλ3a
I3/2 .
(1.21)
In Abb. 1.4 sind die beiden Abschirmlängen aufgetragen. Für T = 104 K ergeben sich Abweichungen wie erwartet für ne > 1027 m−3 . In sämtlichen folgenden Rechnungen wurde als Potential das Debye-Potential für Wasserstoff verwendet. Das heißt, es wurde q1 = −q2 = e gesetzt.
Des Weiteren wird volle Ionisation angenommen ni = ne . Als Abschirmlänge wurde rcw genutzt.
4
T/K
1012
1011
1010
109
108
107
106
105
104
103
102
101
100 10
10 1013 1016 1019 1022 1025 1028 1031 1034 1037
ne /m−3
Abbildung 1.3.: Übersicht über typische Plasmaskalen. In blau r D n3e = 1, in grün λB n3e = 1. In
rot ist der Bereich markiert, für den Berechnungen durchgeführt wurden (T =
104 K).
5
r/m
10
10
10
-8
-9
-10
10
24
10
25
10
26
ne /m−3
10
27
10
28
Abbildung 1.4.: In blau der klassische Abschirmradius r D , in grün die Abschirmlänge nach Cooper
De Witt [6]. (T = 104 K)
6
2 Streuprozesse
Quantenmechanische Streuprobleme können mit Hilfe der Streuphasen behandelt werden. Eine
Streuphase beschreibt eine Phasenverschiebung der asymptotischen Wellenfunktion nach der
Streuung zur einlaufenden Welle. Es sollen die Streuphasen für eine Streuung an einem DebyePotential berechnet werden. Um diese zu erhalten, wird die Schrödinger-Gleichung integriert.
Die Streuung soll an einem kugelsymmetrischen Potential stattfinden. Es gilt die Eigenwertgleichung:
Ĥψ = (Ĥ0 + V̂ (r))Ψ(r) = EΨ(r).
(2.1)
2.1 Streuphase
Da man im Streuproblem von Kugelsymmetrie ausgehen kann, wird die Schrödingergleichung
separiert. D.h. man kann die Schrödinger Gleichung in unabhängige Gleichungen bezüglich
der Variablen r, θ und φ zerlegen, indem für die Wellenfunktion ein Produktansatz gemacht
wird. Die winkelabhängigen Anteile sind unabhängig von r. Die Kugelsymmetrie des Streuproblems sagt voraus, dass die Streuung unabhängig von den Raumwinkeln ist. Somit reicht es,
die Radialwellenfunktion u(r) zu betrachten. Es kann folgender Ansatz für die Zerlegung einer
Wellenfunktion als Entwicklung nach Legendre-Polynomen gemacht werden:
ψ(r) =
∞
X
ul (r)
l=0
r
Pl (cos(θ )).
(2.2)
Die einlaufende Welle wird in Partialwellen zerlegt. Man nimmt diese als ebene Welle an und
entwickelt sie in Lengendre-Polynome. Der radiale Anteil wird durch die sphärische BesselFunktion jl (kr) ausgedrückt. ~k zeigt in z-Richtung. [19]
ψ(r)~ein = e ik cos(θ )/ħh =
k
∞
X
(2l + 1)Pl (cos θ )i l jl (kr).
(2.3)
l=0
Für die auslaufende Welle kann nun angesetzt werden, dass diese gleich der einlaufenden, überlagert mit einem gestreuten Anteil, ist.
ψ(r)~aus = ψ(r)~ein + ψ(r)~S t r eu .
k
k
(2.4)
k
Der gestreute Anteil hat seinen Ursprung im Streuzentrum. Die allgemeine Lösung für dieses kugelsymmetrische Problem ergibt sich aus den sphärischen Bessel-Funktionen erster und zweiter
Art ( jl ,nl ). Betrachten wir die gestreute Welle im asymptotischen Fall, lässt sie sich als Überlagerung zweier Kugelwellen darstellen.
lim
r→∞
jl (kr) =
e i(kr−πl/2) − e−i(kr−πl/2 )
2ikr
.
(2.5)
7
Die gestreute Welle kann somit als eine Kugelwelle mit einem drehimpuls-, also winkelabhängigem Vorfaktor, geschrieben werden. Dieser Vorfaktor ist die Streuamplitude f k (θ ). Für die
auslaufende Welle gilt somit im asymptotischen Fall:
ψ(r)~aus = e ik cos(θ )/ħh + f k (θ )
k
e ikr
r
.
Die radiale Schrödingergleichung für die Partialwelle ul ist:
Œ
‚ 2
l(l + 1)
2ma b
d
2
2
+
k
−
U(r)
−
u
(r)
=
0
mit
:
k
=
E,
l
dr 2
r2
ħ
h2
(2.6)
U(r) =
2ma b
ħ
h2
Die allgemeine Lösung für den asymptotischen Fall ist wieder eine ebene Welle:
‚ 2
Œ
d
löst:
uAS
+ k2 uAS
l = (Asin(kr) + B cos(kr))
l (r) = 0.
2
dr
V (r). (2.7)
(2.8)
Mit der Streuphase gilt:
uAS
l = D sin(kr + δl − π/2).
(2.9)
Die Streuphase ist also eine Phasenverschiebung zur einlaufenden Welle. Sie trägt die Information über die Streuung. Für die Streuamplitude für Vorwärtsstreuung folgt [19, S. 333] :
1X
f (0) =
(2l + 1)e iδl sin δl .
(2.10)
k l
Auch der totale Wirkungsquerschnitt einer Reaktion kann aus den Streuphasen der Partialwellen
berechnet werden [19, S. 333].
∞
4π X
σ t ot (k) = 2
(2l + 1) sin2 δl .
k l=0
(2.11)
Um die Streuphasen zu berechnen, müssen die Schrödinger-Gleichung integriert werden. So gewinnt man ul . Damit nicht bis in den asymptotischen Bereich integriert werdeb muss, wird andie
sogenannte Freie-Teilchen-Lösung u F T angeschlossen [16, S. 81f]. Diese gilt für die Bereiche, ab
denen das Potential nicht mehr signifikant wirkt. Die allgemeine Lösung für freie Teilchen ist:
‚ 2
Œ
d
l(l + 1)
FT
2
ul = kr(Ajl (kr) + Bnl (kr))
löst:
+k −
ulF T (r) = 0.
(2.12)
2
2
dr
r
Natürlich gilt diese Lösung auch im Unendlichen. Hier können wir nun einen Zusammenhang
zur asymptotischen Lösung und somit zu δl finden [16, S. 81f]. Es gilt lim ulF T = uAS
. Wir
l
r→∞
verwenden wieder die asymptotischen Ausdrücke für die Bessel-Funktionen:
lim jl (z) =
z→∞
sin(z − lπ/2)
z
,
lim nl (z) = −
cos(z − lπ/2)
z→∞
z
.
(2.13)
Setzt man diese ein und vergleicht mit uAS
, können wir A und B durch D und δl ausdrücken.
l
ulF T = kr D(cos δl jl (kr) − sin δl nl (kr)).
(2.14)
Um δl zu berechnen, fehlen also zwei Unbekannte. Als zweite Gleichung wird die Ableitung von
ul betrachtet. Da die Wellenfunktion stetig sein muss, kennen wir aufgrund der Anschlussbedingungen auch Anfangswerte für diese.
8
2.2 T-Matrix
Streuprobleme lassen sich auch in einem allgemeineren Formalismus als Operatorgleichungen
betrachten. Auf den Zustand |ψ⟩ wird der für die Streuung verantwortliche Hamilton-Operator
(siehe Glg. 2.15) angewendet. Die daraus folgende Schrödingergleichung beschreibt den Streuvorgang [19, S. 367ff].
ˆ
Ĥ|ψ⟩ = (Ĥ + V (r))|ψ⟩.
(2.15)
0
Man betrachtet nun den Grenzfall großer Abstände vom Streuzentrum. Ist man weit vom Streuzentrum entfernt, wirkt nur Ĥ0 . Dieser Operator besitze ein kontinuierliches Energiespektrum
zu verschiedenen Quantenzahlen n. (n steht hier also nicht für das Energieniveau, sondern für
eine beliebige Quantenzahl, wie z.B. l oder k x , k y , kz .) |En ⟩ sind nun die Eigenzustände. Diese
Gleichung wird umgestellt und der Operator Ĝ0 eingeführt, der wie folgt wirkt:
Ĥ0 |En0 ⟩ = En |En0 ⟩ ⇔ (Ĥ0 − En )|En0 ⟩ = 0,
(2.16)
|En0 ⟩.
(2.17)
Ĝ0 (Ĥ0 −
En )|En0 ⟩
=
Ĝ0 ist die zu H0 gehörende Greensche Funktion. Für die Greensche Funktion gilt G = (E − H ±
η)−1 . Das Eigenwertproblem für die volle Schrödingergleichung kann nun auf ähnliche Weise
ausgedrückt werden, dies führt zur sogenannten Lippman-Schwinger Gleichung:
H|ψ⟩ = (H0 + V )|ψ⟩ = En0 |ψ⟩ + V |ψ⟩ ⇔ H|ψ⟩ = (H0 + V )|ψ⟩
(2.18)
|ψ⟩ = |En0 ⟩ + G0 V |ψ⟩
(2.19)
Die Transfermatrix, kurz T-Matrix, ist nun wie folgt definiert:
T = V (1 + GV ) = V + V
1
E − V − H o + iη
V
(2.20)
In Abschnitt 4.2 wird mit Hilfe der T-Matrix die Mehrfachstreuung behandelt [16, S. 98-101].
9
3 Numerische Methoden
3.1 Berechnung der Streuphasen
Nun sollen verschiedene Methoden zur Berechnung der Streuphase vorgestellt werden. Neben
dem direkten Integrieren der Schrödingergleichhung werden auch Näherungsverfahren betrachtet.
3.1.1 Integration der Schrödingergleichung
Die Streuphase kann direkt berechnet werden, wenn die Schrödingergleichung gelöst werden
kann, und somit eine Lösung für die Wellenfunktion und ihre Ableitung vorliegt. Es reicht hier,
die radiale Schrödingergleichung (Glg. 2.7) zu lösen:
‚
d2
dr 2
2
+ k − U(r) −
l(l + 1)
r2
Œ
ul (r) = 0
(3.1)
Abhängig vom Potential U(r) kann eine analytische Lösung gefunden werden. Es ist aber in
jedem Fall möglich, die Schr̈odingergleichung numerisch zu integrieren. So erhält man jeweils
eine Lösung für die Wellenfunktion und ihre Ableitung.
Numerische Integration des System erster Ordnung
Mit Verfahren, wie zum Beispiel dem Runge-Kutta Verfahren, lassen sich gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung numerisch integrieren. Um diese hier anwenden zu können,
wird die Schrödingergleichung, eine DGL zweiter Ordnung, in ein System erster Ordnung umgeschrieben. Man erhält nun gekoppelte Gleichungen für die Variablen u und u0 und benötigt
noch die Anfangswerte u(r0 ) und u0 (r0 ).
du
= u0 ,
l(l + 1)
2
= VD (r) − k +
u.
dr
r
dr
du0
(3.2)
(3.3)
Die Lösungen müssen die Randbedingung u(0) = 0 erfüllen. Aufgrund der Singularität im
Debye-Potential und dem Zentrifugal-Potential ist es sinnvoll, bei einem r0 6= 0 anzusetzen.
Die Wellenfunktion für ein kugelsymmetrisches Problem lässt sich für kleine r in einer Potenzreihe entwickeln. So erhält man für die Anfangswerte [16, S. 85]:
ul (r) ≈r l+1 (1 + ar + br 2 + cr 3 ),
€
Š
u0l (r) ≈r l l + 1 + ar(l + 2) + br 2 (l + 3) + cr 3 (l + 4) .
10
(3.4)
(3.5)
Die Koeffizienten lassen sich durch Einsetzen in Glg. (2.7) finden. Die Ergebnisse für ein DebyePotential wurden [16, S. 85] entnommen. Nun kann das System mit einem geeigneten Verfahren, z.B. Runge-Kutta, numerisch bis zu einem Wert für r integriert werden. Schließt man die
numerische Lösung ab einem geeigneten Wert für r = r F T an die Freie-Teilchen-Lösung an, erhält man mit Glg. (2.14) und deren Ableitung ein Gleichungssystem für δl . Mit den numerischen
Lösungen für u und u0 erhält man als Bestimmungsgleichung [16, S. 87]:
δl (k) = arctan
k jl−1 (kr) − v jl (kr)
knl−1 (kr) − v nl (kr)
mit: v =
l
r
0
+
uSl (r)
uSl (r)
.
(3.6)
Diese Gleichung gilt für r > r F T , wobei r F T die Grenze für einen Anschluss der Streulösung
an die Freie-Teilchen-Lösung ist. In Abb. ?? wurden die Streuphasen aufgetragen. k ist hier in
Einheiten des Bohrschen Radius a0 angegeben. Die Anfangs- und Anschlusswerte bestimmen
sich nach folgenden Ungleichungen [16, S. 87]:
|cr03 | < 10−6 ,
‚
VDeb < 10−7
c ist einer der Parameter aus Glg. (3.4),
Œ
ħ
h2 l(l + 1)
E+
.
2ma b r F2 T
(3.7)
(3.8)
Als Anfangswert wurde zunächst r0 = 10−2 rd und als Anschlusswert r F T = 15rd gewählt. Mit
diesen werden die Bedingungen getestet und falls nötig angepasst. In Abb. 3.5 sind Ergebnisse
für die Streuquerschnitte aufgetragen, die aus den Streuphasen berechnet wurden. Die Berechnungen wurden mit Python durchgeführt. Die Integration der Schrödinger-Gleichung wurde
mit der Funktion odeint aus dem Paket scipy.integrate umgesetzt, diese nutzt lsoda aus
der Fortran Bibliothek odepack [5].
Numerov-Verfahren
Eine weitere Möglichkeit der numerischen Integration bietet das so genannte NumerovVerfahren. Hierbei wird direkt die Gleichung zweiter Ordnung integriert, es eigent sich deswegen gut für Schrödingergleichungen. Das Numerov-Verfahren ergibt sich aus einer Taylorentwicklung der Wellenfunktion. (Siehe z.B.: [11, S. 461ff][20][21])
Das Numerov-Verfahren ist ein Lösungsverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen 2.
Ordnung folgender Form:
‚ 2
Œ
d
+ f (r) u(r) = 0
(3.9)
dr 2
Dies entspricht genau der Form der zu lösenden Schrödingergleichung mit f (r) = k2 − U(r) −
l(l+1)
.
r2
Zunächst muss diskretisiert werden. Die Wellenfunktion in wird in Abschnnitte im Abständ h
aufgeteilt, es wird also r diskredisiert. Der Anfangswert ist r0 und es gilt nun rn = r0 + n · h.
Somit gilt auch un = u(rn ) und un+1 = u(rn + h). Auch für die k-fache Ableitung wir diese
Schreibweise eingeführt: u(k) (rn ) = u(k)
n .
11
Es wird eine Taylor-Entwicklung um rn durchgeführt[11, S.462ff]. Einmal für un+1 und einmal
für un−1 :
u(rn + h) = un+1 =
un + h · u0n
+
u(rn − h) = un−1 = un − h · u0n +
h2
2!
h2
2!
00
h3
00
3!
h3
un +
un −
3!
u(3)
n
+
u(3)
n +
h4
4!
h4
4!
u(4)
n
+
u(4)
n −
h5
(5!)
h5
(5!)
u(5)
n ,
(3.10)
u(5)
n .
(3.11)
Die Taylor-Entwicklung wird nach dem 5. Glied abgebrochen. Es ergibt sich nun ein Gleichungssystem. Die beiden Gleichungen werden addiert, dabei verschwinden die Ableitungen erster,
dritter und fünfter Ordnung:
un+1 + un−1 = 2un + 2
h2
2!
00
un + 2
h4
4!
u(4)
n
(3.12)
Nun wird die zweite Ableitung mit Hilfe der ursprünglichen Differentialgleichung ersetzt:
00
un = − f n · un [11, S.462f]. Die vierte Ableitung erhalten wir aus zweifachem Ableiten der
Differentialgleichung. Die zweifache Ableitung von un · f wird mit Hilfe des Differenzenquotienten in zweiter Ordnung approximiert. Dieser lautet für eine zweite Ableitung:
∆2 y
∆x 2
=
f (x + ∆x) + f (x − ∆x) − 2 f (x)
∆x 2
.
(3.13)
Nun wenden wir dies auf u(4) = −d2 f n · un r 2 an und setzen in Glg. (3.12) ein:
un+1 + un−1 = 2un − 2
h2
4
f n · un − 2
h4 f n+1 un+1 + f n−1 un−1 − 2 f n un
16
h2
.
(3.14)
Wird dies nach un+1 aufgelöst erhält, man eine Bestimmungformel für die Wellenfunktion u(rn +
h). un+1 lässt sich also berechnen wenn un und un−1 bekannt sind. Man benötigt also zwei
Startwerte für u [11, S. 464].
2
h2
2 − 5h6 f n un − 1 + 12
f n−1 un−1
un+1 =
(3.15)
h2
1 + 12
f n+1
Die Wellenfunktion kann nun iterativ berechnet werden. Da dies viele Schleifendurchgänge benötigt, wurde zur Verminderung der Rechenzeit dieser Teil des Programms in C geschrieben
und später in Python als Bibliothek importiert. Für die Berechnung der Leitfähigkeit müssen
an jedem Datenpunkt mehrere Streuphasen berechnet werden (siehe 4.2). Der betreffende Programmteil wurde parallelisiert.
Die Startwertberechnung wird mit den im letzten Abschnitt kennengelernten Formeln durchgeführt. Die Startwerte sind u0 = u(r0 ) und u1 = u(r0 + h). Die erste Ableitung wird hier nicht
berechnet. Da hier nun keine Information mehr über die Ableitung gewonnen wird, muss die
Bestimmungsgleichung für die Streuphase anders hergleitet werden. Anstatt die Ableitung als
Bekannte zu nutzen um das LGS zu lösen wird nun die Wellenfunktion an zwei verschiedenen Punkten berechnet. Diese Werte werden können jeweils in (2.14) eingesetzt werden. Als
Bestimmungsgleichung für die Streuphase folgt dann:
r1 uSl (r2 )
v k jl (kr1 ) − jl (kr2 )
δl (k) = arctan v
mit: v =
.
(3.16)
v nl (kr1 ) − v nl (kr2 )
r2 uSl (r1 )
12
3.1.2 WKB Näherung
Die Wentzel-Kramers-Brillouin(WKB) Näherung ist eine quasiklassische Näherung. Sie gilt,
wenn die Änderung der Wellenlänge des Teilchens auf Strecken in der Größenordnung der
Wellenlänge klein ist [16][19]. Die Streuphase kann in WKB Näherung wie folgt berechnet
werden:
δl (k) =
Z∞
dr
k2 −
l(l + 1)
r2
1/2 Z∞
l(l + 1) 1/2
2
− U(r)
− dr k −
r2
r3
(3.17)
r0
Um die Streuphase in WKB Näherung zu berechnen, müssen zunächst die klassischen
Umkehrpunkte r3 und r1 berechnet werden. Diese sind die Nullstellen der Funktionen
unter der Wurzel, also der quadrierten Integranden. Dies geschieht im Programm iterativ, es werden zunächst Anfansgwerte abgeschätzt und dann mit der Python Methode
scipy.optimize.brentq der Umkehrpunkt berrechnet. Die Integrale werden mit der Quadratur Methode scipy.integrate.quad berechnet [4]. In Abb. 3.2.2-3.2.2 sind Ergebnisse für die
WKB Näherung aufgetragen.
3.1.3 Bornsche Näherung
Die Streuphase lässt sich auch mit Hilfe der Bornschen Näherung berechnen. Auch hier wird das
Problem auf eine numerische Integration reduziert. Für ein schwaches Potential und kleines δl
lässt sich finden [26]:
δl ≈
Z∞
dr r 2 U(r) jl (kr)2
(3.18)
0
Das Programm bricht die Integration bei einem geigneten Wert ab. In Abb. 3.2.2-3.2.2 sind
Ergebnisse für die Bornsche Näherung aufgetragen.
3.2 Numerische Ergebnisse
3.2.1 Potential der harten Kugel
Für einen harte Kugel kann die Streuphase analytisch berechnet werden. Diese analytische Berechnung wird mit den Ergebnissen, die mit Hilfe der Numerov Methode gewonnen wurden
verglichen. Das Potential der harten Kugel ist:
(
U(r) =
∞
r < r0
0
r > r0
.
(3.19)
(3.20)
13
Die Wellenfunktion für die harte Kugel ist also im Bereich außerhalb der Kugel gerade die freie
Lösung. Innerhalb der Kugel ist sie null. Mit der Anfangsbedingung u(0) = 0 und der daraus
folgenden Anschlussbedingung u(r0 ) = 0 lässt sich für die Streuphase berechnen.
(
u=
∞
0 < r0
(kr D(cos δl jl (kr) − sin δl nl (kr))
r > r0 ,
tan δl =
jl (r0 )
nl (r0 )
.
(3.21)
(3.22)
Für den Vergleich wurde die Schrödingergleichung ab r0 numerisch integriert. Die Konstante D
hat keinen Einfluss auf die Streuphase. Abbildung 3.1 zeigt die Streuphasen für die ersten vier
Partialwellen.
3.2.2 Debye-Potential
Zum Vergleich sind in Abb. 3.2.2-3.2.2 verschiedene Ergebnisse der unterschiedlichen Methoden
aufgetragen. Jeweils für kurzreichweitige Potentiale, also kleine Debye-Längen und für langreichweitige Potentiale (große Debye-Längen). Abbildung 3.5 zeigt Ergebnisse für die Streuquerschnitte die nach Gleichung 2.11 aus den Streuphasen berechnet wurden.
Da der Arcustangens nur zwischen −π/2 und π/2 definiert ist, sind die Ergebnisse der Streuphasen mit einer Ungenauigkeit von π behaftet. Es wurde Stetigkeit der Funktion angenommen
und somit bei Sprüngen π addiert beziehungsweise subtrahiert (gestrichelte Kurven in Abb.
3.2.2-3.2.2). Für die späteren Berechnungen ist dies irrelevant, da die Streuphasen, wie auch
im totalen Wirkungsquerschnitt, stets in einer sin2 -Funktion auftreten.
14
l=0
l=1
0.0
−0.2
δl
−0.4
−0.6
−0.8
−1.0
0
20
40
0
20
40
0.000025
k/a0
60
80
100
60
80
100
(|δl a = −δl n|
0.000020
0.000015
0.000010
0.000005
0.000000
k ∗ a0
l=2
l=3
0.000
−0.002
−0.004
δl
−0.006
−0.008
−0.010
−0.012
−0.014
−0.016
−0.018
0
20
40
0
20
40
0.000020
k/a0
60
80
100
60
80
100
(|δl a = −δl n|
0.000015
0.000010
0.000005
0.000000
k ∗ a0
Abbildung 3.1.: Streuphasen für eine harte Kugel mit r0 = 10−2 a0 . Der obere Plot zeigt jeweils
die Streuphasen, der untere die Differenz zischen der analytischen Streuphase
δl a und der mit Hilfe der Numerov-Methode berechneten Streuphase δl n .
15
rd = 10a0
rd = 1a0
l=0.0
l=1.0
l=2.0
l=3.0
l=0.0
l=4.0
l=1.0
l=2.0
l=3.0
l=4.0
l=5.0
l=5.0
3
8
6
1
δl
δl
2
4
2
0
0
−1
10
-2
10
-1
10
ka0
0
10
-2
10
-1
rd = 24a0
l=0.0
l=1.0
l=2.0
l=3.0
10
ka0
0
rd = 53a0
l=4.0
l=5.0
l=0.0
14
l=1.0
l=2.0
l=3.0
l=4.0
l=5.0
20
12
15
10
δl
δl
8
6
10
4
5
2
0
10
0
-2
10
-1
ka0
10
0
10
-2
10
-1
ka0
10
0
Abbildung 3.2.: Mit odeint nach Glg. 3.6 für verschiedene Debye-Längen. a0 ist der Bohrsche
Radius.
16
Streuphase rd=1a0
4
wkb l=0
born l=0
numerov l=0
numerov l=0
wkb l=1
born l=1
numerov l=1
numerov l=1
wkb l=2
born l=2
numerov l=2
numerov l=2
3
δl
2
1
0
−1
−2 -2
10
10-1
k ∗ a0
100
101
Streuphase rd=10a0
10
wkb l=0
born l=0
numerov l=0
numerov l=0
wkb l=1
born l=1
numerov l=1
numerov l=1
wkb l=2
born l=2
numerov l=2
numerov l=2
8
δl
6
4
2
0
−2 -2
10
10-1
k ∗ a0
100
101
Abbildung 3.3.: Streuphasen für verschiedene Debye-Längen. Die durchgezogenen Linien wurden mit der Numerov Methode berechnet (Glg. 3.16). Gestrichlete Linien sind
die Werte der Numerov-Methode ohne Korrektur der Phasensprünge. PunktGestrichelte Linien sind Berechnung mit Hilfe der Bornsche Näherung (Glg. 3.18).
Die gepunkteten Linien sind die Ergebnisse der WKB Methode.
17
Streuphase rd=24a0
20
wkb l=0
born l=0
numerov l=0
numerov l=0
wkb l=1
born l=1
numerov l=1
numerov l=1
wkb l=2
born l=2
numerov l=2
numerov l=2
15
δl
10
5
0
−5 -2
10
10-1
k ∗ a0
100
101
Streuphase rd=53a0
35
wkb l=0
born l=0
numerov l=0
numerov l=0
wkb l=1
born l=1
numerov l=1
numerov l=1
wkb l=2
born l=2
numerov l=2
numerov l=2
30
25
δl
20
15
10
5
0
−5 -2
10
10-1
k ∗ a0
100
101
Abbildung 3.4.: Streuphasen für verschiedene Debye-Längen. Die durchgezogenen Linien wurden mit der Numerov Methode berechnet (Glg. 3.16). Gestrichlete Linien sind
die Werte der Numerov-Methode ohne Korrektur der Phasensprünge. PunktGestrichelte Linien sind Berechnung mit Hilfe der Bornsche Näherung (Glg. 3.18).
Die gepunkteten Linien sind die Ergebnisse der WKB Methode.
18
rd = 1a0
lmax=26
2.5 1e−18
7 1e−17
6
2.0
5
σl
σl
1.5
1.0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
10-2
3
1
10-1
ka0
100
0
10-2
rd = 24a0
lmax=29
2.5 1e−15
10-1
ka0
100
rd = 53a0
lmax=30
2.0
1.5
σl
σl
1e−16
4
2
0.5
0.0 -2
10
rd = 10a0
lmax=28
1.0
0.5
10-1
ka0
100
0.0 -2
10
10-1
ka0
100
Abbildung 3.5.: Ergebnisse für die totalen Wirkungsquerschnitte aus Glg. (2.11). Die Streuphasen wurden bis δl m ax ausgewertet. Die Summe wurde bis zur Abbruchbedinl 0 =l−1
P
−6
gung al < 10
al 0 berechnet. In den gestrichelten Bereichen wurde diese
l 0 =0
Abbruchbedingung bis zum maximal berechneten δl nicht erreicht.
19
4 Leitfähigkeit in stark nichtidealen Plasmen
Die Ergebnisse aus dem vorherigen Kapitel können verwendet werden, um die Leitfähigkeit im
Plasma zu berechnen. Die Streuphasen enthalten die Information über die Zweiteilchenstöße.
Hier wird die Vielteilchentheorie angewendet.
4.1 Linear Response
Es wird die Dichtematrix des Systems und der dazugehörende Hamiltonian betrachtet. In dem
hier behandelten Fall besteht dieser aus der kinetischen Energie der Elektronen, der potentiellen
Energie der Wechselwirkung der Elektronen mit den Ionen und der Elektronen untereinander.
Die Ion-Ion Wechselwirkung sowie die kinetische Energie der Ionen werden vernachlässigt [16].
Hs =
Xħ
h2 k2
k
2me
a~† a~k +
k
X
~k,~q
Vei (~q)a~†
k+~q
a~k +
1X
2 ~ ~0
†
a† a~ 0 a~ .
k+~q ~k−~q k k
v ee (~q)a~
(4.1)
k,k ~q
Zum Hamiltonian des Systems Hs wird eine Störung addiert [31, 18]:
H=
Hs + H t1
H t1
=
X
h j (t)B j .
(4.2)
j
Die Störung H t1 ist im Allgemeinen zeitabhängig. h j (t) steht für externe Felder und B j für die
dazugehörigen dynamischen Variablen [31, S. 22]. Als ungestörtes Ensemble wählen wir das
großkanonische Gibbs-Ensemble [31, S. 23]. Der statistische Operator im Gleichgewicht ist:
ρ0 =
exp −β(H − µN )
.
Tr exp −β(H − µN )
(4.3)
Die Störung wird in unserem Fall durch ein zeitunabhängiges, äußeres elektrisches Feld E~0
erzeugt. H1 ist die Wechselwirkungsenergie der Ne Elektronen mit den Ortsvektoren r~i mit dem
~≈E
~ 0 [16, S 50]. Es gilt:
Feld im Plasma E
1
H = Hs + H ,
~ ~R,
H = −e E
1
~R =
Ne
X
~r i.
(4.4)
i
Nimmt man die Störungen als klein an, so kann der statistischen Operator des gestörten Systems in linearer Näherung berechnet werden. In [30] wird die allgemeine Vorgehensweise beschrieben. Es wird ein statistischer Operator konstruiert, der die Nichtgleichgewichtszustände
beschreiben kann. Bei der hier verwendeten Zubarev-Methode wird in die Bewegungsgleichung
für den statistischen Operator ein Quellterm eingeführt [16, S.33]:
dρ
dt
20
+
i
ħ
h
H, ρ = −ηz (ρ − ρq ),
ηz → 0.
(4.5)
ρq ist der statistische Operator des Quasi-Gleichgewichtes. Mit dessen Ensemble lassen sich die
Nichtgleichgewichtszustände beschreiben. ρq gewinnt man aus dem Extremum der Informationsentropie unter Nebenbedingungen [16, S.34],[31, S.11f]:
Sin f = −Tr ρ ln ρ ,
(4.6)
‚
Œ
X
1
exp −
Fm (t)Pm .
(4.7)
ρq =
P
m
Tr exp − Fm (t)Pm
m
Für die Operatoren Pm gilt:
€
Š
Tr ρ(t)Pm = Tr ρq (t)Pm ,
Tr(ρ) = 1,
(4.8)
wobei Tr(Aρ) dem Erwartungswert des Operators A entspricht. Die Parameter Fm können als
interne Felder zu den Operatoren Pm betrachtet werden [30, S.23]. Mathematisch sind es die Lagrangeschen Parameter der Extremwertbestimmung unter der Nebenbedingung aus Glg. (4.8).
Im Gleichgewicht gilt Fn (t) = 0. Man wählt nun für Pm Operatoren, von denen man annehmen
kann, dass deren Erwartungswerte den Nichtgleichgewichtszustand des Systems beschreiben
[16, S. 34]. Für den Fall eines externen elektrischen Feldes wählen wir als Operatoren den Hamiltonian des System Hs , die Teilchenzahl der Elektronen Ne , deren Gesamtimpuls ~P und den
~ [16, S. 51]:
Wärmestrom Q
Ne =
X
~k
a~† a~k ,
k
~P =
X
~k
ħ
h~ka~† a~k ,
~=
Q
k
X
ħ
h~k
~k
ħ
h2 k2
me
β a~† a~k .
k
(4.9)
Es folgt für den statistischen Operator des Quasigleichgewichts:
ρq =
1
Zq
€
Š
~ ,
exp −β Hs + βµe Ne + β v~ ~P + β w
~Q
€
Š
~ .
Zq = Tr −β Hs + βµe Ne + β v~ ~P + β w
~Q
(4.10)
Die Exponentialfunktion in ρq kann nun wie folgt in erster Ordnung entwickelt werden [16,
S.52]:


Z1


−τA
τA
 , A = −β H+βµ N , B = −β e E
~.
~ ~R+β v~ ~P +β w
eA+B = eA+
1
+
dτe
(B
−
⟨B⟩)e
+
...
~Q
e e


0
(4.11)
Der Hamiltonian des Systems wird hier durch den Gesamthamiltonian und die Störung (4.4)
ausgedrückt Hs = H − H 1 . Die formale Lösung der Glg. (4.5) lautet [16, S.34]
ρ = ρq −
i
Z0
ħ
h
dt eηz t e
iH t
ħ
h
”
— iH t
H, ρq e− ħh .
(4.12)
−∞
Im Kommutator wird ρq durch seine Entwicklung nach Glg. (4.11) ersetzt. Im stationären Fall
∂ ρ/∂ t = 0 kann die Nebenbedingung Glg. (4.8) umgeformt werden [16, S 52.]:
i
∂
Tr ρ(t)Pm = Tr ρq [H, Pm ] .
(4.13)
∂t
ħ
h
21
~ erhält man ein Gleichungssystems zur Bestimmung von v~ und w
Mit P = ~P , Q
~ . Für den mittleren
elektrischen Fluss gilt:
€ Š
e
⟨~j⟩ =
Tr ρ ~P .
(4.14)
me Ω
Ω ist das Ortsraum-Volumen. Die Stromdichte kann durch Ne und We ausgedrückt werden. Es
gilt:
i
Tr ρ0 [Px , R x ] , We = Tr ρ0 [Q x , R x ] . (4.15)
Ω
ħ
h
ħ
h
~ und ~j in Richtung der x-Achse liegen. Mit den
Das Koordinatensystem wird so gewählt, dass E
Lösungen für w
~ und v~ aus dem bereits erwähnten Gleichungssystem erhält man nach Umfor~ ):
mungen für die elektrische Leitfähigkeit (⟨~j⟩ = σ E
⟨~j⟩ =
e
Ne v x + We w x ~e x ,
σ=
i
mit Ne =
e2 N 0 ([G; G] − W [F ; G]) − W 0 (N [G; F ] − W [F ; F ])
Ω
[F ; F ][G; G] − [F ; G][G; F ]
.
(4.16)
Hier wurden Korrelationsfunktionen verwendet:
Z0
[A; B] =
−∞
dt eεt
Zβ
dτ Tr ρ0 A(t − iħ
hτ)B
(4.17)
0
F und G beschreiben Kräfte: F bezeichnet die Gesamtkraft auf die Elektronen, G ist die Kraft,
die den Wärmestrom hervorruft [16, S.53].
i
F = F x = [Hs ; Px ],
ħ
h
i
G = G x = [Hs ; Q x ].
ħ
h
(4.18)
Es gilt:
Ne0 = Ne +
1
me
[Px ; F ],
We0 = We +
1
me
[Px ; G].
(4.19)
Im weiteren soll N 0 ≈ N und W 0 ≈ W angenommen werden. Die Spur in Ne und We (4.15) wird
nur bezüglich freier Elektronen berechnet [16, S. 53f]. Es folgt mit der Fermifunktion Iν (α):
ne = Ne /Ω =
2se + 1
λ3e
I1/2 (βµe ),
w e = We /Ω = 5
2se + 1
λ3e
I3/2 (βµe ).
In zweiter Quantisierung ausgeschrieben ergeben sich für F und G [16, S. 54]:
X
(0)
Vei (~q) · (q x a~† a~k ),
Mei ≡ F = −i
k+~q
~k~q
(2)
(2)
G = Mei + Mee
,
i
ħ
h2 β X
(2)
Mei ≡ [Vei , Q x ] = −i
Vei (~q) · ((k x + q x )(~k + ~q)2 − k x k2 )a~† a~k ,
k+~q
ħ
h
me ~
(4.20)
(4.21)
(4.22)
(4.23)
k~q
2
ħ
h βX
i
(2)
Mee
≡ [Vee , Q x ] = −i
ħ
h
me
~k~q
Vee (~q) · ((k x + q x )(~k + ~q)2 − k x k2 )a~†
a† a ~0 a~ .
k+~q k~0 −~q k k
(2)
(2)
(0)
(2)
(2)
(2)
Die Berechnung der Korrelationsfunktionen [Mee
; Mee
],[Mei ; Mei ],[Mei , Mei ] und
(0)
(0)
[Mei , Mei ] bleibt die übrige Aufgabe.
22
(4.24)
4.2 T-Matrix Näherung der Korrelationsfunktionen
In [16] wurden die Korrelationsfunktionen mit Hilfe der T-Matrix-Näherung berechnet. Es ergeben sich zwei Integrale. Die T-Matrix ist wie folgt definiert (siehe Abschnit2.2):
T = V + V (E − V − H0 + iη)−1 T.
(4.25)
Die Transfermatrix lässt sich als Übergangsmatrix zwischen zwei Zuständen dargestellt werden. Mehrfachstreuung bedeutet mehrfaches anweden der Transfermatrix. Um die Elektron-Ion
Korrelationsfunktion zu erhalten, wird HS in ρ0 und im Zeitentwicklungsoperator ersetzt durch:
X
Xħ
h2 k2 †
a~ a~k +
Vei (~q)a~† a~k
(4.26)
H ei =
k
k+~q
2m
e
~
k
k,~q
In [16] wird die Elektron-Ion-Korrelationsfunktion nun mit Hilfe der Kubo-GreenwoodMethode berechnet [16, S. 97-101]. Gleiches wird dort auch für die Elektron-ElektronKorrelationsfunktion durchgeführt. Man erhält folgende Integrale für die Korrelationsfunktionen:
‚ 2 Œ n+n0 +1 Z∞
Œ
‚ 2 2
2
0
ħ
h
β
4n
ħ
h
ħ
h
k
β
0
i
(n)
(n )
− βµe
(4.27)
[Mei ; Mei ]/Ω =
dk k3+n+n exp
3π
me
2me
0
‚
·
(2)
(2)
[Mee
; Mee
]/Ω =
‚
exp
ħ
h2 k2 β
2me
Œ−2
Œ
− βµe
+1
l=0
p
Z∞
h8 β 7/2
128 πn2e ħ
3
∞
X
€
Š
ei
(l + 1) sin2 δlei (k) − δl+1
(k)
me
‚
dq q5 exp
−ħ
h2 q2 β
Œ
(4.28)
me
0
·
∞
X
(l + 1)(l + 2)
l=0
(2l + 3)
€
Š
ee
sin2 δlee (q) − δl+2
(q) ,
~q = (~k − k~0 )/2.
(2)
(2)
Für [Mee
; Mee
] wurden die Relativ und Schwerpunktkoordinaten k und k0 eingeführt.
4.3 Berechnung der Leitfähigkeit
Das Problem kann nun auf eine numerische Integration zurückgeführt werden. Die Information
über die Streuung fließt dabei nur in Form der Streuphasen ein, diese stehen in einer unendlichen Summe unter dem Integral (siehe Glg. (4.27)). Sie sind selbst Ergebnisse der numerischen
Integration der Schrödinger Gleichung. Um die Laufzeit des Programms zu beschränken, wurde das Problem parallelisiert. Das Integral der Korrelationsfunktionen wurde aus diesem Grund
mit der Trapezregel berechnet, diese erlaubt die einzelnen Knoten parallel zu berechnen. Für
die Summe wurde eine geeignete Abbruchbedingung gewählt.
Die Grenzen der Integration wurden nach folgender Abschätzung bestimmt:
kmax
3+n+n0
kmin
ħ
h2 k2 β
− βµe ,
x(kma x ) = 28 → e x /(e x + 1)2 ≈ 0.7 · 10−12 ,
2me
p
= 2me ((28/β) + µ))/ħ
h,
(4.30)
= 10−12 .
(4.31)
x=
(4.29)
23
Für die Elektron-Elektron Korrelationsfunktionen wurde gewählt:
kmax =
p
(2me (100/β))/ħ
h ,
kmin = (10−12 )(1/5) .
(4.32)
In Gleichung (4.16) werden die Ergebnisse aus Glg.(??) eingesetzt [16, S. 103]:
[F ; F ] = [Mei0 ; Mei0 ],
[F ; Gei ] = [Gei ; F ] = [Mei0 ; Mei2 ],
2
2
],
; Mee
[G; G] = [Mei2 ; Mei2 ] + [Mee
(4.33)
σ=e
2
n2e [Mei2 ; Mei2 ] − 2ne w e [Mei2 ; Mei2 ] + w e2 [Mei0 ; Mei0 ]
2 ; M 2 ] − [M 0 ; M 2 ][M 0 ; M 2 ]
[Mei0 ; Mei0 ][Mei2 ; Mei2 ] + [Mei0 ; Mei0 ][Mee
ee
ei
ei
ei
ei
.
(4.34)
In Abb. 5.1 - 5.3 sind die Korrelationsfunktionen und die elektrische Leitfähigkeiten aufgetragen.
Eine nähere Beschreibung der Berechnung folgt im nächsten Kapitel.
24
5 Resultate
Mit der in Abschnitt 4 kennengelernten Methode wurde nun die elektrisch Leitfähigkeit berechnet, zunächst für ein Wasserstoffplasma bei verschiedenen Temperaturen. Das Plasma wird als
vollständig ionisiert angenommen.
5.1 Berechnung
Der hier verwendete Code ist parallelisiert, dies ermöglicht, auf mehreren Kernen parallel zu
rechnen. Bei der Berechnung der Leitfähigkeit wurde die numerische Integration der Korrelationsfunktionen (Glg. (4.27)) parallelisiert.Aus diesem Grund wurde hier eine einfache Trapezregel verwendet. Diese lässt sich parallel berechnen, da die Knotenpunkte nicht von einander
abhängig sind. Ein Ausschnitt des Code befindet sich in A.2. Die hier verwendete SehnenTrapezregel lautet [7, S. 348]:
Zb
dx f (x) ≈ h
1
1
f ( f (a) + f (a) +
2
2
a
n−1
X
!
f (a + ih)
(5.1)
i=1
Diese ist ebenfalls ins scipy enthalten. Der Faktor der Streuphasen in den Elektronen-IonenKorrelationsfunktionen ist unabhängig von n und n0 (siehe Glg. 4.27). Somit müssen für alle
drei Elektron-Ion-Korreationsfunktionen nur einmal die Streuphasen berechnet werden.
Die Streuphasenberechnung wird mit dem Numerov-Verfahren durchgeführt (siehe Abschnitt
3.1.1). Während der Rest des Programms mit Python geschrieben wurde, wurde dieser Algorithmus in C programmiert. Da er iterativ angewendet wird kommt es zu vielen Schleifendurchgängen, welche mit C schneller berechnet werden können. Ein Ausschnitt des Codes findet
sich in A.1. Das C Programm wird mit Hilfe der Methode ctypes [1] als Bibliothek in Python
eingebunden.
5.2 Wasserstoff
Zunächst wurden Berechnungen für Wasserstoff durchgeführt. Die reduzierte Leitfähigkeit σ∗
wird über dem Plasmaparamter Γ aufgetragen.
σ∗ =
Γ = |l ab /r D | = | −
qa q b
4πε0
e
2
p
me β 3
(4πεo )2
|/
σ
1
k b T ε0
(5.2)
X€
na qa2
!(−1/2)
Š
(5.3)
a
Das Plasma wird als vollionisiert angenommen. Eine Berechnung der Zusammensetzung des
Plasmas findet nicht statt. Der neben der Temperatur freie Parameter in der Berechnung ist
25
zunächst das chemische Potential der Elektronen µe . Aus diesem wird die Elektronendichte ne
berechnet. Für Wasserstoff gilt natürlich ni = ne . Die Umrechnung erfolgt nach Glg. (5.4) (siehe
[16, S. 53]).
2se + 1
I1/2 (βµe ).
(5.4)
ne =
λ3e
Die Fermi-Funktionen Iν (x) (siehe Glg 1.20) wurden mit Hilfe der C-Bibliothek Gnu Scientific
Library [3] berechnet. In Tabelle 5.2 sind einige Werte bei T = 104 K aufgetragen.
Da in der Berechnung der Leitfähigkeit keine Neutralteilichen berücksichtigt sind, ist die berechnete Leitfähigkeit die Leitfähigkeit eines vollionisiertes Plasmas, oder der Beitrag zur Leitfähigkeit des ionisierten Anteils. Abbildung 5.1 - 5.4 zeigen Leitfähigkeitskurven für verschiedene
Temeperaturen mit den jeweils dazugehörigen Korreationsfunktionen.
T=10000K
14
T=15000K
12
12
10
8
8
σ∗
σ∗
10
6
4
4
2
2
3 4 5
2
1065
1064
1063
1062
1061
1060
1059
1058
20 30 4050
T=10000
[Mei0 ;Mei0 ]
[Mei0 ;Mei2 ]
[Mei2 ;Mei2 ]
5
10
Γ
20 30 40
10
1017
1016
1015
1014
1013
1012
1011
1010
109
1065
1064
1063
1062
1061
1060
1059
2
10
Γ
20 30 4050
T=15000
[Mei0 ;Mei0 ]
18
|
2
3 4 5
2
[Mein ;Mein ]/(kg/s)
10
1017
1016
1015
1014
1013
1012
1011
1010
109
10
Γ
[Mee2 ;Mee2 ]/(kg/s)
|
[Mein ;Mein ]/(kg/s)
18
[Mee2 ;Mee2 ]/(kg/s)
6
[Mei0 ;Mei2 ]
5
10
Γ
100
[Mei2 ;Mei2 ]
20 30 40
Abbildung 5.1.: Numerische Ergebnisse für die Leitfähigkeit für verschiedene Temperaturen.
Oben jeweils die Elektrische Leitfähigkeit in T-Matrix Näherung (blau) und die
Spiter-Leitfähigkeit(Grün), Unten die dazugehöriegen Korreationsfunktionen.
Links T = ·104 K, Rechts T = 1.5 · 104 K
26
z = µe · β
−10.0
−9.5
−9.0
−8.5
−8.0
−7.5
−7.0
−6.5
−6.0
−5.5
−5.0
−4.5
−4.0
−3.5
−3.0
−2.5
−2.0
−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
µe /J
−1.3807 · 10−18
−1.3116 · 10−18
−1.2426 · 10−18
−1.1736 · 10−18
−1.1045 · 10−18
−1.0355 · 10−18
−9.6646 · 10−19
−8.9742 · 10−19
−8.2839 · 10−19
−7.5936 · 10−19
−6.9033 · 10−19
−6.2129 · 10−19
−5.5226 · 10−19
−4.8323 · 10−19
−4.1420 · 10−19
−3.4516 · 10−19
−2.7613 · 10−19
−2.0710 · 10−19
−1.3807 · 10−19
−6.9033 · 10−20
0.0000
6.9033 · 10−20
1.3807 · 10−19
2.0710 · 10−19
2.7613 · 10−19
3.4516 · 10−19
4.1420 · 10−19
4.8323 · 10−19
5.5226 · 10−19
6.2129 · 10−19
6.9033 · 10−19
Γ
1.1338e − 01
1.4558e − 01
1.8693e − 01
2.4002e − 01
3.0819e − 01
3.9570e − 01
5.0806e − 01
6.5230e − 01
8.3742e − 01
1.0750
1.3796
1.7701
2.2700
2.9088
3.7224
4.7537
6.0508
7.6634
9.6343
1.1988
1.4719
1.7787
2.1123
2.4644
2.8277
3.1959
3.5647
3.9313
4.2940
4.6518
5.0043
ne /m−3
2.1925 · 1023
3.6148 · 1023
5.9597 · 1023
9.8255 · 1023
1.6199 · 1024
2.6705 · 1024
4.4024 · 1024
7.2568 · 1024
1.1960 · 1025
1.9708 · 1025
3.2463 · 1025
5.3440 · 1025
8.7886 · 1025
1.4430 · 1026
2.3632 · 1026
3.8540 · 1026
6.2443 · 1026
1.0016 · 1027
1.5830 · 1027
2.4511 · 1027
3.6952 · 1027
5.3960 · 1027
7.6094 · 1027
1.0358 · 1028
1.3637 · 1028
1.7419 · 1028
2.1672 · 1028
2.6359 · 1028
3.1447 · 1028
3.6906 · 1028
4.2712 · 1028
rd /m
1.4738 · 10−8
1.1478 · 10−8
8.9391 · 10−9
6.9619 · 10−9
5.4221 · 10−9
4.2229 · 10−9
3.2890 · 10−9
2.5617 · 10−9
1.9954 · 10−9
1.5545 · 10−9
1.2112 · 10−9
9.4400 · 10−10
7.3612 · 10−10
5.7447 · 10−10
4.4891 · 10−10
3.5152 · 10−10
2.7616 · 10−10
2.1805 · 10−10
1.7344 · 10−10
1.3939 · 10−10
1.1352 · 10−10
9.3944 · 10−11
7.9110 · 10−11
6.7805 · 10−11
5.9095 · 10−11
5.2286 · 10−11
4.6877 · 10−11
4.2505 · 10−11
3.8915 · 10−11
3.5922 · 10−11
3.3391 · 10−11
rCW /m
1.4738 · 10−8
1.1478 · 10−8
8.9393 · 10−9
6.9621 · 10−9
5.4224 · 10−9
4.2233 · 10−9
3.2895 · 10−9
2.5624 · 10−9
1.9963 · 10−9
1.5556 · 10−9
1.2126 · 10−9
9.4585 · 10−10
7.3848 · 10−10
5.7750 · 10−10
4.5277 · 10−10
3.5643 · 10−10
2.8238 · 10−10
2.2586 · 10−10
1.8313 · 10−10
1.5122 · 10−10
1.2768 · 10−10
1.1049 · 10−10
9.7986 · 10−11
8.8843 · 10−11
8.2063 · 10−11
7.6928 · 10−11
7.2940 · 10−11
6.9762 · 10−11
6.7166 · 10−11
6.4996 · 10−11
6.3147 · 10−11
Tabelle 5.1.: Einige Werte der Umrechnung von chemischem Potential zu Γ und ne bei T = 104 K.
Zusätzlich ist hier auch die Debye-Länge rd und die Abschirmlänge nach Cooper und
DeWitt rCW eingetragen.
27
T=20000K
T=25000K
10
8
8
6
6
σ∗
σ∗
10
4
4
2
2
3 4 5
[Mei2 ;Mei2 ]
|
2
5
10
Γ
20 30 40
10
1018
1017
1016
1015
1014
1013
1012
1011
1010
1067
1066
1065
1064
1063
1062
1061
1060
10
20 30 4050
Γ
T=25000
[Mei0 ;Mei0 ]
19
[Mein ;Mein ]/(kg/s)
[Mei0 ;Mei2 ]
3 4 5
100
[Mee2 ;Mee2 ]/(kg/s)
|
[Mein ;Mein ]/(kg/s)
[Mee2 ;Mee2 ]/(kg/s)
10
1018
1017
1016
1015
1014
1013
1012
1011
1010
109
20 30 4050
Γ
T=20000
[Mei0 ;Mei0 ]
19
1066
1065
1064
1063
1062
1061
1060
10
2
[Mei0 ;Mei2 ]
5
10
100
[Mei2 ;Mei2 ]
20 30 40
Γ
Abbildung 5.2.: Numerische Ergebnisse für die Leitfähigkeit für verschiedene Temperaturen.
Oben jeweils die Elektrische Leitfähigkeit in T-Matrix Näherung (blau) und die
Spiter-Leitfähigkeit(Grün), Unten die dazugehöriegen Korreationsfunktionen.
Links T = 2 · 104 K, Rechts T = 2.5 · 104 K
28
T=30000K
T=50000K
10
8
6
6
σ∗
σ∗
8
4
4
2
2
4 5
T=30000
[Mei2 ;Mei2 ]
|
2
5
10
20 30 40
Γ
10
1018
1017
1016
1015
1014
1013
1012
1011
1010
1068
1067
1066
1065
1064
1063
1062
1061
10
20 30 4050
Γ
T=50000
[Mei0 ;Mei0 ]
19
[Mein ;Mein ]/(kg/s)
10
1018
1017
1016
1015
1014
1013
1012
1011
1010
[Mei0 ;Mei2 ]
5
100
[Mee2 ;Mee2 ]/(kg/s)
|
[Mein ;Mein ]/(kg/s)
[Mee2 ;Mee2 ]/(kg/s)
20 30 4050
Γ
[Mei0 ;Mei0 ]
19
1067
1066
1065
1064
1063
1062
1061
10
2
[Mei0 ;Mei2 ]
5
10
100
200
[Mei2 ;Mei2 ]
20 30 40
Γ
Abbildung 5.3.: Numerische Ergebnisse für die Leitfähigkeit für verschiedene Temperaturen.
Oben jeweils die Elektrische Leitfähigkeit in T-Matrix Näherung (blau) und die
Spiter-Leitfähigkeit(Grün), Unten die dazugehöriegen Korreationsfunktionen.
Links T = 3 · 104 K, Rechts T = 5 · 104 K
29
T=80000K
T=100000K
8
8
7
7
6
σ∗
σ∗
6
5
4
4
3
3
2
1
2
1
10
100
T=80000
10
[Mei2 ;Mei2 ]
|
2
5
10
20 3040
Γ
10
1019
1018
1017
1016
1015
1014
1013
1012
1011
1069
1068
1067
1066
1065
1064
1063
20 30 4050
Γ
2
5
100
T=100000
[Mei0 ;Mei0 ]
20
[Mein ;Mein ]/(kg/s)
[Mei0 ;Mei2 ]
200
[Mee2 ;Mee2 ]/(kg/s)
|
[Mein ;Mein ]/(kg/s)
10
1019
1018
1017
1016
1015
1014
1013
1012
1011
1069
1068
1067
1066
1065
1064
1063
1062
20 30 4050
Γ
[Mei0 ;Mei0 ]
20
[Mee2 ;Mee2 ]/(kg/s)
5
[Mei0 ;Mei2 ]
10
200
[Mei2 ;Mei2 ]
20 3040
Γ
Abbildung 5.4.: Numerische Ergebnisse für die Leitfähigkeit für verschiedene Temperaturen.
Oben jeweils die Elektrische Leitfähigkeit in T-Matrix Näherung (blau) und die
Spiter-Leitfähigkeit(Grün), Unten die dazugehöriegen Korreationsfunktionen.
Links T = 8 · 104 K, Rechts T = 10 · 104 K
30
5.3 Vergleich mit COMPTRA
Der in Rostock entwickelte Code COMPTRA [15] [14] [2] arbeitet ebenfalls mit der T-MatrixAppromaxion und der Zubarev-Methode. COMPTRA beinhaltet auch eine Berechnung der Plasmazusammensetzung und kann mehrere Ionisationszustände behandeln. Hier wurde das Wasserstoffplasma bei T = 104 K mit COMPTRA verglichen. COMPTRA wurde angewiesen, nur ElektronenElektronen und Elektronen-Ionen Streuung zu berücksichtigen und die Streuphasen mit der
Numerov-Methode zu berechnen. Zusätzlich wurden experimentelle Daten, die sich im unteren
Bereich der Werte von Γ befinden, aufgetragen. Diese stammen aus verschiedenen Messungen ([22],[9],[12], [10]) und sind aus [23] entnommen. Es zeigt sich, das für Wasserstoff
die Ergebnisse von COMPTRA in Bereichen von großem Γ auch mit unserem Code nachvollzogen
werden können. In Bereichen von kleinem Γ zeigt unser Code eine Abweichung. Kleine Γ bedeuten aber große Debye-Längen. Im Bereich großer Debye-Längen wächst der numerische Fehler
der Streuphasenberechnung, da die Integration über einen größeren Wertebereich durchgeführt
werden muss. Wie im Kapitel zu den Streuphasen bereits zu sehen war, steigen die numerisch
berechneten Streuphasen bei großen r D für große k gegen die Erwartung an (siehe 3.2.2). In
diesem Bereich wird die Bornsche Näherung verwendet. Es ist möglich, dass der Anschluss an
die Bornsche Näherung zu spät geschieht und dies für die schlechten Ergebnisse für kleine Γ
verantwortlich ist.
102
σ∗
101
100
10-1
T-Matrix Approximation
Spitzer
COMPTRA ee ei
10-1
100
Γ
101
102
Abbildung 5.5.: Vergleich mit COMPTRA bei T = 104 K.
Experimentelle Daten ([23]): + und Kreise aus [10] und[12]. X aus [22] und [9]
31
6 Ausblick
Das Wasserstoffplasma stellt nur den ersten Schritt der Rechnungen zur elektrischen Leitfähigkeit dar. Das Debye-Potential soll in Zukunft durch ein geeignetes Potential für schwere Ionen
ersetzt werden. Zunächst sollen Cäsium und Aluminium untersucht werden.
Die Berechnung sollte für kleine Γ weiter überprüft werden. Die gewonnenen Daten sollen mit
Messdaten verglichen werden, um die Rechnung zu validieren. Die erkennbaren Hebungen und
Senken im Verlauf der Leitfähigkeitskurve als Funktion von Γ sollen näher untersucht werden,
um sie auf physikalische Effekte zurückführen zu können.
Um einen vollständigen Code zur Beschreibung von nichtidelaen Plamsen (vergleichbar mit
COMPTRA) zu erhalten, muss auch die Zusammensetzung und Ionisation des Plasmas berechnet
werden. Verschiedene Ionisationsstufen sowie die Neutralteilchen sollten berücksichtigt werden.
Auf der Grundlage der in dieser Arbeit berechneten Streuphasen können auch andere Transporteigenschaften des Plasmas berechnet werden, z.B. die Wärmeleitfähigkeit.
32
Literaturverzeichnis
[1] ctypes — A foreign function library for Python. http://docs.python.org/2/library/ctypes.html.
[2] COMPTRA - Webpage.
[3] GSL - GNU Scientific Library. http://www.gnu.org/software/gsl/.
[4] scipy - SciPy v0.11 Reference Guide (DRAFT). http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/.
[5] scipy.integrate.odeint
SciPy
v0.11
Reference
Guide
(DRAFT).
http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.integrate.odeint.html.
[6] M. S. Cooper and H. E. DeWitt. Degeneracy Effects in Gases in the near Classical Limit.
Physical Rewiev A, 8(4):1910–1916, 1973.
[7] Wolfgang Dahmen and Arnold Reusken. Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler.
Springer, Berlin ; Heidelberg, 2., korr. aufl. edition, 2008.
[8] W. Ebeling and G. Röpke. Conductance Theory of Nonideal Plasma. Annalen der Physik,
36(6):429–437, 1979.
[9] G. Günther, S. Lang, and K. Radtke. J. Phys D, 16(1235), 1983.
[10] G. Günther and K. Radtke. Electric Propertie of Weakly Nonideal Plasmas. Akademie Verlag,
1984.
[11] E. Hairer, G. Wanner, and S. P. Nørsett. Solving ordinary differential equations, volume 1:
Nonstiff problems of Springer series in computational mathematics ; 8. Springer, Berlin, 2.
rev. ed., 2. corr. print. edition, 2000.
[12] Yu. L. Ivanov, V.B. Mintsev, V.E. Fortov, and Dremin A.N. Zh. Eksp. Teor. Fiz., 21(216), 1967.
[13] Wilhelm H. Kegel. Plasmaphysik. Springer, Heidelberg, 1998.
[14] S. Kuhlbrodt. Transporteigenschaften dichter Plasmen. PhD thesis, 2003.
[15] S. Kuhlbrodt, B. Holst, and R. Redmer. COMPTRA04 – a Program Package to Calculate
Composition and Transport Coefficients in Dense Plasmas. Contribuitons to Plasma Physics,
45(2):73–88, 2005.
[16] C.-V. Meister. Zur Theorie der Leitfähigkeit und Thermodynamik nichtidealer Plasmen. PhD
thesis, Wilhelm-Pieck-Universität, Rostock, 1981.
[17] C.-V. Meister and D.H.H. Hoffmann. Plasmaphysik Vorlesung. TU Darmstadt, 2011.
[18] C.V. Meister and G. Röpke. Electrical Conductivity of Non-ideal Plasmas and the Ion Distribution Function. Annalen der Physik, 39(2):133–148, 1982.
[19] W. Nolting. Quantenmechanik – Methoden und Anwendungen, volume 5/2 of Grundkurs
Theoretische Physik. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden, 5 edition, 2006.
33
[20] B. V. Noumerov. A method of extrapolation of perturbations. Monthly Notices of the Royal
Astronomical Society, 84:592–592, June 1924.
[21] B. Numerov. Note on the numerical integration of d2 x/dt2 =f(x t). Astronomische Nachrichten, 230:359, August 1927.
[22] K. Radtke and G. Günther. J. Phys D, 9(1131), 1976.
[23] T. Ramazanov, K. Galiyev, K. N. Dzhumagulova, G. Röpke, and R. Redmer. Scattering
processes and electrical conductivity of partially ion- ized hydrogen plasma . Contribuitons
to Plasma Physics, 43(1), 2003.
[24] G. Röpke. Electrical conductivity of a system of localized and delocalized electrons. Theoreticheskaya i Matematicheskaya Fizika, 46(2):279–288, 1981.
[25] M. Schlanges, D. Kremp, and H. Keuer. Kinetic Approach to the Electrical Conductivity in
partial Ionized Hydrogen Plasma. Annalen der Physik, 41(1):54–66, 1984.
[26] F. Schwabl. Quantenmechanik (QM I):. Springer-Lehrbuch. Springer, 2004.
[27] K.H. Spatschek. Theoretische Plasmaphysik. Teubner, Stuttgart, 1990.
[28] H. Stöcker. Taschenbuch der Physik. Verlag Harri Deutsch, 2007.
[29] Peter A. Strurrock. Plasma Physics. Cambridge University Press, 1994.
[30] D. Zubarev, V. Morozov, and Roepke G. Statistical Mechanics of Nonequlibrium Processes,
volume 1. Akademie Verlag, Berlin, 1996.
[31] D. Zubarev, V. Morozov, and G. Roepke. Statistical Mechanics of Nonequlibrium Processes,
volume 2. Akademie Verlag, Berlin, 1997.
34
A Anhang
A.1 Listings Streuphase
Folgender Code-Auschnitt zeigt die Iteration der Numerov-Methode. (siehe Abs. ?? und Abs.
5.1)
do
{
// H e r a u f s e t z e n von n zu n=n+1
t=t+h ;
wfkt_n_minus_1=wfkt_n ;
wfkt_n=w f k t _ n _ p l u s _ 1 ;
knoten_n_minus_1=knoten_n ;
knoten_n=knoten_n_plus_1 ;
// R e k u r s i o n s c h r i t t f u e r n e u e s n
knoten_n_plus_1=s g l ( k , t+h , rd , l , c o n s t a n t s ,
s t r e u _ a r t , Z , A) ;
c2=(ld2 −(( ld5 / ld6 ) * h * h * knoten_n ) ) ;
c3=(ld1+(h * h /( ld12 ) ) * knoten_n_minus_1 ) ;
c1=ld1 /( ld1+knoten_n_plus_1 * h * h /( ld12 ) ) ;
w f k t _ n _ p l u s _ 1=(wfkt_n * c2 * c1−wfkt_n_minus_1 * c3 * c1 )
;
}
while ( t <=(r_ende+h ) ) ;
a_fun [0]= wfkt_n_minus_1 ; a_fun [1]= wfkt_n ; a_fun [2]= w f k t _ n _ p l u s _ 1 ; a_fun
[3]= t−h ; a_fun [4]= t ; a_fun [5]= t+h ;
}
long double f e h l e r _ f u n ( long double * fx , long double h )
{
long double r e s u l t =0.;
int i ;
A.2 Listings Korrelationsfunktion
Folgender Ausschnitt zeigt die Parallelisierung des numerischen Integrals über die ElektronenIonen-Korrelationsfunktion. Die Funktion integrandie berechnet den von k unabhängigen Teil
des Integranden. In diesem sind Summen über die Streuphase enthalten. (Siehe auch Abschnitt
5.1)
# P a r a l l e l e Rechnung mit P o o l
p=Pool ( i n i t i a l i z e r= i n i t c o u n t , i n i t a r g s =(counter , ) )
35
yp=[]
p r i n t " Trapez S c h r i t t e " , ( v i e l )
#S t a r t e Worker f u e r T r a p e z r e g e l S t u e t z s t e l l e n p a r a l l e l
while ak<kmax :
x . append ( ak )
#
p r i n t ak * abohr ,
yp . append ( p . a p p l y _ a s y n c ( i n t e g r a n d i e , ( x [ −1] , bet , rd , mu,
kmax , kmin1 , sch , elem ) , ) )
ak=ak+sch
#yp i s t a r r a y aus E i n t r a e g e n d e s Typs r e s u l t d e r p o o l K l a s s e
y=[]
phasendaten . append ( [ [ [ ] , [ ] , rd ] ] )
p o l l y =[]
# u e b e r g e b e d i e E r g e b n i s s d a t e n aus den r e s u l t −t y p e n an a r r a y . Wartet
b e i g e t ( ) b i s d e s e r Werte e b r e c h n e t i s t .
f o r i in range ( 0 , l e n ( x ) ) :
# p r i n t f e r m i h a l f (3)
# print type ( i ) , type ( len (x) )
p o l l y . append ( yp [ i ] . g e t ( ) )
y . append ( p o l l y [ −1][0])
#p r i n t i ,
#s y s . s t d o u t . f l u s h ( )
p . close ()
p . join ()
# Warten b i s a l l e Worker f e r t i g s i n d .
p r i n t ’ \n ’
#B e r e c h n e S t u e t z s t e l l e n und V o r f a k t o r e n f à ij r d i e d r e i v e r s c h i e d e n e e−
i Integrale
# n=0, ns=0
y1=[(x [ i ] * * ( 3 . ) * y [ i ] ) f o r i in range ( 0 , l e n ( x ) ) ]
vor1 = ( 4 . / ( 3 . * p i ) ) * n i * hbar * ( hbar * hbar * b e t /m_e) * * ( 1 . )
36