ATECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT Analysis II für M, HLM

A
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. W. Trebels
Dr. Helge Glöckner
Georg Hofmann
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
18./19. Mai 2004
Analysis II für M, HLM und PH, SS 2004, Tutorium 5
Zusammenhang vs. Wegzusammenhang
In der Vorlesung wurden bereits wegzusammenhängende Teilmengen von Rn diskutiert,
in denen jeder Punkt mit jedem anderen durch einen Weg verbunden werden kann. Heute
wollen wir den verwandten Begriff “zusammenhängender” Teilmengen kennenlernen.
Zunächst beschäftigen wir uns jedoch noch ein wenig mit Wegzusammenhang.
Aufgaben
T 16 (Wegkomponenten). Es sei M ⊆ Rn .
(a) Gegeben x, y ∈ M schreibe x ∼ y, wenn es einen Weg in M von x nach y gibt.
Zeige, dass ∼ eine Äquivalenzrelation auf M ist.1
(b) Die Äquivalenzklasse [x] von x ∈ M bzgl. ∼ nennt man die Wegkomponente
von x in M ; sie besteht also aus allen Punkten, die sich mit x durch einen Weg
verbinden lassen.
Finde die Wegkomponente des Punkts (1, 0) in den folgenden Teilmengen von
R2 :
M1 := Z × R ;
M2 := U1 (1, 0) ∪ U1 (−1, 0) ;
M3 := M2 ∪ {(0, 0)}
(wobei Ur (x) die offene Kugel von Radius r um x ist).
Gegeben eine Teilmenge M ⊆ Rn nennen wir U ⊆ M relativ offen, wenn es eine offene
Teilmenge V ⊆ Rn gibt mit U = M ∩ V .
Definition. Eine Teilmenge M ⊆ Rn heißt zusammenhängend , wenn gilt:
Sind U1 , U2 ⊆ M zwei disjunkte, relativ offene Teilmengen mit M = U1 ∪ U2 , so ist U1 = ∅
oder U2 = ∅.
Gefordert ist also, dass sich M nicht in zwei disjunkte, relativ offene, nichtleere Stücke zerlegen lässt.
Bemerkung. Wir werden gleich sehen, dass jede wegzusammenhängende Menge auch
zusammenhängend ist. Die Umkehrung gilt i.a. nicht: Man kann zeigen, dass der Graph
M := {(x, f (x)) : x ∈ R+0 } der Funktion
sin x1 falls x > 0 ;
+
f : R0 → R ,
0
falls x = 0
eine zusammenhängende, nicht wegzusammenhängende Teilmenge von R2 ist (ein Beweis
findet sich in den Lösungshinweisen).
1
Prüfe Reflexivität (x ∼ x), Symmetrie (x ∼ y ⇒ y ∼ x) und Transitivität (x ∼ y, y ∼ z ⇒ x ∼ z).
Aufgaben
T 17 Zeige, dass jedes halboffene Intervall [a, b[ ⊆ R zusammenhängend ist.
[Anleitung: Es seien U1 , U2 ⊆ [a, b[ relativ offen mit [a, b[= U1 ∪ U2 , wobei a ∈ U1 o.B.d.A. Setze
s := sup{t ∈ R : [a, t[ ⊆ U1 }. Zeige durch Widerspruch, dass s = b. ]
Analog kann man zeigen, dass jedes Intervall zusammenhängend ist.
T 18 Es sei M ⊆ Rn zusammenhängend und f : M → Rk stetig. Zeige, dass das Bild
f (M ) ⊆ Rk zusammenhängend ist.
[Da Intervalle zusammenhängend sind, ist also insbesondere das Bild γ(I) jedes Weges γ : I → Rn
zusammenhängend. ]
T 19 Zeige: Jede wegzusammenhängende Teilmenge M ⊆ Rn ist zusammenhängend.
[Anleitung: Andernfalls existieren zwei disjunkte, nicht-leere, relativ offene Teilmengen U1 , U2 ⊆ M
mit Vereinigung M . Wähle xj ∈ Uj und verbinde x1 und x2 durch einen Weg. ]
T 20 Zeige: Jede zusammenhängende, offene Menge M ⊆ Rn ist wegzusammenhängend.
Anleitung: Zeige, dass für jedes x ∈ M die Wegkomponente
[ [x] eine Kugel um x enthält. Schließe,
dass [x] offen ist.2 Nun betrachte U1 := [x] und U2 :=
[y].
y∈M \[x]
2
Zur Erinnerung (siehe §15 in C. Herrmanns Skript zur Linearen Algebra oder Exercise 1.2.8 in Prof.
Ottos Skript Linear Algebra I): Für zwei Äquivelenzklassen [x], [y] gilt stets [x] = [y] oder [x] ∩ [y] = ∅.