Mechanik II - schnoegl.at

Mechanik II
Skriptum zur Fachvorlesung
Mag. Peter Schnögl
Mag. Harald Wiltsche
Mechanik 2
Der Impuls
Der Impuls eines Teilchens ist definiert als Produkt aus einer Masse und seiner Geschwindigkeit
r
p = mv
Zusammenhang zwischen Impuls und Kraft:
dp d (mv)
dv
=
=m
= ma = F
dt
dt
dt
dp = Fdt ...Kraftstoß
Beispiel
Ein Puck (m =160 g) bewegt sich mit 16 m/s auf einen Eishockeyspieler zu. Dieser erteilt
ihm mit dem Schläger eine Geschwindigkeit von 20 m/s in entgegengesetzter Richtung. Die
Kraft des Schlages wirkt auf den Puck 0,01 s lang. Berechnen Sie die durchschnittliche
Kraft, die vom Spieler auf den Puck ausgeübt wird.
∆p = F .∆t
m.∆v = F .∆t
m.∆v
F=
∆t
Da die Geschwindigkeiten entgegengesetzt sind, gilt:
∆v = v 2 − ( −v 1 ) = v 2 + v1
m.( v1 + v 2 )
F=
=
∆t
0,16kg ⋅ 36
0,01s
m
s = 576N
Betrachtet man zwei Teilchen, die aufeinander entgegengesetzt gleich große Kräfte ausüben, so
erhält man:
dp1
dt
dp
F21 = 2
dt
F12 = −F21 F12 + F21 = 0
F12 =
0=
dp1 dp2 d(p1 + p2 )
+
=
dt
dt
dt
⇒ p1 + p2 = const.
allgemein (für n Teilchen) gilt:
p ges = m ges v System = ∑ m i v i = const.
i
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Mechanik 2
Gesetz von der Impulserhaltung:
Wirkt auf ein System von Massenpunkten keine resultierende äußere Kraft, dann ist die
Geschwindigkeit seines Massenmittelpunktes konstant und der Gesamtimpuls des Systems bleibt
erhalten (d.h. der Impuls stellt eine Erhaltungsgröße dar).
andere Formulierung:
In einem abgeschlossenen System bleibt der Gesamtimpuls erhalten.
Beispiel: Mann im Boot
zuerst ist p=0; da der Gesamtimpuls konstant bleibt, muss der Impuls zu jedem Zeitpunkt null sein!
m1 v1 + m2 v 2 = const = 0
m2 v 2 = − m1 v1
m
v 2 = − 1 v1
m2
Stoßvorgänge
Elastischer Stoß:
Die Verformungen beim Zusammenprall werden zur Gänze rückgängig gemacht. Die Gesamtenergie
bleibt als Bewegungsenergie erhalten.
vor dem Stoß: m1v1, m2v2
nach dem Stoß: m1v1’, m2v2’
Unelastischer Stoß:
Die Verformungen bleiben bestehen; ein Teil der kinetischen Energie wird in innere Energie
umgewandelt:
vor dem Stoß: m1v1, m2v2
nach dem Stoß: (m1 + m2)v’
Beispiele
a)
Kugelpendel
Dass auf der anderen Seite auch zwei Kugeln wegfliegen, lässt sich allein mit der Energieerhaltung
nicht erklären; man benötigt auch den Impulserhaltungssatz
Nach dem Energieerhaltungssatz könnte auf der rechten Seite auch nur eine Kugel mit größerer
Geschwindigkeit wegfliegen.
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Mechanik 2
Annahme: 1) Es werden links zwei Kugeln ausgelenkt, rechts wird nur eine Kugel mit größerer
Geschwindigkeit weggestoßen
Impulserha ltung :
mv + mv = mv ′
Energieerh altung :
mv 2 mv 2 mv ′ 2
+
=
2
2
2
⇔ 2mv = mv ′
⇔ 2
mv 2 v ′ 2
=
2
2
⇔ v ′ = 2v
⇔ v ′ = v. 2
Widerspruch !!
Annahme: 2) Es werden rechts zwei Kugeln mit verschiedenen Geschwindigkeiten weggestoßen
I : mv + mv = mv1 + mv 2
1
1
1
1
2
2
E : mv 2 + mv 2 = mv1 + mv 2
2
2
2
2
I : 2v = v1 + v 2 → v1 = 2v − v 2 → einsetzen in E
2
2
2
E : 2v 2 = v1 + v 2 = (2v − v 2 ) 2 + v 2 = 4v 2 − 4vv 2 + 2v 2
v 2 = 2v 2 − 2vv 2 + v 2
0 = v 2 − 2vv 2 + v 2
2
2
2
0 = (v − v 2 ) 2 ⇒ v = v 2
v1 = 2v − v 2 = 2v − v = v
⇒ v = v1 = v 2
b)
Ballistisches Pendel
m2 v = (m1 + m2 )v'
v' = 2gh
v=
c)
(m1 + m2 ) 2gh
m2
Raketenantrieb:
Eine Rakete stößt Verbrennungsgase der Masse ∆m mit der Geschwindigkeit v0 aus. Ihre
Geschwindigkeit erhöht sich um ∆v. Es gilt:
∆mv 0 = ( m0 − ∆m)∆v
∆mv 0
∆v =
m0 − ∆m
d)
Astronaut in Not:
Ein von einem Raumschiff getrennter Astronaut bemerkt, dass sich das Raumschiff mit v = 0,12
m/s von ihm entfernt. Er hat einen Hammer (m= 1,2 kg) bei sich. Auf welche Weise kann er das
Raumschiff erreichen, wenn seine Masse samt Ausrüstung 115 kg beträgt ? (Lösung: v >
11,5m/s)
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Mechanik 2
Die Kreisbewegung
Bewegt sich ein Teilchen mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn (Translation !), so
handelt es sich dabei um eine beschleunigte Bewegung! Die zeitliche Änderung der
Bahngeschwindigkeit betrifft dabei nicht den Betrag, sondern die Richtung des
Geschwindigkeitsvektors. Die Beschleunigung heißt Zentripetalbeschleunigung und ist zum
Kreismittelpunkt hin gerichtet.
Der Betrag der Zentripetalbeschleunigung ist
v2
a=
r
Die gleichförmige Rotationsbewegung
Den Größen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung einer Translationsbewegung entsprechen
die Größen Drehwinkel, Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung bei der
Rotationsbewegung.
Der Drehwinkel ϕ für die Drehbewegung wird im Bogenmaß gemessen. Dieses ist definiert durch
Drehwinkel =
Einheit:
1 rad = 57,29°
Bogenlänge
Radius
[ϕ ] =
ϕ=
s
r
1m
= 1 ( Radiant ) = 1 rad
1m
90° = 1,57rad
180° = π rad
360° = 2π rad
Unter der (momentanen) Winkelgeschwindigkeit ω versteht man die zeitliche Änderung des
Drehwinkels:
ω=
∆ϕ
∆t
[ω ] = 1
rad 1
= = s −1
s
s
Die Winkelgeschwindigkeit ist eine vektorielle Größe, die Richtung ist durch die
Rechtsschraubenregel festgelegt.
Unter der (momentanen) Winkelbeschleunigung α versteht man die zeitliche Änderung der
Wnkelgeschwindigkeit:
α=
∆ω
∆t
[α ] = 1
rad
1
= 2 = s −2
2
s
s
Die Winkelbeschleunigung ist eine vektorielle Größe, die Richtung folgt aus der Richtung der
Winkelgeschwindigkeit (Rechtsschraubenregel).
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Mechanik 2
Unter der Frequenz f versteht man allgemein die Anzahl der periodischen Vorgänge pro Sekunde. Im
Fall der Rotation sind das die Umdrehungen pro Sekunde (d.h. die Frequenz stimmt mit der Drehzahl
n=U/s überein).
[f]=
1
= 1 Hz ( Hertz )
s
Die Umlaufzeit T ist die Zeit für eine ganze Umdrehung (für einen Drehwinkel von 2π ). Es gilt somit
der Zusammenhang
T=
1
f
ω=
ϕ
t
=
2π
= 2πf
T
Der Zusammenhang zwischen der Winkelgeschwindigkeit ω und der Bahngeschwindigkeit v eines
Körpers ergibt sich aus folgender Überlegung:
v=
s 2πr
2π
=
=r
= rω
t
T
T
Bei einer gleichförmigen Rotation ist die Winkelgeschwindigkeit für alle Punkte eines Drehkörpers
(z.B. einer Scheibe) gleich groß. Die Bahngeschwindigkeit wächst hingegen mit dem Abstand von der
Drehachse.
Beispiel:
a) Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit der Erde.
t = 24h = 24.60.60 s = 86400s
ω=
ϕ
t
=
2π rad
1
= 7,27.10 −5
s
86400 s
b) Bestimmen Sie die Bahngeschwindigkeit eines Körpers, der sich am Äquator befindet (wenn man das
Weltall als ruhendes Bezugssystem voraussetzt) Erdradius=6378km.
v = r.ω =
r.2π
m
km
= 6378.10 3 m.7,27.10 − 5 s −1 ≈ 463 = 1670
T
s
h
c) Ein Körper am Äquator erfährt auf Grund der Erdrotation eine Beschleunigung in Richtung des
Erdmittelpunktes. Weiterhin erfährt er auf Grund der Rotation der Erde um die Sonne eine
Beschleunigung in Richtung der Sonne. Berechnen Sie beide Beschleunigungen und drücken Sie sie in
Abhängigkeit von der Erdbeschleunigung g aus (Entfernung Erde-Sonne: 1,5.1011m).
az =
v2
464 2
m2
m
=
≈ 3,375.10 − 2 2 ≈ 3,4.10 −3 g
3
2
R E 6378.10 s m
s
az = (
2π .1,5.1011 m 2
1
1
m
) .
= 5,93.10 −3 2 ≈ 6.10 − 4 g
3,16.10 7 s 1,5.1011 m
s
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Mechanik 2
Trägheitsmoment und Rotationsenergie
Bei der Bestimmung der Bewegungsenergie eines
rotierenden Körpers ist zu beachten, dass im Gegensatz
zur Translation die einzelnen Massenpunkte
unterschiedliche Geschwindigkeiten besitzen. Diese
Bahngeschwindigkeiten hängen von der
Winkelgeschwindigkeit und dem Abstand des Punktes
vom Drehpunkt ab.
v i = riω
Für die Bewegungsenergie eines Massenpunktes mi gilt:
mi v i 2 mi ri 2ω 2
Ei =
=
2
2
Die Rotationsenergie des gesamten Körpers ergibt sich aus der Summe der Rotationsenergien aller
Massenpunkte:
1
2
Erot = ∑ Ei = ω 2 .∑ mi ri
2
i
Die Summe
∑m r
i i
2
heißt Trägheitsmoment I des Körpers bezüglich der Drehachse D
Für die Rotationsenergie ergibt sich somit:
Erot
Iω 2
=
2
Bemerkung: Das Trägheitsmoment I bei der Rotation entspricht der Masse m bei der Translation
Die Bestimmung des Trägheitsmomentes erfolgt i.a. mit Hilfe der Integralrechnung
I = ∫ r 2 dm
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Mechanik 2
Trägheitsmomente symmetrischer Körper:
Dünner Hohlzylinder (z.B. Reifen)
I = m.r²
Homogener Vollzylinder:
I = ½ m r²
Homogene Kugel:
I = 2/5 m r²
Experiment:
a) Ein Hohlzylinder und ein Vollzylinder gleicher Masse und mit gleichem Radius rollen eine schiefe
Ebene hinunter: der Vollzylinder kommt früher unten an.
Erklärung: die potentielle Energie wird in kinetische Energie und in Rotationsenergie verwandelt.
Je höher das Trägheitsmoment, umso höher die Rotationsenergie und daher umso kleiner der
Anteil der kinetischen Energie (und umso kleiner die Geschwindigkeit!)
b) "Eierprobe":
Ein rohes Ei ist schwerer in Rotation zu versetzen, als ein gekochtes Ei.
Erklärung: Ein gekochtes Ei kann mehr Rotationsenergie aufnehmen, da sich alle Teilchen wie bei
einem starren Körper mitdrehen.
c) Ein rohes Ei rollt schneller auf einer schiefen Ebene herab, weil das Innere praktisch ohne
Drehung nach unten gleitet.
Beispiel:
Berechnen Sie die Endgeschwindigkeit eines Massivzylinders, welcher längs einer schiefen
Ebene der Höhe h herunterrollt (Hinweis: diese Angaben sind ausreichend zur Lösung der
Aufgabe).
Nach dem Energieerhaltungssatz gilt:
E pot = Ekin + Erot
mv 2 Iω 2
mgh =
+
2
2
2
mv
mv 2
mgh =
+
2
4
2 gh
v=
3
1 2
mr
2
v
ω=
r
I=
v ist unabhängig von m und r! aber abhängig von der Form der Körpers und der Höhe h.
Rotierende Körper können in Form von Schwungrädern zur Energiespeicherung verwendet werden.
z.B: bei Verbrennungskraftmaschinen zum Überwinden des Totpunktes, für einen "runden Lauf"; VW
Ökodiesel, ...
Seite 8
Mechanik 2
Beispiel:
Welche Energie ist in einem Schwungrad aus Stahl (ρ=7900kg/m³) mit einem Durchmesser
von 3m und einer Höhe von 2m gespeichert, wenn es mit 300 Umdrehungen pro Minute (5
Ups) rotiert.
Wie lange könnte mit dieser Energie ein Heizstrahler mit einer Leistung von 2kW damit
betrieben werden?
a)
Erot =
Iω 2 mr 2ω 2
=
2
2.2
, . 5 kg = 112t
m = ρ.V = 7900kgm−3 .1,5 2 π .2m3 = 11210
ω = 2πf = 2π .5 = 10π
Erot =
, . 5 .1,5 2 .100π 2
11210
. 7J
≈ 210
4
b)
W
W = Pt ⇒ 1J = 1Ws
t
. 7 Ws
W 210
=
= 10 4 s ≈ 2h47m
t=
. 3W
P 210
P=
Bewegung um freie Achsen - Hauptträgheitsachsen
Bei allen Körpern gibt es kräftefreie (ohne Lagerbelastung) Rotationsachsen:
Elektromotoren, Kinderkreisel, Erde, ...
I.a. gibt es drei besondere, jeweils durch den Schwerpunkt verlaufende Rotationsachsen, um die das
Trägheitsmoment Extremwerte (Maximum, Minimum, Sattelpunkt) besitzt.
z.B.: Hauptträgheitsachsen eines Quaders
Am stabilsten ist immer die Achse mit dem größten Trägheitsmoment (A); danach kommt jene mit
dem kleinsten TM (B); am instabilsten ist jene mit dem mittleren TM (C).
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Mechanik 2
Drehimpuls
Unter dem Drehimpuls L versteht man das Produkt aus Trägheitsmoment I und
Winkelgeschwindigkeit ω
L=Iω
Die Richtung des Drehimpulsvektors stimmt mit jenem der Winkelgeschwindigkeit überein (zeigt in
Richtung der Drehachse).
Dem Kraftstoß bei der Translation entspricht bei der Rotation der Drehmomentstoß M∆t = I∆ω .
Analog zur Formulierung des 2.Newtonschen Axioms für die Translation in der Form F = dp/dt kann
das 2.NA für die Rotation in der Form
M=
dL d ( Iω )
dω
=
=I
= Iα
dt
dt
dt
α ... Winkelbeschleunigung
angeschrieben werden.
Gesetz von der Erhaltung des Drehimpulses:
In einem abgeschlossenen System bleibt der Gesamtdrehimpuls erhalten (L = const).
Für ein abgeschlossenes System (ein System, auf das keine äußeren Kräfte und Drehmomente
wirken) gibt es daher drei Erhaltungsgrößen:
♦ Energie
♦ Impuls
♦ Drehimpuls
"Drehstuhlexperiment"
Bei Verringerung des Trägheitsmomentes durch Heranziehen der Gewichte kommt es zu
einer Erhöhung der Winkelgeschwindigkeit. Das Produkt I.ω und damit der Drehimpuls L
bleibt konstant.
Beachte: Die Rotationsenergien sind keineswegs gleich: wenn ω1 < ω2, dann folgt
I 1ω 1 2 I 2ω 2 2
<
2
2
Beim Anziehen der Arme muss Arbeit gegen die Zentrifugalkraft verrichtet werden. Diese
von der Person aufgebrachte Arbeit wird in Rotationsenergie umgewandelt.
Die Erhaltung des Drehimpulses wird auch bei verschiedenen Sportarten ausgenutzt:
•
Beim Eislaufen kann die Eisläuferin bei der Pirouette durch ein seitliches Ausstrecken der Arme
ihre Winkelgeschwindigkeit herabsetzen, durch Anziehen der Arme erhöhen.
•
Beim Schlagen eines Saltos wird durch das Anziehen der Arme und Beine die
Drehgeschwindigkeit erhöht.
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Mechanik 2
Drehimpulssatz in einem nicht abgeschlossenen System
Wirkt auf ein System z.B. ein äußeres Drehmoment (in Form eines Kräftepaares), so gilt:
dL
∆L
= M bzw.
=M
dt
∆t
Die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich dem gesamten von außen angreifenden
Drehmoment.
Mit anderen Worten (klingt dieser Zusammenhang hoffentlich verständlicher): Der Drehimpulsvektor
hat das Bestreben, sich gleichsinnig parallel zum angreifenden Drehmomentvektor zu stellen:
Dieses Zusammenhang bietet z.B. die Grundlage zum "Freihändig - Radfahren"
Anwendung des Erhaltungssatzes des Drehimpulses:
•
•
Jongleure: versetzen Bälle und Ringe in Rotation
Kanonen und Gewehre besitzen gezogene Läufe, ...
Kreisel
Als Kreisel bezeichnet man einen in höchstens einem Punkt festgehaltenen rotierenden Körper. Ist
dieser rotationssymmetrisch, so bezeichnet man seine Symmetrieachse als Figurenachse. Ihre Lage
stimmt mit der des Drehimpulsvektors überein.
Bei einem im Schwerpunkt unterstützten Kreisel bleibt diese Achse raumfest.
Befindet sich der Schwerpunkt oberhalb des Unterstützungspunktes, so erzeugt die Gewichtskraft ein
Drehmoment.
Ein ruhender Kreisel würde dadurch nach unten kippen; der rotierende Kreisel weicht jedoch
senkrecht zu dieser wirkenden Kraft aus. Die Rotationsachse umschreibt dabei einen Drehkegel.
Diese Bewegung wird als Präzession bezeichnet.
Präzession der Erde:
Die Erde kann als Kreisel betrachtet werden. Aufgrund der Abplattung (man kann sich die Erde als
Kugel mit Ring um den Äquator vorstellen), sind die Gravitationskräfte der Sonne auf beide Erdhälften
verschieden groß. Das resultierende Drehmoment versucht die Erde aufzurichten, wodurch es zu
einer Präzessionsbewegung kommt, bei welcher die Erdachse in 26000 Jahren einen Kegelmantel
durchläuft (platonisches Jahr).
Seite 11
Mechanik 2
SCHWINGUNGEN
Definition der Schwingung
Schwingung ist ein Vorgang, bei dem sich eine physikalische Größe in der Art ändert, dass sie nach
Ablauf bestimmter Zeitabschnitte stets wieder den gleichen Wert annimmt (periodischer Vorgang).
Diese physikalische Größe kann sein: Temperatur eines Körpers, Abstand eines Körpers von einer
bestimmten Ruhelage, Stärke eines elektrischen oder magnetischen Feldes, Intensität einer
Lichtquelle, Luftdruck an einem bestimmten Ort, ...
Mechanische Schwingung
Darunter versteht man eine zeitlich periodische Bewegung eines Körpers (Oszillators) um seine
Ruhelage.
Ursache für die Schwingung sind eine stets zur Ruhelage gerichtete Kraft (Rückstellkraft) und die
Trägheit des Körpers (sie lässt den Körpers immer wieder über die Ruhelage hinausfahren).
Harmonische Schwingungen
Ist die Rückstellkraft (und damit die Beschleunigung) eines Gegenstandes proportional zu seiner
Auslenkung und dieser entgegengesetzt, dann führt der Gegenstand eine harmonische Schwingung
aus.
Einfachstes Beispiel für einen harmonisch schwingenden Körper: Federpendel
Es gilt das lineares Kraftgesetz (Hookesches Gesetz):
Fy = − k ⋅ y
Das Minus ergibt sich aus der entgegengesetzten Richtung der Auslenkung und der Rückstellkraft.
Man nennt k wird in diesem Zusammenhang Richtgröße der schwingenden Systems.
Harmonische Schwingung und Kreisbewegung
Die Bewegung eines Teilchens, das sich mit konstanter Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn mit
dem Radius r bewegt stellt nach obiger Definition eine Schwingung dar.
Bei einer Projektion des Teilchens auf die y-Achse erkennt man die Analogie zur Schwingung eines
Federpendels. Der vertikale Abstand des Teilchens von der Mittellage entspricht dabei der
Auslenkung y des Federpendels.
Vergleich aus dem Alltag: Beobachtung der Pedalbewegung beim Radfahren von der Seite und von
hinten
(Abb. aus Kraker-Paill Physik 2)
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Mechanik 2
Für die Auslenkung y ergibt sich aus dem Dreieck:
y = r. sin ϕ
bzw. in Abhängigkeit von der Zeit
y = r. sin ωt
Auf Grund dieser Beziehung spricht man bei einer harmonischen Schwingung auch von einer
sinusförmigen Schwingung oder Sinusschwingung.
Bemerkung: genauso gut könnte man die Schwingung auch mit der Kosinusfunktion beschreiben,
wenn man den Vorgang nicht vom Nullpunkt aus, sondern von der höchsten
Auslenkung aus starten würde (es gilt ja cos x
π
= sin( x + ) ).
2
Eine Sinuskurve würde auch aufgezeichnet werden, wenn man an einem Federpendel
einen Stift befestigen und einen Papierstreifen mit konstanter Geschwindigkeit
vorbeiführen würde.
Folgende Begriffe sind geläufig:
y .......... Elongation, momentane Auslenkung aus der Ruhelage
r........... Amplitude, maximale Auslenkung
ω ......... Kreisfrequenz, Winkelgeschwindigkeit [ω] = s-1
T.......... Schwingungsdauer; Zeit, die der Körper für eine vollständige Schwingung benötigt
f........... Frequenz, Zahl der Schwingungen pro Sekunde [f] = 1 Hz (Hertz)
dabei gilt:
ω=
2π
1
= 2π . = 2π . f
T
T
Harmonische Schwingung des Federpendels
Für die (elastische) Dehnung einer Feder durch ein Massestück gilt das Hookesche Gesetz; Fy = − ky
somit ist die Bedingung für eine harmonische Schwingung erfüllt.
Dieses Gesetz lässt sich in Form einer Differentialgleichung anschreiben (Bewegungsgleichung des
Federpendels):
Fy = m.a = m ⋅
d2y
= −ky
dt 2
bzw.
d2y
k
= &y& = − y
2
dt
m
Durch Einsetzen der aus der Kreisbewegung hergeleiteten Schwingungsgleichung erhält man den
Zusammenhang zwischen Schwingungsdauer, Masse des Pendelkörpers und der Federkonstanten k:
y = r sin ωt
y& = ωr cosωt
( Elongation)
(Geschwindigkeit )
&y& = −ω 2 r sin ωt
( Beschleunigung )
k
&y& = − y
m
k
− ω 2 r sin ωt = − r sin ωt
m
k
ω2 =
m
1 k
k
m
ω=
⇒f =
bzw. T = 2π
2π m
k
m
Bemerkung: Bei einer harmonischen Schwingung ist die Schwingungsdauer unabhängig von der
Amplitude.
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Mechanik 2
Beispiele:
1. Eine Schraubenfeder wird durch eine Kraft von 2 N um 1 cm verlängert. Wie groß sind
Frequenz und Schwingungsdauer, wenn sich an der Feder eine Masse von 500 g befindet?
(Lösung: f=3,18 Hz)
2. Ein Federpendel hat die Frequenz von 2,4 Hz. Mit welcher Frequenz schwingt es, wenn die
Masse verdoppelt wird? (Lösung: f = 1,7 Hz)
3. An eine Schraubenfeder werden m=3 kg gehängt. Wie groß ist die Federkonstante bei einer
Frequenz von 2 Hz? (Lösung: k = 473,7 N/m)
4. Die Masse eines Autos beträgt 740 kg. Durch eine Nutzlast von 300 kg senkt sich der Wagen
in den Radfedern um 6 cm. Welches T hat die Schwingung nach dem Fahren über eine
Querrinne? (Lösung: T = 0,9 s)
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Mechanik 2
Das Fadenpendel
Wir betrachten den idealisierten Fall des mathematischen Pendels: eine punktförmige Masse hängt an
einem masselosen Faden. Für die Praxis bedeutet das: dünner, langer Faden und schwerer, wenig
ausgedehnter Gegenstand.
(Abb. aus Tipler, Physik)
Die Tangentialkomponente der Schwerkraft ( − mg sin ϕ ) bildet die Rückstellkraft für den
Pendelkörper.
Es gilt daher
d 2s
= − mg sin ϕ
dt 2
d 2s
s
= − g sin ϕ = − g sin
(ϕ im Bogenmaß)
2
dt
l
F = ma = m
Für kleine Winkel stimmen der Sinus eines Winkels und der Winkel selbst (im Bogenmaß) ziemlich
überein; d.h. sin
s s
≈ . Somit erhält man
l l
d 2s
s
g
d 2s
=
−
g
sin
≈
s
entspreche
nd
= − ks = −ω 2 s
2
2
dt
l
l
dt
Für die Schwingungsdauer erhält man daraus:
ω2 =
g
⇒ 2πf =
l
g
1
⇔ f =
l
2π
g
l
⇔ T = 2π
l
g
Für kleine Winkel, bei denen die Näherung sin ϕ ≈ ϕ gilt, ist also die rücktreibende Beschleunigung
der Auslenkung proportional und die Schwingung somit eine harmonische Schwingung. Die
Schwingungsdauer hängt dabei nur von der Pendellänge ab (Möglichkeit zur experimentellen
Bestimmung der Erdbeschleunigung) – sie ist unabhängig von der Masse des Pendelkörpers!
Seite 15
Mechanik 2
Beispiele:
1. Wie groß ist die Schwingungsdauer eines Pendels mit der Pendellänge l=1m?
(Lösung: T=2,01s)
2. Wie ist die Pendellänge zu verändern, um die Schwingungsdauer zu verdoppeln?
3. Welche Pendellänge benötigt man für ein "Sekundenpendel" (eine Halbschwingung pro
Sekunde)? (Lösung: l=0,99m)
4. Im Hauptgebäude der Vereinten Nationen in New York hängt ein Foucaultsches Pendel. Eine
100kg schwere Kugel hängt an einem 22,9m langen Stahlseil. Wie groß ist die
Schwingungsdauer? Welche Bedeutung hat das Foucaultsche Pendel? (Lösung: T=9,6s)
Seite 16
Mechanik 2
Energiebilanz bei harmonischen Schwingungen
Es findet eine ständige Umwandlung von kinetischer und potentieller Energie bei konstanter
Gesamtenergie statt.
z.B. Federpendel: E ges = E pot + E kin =
1 2 1 2
kx + mv
2
2
Bei maximaler Auslenkung (x=r) ist die Geschwindigkeit (und damit die kinetische Energie) gleich Null;
die potentielle Energie gleich der Gesamtenergie:
1
E ges = kr 2
2
d.h. die Gesamtenergie einer harmonischen Schwingung ist proportional dem Quadrat der Amplitude.
Beispiel:
Ein Gegenstand mit einer Masse von 3 kg schwinge an einer Feder mit einer Amplitude von 4
cm und einer Schwingungsdauer von 2 s. Berechnen Sie die Gesamtenergie und die
Maximalgeschwindigkeit des Pendelkörpers. (Lösung: E=2,37.10-2 J, vmax=0,126 ms-1)
Gedämpfte Schwingungen
Die ungedämpfte Schwingung stellt einen theoretischen Idealfall dar. Wird z.B. ein Pendel zu
Schwingungen angeregt und sich selbst überlassen, so nimmt auf Grund von Energieverlusten
(Reibung, Luftwiderstand, ...) die Amplitude ständig ab – es handelt sich dabei dann um eine
gedämpfte Schwingung.
Das Amplitudenverhältnis einer (schwach) gedämpften Schwingung ist dabei konstant und ein Maß
für die Dämpfung.
r1 r2 r3
= = = ... = const.
r2 r3 r4
Die gedämpfte Schwingung kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:
y = r ⋅ e −δt sin ωt
δ ... Abklingkonstante
Um eine ungedämpfte Schwingung zu erreichen ist es notwendig, im richtigen Moment die durch
Reibung verloren gegangene Energie zuzuführen. Wird diese Energiezufuhr durch den schwingenden
Körper gesteuert, so spricht man von Selbststeuerung oder Rückkopplung (Anwendung z.B. bei
Pendeluhren).
Erzwungene Schwingungen und Resonanz
Wird ein schwingungsfähiges System durch einen einzigen Anstoß in Schwingungen versetzt, so
nennt man dies eine freie Schwingung; der Körper schwingt mit seiner Eigenfrequenz f0.
Seite 17
Mechanik 2
Wirkt auf einen Körper eine periodische äußere Kraft, so spricht man von einer erzwungenen
Schwingung. Der Körper schwingt (nach einem Einschwingvorgang) mit der Frequenz f des
Erregers.
(Abb. aus Kraker-Paill Physik 2)
Die Amplitude der Schwingung und die Phasenverschiebung zwischen Erreger und Oszillator hängt
vom Verhältnis zwischen Eigenfrequenz und Erregerfrequenz ab.
Maximale Energieübertragung findet statt, wenn die Erregerfrequenz gleich der Eigenfrequenz ist. In
diesem Fall spricht man von Resonanz (und von Resonanzfrequenz).
(Abb. aus Tipler, Physik)
Resonanzerscheinungen: Kinderschaukel, Schiff (zum Schaukeln bringen), Stimme,
Musikinstrumente, Singen im Badezimmer, Resonanzkatastrophe, zweidimensionale
Resonanzmuster beim "Kochtopf", ...
Seite 18
Mechanik 2
MECHANISCHE WELLEN
Unter einer Welle versteht man einen Schwingungsvorgang in einem ausgedehnten Medium. Stellt
eine Schwingung einen zeitlich periodischen Vorgang dar, so handelt es sich bei einer Welle um eine
zeitlich und räumlich periodische Änderung einer physikalischen Größe.
Damit sich eine mechanische Welle ausbreiten kann, muss eine Störung (bzw. Schwingung) eines
Teilchens mit endlicher Geschwindigkeit auf Nachbarteilchen übertragen werden können.
Bezüglich der Ausbreitung von Wellen gibt es drei Möglichkeiten:
1. längs einer linearen Anordnung von Teilchen (z.B. Seilwellen)
2. auf Oberflächen (z.B. Wasserwellen)
3. im Raum (z.B. Schallwellen)
Man unterscheidet prinzipiell zwei Arten von Wellen:
a) Transversalwellen:
Die Teilchen schwingen normal zur Ausbreitungsrichtung der Welle ("Querwelle")
Transversalwellen treten nur in festen Körpern auf, da nur diese eine Formelastizität besitzen
(Ausnahme: Flüssigkeitsoberfläche mit Oberflächenspannung)
b) Longitudinalwellen:
Die Teilchen schwingen in Ausbreitungsrichtung der Welle ("Längswelle"; z.B. Schallwellen).
Longitudinalwellen treten in Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen auf, da Körper aller
Aggregatzustände Volumselastizität besitzen.
Seite 19
Mechanik 2
Entstehung von harmonischen Wellen
Bewegt man z.B. das Ende einer Saite in Form einer harmonischen Schwingung auf und ab, so breitet
sich längs des Seils durch elastische Kopplung der Teilchen eine harmonische Welle aus. Jedes
Teilchen führt dabei (zeitversetzt zu seinen Nachbarteilchen) eine Sinusschwingung aus.
Bei einer fortschreitenden Welle wird keine Masse, sondern Energie transportiert.
(Abb. aus Schreiner, Angewandte Physik)
Der Abstand zweier nächstliegender Teilchen im gleichen Schwingungszustand heißt Wellenlänge λ.
(Abb. aus Tipler, Physik)
Während der Schwingungsdauer T eines Teilchens bewegt sich die Welle um eine Wellenlänge λ
weiter. Daraus erhält man den Zusammenhang
v=
s λ
1
= = λ ⋅ = λf
t T
T
Häufig wird für die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle der Buchstabe c verwendet. Die
Grundgleichung der Wellenlehre erhält somit die Form
c =λ⋅ f
Seite 20
Mechanik 2
Führt ein Teilchen im Koordinatenursprung eine harmonische Schwingung aus, so gilt für seine
Auslenkung zur Zeit t
y = r ⋅ sin ωt
Ein Teilchen im Abstand x vom Ursprung wird zur Zeit t + ∆t = t +
x
später von der Welle erreicht.
c
Für dieses Teilchen gilt:
x
y ( x, t ) = r ⋅ sin ω (t − )
c
Diese Gleichung wird als Wellengleichung bezeichnet
Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen
Je nach Ausbreitungsmedium gelten folgende Gesetze:
c=
c=
E
für Longitudinalwellen in Festkörpern; E ... Elastizitätsmodul, ρ ... Dichte
ρ
σ
ρ
für Transversalwellen bei gespannten festen Körpern (Saiten);
σ=
F
...
A
Zugspannung
c=
c=
K
für Longitudinalwellen in Flüssigkeiten; K ... Kompressionsmodul
ρ
κp
ρ
für Longitudinalwellen in Gasen, κ ... Adiabatenexponent, ρ ... Gasdruck
Da die Dichte eines Mediums von der Temperatur abhängt. ist auch die Schallgeschwindigkeit
temperaturabhängig.
Beispiel:
Schallgeschwindigkeit in Luft:
bei t=0°C, p=1 atm = 1,013 bar, ρ=1,2928 kg/m³; κ=1,4
c=
1,4 ⋅ 1,013.105
m
km
= 331,2 ≈ 1192
1,2928
s
h
Temperaturabhängigkeit:
c ≈ (331,6 + 0,6t )
m
s
t ... Temp. in °C (331,6ms-1 gemessener Wert bei 0°C)
Schallgeschwindigkeit in Eisen (Eisenstab):
E=21,1.1010 N/m², ρ=7870 kg/m³ Æ c = 5178 m/s
Schallgeschwindigkeit im Wasser:
c = 1403 m/s (bei 0°C)
Seite 21
Mechanik 2
Wellenausbreitung
Je nach Ausbreitungsmedium unterscheidet man eindimensionale Wellen (z.B. Seilwellen),
zweidimensionale Wellen oder Flächenwellen (z.B. auf Wasseroberflächen) bzw. Kugelwellen im
Raum. Die von einem punktförmigen Erregerzentrum ausgehenden Kreis- oder Kugelwellen
bezeichnet man als Elementarwellen.
Zur Veranschaulichung von Wellen dienen Wellenfronten und Wellenstrahlen.
Eine Wellenfront verbindet Punkte eines Mediums, die von einer Welle gleichzeitig getroffen werden,
sich also in der selben Schwingungsphase befinden. Der Abstand benachbarter Wellenfronten beträgt
jeweils eine Wellenlänge.
Wellenstrahlen stehen normal auf die Wellenfronten und zeigen in Ausbreitungsrichtung der Wellen.
(Abb. aus Kraker-Paill, Physik 2)
Überlagerung von Wellen
Durchlaufen mehrere Wellen ein Medium, so kommt es zu deren Überlagerung (Superposition,
Interferenz). Teilchen, die von mehreren Wellen getroffen werden, führen eine Schwingung aus, die
sich aus Addition der einzelnen Auslenkungen ergibt. Dabei gilt das Prinzip der ungestörten
Superposition, d.h. die Wellen beeinflussen sich gegenseitig nicht bzw. laufen nach dem
gegenseitigen Durchdringen ungestört weiter.
(Abb. aus Tipler, Physik)
Seite 22
Mechanik 2
Interferenz eindimensionaler Wellen
Wir betrachten den einfachen Fall der Überlagerung zweier Wellen gleicher Ausbreitungsrichtung und
Frequenz.
Eine wichtige Rolle bei der Überlagerung spielen die Schwingungsphasen, in der sich die beiden
Wellen befinden (als Phase bezeichnet man das zeitl. und räumliche Argument der
Schwingungsgleichung). Eine Phasenverschiebung entsteht z.B. durch unterschiedlich lange
Laufwege der interferierenden Wellen. Der Unterschied der Laufwege wird dabei als
Gangunterschied ∆x bezeichnet.
Zur Beobachtung von Interferenzerscheinungen kann es nur dann kommen, wenn zwischen den
beiden sich überlagernden Wellen ein zeitlich konstanter Phasenunterschied besteht. Man nennt die
beiden Wellen dann kohärent (Kohärenz ist z.B. gegeben, wenn als Erreger von Kreiswellen zwei
miteinander verbundene Stifte dienen, die periodisch ins Wasser der Wellenwanne eintauchen).
(Abb. aus Tipler, Physik)
Je nach Gangunterschied kann es bei der resultierenden Welle zu einer Verstärkung (konstruktive
Interferenz) oder zu einer Abschwächung (destruktive Interferenz) kommen.
Beträgt der Gangunterschied ein Vielfaches der Wellenlänge (∆x = k.λ ; k=0,1,2,3,...), so treten
Interferenzmaxima auf; es kommt zur konstruktiven Interferenz.
Bei ungeradzahligen Vielfachen von λ/2 (∆x = (2k+1).λ/2 ; k=0,1,2,...) kommt es zur destruktiven
Interferenz (Abschwächung oder Auslöschung) der Wellen.
(Abb. aus Tipler, Physik)
Seite 23
Mechanik 2
Interferenz zweidimensionaler Wellen
Der Abstand zweier benachbarter konzentrischer Kreise entspricht der Wellenlänge. An den
Schnittpunkten der Kreise kommt es zum Zusammentreffen zweier Wellenberge Æ konstruktive
Interferenz. Verbindet man alle Schnittpunkte jeweils desselben Gangunterschiedes, so erhält man
die sog. Interferenzhyperbeln.
Die Anzahl der möglichen Hyperbeln ergibt sich aus dem Abstand der beider Erregerzentren bzw. aus
dem dadurch vorgegebenen maximalen Gangunterschied.
(Abb. Eigenbau, Corel5)
Schwebung
Schwebung entsteht bei der Interferenz von Wellen mit geringem Frequenzunterschied. Überlagert
man z.B. zwei Töne mit fast gleichen Frequenzen f1 und f2, so erhält man einen periodisch lauter und
leiser werdenden Ton mit der Frequenz f = (f1 + f2) / 2 . Die Frequenz dieser Amplitudenänderung
bezeichnet man als Schwebungsfrequenz fs. Für die Schwebungsfrequenz gilt fs=|f1 – f2|.
(Abb. aus Tipler, Physik)
Anwendung: beim Stimmen von Instrumenten
Das Gehör ist in der Lage, bis ca. 20 Schwebungen pro Sekunde wahrzunehmen.
Seite 24
Mechanik 2
Huygenssches Prinzip
(Holländer Christian Huygens, 1678)
Er entwickelte eine geometrische Methode zur Erklärung der Wellenausbreitung:
Jeder Punkt einer bestehenden Wellenfront ist selbst wieder Ausgangspunkt einer Elementarwelle
gleicher Frequenz und Ausbreitungsgeschwindigkeit. Die Einhüllende dieser Elementarwellen ergibt
eine neue Wellenfront.
Die mathematische Begründung, dass sich nämlich durch Interferenz der Elementarwellen unter
Berücksichtigung der relativen Intensitäten und Phasendifferenzen tatsächlich wieder neue
"Wellenfronten" ergeben, erfolgte nicht durch Huygens, sondern erst später durch den franz. Physiker
Augustin Jean Fresnel (daher auch "Huygens-Fresnel´sches Prinzip").
(Abb. aus Tipler, Physik)
Das Huygenssche Prinzip erweist sich als sehr brauchbar zur Beschreibung der Wellenausbreitung,
da man damit sowohl die Reflexion, als auch Beugung und Brechung erklären kann.
Reflexion
Treffen Wellen auf eine ebene Fläche, so entstehen neue Wellen, die sich von dieser Fläche
wegbewegen. Dieses Ausbreitungsphänomen von Wellen bezeichnet man als Reflexion.
(Abb. aus Bergmann Schaefer, Band 1)
Seite 25
Mechanik 2
Die Punkte A1, ..., B5 = A5 werden nacheinander von der Welle getroffen. Die von diesen Punkten
ausgehenden Elementarwellen ergeben die neue Wellenfront B1, ..., B5. Aus der Konstruktion folgt
das Reflexionsgesetz:
Einfallswinkel und Reflexionswinkel sind gleich groß. Der reflektierte Strahl liegt dabei in der
durch den einfallenden Strahl und der Flächennormale festgelegten Ebene.
Reflexion einer Kreiswelle (oder Kugelwelle):
(Abb. aus Bergmann Schaefer, Band 1)
Die Reflexion von Schallwellen spielt vor allem in der Raumakustik eine wichtige Rolle (Echo,
Nachhall, "schalltoter Raum", ...).
Brechung
Trifft eine Welle auf die Grenzfläche zweier Medien mit verschiedener WellenAusbreitungsgeschwindigkeit, so wird ein Teil der Energie reflektiert, ein Teil tritt über die Grenzfläche
in das zweite Medium ein, wobei die Welle im zweiten Medium eine Richtungsänderung erfährt. Diese
Richtungsänderung der Welle (dargestellt durch die Richtungsänderung des Wellenstrahls)
bezeichnet man als Brechung.
Da sich die Frequenz der Welle bei der Brechung nicht ändert (siehe Streuung e.m. Wellen), muss
sich eine Änderung der Ausbreitungsgeschwindigkeit (gemäß der Beziehung c=λ.f) auf die
Wellenlänge auswirken.
Seite 26
Mechanik 2
Das Brechungsgesetz von Snellius ergibt sich aus obiger Konstruktion
A5 B5
sin α A1 B5 A5 B5 c1t c1
=
=
=
=
A1 B1
sin β
A1 B1 c2 t c2
A1 B5
Das Brechungs- und Reflexionsgesetz lassen sich nicht nur mit dem Huygensschen Prinzip herleiten.
Eine noch einfachere Begründung liefert das Fermatsche Prinzip (Pierre de Fermat):
Der Weg, den eine Welle beschreibt, wenn sie sich von einem Punkt zu einem anderen bewegt, ist
stets so, dass die Zeit, welche die Wellen für das Zurücklegen des Weges benötigt, minimal ist.
Beispiel:
In einem Spiel besteht die Aufgabe, in der kürzesten Zeit von einem Punkt A zu einem Punkt B
zu gelangen und dabei die Wand einmal zu berühren.
(Abb. Kraker Paill, Physik 2)
Welcher Weg ist zu nehmen, um in kürzester Zeit vom Punkt A am Strand zur Boje B im Meer zu
gelangen?
(Die Aufgabe könnte mit Hilfe einer Excel-Tabelle mit den Größen x, t, α, β empirisch gelöst werden!)
Beugung
Trifft eine Welle auf eine Öffnung in einem Hindernis, so wirkt die Öffnung wie eine Punktquelle von
Kreiswellen, die sich von dieser Öffnung weg ausbreiten. Dieses Eindringen von Wellen in den
geometrischen Schattenraum bezeichnet man als Beugung.
a) Teilchenstrahl b) Welle beim Durchgang durch eine Öffnung (Abb. Tipler, Physik)
Der Effekt wird umso deutlicher, je eher die Breite der Öffnung (oder des Hindernisses) mit der
Wellenlänge übereinstimmt. Ist das Hindernis oder die Öffnung groß gegenüber der Wellenlänge, so
kann die Beugung vernachlässigt werden (Vgl. Schallwellen ↔ Licht).
Seite 27
Mechanik 2
Bemerkung:
Die Ortung von Objekten durch reflektierte Wellen funktioniert nur dann, wenn
deren Abmessungen nicht kleiner sind die Wellenlänge. Beim hörbaren Schall sind das bei 17
kHz ca. 2cm. Mit Ultraschall ist es möglich, wesentlich kleinere Strukturen aufzulösen.
Der Doppler-Effekt
Bewegen sich Sender und Empfänger einer Welle relativ zueinander, so nimmt der Empfänger eine
Frequenzänderung wahr.
Während es bei elektromagnetischen Wellen (Licht) keinen Unterschied ausmacht, ob sich der
Sender oder der Empfänger bewegt, so erhält man bei Schallwellen für diese beiden Fälle
unterschiedliche Ergebnisse.
a) Ruhender Empfänger – bewegter Sender
Bewegt sich der Sender auf den Empfänger zu, so werden die Wellenfronten in Bewegungsrichtung
des Senders "zusammengeschoben".
Abb.: bewegter Sender (Tipler)
Während einer Schwingungsdauer T = 1/f0 würde sich die Welle um λ0 vom Sender entfernen. Diese
Strecke wird auf λ = λ0 – v.T = λ0 – 1/f0 verkürzt d.h. der Empfänger registriert eine Welle mit kürzerer
Wellenlänge bzw. höherer Frequenz f.
λ = λ0 −
v
f0
aus c = λf bzw. λ =
c
c
c
v
1
=
−
= (c − v)
folgt
f
f
f0 f0 f0
1 1 c−v 1  v
= 
 = 1 − 
f
f0  c  f0  c 
f
f = 0
v
1−
c
Entfernt sich der Sender vom Empfänger, so erhält man eine Frequenzverminderung:
f =
f0
1+
v
c
Seite 28
Mechanik 2
b) Ruhender Sender – bewegter Empfänger
Bewegt sich der Empfänger mit der Geschwindigkeit v, so besitzen die Wellenfronten bzgl. des
Empfängers die Geschwindigkeit c + v. Die wahrgenommene Frequenz f ist daher höher als die
Senderfrequenz f0.
f0 =
f =
c
λ0
c+v
λ0
=
c+v
c+v
v
= f0 ⋅
= f 0 ⋅ (1 + )
c
c
c
f0
v
c
Bewegt sich der Empfänger vom Sender weg, so gilt f = f 0 ⋅ (1 − )
Bewegen sich sowohl Schallquelle als auch Schallempfänger mit den Geschwindigkeiten v und v', so
erhält man die Gleichung
v
c
f = f0 ⋅
v'
1−
c
1+
Bei elektromagnetischen Wellen kommt es nur auf die Relativgeschwindigkeit zwischen Sender und
Empfänger an. Es gilt dabei
v
∆f
v
f = f 0 ⋅ (1 ± ) bzw.
=±
c
f0
c
Bedeutung bzw. Anwendung des Dopplereffekts:
Geschwindigkeitsmessungen mit Radargeräten. Radarwellen werden vom Sender ausgestrahlt
ƒ
und vom fahrenden Auto als bewegter Empfänger und Sender reflektiert. Aus der
Frequenzverschiebung ergibt sich die Geschwindigkeit des Fahrzeuges.
ƒ
Astrophysik: Rotverschiebung ferner Galaxien, ...
Ist die Geschwindigkeit der Schallquelle größer als die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle, so
"überholen" sich die Wellenfronten gegenseitig – vor der Quelle befinden sich keine Wellen. Hinter der
Quelle überlagern sich die Wellen zu einer Stoßwelle. Auf dem einhüllenden Kegelmantel entsteht ein
großer Überdruck den der Beobachter als Knall wahrnimmt (Überschallknall).
Abb.: Mach´scher Kegel (Tipler)
Seite 29
Mechanik 2
Man bezeichnet eine Welle dieser Form auch als Kopfwelle (sie tritt auch als Bugwelle bei Schiffen
auf, wenn die Fahrgeschwindigkeit größer als die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Oberflächenwellen
des Wassers ist).
Der Druckkegel wird nach dem österr. Physiker Ernst Mach (1838-1916) als Machscher Kegel
bezeichnet. Es gilt
sin θ =
vt v
=
ut u
Das Verhältnis u/v heißt Machzahl.
Stehende Wellen
Stehende Wellen spielen in der Mechanik eine wichtige Rolle, wenn es um die Erklärung der
Tonerzeugung bei Musikinstrumenten geht. Sie können als Sonderfall der Interferenz interpretiert
werden, wobei zwei Wellen gleicher Frequenz und Amplitude einander entgegen laufen.
Praktisch tritt dieser Fall in räumlich begrenzten Ausbreitungsmedien dadurch auf, dass eine Welle an
einer Grenzfläche reflektiert wird und sich die reflektierte Welle mit der "einlaufenden" Welle
überlagert. Bei der Überlagerung der Wellen ergeben sich ganz bestimmte stationäre
Schwingungsmuster, die man als stehende Wellen bezeichnet.
Vorüberlegung: Reflexion einer Welle am freien bzw. am festen Ende
a) Reflexion am festen Ende (am dichten Medium)
Bei der Reflexion einer Welle am "festen Ende" erfolgt ein Phasensprung
wird als "Wellental" reflektiert.
b) Reflexion am freien Ende (am dünnen Medium)
∆ϕ = π . Ein "Wellenberg"
Bei der Reflexion am "freien Ende" erfolgt kein Phasensprung (ein Wellenberg wird wieder als
Wellenberg reflektiert).
Stehende Wellen können sich sowohl in Form stehender Transversalwellen bei Saiteninstrumenten
als auch als stehende Longitudinalwellen bei Blasinstrumenten ausbilden.
Seite 30
Mechanik 2
Eigenschwingungen einer Saite (zwei feste Enden)
Bringt man eine an beiden Enden eingespannte Saite durch eine Auslenkung zum Schwingen, so
können sich nur solche stationären Schwingungsmuster ergeben, die an den Saitenenden einen
Schwingungsknoten besitzen. Die Schwingung mit der tiefstmöglichen Frequenz bezeichnet man als
Grundschwingung (oder erste Harmonische), ihre Frequenz als Grundfrequenz f0. Alle möglichen
Frequenzen, die eine stehende Welle ergeben, bezeichnet man als Resonanzfrequenzen oder
Eigenfrequenzen der Saite.
Für die Grundschwingung erkennt man folgenden Zusammenhang zwischen der Länge der Saite und
der Wellenlänge bzw. der Eigenfrequenz:
λ = 2l , v = λ. f 0 , f 0 =
v
λ
=
v
2l
Für die erste Oberschwingung gilt λ = l und somit
Für die n-te Oberschwingung gilt
λ=
f1 =
v
= 2. f 0
l
2l
und somit f n = ( n + 1). f 0
n +1
Alle möglichen Obertöne (in diesem Fall einer Saite) bezeichnet man als Obertonreihe; Grundton und
Obertonreihe als Frequenzspektrum eines Klanges.
Abb.: Eigenfrequenzen einer Saite (Tipler). Mit K bezeichnet man die Knoten der stehenden Welle – an diesen
Orten sind die Teilchen ständig in Ruhe. Bei B besitzt sie stehende Welle Schwingungsbäuche d.h. Teilchen,
die mit maximaler Amplitude schwingen.
Seite 31
Mechanik 2
Eigenschwingungen einer Luftsäule
Bei stehenden Schallwellen in Luftsäulen (Anwendung z.B. Orgelpfeifen, ...) ist zu unterscheiden, ob
die Luftsäule an beiden Enden offen ist (offene Pfeife), oder ob die Säule an einem Ende geschlossen
ist (gedackte Pfeife). Für beide Fälle gilt, dass es am offenen Ende einen Bewegungsbauch geben
muss, während am geschlossenen Ende ein Bewegungsknoten vorliegt.
Die möglichen Eigenschwingungen ergeben sich aus der folgenden Grafik.
Für die an einem Ende geschlossene Pfeife gilt für die Grundschwingung λ = 4l und somit für die
v
4 4 4
. Die Oberschwingungen besitzen die Wellenlängen l , l , l ... und damit
4l
3 5 7
die Frequenzen f n = ( 2n + 1). f 0
Grundfrequenz
f0 =
Das Frequenzspektrum der offenen Pfeife stimmt mit jenem einer Saite überein, d.h. alle
ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz sind im Frequenzspektrum enthalten.
Aus der Grafik und aus den daraus abgeleiteten Formeln erkennt man weiters, dass eine gedackte
Pfeife um genau eine Oktave tiefer klingt als eine offene Pfeife (dass sie im Vergleich zu dieser nur
halb so viele Obertöne enthält, macht sich in der Klangfarbe bemerkbar).
Abb.: Eigenschwingungen einer "gedackten" und einer offenen Pfeife (Tipler)
Beispiel:
Welche Länge muss eine offene bzw. eine geschlossene Orgelpfeife haben, wenn ihr
Grundton eine Frequenz von 20Hz besitzen soll? (Lösung: 8,5m; 4,25m)
Seite 32
Mechanik 2
Akustik
Brockhaus Lexikon:
Akustik [grch. akouein >hören<]
1) Lehre von Schall, Teilgebiet der Mechanik (mech. Schwingungen und Wellen); umfasst die durch
das Ohr wahrnehmbaren Schwingungen (Töne) von 20 Hz bis 20000Hz.
2) die Erforschung der Zusammenhänge zw. objektiven (physikal.) und subjektiven (psychischen)
Gegebenheiten musikalischer Hörerscheinungen. ...
Andere Begriffserkärung:
Akustik beschäftigt sich mit der Phänomenen der Erzeugung, Ausbreitung und Wahrnehmung von
Schallereignissen.
Die menschliche Stimme und das Ohr
Eine Luftsäule kommt im Kehlkopf (oberes knorpeliges Teil der Luftröhre) während des Ausströmens
von der Lunge zwischen den mehr oder minder gespannten Stimmbändern zum Schwingen.
Je nach Stellung von Gaumen, Zunge, Zähne und Lippen schwingen noch weitere Lufträume mit und
ermöglichen es, einzelne Laute zu formen (z.B.: Vokal "O" kann durch Klopfen gegen die Wange
erzeugt werden).
Die Schallwellen werden von der Ohrmuschel aufgefangen und dringen durch den Gehörgang zum
Trommelfell. Von diesem werden sie über die Gehörknöchelchen (Hammer, Ambos, Steigbügel) zum
Innenohr übertragen, wo sie vom eigentlichen Gehörorgan, der mit Flüssigkeit gefüllten Schnecke
aufgenommen werden (ein direkt an die Flüssigkeit angrenzendes Trommelfell würde die Schallwellen
nur reflektieren. Das Hebelsystem der Gehörknöchelchen hilft hier aus).
Äußeres Ohr
Mittelohr
Innenohr
Gehörnerv
Basilarmembran
Gehörknöchelchen
Trommelfell
Eustachische Röhre
Abb. schematische Darstellung des Ohrs
Abb.: "aufgerollte" Schnecke im Innenohr
Seite 33
Mechanik 2
Die je nach Tonhöhe kommt es auf der Basilarmembran an einem bestimmten Ort zur Resonanz, die
an der schwingenden Membran hängenden Nervernfasern werden gereizt und leiten diesen Reiz an
das Gehirn zur Verarbeitung weiter.
Schallereignisse
Schallwellen sind mechanische Longitudinalwellen. Ausgehend von der Schallquelle, einem
schwingenden Körper, breiten sie sich in Form von periodischen Druckschwankungen (Druckwellen)
im Raum aus.
Schallwellen zwischen ca. 20 Hz und 20 kHz können vom menschlichen Gehör wahrgenommen
werden. Schallwellen mit Frequenzen unter 20 Hz bezeichnet man als Infraschall, jene mit
Frequenzen über 20 kHz als Ultraschall.
Vergleich:
Mensch:
Hund:
Frosch:
Delphin:
Fledermaus:
20 Hz bis 20 kHz
15 Hz bis 50 kHz
50 Hz bis 10 kHz
150 Hz bis 150 kHz
1 kHz bis 120 kHz
Das physikalisch einfachste Schallereignis ist der (reine) Ton. Er wird durch eine harmonische
Schwingung verursacht und enthält nur eine Frequenz des Hörbereichs (Stimmgabel,
Sinusgenerator).
Ein musikalischer, von einem Instrument erzeugter "Ton" wird in der Physik als Klang bezeichnet. Er
wird durch Überlagerung vieler harmonischer Schwingungen erzeugt; der Grundton bestimmt dabei
die "Tonhöhe", die Zusammensetzung der Obertöne die Klangfarbe.
Ein Geräusch entsteht durch Überlagerung sehr vieler Töne mit eng benachbarten Frequenzen. Bei
einem Geräusch erhält man kein diskretes Linienspektrum sondern ein kontinuierliches Spektrum
(Spezialfall "weisses Rauschen").
Harmonische Analyse und Synthese
Dass ein Klavier bei gleicher Tonhöhe anders klingt als eine Trompete hängt damit zusammen, dass
beide Instrumente keinen reinen Sinuston erzeugen (sonst würden sie wirklich identisch klingen),
sondern dass sich der Klang der Instrumente aus Grund- und Oberschwingungen verschiedener
Intensität zusammensetzt. Die Zerlegung eines Klanges in seine harmonischen Bestandteile
bezeichnet man als harmonische Analyse (Fourier-Analyse). In einem Frequenzspektrum wird
ausgedrückt, welche einzelnen Sinusschwingungen in Summe einen bestimmten Klang ergeben.
In der folgenden Grafik sind die Wellenformen dreier Klänge und ihre dazugehörigen
Frequenzspektren dargestellt:
Seite 34
Mechanik 2
Abb. aus Tipler, Physik
Die Zusammensetzung spezieller Schwingungsformen, der Rechteck- und der Dreieckschwingung
erkennt man aus folgender Grafik:
Abb.: Schreiner, Angewandte Physik 1
Schallfeldgrößen
Einen mit Schallwellen erfüllten Raum bezeichnet man als Schallfeld. Die wichtigsten
Schallfeldgrößen sind Schalldruck und Schallintensität.
Schalldruck
Schallwellen in Luft sind Longitudinalwellen – i.a. periodische Dichte- bzw. Druckschwankungen, die
sich mit Schallgeschwindigkeit ausbreiten. Diese Druckschwankungen überlagern sich dem normalen
atmosphärischen Druck (Normalluftdruck 101,3 kPa =1013 hPa =101300 Pa; 1 Pa =1 N/m²).
Am empfindlichsten ist das menschliche Gehör zwischen ca. 1 kHz und 5 kHz. In diesem
Frequenzbereich werden Druckschwankungen schon als Schall wahrgenommen, wenn sie im Bereich
von 20 µPa (=2.10-5 Pa =2.10-10 bar) liegen (Æ Hörschwelle). Das würde einer Höhendifferenz von
Seite 35
Mechanik 2
ca. 0,0016 mm (!!) entsprechen. Die Auslenkungen der Luftmoleküle liegen dabei im Bereich von 10
pm.
Die obere Grenze der wahrnehmbaren Druckschwankungen (Schmerzgrenze) liegt je nach Frequenz
bei 20 bis 100 Pa (7 Größenordnungen darüber!). Dies entspräche einer Höhenänderung von ca. 8 m
bzw. einer Auslenkung der Luftmoleküle von ca. 0,1 mm.
Abb.: Eska, "Schall und Klang"
(a) Hörschwellenkurve für einen 20-jährigen
(b) und (c) Hörschwellenkurve für einen 40-jährigen bzw. 60-jährigen
(d) Hörschaden eines Jugendlichen
(e) Hörfläche für Musik und (f) für Sprache
(g) Risikobereich für Gehörschädigung (100 dB)
(h) Schmerzgrenze
Schallintensität (Schallstärke)
Man versteht darunter jene Energie, die pro Sekunde auf eine Fläche von 1 m² senkrecht zur
Ausbreitungsrichtung auffällt (Dimension von I = Leistung pro Fläche).
[I ]=
W
2
. Die Intensität steigt mit dem Quadrat des Schalldrucks: I ~ p ; sie nimmt, wenn man die
2
m
Dämpfung (Absorption durch schallabsorbierende Stoffe) nicht berücksichtigt, mit dem Quadrat der
Entfernung zur Schallquelle ab:
I~
1
r2
Die kleinste wahrnehmbare Schallintensität (Hörschwelle) liegt bei 10-12 W/m², die Schmerzgrenze bei
1 W/m².
Aufgrund des riesigen Empfindlichkeitsbereichs über 12 Größenordnungen, wird die Schallintensität
auf einer logarithmischen Skala mit einem Bezugswert, der Schallintensität I0 bei der Hörschwelle,
dargestellt. Dieser Logarithmus des Intensitätsverhältnisses wird auch als Schallpegel L, angegeben
in Dezibel (dB), bezeichnet.
Seite 36
Mechanik 2
Schallpegel:
L = 10 ⋅ log
I
p
= 20 ⋅ log
I0
p0
Auch das Gehör besitzt eine logarithmische Empfindlichkeit; die kleinste noch wahrnehmbare
Änderung des Schallpegels beträgt ca. 1 dB.
Die 100 dB – Risikolinie entspricht einer Schalleistung von 0,01 W/m². Dies wird z.B. erreicht, wenn
man einen Lautsprecher hätte, der 100 Watt hervorbrächte (Stereoanlage auf Vollanschlag) und den
man sich in einer Entfernung von 10 m anhörte. Die gleiche Gefährdung ergäbe sich bei einem
Kopfhörerknopf im Ohr mit nur 3 Milliwatt (!!) Leistung.
In der Psychoakustik ist des Weber-Fechnersche Gesetz von Bedeutung. Es besagt, dass generell
ein nichtlinearer Zusammenhang zwischen Stimulus (z.B. erregende Lautstärke (Schallintensität)
eines Tons) und Empfindung (empfundene Lautheit) besteht, bzw. dass der gerade noch
wahrnehmbare Reizzuwachs von der schon vorhandenen Erregung abhängt (∆R ~ R).
Abb.: Eska, "Schall und Klang"
Aufgaben:
1) Ein Kugelstrahler gibt eine Schallleistung von 0,1 Watt ab. Wie groß ist die Schallintensität in 3 m
Entfernung? Wie groß ist die Schallleistung, die ein Mikrofon mit 3 cm² Empfangsfläche in dieser
Entfernung empfängt?
Seite 37
Mechanik 2
(Lösung: I=8,8.10-4 W/m²; P=2,7.10-7 W)
2) Ein Motorrad mit Schalldämpfer erzeugt in 4m Abstand eine Schallintensität von 10-4 W/m². Wie
groß ist der Schallpegel?
Um wie viel steigt der Schallpegel, wenn ein zweites, gleich lautes Motorrad dazukommt?
Wie groß ist der Schallpegel bei 100 Motorrädern? (Lösung: 80 dB, +3 dB, 100 dB)
Ultraschall
Schall mit Frequenzen über der Hörgrenze des menschlichen Ohrs wird als Ultraschall bezeichnet (f >
20 kHz).
Erzeugung von Ultraschall
¾
Mechanische Erzeugung: Galton-Pfeife: Metallpfeife mit (verstellbarer) Pfeifenlänge von wenigen
Millimetern; f bis ca. 30 kHz ("Hundepfeife")
¾
Magnetische Erzeugung:
Eisen- oder Nickelstäbe ändern im Magnetfeld ihre Länge
(Magnetostriktion). Die Anregung erfolgt mit Wechselstrom in
Resonanzfrequenz.
¾
Elektrische Erzeugung:
Piezokristallplatten schwingen, wenn man an sie ein elektrisches
Wechselfeld anlegt. Schwingungen bis 1010 Hz sind möglich.
Eigenschaften von Ultraschall
kurze Wellenlängen Æ können scharf gebündelt werden, werden erst an sehr kleinen Hindernissen
gebeugt (hohe Auflösung)
hohe Schallintensitäten (da I ~ f2) bis ca. 20 W/cm² (= 2.105 W/m² (!))
Anwendung von Ultraschall
¾ Echolot:
Sende-Empfangskopf mit piezoelektrischem Kristall, Æ Laufzeitmessung
Feststellung der Wassertiefe, Ortung von Fischschwärmen, ...
Orientierung der Fledermäuse
zerstörungsfreie Materialprüfung (Reflexion an Materialfehlern, Rissen, ...)
Ausmessung der akustischen Eigenschaften von z.B. von Konzertsälen mit Hilfe von
Modellen im entsprechenden Maßstab.
¾ Ultraschalldiagnostik: in der Medizin, Vorteil: keine Strahlenbelastung; Kopplungsmedium
erforderlich
¾ Leistungsschall:
Beispiel: Ultraschallquarz von 1 cm Dicke bei f=300 kHz: I=10 W/cm²
im Wasser (v=1500 m/s) λ=0,5 cm: Druckunterschiede von +/- 10 bar,
Beschleunigung der schwingenden Teilchen von ca. 700000 m/s² = 70000 g !!
Erwärmung tieferer Schichten
Reinigung, Mischen von Emulsionen sonst nicht mischbarer Stoffe (z.B. Öl und
Wasser)
Wasserzerstäuber bei Luftbefeuchtern, ...
Seite 38
Mechanik 2
Mechanik deformierbarer Körper
Festkörper – Flüssigkeiten – Gase
Körper bestehen aus Atomen, Ionen und Molekülen. Diese Bausteine üben aufeinander Kräfte aus
(Kräfte zwischen den Atomen – Ionenbindung, Metallbindung, Atombindung; Kräfte zwischen den
Molekülen – Van der Waals-Kräfte). Von der kinetischen Energie der einzelnen Bausteine und der
Stärke der intermolekularen Kräfte hängt der Aggregatzustand (fest, flüssig, gasförmig) eines Körpers
ab.
Festkörper
Beim Festkörper ist die mittlere kinetische Energie der Teilchen kleiner als die Bindungsenergie. Die
Atome oder Moleküle sind in festen Positionen angeordnet.
Festkörper sind formbeständig (formelastisch) und volumsbeständig, d.h. sie setzen deformierenden
Kräften einen hohen Widerstand entgegen.
Kristalle sind ideale Festkörper; ihre Bestandteile bilden ein festes Raumgitter. Kristalle sind von
ebenen Flächen begrenzt. Die Winkel zwischen diesen Flächen bestimmen die Kristallform.
Kristalline Stoffe (z.B. Metalle) bestehen aus Mikrokristallen.
Amorphe Körper befinden sich in einem Zwischenzustand zwischen fest und flüssig. Sie haben keine
geordnete Raumstruktur (z.B. Harze, Teer, Glas)
Verformungen fester Körper
Unter dem Einfluss äußerer Kräfte kommt es zur Verformung fester Körper. Nimmt der Körper nach
der Wegnahme der äußeren Kraft wieder seine ursprüngliche Form an, so spricht man von
elastischer Deformation. Beim Überschreiten einer Elastizitätsgrenze kommt es zu dauernden
(plastischen) Verformungen.
Mechanische Spannung
Unter Wirkung von Kraft und Gegenkraft steht ein Festkörper unter einem Spannungszustand (die
Kräfte wirken in jedem Punkt des Körpers). Die mechanische Spannung gibt die Größe dieses
Spannungszustandes an.
Mechanische Spannung =
Kraft
Fläche
σ=
F
A
[σ ] =
N
m2
Je nach Richtung der Kraft unterscheidet man zwischen
♦
Druckspannung
♦
Zugspannung Æ Dehnung
♦
Schubspannung (Scherspannung)
Æ Stauchung
Æ Scherung
Seite 39
Mechanik 2
Hooke´sches Gesetz
Es beschreibt den linearen Zusammenhang (deshalb auch "lineares Kraftgesetz") zwischen
Spannung und Dehnung z.B. eines stabförmigen Körpers. Das Hooke'sche Gesetz gilt nur im
Proportionalitiätsbereich einer Verformung.
Abb. aus Tipler, Physik
Für die relative Längenänderung
ε=
Länge l gilt:
∆l
eines Stabes mit einer Querschnittsfläche A und einer
l
∆l F
~
bzw. ε ~ σ
l
A
ε=
1
⋅σ
E
... Hooke'sches Gesetz
E ... Elastizitätsmodul [E] = N/m²
Nährungswerte für E:
Aluminium............. 70.109 Nm-2
Stahl ..................... 200.109 Nm-2
Blei ....................... 16.109 Nm-2
Knochen
Spannung ..... 16.109 Nm2
Scherung ...... 9.109 Nm2
Seite 40
Mechanik 2
Wirkt eine Kraft in Richtung der Oberfläche, an der sie angreift, so spricht man von Scherung, die
Kraft nennt man Scherkraft FS und das Verhältnis der Scherkraft zur Fläche heißt Scherspannung
τ=
FS
.
A
Abb. aus Tipler, Physik
γ=
1
∆x
∆x FS
~
= tan θ ... Scherung ; dabei gilt:
bzw. γ ~ τ , γ = ⋅τ (G ... Schubmodul)
l
l
A
G
Beispiel:
Der Bizeps eines Mannes habe eines maximale Querschnittsfläche von 12 cm². Wie groß ist
die Spannung im Muskel, wenn er eine Kraft von 300 N ausübt? (Lösung: σ=2,5.105 N/m²)
Eine Masse von 500 kg werde an ein 3 m
langes Stahlseil mit einem Querschnitt von
0,15 cm² gehängt. Um wieviel cm dehnt sich
das Seil? (Lösung: ∆l=0,5 cm)
Dichte
Die Dichte ist das Verhältnis der Masse einer Substanz
zu ihrem Volumen.
ρ=
m
V
[ρ ] =
kg
m³
Bei Festkörpern und Flüssigkeiten ändert sich die
Dichte geringfügig mit dem Druck und der Temperatur.
Die Dichte von Gases ist hingegen stark temperaturund druckabhängig (in Tabellen ist i.a. die Dichte von
Gasen bei Standardbedingungen, d.h. bei
Atmosphärendruck in Meereshöhe (p=1 atm) und bei
0°C angegeben).
Seite 41
Mechanik 2
Flüssigkeiten
Die Moleküle besitzen in Flüssigkeiten keine feste Lage, sondern sind relativ frei gegeneinander
verschiebbar (es kann keine Scherspannung aufgebaut werden). Flüssigkeiten füllen daher Behälter
beliebiger Form aus.
Flüssigkeiten sind (wie auch Festkörper) inkompressibel, d.h. die relative Volumsänderung unter
Druck ist sehr gering. Bei einer "idealen Flüssigkeit" werden die innere Reibung und die
Kompressibilität überhaupt vernachlässigt.
Oberflächenspannung
Die Oberflächenspannung entsteht durch anziehende Kräfte zwischen den Molekülen einer
Flüssigkeit.
Für ein Teilchen an der Oberfläche heben sich die Kräfte in die verschiedenen Richtungen nicht auf –
es entsteht eine resultierende Kraft nach Innen.
Abb. aus Kraker-Pail, Physik 1
Gegen diese Kraft ist Arbeit zu verrichten, um ein Molekül aus dem Inneren einer Flüssigkeit an die
Oberfläche zu bringen und damit die Oberfläche zu vergrößern (d.h. die Moleküle an der Oberfläche
besitzen eine höhere potentielle Energie (Oberflächenenergie)).
Die "Oberflächenspannung" ist daher keine Spannung sondern eine "Energie pro Flächeneinheit".
Oberflächenspannung =
[γ ] =
J
Nm N
= 2 =
2
m
m
m
Arbeit zur Oberflächenvergrößerung
Oberflächenzuwachs
γ=
∆W
∆A
z.B.: Wasser γ=0,073 N/m, Quecksilber: γ=0,465 N/m
Wegen der Oberflächenspannung nehmen kleine Flüssigkeitstropfen Kugelform an. Durch Spülmittel
(Tenside) wird die Oberflächenspannung stark reduziert.
Seite 42
Mechanik 2
Kapillarität
Die anziehenden Kräfte zwischen den Molekülen einer Flüssigkeit heißen Kohäsionskräfte
(Zusammenhangskräfte). Die Kraft zwischen einem Flüssigkeitsmolekül und einer anderen Substanz,
z.B. der Wand einer dünnen Röhre, heißt Adhäsionskraft (Anhangskraft).
Sind die Adhäsionskräfte groß gegenüber den Kohäsionskräften, so nennt man eine Flüssigkeit
benetzend.
Taucht man ein enges Röhrchen (Kapillare) in eine benetzende Flüssigkeit, so kommt es zu einem
kapillaren Anstieg; bei einer nicht benetzenden Flüssigkeit zu einer kapillaren Depression.
Für die Höhe des Anstiegs gilt dabei
1
h~ .
r
Auf der Kapillarwirkung beruhen die Saugfähigkeit poröser Stoffe (Schwamm, Löschblatt, Handtuch),
das Aufsteigen von Öl in einem Docht, das Eindringen von Lötzinn in den Spalt zwischen
Kupferrohren (verstärkt durch ein Flussmittel), die Speicherung von Wasser in der Erde, die
Wasserversorgung von Pflanzen, u.s.w.
Abb. aus Tipler, Physik
Seite 43
Mechanik 2
Hydrostatischer Druck
Darunter versteht man den Druck in ruhenden Flüssigkeiten. Dieser Druck kann durch einen Kolben
von aussen erzeugt werden oder durch das Eigengewicht der Flüssigkeit entstehen (Schweredruck).
Der Druck in einer Flüssigkeit macht sich als Kraft bemerkbar, die senkrecht auf jede
Begrenzungsfläche wirkt:
p=
F
A
[ p] =
N
= Pa ( Pascal )
m2
es gilt weiters: 1 bar = 105 Pa
Pascal'sches Prinzip:
Wird auf eine in einem Gefäss eingeschlossene Flüssigkeit Druck ausgeübt, so verteilt sich dieser
Druck ungehindert auf jeden Punkt in der Flüssigkeit und auf die Wände des Behälters.
Dieses Prinzip bildet die Grundlage hydraulischer Maschinen.
Abb. aus Tipler, Physik
Schweredruck
Der Schweredruck entsteht durch das Eigengewicht einer Flüssigkeit. Er ist abhängig von der Dichte
der Flüssigkeit und der Höhe der Flüssigkeitssäule. Auf Grund der geringen Kompressibilität kann
man die Dichte einer Flüssigkeit als konstant annehmen; daher nimmt der Druck linear mit der Tiefe
zu:
p=
F mg ρVg ρAhg
=
=
=
= ρgh
A
A
A
A
Für den Druck im Wasser in einer Tiefe h erhält man daher:
p = p0 + ρgh
p0 ... Atmosphärendruck
Seite 44
Mechanik 2
Hydrostatisches Paradoxon
Der Schweredruck ist unabhängig von der Form des Gefäßes.
Abb. aus Tipler, Physik
In verbundenen Gefäßen (kommunizierende Gefäße) ist der Flüssigkeitsspiegel überall gleich hoch
(Anwendung: Schlauchwaage).
Zu beachten ist, dass bei der Berechnung der Bodendruckkraft nicht die Gewichtskraft verwendet
werden darf (außer bei lotrechten Wänden mit konstantem Querschnitt).
Seite 45
Mechanik 2
Beispiel: Um wieviel cm steigt der Flüssigkeitsspiegel im rechten Rohr nach dem Öffnen des Hahns?
(Lösung: 1,25 cm)
Abb. aus Kraker-Paill, Physik 1
Auftrieb – Archimedisches Prinzip
Ein Körper, der vollständig oder teilweise in eine Flüssigkeit eingetaucht ist, erfährt eine
Auftriebskraft, deren Betrag gleich der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit ist.
Die Auftriebskraft wirkt entgegen der Schwerkraft und greift im Schwerpunkt der verdrängten
Flüssigkeit an (entspricht i.a. nicht dem Körperschwerpunkt).
Abb. aus Kraker-Paill, Physik 1
FA = F2 − F1 = ρ F gA( h2 − h1 ) = ρ F gAh = ρ F gV = m F g
Auf Grund des Auftriebs besitzt ein Körper in Flüssigkeiten ein scheinbar geringeres Gewicht als an
der Luft:
G ' = G − G F = ρgV − ρ F gV = gV ( ρ − ρ F )
Aus dem Verhältnis der Dichte des Körpers und der Flüssigkeit ergibt sich, ob der Körper in der
Flüssigkeit schwimmt (ρ<ρF), schwebt (ρ=ρF) oder sinkt (ρ>ρF) (Beispiel: Eiswürfel schwimmen in
Limonade, versinken jedoch in alkoholischen Getränken).
Seite 46
Mechanik 2
Beispiel:
Welcher Volumsanteil eines Eiswürfels (r=0,92 kg/dm³) ragt aus dem Meerwasser (r=1,025 kg/dm³)?
G = FA
mg = m F g
ρV = ρ F V F
VF
ρ
=
V
ρF
1−
VF
ρ
= 1−
V
ρF
V − V F ∆V
ρ
0,92
=
= 1−
= 1−
= 0,10 = 10%
V
ρF
V
1,025
Dichtemessung von Flüssigkeiten mittels Aräometer (Senkspindel), z.B. Alkoholgehalt, Zuckergehalt,
Säuredichte beim Akku.
Der atmosphärische Luftdruck
Zwischen den Molekülen eines Gases sind nur geringe Kräfte wirksam. Das Eigenvolumen der
Gasmoleküle ist klein gegenüber dem Volumen, das dem Gas zur Verfügung steht (bei einem idealen
Gas werden Eigenvolumen und zwischenmolekulare Kräfte überhaupt vernachlässigt). Aus diesem
Grund können sich die Moleküle frei bewegen – ein Gas besitzt keine bestimmte Form und füllt jedes
Volumen vollständig aus. Der Gasdruck in einem Gefäß wird durch die Stöße der Gasmoleküle auf die
Gefäßwände verursacht.
Beispiel:
Hg hat bei 0°C eine Dichte von 13,595 kg/dm³. Wie hoch ist die Quecksilbersäule in
einem U-Rohr-Barometer, wenn ein Druck von 1 atm = 101,325 kPa herrscht?
(Lösung: h ≈ 760 mm)
Seite 47
Mechanik 2
Bemerkung:
Zur Angabe von Drücken werden in der Praxis häufig unterschiedliche, z.T. veraltete
Einheiten verwendet; z.B. 1 Torr = 1 mmHg (von Torricelli). Es gilt folgender
Zusammenhang:
1 atm = 760 Torr = 101,325 kPa = 1,01325 bar
Der atmosphärische Luftdruck wird durch die Gewichtskraft der über jedem Flächenstück befindlichen
"Luftsäule" hervorgerufen. Da sich Gase im Unterschied zu Flüssigkeiten stark komprimieren lassen,
nimmt der Luftdruck mit der Höhe nicht linear ab.
Für Höhen bis ca. 100 km gilt bei konstanter
Temperatur die barometrische Höhenformel
ph = p0 e
−
ρ 0 gh
p0
Bei p0=101,325 kPa und 0°C in der gesamten
Atmosphäre erhält man daraus
ph = p0 e
−
h
7 , 99 km
Berücksichtigt man die Temperaturabnahme mit der
Höhe, so gelangt man zu der für Höhen bis 11000m
(Troposphäre) gültigen internationalen
Höhenformel:

6,5h 

ph = 101,3 kPa ⋅ 1 −
 288 km 
5, 255
Seite 48
Mechanik 2
Strömende Flüssigkeiten und Gase - Fluiddynamik
Ideale Strömungen
Ideale - reale Strömung
ideale Flüssigkeit: inkompressibel und reibungsfrei; Idealisierung ist zulässig in der Hydrostatik und für
einige Betrachtungen in der Hydrodynamik (vor allem bei kleinen Fließgeschwindigkeiten).
Bernoulli-Gleichung
∆E pot = ∆mgy2 − ∆mgy1 = ρ∆Vg ( y2 − y1 )
∆Ε kin =
1
1
1
( ∆m)v2 2 − ( ∆m) v12 = ρ∆V (v2 2 − v12 )
2
2
2
Damit neue Flüssigkeit nachströmt, muß folgende Arbeit verrichtet werden:
(es gilt dabei: F1 = p1 A1 )
F2 = p2 A2
W1 = F1∆x1 = p1 A1∆x1 = p1∆V
W2 = − F2 ∆x 2 = p2 A2 ∆x 2 = p2 ∆V
Wges = p1∆V − p2 ∆V = ( p1 − p2 ) ∆V
Der Energieerhaltungssatz liefert:
Wges = ∆E pot + ∆E kin
( p1 − p2 ) ∆V = ρ∆Vg ( y 2 − y1 ) +
1
ρ∆V ( v12 − v2 2 )
2
nach Division durch ∆V erhält man
1
ρ ( v12 − v2 2 )
2
1
1
2
2
p1 + ρgy1 + ρv1 = p2 + ρgy 2 + ρv 2
2
2
1
p + ρ gy +
ρ v 2 = konst ... Bernoulli-Gleichung
2
( p1 − p2 ) = ρg ( y 2 − y1 ) +
statischer Fall: v=0:
p1 − p2 = ρg ( y2 − y1 ) = ρgh
(ρgh ... statischer Druck, ½ ρv² ... Staudruck)
Seite 49
Mechanik 2
Beispiel: Ausströmen einer Flüssigkeit aus einem Wassertank mit einem kleinen Loch im Abstand h
unterhalb der Wasseroberfläche:
1
1
2
2
p1 + ρgh1 + ρv1 = p 2 + ρgh2 + ρv 2
2
2
p1 = p 2 , v1 = 0, h1 = h, h2 = 0
v = 2 gh ... Gesetz von Torricelli
weitere Folgerung aus der Bernoulli-Gleichung:
wenn y=konst gilt:
p+
1 2
1
ρv = konst d.h. p ≈ 2
2
v
...... bei zunehmender Geschwindigkeit sinkt der Druck.
Dieser Effekt wird als hydrodynamisches Paradoxon (bzw. als Venturi-Effekt oder Magnusefekt)
bezeichnet.
Experimente dazu:
• Ablenkung eines Wasserstrahls an einem Finger
• Durchblasen zwischen zwei Papierblätter
• Zerstäuber
• Sogwirkung auf ein Dach bei Sturm
• Kräfte zwischen auf paralleler Bahn fahrenden LKWs oder Schiffen
• Tragflächen von Flugzeugen
• Drall z.B. bei Tennisbällen
Seite 50
Mechanik 2
Reale Strömungen (Viskose Strömungen)
Laminare Strömungen
Zwischen Festkörper und Flüssigkeit: Adhäsionskräfte
In der Flüssigkeit (zwischen den Flüssigkeitsschichten): Kohäsionskräfte Æ "innere Reibung"
(Bemerkung: Schmiermittel ersetzen äußere Reibung durch innere Reibung)
Innere Reibung ist im Unterschied zur äußeren Reibung unabhängig von der Normalkraft. Sie hängt
ab von
• Größe der Berührungsfläche
• Geschwindigkeit
• Dicke der Flüssigkeitsschichte
• Viskosität η (Zähigkeit) der Flüssigkeit
F =η
vA
z
Einige Werte für η (die Einheit ergibt sich aus der Umformung obiger Formel)
Flüssigkeit
Blut
Glyzerin
Motoröl (SAE10)
Wasser
Luft
t [°C]
37
0
20
60
30
0
20
60
20
Abb. aus Tipler, Physik
η [mPa.s]
4
10 000
1410
81
200
1,8
1,0
0,65
0,018
Abb. aus Kraker-Pail/Physik 1; Druck- und Geschwindigkeitsverlauf bei einer viskosen Strömung
Durch innere Reibung wird in einem Rohr ein Druckabfall hervorgerufen.
Dieser Druckabfall ist proportional dem Volumenstrom dV/dt. Es gilt
Seite 51
Mechanik 2
∆p ~ V&
p2 − p1 = ∆p = V&R,
R ... Reibungswiderstand
8ηl
πr 4
somit ergibt sich für ∆p :
R=
∆p =
8ηl &
V
πr 4
Hagen - Poiseullesches Gesetz
(man beachte : R ~ 1/r 4 ! )
Bei einer Halbierung des Radius benötigt man für einen gegebenen Volumenstrom den 16fachen
Druck!
Beispiel:
Verengung der Blutgefäße: Herz muss mehr pumpen.
Gartenschlauch: vorgegebenes ∆p: Differenz zwischen Druck der Wasserquelle und dem
Atmosphärendruck. Bei Vergrößerung des Durchmessers von ½" auf ¾" vergrößert sich der
Volumenstrom ca. um das 5-fache (81/16 ≈5)
Turbulente Strömungen
Bei Überschreiten einer bestimmten "kritischen Geschwindigkeit" geht die laminare Strömung in
eine turbulente Strömung über.
Durch Wirbelbildungen steigt dabei der Strömungswiderstand schlagartig an (Energiesatz).
Unterscheidung zwischen "Reibungswiderstand" einer laminaren Strömung und dem
Gesamtwiderstand, der dann als "Strömungswiderstand" bezeichnet wird)
Der Strömungswiderstand ist proportional dem Staudruck
1
FW = cW ⋅ ρv 2 A
2
1 2
ρv . Es gilt
2
cW ... Widerstandsbeiwert,
A... Stirnfläche (Schattenfläche) des umströmten Körpers.
Abb aus Kraker-Paill, Physik 1
Seite 52
Mechanik 2
GRAVITATION
Die Erforschung der Planetenbewegung
Das geozentrische Weltbild (Ptolemäisches Weltbild)
Aristoteles (384-322 v.Chr.): "Die Erde besitzt Kugelgestalt". Beweis: Mondfinsternis
Ptolemäus (ca. 90-160 n. Chr.):
♦ Die Erde steht im Mittelpunkt des Universums
♦
Das kugelförmige Himmelsgewölbe dreht sich mit den daran befestigten Sternen täglich
einmal um die Erde.
♦
Die Sonne und der Mond bewegen sich in Kreisbahnen um die Erde.
♦
Die anderen Planeten bewegen sich auf komplizierten Bahnen, die durch Überlagerung
von Kreisbahnen entstehen (Epizyklen)
Seine Theorie hält sich über 1400 Jahre !
Das heliozentrische Weltbild (Kopernikanisches Weltbild)
Nikolaus Kopernikus (1473-1543)
1.
Die Sonne steht im Mittelpunkt der Welt
2.
Sterne ruhen in großer Entfernung
3.
Die Paneten, auch die Erde, bewegen sich auf Kreisbahnen um die Sonne
4.
Die Erde dreht sich von W nach O täglich 1x um ihre Achse
5.
Die Bahnebene der Erde heißt Ekliptik. In guter Näherung bewegen sich alle Planten in ihr
6.
Die Rotationsachse der Erde ist um 23 ½ ° gegen die Ekliptiknormale geneigt (Æ
Erklärung der Jahreszeiten!)
Galileo Galilei: Anhänger und Verbreiter der kopernikanischen Lehre. Inquisitionstribunal 1633 in
Rom
Die Keplergesetze
Tycho Brahe (1546-1601) lieferte genaue Beobachtungsdaten; Johannes Kepler (1571-1630) fand
unter Verwendung dieser Daten empirisch die Gesetzmäßigkeiten der Planetenbewegung heraus:
1. Alle Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen um die Sonne, wobei die Sonne in einem der
Brennpunkte der Ellipse steht.
2. Die Verbindungslinie zwischen der Sonne und einem Planeten überstreicht in gleichen Zeiten
gleich Flächen (Flächensatz).
3. Das Quadrat der Umlaufdauer eines Planeten ist proportional zur dritten Potenz seiner mittleren
Entfernung (großen Halbachse der Ellipse) von der Sonne ( T1 : T2 = a1 : a 2 )
2
2
3
3
Seite 53
Mechanik 2
Perihel: 147,1 Mio km
Aphel: 152,1 Mio km
Mittelwert: a = 149,6 Mio km ... Astronomische Einheit (AE)
(lineare Exzentrizität: e = 0,0167)
Das Newtonsche Gravitationsgesetz
Kepler: empirisch aufgestellte Regeln
Newton schrieb die Beschleunigung eines Planten auf seiner Bahn einer Kraft zu, die zwischen der
Sonne und dem Planeten bzw. allgemein zwischen Körpern wirkt.
Herleitung des Gravitationsgesetzes:
M
Vereinfachung: Planeten bewegen sich gleichförmig auf Kreisbahnen
mv 2
2rπ
v=
r
T
m 2 rπ 2 m4π 2 r
F= (
) =
r T
T2
m 4π 2 r
m 4π 2 r
F1 = 1 2 1
F2 = 2 2 2
T1
T2
F=
F1 m1 4π 2 r1T2
m rT
= 2
= 1 1 22
2
F2 T1 m2 4π r2 m2 r2T1
2
T1 2 r1 3
=
3. Keplergesetz:
T2 2 r2 3
2
somit ist
Seite 54
Mechanik 2
3
2
F1 m1r1r2
m1r2
=
3 =
F2 m2 r2 r1
m2 r1 2
m1
r1 2
=
m2
r2 2
woraus folgt: F1 = C ⋅
m1
m2
und F2 = C ⋅ 2
2
r1
r2
Da die Anziehungskraft von der Masse des Zentralgestirns M abhängt, schreibt man für C = G.M, und
erhält:
F = G⋅
M ⋅m
r2
Newtonsches Gravitationsgesetz (1686 veröffentlicht):
r
m1
F = G⋅
m2
m1 m2
r2
G... (universelle) Gravitationskonstante
G = 6,67.10-11 Nm2kg-2
m1, m2 ... Massen
r ... Abstand der Schwerpunkte von m1, m2
Messung von G: Henry Cavendish (1731-1810) erst 1798 mit Hilfe einer Drehwaage.
Newton ging von einer Abschätzung der Erdmasse aus und erhielt so einen Näherungswert für G.
Beispiel:
Berechnen Sie die Kraft, mit der sich die Erde und ein Körper der Masse m=1kg an der Erdoberfläche
anziehen. r = 6370 km (mittlerer Erdradius); me = 5,97.1024 kg
F=
6,67.10 −11 .5,97.10 24 .1
= 9,813N andererseits weiß man
( 6370.10 3 ) 2
F=m.g = 1.g woraus folgt: g=9,81 ms-2
Berechnen Sie die Kraft, mit der sich ein Mann (m=70kg) und eine Frau (m=50kg) zueinander
hingezogen fühlen, wenn der Abstand zwischen ihnen 50cm beträgt und die beiden als Punktmassen
betrachtet werden.
F=
6,67.10 −11 .50.70
. −7 N
= 9,310
0,52
allgemeiner Zusammenhang: g ( r ) =
G. m
, d.h. die Fallbeschleunigung hängt von der Masse m
r2
des anderen Körpers und dem Abstand r ab (beträgt also nur auf der Erde 9,81 ms-2).
Beispiel:
Berechnen Sie die Fallbeschleunigung eines Körpers, der sich 200 km über der Erdoberfläche
befindet.
g=
G. M E
RE
2
G. M E = g . R E 2
G. M E
r = R E + 200km
r2
R
g. R E 2
m 6370km 2
m
= g. ( E ) 2 = 9,81 2 . (
) = 9,22 2
a=
2
r
r
s 6570km
s
a=
Seite 55
Mechanik 2
Potentielle Energie eines Körpers im Gravitationssfeld
Berechnung der Arbeit, die zum Verschieben eines Körpers der Masse m gegen die Gravittationskraft
zu verrichten ist:
W = F ′′. s
v v
W = F. s
Die Kraft bleibt während der Fallbewegung
nicht konstant, sondern ändert sich in
Abhängigkeit des Abstandes r:
F ( r ) = G.
m. M
r2
die Arbeit ist daher mittels Integral zu
berechnen:
1
m. M
dr = − G. m. M . |rrba =
2
r
r
1 1
1 1
= − GmM ( − ) = GmM ( − )
rb ra
ra rb
rb
rb
ra
ra
W = ∫ F (r )dr = ∫ G.
Der Term GmM
1
entspricht also der potentiellen Energie eines Masseteilchens im
r
Gravitationsfeld. Die potentielle Energie, die ein Körper der Einheitsmasse m=1kg im Gravitationsfeld
der Masse M hat, nennt man das Potential V:
V =−
GM
r
Der Körper muß dabei keine geradlinige Bahn beschreiben:
Jeder Weg lässt sich aus radialen Anteilen
und aus Bogenanteilen zusammensetzen.
Längs der Bogenanteile wird keine Arbeit
verrichtet, da Kraft und Weg aufeinander
normal stehen (vergleiche Bewegung einer
Ladung im elektrostatischen Feld ! Äquipotentiallinien (-flächen))
Seite 56
Mechanik 2
Die Fluchtgeschwindigkeit (2. kosmische Geschwindigkeit)
Fragestellung: "Welche Anfangsgeschwindigkeit benötigt ein Körper, um das Gravitationsfeld der Erde
zu verlassen?"
Anders formuliert: "Welche Arbeit muß gegen das Gravitationsfeld verrichtet werden, um einen Körper
von der Erde aus unendlich hoch zu heben?"
W = GmM (
1 1
− )
ra rb
W = GmM .
1
R
ra = R...Erdradius, rb = ∞
mv 2
1
= GmM .
R
2
m
km
2GM
2GM
2.6,67.10 −11.6.10 24 m
v =
, v=
=
= 11200 = 11,2
3
R
R
s
s
s
6370.10
2
oder mit GM = gr 2 erhält man v =
km
2 gR 2
= 2 gR ≈ 11,2
R
s
Vergleich: auf der Mondoberfläche beträgt v ≈ 2,4km/s. Diese Geschwindigkeit wird von Gasteilchen
schon bei Zimmertemperatur überschritten Æ der Mond kann aufgrund seiner geringen Masse keine
Atmosphäre besitzen.
Die Kreisbahngeschwindigkeit (1. kosmische Geschwindigkeit)
mv 2
mM
= G. 2
r
r
GM
v2 =
v=
r
GM
r
nahe der Erdoberfläche gilt r = R und somit v ≈ 7,9
(ergibt sich auch aus v =
gr 2
=
r
km
s
gr )
d.h. v hängt nicht von der Masse m sondern vom Abstand r ab!
Seite 57
Mechanik 2
Beispiel:
a) Welche Geschwindigkeit muß ein Space Shuttle besitzen, um antriebslos in einer Höhe von 160km
die Erde zu umkreisen?
v=
GM
=
R+h
6,67.10 −11 .610
. 24
km
km
. 3
= 28183
3 = 7,810
s
h
(6370 + 160).10
b) Berechnen Sie die Umlaufzeit eines Space Shuttle
2 rπ
T
2(r + R)π 2.(6370 + 160).10 3 π
1
T=
=
s = 5260s = 1,46h ≈ 1 h !!
3
v
2
.
7,810
v=
Beispiel:
Berechnen Sie die Höhe der Umlaufbahn eines geostationären Satelliten.
Hinweis: geostationäre Satelliten besitzen eine Umlaufzeit von genau 23h56Min (=86160s)!
GM
r
2 rπ
v=
T
GM
2 rπ
=
T
r
2 2
4r π
GM
=
2
r
T
GM 2
... r 3 ~ T 2
r3 =
T
4π 2
r = 3 ... = 4,2219.10 7 m
h = r − R = 35849 km ≈ 36000km
v=
Bemerkung:
Aus der Beziehung r =
3
GM 2
T des vorigen Beispiels kann bei bekannter Umlaufzeit
4π 2
und Bahnradius eines Mondes die Masse eines Planeten bestimmt werden.
So hat z.B. der Mars hat einen Mond mit einer Umlaufdauer von 460 min und einem
mittleren Bahnradius von 9,4.106m. Wie groß ist die Masse des Mars?
M=
4π 2 r 3
=... = 6,4510
. 23 kg
GT 2
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