t - Institut für Experimentelle Physik

PHYS3100 Grundkurs IIIb für Physiker
Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universität Ulm
[email protected]
Vorlesung nach Tipler, Gerthsen, Alonso-Finn, Halliday
Skript: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005
Übungsblätter und Lösungen:
http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005/ueb/ue#
27. Januar 2005
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http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005
27. Januar 2005
Klausur
Datum und Uhrzeit 24. 2. 2005, 10:00-12:00
Ort Hörsaal H2
Hilfsmittel 6 Seiten A4 (3 Blätter) handgeschrieben
mit eigener Hand
Tutorium am 22.2. 2005, Ort und Zeit sind Verhandlungssache
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1
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Leiterschleife bewegt
Induktion eines Stromes in einer in einem inhomogenen Magnetfeld bewegten Leiterschlaufe.
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2
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Stabmagnet und Spule
Vergleich eines Stabmagneten mit einer Spule.
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Vorzeichen des Magnetfeldes und der induzierten Spannung beim Einund Ausschalten.
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4
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5
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Induzierte Spannung
Induzierte Spannung
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6
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Selbstinduktion
Selbstinduktion
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7
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Magnetischer Fluss
ZZ
~ · dA
~
B
φB =
(1)
A
magnetischer Fluss durch die Fläche A
UEM K
dφB
d
=−
=−
dt
dt
ZZ
~ · dA
~
B
(2)
A(S)
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8
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Die Induktionsspannung
und der Strom, den sie bewirkt, sind stets so gerichtet, dass sie der Ursache
entgegenwirken.
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9
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Wirbelströme
Wirbelströme in Metallen
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10
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Faradaysches Gesetz, Induktionsgesetz
I
d
~
E · d~s = −
dt
S
ZZ
~ · d~a
B
(3)
A(S)
~
∂
B
~ =−
rot E
∂t
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(4)
11
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Transformator
Zwei gekoppelte Stromkreise
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12
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Der magnetische Fluss am Punkt P2 hängt sowohl vom Strom I2 wie
auch vom Strom I1 ab:
φB (P2) = L2 · I2 + M12 · I1
(5)
Ebenso hängt der magnetische Fluss am Punkt P1 von beiden Strömen ab
φB (P1) = L1 · I1 + M21 · I2
(6)
Neben der Selbstinduktivität Li müssen bei realen Systemen auch die Gegeninduktivitäten Mij berücksichtigt werden. Wie bei den Induktivitäten
hängt auch bei den Gegeninduktivitäten die Grösse allein von der Geometrie
ab.
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Symbolische Darstellung eines Transformators
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Die Gegeninduktivität ist
φB1
2
M21 =
= µ0n1n2`(πr1 ) = M12
I2
(7)
Diese Beziehung, die an einem Spezialfall gezeigt wurde, gilt auch allgemein
(ohne Beweis).
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Schematischer Aufbau eines Transformators
Für Spannungen
N2
U2 = − U1
N1
(8)
N2/N1 heisst der Übersetzungsfaktor des Transformators.
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16
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Wird der Ausgang des Transformators mit R belastet, fliesst der Strom
I2, der zu U2 in Phase ist. I2 erzeugt einen magnetischen Fluss φ0B ∝ N2I2,
der den ursprünglichen Fluss φB durch die Spule 2 schwächt. Da durch
beide Spulen der gleiche magnetische Fluss fliesst, muss auch der Fluss
durch die erste Spule geschwächt werden. Da die Spannung durch die
Spannungsquelle U vorgegeben ist, muss der Strom I1 auf der Primärseite
zusätzlich fliessen, so dass φ0B ∝ N1I1 gilt.
I2 = −
N1
I1
N2
Wenn wir die Effektivwerte betrachten haben wir damit
·
¸·
¸
N2
N1
U2I2 = − U1 − I1 = U1I1
N1
N2
(9)
(10)
sofern man Verluste vernachlässigt. Ideale Transformatoren übertragen
also verlustfrei Leistung.
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Kirchhoffsche Gesetze
Kirchhoffsche Gesetze: links die Maschenregel, rechts die Knotenregel.
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18
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X
∀k
X
Uk =
∀j
Quellen
X
∀k
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Uj
(11)
Verbraucher
Ik = 0
(12)
eines Knotens
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19
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Wechselstromkreise und Impedanzen
Definition von Strömen und Spannungen bei Wechselspannungen
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Rechnen mit komplexen Impedanzen
U (t) = Û eiωt
ˆ iωt
I(t) = Ie
Ableitung
∂U (t)
= iω Û eiωt
∂t
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unbestimmtes Integral, Stammfunktion
Z
1
U (t)dt = Û eiωt
iω
Ohmsches Gesetz
U (t) = R · I(t)
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Kapazität C
Kondensator mit Wechselspannung
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1
∂U (t)
= I(t)
∂t
C
1 ˆ iωt
iω Û e = Ie
C
1 ˆ iωt
iωt
Û e =
Ie
iωC
1
I(t)
U (t) =
iωC
1 ˆ
Û =
I
iωC
iωt
mit XC =
1
iωC
U (t) = XC I(t)
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24
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Induktivität L
Spule mit Wechselspannung
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25
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∂I(t)
U (t)Selbstinduktion = −L
∂t
wir haben: USelbstinduktion = −Uangelegt. Dann ist
∂I(t)
U (t) = L
∂t
ˆ iωt
Û eiωt = iωLIe
U (t) = iωLI(t)
Û = iωLIˆ
mit XL = iωL
U (t) = XLI(t)
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Schwingkreis
Schwingkreis
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27
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dI Q
L + =0
dt C
1
iωLI +
I=0
iωC
Die Resonanzfrequenz ist
1
ω =
LC
2
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Schwingkreis mit Widerstand
Schwingkreis mit Widerstand
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dI
Q
L +R·I + =0
dt
C
I
iωL · I + R · I +
=0
iωC
R
1
ω − iω −
=0
L LC
2
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30
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q
ω=
iR
L
±
R2
− L2
2
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+
4
LC
R
=i ±
2L
r
R2
1
− 2+
4L
LC
31
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Schwingkreis mit Widerstand, an Spannungsquelle
+
C
-
+
U(t)
- L
+
R
Schwingkreis mit Widerstand an Spannungsquelle
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32
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U (t) = Û e
iωt
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I
= iωL · I + R · I +
iωC
ˆ iωt
Ie
ˆ iωt + R · Ie
ˆ iωt +
Û eiωt = iωL · Ie
iωC
Iˆ
1
1
Y =
= =
1
X
iωL + R + iωC
Û
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33
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iωC
Y =
=
2
−ω CL + iωRC + 1
1
CL
−
iω
L
ω2 +
iω R
L
mit ω0 = 1/(CL)
Y =
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ω02 −
iω
ω0 C
ω2 +
iω R
L
34
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Elektromotoren
Prinzipbild eines Elektromotors
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35
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Nebenschlussmotor und Hauptschlussmotor
50
MN(x)
MH(x)
45
40
35
M
30
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
ω
Kennlinien
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36
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Betatron
Die Idee hinter der Konstruktion des Betatrons ist, dass bei einem
~
~ = −∂ B/∂t
~
zeitabhängigen B-Feld
nach rot E
auch ein zeitabhängiges
~
E-Feld
existiert.
Induktionsgesetz!
Der Vergleich mit der Bedingung für die Zentripetalkraft liefert die
Wideroe-Bedingung
B̄(t) = 2 · B(t)
(13)
Diese Bedingung kann durch eine geeignete Wahl der Form der Polschuhe
erreicht werden.
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37
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38
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Skin-Effekt
• Gleichstrom
• ⇒ homogene Stromverteilung
• ⇒ radial zunehmende Magnetfeld
• Zeitlich ändernder Strom
• ⇒ Induktionsgesetz
Berechnung des Skin-Effektes
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• ⇒ radial zunehmende Stromdichte
39
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Energie im Magnetfeld
• Wechselstrom
• ⇒ Leistung des Stromes ist positiv
und negativ
• ⇒ Integral über Leistung
• ⇒ Energie
• ⇒ EL = L2 I 2
Berechnung der Energie im Magnetfeld
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• ⇒ wB =
B2
2µ0
40
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Kugeln im inhomogenen Magnetfeld
Diamagnetische (Bi), paramagnetische (Al) und ferromagnetische (Fe) Materialien im inhomogenen Magnetfeld.
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41
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Materie im Magnetfeld
diamagnetisches Verhalten Die Materie wird aus dem starken magnetischen Feld herausgedrückt.
paramagnetisches Verhalten Die Materie wird in das starke Feld hineingezogen.
ferromagnetisches Verhalten Die Materie wird in das starke Feld hineingezogen, aber sehr viel stärker als bei paramagnetischen Substanzen.
Zudem zeigen diese Substanzen ein remanentes Magnetfeld, auch wenn
das äussere Magnetfeld wieder verschwunden ist.
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42
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Kreisströme als Ursache des Dia- und des Paramagnetismus
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43
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• Materie im inhomogenen Magnetfeld:
wie wenn die Materie aus Kreisströmen
bestände
• Diamagnetismus: Kreiströme antiparallel
• Paramagnetismus: Kreisströme parallel
• Ferromagnetismus: Kreisströme parallel
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44
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Satz von Larmor
Illustration zum Satz von Larmor
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45
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Atomarer Kreisstrom
v
I = −e
2πr
(14)
Magnetisches Moment
1
|m|
~ = πr I = e · v · r
2
2
(15)
Wirkung eines äusseren Magnetfeldes: Reaktion eines einzelnen Atoms auf ein von
null anwachsendes äusseres Feld
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46
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Langsames Einschalten eines Magnetfeldes für ein Elektron in
einem Atom. Im linken Schaubild sind die positiven Richtungen
definiert.
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47
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Wachsendes Magnetfeld ⇒ tangentiales elektrisches Feld
• das Magnetfeld: −B, Betrag: B
• die Geschwindigkeit: −v, Betrag: v
• die Zentripetalkraft: −F0, Betrag: F0
• das induzierte elektrische Feld: E, Betrag: E
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48
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I
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~ · d~r = 2π · r · E(t) = − ∂φB = −πr2 · d − B(t) = πr2 · dB(t) (16)
E
∂t
dt
dt
S(r)
..
Der gesamte Geschwindigkeitszuwachs des Elektrons ist
e·r
∆v = −
·B
2me
(17)
wenn B das Feld im Endzustand ist.
Der Betrag der Geschwindigkeit hat also zugenommen. Nun bewirkt das
~
äussere B-Feld
die Lorentzkraft
F~L = −e · (−v) · (−B)
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(18)
49
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die, nach der rechten Hand-Regel zum Kreiszentrum zeigt. Die Zentripetalkraft ist im Endzustand durch
2
(−v + ∆v)
F = −m
r
(19)
Da v À ∆v ist, können wir nach Taylor entwickeln
F
¢
me ¡ 2
≈ −
v − 2v · ∆v
r
= F0 + FL
(20)
Die Lorentz-Kraft bewirkt also, dass die Elektronenbahnen für kleine
Geschwindigkeitsänderungen sich nicht ändern.
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50
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Die Larmorwinkelgeschwindigkeit ist
∆v e · B
Ω≡
=
r
2me
(21)
und vektoriell geschrieben
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51
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Larmorwinkelgeschwindigkeit
e
~ =
~
Ω
B
(22)
2me
In einem mit der Winkel~ rotierenden
geschwindigkeit Ω
System sind die Elektronenbahnen im Atom unverändert.
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52
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Diamagnetismus
Berechnung des Diamagnetismus
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53
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Diamagnetisches Atom
m
~A=
X
m
~j=0
(23)
j
~
B-Feld
eingeschalten ⇒ kugelsymmetrische Ladungsverteilung präzediert mit Larmorfrequenz ⇒ von null verschiedenes magnetisches Moment
m
~ A, das zum Diamagnetismus führt.
Ze
ρel = −
(4/3)πR3
(24)
wobei Z die Kernladungszahl und R der Radius der Elektronenwolke ist.
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54
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Ein einzelner Kreisstrom
Rotation mit
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e
B
Ω=
2m
(25)
55
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δI = ρel · r · dr · dϕ · v(r, ϕ)
(26)
v(r, ϕ) = Ω · r · sin ϕ
(27)
Da die Ladungen negativ sind, ist das magnetische Moment m
~ A entgegen~ und entgegengesetzt zu B,
~ hier also nach unten, gerichtet.
gesetzt zu Ω
Dieses magnetische Moment ist
δmA(r, ϕ) = Fläche · Strom = πr2 sin2 ϕ · δI
(28)
δmA(r, ϕ) = πr2 sin2 ϕ · ρel · r · dr · dϕ · v(r, ϕ)
(29)
oder
= πr4 sin3 ϕ · ρel · Ω · dr · dϕ
Der Betrag des gesamten magnetischen Momentes erhält man durch InteUniversität Ulm, Experimentelle Physik
56
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gration über r und ϕ Er ist
ZR Zπ
|m
~ A| =
δmA(r, ϕ)drdϕ
0
=
(30)
0
Z · e2 · B · R2
10me
Vektoriell geschrieben erhalten wir für das diamagnetische Moment
Z · e2 · R 2 ~
m
~A=−
B
10me
(31)
Diese diamagnetische Moment ist in allen Atomen vorhanden. Bei
paramagnetischen und ferromagnetischen Substanzen wird es unterdrückt.
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Magnetisierung
Atomare Kreisströme
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58
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Die gesamte makroskopische Magnetisierung ist das mittlere
magnetische Moment pro Volumeneinheit
P
~ (R)
~ =
M
m
~ Ai
∆V
∆V
(32)
m
~ A1 : magnetisches Moment eines Atoms oder einer Atomgruppe.
~ (~r) unabhängig vom Probenort.
Homogen magnetisiert ⇒ M
Der Oberflächenstromdichte
j = ma · n = M
(33)
ist gleich der Magnetisierung.
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59
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Elektronenspin
Elektronenspin
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60
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Neben den von der Bahnbewegung herrührenden magnetischen Momenten hat zum Beispiel das Elektron ein magnetisches Moment, das von
seinem Drehimpuls ~s (Spin) herrührt. Zu diesem Drehimpuls oder Spin
gehört ein entsprechendes magnetisches Moment m
~ s. Aus der Quantenmechanik weiss man, dass die Projektion des Spins auf eine raumfeste Achse
einen festen Betragswert
1h
1
sz =
= h̄
2 2π 2
(34)
hat, wobei das Plancksche Wirkungsquantum durch
h = 6.63 × 10−34Js
(35)
oder
h̄ ≈ 10−34Js
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61
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ist. Nach der Quantenmechanik gilt
e
m
~ s = − ~s
m
(36)
Nach der klassischen Mechanik (rotierende homogen geladene Kugel) wäre
e
m
~ s = −(1/2) m
~s. Die Grösse des magnetischen Momentes eines Elektrons
ist
e1
|ms,z | =
h̄ ≡ 1µB = 0.927 × 10−23A · m2
(37)
m2
auch bekannt unter dem Namen Bohrsches Magneton.
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62
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Paramagnetismus
Curie-Gesetz
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Ferromagnetismus
Messung der Hysterese eines Ferromagneten. Rot ist der
Primärkreis, grün der Sekundärkreis.
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Unter Vernachlässigung der Selbstinduktion ist die Differentialgleichung
für den Sekundärkreis
dB(t) Q(t)
−A ·
−
= R · I2(t)
dt
C
(38)
Dabei ist Q(t) die Ladung am Kondensator. Wir schreiben den Strom als
zeitliche Ableitung der Ladung.
A dB(t) Q(t) dQ(t)
− ·
=
+
R
dt
RC
dt
(39)
Die Anregung in dieser Schaltung ist ein Strom I1(t), der die Frequenz ω hat.
Also ist auch Q(t) eine periodische Funktion mit der gleichen Frequenz. Bei
harmonischen Funktionen gilt, dass dQ(t)/dt ≈ ωQ(t) ist. Wenn 1/RC ¿
ω ist, kann der erste Term auf der rechten Seite vernachlässigt werden.
Dann gilt
Q(t) = const · B(t)
(40)
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und damit für die Spannung am Kondensator
UC (t) = Q(t)/C ∝ B(t)
(41)
Der Ausgangsstrom selber erzeugt das anregende Feld.
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Hysteresekurve eines Ferromagneten
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Ferromagnetische Domänen
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r
Bext = 0
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r
Bext
r
Bext
r
M
Änderung der Domänenstruktur bei stärker werdendem äusserem
Magnetfeld
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Domänen ändern die
Richtung ihrer Magnetisierung nicht, sie ändern
nur ihre Grösse.
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Löschen des remanenten Magnetismus
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Maxwellgleichungen
Bis jetzt kennen wir die folgenden Gleichungen um die elektrischen Phänomene zu beschreiben:
~ = ρel
Gausssches Gesetz
div E
I
²0
~ = − ∂ B~
Induktionsgesetz
rot E
II
∂t
~ = 0
Quellenfreiheit
div B
III
~ = µ0~i
Durchflutungsgesetz
rot B
IV
Zusätzlich zu den obigen Gleichungen muss die Kontinuitätsgleichung für Ladungen gelten
∂ρel
~
div i = −
∂t
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(42)
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Maxwell-Gleichungen
~
div E
=
~
rot E
= − ∂∂tB
~
div B
~
rot B
1
²0 ρel
~
I
(43)
II
=0
III
³
´
~
= µ0 ~i + ²0 ∂∂tE
IV
Zusammen mit dem Kraftgesetz
~ +q·V
~ ×B
~
F~ = q · E
(44)
hat man eine vollständige Charakterisierung der Elektrodynamik.
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Der Maxwellsche Verschiebungsstrom, der eingeführt wurde um
die Maxwellgleichungen mit der Kontinuitätsgleichung kompatibel zu machen, führt dazu, dass man aus den Maxwellgleichungen
elektromagnetische Wellen vorhersagen kann.
Die Maxwellgleichungen sind nicht invariant unter der GalileiTransformation. Diese Beobachtung war ein wichtiger Meilenstein auf dem Weg zur speziellen Relativitätstheorie.
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ZZ
ZZZ
~ · d~a =
E
²0
ρel(~r)dV
I
(45)
V
A(V )
ZZ
I
~ · d~s =
E
~ · d~a
B
d
− dt
S
II
A(S)
ZZ
~ · d~a =
B
0
A(V )
I
ZZ
~ · d~s =
B
S
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III
!
Ã
~
∂E
~
· d~a IV
µ0 i + ²0
∂t
A(S)
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